（基础数学专业论文）一类六阶非线性波动方程的cauchy问题和初边值问题.pdf

一类六阶非线性波动方程的c a u c h y 问题和初边值问题 摘要 本文分四章：第一章为引言；第二章研究一类六阶非线性波动方程的c a u c h y 问题局部解和整体解的存在性和惟一性；第三章利用凸性方法证明上述c a u c h y 问题解的爆破；第四章研究一类六阶非线性波动方程的初边值问题局部广义解 的存在性，并给出解爆破的充分条件 在第二章中，我们研究一类六阶非线性波动方程的c a u c h y 问题 t 概一z 一删+ n 4 + 啊n = 9 ) ， z r ，t 0 v ( z ，0 ) = t j o ( 石) ，v t ( x ，0 ) = 口1 ( z ) ，z r ， 其中口( z ，t ) 表示未知函数，a 0 为常数，9 ( s ) 为给定的非线性函数， v l ( z ) 为给定的初值函数，下标z 和t 分别表示对z 和t 求导数 为简单起见，我们利用比例变换 v ( x ，t ) = ( ，r ) = u ( x ，厢) 把方程( 1 ) 改写为 “。一一“一+ 即+ 蛳，= ：b ( “) + ( 1 一。) “ 。 不失一般性，我们研究下面的c a u c h y 问题 ( 1 ) ( 2 ) v o ( x ) 和 “一孔。$ 一仳。础+ 乱一十u 一此= 毋( u ) 嚣，z r ，t 0 ，( 3 ) “( $ ，0 ) = “o ( z ) ，u t ( z ，0 ) = 让1 ( z ) ， z r ， ( 4 ) 其中u ( x ，t ) 表示未知函数，毋( s ) 为给定的非线性函数，u o ( z ) 和u l ( z ) 为给定 的初值函数我们利用压缩映射原理证明c a u c h y 问题( 3 ) ，( 4 ) 局部解的存在性 和惟一性，并给出整体解存在的充分条件，主要结果如下： 定理1 设s j 1 ，u o 伊，u l h 5 ，e 卅1 ( r ) 和妒( o ) = 0 则c a u c h y 问题 i ( 3 ) ，( 4 ) 存在惟一的局部解“c 2 ( 【o ，p ) ；h 3 ) ，其中【0 ，t o ) 是解“( 曩t ) 存在的最大 时间区间，而且如果 s u p 【i l u ( ，t ) l t h + f l u g ( ，t ) j 1 a 】 2 时，则c a u c h y 问题( 3 ) ，( 4 ) 存在惟一的整 体古典解 在第三章中，我们利用凸性方法证明c a u c h y 问题( 3 ) ，( 4 ) 的解在有限时刻 发生爆破主要结果如下： 定理4 设庐( 8 ) e ( 月) ，u o h 1 ，乱1 h 1 ，a 一1 “l l 2 ，西( s ) = j 苫( 7 ) 打，垂( o ) l 1 且存在常数6 0 使得 ( s ) s ( 4 ( f + 2 ) 垂( s ) + 2 5 s 2 ， v s r 如果下列条件之一成立，则c a u c h y 问题( 3 ) ，( 4 ) 的解在有限时刻发生爆破： ( 1 ) e ( 0 ) o ； ( 3 ) e ( 0 ) 0 ，( a 1 u o ，a _ 1 l t l ) + ( u 0 ，u 1 ) - 4 - ( u 0 w ，u l 。) 2 x e ( 0 ) i i a 。u o i l 2 + l l u o l l 2 + i j u o x l l 2 】 在第四章中我们讨论一类六阶非线性波动方程 t 正t t 一魄。一扎牡托一。札一+ u x t 赶= 妒( u ) 。， z ( 0 ，1 ) ，t 0 ， ( 5 ) 的如下初边值问题 u ( o ，t ) = u ( 1 ，t ) = 抛。( o ，幻= 。( 1 ，t ) = 0 ，t 0 ， ( 6 ) u ( x ，0 ) = 妒( z ) ， u t ( z ，0 ) = 1 ；f ，( z ) ， z 【o ，1 】，( 7 ) 或如下的初边值问题 抛( o ，t ) = ( 1 ，t ) ；“一( o ，t ) = “一( 1 ，t ) = 0 ，t 0 ， ( 8 ) u ( x ，0 ) = = 妒( z ) ，札。( z ，0 ) = 妒( z ) ， z 【0 ，1 】， ( 9 ) 其中口 0 为常数，( s ) 为给定的非线性函数，妒( z ) 和妒( z ) 为给定的初值函 数我们证明上述问题( 5 ) 一( 7 ) ；( 5 ) ，( 8 ) ，( 9 ) 存在局部广义解，并给出解不存在 的充分条件主要结果有： 定理5 设伊( r ) ，妒，妒s = 钉h 4 i v ( o ) = 口( 1 ) = v x 。