（基础数学专业论文）关于特征标的乘积.pdf

摘要 摘要 本文讨论了不可约特征标的乘积当不可约特征标的乘积仍 为不可约时，有几种较为简单的情形，我们在引言中将提及 忠实不可约特征标在特征标乘积的研究中起着很重要的作 用本文第二章证明了个关于忠实不可约特征标的定理，第 三章探讨了中心型的群及其特征标的性质 当不可约特征标的乘积为可约特征标时，本文第四章研究了 ，7 ( x ) ，即不可约特征标x 与其共轭特征标叉的乘积厩的非主不可 约成分的个数，对群的性质的影响 关键词：特征标；忠实不可约特征标；导长 ab s t r a c t a b s t r a c t w eh a v et a l k e da b o u tt h ep r o d u c t so fi r r e d u c i b l ec h a r a c t e r si n t h i st h e s i s w h e nt h ep r o d u c t so fi r r e d u c i b l ec h a r a c t e r sa r ei r r e - d u c i b l e ，t h e r ea r es e v e r a ls i m p l ec a s e s ，w ew i l ld i s c u s st h e mi nt h e i n t r o d u c t i o n f a i t h f u li r r e d u c i b l ec h a r a c t e r sp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nt h es t u d y - i n go fp r o d u c t so fc h a r a c t e r s i nc h a p t e r2 ，w eh a v ep r o v e dat h e o r e m i nt e r m so ff a i t h f u li r r e d u c i b l ec h a r a c t e r s ；i nc h a p t e r3 ，w eh a v ee x - p l o r e dg r o u p so fc e n t r a lt y p ea n dp r o p e r t i e so fi t sc h a r a c t e r s a st h ep r o d u c t so fi r r e d u c i b l ec h a r a c t e r sa r er e d u c i b l e ，i nc h a p - t e r4 ，w eh a v es t u d i e dt h ee f f e c t so f 刀( x ) ，t h en u m b e ro fn o n p r i n c i p a l i r r e d u c i b l ec o n s t i t u e n t so f 贩，o nt h ep r o p e r t i e so fg r o u p s k e yw o r d s ：c h a r a c t e r ；f a i t h f u li r r e d u c i b l ec h a r a c t e r ；d e r i v e dl e n g t h 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究成 果本人在论文写作中参考的其它个人或集体的研究成果，均 在文中以明确方式标明本人依法享有和承担由此论文而产生 的权利和责任 责任人( 签名) ：阮a 笼良 如叼年夕月3 1 日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定 厦门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的 纸质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制 