（基础数学专业论文）关于s系的同调分类问题.pdf

兰州大学博上学位论文 摘要 本篇学位论文中，我们主要考虑了s 一系的同调分类问题 最新研究成果，我们通过研究幺半群的右s - 系范畴的性质， 征刻画本篇论文共分为四章 第一章主要介绍了关于系的同调分类问题的研究进展， 主要问题 利用关于该问题的 来给出幺半群的特 以及我们要考虑的 第二章我们考虑了与强平坦性有关的一些问题在本章第一节，我们介绍了关 于口系的一些基本的理论和概念在本章第二节，我们给出了使得所有满足条 件( p ) 的右s 一系是强平坦系的幺半群的一些新的条件，我们的结果推广了关于 该问题的已有的结果在本章第三节，我们给出了使得所有强平坦系是正则系的 幺半群的一些新的刻画在本章第四节，我们考虑了强平坦性质的推广 第三章我们考虑了与条件f p ) 有关的一些同调分类问题在本章第一节，我们 介绍了条件( p ) 的主弱形式并称之为条件( p 彬p ) 利用该条件，我们给出了右可 消幺半群的一些新的刻画而且，我们也得到了所有满足条件( p w p ) 的右r e e s 商系具有某一投射性( 诸如：( 弱) 平坦，拉回平坦，条件( p ) 等) 的幺半群的刻 画，在本章第二节，我们介绍了条件( p ) 的弱形式并称之为条件( w p ) 利用该条 件，我们给出了右可消幺半群的一些新的刻画而且，我们也得到了所有满足条 件( w p ) 的右r e e s 商系具有某一投射性( 诸如：平坦，拉回平坦，条件( 尸) 等) 的 幺半群的刻画条件( p w p ) 和条件( w p ) 都是条件( p ) 的推广在本章第三节， 我们定义了条件( p ) 的一个推广并称之为条件( 一) 利用该条件，我们也给出了 右可消幺半群的一些新的刻画而且，我们也得到了所有满足条件( p ，) 的右r e e s 商系具有某一投射性( 诸如：( 弱) 平坦，拉回平坦，条件( p ) 等) 的幺半群的刻画 在本章第四节，我们给出了所有右r , e e s 商系满足条件( w p ) 的幺半群的刻画、 第四章我们考虑了与弱拉回平坦性、挠自由性和主弱平坦性有关的一些同调分 类问题在本章第一节，我们考虑了r 艘s 商系的平坦性质在本章第二节，我们 研究了挠自由的右r e e s 商系的平坦性质在本毫第三节，我们讨论了s _ 系的挠 自由性质和主弱平坦性质 关键词： 同调分类问题；强平坦性；正则性；条件( p ) ；条件( w p ) ；条 件( p 彬p ) ；挠自由性；主弱平坦性 兰鲻大攀博士学整论文 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s 。w ea r ec o n c e r n e dw i t ht h eh o m o l o g i c a lc l a s s i f i c a t i o np r o b l e m s o fs - a c t s u s i n gt h er e c e n tt h e o r e t i c a lr e s u l t sa b o u tt h e s ep r o b l e m s ，w eg i v es o m e c h a r a c t e r i z a t i o n so fm o n o i d sb ys t u d y i n gt h ep r o p e r t i e so ft h e i rc a t e g o r i e so fr i g h t s - a c t 8 i nt h el i g h to fc o n t e n t s ，t h i st h e s i si sd i v i d e di n t of o u rc h a p t e r s t | l ef i r s tc h a p t e ri st oi n t r o d u c et h ed e v e l o p m e n ta b o u tt h eh o m o l o g i c a tc l a s - s i f i c a t i o np r o b l e m so fs - a c t s ，a n dt h e ni n t r o d u c et h em a i np r o b l e m st h a tw e a r e c o n c e r n e d ， kt h es e c o n dc h a p t e r ，w ec o n s i d e rs o m ep r o b l e m s c o n c e r n e dw i t hs t r o n gf i a t n e s s p r o p e r t y i n 2 1w e i n t r o d u c es o m eb a s i ct h e o r i e sa n dc o n c e p t sa b o u ts - a c t s i n 2 2s o m en e wc o n d i t i o n so