( o ) = 。( 1 ) = o ) ，则 问题( 5 ) 一( 7 ) 存在局部广义解札( ) 2 ，”( 【o ，t i ；s ) ，其中0 t t o ，【0 ，t o ) 是解 ( t ) 存在的最大时间区间而且如果 s u pi l u ( t ) i s 0 ( y 磊= e 熹 ( a t r 2 - 1 2 一确+ 2 e 删s 一咖 o o ， 则问题( 5 ) 一( 7 ) 的解在有限时刻t 矗发生爆破，即 j ( 1 u ( 而t ) s i n ，r x 如一一o o ， t 一磊一 对于问题( 5 ) ，( 8 ) ，( 9 ) 有如下类似结果： 定理8 设妒c o ( r ) ，妒，妒d = 口h 4 i v 。( o ) = v x ( 1 ) = 。( o ) = ( 1 ) = o ) ， 则问题( 5 ) ，( 8 ) ，( 9 ) 存在局部广义解u ( t ) w 2 * ( 【o t i ，d ) ，其中0 t t o ， 0 ，t o ) 是解( ) 存在的最大时间区间，而且如果 s u pi l u ( t ) l l d 0i sac o n s t a n t ，g ( s ) i sag i v e nn o n l i n e a r f u n c t i o n ，如( z ) a n dv l ( z ) a r eg i v e ni n i t i a lv a l u ef u n c t i o n s ，s u b c r i p t sz a n dti n d i c a t ep a r t i a l d e r i v a t i v e s f o rs i m p l i c i t y ，b yt h es c a l i n gt r a n f o r m a t i o n v ( z ，t ) = u ( y ，7 - ) = u ( z ，而) t h ee q u a t i o n ( 1 ) c a nb ew r i t t e na s u ，一u 坩一u 鲫，i - u y 4 + u ，a ，= ：b ( u ) + ( 1 一口) “】。 w i t h o u tl o s so fg e n e r a l i t y , w ew i l ls t u d yt h ef o l l o w i n gc a u c h yp r o b l e m t 一材一札。埘+ t z 4 + “一“= ( 仳) 。，z r ，t 0 ，( 3 ) u ( z ，0 ) = 伽( z ) ，u t ( z ，0 ) = u l ( z ) ， 茹r ，( 4 ) w h e r eu ( z ，t ) d e n o t e st h eu n k n o w nf u n c t i o n ，妒( s ) i sag i v e nn o n l i n e a rf u n c t i o n ，u o ( x ) a n d u l ( x ) a r eg i v e ni n i t i a lv a l u ef u n c t i o n s w ew i l lp r o v et h ee x i s t e n c ea n d t h eu n i q u e n e s s o ft h el o c a ls o l u t i o nf o rt h ec a u c h yp r o b l e m ( 3 ) ，( 4 ) a n dg i v es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ft h e e x i s t e n c eo ft h eg l o b a ls o l u t i o n t h em a i nr e s u l t sa r et h ef o l l o w i n g ： t h e o r e m1 s u p p o s et h a ts 1 ，u o h 。