（基础数学专业论文）一类拓扑空间θ复形的研究.pdf

f i - 甲师越 学碗士学位论文 摘要 d 治蝴与g 树“弓 入了剐帕一8 一闭空间，用滤予和覆盖的语啬进行 劐画，势在文后提出了六个公开阔蘸；文 2 3 中列举三个反麟否定强答了其 中的四个阍题：本文g 入了8 一蔓形的概念，在8 一复形中讨论了出埘鼽矾m m 与g f “f f 撼出的下述三个问题： 问题1 s 琦一毋闲空阗能始躇国v s ( 砖鸥? 问题2 s ( h ) 一闭空闫能嵌入干g ) 一8 一隧空嘲玛? 问题3 ( z ，f 。) 是夏的当且仅当( 工，f ) 满足什么条件? 在# 一复影中，我们肯定毯答了阀艇l 和鹅题2 ，并给出了阚题3 成立的一个 充分必要条件。 第一节是引言和预备知识；第二节给出了8 复形的概念；为了更加明 鞭8 一复形婀概念，嚣三节碰举了鳗个非9 一复形帮两个0 一复形的例子；免 了描述8 一复形中顶点、开滤子与闭滤子之问的关系，第西带给出了8 一复形 的图的概念。得出0 ，复形的图的些基本性质；第五节研究了日一复形的 极小性，巢积性和嵌入性。为了便于勰题鑫争研燮，我稍给出如下三个引理： l 理5 。1 设丁为不带颈点静现幻m 铲裁，赠r 为局部紧馥正捌空闽。 引理5 2 设毋为于上的一个极大闭滤子，若“棚= d ，则必有； ( 1 ) v 磬e 毋 v a 取引1 扛，出) 鲍簪母；躐者 ( 2 ) v 8 溉哥芦q ，叠n 毋x 糟，毡) - 引理5 3 设r 是不带顶点的m 。”扳，h 为r ，j ：的极大开滤子，若 耐h ；$ 则： 诎，妨x ，咄) ：v 岱 ? p r o b l e m2 c a ne v e r ys ( ) 一d o s e d 印a c eb ce m b e d d e d 谊a 1 1 s ( 砷一0 一 c l o s e ds p a c e ? p r o b l 雠3 c h 掰瑰c t e r i z e 斑es 辨c e s x ，f ) s l 妫 王l a t 菇，b ) i s 露 i n 日一c o m p l e x ，w eg i v e t h ea 1 1 s w t o p r o b l e mla n d p m b l c m2 i l lm ep o s i t i v e ， 擅1 1 da l s 0s b o was u 爆c i e n t 龃d 辩c e s s a 翠c o n d i 畦o nu n d e fw h i c h ( x ，勺) i s 鼍。 l ns e 蹦衄li 的翻c t i o na 耐p f e l m i 娃a f i e s8 r e 辨s e 撤丽，ks e c t i o n2w e g i v et h e n c 印to f9 一c o m p l e x ，1 ns e “o n3 $ i xe x a 瑚p l e sa r ep r o v i d e dt o e x p l a i nm ed e 蠡1 l i t i o no f 毋一c o m p i e x i 芏ls e c t i o n4 ，i no r d e ft od e s c 抽et h e r e l a 硅锄s 翻u tv 。f 瓢，o p e n 蠡l 鼢勰dc l 。s e d 麝l 自鼹 雠嚣v e 斑ed e 蠡n i t i o no f p c o m p i e x sg r a p h ，a n ds h a waf e wp r o p e r t i e sa b o u t0 一c o m p i e x sg r a p h ；i n s e c n 蛐5 ，w e 咖d yt h e o p o 呈o g i c a lp r o p e 嘣e so f8 c o l n p l e xc o n c e m i n g m i n i m a 薹 嗷p r o d u c 谯拄i l de m b c 畦d i 藏g 1 no 畦e f 协鼠i l i t 鼬e 氆er e s 髓羚h ，粥每v e t l l r c el e m m a sa sf b l l o w s ： l e m 瑚l a5 1l e trb eat y c h o n o 宣翻a l l kw h i c hd o e s n th a v ev e 蹴x e s ，t b e n f i s a l o e 越王y c o m p a c t 擀g 破a rs p a ， l e m m a5 2l e t b e 蚰u l t 啪l t e r i n 丁，o d 毋= 曲，m e n ： ( 1 ) f o r e a c hb 结，柚d e a d la ，四n 陋，) 。