nm o n o i d sf o rw h i c ha l lc o n d i t i o n ( p ) r i g h ts a c t s 蹦e s t r o n g l yf l a ta r eg i v e n ，w eg e n e r a l i z et h ek n o w n r e s u l t so nt h i sp r o b l e m i n 2 3w e g l v es o m en e w c h a r a c t e r i z a t i o n so fm o n o i d sf o rw h i c ha l ls t r o n g l yf l a tr i g h ts - a c t s a r er e g u l a r i n5 2 4w ec o n s i d e rt h eg e n e r a l i z a t i o n so fs t r o n gf l a t n e s sp r o p e r t y t h et h i r dc h a p t e ri st oc o n s i d e rs o m eh o m o l o g i c a lc l a s s i f i c a t i o np r o b l e m sc o n - c e r n e dw i t hc o n d i t i o nf p ) 。i n 3 。1w ei n t r o d u c et h ep r i n c i p a l l yw e a kf o r mo fc o i l - d i t i o nf 固，i ti sc a l l e dc o n d i t i o nf p w p ) w eg e ts o m en e wc h a r a c t e r i z a t i o r l so f r i g h tc a n c e l l a t i v em o n o i d sb yt h i sc o n d i t i o n f u r t h e r m o r e ，w ea l s oo b t a i nt h ec h a r - a c t e r i z a t i o n so fm o n o i d so v e rw h i c ha l lr e e sf a c t o ra c t ss a t i s f y i n gc o n d i t i o n ( p w p ) h a v es o m ep r o j e c t i v i t y ( s u c h 豁w e a k ) f i a t ，p u l l b a c kf l a t n e s s ，c o n d i 蜒o n 固，e t c ) i n 3 2w ei n t r o d u c et h ew e a kf o r mo fc o n d i t i o n ( p ) ，i ti sc a l l e dc o n d i t i o n ( 彤p ) w e g e ts o m en e wc h a r a c t e r i z a t i o n so fr i g h tc a n c e l l a t i v em o n o i d sb yt h i sc o n d i t i o n f u r t h e r m o r e w ea l s oo b t a i nt h ec h a r a c t e r i z a t i o n so fm o n o i d so v e rw h i c ha d lr e e s f a c t o ra c t ss a t i s f y i n gc o n d i 畦o n ( 谬功h a v es o m e p r o j e c t i v i t y s u c h8 8f i a t ，p u r b a c k f l a t n e s s ，c o n d i t i o n ( p ) ，e t c ) ，c o n d i t i o n ( p w p ) a n dc o n d i t i o n ( 阿p ) a r e a l lt h e g e n - e r a l i z a t i o n so fc o n d i t i o n ( p ) ，i n 3 3w ed e f i n ea n o t h e rg e n e r a l i z a t i o no fc o n d i t i o n ( p ) a n d i ti sc a l l e dc o n d i t i o n f ) ，w ea l s og e ts o m en e wc h a r a c t e r i z a t i o n so fr i g h t c a n c e l l a t i v em o n o i d sb yt h i sc o n