（基础数学专业论文）拓扑压点及其性质.pdf

摘要 摘要 本文探讨了有关动力系统拓扑压的局部化理论基于拓扑压的关于生 成集和分离集的定义，引入了动力系统( x ，t ) 上的实值连续函数的拓扑 压点及一致拓扑压点的概念，并且研究了它们的一些基本性质得出了 每个动力系统里面都存在一个可数的闭子集使得它相对于x 上的实值 连续函数，的拓扑压等于整个系统相对于。厂的拓扑压并且可以选取这 个可数集合使得它的极限点全体所构成的集合至多只有一个极限点 关键词：生成集；分离集；拓扑压 l u a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，i no r d e rt om o r ed e e p l yu n d e r s t a n dt h ec o m p l e x i t y o fad y n a m i c a ls y s t e m s o m en e wm e t h o d so fl o c a l i z a t i o na r ea p p l i e d w ei n t r o d u c et h en o t i o n so fp r e s s u r ep o i n ta n du n i f o r mp r e s s u r ep o i n t u s i n gt h ed e f i n i t i o no ft o p o l o g i c a lp r e s s u r ef o rs p a n n i n gs e to rs e p a r a t e ds e t s o m eb a s i cp r o p e r t i e so ft h en o t i o n sa r ed i s c u s s e d a s a na p p l i c a t i o ni ti ss h o w nt h a tf o ra n yt o p o l o g i c a ld y n a m i c a ls y s t e mt h e r ei sac o u n t a b l ec l o s e ds u b s e tw h o s et o p o l o g i c a lp r e s s u r ei s e q u a lt ot h ep r e s s u r eo ft h eo r i g i n a ls y s t e m m o r e o v e r ，t h i sc o u n t a b l e c l o s e ds u b s e tc a nb ec h o s e ns u c ht h a tt h es e to fl i m i tp o i n t so fi th a s a tm o s to n el i m i tp o i n t k e y w o r d s ：s p a n n i n gs e t ；s e p a r a t e ds e t ；t o p o l o g i c a lp r e s s u r e 第一章前言 动力系统可溯源于常微分方程考虑定义在肽m 上的微分方程组： 如 ，、 i = 9 【z ) 出 n 7 和初始条件x ( o ) = 如这里矽c r ( r m ，酞m ) ，x o 妒我们把上述的 微分方程的解记为妒( t ，z ) ，那么垆( 亡，z ) 满足下面两个条件： ( 1 ) 妒( o ，x ) = z ，vx 酞m ( 2 ) ( s + t ，z ) = 咿( s ，妒( 亡，z ) ) ，v8 ，t 瓞，z r m 满足以上条件的映射妒：酞xr m _ r m 称为r m 中的动力系统或 流我们把点集： o r b 妒( z ) = 妒( 亡，z ) it 酞，z 匙m ) 跫m 称为流够经过点x 的轨道拓扑动力系统研究的是轨道在像空间中 的拓扑结构从十九世纪八十年代开始，很多数学家对这样的轨道结构 展开了研究受到上述研究的启发，人们更多的考虑的是更一般的连续 映射p ：1 8 2xx _ x ，这里的x 是一个拓扑空间，如果妒满足： ( 1 ) 妒( o ，z ) = z ，vz x ( 2 ) 妒( s4 - t ，z ) = 妒( s ，妒( 亡，z ) ) ，v8 ，t r ，z x 则称妒为x 上的一个拓扑动力系统 作为动力系统奠基人之一的b i r k h