，u 1 h 5 ，咖g 扣1 + 1 ( r ) a n d ( o ) = 0 , t h e n t h ep r o b l e m ( 3 ) ，( 4 ) h a sau n i q u el o c a ls o l u t i o nu c 2 ( 【o ，p ) ；h 8 ) ，w h e r e 【o ，p ) i st h e m a x i m a lt i m ei n t e r v a lo fe x i s t e n c eo f 乱m o r e o v e r i f s u p 【i l u ( t ) i i h 一+ l l u , ( t ) i i h - 】 o o o 0i sac o n s t a n t t h e nt o = o 。 t h e o r e m3a s s u m et h a ts 1 ，u o h 5 ，1 h 5 ，e 【。l + 1 ( r ) ，妒( 0 ) = 0 ，a 一1 “1 l 2a n d s ( u 0 ) l 1 ，i f 圣( s ) 0o r ( s ) i sb o u n d e db l o w ，i e ，t h e r ei sac o n s t a n t 岛s u c h t h a t ( s ) 岛，v s r ，t h e nt h ec a u c h yp r o b l e m ( 3 ) ，( 4 ) h a sau n i q u eg l o b a ls o l u t i o nu c 2 ( o ，o o ) ；h 8 ) w h e r ea 一1 u l = f 一1 i z l 一1 f u r ( x ) 1a n d 圣( s ) = 君妒( 7 - ) 打，f a n d f 一1 d e n o t e f o u r i e rt r a n s f o r m a t i o na n di n v e r s et r a n s f o r m a t i o ni nr ，r e s p e c t i v e l y r e m a r k1u n d e rt h ec o n d i t i o n so ft h e o r e m3 ，i fs 2 ，t h ec a u c h yp r o b l e m ( 3 ) ，( 4 ) a d m i t sau n i q u eg l o b a lc l a s s i c a ls o l u t i o n i nt h ec h a p t e r3 ，t h eb l o wu po fs o l u t i o nt ot h ec a u c h yp r o b l e m ( 3 ) ，( 4 ) a r ep r o v e db y m e a n so ft h ec o n c a v i t ym e t h o d t h em a i nr e s u l t sa r et h ef o l l o w i n g ： 、，l l t h e o r e m4 a s s u m et h a t ( s ) e ( r ) ，u o h 1 ，u l h 1 ，a - i 札1 l 2 ，西( s ) = j 苫妒( 7 ) d 7 - a n d 圣( “o ) l 1 ，a n dt h e r ee x i s t sc o n s t a n t6 0 s u c ht h a t ( s ) s ( 4 5 + 2 ) 圣( s ) + 2 6 s 2 ， v s r t h e nt h es o l u t i o nu ( z ，t ) o ft h ec a u c h yp r o b l e m ( 3 ) ，( 4 ) b l o w su pi nf i n i t et i m ei fo n eo f t h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sh o l d s ： ( 1 ) e ( 0 ) o ； ( 3 ) e ( 0 ) 0 ，( a 一1 u o ，a 一1 u 1 ) + ( u o ，u 1 ) + ( 仳，u l z ) e ( 0 ) i l l a - l u o i l ：+ | i u 0 0 2 + l l 悴 i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，w ed i s c u s st h ef o l l o w i n gn o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n t “一“z z 一乱如坩一o u 一+ u 扩“= 砂( 钍) 托， 茁( o ，1 ) ，t 0 ， ( 5 ) w i t ht h ei n i t i a lb o u n a r d yv a l u ec o n d i t i o n s u ( o ，t ) = t ( 1 ，t ) = t 。