d i t i o n f u r t h e r m o r e ，w ea l s oo b t a i nt h ec h a r a c t e r - i z a t i o n so fm o n o i d so v e rw h i c ha l lr e e sf a c t o ra c t ss a t i s f y i n gc o n d i t i o n ( p ) h a v e s o m ep r o j e c t i v i t y ( s u c ha 8 ( w e a k ) f l a t ，p u l l b a c kf l a t n e s s ，c o n d i t i o n ( p ) ，e t c ) ，i n 豁，4w eg i v et h ec h a r a c t e r i z a t i o n so fm o n o i d so v e rw h i c ha l lr e e sf a c t o ra c t ss a t i s f y 兰州大学博士学位论文 c o n d i t i o nf w 尸) i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，w ec o n s i d e rs o m eh o m o l o g i c a lc l a s s i f i c a t i o np r o b l e m sc o n - c e r n e dw i t hw e a k l yp u l l b a c kf l a t n e s s ，t o r s i o nf r e ep r o p e r t ya n dp r i n c i p a l l yw e a k f l a t n e s s i n 4 1w ei n v e s t i g a t et h ef l a t n e s sp r o p e r t i e so fr e e sf a c t o ra c t s i n 4 2 t h ef l a t n e s so ft o r s i o nf r e er i g h tr e e sf a c t o ra c t sa r es t u d i e d i n 4 ，3w ed i s c u s st h e t o r s i o nf r e ep r o p e r t i e sa n dp r i n c i p a l l yw e a kf l a t n e s sp r o p e r t i e so fs - a c t s k e y w o r d s ：h o m o l o g i c a lc l a s s i f i c a t i o n ；s t r o n gf l a t n e s s ；r e g u l a r i t y ；c o n d i t i o n ( p ) c o n d i t i o n ( i 矿p ) ；c o n d i t i o n ( p i y p ) ；t o r s i o nf l e ep r o p e r t y ；p r i n c i p a l l yw e a k f l a t n e s s l u 原创性声明 本人郑重声明：本人所呈交的学位论文，是在导师的指导下独立进行 研究所取得的成果。学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、 、 数据、观点等，均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究成 果做出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：云也垒口期：塑堕! ： 关于学位论文使用授权的声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作晶，知识产权归属兰 强大学。本人完全了簿兰建大学莓关缳存、傻臻学位论文瓣裁定，嚣意学 校保存戚向国家宥荧部门或机构送交论文的纸质版和电子版，允许论文被 查阕和错阕；本人授权兰州大学可酷将本学徒论文斡全部或部分痰容壤入 有关数据库进行检索，可以采用任何复制手段保存和汇编本学位论文。本 人离校聪发表、使朋学位论文或与该论文蹙接相关的学术论文或成果时， 第一署名单位仍然为兰髑大学。 保密论文在解密后应遵守此规定。 