q 毋妒；o r ( 动f 醅e a e h 孟笏，强d 龆穗筘 母，雪n 静x 涕，毡) 簪。 3 ! 呈堕堕查兰堕主兰些堡奎 一 l e m m a5 3 l e trb eat y c h o n o f fp l a 缺w l n c hd o e s n th a v ev e n e x e s ， b e 姐1 1 1 t r a 6 l t e r i n7 - ，“d “= 妒，t h e n ( “，) ( 卢，q ) ：v a ，j b q ) u f u n h e 珊o r e w es h o wt h em a i nr c s l l l t sa sf o l l o w s ： t h e o r e m 5 1a 口一c o m p l c x 丘i ss ( 一c l o s e di f 蛐do n l yi f f o re a c h c e n a l f i l t c r p o i mu ，( 主工，2 n 一1 ) 1 t h e o r e r n 5 2 a0 一c o m p l e xki ss ( n ) 一日一c l o s e d i f 锄d0 1 1 l y i f f o re a c h l i m b i c f i n e r p o i n t 毋，( 孵，2 h ) 1 n l e o r e 玎1 5 3l e tkb ea 口一c o m p l e xa 1 1 di t s p hg ，t l l e n ki 8 s e m i r e 删a ri f a n do n l vi f t l l e r ed o e s n te x i s t1 i m b i cf i l t e rp o i n t s u c h 也a t ( 凹，2 ) = l ，矗( 凹) = l t h e o r e m5 4l e t ( k ，r ) b ea0 一c o m p l e x ，t h e n ( 芷，) i s 正i fa n do n l y i f ( k ，f ) i ss ( 3 ) 一s p a c e t h e o r e m5 5a9 一c o m p l e x 世i sm i n i m a l s ( m s p a c ei fa i 】do i l l yi f ( 1 ) ki sa 1 1s ( ”) 一8 p a c e ； f 2 1t h e r ed o e m te x i s tl i “i b i c6 l t c r 凹s u c h t 1 1 a t ( 娜，2 ) = 1 ，如( 叮) = 1 ； ( 3 ) l e t l 工b ea c e i l 锄f i l t e r p o i n t 甜1 d ( 王工，1 ) = o ，t l l e n ( h ，2 n 一1 ) 2 t h e o 埘n5 6a 臼一c o 唧l e xki sa 砌打d v s 0 ) s p a c ei f 柚do n l yi f ki sa l l s ( 曲一s p a c e t h 肋r e m5 7l e t 置k 姐s ( ) 一c l o s e d 日一c o m p l e x ，t i l e nk c 姐b e e m b e d d e d i na l ls ( ”) 一日一c l o s e ds p a c e k e y w o r d s ：t 弘h o n o 盱p l 趾k ； c e 蛐a lf i l t e tp o i n t ；l i “l b i cf i l t e rp o i n t 0 一c o m p l e x ；g r a p h o f0 一c o m p l e x ； m i m m a ls ( n ) 一印a c e 曲阜师范大学硕士学位论文 弓i 富 第一节引言和预备知识 d 踟w 蹦与g 妇靠“ l 入了s ( ”卜疗一闭空间，髑s 即一1 ) 一滤子和 s 一1 ) 覆盖内部刻画了s ( n ) 一9 一闭空间，证明了：m 女，对于每个拟 s 0 + 女) 一0 一闭空间( ，f ) ，( z ，珞) 是拟s ( h ) 一日一闭的，一个拓扑空间是 s ( n 卜闭空间当且仪当它的半正则佬是s ( 坊一闭的；臀一闭空间与s ( ”) 一闭空 间的乘积仍是s ( h ) 一闭的，紧空闻与s ( ) 日闭空间的乘积仍是s ( ) 一日一 闭的，鼠在文后提出了六个公开问题。