并允许论文进人学校图书馆被查阅，有权将学位论文的内容编 人有关数据库进行检索，有权将学位论文的标题和摘要汇编出 版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 本学位论文属于 1 、保密() ，在年解密后适用本授权书 2 、不保密() ( 请在以上相应括号内打”) 作者签名：能日毛久 导师签名：搬 日期：如1 年月；1 日 日期：年月 日 引言 色i 士 了i 置 本文中除非特别声明，所指的群均为有限群；所指的特征标均为复数 域上的特征标本文所使用的符号都是标准的，可参看f 7 】与【1 3 】 在【7 】中，i m i s a a c s 讨论了特征标的乘积，他指出特征标的乘积仍然 是特征标可约特征标的乘积仍然为可约特征标，这种情况我们一般不 讨论对于不可约特征标的乘积则有两种情况：或为不可约，或为可约 1 对于不可约特征标的乘积仍为不可约时的情形有以下几种： 1 设g 为一群，当x ，妒h r ( g ) 时，两者之中若有一个为线性的，则 其乘积脚为不可约的 这是因为：若妒为线性的，即砂( 1 ) = 1 则可知痂= l a 由特征标的 内积的性质可得： 脚，x 叫= 阪，舐- x 】= 阪，列= 1 因此脚为g 的一个不可约特征标 在【7 】中，i s a a c s 证明了g a l l & g h e r 定理。 设为g 的正规子群且xeh r ( g ) 满足x = p i r r ( n ) ，则对于不同 的p i r r ( g n ) ，特征标触为g 的不同的不可约特征标；并且它们均为 俨的不可约成分 在上面的g a l l & g h e r 定理中取n = k e ，p ，我们就得到下面的这种情况： 2 设g 为一群，当x ，p i r r ( g ) 且x 到k e r ( p ) 的限制为不可约的， 则乘积妒为不可约的 在【5 】中，g a j e n d r a g a d l 倒r 给出了下述定义： 设g 为弘可分群，其中万为一素数集合称x h r ( g ) 为霄- 特殊特 征标，如果 ( 1 ) x ( 1 ) 是一个霄数； 引言 2 ( 2 ) 若为g 的次正规子群且0e i r r ( n ) ，【黼，明 0 ，则o ( 0 ) = o ( d 胁o ) 是一个弘数，其中d ( p ) 表示0 的行列式特征标d e t o 在g 的线性特征标群 中的阶 并且g a j e n d r a g a d k a r 证明了如下结论； 3 设g 为卅可分群，其中丌为一素数集合，一为万在所有素数组成 的集合里的补当口，ei r r ( g ) ，且它们分别为霄- 特殊特征标和以特殊特 征标时，则乘积即为不可约的 关于霄- 特征标的理论，i m i s a a e s 在【8 1 和【9 】中进行了进一步深入的 研究 下面我们来讨论一下有限群的不可约特征标的乘积为可约时的情形， 这也是本文的主要研究部分 在研究不可约特征标的乘积时，有限群的忠实的不可约特征标起着 非常重要的作用在【7 】中，i s a a c s 证明了个等价的命题：g 为有限旷 群，p 为素数，g 的中心z ( a ) 循环当且仅当g 有忠实的不可约特征标 关于忠实的不可约特征标，本文在第二章中给出了下面的一个结论： 定理2 1 设g = - k ( i z ( h ) i ，i z ( k ) i ) = 1 且m - ( u ) ，0 eu r ( k ) ， 则0 为忠实的不可约特征标错，0 均为忠实的特征标 当相同的不可约特征标做乘积且乘积为齐次特征标，即乘积的不可 约成分只有一个时，h i b l a u 和d c h i u a g 在【4 】中证明了如下定理： ( i ) 设g 为有限群，x ，妒h r ( g ) 对于整数n 2 ，七满足妒；砷则 x ( a z ( x ) ) = 0 ，妒= x ( ，七= x ( 1 ) 竹一1 且l g l 小) 整除f z ( x ) l ，其中x 在g 上 的定义为x ( n ) ( 9 ) = x ( g 竹) ，9 g ；丌( n ) 表示死的素因子集合，l a l 霄( n ) 指的是 