（系统分析与集成专业论文）关于含有经济因子的最优投资和消费的若干随机控制模型.pdf

2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 i 摘要 近年来，最优投资和消费模型受到越来越多的人的重视。经典的 最优消费和证券选择问题又称me r t o n 问题，该问题假设投资者拥有两 种可供选择的资产一风险资产( 如股票) 和无风险资产( 如储蓄、债券) 。 投资者通过构造由这两种资产组成的证券组合使自己的财富增加，并通 过消费这些财富使自己的效用最大化。 本文的工作涉及到风险敏感性控制，c e v 模型以及随机波动，主要 包括以下三点： ( i ) 在第三章里，我们考虑最优投资模型，这个模型的目标是把财富预期 效用的长期增长率最大化，其中证券平均收益和波动率明确地受经济因 子的影响。效周函数是h a r a ，问题重新表述为无限期的风险敏感性控 制问题，我们研究这个控制问题的动态规划方程且得到一些最优投资的 结论。最后我们采用推广的v a s i c e k 利率模型来解释我们的投资模型。 ( i i ) 在第四章里，假设股票的价格遵循c e v 过程，经济因子满足两个相 互独立的布朗运动，运用风险敏感性随机最优控制理论得到新的结论， 最后对于简化的模型，我们碍到最优长期增长率的解析解。 ( i i i ) 在第五章里，在连续时间模型假设下，研究风险资产价格服从一个 带有随机波动的几何布朗运动的最优消费和投资问题。首先建立了最优 消费和投资问题随机最优控制数学模型；然后运用随机最优控制理论， 得到了最优投资和消费随机最优控制问题的值函数所满足的线性抛物 线偏微分方程和非线性抛物线偏微分方程。 关键词风险敏感性；随机最优控制；随机波动；长期增长率；常量 方差弹性。 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 i i a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s m o r ea n dm o r ep e o p l eh a v ea t t a c h e dm o r ei m p o r t a n c et oo p t i - m a li n v e s t m e n ta n dc o n s u m p t i o nm o d e l s c l a s s i co p t i m a lc o n s u m p t i o na n dp o r t f o l i o c h o i c ep r o b l e m sw e r ec a l l e dm e r t o np r o b l e mi nw h i c hw ea s s u m ei n v e s t o r sh a v et w o a s s e t st oc h o o s e ：r i s k ya s s e t ( s t o c k ) a n dr i s k l e s sa s s e t ( s a v i n g s ，b o n d ) b yc o n s t r u c t i n gc o m b i n a t i o n o ft h e s es t o c k sw h i c hi sc o m p o s e db yt h o s ea s s e t s ，t h ei n v e s t o r sc a n g a i nt h e i rw e a l t h ，a n dm a x i m i z e t h e i ru t i l i t yb yc o n s u m i n gt h e i rw e a l t h t h ea u t h o ro ft h i sp a p e rm a i n l yd e a lw i t hr i s ks e n s i t i v ec o n t r o l ，c e vm o d e l a n ds t o c h a s t i cv o l a t i l i t yi n c l u d i n gt h r e ef o l l o w i n gj o b s ： ( i ) i nt h et h i r dc h a p t e r o ft h i sp a p e r ，w em a i n l yc o n s i d e ra no p t i m a li n v e s t m e n t m o d e li nw h i c ht h eg o a li st om a x i m i z et h e1 0 n g - t e r mg r o w t hr a t eo fe x p e