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广西大学硕士学位论文 两类差分方程的全局性质i 两类差分方程的全局性质 摘要 差分方程( 或递归序列) 被看作是微分方程及延迟微分方程的离散化和数字 解，在经济学、生态学、生理学、生物学、物理、工程、神经网络、社会科学等 方面有着十分广泛的应用对差分方程的研究就是讨论它的解的最终性态， 包括振动性、循环长度及全局渐近稳定性等本文主要研究两类非线性差分 方程的全局性质 在第一章，我们简要介绍了差分方程的历史背景、发展现状以及与本文相 关的一些已知结果 在第二章，我们考虑非线性差分方程 盟坠塾旦二型，。：o ，1 z n 一 其中k 1 ，2 ，) ，研究了该方程在一定的条件下的解的振动性和循环长度， 推广并改进了已有的相关结果 在第三章，我们研究高阶非线性差分方程 一篆等蓑暑薏躺，一叭， 其中b 0 ，c o ) ，女21 ，i o i ，i 2 k 0 ，l ，) 且i o i 1 i 2 k ，初始值 z 一呲，z m + l ，x o ( o i o 。) ，p o ( z n 一。o ) = x n 一。o ，q o ( 茁。一i o ) = 1 ；p j ( z n 一沁- ，x n - ) = ( x n - i 2 ，z i 2 j i + 1 ) 弓一1 ( z o ，一，x n - i 巧一2 ) + ( x n - i 卸+ x n - - i 材一1 ) q j l ( x n 一一，x n - - i 玎一2 ) ， q y ( x n t 。， ，x n - i 巧) = ( x n - 。材z 。一i 玎一l + 1 ) ( b 一1 ( z n 一 o ，x n - i 一2 ) + ( x n - - i 2 ，+ x n - - i 一1 ) b 一( z 。- 1 0 ，x n - - i 2 j - 2 ) ，v1 j k 我们得到了该方程的若干性质，并证明了它 的平衡点是全局渐近稳定的 关键词：差分方程平衡点振动性循环长度全局渐近稳定性 广西大学硕士学位论文两类差分方程的全局性质i i t h eg l o b a lb e h a v i o ro ft w oc l a s s e so fd i f f e r e n c ee q u a t i o n s a b s t r a c t d i f f e r e n c ee q u a t i o n s ( o rr e c u r s i v es e q u e n c e s ) a r ec o n s i d e r e da st h ed i s c r e t i z a t i o na n d n u m e r i c a ls o l u t i o n so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，w h i c hh a v e g r e a tn u m b e ro fa p p l i c a t i o n si ne c o n o m i c s ，e c o l o g y , p h y s i o l o g y ，b i o l o g y , p h y s i c s ，e n g i n e e r i n g ， n e u r a ln e t w o r k ，s o c i a ls c i e n c e s ，e t c t h ei n v e s t i g a t i o no nd i f f e r e n c ee q u a t i o ni st od i s c u s si t s e v e n t u a l l yb e h a v i o ro ft h es o l u t i o n s ，i n c l u d i n go s c i l l a t i o n ，c y c l el e n g t ha n dg l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t y ，e r e t h i sp a p e rm a i n l ys t u d i e st h eg l o b a lb e h a v i o ro ft w oc l a s s e so fn o n l i n e a r d i f f e r e n c ee q u a t i o n