o f f 从1 9 1 2 年开始系统的研究拓 扑动力系统1 9 2 7 年，他在( ( d y n a m i c a ls y s t e m s 一书中第一次使用 了“动力系统”这一术语g o t t s c h a l k 和h e d l u n d 在1 9 5 5 出版的著作 ( ( t o p o l o g i c a ld y n a m i c s ) ) 中将动力系统的定义放在了最普通的框架下 考虑经过人们的不懈努力，拓扑动力系统逐渐成为了动力系统的一个 十分重要的分支在过去的几十年里，拓扑动力系统已经发展成为一门 具有众多研究方向而充满生机的学科 拓扑动力系统中刻画系统复杂性的两个主要概念是熵和拓扑压1 9 5 8 年，k o l m o g o r o v 首先将熵的概念引入了遍历论，熵是保测系统非常重要 的一个同构不变量，它反映了系统的混乱程度1 9 5 9 年，s i n a i 又将此概 第一章前言 念进行了改进1 9 6 5 年a l d e r ，k o n h e i m 和m c a n d r e w 1 1 在拓扑动力 系统中引入了拓扑熵的概念1 1 ，这是一个重要的共扼不变量我们将此 定义称为经典定义关于紧致集合的拓扑熵最重要的结论就是经典的变 分原理，此定理表明紧致集合的拓扑熵与取遍所有不变测度的测度熵的 上确界相等熵的变分原理首先是由d i n a b u r g 1 2 】在有限维空间上证 明的，g o o d w y nf 1 4 1 将其延伸至一般的紧致度量空间上，m i s i u r e w i c z 随后给出了一个简短的证明1 9 7 1 年b o w e n 3 1 使用分离集和生成集给 出了拓扑熵的另外一种等价定义方式随后在1 9 7 3 年，b o w e nf 4 1 将此 概念扩张到了非紧的不变集合上，他定义的拓扑熵具有维数的特征，并 证明了相应的变分原理 拓扑压是热力学公式系统中的一个重要概念，在热力学的研究中具 有重要的作用决定系统势的连续函数的拓扑压，拓扑压的变分原理， 平衡态的存在性和唯一性问题一直是热力学公式系统研究的重要组成 部分拓扑压是研究不变集合的维数的重要工具，同时也对动力系统中 的测度研究和维数理论中类似c a n t o r 集合的维数的研究起着重要作 用r u e l l e 【2 7 】首先提出了拓扑压的概念，并且证明了拓扑压的变分原 理他首先考虑的是紧致的不变集合相对于一个同胚的势函数的拓扑压 w a l t e r s 将此概念延伸至一般连续函数有关紧致集合的拓扑压的最重 要的结论就是它的变分原理 紧致集合的拓扑压的变分原理设( x ，d ) 为紧致度量空间，t ：x _ x 为连续映射，则对任一连续函数妒：x _ r ，有 跏) = s u p i , 。e m ( x t 姆，p ) + 上妒蛾，)，x 其中p ( 妒) 为t 关于函数妒的拓扑压，h ( t ，肛) 为肛关于丁的测度熵 特别的，当妒= 0 ，即为拓扑熵h ( t ) = p ( o ) 的变分原理拓扑压变分 原理的完整证明可见文献f 3 2 1 p e s i n 和p i t s k e l 2 4 】推广了b o w e n 定义的具有维数特征的拓扑熵 的概念，定义了紧致度量空间上非紧集的拓扑压，并且证明了非紧集的 拓扑压的变分原理他们定义的非紧集合的拓扑压也具有维数的特征 设m ( x ) 是x 上所有的b o r e l 概率测度集m ( x ，t ) m ( x ) 2 第一章前言 是所有p 不变的概率测度集设z x 为口不变集e ( z ，t ) m ( x ，t ) 为遍历测度集，且满足u ( z ) = 1 ，v 肛e ( z ，t ) 对于 z x ，定义概率测度 科= 去静咖 晶( z ) 的极限点集用v ( x ) 表示，则v ( x ) m ( x ，t ) 非紧集合的拓扑压的变分原理若v ( x ) ne ( z ，t ) d ，vx z ，则对 任意实值连续函数妒：x 叶酞，有 r厂、 p ( z ，妒) = s u p h ( t ，p ) + ( p d l z ：p e ( z ，t ) l，zj 若妒= 0 ，即为非紧集的拓扑熵的变分原理若z 为紧致集合，则与 经典变分原理一致 近年来，对于熵和压的局部性质得到了越来越多的关注1 9 9 2 年f b l a n c h a r df 5 1 在动力系统中引入了完全正熵系统和一致正熵系统随 