c t e d u t i l i t y o fw e a l t h i nt h em o d e l ，t h em e a nr e t u r n so ft h es e c u r i t i e sa n dv o l a t i l i t y a r ee x p l i c i t l ya f f e c t e db yt h eu n d e r l y i n ge c o n o m i cf a c t o r s t h eu t i l i t yf u n c t i o ni s h a r a t h e p r o b l e m i sr e f o r m u l a t e da sa ni n f i n i t et i m eh o r i z o nr i s k s e n s i t i v ec o n t r o l p r o b l e m w es t u d yt h ed y n a m i cp r o g r a m m i n ge q u a t i o na s s o c i a t e dw i t h t h i sc o n t r o l a n dd e r i v es o m ec o n s e q u e n c e so ft h ei n v e s t m e n tp r o b l e m a tl e n g t hw ea d o p ta n e x t e n s i o no fv a s i c e kr a t ep r o b l e mt oe x p l a i no u ri n v e s t m e n tm o d e l ( i i ) i nt h ef o u r t hc h a p t e ro ft h i sp a p e r ，s u p p o s et h es t o c kp r i c ef o l l o w st h e c o n s t a n te l a s t i c i t yo fv a r i a n c e ( c e v ) p r o c e s s ，w ea s s u m et h a te c o n o m i cf a c t o rs a t i s f ，t w om u t u a l l yi n d e p e n d e n tb r o w nm o t i o n ，a p p l yr i s ks e n s i t i v es t o c h a s t i co p t i m a l c o n t r o lt h e o r yt og a i n i n gn e w r e s u l t s f i n a l l yw eo b t a i ne x p l i c i ts o l u t i o no fo p t i m a l l o n g t e r mg r o w t hr a t ef o rs i m p l i f i e dm o d e l ( i i i ) i nt h ef i f t hc h a p t e ro ft h i sp a p e r ，u n d e rt h ea s s u m p t i o nc o n t i n u o u s t i m e m o d e l ，t h i sp a r tr e s e a r c h e st h eo p t i m a lc o n s u m p t i o na n di n v e s t m e n td e c i s i o np r o b l e i nw h e nt h er i s ka s s e t s p r i c e sf o l l o wg e o m e t r i cb r o w nm o t i o nw i t hs t o c h a s t i c v o l a t i l i t y f i r s t ，t h es t o c h a s t i co p t i m a lc o n t r o lm o d e lf o rt h eo p t i m a lc o n s u m p t i o n a n di n v e s t m e n td e c i s i o np r o b l e mw a se s t a b l i s h e d t h e nt h el i n e a rp a r a b o l i cp a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o na n dt h en o n l i n e a rp a r