s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，t h eh i s t o r i c a lb a c k g r o u n d ，t h er e c e n td e v e l o p m e n tt e n d e n c yo ft h e d i f f e r e n c ee q u a t i o n sa n ds o m er e l a t i v ek n o w nr e s u l t sa r ei n t r o d u c e db r i e f l y i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ec o n s i d e rt h eo s c i l l a t i o na n dc y c l el e n g t hu n d e rc e r t a i nc o n - d i t i o n sf o rs o l u t i o n so fak i n do fn o n l i n e a rd i f f e r e n c ee q u a t i o n x n + l ：盟蔓生_ _ ：型型，n ：0 州1 一， w h e r e l ，2 ， s o m er e s u l t sf o rt h et h eo s c i l l a t i o na n dc y c l el e n g t ho ft h ed i f f e r e n c e e q u a t i o na r eo b t a i n e d ，w h i c hi m p r o v es o m ek n o w nr e s u l t s i nt h et h i r dc h a p t e r ，w es t u d yt h ef o l l o w i n gh i g h e ro r d e rn o n l i n e a rd i f f e r e n c ee q u a t i o n 一篆羔篡专蓑嫦，n 扎”一， w h e r eb 0 ，) ，k 1 ，i 0 ，i l ，一，i 2 k o ，1 ， w i t hi o i l i 2 k ，t h ei n i t i a l c o n d i t i o n s 。一i 2 k ，z 1 2 k + 1 ，x o ( 0 ，o o ) ，p o ( z m o ) = x n - t o ，q o ( z n t o ) = 1a n df o ra n y 1sj k ， b ( z 。一i o ，- ，x n - 2 ，) = ( x n - z n 一 一l + 1 ) 乃一1 ( z n i o ，。，x n - - i 2 ，一2 ) + ( x n - t 2 j + x n - - t 2 ，一1 ) q j 一1 ( z n 一一，x n - 2 j 一2 ) ， q = n t o ，x n - ，2 ，) = ( x n - t 卸z n t 2 ，一i + 1 ) q j l ( 。n 一 o ， ，x n - i 一2 ) + ( x n - 吗+ x n - 吗一。) 弓一l ( 。自，x n - 奶一2 ) s e v e r a lp r o p e r t i e so ft h ee q u a t i o na r eo b t a i n e da n dw ep r o v et h a ti t se q u i l i b r i u mi sg l o b - a l l ya s y m p t o t i c a l l ys t a b l e k e y w o r d s ：d i f f e r e n c ee q u a t i o n s ；e q u i l i b r i u m ；o s c i l l a t i o n ；c y c l el e n g t h ；g l o b a l a s y m p t o t i cs t a b i l i t y 广西大学硕士学位论文两类差分方程的全局性质- l 1 1 引言 第一章绪论 差分方程是数学研究特别是动力系统中的一个重要分支，具有重要的理论意义和应 用价值动力系统的研究起源于十九世纪八十年代h p o i n c a r e ( 1 8 5 4 - 1 9 1 2 ) 创立的微分方 程定性理论，或称微分方程的几何理论，其精神是不通过微分方程的显示解而直接研究 