能整除i g i 并且素因子全在霄( n ) 中的最大整数 ( 豇) 设g 为有限群，x u r ( c ) 使得x ( a z ( x ) ) = 0 如果n 是使得 i g l 霄( 竹) 整除i z ( x ) i 的正整数，则对于某个正整数k 和妒i r r ( g ) 有妒= 砷， 且p 七：x ( 1 ) n 一1 ，砂= x ( n ) 引言 3 在【1 0 】中，i m i s a a c s 和i l a nz i s s e r 利用了和【4 】中类似的方法证明了 如下定理： 设g 为有限群则存在忠实的x h r ( g ) 具有性质x 2 = 嘶，其中口是 整数，妒i r r ( g ) ，当且仅当g 为一循环2 一群和中心型的奇数阶群的直 积，其中称群为中心型的，如果这个群含有在它的所有非中心元上取值 均为零的不可约特征标 当两个不可约特征标做乘积且乘积为齐次特征标时，i m i s a a c s 在【1 l 】 中给出了一个猜想：若可解群的两个忠实的不可约特征标的乘积是不可 约的，则该群为循环群e a d a n - b a n t e ，m l o u k a k i 和a m o r e t o 在 3 】中将 该猜想改进为如下的形式。 ( c o n j e c t u r e ) ：假设g 是可解群并且妒，l - r ( g ) 为忠实的如果伽= m x ，其中仇为正整数，x h r ( g ) ，则妒和关于z ( c ) 完全分歧 这的确为i s a a c s 猜想的改进形式，因为若妒和咖关于z ( g ) 完全分 歧，即妒( g z ( g ) ) = 0 ，( g z ( g ) ) = 0 ，或妒( 1 ) = i g ：z ( v ) 1 1 2 = 多( 1 ) ，可 得x ( c z ( g ) ) = 0 ，x ( 1 ) m - i g ：z ( g ) i m 从而当m = 1 时，得出妒( 1 ) = 1 ，或 ( 1 ) = 1 再由妒，毋h r ( g ) 为忠实的，可知g 为循环群 并且e a d a n - b a n t e 、m l o u k a k i 和a m o r e t o 证明了( c o n j e c t u r e ) 对于旷 群是成立的，从而( c o n j e c t u r e ) 对于幂零群也是成立的 下面我们转向上面提到的中心型的群和这类群的特征标的性质的讨 论上来 我们先来说明一下i m i s a a c s 和n a nz i s s e r 在【1 0 】中提到的g = c h ， 其中c 为循环2 一群，日为中心型的奇数阶群，的确有在z ( c ) 之外取值 为零的不可约特征标，并且它与自身的乘积为齐次特征标 由于c 为循环2 一群，可知c 存在忠实的线性不可约特征标，不妨设 为r 又由日为中心型的群，从而可设i r r ( 日) 且( 日一z ( 日) ) = 0 由 1 日i 为奇数，利用g a l o i s 理论，可得( 2 h r ( 日) ，其中2 ) 在日的定义为 砂( 2 ( | 1 ) = 妒( ，产) ，h h 因此r 2 x 咖( 2 h t ( g ) ，并且( r 咖) 2 = ( r 咖) ( 1 ) ( 7 2 咖( 2 ) ) 又由g 为c 与日的直积，从而可知丁x 在z ( c ) 之外取值为零，即r 在g 的非中心元上均取值为零 引言 4 我们并没有找到能够直接说明中心型的群含有忠实不可约特征标的 文献，因此本文在第三章对【1 0 】中提到的中心型的群及其特征标的性质 进行一下稍微的推广 定理3 1 设g = a h ，其中a 为循环旷群，p 为奇素数，日为奇 数阶群，且( p ，l z ( h ) i ) = l ，妒h r ( 日) 为忠实的，妒( 日一z ( 日) ) = 0 ，则g 为 中心型的群，并且存在忠实的不可约特征标使得其与自身的乘积为齐次 的 当x ，砂i r r ( g ) 时，我们知道乘积x 砂仍为特征标，因此它能够被表 示为g 的不可约特征标的整线性组合，记为s 脚= 啦戗， 诂l 其中啦矿，且啦h r ( g ) ，= 1 ，2 ，n ，为乘积她的全部的不同的不可 约成分 在【2 】中，e d i t ha d a n - b a n t e 定义，7 ( x ，妒) 为乘积枷的不可约成分的个 数，则在上面的分解式中有，7 ( x ，妒) = 死而当妒= 叉时，v ( x ，) = 仇 在上面的分解式中，当妒= 叉时，由于【厩1 q 】= i x ，x 】= 1 ，其中1 g 为 g 的主特征标，因此l g 是乘积厩的不可约成分在【1 1 1 中，f 粥u t h 眦 b a n t e 定义了一个函数v ( x ) 表示乘积x - 的非主不可约成分的个数，即 v ( x ) = l r l 一1 这个函数，7 ( x ) 对群的性质是有很大的影响的当吠x ) = 2 时，在第四 章中我们得到了下面的一个结果t 定理4 3 设g 为一可解群，若x i r r ( g ) ，且厩= l c + a z a z4 - g 2 q 2 ，其 中a 1 ，q 2 h r ( g ) o = h r ( g ) l g ) ，n l ，a 2 z 斗，z + 为正整数集，则g 为一偶数 阶群 另外，在【l 】1 中，e d i t ha d a u - b a n t e 证明了一个和7 ( x ) 有联系的关于 群的导长的估值，即：设g 为有限可解群且x i r r ( g ) ，则存在常数a 与b 使得d l ( o k e r x ) a v ( x ) + 6 本文第四章中我们利用一个引理改进这个估 引言 5 值使得它更精确了一些 定理4 1 0 设g 为有限可解群且x k r ( g ) ，则存在常数c 使得 d l ( g k e r x ) 研( x ) + 1 第一章预备知识 6 第一章预备知识 在这一章中，我们先来介绍一些预备知识 定义1 1 【7 l 设g 为有限群，i r r ( g ) 为g 的不可约复特征标的集合设 x h r ( g ) ，叉为x 的复共轭特征标，即对任意的g g ，x ( g ) 而，从而 叉h r ( g ) 定义1 2 f 7 1 设g 为有限群，咖妒为g 的特征标， 【多，纠= 南础 。一。g e g 表示g 的特征标咖，妒的内积 定义1 3 【7 1 设g 为有限群，x 为g 的特征标称口k r ( g ) 为x 的不 可约成分，如果阪，绷 0 称x 为g 的可约特征标，如果x 的不可约成分 至少有两个 定义1 4 川设g 为有限群，x 为g 的特征标称x 为忠实的，如果 k e r x = 9 gix ( g ) = x ( 1 ) = 1 引理1 5 吲设g 为一个有限p 群，其中p 为一个素数，g 的中心z ( g ) 循环当且仅当g 有忠实的不可约特征标 定义1 6 f 7 l 设g = 日xk 和0 分别为日与k 的特征标，x = x 0 在g 上的定义为x ( h k ) = ( 九) 口( 七) ，其中h h ，七k 引理1 柙设g = h k h r ( 日) 且p i r r ( k ) ，则咖xp 恰为g 的不 可约特征标 定义1 8 川设g 为有限群，日为g 的子群，为日的特征标称护 为g 上的诱导特征标，其在g 的定义为 凡) 2 南薹矿( 叼_ 1 ) ， 其中若 - , 则扩( ) = 砂( ) ；若秒簪e 则扩( y ) = 0 我们顺便给出f r o b e n i u s 互反律：设g 为有限群，日为g 的子群， ，口分别为日与g 的特征标，则渺，铅】= 妒，外 下面我们介绍一下中心型的群和完全分歧的概念及性质： 第一章预备知识 定义1 9 嗍称一有限群g 为中心型的，如果存在x h r ( g ) 使得x 在 g 的所有非中心元上取值为零 定义1 1 0 n 设n 为g 的正规子群，eh r ( ) 则咖在g 里是完全分 歧的，如果俨= e x ，对于某个x i r r ( g ) 且e 2 = i g ：1 对偶地，xei r r ( g ) 在n 上是完全分歧的，如果x = e ，对于某个 咖i r r ( ) 且e 2 = l g ：1 引理1 1 1 n ， 1 4 1 中心型的群是可解的；有限个可解群的直积是可解的 引理1 