论文作者签名：狙导师签名： 瑶厦、 日期：型基：l 兰州大学博士学位论义 第一章前富 1 1 研究的背景 半群代数理论是本世纪5 0 到6 0 年代发展起来的崭新的代数学分支，它在自动 机理论、计算机科学、组合数学等方面有广泛的应用，因此引起了越来越多的数 学家的重视 一般来讲，我们研究半群的方法大体上可分为两种：其一，从研究半群的内部 结构着手，如通过研究半群的理想、同余以及一些特殊元素等来得到半群的结构 特征半群的强半格分解就属于半群的最好结构分解之一，象c l i f f o r d 半群就是群 的强半格，其二，从研究半群的外部环境着手，如通过研究半群的同余格、b 系 范畴出发来得到半群的内部特征把半群作用在集合上，就得到了b 系，不同的 半群可得到不同的s 一系利用s 系的性质把握半群的特征，是本文的主要思想 半群的s 系理论其思想部分来自于群的群作用方法，部分来自于环的模论方 法半群的d 系方法，就是将半群的“内部特征”和半群的由作用效果即s 一系 范畴所反映的“外部环境”联系起来，即半群具有什么样的“内部特征”当且仅 当它具有什么样的作用效果 和环的模理论相比，半群的岳系理论内容更为丰富，问题更加困难尽管如 此，由于用半群的璺系理论，可以得到用半群的”理想、同余”方法所无法获得 的结果，所以国内外许多数学工作者利用该方法对半群进行了大量的研究，取得 了大量系统的研究成果，其中象r e n s h a w ，n o r m a k ，b u l m a n - f l e m i n g ，k i l p ，g o u l d 以及国内的宋光天博士、刘仲奎博士等人都在这领域的研究中获得了批得到 国际上该领域权威人士认可和好评的研究成果 所谓s 一系的同调分类问题，主要考虑这样的两类问题：( 1 ) 要使得所有 右b 系具有某种性质，幺半群s 应满足什么条件? ( 2 ) 要使得两种完全不同 的g 系的性质是致的，幺半群s 应满足什么条件? s 一系的同调分类问题是用半群的量系方法考虑的核心问题，关于该问题，目 前国际上已经有了许多丰富的成果，但也有许多迄今还没有解决的问题 1 9 9 8 年，b u l m a n - f l e m i n g 在文献f 8 】中对过去几十年的研究成果作了比较全面 的总结指出了几乎所有的未曾解决的问题其中，围绕强平坦性质，条件( p 】以 及挠自由性质的公开问题较多 兰州大学博士学位论文 2 0 0 1 年，谯文献【5 】和 6 】中，b u l m a n - f l e m i n g ，k i l p 和l a a n 利用拉回图 满燕豹蘩锌，瓣强乎瓣经蕨，条 孛尹) 避嚣了稚广，绘出了猿擞弱控躺孚坦， 弱k e r n e l 平坦，主弱k e r n e l 平坦以及平移k e r n e l 平坦性质，作为强平坦性质的 接广；绘窭了镶熟条转( w p ) ，条锌( p p ) 终必条锌固数推广。锌随鬻这些毅 性质的引入，许多与这些新性质相关的同调分撰问题也随之出域这些问题本身 菲霉鬟要，同对与这熙阔题摆哭约同调分类闽题的解决，也会为文献吲中问题 的解浚提供新的思路作者在文献【5 l 中，给出了弱拉回平坦，条件( p w p ) 以及 条件( w p ) 的镣价刻璐在文献1 6 中，作者给出了弱k e r r z e l 平坦，主弱k e r n e l 平垣，以及平移k e r n e l 平理的等侨翔磷同时，给出了所有右孓系满照上述性 质的幺半群的剡画，指出这种熬半群是群：给出了所有右r e e s 商系具有上述诸性 藏的幺半群藏溺，餐没有涉及遮些往袋与g 系鳃藤有酌毪蘼之闻藩丽满分类阚 题，这种问题，由于上谯诸多新性质的引入，将变得更为有趣和复杂比如：如何 刻蓬搿青挠垂蠹豹裹& 系灌最条薛f p ) 懿幺半群? 该簿惩迄今为壹还没骞被簿 决，珊在又在条件( p ) 和挠自由之间出现了新的性质( 条件( w p ) ，条件( p 形p ) ) 盘予妊蠢衮盛系f 镖嚣袁$ 系、露繇! 鼯薅系) 是弱拉匿乎毽f 弱k e r n e l 平 坦、主弱k e r n e l 平坦、平移k e r n e l 平坦) 的锝价刻画被给出；同时，幽于任意 右s 一系矮强舞g 系、右黜黜赛系) 满足篆传f p 彤功( 条转( p ) ) 鳃等徐刻 画也被给出，那么由上述诸性质与原有性质之间的关系( 见第二章第一节的介绍】 可知，接下来瓣闯题很自然地要考虑诸如下述这榉的闯题： f 1 ) 如何刻画使得所有满足条件( p w p ) 的右r e e s 商系是( 平坦系、弱平坦 系、主弱平坦系或者强平坦系) 的幺半群? ( 2 ) 如何刻画使得所有满足条件( w p ) 的右r e e s 商系是强平坦系( 满足条 件( p 1 ) 的幺半群? ( 3 ) 如何刻画使得所有主弱平坦的右r e e s 商系满足条件( w p ) ( 条件( p w p ) ) 的幺半群? f 4 ) 如何刻画使得所有主弱平坦的右r e e s 商系是拉回平坦系( 弱拉回平坦系、 弱k e r n e l 平坦系、主弱k e r n e l 平坦系以及平移k e r n e l 平坦系) 的幺半群? 