文 2 列举三个反例否定回答了其中 的四个问题。我们借用文 1 及文( 2 的思想，构造了类特殊的拓扑空间一 9 一复形，本文引入了0 一复形的概念，在0 复形中讨论了由d f 妇d ，和 与 g i “z ，提出的下述三个问题： 问题1 双h ) 一9 闭空间能赫施如v 一剐吗? 问越2 s ( n ) 一闭空间能嵌入予s ( ”) 一口一闭空间吗? 问越3 ( x ，) 魑正的当且仅当 ，r ) 满足什么条件? 为了更加明晰8 一复形的概念，第四节我们定义了挣一复形的的豳结构， 给出了0 一复形图结构的基本性质：第五节讨论了p 一复形的拓扑性质，在日一 复形中肯定回答了问题1 和问题2 ，并给出了问题3 成立的充分必要条件。 2 预备知识 定义1 m 拓扑空辩的子集m 的口一闭包瓯 f 为： 噶m = 扛l 帆d ，百n m ) m 是9 一湔集，如果m = c m 。同时称肖m 为9 一开的。 定义 2 1 】描扑空间盖的子集占称为x 点的n 一邻域，如果存在开 | 阜师范火学硕士学位论文 集链q c u 2 c c 虬c 8 ，且满足：x 岳q ，蟊c 珥f _ 1 ，2 ，推一l 。 若b 还是开( 闭) 集就称b 是x 点的h 一开( f j j ) 邻域。 霆义 子集膨熬扩一蠲像 c j j l ，= 扛：x 点的每个n 一闭邻域交m 非空 定义 4 搦耗羚空精羔秣兔s 畸一空溺，若对手疆慧不鞫两患墨芦， x gc m 。s ( ) 一空间称为s ( n ) 一闭空间，若卫可以作为闭子集嵌入到 s ( ) 一空间巾。s ( 功一空闯稼为s ( 磅一8 一闲空翔，如果并可以作为9 一闭集嵌 入到s ( 吣一空间中。 定义1 5 1 1 辨是集族，令9 t 是包含集合“，丑及爿n 嚣的集族，客是筑 的子集族，瓣粜满是 ( 1 ) 毋鲁孑； ( 2 ) 饕4 ，4 孑，劐4 n 4 善。 0 ) 嚣一器量名4 敦，剿蠢芒茬； 就称孑是撒中的滤予。9 t 中的滤子笤称为是极大的，如果对于9 t 中的任意 包含吝的滤子孑，郡有蕃= 善。 定义1 6 哺蚤黾并中的滤子，n c 乇。最：以孑 称为孑的矿一接触集，记 作峨孑。 定义1 7 2 1 如果( 髫，f ) 是s ( h ) 一空间，髓不存在f 叫r ，使得( ，f ，) 是 s 枷卜空阐，就称( 五r ) 是极小s ( h ) 一空间。 定义1 8 “怒拓扑空间，如果对于的任意开覆盖磐， 女 3 8 ，啦，“t ，健褥l 箩：= 并，s 稻 j 毒 则称是科一闭空间。 曲阜师范大学硕士学位论文 定义1 9 滤子蔼与蓬称为s ( ”) 一分离的。如果i 最s 援，旺s 蕊且曩 与五为s 0 ) 一分离的。 定义1 1 0 撼扑空问( 嚣i ) 为一致滤子分离的，如果v 口e ，蕃与 开滤予筑是s ( 哟一分离的，且础抵= ，d 吒，挽2 p ) ，则孑与羔蕺s ( ”) 一分 裹。其中墨燕= 黛置：v 8 e a 五蕊 t 8 曲卑师范大学硕士学使论立 第二节0 一复形的概念 首先回顾一些基本的知识：用表示龌小的可数序数，q 表示鼹小不可 数序数；s 氓) 表承由所有小予等于的廖数组成的爨有序拓幸卜的拓扑空 闻，s 7 ( ) = s ) 执 先s ( ) 的子空闻，s ( q ) 表示所有小于等于镪静序 数组成的具有序拓扑的拓扑空间，s ( 岫) = s ( 蚺) q 为s ( q ) 的予空间。 定义隳积空闻s ( ) s ( 嗥) 的子空闯 s 铙) x s 晒) ) 、( 魄，q ) 为不带顶点 静跏 q 扩板，记为f 。 令r = r u ( p + 如下定义r 上的拓扑：【，是开集当且仅当 ( 1 1 n 丁为r 中野集； ( 2 ) p u 剩存农a s ( q ) 鹣璎点 ，q ) 是茏鞠煮。 用图表示为： s ( ) s 强) 图3 1 不带顶点的印c o h 够板r 曲卑师范大学硕士学位论文 图3 2 带顶点的跏矗d n 够板r 易知毗b o n 0 板r 不是正规空间，因为其中的两个闭子集 缸i a 峨) 她) 及 卢l 卢q ) 不能用不相交的开集分离，利用这一性 质d 洳口h 向 构造了若干个胁z m 幽r 矿非正则的例子，本文发展了这一想法， 进一步定义了日一复形。 定义2 2 设集合置= u7 ：，其中l ，f _ 1 ，2 ，n 是耻 q 矿板，集合k 上 l l 的拓扑r 如下定义： u r 当且仅当【，n z 为霉中的开集 若拓扑空间( k ，f ) 中任意两个7 埘e 矿板的交要么是空集，要么是一个顶 点，要么是耻 d n q 矿板一条边，则称拓扑空间丘为一个日一复形。 