1 2 1 4 有限幂零群可表示为其s y l o w 子群的直积，并且这样的 分解是唯一的 我们还需要介绍另外一些概念和引理： 定义1 1 3 1 1 设g 为群且三是g 的子群称 ( 0 ) ( l ，妨 如果n l ，i r r ( l ) ，0 打，( ) ， o n ，明0 称 ( 0 ) ( 2 ，如) ( n k ，o k ) 是一个( x ，x ) 约化链，如果m x 且( 鲫t + ”i = 0 ，1 ，七，是可约的 定义1 1 5 1 1 称上面的链为极大的( x ，x ) 一约化链，如果它是( x ，x ) - 约 化链且具有下面两条性质： ( i ) 对任意的0 1 ，从而可知m z ( p ) 由题设z ( p ) 循环，因此m 为p 的 唯一的极小正规子群进而m pn 1 ，m pn 2 这说明m 1n 2 然而由i 与2 为g 的不同的极小正规子群可知lnn 2 = 1 ，由此得出 矛盾从而g 的任意两个不同的极小正规子群的阶互素 我们不妨令l ，2 ，札为g 的所有的极小正规子群，记它们的积 日= 1 2 肌由于g 的任意两个不同的极小正规子群的阶互素， 因此嚣= n x n 2 魁又因有限群的极小正规子群为若干个同构单 群的直积，不妨设l = & & l & l ，n 2 = 岛岛l ，m = & & l 艮，其中腿，i = 1 ，2 ，t ，的直积因子为同构的单群从而 可令日的子群，当然也是g 的子群：s = & 岛s t 在每个s ：i 上取非主不可约特征标也，从而k e r b i 翼s 由& 为单群，可 得戒为忠实的不可约特征标设= 九锄也，则由推论2 2 的证 明可知为s 的忠实的不可约特征标又因为k e r ( c ) = n 口g ( k e r 咖) ，从 而可得护为g 的忠实的特征标 任取护的一个不可约成分x ，则由f r o b e n i u s 互反律可知为x s 的 不可约成分，从而k e r xns = k e r x s k e r q b = 1 由k e r x 为g 的正规子群 及s 的定义形式，可知必有k e r x = 1 ，即x 为g 的忠实不可约特征标 口 第三章中心型的群 1 2 第三章中心型的群 我们先将【1 0 1 中i m i s a a c s 和i l a az i s s e r 得到的定理再引述一下： 设g 为有限群则存在忠实的x i r r ( g ) 具有性质妒= 口妒，其中口是 整数，矽i r r ( g ) ，当且仅当g 为一循环2 一群和中心型的奇数阶群的直 积 在上面的定理证明中用到了中心型的群的忠实的不可约特征标，然 而并没有直接的文献说明中心型的群必含有忠实的不可约特征标，因此 我们利用定理2 1 和中心型的群的定义，得到下面的结果： 定理3 1 设g = ax 日，其中a 为循环p 群，p 为奇素数，日为奇 数阶群，且白，i z c h ) i ) = l ，砂i r r ( 日) 为忠实的，妒c h z ( 日) ) = 0 ，则g 为 中心型的群，并且存在忠实的不可约特征标使得其与自身的乘积为齐次 的 证明首先由于a 为循环p 一群，据引理1 5 ，可得a 存在忠实的线性 不可约特征标r 设i h l = m 为奇数，为仇次本原单位根，q m = q ( e ) 为有理数域 q 上的m 次分圆域由于( 2 ，仇) = 1 ，可知在g a l o i s 群g a l ( q ( e ) l q ) 有元素 口使得仃( s ) = 产由妒i r r c h ) ，h e 可令妒( 九) = s l + 9 2 + + 啾1 ) ，其 中毛，主= l ，2 ，妒( 1 ) ，为仇次单位根从而妒( 2 ) = 宣+ 鼋+ + s ；( 1 ) = 仃( e 1 ) + 矿( 9 2 ) + + 仃( s 以1 ) ) = 仃( 矽( 九) ) 又由【7 】中定义，砂( 2 ) = 妒( 2 ) ( 九) 因此 妒( 2 ) = 旷i r r ( 日) 当h z ( h ) 时，由于妒( 日一z ( 日) ) = 0 ，可知护( ) = 砂( 1 ) 矽( 2 ) ( j 1 ) 当 h 