a b o l i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nw e r e o b t a i n e df o rt h ev a l u ef u n c t i o nb y u s i n gs t o c h a s t i co p t i m a lc o n t r o lt h e o r y , k e y w o r d s ：r i s k s e n s i t i v e ，s t o c h a s t i co p t i m a lc o n t r o l ，s t o c h a s t i c v o l a t i l i t y ，l o n g t e r mg r o w t hr a t e ，c o n s t a n te l a s t i c i t yo fv a tl a n c e 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表 或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：塑i 鳖遣日期型堕兰：1 2 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有j 汉保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可 以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：型i 堂建：导师签名：期：型竺垡尘兰7 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 第一章前言 1 1 金融数学和证券投资组合的历史背景和现状 近年来，由于金融理论的长足进展、现代信息技术的飞速发展以及金融市场 的动荡，金融创新步伐日益加快，新的金融产品、金融服务业在市场上层出不穷 资金的流动也显著加快。金融市场运行的规律、资产的定价、风险管理以及投资 决策分析显得空前重要，这些问题是现代金融理论与实践中的核心问题 由于所研究问题的复杂性，单纯的描述方法已不适应现代金融学研究的需要 现代金融学已从单纯的描述型学科转化变成分析型学科( 通过建立证券市场的数 学模型，研究其运行规律) ，并正在向工程化阶段转变。人们把研制、开发和实施新 型金融产品的科学称为金融工程( f i n a n c i a le n g i n e e r i n g ) 而把相应的数学上的建 模、分析、计算称为金融数学( m a t h e m a t i c a lf i n a n c e ) 金融工程是金融创新实现的 手段，金融数学是金融工程的基础，并促使金融工具不断创新1 9 9 7 年的n o b e l 经 济学奖授予了美国的两位金融学家r o b e r tc m e r t o n 和m y i o n s 以表彰他们在数 学金融学方面的杰出贡献这使得近年来人们关注的数学金融更加引人感兴趣 数学在现代金融学的定量研究中起关键的作用p a u la s a m o e l s o n 1 1 在为 r o b e r tc m e r t o n 的名著c o n t i n u o u s t i m e f i n a n c e 2 l 作序时写道：“把默顿推向拜 伦式显赫曲支杆就是维纳和伊藤的连续概率的数学工具，曾是复杂的近似一下子 变成了漂亮且简单的真理”。 现代数学金融学是指在金融经济学中大量应用金融数学研究金融风险的防范 与控制、资本市场的运营、资本资产的结构和定价等理论取得的成果金融数学 是指以概率统计和泛函分析为基础，以随机分析和鞅理论为核心的数学理论现 代金融理论是伴随着金融市场的发展而不断成熟起来的金融市场是指债券、基 金、股票、期货和期权等金融证券市场。现在，让我们来简单回顾一下现代数学 金融学的历史。1 9 0 0 年法国的l o n i s b a c h e l i e r 发表了他的博士论文* t h d o r i cd e l a s p e c u l a t i o n ” 3 】( 投机理论) ，它宣告了数学金融学的诞生值得注意的是，这也是 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 2 第一次给予了b r o w n 运动以严格的数学描述然而，b a c h e l i e r 的工作没有引起金 融学界的重视达5 0 多年。5 0 年代初，p a u la s a n m u e l s o n 通过统计学家i j s a v a g e 重新发现了b a c h e l i e r 的工作。