( o ，) = 让。( 1 ，t ) = 0 ， t 0 ， ( 6 ) ( z ，o ) = 妒( z ) ， 钍。( z ，o ) = 妒( z ) ， z i o ，1 】， ( 7 ) o rw i t ht h ei n i t i a lb o u n a r d yv a l u ec o n d i t i o n s ( o ，t ) = ( 1 ，) = u 。a ( o ，) = a ( 1 ，) = 0 ，t 0 ， ( 8 ) u ( x ，o ) = 妒( z ) ， 地( z ，o ) = 妒( z ) ， z 【o ，1 】， ( 9 ) w h e r eo 0i sc o n s t a n t ，( s ) i sag i v e nn o n l i n e a rf u n c t i o n ，妒( z ) a n d 妒( z ) a r eg i v e ni n i t i a l v a l u ef u n c t i o n s w ew i l lp r o v et h ee x i s t e n c eo ft h el o c a lg e n e r a h z e ds o l u t i o n s f o rt h e i n i t i a lb o u n a r d yv a l u ep r o b l e m ( 5 ) 一( 7 ) o r ( 5 ) ，( 8 ) ，( 9 ) a n dt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fb l o wu p o fs o l u t i o na r eg i v e n t h em a i nr e s u l t sa r et h ef o l l o w i n g ： t h e o r e m5s u p p 0 8 et h a t 痧c 2 ( r ) ，妒，妒s = h 4 i 郇( o ) = u ( 1 ) = ( o ) = v z z ( 1 ) = o ，t h e nt h ep r o b l e m ( 5 ) 一( 7 ) a d m i t sag e n e r a l i z e dl o c a ls o l u t i o nu ( t ) v 1 1 1 彬2 ，。( 【o ，明；s ) ，w h e r e0 t t o “0 ，t o ) i st h em a x i m a lt i m ei n t e r v a l o fe x i t e n c eo f u ( x ，) ，m o r e o v e r ，i f s u p ( 刚s 0 ( y v 0 ) ，a n d 矗= ，。o o 一7 1 - 2 而 【( n 7 r 2 1 ) ( 可2 一鳐) + 2 。妒( s ) 删+ ) 一j 1 咖 o o j y 0 t h e nt h es o l u t o no fp r o b l e m ( 5 ) 一( 7 ) m u s tb l o wu pi nf i n i t et i m et 矗，i e f o u ( z ，t ) s i n7 r x 出一一o o ， a 8f o rp r o b l e m ( 5 ) ，( 8 ) ，( 9 ) w eh a v et h ef o l l o w i n gr e s u l t s t h e o r e m8a s s u m et h a t 妒c 2 ( _ r ) ，妒，妒d = 口h 4 i v 。( 0 ) = 移；( 1 ) = “( o ) = 。( 1 ) = o ) ，t h e nt h ep r o b l e m ( 5 ) ，( 8 ) ，( 9 ) a d m i t sl o c a lg e n e r h z e ds o l u t i o nu ( t ) 彤2 。