解的几何和拓扑性质由于从生产实际和科学研究中所遇到的微分方程往往很复杂，在 很多情况下都不可能给出解的解析表达式，为了得到近似解或研究解的性质，这时需要 把方程加以离散化，研究相应的差分方程差分方程反映的是关于离散变量的取值与变 化规律，针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性 质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程通过求出和分 析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质( 平衡性、全局渐近稳定性、振动性、循环 长度、周期性等) ，从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步苒结合其它分析， 得到原问题的解从本质上来说，凡是变量的离散值存在某种递推关系的现象，都涉及 到差分方程，而且离散模型更有利于计算机进行数值模拟和迭代计算差分方程已被广 泛应用于研究计算机科学、经济学、生态学、生理学、生物学、神经网络、控制论、天体 力学、统计物理、流体力学、气象学及社会科学等领域中出现的离散模型，同时，数学学 科的许多其他分支也开始从离散动力系统一差分方程的角度来研究其领域的问题 差分方程理论研究的历史非常短，真正开始于上个世纪9 0 年代初期，近十多年的 时间发展得较为迅猛，出现了大批研究成果在这些成果中，比较有影响的代表著作有 r p a g a r w a l1 9 9 2 年出版的专著【2 0 ，v lk o c i c 和gl a d a s1 9 9 3 年出版的专著【1 8 等 其中，专著f 1 8 】在介绍基本理论、总结已有结果与方法的基础上，提出了许多“公开问 题与猜想”；另外，mr sk u l e n o v i 和gl a d a s 等人在文献 2 1 】中，在对二阶非线性差 分方程进行了比较系统的研究的同时，也提出了许多“公开问题与猜想”，供研究者去探 讨这些问题引起了研究者的强烈兴趣，无疑也为初始研究者，尤其是那些初入门而找 不到研究问题的人，提供了极好的、现成的研究课题 1 9 9 5 年国际差分方程专业期刊j o u r n a lo fd i f f e r e n c ee q u a t i o n sa n da p p l i c a - t i o n s * 的创立更加推动了差分方程理论研究的发展，为差分方程的交流与合作提供了 一个专业舞台尤其，该杂志的编辑gl a d a s 教授把各国学者在研究中遇到不能解决的 问题，以“公开问题与猜想”的形式在杂志专栏上提出，激起了人们的研究兴趣，促进了 差分方程理论研究的进一步发展 然而，差分方程理论的研究还很不成熟，有待于人们进一步的探讨正如vl k o c i c 和gl a d a s 在其专著 1 8 】中所言：“这是一个正处于孕育阶段的肥沃的研究领域” 广西大学硕士学位论文 两类差分方程的全局性质2 wgk e l l y 和ac p e t e r s o n 1 9 1 也展望：差分方程是一个丰富的领域，既有趣又有用 由于微分方程的振动性理论较为成熟，结果也较多，研究微分方程振动性的一些理 论、方法及其工具可转借用到研究差分方程的振动性上来，所以，差分方程的振动性研 究结果也非常多，参见专著1 1 8 ，2 0 ，2 2 2 4 】及论文【l 一4 ，1 1 ，2 5 6 8 】其中，文 2 6 3 2 】研究了 二阶差分方程的振动性，有关二阶差分方程振动性的研究相对容易，研究方法主要有： ( 1 ) 利用l y a p u n o v 函数( 【2 6 】) ；( 2 ) 数学分析的技巧( 2 7 ) ；( 3 ) 广义r i c c a t i 变换( 1 2 s 3 2 1 ) ， 整体思路均由反证法导出矛盾：即假定方程存在非振动解，然后根据已知条件和假定，设 法推出矛盾，从而得到所讨论的方程全体解振动的充分条件，这一点可参见上面列出的 关于振动性结果的几乎所有文献然而，目前关于二阶以上的高阶非线性差分方程的振 动性的研究还是相对较少，究其原因，作者认为，差分方程的研究与微分方程的研究相 比，在某种意义下，可以说更为困难这是因为在微分方程的研究中，求积分和求微分有 现成的公式和方法，对于高阶微分和多重积分也是如此，但是高阶求和问题却是一个十 分繁复的问题，即使利用m a p l e 和m a t l a b 等数学软件也并未能真正解决d pm i s h