后，在f 6 1 中，他通过将一致正熵的概念局部化而引入了熵对的概念黄 文和叶向东 1 8 】在拓扑和测度意义下同时定义了熵串最近，窦斗、叶 向东和张国华 1 1 】沿着熵对熵串的思想又定义了熵集和熵序列叶向东 和张国华 3 4 1 利用r b o w e n 的使用分离集和生成集来定义拓扑熵的 想法，定义并研究了熵点和一致熵点得出了这样的一个结论：每个动力 系统里面存在一个可数闭子集，使得它的拓扑熵等于整个系统的拓扑熵 因此，一个自然的想法就是：每个动力系统中能否存在一个可数的闭子 集使得它的拓扑压等于整个系统的拓扑压 本文主要是利用拓扑压的关于生成集和分离集的定义，引入了动力系 统( x ，t ) 上的实值连续函数的拓扑压点及一致拓扑压点的概念，并且研 究了它们的一些基本性质得出了每个动力系统里面都存在一个可数的 闭子集使得它相对于x 上的实值连续函数。厂的拓扑压等于整个系统相 对于厂的拓扑压并且可以选取这个可数集合使得它的极限点全体所构 成的集合至多只有一个极限点 3 第二章预备知识 2 1基本概念 首先我们先介绍一下拓扑空间的一些相关概念 定义2 1 1 设x ，y 是两个拓扑空间，映射厂：x _ y 称为一个开映 射( 闭映射) ，如果对于x 中的任何一个开集( 闭集) u ，像集f ( u ) 是y 中的一个开集( 闭集) 设x 是拓扑空间，d 是x 上的度量，对任意x x ， 0 ，令 6 i d ( z ，) = z 7 ld ( x ，z 7 ) 0 ，| 6 0 ，使得b d ，( z ，6 ) 玩( z ，) ( 2 ) v 7 0 ，| 0 ，使得玩( z ，) 协( z ，) 则称d 与是相 容度量 定理2 1 1 ( 紧集套定理) 设( x ，d ) 是一个完备度量空间曜1 是x 的一列非空紧子集，且满足条件：( 1 ) 最+ 1 鼠( vk n ) ； ( 2 ) l i m 七。d i a m ( e k ) = 0 ，其中d i a m ( e k ) 表示取的直径，则存在唯一 的x o x ，使得x o n 芒l 鼠 定义2 1 - 3 紧度量空间x 上的实值函数。厂称为上半连续的，如果以下 两个等价条件之一成立： ( a 1 ) l i h k ，。霉s u ps ( x 7 ) 厂( z ) 对每个x x ； ( a 2 ) 对每个r 酞，集合 z x ：，( z ) 7 ) 为闭集 下面我们简单介绍一下拓扑动力系统因子映射的概念 一个拓扑动力系统( 简称动力系统) 是指偶对( x ，t ) ，其中x 为紧致 的度量空间，t ：x _ x 为连续满射进一步，如果t 为可逆的，则称 动力系统( x ，t ) 为可逆的；如果x 为独点集，则称动力系统( x ，t ) 为 平凡的 4 第二章预备知识 设( x ，t ) 和( vs ) 为动力系统如果具有连续的满射7 r ：x y 使得s0 7 r = 7 r0t ，则称( s ) 为( x ，t ) 的因子，( x ，t ) 为( s ) 的 扩充，并称7 r 为因子映射如进一步，7 r 为一对一的，即7 r 为同胚，我们 称7 r 为拓扑共轭映射，称( x ，t ) 和( s ) 拓扑共轭否则，称7 r 为非 平凡的显然，如果动力系统( x ，t ) 和( s ) 拓扑共轭，那么它们的拓 扑动力学行为相同因此，一般情况下，对拓扑共轭的两个动力系统我们 不加区分 2 2不变测度和保测动力系统 对于一个紧致度量空间x ，它有一个自然的叮代数与之对应，即 由全体开集生成的仃代数召x 记m ( x ) 为b ( x ) 上全体概率测度 的集合一个熟知的事实是：m ( x ) 内的每个概率测度均为正则的， 且m ( x ) 可被视为c ( x ，r ) 宰的一个子集，其中c ( x ，r ) 代表由x 上实值连续函数的全体所构成的b a n a c h 空间，其上的范数由最大模 | i 0 给出，c ( x ，r ) 为c ( x ，酞) 对偶空间并赋予弱水拓扑具体说 来，给定m ( x ) 中任意一个元素p ，我们可以定义l “c ( x ，酞) 母使 得l p ( 厂) = f x 厂札对每个f c ( x ，r ) 成立并且，l 肛l 当且仅 当肛纱因此，m ( x ) 上的弱木拓扑可如下给出：m ( x ) 中_ p 当且仅当i xf d # n _ ，咖对每个f c ( x ，酞) 均成立事实上， m ( x ) c ( x ，瓞) + 为单位闭球的一个闭子集，进而由a l a o g l u 定理 知m ( x ) 为紧致空间注意到，b a n a c h 空间c ( x ，r ) 是可分的，取 厶：铊n c ( x ，酞) 0 1 为一个稠密的子集，那么3 4 ( x ) 为一个 紧致的度量空间空间，且其上的度量可如下给出： d ( p ，) = n n - i j x a 2 d 酬t , - 厶j x | ji , , d , l ，其中p ，z 八“( x ) 一般说来，一个概率空间是指三元组( c ，p ) ，其中y 为一个非空集 合，c 为由y 的某些子集所构成的口代数，肛为c 上的一个概率测度 设t iy _ y 为映射，如果t - 1 e c ，则称t 为可测的；如果进一步， t 肛= 肛，其中对每个b e 定义( t 肛) ( b ) = 肛( t - 1 b ) ，则称t 为保测 的，( y ，c ，肛，t ) 为一个保测动力系统如果t 为双射且t 和t _ 1 都为 保测的，那么称t 为可逆的，( rc ，p ，t ) 为可逆的保测动力系统 5 第二章预备知识 定义2 2 1 设( x ，召，弘，t ) 为保测动力系统若对任意满足t _ l b = b 的b 召，必有肛( b ) = 0 或“( b ) - m1 成立则称肛为遍历的 ( x ，召，“，t ) 为遍历的保测系统 设( x ，丁) 为动力系统t 可自然地作用于州( x ) 上：将肛映到t 肛， 其中对每个a 取定义t p ( a ) = 肛( t 1 a ) ，等价的说，。f d t # = fot d # 对每个厂c ( x ) 成立设p m ( x ) ，如果t 肛= 肛， 则称它为不变的记m ( x ) 中不变元素的全体为m ( x ，t ) ，并记 朋( x ，t ) 中遍历元素的全体为m 8 ( x ，t ) 那么：朋( x ，t ) m ( x ) 为非空的闭子集，m 8 ( x ，t ) 恰为m ( x ，t ) 中极端点的全体从而，利 用著名的k r e i n - m i l m a n 定理可知：m 8 ( x ，t ) 0 事实上，利用局部 凸度量空间中紧凸集的一般理论有：每个p m ( x ，t ) 均可以表示为 m e ( x ，t ) 中元素的积分如果m 8 ( x ，t ) 为独点集，则称( x ，t ) 为唯 一遍历的设肛m ( x ) ，记s u p p ( 1 比) 为p 的支撑，即：x 中具有p 一 测度为1 的最小的闭子集 2 3 有关熵和拓扑压的概念 在本节中简单介绍一下熵，拓扑压的概念及性质和变分原理，为第三 章做铺垫文中定理具体的证明有兴趣的读者可以参见文献 3 3 】 首先我们先介绍一下测度熵的有关概念 定义2 3 1 我们称乜= ( a 1 ，a 2 ，a 七) 为概率空间( x ，勿，p ) 的一 个有限分割，如果满足：( 1 ) va i 留，i 1 ，2 ，庇) ；( 2 ) a ina i = d ，i j 且u 冬1 a i = x 定义2 3 2 设q = a 1 ，a 2 ， 空间( x ，留，p ) 的两个有限分割 ，a k 和p = b 1 ，b 2 ，鼠) 是概率 它们的联结是分割 qv = a in b j ：1 i k ，1 j 死 定义2 3 3 设a = 4 1 ，a 2 ，a k 是概率空间( x ，留，p ) 的一个有 限分割a 的熵是指乩( q ) = 一警。p ( a ) l o gp ( a ) 6 第二章预备知识 定义2 3 4 若t 是概率空间( x ，留，肛) 的保测映射，口是一个有限分 割，称 1 n - 1 札( z 口) = 熙去吼( v t 叫口) n + o ot 为t 关于口的熵 定义2 3 5 若t 是概率空间( x ，历，“) 的保测映射，0 f 是一个有限分 割，那么札( t ) = s u p 札( t ，q ) 称为t 熵，其中上确界取遍( x ，留，p ) 中所有有限分割 下面我们再来介绍一下拓扑熵的b o w e n 定义 设( x ，丁) 是拓扑动力系统，d 是x 上的度量，对任意佗n ，定义 x 上的新的度量如：v z ，y x ，厶( z ，y ) = m a x o ，则称子集e 是k 的关于t 的( 佗，e ) 分离集 定义2 3 6 如果n 是正整数， 0 ，k 是x 的一个紧子集k 关 于t 的( n ，g ) 生成集最小基数记为( d ，t ，e ，k ) 记r ( d ，t ，k ) = l i m s u p n + 。