( 0 ，卅，d ) ，w h e r e0 t t o ，【0 ，t o ) i st h em a x i m a lt i m ei n t e r v a lo fe x i t e n c eo f ( ) m o r e o v e r ，i f s u pi l u ( t ) 怕 0 为常数，9 ( s ) 为给定的非线性函数，铷( z ) 和 钉。( z ) 为给定的初值函数，下标z 和t 分别表示对z 和t 求导数 为了研究c a u c h y 问题( 1 1 ) ，( 1 2 ) ，利用比例变换 口( z ，t ) 一u ( u ，r ) = u ( x ，、，岔) 方程( 1 , 1 ) 可以改写为 a u r r 一鲫一a “y y r r + o 札矿+ o t 正矿f r = 夕( u ) w 或 乱。一“鲫一“咿，+ 矿+ 钍矿，= ：b ) + ( 1 一n ) “】鲫 不失一般性，在第二章中我们研究下面的c a u c h y 问题 钍“一“鲋一“船t t + 乱$ 4 + “。4 托= 庐( 乱) 。z ，茁r ，t 0 ，( 1 3 ) 仳( z ，0 ) = “o ( z ) ， t ( z ，0 ) = 钍l ( z ) ， z r ， ( 1 4 ) 其中札( z ，t ) 表示未知函数，妒( s ) 为给定的非线性函数，“o ( z ) 和仳，( z ) 为给定 的初值函数 2 0 0 1 年文献【1 】研究具有曲面张力的水波问题时，提出了如下的六阶非线 性波动方程 睨一一埘+ o t 似+ 4 “= ( v 2 ) ( 1 5 ) 其中廿( z ，t ) 是未知函数，a r ( r 是实数集) 显然当a 0 时，方程( 1 5 ) 是 方程( 1 1 ) 的特殊情况 我们知道，1 8 7 2 年b o u s s i n e q 提出了描述浅水波的励方程 v t t 一。一v x 4 = ( v 2 ) 。z ，( 1 6 ) 1 人们也称它为“坏”的b q 方程改进的印方程，我们称它为i b q 方程，是 t 一t k v x 2 怯= 0 2 ) 修正的i b q 方程( 我们称其为i m b q 方程) ( 见【2 】) 是 毗一。一2 “一( 秽3 ) 。 文献【3 】在小初值的情况下证明了方程 饥f 一。+ z 协= 盯( 口) 。， ( 1 7 ) ( 1 8 ) ( 1 9 ) 的c a u c h y 问题存在整体解因为哪的系数为1 ，大于零，我们称此方程为 “好”的印方程，关于“好”的b q 方程，“好”的b q 型方程以及“好”的 i m b q 型方程的初边值问题与c a u c h y 问题已有不少好结果，见【2 1 3 “坏” 的励方程和“坏”的劢型方程的定解问题也有一些好的结果，见【1 4 1 6 】方 程( 1 5 ) 与i m b q 方程有相似之处，所以当a 0 时，我们称方程( 1 5 ) 和( 1 1 ) 为“好”的i m b q 型方程，当a 0 的具有初边值条件 或初边值条件 u ( 0 ，t ) = “( 1 ，t ) = 钍。( 0 ，t ) = u 。( 1 ，t ) = 0 ，t 0 ( 茹，0 ) = 妒( z ) ，u t ( z ，0 ) = 妒( z ) ，z 【0 ，1 】 ( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) 让。( o ，t ) = u x ( 1 ，t ) = u 一( 0 ，t ) = 仳一( 1 ，t ) = 0 ， t 0 ， ( 1 1 3 ) 2 u ( 茁，0 ) = 妒( z ) ，t t ( z ，0 ) = 妒( z ) ， z 【0 ，1 】 的问题，其中n 0 为常数，妒( s ) 为给定的非线性函数，妒( z ) 和妒( z ) 为给定 的初值函数我们证明上述问题存在局部广义解，并给出整体解不存在的充分 条件 3 第二章c a u c h y 问题( 1 3 ) ，( 1 4 ) 本章用下列记号和函数空间用驴( 尺) ( 1 p o o ) 表示定义在r 上的实值 函数通常的l e b e s g u e 空间，筒记为1 2 ，并赋予范数i i f l l ，= i l f l l p 和l = i i f l l 2 ； s 阶的s o b o l e v 空间记为伊( 月) = h 8 ，并赋予范数i f h 驴= | i ( i 一磋) f l l ，其中，为 单位算子，以= 杀和s r 1 c a u c h y 问题( 1 3 ) ，( 1 4 ) 局部解的存在性与惟一性 