e v 与w t p a t u l a 在【6 9 中采用了一种新颖的方法证明方程的解振动该方法的主要思想 是：证明差分方程解的正、负半循环中元素个数的最大数目都有上界，从而解必振动 这也是我们第一次看到用直接证明的方法证明差分方程的解振动不用反证法研究差分 方程解的振动性是一个有待于进一步探索的课题 知道在什么条件下差分方程的解振动，仅仅是从宏观上了解方程解的性质，而知道 振动时解是如何振动的，比较而言，更有微观意义和精确性，这就需要研究循环长度( 相 当于微分方程的零点距) 、循环上的极限位置、半循环项数出现的规律等等，这些研究更 有现实意义和应用价值例如，对于离散的l o g i s t i c 人i ：1 模型z 。+ 1 = a x 。( 1 一x n + 1 ) ，方 程的解 ) 表示n 时刻人口的数量( 或密度) ，正、负半循环对应人口数量在平衡值( 环 境所能承载的人口数量) 上下的情况；知道正、负半循环的长度就能知道人口数量出现在 平衡位置上下的时间长短；知道正、负半循环上的极值位置就能确定相应时段人口数量 到达高峰与低谷的时间，等等这些结果可以为决策者制定人口政策提供理论依据，非 常有实际意义有关循环长度研究方面的文献可参见论文1 ，7 1 ，7 2 1 在客观世界中，离散系统和离散现象大量存在，差分方程有时比微分方程更能精确 地反映现实，因此，研究差分方程的全局渐近稳定性就具有重要的现实意义，有关这方 面的文献也越来越多，参见专著 1 8 ，2 0 】及论文 1 1 ，1 3 - 1 7 ，7 3 9 9 】其中，文 9 1 9 3 1 主要研 究了差分方程在周期解存在的基础上，通过进一步构造离散形式的l y a p u n o v 函数，得 到所讨论的离散系统存在唯一、全局渐近稳定的周期解的充分条件文【9 4 9 9 】主要研究 了差分方程的持久性及全局渐近稳定性，其中，文【9 4 】， 9 5 先通过建立映射，得到了周 期解的存在性，再通过构造离散形式的l y a p u n o v 函数，得到存在全局渐近稳定的周期 解对差分方程平衡点虿全局渐近稳定性的研究，目前用得较多也较为有效的方法是分 析半循环、取上极限与下极限的方法；即考察方程解的正半循环的极大值序列z m 与负 广西大学硕士学位论文两类差分方程的全局性质3 半循环的极小值序列z 。，证明 l i ms u px m i = l i m 打z ，z m 。= 面 t o o ot o o 即可vl k o c i c 与g l a d a s 的专著【1 8 中介绍的“负反馈条件”及am a m l e h ，n k r u s e 和gl a d a s 1 2 】中阐述的“强负反馈条件”也是两个有效的方法不过，一般差分方程很 难满足【1 2 】中的“强负反馈条件”，寻找有效的手段研究差分方程的全局渐近稳定性还有 待于进一步探索 总之，广泛的应用背景促使差分方程理论迅速而深入地发展，这些研究的结果所采 用的方法大多受到微分方程中有关问题研究方法的启发，把微分方程的结果离散化有时 就能得到相应差分方程的结果但由于差分方程与微分方程的明显差别，甚至是本质上 的差异，许多微分方程所采用的方法并不能完全照搬研究差分方程，致使差分方程，特 别是高阶非线性差分方程的研究方法和手段相对较少因此，研究高阶非线性差分方程 需要在研究方法上不断改进，从而促进差分方程理论的发展，同时也为其他学科的发展 提供基础 1 2 本文得到的主要结果 在第二章中，我们考察了一类非线性差分方程的振动性和循环长度，形如 z 州：盟丛坠l l 剑，。：0 州1 一， “n k 其中 1 ，2 ，) 且，满足下面的假定： ( h 1 ) f ee ( o ，+ ) ，( 0 ，+ ) ； ( 2 ) 存在8 0 ，1 ，一，k 一1 ) 使得，( “o ，u k 一1 ) 对u i ( i ( s ，一1 ) ) 是递 增的，对撕( t o ，1 ，k l 一 s ，k 一1 ) ) 是非减的； ( h 3 ) 方程( 212 ) 有唯一正平衡点，记为i ； ( 凰) 函数f ( x ，z ) 肛在( 0 ，+ o 。) 中是非增的 所得到的结果包含了【l 】中的相关结论，并改进了已有的相关结果主要结果是 定理2 2l 如果方程( 21 2 ) 满足条件( 日1 ) 一( 凰) ，那么它的每一个非平凡解都关 于虿严格振动 定理2 24 如果( h 1 ) 一( 地) 满足，并且0s8sk 一2 ，则方程( 21 2 ) 的非平凡解 z 。) 