定义2 3 设世为一个8 一复形，若对k 中任意两条边，都存在” ， 使该两条边不能s ( h ) 一分离，则称足为连通的0 一复形。否则，称k 为不连 通的8 一复形。 曲阜师范大学顾_ ：学位论文 第三节几个例子 由于仅从z 如加一q 矿板的边与边，顶点与顶点的粘合而言，情形相当复 杂。为了更加明晰0 一复形的概念，以及便于以后进一步研究相关的更复杂 的图形，现在列举一些例子。方便起见，先作如下简单约定： 设r 是一个，m o h 够板，令 五= 1 r ，e = 2 ) r 记等价关系： ( 1 ，a ，) ( 2 ，a ，) ，a 帆 为 1 s ( q ) 一 2 s ( q ) 吐) 。 同理，记等价关系： ( 1 ，卢，q ) ( 2 ，卢，q ) ，卢 为( 1 s ( ) 。q 2 ) s ( ) 。q 。 例1 设r 是不带顶点的加加m 汐板，令五= 1 ) r ，t = ( 2 r ，在 五u 五上作等价关系： 1 ) s ( q ) 2 ) s ( q ) ； 1 ) 。q 。s ( ) 2 ) 。q “s ( ) ； 其它点自身等价。 则五u 疋，作成的商空间就不是一个日一复形。因为在z u l ，中，两个 7 弘加月够板的交有两条边。形如图3 1 ： d c 图3 1 其中硎e c 表示五，o 爿马c 表示正。 曲牟! | i | i 蓖 学顿0 。学位论文 例2 设五是不带顶点韵7 y 曲m 够板，q 为s ( q ) 上一点：设五是一个带 项点豹黔b 眵叛，p 为其顶点。在夏u 乏上传等徐荚系： p 一垡。 其宦点自身等价。 粼王u 是，捧残豹薄空阉也不燕一个9 一复澎* 因为在霉u 爰，中，g 不是嚣的顶点。形如图3 2 ： s ( ) 硒) 姐) 罄3 2 由此说明0 一复形中必须是顶点姆顶点相粘食。 倒3 设f = s ( ) x s ( q ) 、( 蛾强) 是一个举带颈点鹣势曲q 矿扳，令 m = ”) r ，” ，在u 上建立等价关系一： 舯l 对m x s ( 强) 一妇+ 1 ) x 甜x s ( 嗥) ，h 为奇数孵： 竹x 联甜) ”镪一研+ 1 ) x s ( ) x q ，n 为偶数时； 其它点自身等价。 粼u 乏，俸藏豹亵察淘瞧不是一个p 一复形，蠢舞我粕定义戆8 一复澎要求 只有有限个狮胁q 扩板的有序粘台，而这种无限个7 弦胁”q 矿板粘合而成的 拓扑空间逝；# 拳有趣。形如图3 3 ： 曲争师范大学硕士学位论文 s r s ( q ) s ( ) 图3 3 例4 设r 是一个带顶点的耻 o n 够板，p 为其顶点，令 写= 1 ) x r ，疋= 2 丁 在五u 正上建立等价关系： ( 1 。p 2 。p ； 1 ) s ( q ) 一 2 s ( q ) ； 其它点自身等价。 则墨u 疋一作成的商空间也不是一个日一复形，因为在正u 正中两个 即 o q 矿板的交为一个顶点与一条边。形如图3 4 ： s ( ) s ( ) s ( ) 图3 4 例5 设五，l 为”个印c 。d 1 板，由其作成的直和拓扑空间 互。正o o 疋则为日一复形。显然这是一个非连通的日一复形。 陆申! | i | i 扎大学硕士学能论文 例6 设r 是带顶点的巧帕。h q 矿板，p 为其顶点；设r 是不带顶点的 帮。b ，# 蜉援，令 = 辫x r ，露= 2 x r ，嚣= 霉x 歹 在五u 如u 以上作等价芙系： l x 尹一 茸x p ； 砖s ( 峨) 掰一 萄s f 婢x a 醅： 2 ) 。皑x s ( ) 3 。哪s ( ) 2 其它点囊鸯等徐。 澍霉u 霞u 嚣，一箨畿翡离窒润爵楚一辛8 一复澎f 0 。搿始葭s s ： s f 图3 5 口一复澎0 ) 曲阜师范大学硕士学位论文 第四节p 一复形的图结构 为了更加形象赢观的摧述0 一复形中颓点、- 歼滤子与闻滤子之间的关系， 我们给出了概念：p 一复形的圈。 定义4 1 设r 是一个黟c 幻鞠莎扳，称闭滤子 泌，) 。q ：找( 与 街x 【芦，q ) ：筘 q 为耻幻h q 扩板r 的边滤子点，记为毋。称开滤子 缸，垃1 ) ( 筘，避) ：a 啦乒 q 为聊衲矿扳r 的中心滤予点，记为n 。称边滤子点孵与中心滤子点王笼 关联的，如果v 8 8 孵，v u n ，有b n 疗# # 。称中心滤子点l i 与顶点p 是关 联的，如果p 耐娃：否则称为是不关联的。 鼗然在一个8 一复形率，顶点与遍滤予点只畿与中心滤予点关联，丽与 其它顶点和边滤予点都不关联。每个中心滤子点一定摄少与一个边滤子点关 联，搬四同时与一个顶点关联。 