甓z ( h ) 时，由f 日l = m 为奇数，可得胪簪z ( 日) ，从而妒( ) = 0 = 妒( 2 ) ， 即妒2 ( ，1 ) = 妒( 1 ) 妒( 2 ) ( 九) 因此妒2 = 妒( 1 ) 妒( 2 ) 由于白，i z ( h ) i ) = 1 ，矽h r ( 日) 为忠实的，据定理2 1 及引理1 7 得， x = r 矽为g 的忠实的不可约特征标并且妒= ( rx 矽) ( r 妒) = 7 1 2x 妒2 = 妒( 1 ) ( 丁2x 妒( 2 ) ，其中由于下为线性的，妒( 2 ) i r r ( h ) ，再据引理1 7 可得r 2 妒( 2 ) i r r ( g ) 第三章中心型的群 易得x ：f 妒在g 的非中心元上取值均为零，即x c g - z c g ) ) = 0 从 而由中心型的群的定义，可知g 为中心型的群 r - i 我们可以注意到这和上面引述的定理是不矛盾的，因为此时g 的 s y l o w - 2 子群为单位元群 1 3 第四章，7 ( x ) 对群的影响 第四章7 7 ( x ) 对群的影响 在引言中我们已经提到了, t c x ) 的定义，它表示乘积x - 的非主不可约 成分的个数，它对于群的性质是有很大影响的当n ( x ) = 2 时，我们得到 了定理4 3 为了证明定理4 3 ，我们需要先引进下面的两个引理 引理4 1 ( b u r n s i d e ) 设g 为奇数阶群且x i r r ( g ) 是非主的，即x l a ， 则x 不是实值特征标，即x 叉 证明假设x = 又，且x i g 设l g f = 2 n + 1 ，其中n 矿，则对任意的 1 g g ，g g 则可设g = 1 ，9 1 ，行1 ，夕2 ，万1 ，9 n ，簖1 由于x l a ， 因而【x ，1 g 】= 0 ，即 nnnn 0 = x ( 夕) = x ( 1 ) + x ( 职) + x ( 玎1 ) = x ( 1 ) + x ( 9 i ) + 叉( 9 ) g e g i - - - - 1i - = 1 i = 1i = 1 由假设x = 叉，可知 一x ( 1 ) 2 = x ( 仇) 百 从而一x ( 1 ) 2 为有理的代数整数，即一x ( 1 ) 2 为整数所以2lx ( 1 ) ，而x ( 1 ) 又整除i g i ，因此2ii g l ，这与i g i 为奇数矛盾 口 1 4 引理4 2 【1 i 设g 为一有限可解群，x h r ( g ) 且x ( 1 ) 1 设 q i r r ( c ) = l i = 1 ，2 ，他 为x _ 的非主不可约成分的集合，其中h r ( g ) i 指的是 h r ( 研 1 g 若k e r ( c r # ) 在g 的子群k e r ( a i ) ( i = 1 ，2 ，他) 的包含关系下是 极大的，则奴，哟】1 定理4 3 设g 为一可解群若x i r r ( g ) ，且厩= l o + a l q l + 口2 劬，其 中口l ，a 2 k r ( g ) o = h r ( g ) l g ，口l ，眈z + ，矿为正整数集，则g 为一偶数 阶群 证明假设2 ti g i ，则g 为奇数阶群由特征标的内积的性质，可得 0 o , 1 = 【x 叉，q 1 】= 阪叉，磊l 】 第四章巩y ) 对群的影响 从而1 也为厩的不可约成分 因此由题设及引理4 1 得，_ 1 = 蚴所以k e r ( a 1 ) - - - k e r ( c t 2 ) 并且由引 理4 2 ，可得口l = a 2 = 1 于是 x ( 1 ) 2 = 1 + 2 a l ( 1 ) ， 即 2 c r l ( 1 ) = ( x ( 1 ) 一1 ) ( x ( 1 ) + 1 ) 由x 为g 的非线性不可约特征标，可知2 i q 。