器一的每一个半循环的长度至多为2 + 1 定理2 25 如果( 日1 ) 一( 凰) 满足，并且8 = k 一1 ，则方程( 2 1 2 ) 的非平凡解 墨叁堂塑主堂堡鱼圭： 堕兰差尘三墅型兰垒鱼盟4 z 。) 器一的每一个半循环的长度至多为2 k + 2 在第三章中，我们研究了高阶非线性差分方程 x n + l = 篆等蓑暑薏揣，一， ( 31 _ 1 ) 2 丙瓦i i i i 丽”_ u k p 。叫 其中b o ，o 。) ，1 ，i o ，i 1 ，i 2 t 0 ，l ，) 且i o i l 札。 及n 2 n o ，使得有z 。l 0 成立 定义1 3 4 一个实数序列 z 。) 称为关于实数虿严格振动，是指 z 。一i ) 关于0 严 格振动 广西大学硕士学位论文两类差分方程的全局性质5 定义1 3 5 对于所有的n r 】r + 1 ，s ) ，如果有z 。一面0 和x r - l 一膏 0 及 z 1 一虿 0 ，使得当z k ，z k + 1 ，x o ，且i x l 一虿l 0 与a = 0 这两种不同的情形而d a r w e n 等注意到a = 0 与 a 0 时的循环长度和极值呈现出了不同的结果近年来，对l y n e s s 方程的研究，引起 了人们的极大兴趣，比如 3 - 4 受他们的工作的启发，本章考虑以下更一般的非线性差分方程 。+ 1 ：地奠生e _ 生业，n ：0 “1 一，( 2 1 2 ) 正n k 其中k 1 ，2 ，) 且，满足下面的假定： ( h 1 ) ，g ( o ，+ o 。) ，( 0 ，+ ) 】； ( h 2 ) 存在s o ，l ，k 一1 ，使得，0 0 ，“k 1 ) 对啦0 s ，一1 ) 是递增 的，对0 0 ，1 ，一1 ) 一 s ，k 一1 ) ) 是非减的； ( h 3 ) 方程( 2 1 2 ) 有唯一正平衡点，记为虿， ( 凰) 函数，i z ，x ) x 在( o ，+ o 。) 上是非增的 2 2 差分方程x n + l = 业业号兰! 吐出的振动性 这一节，我们研究方程( 2 1 2 ) 的( 严格) 振动性 定理2 2 1 如果方程( 21 2 ) 满足条件( h x ) 一( 风) ，那么它的每一个非平凡解都关 于面严格振动 证明用反证法假设方程( 2 1 2 ) 存在一个非平凡解 。) 甚一 关于虿不严格振动 则存在n o ，使得对所有的n n o ，有z 。_ ；或对所有的7 2 n o ，有z 。虿 不妨设第一种情形成立，即对于所有的n n o ，有z 。虿( z 。虿时的证明类 广西大学硕士学位论文 两类差分方程的全局性质7 似，略) 记b = z 。，一，x n o + k ) ，设j = m a x r ：t o r n 0 + k ，z ，= m a x ( b ) 由 于 z 。) 是一个非平凡解，则有x j 虿令c = 。o + + 1 ，x n o + 2 k ，设j7 = m i n r ： 礼o + k + 1 r t o + 2 k ，x ，= m a x ( g ) ) 我们断言x j = q ，事实上，若x j x j ，则由( h 2 ) 可知 一盟型鼍芦二型 x j ，则由( h 2 ) 可知 x j + k + l = 丛生专掣 这又直接导致矛盾，断言证毕 且 虹：! 兰2 = z 堕：! 型：虿 一 茁 同理可证m a x z 帅+ 2 + 1 ，x n 0 + 3 ) = x j 因为 ，+ k + 1 。 x y - k - l = f ( x j ，+ k ，一，+ k 一。 x i , ! 兰! ! 二兰1 2 ( 至! ：! 型= o f ( x j ，一1 ，一，q ，一1 一。，一，。，一k ) x j , ! 兰：二型 面从而 叫m 。= 垃坚生暑竽型 矛盾，定理22l 证毕 堕：j 翌：2 曼：! 型：虿 一xj， 一 面 口 2 3 差分方程x n + l = 地咝号兰址血的循环长度 本节，我们研究方程( 2 1 2 ) 的循环长度首先证明以下两个引理 广西大学硕士学位论文两类差分方程的全局性质8 引理2 3 1 若方程( 2 1 2 ) 满足( h 1 ) 一( 4 ) ，则它的解 z 。) 箍一k 的任意负半循环的 长度至多为2 + 1 证明用反证法假设存在2 k + 2 个相邻点z 。( n o 一一1 n 他o + ) ，使得z 。 堕：! 型 一xj 一 虿 情形2j n o 一1 则有 - = 丛坚专掣 丝趔韭! 兰：! 