丢l o g r n ( d ，t ，k ) 定义2 3 7 如果k 是x 的一个紧子集，令h ( t ，k ) = l i m h or ( d ，于，g ，k ) ，称h ( t ) = s u p kh ( t ，k ) 为t 的拓扑熵，其中 上确界取遍x 的所有紧子集 定义2 3 8 如果佗是正整数，e 0 ，k 是x 的一个紧子集k 关 于丁的( 死，) 分离集最大基数记为s n ( d ，t ，g ，k ) 记8 ( d ，t ，e ，k ) = l i ms u p n 。三l o gs n ( d ，t ，e ，k ) 令h ( t ，k ) = l i m 。+ os ( d ，t ，e ，k ) t 的拓扑熵又可以表示为h ( t ) = s u p h ( t ，k ) ，其中上确界取遍x 的所有紧子集 下面是测度熵和拓扑熵之间的关系，即熵的变分原理： 7 第二章预备知识 定理2 3 1设x 是紧致度量空间，t ：x _ x 是连续映射那么 h ( t ) = s u p h p ( t ) i p m ( x ，t ) ) 下面我们介绍一下拓扑压设( x ，t ) 是动力系统f c ( x ，r ) ，我 们把n 佰- 0 1f ( t x ) 记为( & 厂) ( z ) 下面分别用分离集和生成集来定义 拓扑压 定义2 3 9 若任意i 厂c ( x ，酞) ，n l ，g 0 ，令 q n ( t ，) = s u p 0 ，令 r ( t ，) = i n f 定理2 3 2 若任意，c ( x ，r ) ，那么 p ( t ，f ) _ l i m l i m s u p 砉l o g p n ( t ，f ，g ) u n - - 4 0 0 。l l 上面的定理说明，由分离集和生成集定义的拓扑压是相等的 定义2 3 1 1 若任意f c ( x ，肽) ，钆1 ，且甜是x 的一个开覆盖 令 p n ( t ，厂，甜) = i n f e b 6 vi n f z be ( 靠，) ( 茁l y 疋v t n ：- 0 1t 一甜的有限子覆盖) ( z ，1 4 ) = i n f b e ys u p 髫be c s ，) ( z ) 1 1 夕是v 写t 一翻的有限子覆盖) 定理2 3 3 我们定义的拓扑压p ( t ，f ) 具有下面的等价形式： ( 1 ) l i m 汕o s u p u l i m ”。o 丢l o g p n ( t ，厂，甜) ：甜是x 的开覆盖且 d i a m ( 1 x ) 驯 r 第二章预备知识 ( 2 ) l i r a 6 。o s u p u l i mi n f n _ + n 1l o g 吼( zf l “) ：甜是x 的开覆盖且 d i a m ( b t ) 删 ( 3 ) l i m a _ _ , o s u p u l i ms u p ”击l o gq ( t ，“) ：“是x 的开覆盖且 d i a m ( b 1 ) 吲 ( 4 ) l i m k - - , o o l i r a ”去l o g p , 。( t ，“) 知：玩是x 的开覆盖序列且 d i a m ( 1 4 ) 6 ( 5 ) l i m k 。o 。 l i r a s u p o 。n 1l o g ( t ，“) 詹：是x 的开覆盖序列且 d i a m ( b l k ) 6 ( 6 ) l i m a 0l i mi n f n 1 讫l o gq 礼( t ，g ) ( 7 ) l i m a 。ol i mi n f 竹。丢l o gr ( t ，) 这个定理证明了用分离集和生成集定义的拓扑压和用开覆盖定义的 拓扑压是等价的下面我们给出压的变分原理： 定理2 3 4设x 是紧致度量空间，t ：x _ x 是连续映射， c ( x ，r ) 那么 p ( 町) = s u “姒t ) + f f d # # e m ( x ，t ) 定义2 3 1 2 设x 是紧致度量空间，t ：x _ x 是连续映射，f c ( x ，瓜) 如果p m ( x ，t ) 满足p ( t ，- 厂) = 札( t ) + j ，舢，则称p 是关于厂的平衡态 9 第三章拓扑压点及其性质 在本章我们通过压的关于生成集和分离集的定义，引入了拓扑压点， 