定必4 2 设爱是一个# 一复形，譬的匿g 鼹指一个有痔三元缀 ( y ( g ) 层( g ) ，) 。萁中矿( g ) 袭乐k 中所有聊抽h 够极上的边滤予点，中心 滤子点及所有顶点缀成的集合# e ( g ) 是不与y ( g ) 相交的选集；面是关联 函数，窀使s 静簿条边对应予6 盼无穿煮对，弼虽满跫：与丽一逑相连静两 点必须怒关联的。 因为我们讨论的8 一复形是由有限个脚c 。，“2 矿扳缀成，故8 一复形的图 是有敲溪。 为了便于理解网的许多性质，我们用图形表示图，边滤子点用实点“” 表示，帆b 滤子点用虚点“o ”表示，顶点用“o ”表承，每条边用线表示。 铡翔，在第三节恻6 串静8 一笺形c ) 靛凿为 l 一 图4 19 一复形如) 的图 曲卑师范大学硕士学位论文 一条边的端点称为与这条边关联，反之亦然。与同一条边关联的两个点 称为相邻；与同一个点关联的两条边也称为是相邻的。 定义43 设g 是8 一复形k 的图，v 矿( g ) ，点v 的度以( v ) 是指g 中与 v 关联的边的数目。 性质4 1 设置是9 一复形，g 为其图，则对任意的中心滤子点王上，有 2 如( n ) 3 。 证明：设置= u 王，z 为7 渺o h 够板，对于任意的中心滤子点i i ，则 ，= l 习f s 使得v ue 工l ，u z 。 ( 1 ) 当l 为带顶点的咖 d ”q 矿板时，设其顶点为p ，则p 耐| 工，显然 p 矿( g ) ，由定义知p 与关联；而i 的两个边滤予点 毋，= f ) a ，) 。q ：口 ) 及毋：= “f 【卢，q ) ：卢q ) 显然都与中心滤 子点“关联。因此蟊( n ) = 3 。 ( 2 ) 当z 为不带顶点的7 m o r l 够板时，与“关联的仅为两个边滤子 毋。= f ) ，) 。q ：a 及毋：= j ) 【卢，q ) ：卢 q ) ，故如( 王工) = 2 。 由( 1 ) ( 2 ) 可知：2 靠( ) 3 。 定义44 日一复形世的图g 的一条途径是指一个有限的非空序列 w = v l v 2 以，称是从u 到的一条途径。点v l 和闭滤子点心分别称为w 的 起点和终点，而v 2 心一。称为它的内部顶点。称途径w 内所含边数为途径的长， 记为，( w ) 。 定义4 5 称一条路是闭的，如果它有正的长且起点和终点相同。 若一条闭迹的起点和内部顶点互不相同，则它称为圈。 定义4 6 若d 一复形世的图6 为圈，且y ( g ) 只包括两个边滤子点 “，) 。q ： 与 【卢，q ) ：卢 q 和两个中心滤子点 ( d ，) ( 卢，q ) ：a ，卢 鸹? 2 s ( 矬) 一翊空闯鼹嵌入于s 0 移一8 一耀空嘲吗? 3 ( z ，) 是t 的当且仅当( 爿，f ) 满足什么条件? 为了攫于弱麟麴磺竞，营先鲶瞧了下述毒令；l 璎： l 理s + 设r 为不带项点的黔幽睨矿板，刘r 必弱瓤紧的最则颦阕。 诞明：由题意可设 ? 霉s ( 妨x 5 笺链) 、0 q ) 箸鹣啦】x 溉毡】、甑毡) v 缸，芦) ，由予f o ，】及歉q 】怒紧的，救飘毋】x 取鹋】是紧鼍窆阕，进藤 【o ， p 。q ) 是正剐空闯。由干 ，芦) ，q ) ，故在f o 州【o ，q 】中存在开 集驻，襞褥 缸，眷) ，且国避) # 口 从而u ，疗分别为r 中汗集及f j j 集。显然扩为紧的，所豁r 怒局部紧的。 淀带疆点鲍z 如幻，够援却不是局部紧的，因冀f 顶点处存在 # 紧的闲邻 域；弼且墩不是融则空润，因为硬点就是 燕则点。 g 理s 2 设鼯为r 上的一个极大闭滤子，着曩d 糌一4 ，则必有： ( 1 ) v 8 毋，v 醴甜 b q 陋，蝣) 。啦簪；或者 ( v 嚣豫v 筘端，雪f 1 挪拶，坞) # 庐 谖明：倍为独自洲够板r 上韵极大溺滤予，故宥 。辩为【o ，】上的极大 闭滤予，出【o 】的紧性可知：墨球鞋赋国】，使褥挫耐撵l 璐；间理群2 磐必【o ，q 】 上的极大闭滤子，由【o 她】的紧圣生知：j 声，q 】，使得芦n d g ：磐。 些皇墅热查兰堕! ：兰! 遒! ( 1 ) 下证a = ，芦= q 。若不然，j ，a 2 ( 吐i a ，雠2 a ) ，使得 穗喂融，a 2 】且陋 ，a 2 】【o 峨】n 丑虫v 嚣e 霉 蠢【a ；，掰2 】渔避】弱紧性襄；蒯糌，与藏躲矛盾，技= e 鞠壤胃证 卢= ( 2 ) 蒋v b 荡，m 墨b 。从而v b ，m o q ) n 曰庐，则结论成 立。 ( 3 ) 若v b e 磐，如e 巩口，从而邶糌，【o ，妫。q n 口咖，则结论成 立。 ( 4 ) 嚣兰墨磐，国萑曩曩帮糖x ，避) q 蕊= 手 j 马结，e 码岛即【0 ，) 。q n 焉= j ( 女) 又因e 嬲 为，毡e 耐石2 毋故肖： v 联6 ，细咯，妨q 霆l 霉簪爹帮轴，妨鹣每】n 嚣拳t v 嚣磐 v 成q ，【风，蚋) n 商2 毋事妒即【o ，】f 风，q ) n b 聋妒，瓣。 由上述( $ ) 式可知： 【，搪) x 攮玛) q 嚣# 季 0 ，) x 【成，) n 丑妒，v b 姑 媾澎i 若存在 霸量热毽嫠褥甜筘2 嚣；儆次类摇鞠存在盎，热，t - 磊，t ， y 岫使得 盎 热或 且m 只口 困| 磊，趣，或”。 净毪，藏对v 黟强，秘x 【筘，国) n 毒霉妒。由曾秘经意佳鲡 【卢，吗) 芭钙 同理可褥v g ( m 宥妞，砷。q 孵。面【熙q ) n 融，。q = ，矛盾。 综童所述，命麓或立。 引避5 3 设丁是不带顶点的m d 砷板，i i 为r 上的极大开滤子，若 耐王l = $ ，则： 扭，鳓( 热镪) ：v a 峨筘 q 鞭 证明：若存在辑o ，风q ，u e “满足： ( 。妫x ( 岛，q ) n ，= 嚣舞秽是歼集，蘸瓴万陬瑟葡n 玎= t 帮 ( 口。，】( 风，q 】、( ，岫) n 【，掣庐 从而u c 烈( ，1 ( 风，q 】。由于烈取。，吐 】x ( 磊，q 】是紧的，故耐王王， 矛蘑。耩辍禽蓬残寂。 注由引理5 1 及引理5 2 可知，我们研究8 一复形韵s ( 田一p 一闭性质 以及s ( n ) 一闭性质，只要考虑闭滤子 骆，妨x 毽：v 窿 甜 ， 档【多，强) ：v 筘 憋 以及开滤予 ( a ，妫( p ，q ) ：v a ，v 芦 q ) 即可。 定理5 1 日一夏糖j ! r 是s ( n ) 一闭的当且仅当对任意的中心滤子点h ，有 琏2 h 1 ) l 。 证明；首先 芷明必要性，设口一复形彭是s 研) 一闭的，则对于任意的中 心滤子点i l ，有略“妒，不妨设p 峨“，则p 必为。一复形的顶点， 壶8 一鬟澎熟蚕懿定义霉翔g 王王，) = d ( 珏玲= 2 # 一l ，簸联琏2 一1 ) l 。 下筒证明充分性+ 设“为0 一复形世上的任意极大开滤子， 2 l 肋卑师范 学碘j 饽 位论文 ( i ) 若对任意的中心滤予王工+ ，都存在u 王i ，u 盯，使得u n 扩= ， 由引理5 1 以及引理5 2 知：删玉l 。 ( 娃) 若存在一个孛心滤予岔，对v v 辐v 矿g ，罄鸯彩疚g + 。 则极大开滤子“魁由中心滤予h 生成，由已知得： ( ，2 目一1 ) l 设8 一复形熬疆点尹满足d ( ，加= 2 聍一l ，凳l 对下述 薹寨瓣嚣集羧： p u l c “cu 2 c c c 瓯 有v c ，芒量i ，u n u 毋，从而p 嵋h ，即略h 廿 耄( i ) ( i i ) 翔，8 一菱形鬈是s f 磅一 l l 豹。 同理可证 定理5 28 一复形k 是s ( h ) 一日一闭的当且仅当对任意的边滤予点磐， 畜( 麓2 啦l 。 文【2 讨论了s ( 帕一8 一闭窝间的极小饿，给出了s ( 力一0 一f i j 空问是极小 s ( h ) 的充要条件，那么对于0 复形的极小性的研究又会有怎样的结果呢? 设墨；) 为据羚空闻，拜集弘是茏刘帮集，如果秽= ( 国8 ：e 并， ) 孛所鸯 正则开集为基生成的拓扑称为拓扑r 的半难剐化，记为f ，。显然，( z ，f ) 是 半正则的当且仅当k = f ；( z ，f ) 中所有的口一开集为纂生成的拓扑，记为f 。 在研究# 芷劐空阉对半正辩诧毒8 一溺毽怒嚣豢重要熬王是，它载乏阑熬关 系如下： g l 瑗5 4 m 并，f ) 是互的，则 ( 1 ) f ，；僦( ) 。 ( 2 ) f = b 净( 肖，f ) 是谶划的； ( 3 ) 是半燕剥鹊，鄄( t 羌= t e 引理5 5 。( ，r ) 是l 的，则下述等价： ( 1 ) r 搴皇t ； 2 ) ( x ，r 。) 怒正刚的； f b 阜! | i | 托人学砸b 学位论文 ( 3 ) 以是k 蝴雠盯算子。 定理5 3 设置是d 一复形，g 为其图，则是半难则的当且仅当不存在 边滤子点彩满足：( 瓣，2 ) = ，靠( 露) = l 。 证明：首先证明必要性，若存在边滤子点凹使得( 双2 ) = l ，靠( 凹) = 1 ， 则存在带顶点的耻加h 够板r 量且边滤子点孵在丁上。不妨设 薅= 融，) x 毡l 口 研，设p 为r 的顶点，由口一复形静构造可知：在r 上， 对口o ，芦。 q ，有 m 。，) x ( 岛，q ) u 西 海尹点抟歼集n 设v 为含p 点的芷则开集，则有g 。 