型：z x j z 矛盾，引理2 3 1 证毕 口 引理2 3 2 设x n o - - “，x n o + k 是长为2 k + 2 的相邻点，它们包含在方程( 2 1 2 ) 的非平凡解 x n ) 罂一的一个正半循环中若条件( 历) 一( 凰) 满足，贝j l x 于f f ：y , 1 i k 有x n o - t = 。 虿，并且对于任意1 isk 有z 。“= z 。一一1 = 虿 证明设j = m i n r ：n o k 一1 r n o + k ，z ，= m a x x 。一k 一1 ，一，x n o + k ) 如果j 7 2 0 ，则由方程( 2 1 2 ) 和( 1 t 2 ) 可得 ，= 迎芝专掣 丝趔韭! 兰塑：虿 x j z 这与一k l 虿矛盾，故j n o 对某个i 1 ，k + 1 ) ，设，= n o i ，则 z n 。+ t t + ，= 1 1 兰! ! ! ! = ；裂 ! 兰! ：! 兰2 ( 至：! 塑 一 z i j = z 由于z n 。+ 一i + 1 茁，则有x n o + k 一件1 = i 且x j = 。n 。一i = z n 。一i + 1 广西大学硕士学位论文 两类差分方程的全局性质9 从而 若i 2 ，则同理可得 讲z = 丛气暑产型 亟：! 型 堕：! 望：虿 一xi 一 虿 由于x n o + k 一件2 虿，从而有x n o + k i + 2 = 虿且= x n o - - i = x n o - - i + l = x n o - i + 2 仿此继续下去，可得 z “o + 一i + l = z n o + k i + 2 = + = z “o + k 一1 = x n o + k = 面， x n o t 2x n o i + 1 2 2x n o 一1 2x n 0 2 一一丛掣 鱼! ：! 型 z 由引理2 32 可知 且 茁“0 4 - 1 一o “o + 2 = = z “o + k 一1 = o “o + = i x n o k 2z ”o k + l 。2x n o 一1 2x n 0 2x j 由于n o + 1 n o + k s 一1 ，则有x n o + k 一8 一l = 茁，从而 ! ! 兰! ! ! 二! ! ：! 兰旦! ! = ! = ! ! ：! 兰! 12 x n o 一1 鱼! ：! 型 茸由引理2 3 2 可 知 z “o + l = z “o + 2 = 。= z “o + 一1 = z “o + k = i 及 从而有 x n 0 一 2x n o k + l2 2x n o 一12x n o2x j 茸由引理 232 可得 f x r + l ：坼x m r t 22 ：一x r 榭+ k + + l 。： 通过简单的计算可知：对于任意i ( 2 ，k + 2 ) 和s 1 ，) 有 巢# 虿，。 虿，s 且s 为偶数 茁、i s k 其中四= 业三号鲁= 剑归纳可得 因此，长为2 + 2 的正半循环只会出现一次 口 注3 例242 推广了【1 】中的定理5 3 嚣 s s且且 2 2 s 一 瓦吁 s s + + 耳珥 jf_j，、-l 广西大学硕士学位论文两类差分方程的全局性质1 2 第三章差分方程z 州= 磊杀警毒鲁豪端的全局性质 3 1 引言 有些差分方程的形式( 或表达式) 看起来很简单，但要完全了解它们解的全局性质 却极其困难正因如此，才激发人们经常去研究差分方程的定性性质( 可参见【5 9 ) 在文献 7 】中，l a d a s 提出研究下面有理差分方程的全局渐近稳定性： z 。+ 1 - x n - - x n _ i l x n _ 2 ，n = o ，l ， ( e 1 ) x n x n - - 1 + z n 一2 其中，初始值z 一2 ，z “x o r + i ( 0 ，+ ) 在文献【8 】8 中，n e s e m a n n 利用【1 2 】中的强负反馈性研究了下面的差分方程： l = 堡生掣，n = o ，1 ，( e 2 ) x n x n - - 1 + x n - - 2 其中，初始值。一2 ，z 一1 ，z o r + 在文献【9 】中，p a p a s c h i n o p o u l o s 和s c h i n a s 研究了下面非线性差分方程的全局渐 近稳定性： ，：垦堑丝雩霉坠坠：! 生，。：j ，1 ，( 删 厶讵z kx n - i 其中 1 ，2 ，3 ，) ， 工j 一1 ) cz k ； 0 ，1 ，) ，初始值z k ，。