这实际上标志着现代金融学的开始【4 5 0 年代末 到6 0 年代初，数学金融掀起过一个高潮。最有影响的工作当数h m a r k o w i t z 提出 的投资组合理论，1 9 5 2 年，他在 ( p o r t f o l i os e l e c t i o n j o u r n a lo f f i n a n c e l 9 5 2 v 0 1 7 ) 一文中，第一次从风险资产的受益率与风险之问的芫系出发，讨 论了不确定经济系统中最优资产组合的选择问题，获得了著名的基金分离定理， 为资产定价理论奠定了坚实曲基础，应该说，马科维茨的资产组合均值方差理论 既是现代资产组合理论的奠基石，也是整个现代金融理论的莫基石而在这之前 的金融学通常以定性研究为主，很少有精致的定量分析1 9 9 0 年n o b e l 经济奖授 予马科维茨、夏普( w s h a r p e ) 静米勒( m m i l l e r ) ，奖励他们在金融经济学中的 先驱工作，他们的得奖工作一马科维茨的投资组合理论、夏普的资本资产定价理 论和米勒的公司财务理论都是非常数学化的( 5 1 投资组合理论( p o r t f o l i oi n v e s t m e n tt h e o r y ) 是随着证券市场的发展成熟而提 出来的证券的起源是从中世纪后期意大利的威尼斯，热那亚等城市发行军事公 债开始的。为了筹集军饷，当时政府利用发行军事公债变相地征税，进入1 9 世纪 后，随着国家机构的扩大，费用支出不断增加，且工商业的迅速发展需要大量的资 金，债券才真正作为资本主义国家筹措资本的方式出现。证券市场在本世纪初得 到了极大的发展，为此，投资者们开始寻找对有风险证券进行定价和预测未来价 格的方法。欧美发达国家在7 0 年代末之前盛行着两种传统的投资分析法，即c 。技 术分析法”和“基础分析法”技术分析法最基本特征是它认为唯有某一证券过去 的价格历史数据中才包含着该证券未来价格变化的信息，技术分析专家们只要埋 头于股价历史数据所画出来的曲线图中就可以进行预测。基础分析法则强调股份 公司基本财务因素比率的重要性6 1 6 。 近年来对数理金融和证券投资的研究工作进行得热火朝天，许多工作者把数 学在金融方面的应用作了进一步的推广。下面主要介绍含有随机波动的最优投资 模型。我们考虑有限期 o ，t 】由一个无风险债券和n 个含有随机波动鲍风险资产组 成的投资模型。债券s o 的价格过程满足以下微分方程。 d s = r 文d t 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 3 其中r r 是利率。n 个风险资产s 满足以下随机微分方程： d s t = d i a g ( s t ) ( b ( y t ) d t + 口( 妖) d 既+ 厅( k ) d 眠) ( 1 2 ) 其中y t 是经济因子，且满足以下随机微分方程： d m = q ( y t ) d t + d w t 其中w 和彬分别是相互独立d 维和i l l 维的布朗运动，d i a g ( s ) 表是对角线的元 素是争的n n 维矩阵矗扎值函数b ，n xd 维矩阵值函数a 舜口n m 维值函数亏 都是连续的。 我们考虑一个投资者在任意时刻t o ，t 】投资于第i 种风险资产研占他总财 富的份额为“i ，i = l ，n 且毗= ( “ ，“) + 则投资于债券的占总财富的份额 为l 一“；e 。其中e 。表示全是1 的n 维列向量，假设投资是自融资，则财富过程 咒满足以下随机微分方程： 豳= 托；d i a g ( s t ) 一d s t + x t ( 1 一“；e n ) 弩 = 瓦 ( r + u ；t t ( y t ) ) d t + ；口( k ) d i 讥让；矛( k ) d 诃】 在这些状态方程满足一定的假设下，目标是实现终期财富的预期效用的最大 化，下面给出一般的目标函数： v ( t ，z ，1 ) = s u p e u ( x r ) i x t = 。，y t = 引，( 1 4 ) ( t ，z ，) 【0 ，t 】r + xr “ 对( 14 ) 式运用动态规划原理，得到以下的h j b 方程； 缸骞黝剽i 岛e ( y y ) * u 黔嘶嘣：0 s ， + ：訾譬心+ 卢( f ) 。器+ 1 2 甓警a ( 们x 珑，叫= 、。 然后对上述的h j b 方程的性质进行分析，许多2 - 作者得到很好的结论，对上述偏 微方程只能求其数值解。其实这个框架是默顿的最优投资模型的延伸接下来我 们介绍风险敏感性的随机控制模型，通过对数变换技巧，风险敏感性问题等价于 具有遍历性的成本准则的随机控制问题，背景的参考文献为 7 8 1 1 9 ，关于风险敏 感性的深入研究请参考【l o 】我们首先考虑受控的马氏扩散过程，假设满足一下 随机微分方程： d x t = ，( 钆，u t ) d t 十9 ( 。