在这一节利用压缩映射原理证明c a u c h y 问题( 1 3 ) ，( 1 4 ) 局部解的存在性和 惟一性为此将方程( 1 3 ) 改写为 “+ “= l d p ( u ) + p u( 2 1 ) 其中算子l = ( 1 一磋+ 磷) - 1 磋和算子p = ( 1 一理+ 磋) 为了建立压缩映射来证 明c a u c h y 问题( 1 3 ) ，( 1 4 ) 局部解的存在性和惟一性，需要下面的几个引理 我们首先研究以下线性方程的c a u c h y 问题 u “+ = h ( x ，) ，x r ，t 0 ，( 2 2 ) u ( x ，0 ) = u o ( x ) ，u t ( x ，0 ) = u 1 ( z ) ， z r ( 2 3 ) 对于c a u c h y 问题( 2 2 ) ，( 2 3 ) 有下面的引理 引理2 1 设ser ，对任意的t 0 ， u o h 8 ，钍1 h 8 和h ( x ，t ) l 1 ( f 0 ，t i ；h 5 ) ， 则c a u c h y 问题( 2 2 ) ，( 2 3 ) 存在惟一解u c 1 ( 【0 ，纠；h 8 ) ，且有估计 懈，t ) 怯+ m 。，t ) 怖2 ( 1 l u o i i - + i l u l 怯+ 上懈，7 ) 怯d 7 - ) ( 2 4 ) 又若对任意的t 0 ，u o h 8 ，1 h 8 ， ( z ，t ) c ( 【o ，卅；h 8 ) ，则c a u c h y 问题 ( 2 2 ) ，( 2 3 ) 存在惟一解“c 2 ( 0 ，t i ；h 8 ) ，且有估计 ， m ，t ) 怯+ ，t ) l l h + 1 1 u t t ( ，) 怯3 ( 1 1 钍。怕+ l h a + l l h ( ，7 - ) 怯+ 上懈，7 - ) 怯打) 4 证明首先假定u o ，u l s ( r ) 和h c ”( 【o ，卅；s ( 只) ) ，其中s ( r ) 为速降函数 空间对( 2 2 ) 和( 2 3 ) 关于变量z 进行f o u r i e r 变换得 砬。( ，t ) + 砬( f ，t ) = 丘( 毒，) ， 砬( ，0 ) = t 如( ) ， 矗t ( f ，0 ) = ：啦( ) ， 其中也表示u 的f o u r i e r 变换解这个常微分方程的c a u c h y 问题得 绯= 砺( ) c 0 8 t + 碗( 伽i n + r 8 i n ( 一m ( 印) 机 ( 2 5 ) 注意到c o s t 和s i n t 本身以及它们关于t 的导数都是有界的光滑函数f o u r i e r 变换是s ( r ) 到s ( r ) 的同构，因此由( 2 5 ) 确定解c ”( 【o ，刀；s ( r ) ) 对( 2 5 ) 做f o u r i e r 逆变换推出 “( z = 去上c o s t e i z f 痂( ) 武+ 去上s i n 碗( ) $ + 孺1 o 五s i n ( f 一丁) e 域讹r ) 撕 ( 2 6 ) 若记 刚m ( z ) = 而1r s i n t e i x m ( f ) 武， 则( 2 6 ) 式可写为 “( z ，) = 国s ( ) 札。( z ) + s ( f ) “l ( z ) + o s 。一7 - ) 。，r ) 打 ( 2 7 ) 下面对( 2 7 ) 式的各项作如下估计 i i o t s ( t ) u 。( z ) 0 伊= 1 1 ( 1 + 2 ) 岛( f ) c o s 圳 l i ( 1 + f 2 ) 砺( ) 0 = j i “o l b ，( 2 8 ) i s ( t ) u l l i h = i l ( 1 + 2 ) m 偿) s i n t l | l i ( 1 + 2 ) 啦 ) 0 = i i 趾。日。，( 2 9 ) l if o s ( t r ) ( z ，r ) d r l l h = 1 1 ( 1 + 2 ) 5f o ts i n ( t 一丁) 矗心，r ) d r o 茎o ( 1 + 孵s i n ( 卜丁) 酏r ) l l d ，- 口( 1 + 2 ) 矗( 钉) i i d r = o ，r 川俨缸( 2 1 0 ) 结合( 2 8 ) 一( 2 1 0 ) 得 m ，t ) 怯1 1 伽1 1 - , + 慨i i - + 上f l h ( 。，r ) 怯机 ( 2 1 1 ) ( 2 7 ) 式两端对t 求导得 毗扛，t ) = a s ( t ) “。