及一致拓扑压点的概念通过对一致拓扑压点的研究得出了这样的结论： 每个动力系统里面存在一个可数的闭子集使得它关于x 上的实值连续 函数厂的拓扑压等于整个系统关于厂的拓扑压事实上，可数集合可以 选取使得它的极限点全体所构成的集合至多只有一个极限点 3 1 拓扑压点 基于拓扑压关于分离集和生成集的定义，我t f 弓i k - j 拓扑压点的定义， 并且讨论了拓扑压点的一些基本性质 设( x ，t ) 是动力系统，d 是x 上的度量，c ( x ，酞) ，k x ，记 q n ( d ，z ，e ，k ) = i n f 0 满足：当d ( x ，y ) 主时，有i f ( x ) 一厂( 可) l 0 ，存在0 s 3 2 0 ，设f 在度量d 下是k 的( n ，9 1 ) 一分离集，即 任意x ，y 只x y ，有如( z ，y ) = m a x o 一 1 因d 与是相容度量， 故存在6 ，使得毋( t j x ，6 ) b d ( t j x ，e 1 ) 令e 2 = m i n ( 6 ，9 1 ，因此 畋( z ，y ) = m a 洳 0 ，使得 q ( d y ，s ，f ，7 r ( j ) ) q ( d x ，t ，fo7 r ，9 7 ，了) ， 其中j x 进一步有 p ( d y ，s ，f ，7 r ( j ) ) p ( ，t ，- 厂o7 r ，) 证明：因为7 r 是连续的，所以对任意给定的e 0 ，存在7 0 ，使得 只要d x ( x ，y ) 7 ，就有d y ( 7 r ( z ) ，7 r ( 秒) ) 对任意y 7 r ( j ) ，存在 x z 使得7 r ( z ) = y ，设f 是了的( 佗，e 7 ) 一生成集，即存在x 7 f 使 得如( z ，x 7 ) = m & x o i n - 1d x ( t x ，t y ) 9 7 ，即 。 m ； a 礼x 一。d y ( s 7 r ( z ) ，s 丌( z 7 ) ) = 。 m 。 a 礼x 一。d y ( 丌( t z ) ，7 r ( t z 7 ) ) e 可见7 r ( f ) 是r ( j ) 的( n ，) 一生成集又因为 e ( s f 。7 r ) ( 霉e ( 岛，) ( 们q n ( d y ，s ，f ，g ，7 r ( j ) ) -o-一 、。 x e f y e t r f 因此有 q n ( d x ，t ，fo7 r ，e 7 ，j ) q 扎( d y ，s ，f ，g ，7 r ( j ) ) 进而 q ( ，t ，fo7 r ，9 7 ，j ) q ( ，s ，f ，7 r ( 了) ) 令_ 0 ，即有 p ( d y ，s ，f ，7 r ( j ) ) p ( ，丁，厂。丌，j ) 1 2 第三章拓扑压点及其性质 命题3 1 3 设( x ，t ) 是动力系统，d 是x 上的度量f c ( x ，r ) ， k 1 ，是x 的子集，其中仇z 则 进一步有 q ( d ，t ，f ， m u k ) i = 1 尸( d ，t ，u i = 1 k ) = m i a x m q l i m ， ( d ，t ， = m a xp ( d ，t ，- 厂， 1 t m k ) k ) 证明：一方面，设e 1 ，易，分别是k 1 ，k 2 ，的( n ，) 一 生成集，即e = u 罂1 最是u 凳lk 的( 佗，e ) 一生成集故 e ( 堋( z ) + e ( s n f ) + + e 刚z e 协力 q n ( d ，t ，e ， 七e “ 1 ) + + q n ( d ，t ，g ，k m ) z u 饕1 历 q n ( d ，t ，e ，u i = l q n ( d ，t ，u i = 1 m 增m a 鲫xq n ( 妒，加，k ) 猢私7 型 。m s 。