北师大版初中数学全部公式

北师大版初中数学全部公式整理

专题01有理数

1、有理数的基本概念

(1)正数和负数

定义：大于0的数叫做正数。在正数前加上符号(负)的数.叫做负数。

0既不是正数，也不是负数。

⑵有理数

正整数、0、负整数统称整数。正分数、负分数统称分数。整数和分数统称为有理数。

2、数轴

规定了息息、正方向定单位长度的直线叫做数轴。

3、相反数

代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

几何定义：在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相.反

数。

一般地，。和卬互为相反数。0的相反数是0。

〃二所表示的意义是：一个数和它的相反数相等。很显然，。二0。

4、绝对值

定义：一般地，数轴上表示数口的点与原点的距离叫做数。的绝对值，记作同。

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

即：如果。>0,那么|。|二

如果4=0,那么同=0；

如果4<0,那么|。|二-〃0

〃二间所表示的意义是：一个数和它的绝对值相等。很显然，a>0o

5、倒数

定义：乘积是1的两个数互为倒数。即：如果〃与〃互为倒数，则有反之亦成立。

°=所表示的意义是：一个数和它的倒数相等。很显然，a=±\

ao

6、数的大小比较

法则：正数大于0,0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。

7、乘方

定义：求〃个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做累。

如：优=”读作〃的几次方（幕），在a"中，。叫做底数，〃叫做指.数。

〃个。

性质：负数的奇次幕是负数，负数的偶次幕是正数；正数的任何次幕都是正数；0的任何

正整数次幕都是0。

8、科学记数法

定义：把.一个大于10的数表示成。xl0”的形式（其中。大于或等于1且小于10,〃是正整

数），这种记数方法叫做科学记数法。小于-10的数也可以类似表示。

用科学记数法表示一个绝对值大于10的数时，）是原数的整数数位减1得到的正整数。

悬°的数为止的数的个数。

9、近似数

一般地,一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数近似到哪一位，也叫做精确到哪一位。

精确到十分位一精确到0.1；精确到百分位.一精确到0.01；…。

10、有理数的加法

加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相

加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个

数相加得0;一个数同0相加，仍得这个数。

加法运算律：①交换律a+b=b+a,②结合律（。+与+c=a+S+c）。

11、有理数的减法

减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。即：a-b=a^b）o

12、有理数的乘法

乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，都得0。

乘法运算律：①交换律而="；②结合律（"）c=〃Sc）;③分配律〃S+.c）=而+ac。

13、有理数的除法

除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即：a^b=a-

bQ

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数都得0。

14、有理数的混合运算

混合运算的顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；.②同级运算，从左到右进行；③如有

括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。

专题02实数

1、平方根

定”义1：一般地，如果一个正数X的平方等于小即丫二4,那么这个正数X叫做。的算术

平方根。。的算术平方根记作读作“根号口”，〃叫做被开方数。即x=

规定：0的算术平方根是0。

定义2：一般地，如果一个数的平方等于小那么这个数叫做q的平方根或二次方根。即

如果那么x叫做〃的平方根。即x=土

定义3：求一个数。的平方根的,运算，叫做开平方。

壬数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0;负数没有平方根。

2、立方根

定义：一般地，如果一个数的立方等于那么这个数叫做〃的立方根.或三次方根。即如

果丁=小那么x叫做a的立方根，记作蚣。即/二四。

求一个数的立方根的运算，叫做开立方。

壬数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0。

3、无理数

无限不循环小数又叫做无理数。在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起

来有四类：

(1)开方.开不尽的数，如非,尬等:

(2)有特定意义的数，如圆周率兀，或化简后含有兀的数，如&+1等；

3

(3)有特定结构的数，如0.1010010001…等;