( z ) + a s o ) u l o ) + 上o t s ( t 一下) 危( z ，r ) d ， ( 2 1 2 ) 其中 a s ( t ) t ( z ) = 了1 翥正c o s 搿砬- ( ) 武； 1， & s ( ) 札。( z ) = 一号斋厶s l n 。e 磁硒( ) 必。 由上式可导出估计 l i a 。s ( t ) u o i i h = i i ( 1 + 2 ) ( 一s i n t f i o ( ) ) ) j | l i ( 1 + 2 ) 砬o ) ) | i = l j z 幻j 日。； ( 2 1 3 ) i i o t s ( t ) u l i i h 。= 0 ( 1 + 2 ) ；c o s t 矗1 任) ) 0 i i ( 1 + f 2 ) 疵，( ) ) 0 = i i 札1 l i 何。；( 2 1 4 ) 嵋a s ( 一r ) ( ”) d ，- i i 俨= m + 2 ) f o t c o s ( t r ) 地r ) d r | l j ( 。1 1 ( 1 + 2 ) c 。s ( 一椭( ，r ) l l d ，- a ( 1 + 掰地丁) 忖= 尉 ( ，r ) 怯机( 2 1 5 ) 综合( 2 1 2 ) 一( 2 1 5 ) 得 f l u , ( ，) i i 伊l l u o i i - + l l u l i l 伊+ j c l l h ( ，r ) i i - 一d r 由( 2 i i ) 式和上式得 m 圳俨+ m 矧驴s 2 ( l 伊+ b + z 。l l h ( ，下) 怯d r ) 由于s ( r ) 在h 5 ( 矗) 中稠密，c 。( 【o ，卅) 在l 1 ( o ，t i ) 中稠密，所以对u o ， ，危kt ) l i ( 0 ，刀；护) ，估计式( 2 4 ) 对由( 2 5 ) 确定的“( z ，t ) 仍成立 6 解的存在性现在证明对于u 0 h 5 朋h 8 和h ( x ，t ) l 1 ( o ，刀；h 5 ) ，c a u c h y 问题( 2 2 ) ，( 2 3 ) 存在惟一解且有估计式( 2 4 ) 因为s ( r ) 在h s ( r ) 中稠密， c ”( o ，明；s ( r ) ) 在l 1 ( 【0 ，明；s ( r ) ) 中稠密选取序列 札j o ，j o ：o l ， u j l ，j o ：0 1 cs ( r ) 和 ( z ，t ) 提lcc 。( 【o ，z l ；s ( r ) ) ，使得当 一0 ( 3 时，有 i i 碥一珈0 一0 ，i i 讲一札1 f f 俨一0 ， i i h j h i l l t ( 【o 卅；h ) 一0 记( 。，t ) 是c a u c h y 问题( 2 2 ) ，( 2 3 ) 关于初值函数磊( 茹) ，讲( z ) 和右端项h j ( x ，t ) 的解记 x ( t ) = c 1 ( 【o ，卅；h 8 ) ， 其范数定义为 x ( t ) 。m a 、x 。( 1 1 , ! ( 删俨+ ，t ) 1 1 ，) ， 则x ( t ) 是一b a n a c h 空间对于光滑解( z ，t ) 有 i i ( ，t ) | | 俨+ i i 遥( ，t ) l l 驴2 ( 1 1 , 1 6 1 t 俨+ o 翻l i 俨+ z i i ( ，7 - ) 1 1 伊d r ) 从而 o ( ，) - - u k ( ，) o x ( t ) 2 ( | | t 鼋一“3 f h 一十i j q 一“ l i h s + o 。i i 7 矿( ，丁) 一 ( ，r ) 1 1 日，d 丁) 所以 ( z ，) 撰t 是x ( t ) 中的基本序列，于是此序列在x ( 丁) 中收敛于极限函 数u ( x ，t ) 因此“( z ，t ) 是c a u c h y 问题( 2 2 ) ，( 2 3 ) 的解且u c 1 ( 【o ，卅，h 8 ) 惟一性设u - ( z ，f ) 和u 2 ( x ，t ) 是c a u c h y 问题( 2 2 ) ，( 2 3 ) 的两个解，令u ( x ，t ) = 仳l ( z ，t ) 一u 2 ( z ，) ，则u ( z ，t ) 满足 z r t 0 u ( x ，0 ) = 0 ，撕( z ，0 ) = 0 ， z r 因为札，珏z c 1 ( 【o ，卅；h 8 ) ，利用( 2 4 ) 式有 | l u ( ，t ) l l h 。