蛾照 出| ，使褥 l ，街) x ( 届，呜) c u 从而u 位( ，m ) x ( 风，哪) u p ，放0 一复形x 不是半正则的，与已知矛盾， 所以充分性成立。 下面证明充分性，若8 一复影芷不是半正剡的，则j 开集u ，j 点口e u ， 及vp 点的开集o ，满足：( 西。窿u ，故p 点为茁中的非正则点，从而p 点 为嚣中的顶点：因臧，不妨设开集u 且痧、“：坳点的开集o j 构成一闭滤子， 则一定存在边滤子甜满足： vp 点的开集o ，j p e 田使得l 矿c 而) 。 ( 唪) ( 否则，d 为正列开集，矛盾) ，显然烈留，西= 2 ，在蹦疗中连接棼与p 酶中 心滤子点为。 ( i ) 当( 田) 2 时，则存在中心滤子点丑满足： i l “且吠王t ，露) = l ，烈n ，叠力= l 由于v u 芒n ，j 矿孵，使得矿c 疗、u ；又因为任意矿的邻域g ，则v 移芒矗 有疗n g ，从而矿芷( 疗) 。，这与 ) 矛盾。 ( i i ) 当( 留，2 ) 2 时，赠矽举p ，使得矗( 蟊) = 2 ，设在图g 中连接口 与的中心滤子为0 ，由口一复形的定义知$ ，则以( ) 2 。与( i ) 产 生矛盾。 由上述( i ) ( i i ) 知，边游予一定弼时满足：( 虢2 ) = i ，磷；( ) = l ， 这与已知矛盾。所以菇是半正则的。 曲中帅托人学顿l 学位论文 d f 棚，和h 在文 1 中提出问题；当( z ，r ) 满足何条件时( z ，t 。) 是瓦的? 显然空阐( 并，f ) 一定魑s ( 3 ) 一空间，但是也存在拓扑空间，它是s f 帕一空间， 魄；毽是( z ，勺) 萃是五靛，参冕文献【l j 。霹手8 一复形，囊程下达好 的结果： 定理5 4 设置是9 一复形，r 为其拓扑，则( k ，) 是墨的当且仪强( k ，f ) 是联霹一空掏。 证明；必要性悬晨然的，只需要证明充分性。由予口一复形彭悬由有限 个黟拍q 扩板组成，故只有有限个顶点，从丽只有有限个非正则点( 由引 蓬5 ，l 鹫妇，在菲爱鞠点娃帮楚弱部紧静，燕粼戆) 。 设璜点集合s = 协，岛，或 ，任意不间的两点”，v k ，下面分三种情 况讨论： ( i ) 毒“s ，p # s 黠，翔口，v 麴为( 拦，? ) 孛麴歪粼煮。叉因鸯 一空间为s ( ) 一闭的； ( 4 ) 一个s ( 妨一空润灸极夺蕺辩) 馥当展莰当饪嚣一个具有壤一接簸点 的开s 铆) 一滤子都收敛。 在p 一复形中我们如下刻画了极小联”) 空间： 定疆5 。8 一复形是援小s f * ) 一空瀚当显佼当 ( 1 ) 足是s ( 呻一空间： ( 2 ) 不存在边滤予点凹使得( 孵，2 ) = l ，噍( 鲇) = l ： ( 3 ) 若串心滤予点主王瀵是( 臻1 ) = 0 ，剩a 莲鞋，2 一1 ) 2 。 证明t 首先证必簧性，设置是0 一复形，r 为其拓扑，且是极小s ( 帕一空 间，显然置是s ( 一) 一的半正则空问。再由定耀5 1 知( 1 ) ( 2 ) 成立。下顾只需要 涯嗳( 3 ) 藏立： 若存在中心滤予点h ，使得( 工i ，1 ) = 0 ，( h ，2 一1 ) l 。由极小s ( n ) 一 空间必照s ( n ) 一闭密间，知( h ，2 n 1 ) = l ，由此可得， p 以p 娃，量# d 臻= = 枣 在芷上鞫造拓扑f ：矿f 当麒仅当 ( i ) p # 妒，矽f ； 呈主尹毫，l 尹京戆拜集y 及，移l 圭，使褥y u 拶形。 易知( 世，r ) 为s ( 哟一搬间，显然f f 。这岛( k ，r ) 为极小s ( ) 空间矛盾，故 ( 3 ) 成立。 下磷谨甓充分瞧，程设( 墨# ) 不是壤夸联# ) 戆，翊爨蠢一个嚣瓣s f 哟一滤 子孑具有唯一接触点，但不收敛；设耐吝= g ，但孑不收敛到g ，由条件( 2 ) 知，足赵半正则的，敞存在正则开集q 使得 f 害显f 虢晓 故有f 、q 中。又掰为( 或) 。= q ，所以，、蟊妒，则 堕璺甥堕查兰堡主兰堡堡兰一 f 、砭：f e 等 为芷上开滤子，记为i 王，扶两 m 0 量王蝇，孑= 积蕃= g 但积王王= 由条件( 3 ) 及引理可知：( k ，f ) 是s ( ”) 一闭的，故口吒王工= 口 ，从而g 为世中 顶点。鸯b l 理可知，存在一个中心滤予点移，使褥对v g e 棼，及v u 娃毫 g n u 妒，j 童积$ = 母，口略o = g ) 从而可以得到，( 崂，1 ) ：0 ， ，姻，2 目一1 ) = l 。这与条件( 3 ) 矛盾，敞( k ，f ) 是 极小s ( 砩瓣。 