本文在上述这样的背景下，主要考虑了上述新的性质与原有性质( 如强平坦性 质，条件( p ) ，平坦，弱平坦，主弱平坦和挠自由) 之间的同调分类问题除了关 注上述新性质的同调分类问题之外，我们也对原有的一些公开问题进行了研究， 改进了相关结果 2 兰州大学博士学位论文 1 2 研究的内容 本文所研究的内容，主要包括了与诸多新的性质相关的同调分类问题，这些新 的性质包括：弱拉回平坦，弱k e r n e l 平坦，主弱k e r n e l 平坦，平移k e r n e l 平坦 性质，条件f w p ) ，条件( p w p ) 以及我们所定义的作为条件( p ) 推广的新的条 件( p ) 同时，我们也研究了一些与原有性质相关的一些同调分类问题，具体说 来，主要包括以下的内容 我们给出了所有满足条件( p ) 的右b 系是强平坦系的幺半群的一些充分条 件，所得结果推广了b u l m a n - f l e m i n g 在1 9 9 2 年关于该问题的两个主要结果，同 时，与本人2 0 0 2 年关于该问题的研究结果相比，我们有例子表明，部分结果是其 推广，部分结果是全新的幺半群类 我们考虑了正则系。利用比右p p 幺半群更广的右p s f 幺半群，给出了所有 强平坦系是正则系的幺半群刻画如何给出所有强平坦系是正则系的幺半群刻画 曾经是一个公开问题，在文献【1 8 】中作者给出了这类幺半群的刻画，本文所得结 果，可以看作是对该公开问题的新的解决同时，我们也利用比右p s f 幺半群更 广的右p ( p ) 幺半群，给出了这类幺半群的一个充分条件 弱拉回平坦性质作为拉回平坦性质的推广，与诸多推广相比，该性质与拉回平 坦性质较为接近，而拉回平坦性质又是g 系的一类很重要的性质定义弱拉回平 坦性质的关键是条件( e 7 ) 的引入，所以我们研究了与条件( e ，) 相关的任意右s 一 系上的同调分类问题 我们考虑了与弱拉回平坦，弱k e r n e l 平坦，主弱k e r n e l 平坦以及平移k e r n e l 平坦性质，条件( w p ) ，条件( p w p ) 相关的同调分类问题 当占是左p s f 幺半群时，我们给出了所有平坦f 弱平坦，主弱平坦) 系满 足条件( p w p ) 的幺半群的刻画；当s 是左p s f 幺半群时，我们给出了所有 平坦( 弱平坦) 系是弱拉回平坦系( 弱k e r n e l 平坦系) 的幺半群的刻画；当s 是 左p s f 幺半群时，我们给出了所有平坦( 弱平坦，主弱平坦) 系是主弱k e r n e l 平 坦系( 平移k e r n e l 平坦系) 的幺半群的刻画作为上述结果的推论，在左p p 幺 半群类上，也有相应的结论成立 我们给出了所有满足条件( p w p ) 的右r e e s 商系满足条件( p ) ( 条件( p ) ) 的幺半群的刻画，给出了所有满足条件( p w p ) 的右p 2 e 8 商系是投射系f 拉回平 坦系、弱拉回平坦系) 的幺半群的刻画为了给出上述幺半群类的刻画，我们定义 3 兰州大学博士学位论文 了新的条件( + t ) 我们给出了所有满足条件( w p ) 的右r e e s 商系满足条件( p ) 的幺半群的刻 画；给出了所有满足条件( w p ) 的右r e e s 商系是投射系( 拉回平坦系、弱拉回平 坦系) 的幺半群的刻画；为了给出上述结果，我们定义了新的条件( + + + ) 我们给出了条件( p ) 的另一个推广，称之为条件( p ，) 1 平行于条件( p ) 的 右r e v e r s i b l e 幺半群的概念，我们定义了弱右r e v e r s i b l e 幺半群的概念当s 是 左p s f 幺半群时，我们给出了所有平坦( 弱平坦，主弱平坦) 系满足条件( p ，) 的 幺半群的刻画；我们给出了所有满足条件( p ，) 的右r e e s 商系满足条件( p ) ( 条 件( p ) ) 的幺半群的刻画；也给出了所有满足条件( p ，) 的右r e e s 商系是投射 系f 拉回平坦系、弱拉回平坦) 系的幺半群的刻画相应于前述的条件( + + + ) ，我 们定义了新的条件( s l ) 同时，相应于左s t a b l i z i n g 右理想和左a n n i h i l a t i n g 右 理想的概念，我们定义了新的强左s t a b l i z i n g 右理想和左 一a n n i h i l a t i n g 右理 想的概念，并用它们完整地刻画了上述的幺半群 我们考虑了挠自由系以及主弱平坦系众所周知，关于挠自由性质和主弱平坦 性质也有大量相关问题遗留着比如，如何刻画所有挠自由系满足条件( p ) 的幺 半群；如何刻画所有主弱平坦的循环右g 系满足条件( 尸) 的幺半群我们给出了 这些幺半群所满足的一些必要条件，利用这些条件，可以很容易地给出这类幺半 群在一些特殊半群类f 比如正则半群，周期半群) 上的刻画 1 9 9 0 年，b u l m a m f l e m i n g 和m e d o w e l l 利用平坦性质和条件( p ) 对右可消幺 半群作了刻画( 在原文中相应于左s 系是左可消幺半群，这里为统一，写作右可 消幺半群，指的是对右口系而言) ，在本文中，利用几乎所有的新的性质( 如弱 拉回平坦，弱k e r n e l 平坦，主弱k e r n e l 平坦以及平移k e r n e l 平坦等) 对这类幺 半群作了多方面的刻画 