c ，毗) d w 。o = z( 16 】 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 4 传统的随机控制目标是把一些准则z 的期望日( z ) 进行最优化( 最大化或最小化) 在风险敏感性控制里，目标是把e u ( ) 】进行最优化，以下有些效用函数u 是非 线性的，且u ( z ) d ，ju ”( 刁l 0 ，这里主要考虑效用函数是指数函数； u ( z ) = e ，芦0( 1 7 ) 其中p 或正或负。我们考虑z = g ( x t ) 仅依赖最终时刻t 的状态x t ，具有一般 效用函数f 的风险敏感性问题可归结为p = 1 的指数形式。甚至有， e f f ( z ) 】= e p ( g 国丁) ) 】= e e x p 司， 2 = l o g f ( g ( x t ) ) 现在我们来考虑以下风险敏感性随机控制问题。寻找一个控制策略u 使以下目标 函数最大化 j z ”) = e e x p , u o 三，h 。) d t l ， ( 18 ) 我们假设函数f , g 具有一阶连续导数厶，凡，g 。，g u 且有界，l 也是连续有界 函数，且满足一些常数c ，k 1 l ( x ，u ) jsc ( 1 + h 4 - i “l ) 设( z ，t j 满足价值函数： 咖( 。，t ) = s u p 3 ( x ，t ，“) 为了得到正式地关于庐动态规划方程，我们首先使用以下乘法动态规划原理对 0 o ( 1 1 6 ) 假设9 ( 。) = 9 是常数，o = g g 是非奇异的而且假设u 是紧的，l ( 。，u ) 有上界， k ( z ，u ) 有界。a ，( z ) 满足( 1 1 3 ) 式且v w 有界的存在性已经被口证明，唯一 性被口证明通过使用可测选择定理，我们能够得到布雷可测r ( ) 使得： 丝+ ( z ) d r 9 蚴陋( 让) 可w 7 ( g ) + l ( z ，珏) 一 u t u ( 1 1 9 - ) 式中的最优指数增长率的控制策略能够被检验 如果肚 0 ，( 1 1 4 ) 武中的m a x 变成z n i n ， h ( ，p ) = h j 舁【，( 。，“) p + l ( 。，“) ) q t u 在遍历成本控制问题下，控制饥把( 1 1 5 ) 式中的目标了最小化 1 2 研究证券组合投资的意义 证券金融市场的风险管理是个永恒的话题，投资者都想寻求收益回报，但又 必须面对各种各样的可能损失，市场到底存在哪些风险，如何确定风险的大小， 如何才能实现收益最大化和风险最小化，历来都是人们关注的焦点和难点人们 发现，投资者手中持有各种不同风险的证券即投资组合，可以减轻各种风险带来 的损失自从1 9 5 2 年美国学者马克维茨运用概率论和规划论的方法创立证券组合 理论以来，市场风险的神秘色彩逐渐淡化，不再变得那么可怕和不可驾驭马克 维茨组合理论的立足点是全面考虑期望收益最大和不确定性( 即风险) 最小它通 过总结投资损失的概率分布和可能收益的偏差程度( 即统计学上的方差) ，发现投 资者应该同时按适当比例购买各种证券而不是一种证券，进行分散化投资，其收 益才尽可能是确定的通过数量分析得出的这种结论，迎合了投资者规避风险的 需要随着量化研究的不断深入，组合理论及其实际运用方法越来越完善，成为 现代投资学中的交流工具但马克维茨组合理论中的许多假设条件无法满足，使 其在现实中失效为了克服这一困难，后来发展了基证券金融市场的风险管理是 个永恒的话题，投资者都想寻求收益回报，但又必须面对各种各样的可能损失， 市场到底存在哪些风险，如何确定风险的大小，如何才能实现收益最大化和风险 最小化，历来都是人们关注的焦点和难点。人们发现，投资者手中持有各种不同风 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 7 险的证券即投资组合，可以减轻各种风险带来的损失。自从1 9 5 2 年美国学者- 5 克 维茨运用概率论和规划论的方法创立证券组合理论以来，市场风险的神秘色彩逐 渐淡化，不再变得那么可怕和不可驾驭- - 5 克维茨组合理论的立足点是全面考虑 期望收益最大和不确定性( 即风险) 最小它通过总结投资损失的概率分布和可能 收益的偏差程度( 即统计学上的方差) ，发现投资者应该同时按适当比例购买各种 证券而不是一种证券，进行分散化投资，其收益才尽可能是确定的。通过数量分 析得出的这种结论，迎合了投资者规避风险的需要随着量化研究的不断深入， 组合理论及其实际运用方法越来越完善，成为现代投资学中的交流工具但马克 维茨组合理论中的许多假设条件无法满足，使其在现实中失效为了克服这一困 难，后来发展了基于神经网络的证券优化算法 1 5 】 证券投资是把资金用于买卖股票或债券等有价证券，为获得年终红利或者利 息以及市场价差收入的一种投资行为。