引谶5 6 翻若x 是半正则的s ( 帕一闭空问，则盖为极小s ( 啦一空间当且 仅当l l 开滤予王王使褥d d i b ，8 。王l 一 妨 _ - | 邂5 7设9 一复形( j ：，f ) 是s ( 哟一童闻，刘存在r f 使( 五，f ) 是 s ( ) 一闭密间。 证残：不嫡设( x ，r ) 不是s 磅一闲空瓣。令 雪= 王王：王王为譬中静中心滤子赢，且峨，主圭= 多 取p 嚣，如下定义f ；0 c7 当且仅当 ( i ) p # l ，时，o f ； i i ) p 鞋o 对，v h 嚣，b u e h 馒uu o 。 e “ 显然f + f 。要证( 鬈，f ) 是s ( 妨一闭空阃，只嚣证( 挺，f ) 是s 0 ) 一空阍即可。 由于i 嚣| ，￥g 为9 p l 存在g 点静舞集链 口k c k c k c 吒一i c k 。c k 戳及嘲，玉u 珏使餐k nuu 乒。由于( 式，彳) 是s ( 哟一空阅，易褥置，f 5 ) 是 u e # s ( ) 一空间。 定理5 68 一复形( 量，f ) 是黝积d v s 0 ) 的当且仅盘足是s ( 妨一闭的。 诞冁：壶；l 理s ? 可知，存在； f 搜( ，i ) 是 ) 一 l l 的，显然( 丘，r ) 中的非难则点数小于( 石，f ) 中的顶点数，从而可知，( 拦，f ) 中的非j e 则点数 抽卓l | i i i 范火学砸士学位论文 有限。令 s = ：i 串心澹予点i i 使摄蒯n ；热8 略艇= 砖j 敞l s 。 ( i ) 当s 。时，( 茂r 。) 为极小s ( h ) 一空间。 ( 釜) 毒s 章手时，联尹蒜s ，撵苫。：0 f 。当虽仪当 p 雀o 时u 一 芦e 0 时a u 辱l 工使得u 0 其中王王攀一艘：蒯羔王一蟊口王王= 皿j 。显然擎在( 戴f ，) 中不再存在开滤 予使得耐n = ，嵋n = 脚，由日l 理5 7 证明可知( 置，f 。) 是践h ) 一空间。 蒎敬类攘，存在f 使褥( 托母中不存在开滤皆“满足：蒯王l 一妒哦“= 砖， 则( 嚣，t ) 是半正则的联一闭空间，且其中授意一跳跃点，由引蠼5 ，7 娟 ( 置，t ) 怒极小剐帕一空间。 由文【2 3 孛铡2 知：s ( 啦一# 一 l l 空勰姆珂潮空阚熬豢捩不是s ( 田一# 一 闭簸；从面s ( 日) 一毋一闭豹8 一豪形岛嚣闭警阍的乘积不是s 研卜疗一闭的， 疗一复形在乘积性上并不具有良好的性质。将此例列出如下： 铡 “4 ：设q + = 【瓴毡) 是净数空闯，在每个亭数穗萼饼+ l 之闻掭入一 个实数单位区间毛= ( o ，1 ) ，设构成集台为五，强上上取由娥性序丰匐成的序拓 羚，令并= 五u 讲，。定义拓扑q ：，丑，则n 王为中评集，p e 存在 强e ，搜“秘，瘁+ 1 ) 芏秽，攘豁是并上懿霹数余糕羚，令f 燕蠢t u 熊或的娥粗拓扑，墩y = 茸第三节铡2 。6 ) ，则爿，y ，搿x y 具有下列憔囊： ( 1 ) z 是半正则的掰闭空问： ( 2 ) y 疑s ( 2 ) 一口一闭空间，键不是胃闭的； ( 3 ) 髫x y 不是s ( 2 ) 8 一翅整阅，但是爿x y 的半正则化楚s 2 ) 一9 一甥的。 在文 i 中d 涛m 和h 与g 潮f 提出了公野问题：每个s 伽) 闭空间麓镁入 于s ( h ) 8 一闭空间鸿? 这个问题簋没有得到解决，在p 一复形中我们肯定 曲阜师范大学硕士学位论文 回答了_ 这个问题： 定理57 设置是文帕一朗豹9 一复形，则拦可嵌入s ( h ) 8 一闭空间中。 证明：设置是s ( 螂一闭静8 一鬟形。不薅设置不是s 国口一闭静，遨兔 世是s ( ”) 一闭空间，故嚣有顶点，设其顶点集台为 p = 崩，岛，只 x 因为嚣不是s ( 肆一8 一阉嚣，靛霹令键= 谬：嚣必置辛边滤子点嚣掰在靛 边，其中口= ) ，由引理5 ，1 ，引理5 2 知：9 t 。可归纳构造子集 搬投满熙： ( 口) 强，热镰，墨每热在上楚联# 一萄一努离豹； ( 6 ) v ee 蚍妍，j 撬瓢使得岛与垦在置t 不能h 一2 ) 一分离。 由于墨为尊一复形，则l 徽净m ，为方便起见，令瓤= 纫t j u 觚2 ，其中 霰t * 豫遵，毽 ，壤= 镄，瓦”，磊 丑。脚。s ( m ) 怖川，2 ，“ l 娥s 如x j = j + 1 ， 设霉= 蘑x s 回x s q ) 、 皱毡 0 魄 ，f = l ，2 ，隽m 令带璜点辨i 弛轴张萨 扳，吼，9 2 ，为其顶点，在x u 0 上建立等价关系： 零一 i x s ( 妨o q ，；= l ，2 ，s