运用我们所得的结果，许多从原有的性质，如强平坦性质，条件f p ) ，平坦性 质，弱平坦性质，主弱平坦性质以及挠自由性质所推出的重要结果，都成为我们 的推论 最后需要指出的是，半群的口系方法已有了相当长的研究历史，虽然已出现 了大量系统的研究成果，但还有许多问题遗留着，这些问题的解决，将会更进一一 步推动半群理论的发展，而要解决这些问题，尚需半群界的共同努力 4 燕州大学博士学位论文 第二章关于强平坦性 2 1 基本概念与攀实 本文所用的记号，若无特别说明，均和文献【l 】中的记号一致同时为了前后 叙述的统一，所有引用的以左s - 系形式给出的结论，都改为右g 系的形式，二 者从本质上是一样的本节的基本概念和事实，主要取自文献( 1 1 、【5 】和 6 1 ，设s 是幺半群，1 为其单位元，e ( s ) 是s 的所有幂等元的集合，表示自然数集 非空集合a 称为右s 系，通常记作a s ，如果s 右作用于a 上；换言之，存在映 射a s a ，( a ，s ) hn s ，使得对任意的a a ，8 ，t s ，有( a s ) t = a ( s t ) 以及 a 1 ：o 成立可类似地定义左g 系下文为了简便，除了一些特别的需要外， 我们总是把右b 系a ，直接记作右岳系a 设a 是右s 系，且是左b 系，作卡氏积a b 令 h = ( ( n s ，b ) ，( o ，8 ) i n a ，b b ，8 s 记p = p ( h ) 为由h 生成的a x b 上的最小等价关系，称商集a b p 为a 和b 的张量积，记为4 0 b 对任意的a a ，b b ，( o ，b ) 所在的等价类记为a b 显然对任意的a a ， b b ，8 s ，口s 固b = s 6 ， 由文献f 1 1 ，我们先给出s _ 系的一些基本概念的等价刻画或定义，它们在证明 中要被经常用到 命题2 1 1 1 1 1 设a 是右昌系，则a 是平坦的当且仅当：对任意的左墨系 b ，任意的a ，a a ，任意的b ，b b ，着在aob 中有aob = 0 7 固矿，则 在a ( s 6 u s b ) 中有a b = a 定义2 1 2 【1 】称右s 系 是弱平坦的，如果对于s 的任意左理想j ，映射 以 ，一a 圆s 是单的称右口系a 是主弱平坦的，如果对于s 的任意主左理 想，映射a ，一a o s 是单的 定义2 1 3 1 1 】设a 是右g 系，称a 是挠自由的，如果对于任意的a ，b a ， 任意的右可消元s s ，若( 1 8 = b s ，则口= b 在文献 2 中，s t e n s t r s m 称右b 系a 是强平坦的，如果函予a o 一保持拉 回图和均衡图s t e n s t r s m 实际上证明了右岳系a 是强平坦的当且仅当a 满足 异 兰州大学博士学位论文 下述的条彳牛( p ) 和条件( 西) ： ( p ) ( v 8 ，i a ) ( vs ，s s ) ( 聪8 = 8 s 7 令( jd ”a ) ( 1 缸，w s ) ( ( e )( va a ) ( vs ，8 7 s ) ( o s = a 8 t l a o 一 a 钒s = s ) ) = ( 3 a a ) ( 习牡s ) ( o = n “au 8 = u ) ) 在文献3 1 中b u l m a n - f l e m i n g 证明了事实上右口系a 是强平坦的当且仅当 函子a 一仅保持拉回图即可，所以强平坦也称为拉回平坦 在文献 4 】中，l a a n 提出了条件( 0 ) ，作为拉回平坦概念的推广，证明了右s 一 系a 满足条件( o ) 当且仅当a 满足条件( p ) 和下述的条件( e ) ： ( e )( v 吐a ) ( v8 ，s ，名s ) ( a s = a s a8 z ；s 。z = 亭( | o a ) ( 了让s ) ( o = a a a u 8 = 仳s ) ) 由于条件( 0 ) 恰好介于拉回平坦和条件( p ) 之间，所以在文献 5 】中被正式称 为弱拉回平坦 从弱拉回平坦的定义可以看出，该概念的出现，主要是通过推广众所周知的条 件( e ) 来实现的，所以对条件( ) 的研究，很自然地成为一个重要的问题本章 的第四节就考虑了条件( 占7 ) 的同调分类问题在文献f 5 】中从拉回图的角度，对 弱拉回平坦的概念给出了定义，为更好地说明这一点，我们先介绍下面的概念 设s m ，s n ，8 q 分别是左b 系，若有左口系及左g 同态构成的图： 。m ( ) 左s 一系s p 以及左s 一系的同态o ：s p - s m ，卢：s p _ + s n 称为上图的拉 ( 1 ) 下图交换： s p 三s m 卢ij， ” 兰州大学博士学位论文 ( 2 ) 对于任意交换图 s n s q 夕 存在唯一的同态h ：s w ，8 p ，使得下图交换： s 仰7 s m ，( p ， s n s q 口 容易证明，拉回若存在，在同构的意义下唯一 令s p = f ( m ，n ) s m x s n i ，( m ) = 9 ( n ) ) ，定义p l ：s p s m 为p l ( 。