一k + 1 ，x o r + 最近，李先义在文献 1 0 ，1 1 】中研究了下面两个非线性差分方程的全局渐近稳定性： 坼- = 堕x n - 1 蓑2 篙兰1 x n 等- 3 兰x n2篇xn3a ，n 砘 z n 一十z n 一 十 一一十l 十 及 坼= 曩x n 等1 曩n 篡- 3 老x n1篇xn3 ，一叭， z n 一十z n 0 + 一一十l + 0 其中。 0 ，+ o 。) ，初始值z 一3 ，z 一2 ，z 一1 ，z o r + ( e 4 ) ( e 5 ) 设1 , i o ，i l ，i 2 k o ，1 ，) 且i o i l i 2 k ；令p 0 ( z 。一 o ) = x n - 。o q o ( 。_ 0 ) = 1 ；对于任意1 j k ，设 弓( 茁n 一 。，x n - 2 ，) = ( x n - - t 2 ，。n 一幻一1 + 1 ) 5 一l ( x n t 。，x n - t 材一：) + ( 。n 一 2 + x n - - i 2 卜1 ) q j 一1 ( z n 一一，x n - 纠一2 ) 曼查堂塑堂堡笙塞 堕叁叁坌查堡塑全鱼丝堕- 1 3 且 岛( 。f 0 x n - 纠) = ( z n i 材茹n i 2 卜l + 1 ) q j l ( x 。一幻，- ，x n - - 。2 ，一2 ) + ( z n _ 1 2 ，+ x n - t 可一1 ) b 一1 ( 。- 0 ，x n - - 吗一2 ) 本章研究下面的差分方程 其中b 0 ，。o ) - = 篆寒烹制 初始值。_ i 2 k ，z - i 2 k + 1 ，z o ( 0 ，。) n = 0 1 易知方程( 3 1 1 ) 的正平衡点虿满足 一 r ( 虿，虿，- ，虿) + b 一瓦葛i t 捕 一( 翌! ! 垦二- ( 虿，虿，- - ，_ ) + 2 茁q k 一- ( z ，虿，- ，_ ) + b ( 2 + 1 ) q 一1 ( 虿，虿，- 一，面) 午1 云i i j 石i 云_ _ _ 丽 则有 ( 虿一1 ) 【( - 2 + _ ) q k l ( 虿，z ，一，虿) + ( 虿+ 1 ) r 一1 ( 面，面，虿) + 6 】= 0 由此可知方程( 3 1 1 ) 有唯一的一个正平衡点z = 1 注设k = 1 ，则当( i o ，i l ，i 2 ) = ( 1 ，2 ，3 ) 时，方程( 3 1 1 ) 即为方程( e 4 ) ；当 ( i o ，i l ，i 2 ) = ( 0 ，1 ，3 ) 时，方程( 3 1 1 ) 即为方程( e s ) 3 2 差分方程z 州= 型q k ( 堡x n - 业i 0 , 坠x n - 生i t , 兰 , x n 趔- i 2 , 。) + b 正解的性质 本节，我们研究方程( 311 ) 的正解的性质因为 r ( z n t 。，x n - i l ，。，x n - - ，2 k ) 一q k ( z n 一如，。l - i l ，z n t 2 ) = ( z n t ：k 1 ) ( z n 一 ：。一。一1 ) 【r 一1 ( z n 一。，一，x n - t ：b 一2 ) 一q k l ( 。一如，一，z 。一 2 k 一2 ) 2 ( x n t ：t 一1 ) ( z n l ，。，一1 ) - ( x n - - t 。一1 ) ( 。一n 一1 ) 【r ( z 。一如) 一q o ( z 。一 0 ) 】 一( x n - t 。一1 ) ( z 。一t l 一1 ) ( x n - i ：。一1 ) ， 则由方程( 3 1 1 ) 可知：对于任意的n 0 ，有 坼，。= 是鬟暑翁 z ， 定义3 2 l 设 。n ) 巽也。是差分方程( 3 1 1 ) 的一个解， n 。) 器。( n 。 - 1 ，0 ，1 ) ) 为一个序列如果当。 1 时，0 n ：1 ， 则称 a n c o ：- 2 。为 x n ) 罂也。的旅程 广西大学硕士学位论文两类差分方程的全局性质1 4 由方程( 3 2 1 ) 可得 命题3 2 1 设 z n ) 甚。是方程( 3 1 1 ) 的旅程为 o 。) 一o o i 。的解，则对于任意的 n 20 有a n + l = a n - i o a n t i 一a n - i 2 k 命题3 22 设 z n ) 黯- 2 。是方程( 31 1 ) 的一个解，则对于任意的n 1 , x 。1 钳 n 銎。扛一j 一1 ) 0 证明设 z 。) 怒_ f 2 。的旅程为 ) 器- i 2 。，则由命题3 2 1 可知：对于任意的n 1 ，。1 甘对于任意的n 1 ，n 。