由于投资证券常会得到离于银行存款利率 的高额回报，所以证券投资对广大投资者具有较大吸引力但是由于整个国家或 社会宏观经济状况的波动，企业经营业绩的起伏，利率的变化，税率的调整以及战 争爆发，自然环境的恶化等因素，证券的收益相对于其他种类的投资来说，具有 更大的不确定性，这种不确定性就产生了证券投资的风险所以，采用恰当的投 资策略，尽量降低风险并保证较高收益，就是投资者进行证券投资是否能取得成 功的关键多种证券组合投资是防范证券投资风险、保障一定收益的有效方法 如何确定投入各种证券的资金比例，使得风险与收益这两个目标同时达到最优或 者最满意的状况，这便是投资决策的核心内容 按证券组合理论，证券市场上的投资风险可以分为两大类：系统风险和非系 统风险。其中系统风险是指政治、经济、社会环境的变动影响证券市场而带来的 全局性风险。如因通货膨胀引起的使固定收支款项购买力下降给投资带来的损失 而产生的购买力风险；由于证券价格变化可能造成的资本损失带来的市场风险； 新发行证券现行利率所引起的本金损失所带来的利益风险等。而非系统风险是指 _ t - 人罢工、经营失误、消费者偏好变化、资源短缺等影响个别企业所产生的非全 局性风险。它包括企业融资尉- - 7 能造成的税前投资报酬率低于借款、债券利率给 企业的净利造成额外损失因而带来的财务风险；企业在竞争中失败，投资者不能 从企业取得盈利因而给投资者带来的经营风险。系统风险不能通过简单多样性来 减少，而非系统风险随着证券组合中基本证券数目的增加而下降这是因为在证 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 8 券组合中公司收益率的非系统风险部分是彼此独立变化的，但基本证券数目进一 步增加并不能继续显著降低非系统风险，因此研究证券组合的最优投资是积极现 实意义的。 在预期风险投资受益及其波动率的方差相同的基础上，风险规避程度不同的 投资者会做出不同的投资策略。风险敏感性是指随着风险规避程度变化而使投资 策略改变的程度目前主要从两个方面研究风险敏感性：一是影响投资者风险敏 感性因素 1 6 17 ；二是在不同风险敏感性下的问题最优控制【l 8 19 】 2 0 】。关于风 险敏感性最优控制，大都是只研究风险规避、风险中性和风险偏好不同的投资决 策问题，尚未见有关风险规避程度连续变化时确定最优投资策略问题的报道事 实上，投资者的风险敏感性是变化的 1 7 】，风险敏感性程度不同的投资者，其投 资方向也明显不同。因此，研究风险敏感性程度不同投资者的投资行为具有重要 的现实意义f 2 1 1 。 1 3 本文的主要工作 投资问题近年来是研究的热点，研究的工具也五花八门应用到数学工具主 要是以概率统计和泛函分析为基础，以随机分析和鞅理论为核心的数学理论本 文主要是在运用风险敏感性的理论乖最优投资消费模型的框架下，使状态方程满 足不同的随机微分方程，同时还考虑到经济因子，而且状态方程含有随机波动， 得到一些结论。本文的主要工作如下； 其一是运用风险敏感性随机控制理论讨论具有随机波动率的最优投资问题 其中的主要工作是，在【2 2 】提出的框架基础上，改变其经济因子的状态方程，使 其状态方程更具有一般性，利用动态规划原理得出新的贝尔曼方程，在一些假设 下讨论其解的情况与 2 3 j 相比，我们不需要证券和经济因子有独立的布朗运动 的假设。与b i e l e c k i 和p l i s k a 的模型相比较，我们的假设条件不相同。在 2 4 】文章 里因子过程的扩散系数矩阵可以是退化的，但他们对因子过程有遍历性假设在 他们的投资模型里，必须假设银行利率是常数在我们的投资模型里，必须假设 因子过程的扩散系数是非退化的，因为我们要考虑具有约束的投资模型。由于各 自模型的特殊性，故结果互不包含。最后我们采用推广的v a s i c e k 利率模型来解释 我们的投资模型，由于这个模型的特殊性，我们可以求出它的解析解在这个模 型里当卢= 0 时，这个问题就是b i e l e c k i ，p l i s k a ，s h e r r i s 在2 0 0 0 年提出来的，当时他 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 9 们只提供猜测的结果，本文的解与他们猜测的形式上有所不同，但我们相信效果 上是殊途同归的 其二是在风险敏感性控制的基本框架下：风险资产的价格过程遵循不交方差 弹性( c o n s t a n te l a s t i c i t yo f v a r i a n c e ，c e v ) 扩散过程，我们尚未发现风险敏感性控制 和c e v 模型相结合的文章。