，”) = z ；p 2 ：s p 。s 为p l ( x ，y ) = y ，那么下图是交换图 ( p 2 ) 我们一般把左s - 系范畴中的该交换图记作p ( 蛆n , f , g ，q ) 所以，一般总是 把上述s p 连同p - ，他看作是图( + ) 的拉回用任意的右s - 系a s 就图( p 2 ) 作张 7 m 一 j 兮 一 一 p l扩叫 兰州大学博士学位论文 量积，就会产嫩集合范畴中的下述交换煳 a s s p i d a p 2 l j a s s n i d a p l i d a o g a s s m l l i d a o ，( p 3 ) i a s o s q 若我们记p ，= ( o m ，一o n ) ( a s o s m ) ( a s o s n ) in o ，( m ) = 0 9 ( 钆) ) ， 若p i 和癌类似于上述的p l ，p 2 那样作为投影的限制，则p 连同上述的硝，西看 作是图( p 3 ) 的拉回那么由拉回的定义，存在唯一的映射妒：a s s p p 使 得下图交换 a s o s m l i d a o ， l l a s s _ - _ 一a s s q 2 d a 圆g 对任意的a a s ，( m ，n ) s p 这里映射妒的定义为 妒( n o ( m ，札) ) = ( a m ，a o 竹) 该映射称为相应于拉回图p ( m ，g ，q ) 以及右口系a s 的映射 称张量函子a0 一保持拉回，一般指的是相应于左g 系范畴中任意拉回 图p ( m ，n ，g ，q ) 的映射妒是双射 在文献【3 】中证明了右口系a 满足条件( p ) 当且仅当相应于左g 系范畴中 任意拉回图p ( j 】l t ，g ，q ) 的映射妒是满射 因为条件( p ) 推出平坦，所以自然要问，能否通过减弱上述的条件妒，或者仅 考虑特殊类型的拉回图，从而给出平坦性质及其推广， 8 兰州大学博七学位论文 在文献f 5 】和文献f 6 】中，作者通过系统地改变上述妒的条件以及拉回图的类 塑，不毽毅霉了众疑周期憋一些半埋性矮援拉毯瀚灼刻磷，薅曼定义了一些囊豹 平坦性质 对拉回图的类型的改变，主要包括以下几个方面： ( 1 ) 使拉回图中的f ，g 有相同的定义域或者值域s ( 2 ) 要求相同的定义域仅仅是s 的一个( 主) 左理想，或者左岳系s s 本身 ( 3 ) 仅考虑，= g 的拉回图( 在范畴理论中称为k e r n e l 对，参见文献| 7 】) ( 4 ) 考虑单同态的k e r n e l 对 原有的平坦性质，包括：拉回平坦( 强平坦) ，条件( p ) ，平坦，弱平坦，主弱 平坦，挠自由等性质，这些性质用拉回图刻画如下： 命题2 1 4 n 右系a 是挠自由的当且仅当对左g 系的任意单同态! ： s s s s ，相应于拉回图p s ，f ，f ，s ) 的映射妒是满射 命题2 1 5 n 右s 系a 是主弱平坦的当且仅当对任意的8 s ，任意的左s _ 系的单同态j ：s ( s s ) 一s s ，相应于拉回图p ( s s ，s s ， ， ，s ) 的映射妒是满射 命题2 , 1 6 n 右b 系a 是弱平坦的当且仅当对s 的任意左理想，任意的 左s 系的单同态c ：s i - + s 只相应于拉回图p ( i ，i ，z ，f ，s ) 的映射妒是满射 命题2 1 7 n 右b 系a 是平坦的当且仅当对左岳系的任意单同态f ：s m ， s 0 ，相应于拉回图p ( m m ，z ，q ) 的映射妒是满射 命题2 1 8 【5 l 设s 是幺半群，a 是右s 一系，那么下述条件等价： ( 1 ) 对左s 一系的任意拉回图p ( m ，n ，g ，q ) ，相应的映射l p 是满射 ( 2 ) 对左口系的任意拉回图p ( m ，m ，g ，q ) ，相应的映射妒是满射 ( 3 ) 对s 的任意左理想，对左p 系的任意拉回图p ( i ，i ，1 9 ，s ) ，相应的映 射l p 是满射 ( 4 ) 对任意的s s ，对左s - 系的任意拉回图p ( s s ，s s ，9 ，s ) ，相应的映射妒 是满射 ( 5 ) 对左g 系的任意拉回图p ( s s g ，s ) ，相应的映射妒是满射 ( 6 ) 对左系的任意拉回图p ( m ，m ， q ) ，相应的映射妒是满射 ( 7 ) a 满足条件( 印 命题2 1 9 1 5 1 设s 是幺半群，a 是右s 一系，那么下述条件等价： 9 兰州大学博士学位论文 ( 1 ) 对左g 系的任慧拉回图p ( m ，n ，g ，q ) ，相应的映射c p 是双射 2 ) 对左g 系戆强意拉回躅产( 甄托支g ，妫，耜瘟的竣射妒是双射。 ( 3 ) a 满足条件( p ) 和条件( e ) ， 文献3 1 中定义了条件( p f ) ，并且证明了任意右s 一系a 满足条件( p f ) 当 且仅当a 满足条件( p ) 和条件( e ) 文献【4 】中给出了下述的条件( p f ，) ，作为条 件( p f ) 的推广 ( p f ，)( vn ，n a ) ( vs ，s ，t ，名，叫s ) ( s z = t w a 8 1 2 = t w a a s = a i s a a t = a t ： ( | n ”a ) ( | “， s ) ( o = a u a n = a v a “s = u s 7 a u t 盯t ) ) 命题2 1 1 0 5 设s 是幺半群，a 是右口系，那么下述条件等价： ( 1 1 对s 的任意左理想f ，对左s - 系的任意拉回图p ( z ，i ，g ，s ) ，相应的映 射妒是双射 ( 2 】对任意的s s ，对左璺系的任意拉回图p ( s s ，s s ，g ，s ) ，相应的映射l p 是双射 ( 3 ) 对左g 系的任意拉回图p ( s ，s ，g ，s ) ，相应的映射妒是双射 ( 4 ) a 满足条件( p f m ( 5 ) a 满足条件( p ) 和条件( f ，) 命题2 1 1 1 f 5 】设s 是幺半群，a 是右口系，那么下述条件等价： ( 1 ) 对任意的s s ，对左g 系的任意拉回图p ( s s ，s s ，g ，s ) ，相应的映射妒 是满射 ( 2 ) 对左岳系的任意拉回图p 慨s ，7 9 ，s ) ，相应的映射妒是满射 ( 3 ) ( va ，a r a ) ( vt s ) ( o t = a t = ( | a ”a s ) ( 3 珏，u s ) 0 = a i i ? z a = 。” au t = t ) ) 定义2 1 1 2 i s 若右口系a 满足命题2 1 ，1 1 中的条件，称右系a 满足条 件( p 尸) 定义2 1 1 3 n 称右系a 满足条件( w p ) ，如果对s 的任意左理想，对 左b 系的任意拉回图p ( i ，i ，s ) ，相应的映射妒是满射 定义2 1 1 4 n 称右g 系a 是弱k e r n e l 平坦的，如果对s 的任意左理想， 1 0 兰州大学博士学位论文 对左s - 系的任意拉回图p ( z ，i ，s ) ，相应的映射妒是双射 定义2 1 1 5 6 】称右b 系a 是主弱k e r n e l 平坦的，如果对任意的8 s ，对 左s 一系的任意拉回图p ( s s ，s s ，f ，1s ) ，相应的映射妒是双射 定义2 1 1 6 6 称右s 一系a 是平移k e r n e l 平坦的，如果对左璺系的任意拉回 图p ( s ，s ，f ，f ，s ) ，相应的映射妒是双射 由上述定义以及文献【6 】，我们知道，所有已经有的性质和定义的新的性质之 间的递推关系，可以用下述引理的形式写出来 引理2 1 1 7 6 对任意的右d 系，我们有下述的递推关系 拉回平坦番弱拉回平坦= 号弱k e r n e l 平坦 主弱k e r n e l 平坦净平 移k e r n e l 平坦：辛条件( p w p l 毒主弱平坦葺挠自由 拉回平坦= 号弱拉回平坦= = 条件( p ) 争条件( p ) = ：争条件( p w p ) = = 争 主弱平坦= 号挠自由 拉回平坦爿弱拉回平坦两条件( p ) 哥平坦号弱平坦与主弱平 坦 挠自由 下图则对该递推关系给出了更为清晰和直观的表达 1 ) 以及 仳l ，u 1 ，钍2 ，u 2 ，一一，仳t i ，u n s ，a l ，a 2 ，一，a n a ，使得 1 s = v l t 0 2 g l u l 2g l v l 乱2 n 1 = v 2 v l0 1 = 0 2 2 = a 2 吨 ( 牛) u n 一1 = 一1 a n 1 2a n u n 2o n 一+ ) 并且n 。一1 ， 。一1 f ( s ) ( 3 ) a 满足下述条件： 对任意的s ，t s ，a ，如果a 8 = 耐，则必存在自然数n n ( n 1 ) 以 及u 1 ， 1 ，u 2 ，吨，s ，9 1 ，a 2 ，a a ，使得 t 正1 s = v l t0 = 0 l 钍l = 0 l ”l u 2 u l = 吨 1l = 0 2 让2 = g 2 地 ( ) u n 一l 一1一13a n u n 2a n u n ( 丰木) 并且u 。= 定理2 2 3 设s 是幺半群若s 满足下述条件：存在k n ，对任意的无穷序 列( s 1 s 2 ，s 。，) ，其中氐趴 1 ) ，i = 1 ，2 ，总存在礼m k ) 使得 等式s n 一1 s 女+ l s 2 8 一l 8 l = 8 n 8 n 一1 s 女+ l 讯s k 一1 s 1 成立那么每一个满 足条件f p ) 的右g 系是强平坦的 证明假设a 是一个满足条件( p ) 的右g 系，对任意的u l ，饥s ，a 1 a ，如 果a l u l = a l 口l ，则由引理2 2 1 ，必存在“，佻s ，a i a ，i = 2 ，3 ，使得 t 2 牡l = v 2 v la l = 0 2 t 2 ；a 2 吨 钍3 仳2 = u 3 v 2a