+ lj u t ( ，t ) 1 1 0 7 所以u l ( 置t ) = u 2 ( z ，) 类似地可以证明引理2 1 的后半部分，引理证毕 在证明c a u c h y 问题( 1 3 ) ，( 1 4 ) 局部解存在的过程中须用到下面的引理 引理2 2 设s 0 ，算子l 在上是有界的，即 i l u 1 1 i l u l l 。 证明对于“h s ，s 0 ，我们有 i i l u i i h = 1 1 ( 1 - 磋) l u i l = 1 1 ( 1 + 2 ) r 干亏；可缸1 1 ，u o h 5 和u l h 8 ，考察空间 x ( t ) = u l u c 1 ( 【o ，卅；日8 ) ， 其范数定义为 x ( q2 黝( m ，t ) l i 刊缸t ( ，t ) i l a ) ，v u x ( t ) 易证对任意的t 0 ，x ( t ) 是一b a n a c h 空间 如果uex ( t ) ，由s o b o l e v 嵌入定理知，“c 1 ( 【o ，刀；l 。) 且l 。sg b ， 令b = i l u o i b + 。i b 定义集合 y ( t ) = x ( t ) i u ( x ，0 ) = “0 0 ) ，毗扛，0 ) = l ( z ) ，i i 训i x ( 研4 b 显然对任意的t 0 ，y ( t ) 是x ( t ) 中的有界闭凸子集 v w ( x ，t ) y ( t ) 考虑线性方程 钍“+ 牡= l ( u ) + p w ( 2 1 6 ) 利用引理2 2 2 4 有 i i l ( w ) + p w h h - 0 l 妒( u ) 1 1 日+ l i p u l l - i l 妒( u ) i i h 一+ i i u ( ，t ) 1 1 c 1 ( 6 ) l | 。( ，t ) 1 1 + i f u ( ，t ) 1 1 ，= ( c 1 ( 6 ) + 1 ) i l u ( ，t ) 1 1 。 其中c - ( 6 ) 是依赖于b 的常数，故聊( u ) + p w l 1 ( i o ，刀；h 5 ) 由引理2 1 知，问题( 2 1 6 ) ，( 2 3 ) 存在惟一解“x ( t ) 令s 表示u y ( t ) 到问 题( 2 1 6 ) ，( 2 3 ) 惟一解的映射下面证明s ：y ( t ) 一y ( t ) 是严格压缩的 引理2 6 设s ，o 伊，钍1eh 8 ，c i 8 】+ 1 ( r ) 和( o ) = 0 ，则当t 相对于 b 足够小时，s ：y ( t ) 一y ( t ) 是严格压缩的 证明首先证明s 映y ( t ) 到y ( t ) 设w ( x ，t ) ，( t ) ，令 ( 茹，t ) = 踯) + p o ， 由引理2 2 2 4 得 f i h ( ，t ) i i 俨= i l i e ( u ) + p u l l - i l l 妒( u ) l f f = f 一+ i i p u l l - ， lj 砂( u ) i l h + l i p u l l - 一sa ( 6 ) i i u ( ，t ) 1 1 一十i i “，( ，t ) 1 1 = ( c 1 ( b ) + 1 ) i l u ( ，t ) i l h 。 9 由上面的不等式知，h l 1 ( 【0 ，邪；h 5 ) ，由引理2 1 推出问题( 2 1 6 ) ，( 2 3 ) 存在惟 一性解u ( x ，t ) = s w ( x ，t ) c 1 ( 【0 ，卅；h 5 ) 且有估计 懈瑚怕，圳仳疋一怕2 ( j u o 怯l + u lb + 巾m ，r ) 1 1 伊d r ) 2 ( b o l l + i l u , 1 1 ) + 2 ( a ( 6 ) + 1 ) 。m 。a x 。1 1 w ( ，t ) 1 1 一t 2 ( 1 t u o l b 。+ i l u l l l ) + 2 ( a ( 6 ) + 1 ) i i “，l i x ( t ) t 2 b + 8 b ( c i ( 6 ) + 1 ) z 取 t 硒而1 而， ( 2 1 7 ) 则i l u l l x m 4 b ，故s 映y ( t ) 到y ( t ) 下面证明s ：y ( t ) 一y ( t ) 是严格压缩的 设“，1 ( 茹，) ，叻( z ，t ) y ( t ) 记u l