a s x mq ( d ，t ，g ， k ) q ( d ，t ，u i = l k ) k ) k ) k ) 另一方面，显然q n ( d ，t ，f ，e ，u 銎lk ) q n ( d ，t ，厂，k ) ，1 i m ， 即q ( d ，t ，厂，u 兰1 ) m a x l g s mq ( d ，t ，f ，g ，k ) 因此命题得证 命题3 1 4 设( x ，t ) 是动力系统，f c ( x ，r ) 那么易( x ，t ，厂) 证明：因x 是紧致的，故可由有限个半径小于等于1 的闭球所覆盖， 不妨设为b i ，b 1 由命题3 1 3 ，p ( t ，厂) = m a x l j 0 满足：当d ( x ，y ) 参时，有i f ( x ) 一l 厂( 可) l 0 ，使得 q ( d y ，s ，夕，k ) q ( d x ，t ，go7 r ，7 ，7 f - 1 ( k ) ) 对所有k x 成立 ( 1 ) 对每个佗n ，设为可1 满足d i a m ( k n ) 1 帆的闭邻域由命 题3 1 3 可知，存在闭子集玩7 r 一( ) 满足d i a m ( b n ) 1 使得 q ( d x ，t ，go 丌，9 7 ，鼠) = q ( d x ，t ，go 丌，e 7 ，7 r - i ( ) ) q ( d y ，s ，g ，i f ) f 荔( 可1 ，夕，g ) 设x l 为闭集序列 玩：礼n ) 的极限点显然7 r ( z 1 ) = y 1 且 j f ：磊( z l ，go7 r ，7 ) j f 髟( 可1 ，g ，s ) 这意味着s u p x e ，r - 1 ( 。) p x ( z ，go7 r ) 硌( 秒1 ，g ，) 让一0 即可得到 结论 1 6 第三章拓扑压点及其性质 ( 2 ) 固定x 2 7 r - 1 ( 可2 ) 对每个佗n ，设为x 2 的闭邻域使得 d i a m ( k n ) 丢且d i a m ( 7 r k n ) 击因7 r 是开映射，故7 r ( ) 为y 2 的 闭邻域，由命题3 1 2 有 q ( d x , t ，go7 r ，7 ，蠡0 ) q ( d r ，s ，g ，g ，7 r ( 五名) ) f 髟( 秒2 ，g ，) 从而有 p x ( z 2 ，go7 r ) 尸芬( z 2 ，go7 r ，e ) 尸( 耽，g ，g ) 令_ 0 即可得到 尸x ( z 2 ，go7 r ) p y ( 可2 ，夕) 命题3 2 2 设( x ，t ) 是动力系统，d 是x 上的度量，厂c ( x ，瓞) ，p 为拓扑压函数那么 ( 1 ) 当于可逆时，有p ( x ，。t ) - - - - p ( t x ，厂) ( 2 ) 对每个g 0 ，疡( ，f ，) 为x 上的上半连续函数，从而p 为 b o r e l 可测的函数 ( 3 ) 设k x 为闭的，则s u p x p ( x ，) p ( t ，k ) 特别的，s u p z xp ( x ，) = p ( t ，厂) 证明：( 1 ) 当t 可逆时，因t ：( x ，t ) 一( x ，t ) 与t - l ： ( x ，丁) 一( x ，丁) 均是同构的故由命题3 2 1 可知p ( z ，厂ot ) p ( t x ，厂) ，尸( ( t 。) 一x ，( 厂ot ) 。t _ 1 ) p ( x ，厂ot ) ，即p ( t x ，厂) p ( x ，ot ) 从而结论得证 ( 2 ) 设g 0 如果r r 且局( 黝，f ，g ) 7 ，则存在x o 的某 个开邻域k 使得q ( d ，t ，厂，g ，k ) 0 ，y ( 0 ，1 ) 定义 n n ( d ，t ，”，p ) = i n f e x p f ( t x ) z s i = 0 其中下确界是取遍所有满足肛( z ) 1 7 的z 的( n ，) 一生成集那 札( t ) + f d # = l i m 。l i 礼m 。i 。n f _ 他1l o g 眠( d ，t ，7 ，p ) = l 硎i m1 1 恕p 寺l o g n n ( d , t , ， ，p ) _ o n _ 佗 7 定理3 2 1 设( x ，t ) 是动力系统，d 是x 上的度量，肛是遍历测度， f c ( x ，r ) ，那么 l i r a oi n f p ( d ，t ，f ，k ) ：k b x ，p ( k ) 0 h u ( t ) + f d # l j j 特别的，当k 取满足u ( k ) 0 时p ( d ，t ，f ，k ) h u ( t ) + 厂f d # 证明：固定1 5 0 设g 0 ，k 1 3 x 满足卢( k ) 0 因为 p m e ( x ，t ) ，存在m ( g ) z + 使得工t t 1 i r a ( k ) t k ) 1 6 断言：对任意m z + ，p ( d ，t ，f ，k ) = p ( d ，t ，f ，e ，u ：o t k ) 1 8 第三章拓扑压点及其性质 