( 1 ) 而由a - ( 1 ) 整除g 的 阶，可以得出2i | g i ，从而导致矛盾因此g 为一偶数阶群 口 p c 竹，= 篓二篡：三三三 三； 1 5 第四章，7 ( x ) 对群的影响 pc死，=篓二4：三三三三三； q = n k e r ( v k ) is 1 2 一，n ) ) ， 1 6 第四章，7 ( x ) 对群的影响 1 7 引理4 8 【l l 采用前提4 7 存在厶的子群u 和特征标h r ( u ) ，使得 ( m ，侠) ( 以) ( l ，p 1 ) ( n k ，以) 为一极大的( q ，x ) 一约化链设n = 7 ( x ) 由引理4 6 的( b ) 和( c ) ，得肌 交换且k n 由引理4 9 可知，对i = 1 ，k ， d l ( 肚一l 挑) h ( r i ) + 1 其中r i = j l 她5k e r a j ，且肫一1 菇k e r a j i 极大约化链的定义和r i 的定义蕴含了 由引理4 4 有 ，1 + 您+ + n 毛 n 3 们 = 1 第四章，7 ( x ) 对群的影响 所以 詹七 d l ( a ) d t c n , 一t i n , ) + d z c n 七) ( 7 l ( r i ) + 1 ) + 1 i = 1i = 1 由于 ( n ) = al o g ( n ) + q ，因此 d ( g ) e ( c tl o g ( r , ) + ( 7 2 + 1 ) + 1 = a 【1 0 9 ( n ) 】+ ( 岛+ 1 ) 七+ 1 i = 1 i = 1 七 c 1l o g ( hn ) + ( q + 1 ) 七+ 1 设s = 笔ln ，从而s n 由引理4 4 可知 所以 d l ( g ) c 1l o g ( 3 q 3 ) + ( 岛+ 1 ) k + 1 ( 他3 ) c ll o g ( 3 ) + ( 岛+ 1 ) 佗+ 1 ， 其中上式最后的不等式中七n 是根据引理4 6 中的( c ) 得出 设c = c xl o g ( 3 ) 3 + q + 1 ，则 d t ( g ) c n + 1 口 1 8 3 n 3 一 3 3 一 n k：i 查耋塞坚 一一1 9 参考文献 【l 】e a d a n - b a n t e ，p r o d u c t so fc h a r a c t e r sa n d d e r i v e dl e n g t h j a 1 - g e b r a2 6 6 ( 2 0 0 3 ) ，3 0 5 - 3 1 9 【2 】e a d a n - b a n t e ，p r o d u c t so fc h a r a c t e r sa n df i n i t ep - g r o u p s j a l g e b r a2 7 7 ( 2 0 0 4 ) ，2 3 6 - 2 5 5 【3 】e a d a n - b a n t e ，m l o u k a k i ，a n da m o r e t o ，h o m o g e n e o u sp r o d - u c t so fc h a r a c t e r s j a l g e b r a2 7 4 ( 2 0 0 4 ) ，5 8 7 - 5 9 3 【4 】h i b l a ua n dd c h i l l a g ，o np o w e r so fc h a r a c t e r sa n dp o w e r s o fc o n j u g a c yc l a s s e so faf i n i t eg r o u p p r o c a m e r m a t h s o c 9 8 ( 1 9 8 6 ) ，7 - 1 0 【5 】d g a j e n d r a g a d k a r ，ac h a r a c t e r i s t i cc l a s so fc h a r a c t e r so ff i n i t e 7 r s e p a r a b l eg r o u p s j a l g e b r a5 9 ( 1 9 7 9 ) ，2 3 7 - 2 5 9 6 】r b h o w l e t ta n di m i s a a c s ，o ng r o u p so fc e n t r a lt y p e m a t