o 甘兀銎o o j o 错兀銎o 一j 1 ) 0 口 命题3 2 3 如果存在se o ，1 ，2 一1 ) ，使得g c d ( i 。+ 1 ，i 2 k + 1 ) = l ，则方程 ( 3 1 1 ) 的一个正解 x n ) 一o o i 。终于等于1 = = 存在p 一i 2 k ，使得z p = 1 证明= 号显然 一如果存在p 一i 2 k ，使得= 1 ，则o p = 0 ，其中 器吨。是 z 。) 甚- 1 2 。 的旅程则由命题3 2 1 可知：对于任意的j 0 ，有q “2 k + 1 ) + p = ( 针1 ) + p = 0 因为 g c d ( i ，+ 1 ，i 2 k + 1 ) = 1 ，则可知：对于任意t o ，1 ，i 2 k ，存在 1 ，2 ， 2 + 1 ) 及m o ，1 ，i 。q - 1 ) 使得 j t ( i 。+ 1 ) = m t ( i 2 k + 1 ) + t 结合命题3 2 1 可得 a ( i 。+ 1 ) ( 。2 k + 1 ) + ”p = 0 再由命题3 21 可知：对于任意n ( 蟊+ 1 ) ( i 2 k + 1 ) + p ，有a 。= 0 因此，对于任意的 礼( i 。+ 1 ) ( i 2 + 1 ) + p ，有z 。一1 口 例32 4 考虑差分方程 坼，= 兰x ni o 笔x ni 案x 骞ni 鲁3 孥x n 慕x n 箸3 端1 ，一o ，一 一l 十一o z n 一+一l一+ + d 其中b 【0 ，+ o 。) ，0 i o i 1 3 ，初始值z 幽z 一2 ，z - 1 1 z o r + ( 3 2 2 ) 的旅程为 o 。) 器一3 的解，那么 1 ， 设 ，( 3 2 2 ) z 。) 甚一。是方程 ( 1 ) 如果 z n ) 是一3 不是终于等于1 ，且( o ，i i ) ( o ，1 ) ，( 1 ，2 ) ) ，则 n n ) 器一3 是个7 周期序列； 列 ( 2 ) 如果 x n ) 器一3 不是终于等于1 ，且( i o ，i l ) = ( 0 ，2 ) ，则 o 。) 甚一3 是个6 周期序 ( 3 ) z n l ，vn 0 车= 争n o ：一3 ( 一1 ) 0 广西大学硕士学位论文两类差分方程的全局性质 1 5 ( 4 ) z 。) 甚一3 终于等于1 = 争存在p 一3 ，使得x p = l 证明( 1 ) 若( i o ，i - ) = ( 0 ，1 ) ，由命题3 2 1 可得：对于任意n 0 ，有 凸n + 4 = o n + 3 n n + 2 n n = a n + 2 a a + l o n 一1 口n + 2 0 ” 5 0 n + 1 a n a ”12a n a n 一1 一3 a n 一1 = a n 一3 如果( i o ，i l ) = ( 1 ，2 ) ，则同理可证：对于任意的n 0 ，有a 。+ 。= a n 一3 成立 ( 2 ) 如果( i o ，i l ) = ( 0 ，2 ) ，由命题3 2 i 可得：对于任意的n 0 ，有 a n + 32a n + 2 a n a n 一12a n + l a n 一1 一2 a r i a n 一1 = a n + l a n a n 一2 = a n a n - 2 a n - 3 a n a n 一2 = a n 一3 ( 3 ) 由命题3 22 可得 ( 4 ) 由命题3 23 可知：或者有g c d ( i o + 1 ，4 ) = l ，或者有g c d ( i 1 + 1 ，4 ) = 1 3 ：3 差分方程z n + = 袅罡老宝等筹享端的全局渐近稳定性 本节，我们将研究方程( 3 1 1 ) 的全局渐近稳定性我们需用到下面两个引理 口 目l 理3 3 1 设( y o ，y l ，+ 一，y i 2 k ) r 辛+ 1 一 ( 1 ，1 ，。，1 ) ) 且m = m a x y j ，寺i o j i 2 k ，则 土 丽1 ，或者有 m a 丽1 易证 p 1 ( 玑。，y i 。，y i ：) = ( 玑。玑。+ 1 ) y i 。+ ( 玑，+ y l 。) ( y l 。y 1 2 + 1 ) + ( y i ，+ y 1 2 ) 可。o = q 1 ( y l o ，y 1 1 ，y i ：) 由此可得 p 2 ( 玑o ，y l 。，y i ：，y 1 3 ，可t 4 ) 一( 玑3 y l 。+ 1 ) p l ( 玑o ，y l 。，y 1 2 ) + ( y 1 3 + y i 4 ) q 1 (