1 1 f i _ _ _ _ _ _ i i _ _ _ - _ _ _ _ _ ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 断言的证明：对每个几n ，设ecu 啬r k 是u 啬r k 关于t 的( n ，) 一分离集因为 e ( 刚=e ( 蹦e c s , j ) c z ) 一一一o x e e z u 鍪o ( e n t k ) i = 0 x 6 e a t k 所以存在0 i o m ，使得 e ( 蹦x 甸斋e ( 蹦x 引z 一r n + l 一 霉e n 2 0 k z t i ， 令a i 。( e ) = 可( z ) ：对每个z e ，只取某一个y ( x ) t - i o z ) 则 a 。( e ) nk 是子集k 关于t 的( n + 蕾o ，g ) 一分离集因此也是k 关 于t 的( n + m ，g ) 一分离集因此 即有 r + m ( d ，t ，e ，k ) e 岛“z 蚯a o ( e ) n k e + + 胪以州。沪洲l t w y e e n t wk = e m i l l e ( ，) ( | ，) 等1 e ( 咖) e o n j 八玉， 一m + 厶x e e ( d t _ 泓) 筹删，t _ g ，驴k ) 三p n ( d ，t ，k ) m 十上 因此可得p ( d ，t ，厂，k ) = p ( d ，t ，厂，s ，u 銎ot k ) 即证明了断言 又因为对每个n n ，有q n ( d ，t ，k ) p n ( d ，t ，厂，e ，k ) 因此 有 1 9 第三章拓扑压点及其性质 t n f 。) = i i l 岬p ，t e ，耍嘲k1 3 x 以砂0 ) = i n f ( d ，t ，厂，e ，ur k ) ) ： ，肛( k ) o t = o ， t n f l i m s u p 扣 n i n n 。s 。o p 丢；n f 。g n + o 。 ，o l q 礼 q n l i ms u p 三l o g ( d ，t ，f ，y ，p ) n _ o o ，o 让_ 0 ，由引理3 2 1 即知结论成立 由定理3 2 1 可得 定理3 2 2 设( x ，t ) 是动力系统f c ( x ，r ) ，p 是( x ，t ) 关于f 的压函数，z x 那么 即，) s u p 似t ) + 脚：肛m e ( x ，t ) ，z s 聊( 肛) 3 3 一致拓扑压点 在本节中我们定义了一致压点，研究了它的一些基本性质并且得出 了每个动力系统里面都存在一个可数的闭子集使得它相对于x 上的实 值连续函数厂的拓扑压等于整个系统相对于厂的拓扑压并且可以选取 这个可数集合使得它的极限点全体所构成的集合至多只有一个极限点 定义3 3 1 设( x ，t ) 是动力系统，f c ( x ，r ) ，p 是( x ，t ) 关于f 的拓扑压函数如果p ( x ，f ) = p ( t ，厂) ，则称z x 为关于厂的一致 拓扑压点记关于f 的一致拓扑压点的全体为( x ，t ，厂) 、，j、，f， 0 o k k “ “ x x 召 侈 k k k k t t 咄u 嚣u 铷 白 玉 ， ， t t 吐 以 第三章拓扑压点及其性质 命题3 3 1 设( x ，t ) 是动力系统，c ( x ，r ) 那么 ( 1 ) ( x ，t ，) 易( x ，t ，) ( 2 ) ( x ，t ，厂) x 为b 6 子集 证明： 若( x ，t ，厂) - - - 仍，则结论显然成立 下面证明 ( x ，丁，) d 的情形 ( 1 ) 设x ( x ，丁，厂) ，对x 的任一闭邻域k ， p ( t ，k ) = l e i 。m oq ( d ，t ，e ，k ) l i 。m o 尼( z ，e ) = p ( x ，) = p ( t ，) 从而p ( t ，厂，k ) - - - - p ( t ，厂) 因此x ( x ，t ，) 即证得结论 ( 2 ) 设d 是x 上的度量 若p ( t ，厂) 0 ，函数疡( ，f ，) 是上半连续的，因此( x ，t ，- 厂) 为 乃占子集 作为定理3 2 2 的一个直接应用，我们得到 推论3 3 1 设( x ，t ) 是动力系统，c ( x ，r ) 若肛朋e ( x ，t ) 是厂的平衡态，那么s u p p ( # ) ( x ，