(4)某些三角函数，如sin60。等

4、实数

有理数和无理数统称实数。即实数包括有理数和无理数。

备注：最小的正整数是1,最大的.负整数是-1,绝对值最小的数是0。

有理数关于相反数和绝对值的意义同群适合于实数。

5、实数的分类

分法一：

产有理数I有限小数或

「有理数“j无限循环小数

实数1I负有理数J

〔无理数｛数｝无限不循环小数

分法二：

正实数

实数，0

负实数

6、实数的比较大小

有理数的比较大小的法则在实数范围内同样适用。

(1)数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

(2)求差比较：设a、b是实数，

a-b>O<^>a>b,

a—b=O<->a=b,

a-h<O<^>a<b

(3)求商比较法：设a、b是两正实数，—>1<^>a>b;—=\<=>a=b;—<\<^>a<b;

bbb

(4)绝对值比较法：设a、b是两负实数，则网>码0〃<6。

(5)平方法：设a、b是两负实数，则从

备注：遇到有理数和带根号的无理数比较大小时，让“数全部回到根号下“，再比较大小。

7、实数的运算

在实数范围内，可以■进行加、减、乘、,除、乘方及开方运算，而且有理数的运算法则和

运算律在实数范围内仍然成立

1、力口法交换律.a+b=b+a

2^加法结合律(a+Z?)+c=a+S+c)

3、乘法交换律ah=ba

4、乘法结合律(ab)c=a(bc)

5、乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac

6、实数的运算顺序

先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。

实数范围内混合运算的顺序：①先乘方开方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行;

③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。

专题03整式

1、定义

(1)代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数

或一个字母也是代数式。

(2)单项式：用数或字母的乘积表示的式子叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单

项式。

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。一个单项式中，所有字母的指数的和,叫做这个单

项式的次数。

注意"单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如

3

这种表示就是错误的，应写成-小〃%。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式

3

的次数。如-5〃/2c是6次单项式

(3)多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母

的项叫做常数项。多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。

单项式与多项式统称整式。［:学，科，网］

(4)同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

(5)合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

合并.同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。

2、整式的运算

(1)整式的加减：几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项。

去括号法则：同号得正，异号得负。即括号外的因数的符号决定了括号内的符号是否改变：

如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；

如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与.原来的符号相反。

(2)整式的乘除运算

①同底数第的乘法：。加“〃二产+〃。.同底数察相乘，底数不变，指数相加。

②嘉的乘方累的乘方，底数不变，指数相乘

③积的乘方：积的乘方，等于把积•的每一个因式分别乘方，再把所得的累相

乘。

④单项式与单项式的乘法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数嘉分别相乘，对

于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

⑤单项式与多项式的乘法：p(a+b+c)=pa+pb+pco单项式与多项式相乘，就是用单项式去

乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

⑥多项式与多项式的乘法：(o+〃)(p+q尸印+的+加+为。多项式与多项式相乘，先用一个多

项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

平方差公式：(〃+份(〃-份=。2.序。两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差。

这个公式叫做平方差公式。

完全平方公式：5+32=/+2出^+从，g・b)2=a2.2ab+b2。两个数的和(或差)的平方，等于它们

的平方和，加上(或减去)它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。

⑦同底数塞的除法：十“〃二/乙同底数幕相除，底数不变，指数相减。

任何不等于0的数的0次基都等于lo

⑧单项式与单项式的除法：单项式相除，把系数与同底数嘉分别相除作为商的因式，对于

只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。.

⑨多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再

把所得的商相加。注：以上公式及法则在分式和二次根式的运算中同样适用。

(3)添括号法则

同号得正，异号得负。即括号前的符号决定了括号内各项的符号是否改变：

如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；

如果括号前面是负号，括到括到里的各项都改变符号。［:学—科—网1

3、因式分解

定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式

分解，也叫做把这个多项式分解因式。

以上公式都可以用来对多项式进行因式分解，因式分解的常用方法：

①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；

222222

②公式法：a-b=(a+b)(a-b)；cr^-lab+b^a+b)；a-2ab+b=(a-b)o

③分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)

④十字相乘法：a2+(p^+q)a+pjq=(a+p)(a+q)

因式分解的一般步骤：

(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。

(2)在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以

尝试运用公式法.分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项

式以上的可以尝试分组分解法分解因式

（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。

专题04分式与二次根式

一、分式

1、分式的定义

一般地，如果A、8表示两个整式，并且8