我们在对金融市场做如下假设：市场是无摩擦的， 即不考虑税收和交易费用，股票不付红利，没有买空卖空限制；市场中存在一 个风险资产和一个利率为的无风险资产可供投资者选择； 允许投资者以无风险 利率任意借款和贷款同时经济因子满足两个布朗运动，我们利用动态规划原理 得到h j b 方程，然后化解成一般的r i c c a t i 方程，在一系列假设下，得到解析解和 最优投资控制策略最后在连续时间模型假设下，研究风险资产价格服从一个带 有随机波动的几何布朗运动的最优投资和消费问题。首先建立了最优投资和消费 问题的随机最优控制数学模型；然后运用随机最优控制理论，目标值函数满足一 些假设，得到了最优投资随机最优控制问题的值函数所满足的线性抛物线偏微分 方程和非线性偏微分方程 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文1 0 程 第二章风险敏感性控制的基本理论 5 2 1 基本定义 定义1 1 l t 5 公式首先我们来考虑一维的i t 5 公式，设x c 满足以下随机微分方 d x t = t t d t + a d b t 设g ( t ，z ) c 2 ( o ，o 。 r ) 也就是g 在【o ，o c ) 上是两阶连续可维的，因此y t ：g ( t ，观) 也是一个i t 5 过程，且 d k = 害( ，x , ) d t + 瓦a g ( 厶托) d 托+ 互1 丽0 2 9 1 t ，五) ( d 五) 2 ( 1 2 ) 其中 d t d t = d t d b t = d b td t = 0 ，d b t d b t = d t 称满足上述条件的式子称为i t 5 公式 定义1 2 记投资者在t 时刻的财富为( f ) ，在t 时刻证券的价格为只( t ) ，其 持有第i 种证券的份额为m ( ) ，则 ， ( t ) = m ( t ) 只( t ) i = 0 投资组合( ) = ( 0 ，l ( t ) ，肋( ) ) 称为自融资投资组合；如果成立 d w ( t ) = n i ( t ) d p i ( t ) i = 0 这一概念表明：自融资投资组合所对应的财富收益完全由证券收益流所确定，非 证券收益流中增加的资金与支出的资金总和为零 定义1 3 f 2 5 j 证券投资组合过程= 一2 ：0 0 ，：= 表示定义用c ( t ) 代替l n v ( t ) 能够与近来研究风险敏感 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 1 5 性控制的方法联系起来，其中cc t ) 表示累积消费。我们对一；l n e e 卅副“y ( 【1 1 进 行泰勒展开 一；f n e e - o 2 l n v o ) = e 轨y ( t ) 一：矿。r ( m y ( t ) ) + o ( 0 2 ) ( 2 1 ) 其中0 ( 0 2 ) 与t 有关因此山可以解释成由长期增长率减去一个惩罚项，而且惩 罚项与近似方差成比例的。同时它与0 也是成比例的，所以0 应当解释成风险敏 感性参数或风险厌恶参数。当0 0 和0 0 ，在有限期限内投资目标函数如下： m o 茁e 三y ( t ) 1 】，一。 7 1 当1 = 0 ，即求目标函数e 1 0 9 v ( t ) 的最大值把( 3 2 ) 代入( 3 5 ) 式整理可得： 其中 d v ( o = 二竺 | ：譬婴：立乏羔 陋o ”m o ) 拶峰( 梆扭 ( 。- 6 ) + u ；( t ) 口y ( x ( t ) ) 拍( t ) 、1 皿( x ( f ) ) = 地( x ( t ) ) 一p o ( r ( ) ) = a ( 订玎( ) + 匠 a ( ) = a “j a ( 叭，西= q 一劬 对( 3 6 ) 式运用t t 5 公式得： d l o g v ( t ) = = 赫端獬裂1 l 毋e u ，。i 删( t ) a ( o 词( x ( 暑t ) | 2 冲b ，+ e ( f ) 盯( x ( t ) ) d b ( t ) + u f ( t ) 盯f 。( x ( t ) ) d 直( t ) 一“ 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 1 7 由g i r s a n o v 定理对( 3 7 ) 作如下概率变换 茹l 。= e 印 ，y 岳啦( 咖g ( x ( t ) ) d b ( f )、 l + 7 口“；( ) 口，( x ( t ) ) d 詹( t ) 一 7 2 u i ( t ) j ( ( x ( f ) ) 2 。 我们得到： e y ( t ) 7 】