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几类反应扩散系统的共存态 贾云锋 摘要反应扩散系统理论体系源于人们用反应扩散方程( 组) 研究种群动力系 统中相互作用的物种间的相互关系随着这一领域研究的不断深入。反应扩散方 程不仅被广泛用于研究具有扩散现象的种群动力系统中，而且在物理学、化学、 医学、动植物保护和生态环境的综合治理与开发等研究领域也体现出一定的积极 作用 本文基于反应扩散系统理论的研究及应用现状，在前人研究成果的基础上， 分别针对含两物质的自催化反应模型、带有非单调反应函数项的两种群食饵捕 食模型以及含三种群的周期互惠模型和周期竞争模型，运用非线性分析方法和非 线性偏微分方程工具主要是二阶椭圆型和抛物型偏微分方程的理论，着重研究 了这些模型的动力学行为( 包括模型平衡态解的存在性、不存在性稳定性以及 解的渐近行为等) ，得到了一些有益的结果 下面是本文的结构及主要内容 第一章介绍本文将要用到的反应扩散系统研究领域的一些基本理论及经典结 果，内容主要包括二阶椭圆型和抛物型偏微分方程的极值原理、上下解方法特 征值问题、不动点指数理论，分歧理论以及稳定性理论等，这些理论及结果是以 后各章内容能够得以进行讨论和研究的基础 第二章研究了一类带有齐次n e u m a n n 边界条件的两物质自催化反应模型 首先运用积分的方法以及几个著名的不等式讨论了系统正解的基本性质，利用正 解的有界性，说明了当扩散率比较大时系统不会有正解；其次，讨论了系统常数 正解的稳定性；同时，分别以系统中的常数和扩散率作为分歧参数，分析了系统 发自常数平衡解处的分歧解，给出了系统存在分歧解的条件，并讨论了分歧解的 稳定性；接着，运用不动点指数理论以及泛函分析的相关知识。讨论了系统非常 数正解的存在性；最后，对系统的共存态作了全局分析。指出在空间为一维的情 形，系统发自常数平衡解处的分歧解一定是延伸到无穷远的 第三章分析了一类带有非单调反应函数和齐次d i r i c h l e t 边界条件的两种群食 饵捕食模型首先讨论了模型平凡解与半平凡解的稳定性；接着以其中一个种 群的出生率作为分歧参数( 另一种群的出生率固定) 考察了模型发自半平凡解处的 分歧解的存在性、唯一性及稳定性；其次，同时以两种群的出生率为分歧参数， 利用l l a p u n o v - s c h m i d t 方法讨论了模型发自平凡解处的分歧解( 即模型发自二重特 征值处的分歧解) 的存在性、唯一性及稳定性；最后，运用b a n a c h 空间上的拓扑 度理论及锥映射不动点指数方法分析了模型共存态的存在性 第四章讨论了一类具有时间周期性的带有齐次d i r i c h l e t 边界条件的三种群 互惠模型运用上下解方法得到了模型存在正解的一些充分性条件和关于正解的 一些先验估计；就模型的一个具体情形，结合代数方法和泛函分析方法给出了模 型存在正解的充分必要条件与多数已有的具有时间周期性的生态模型所不同的 是，本章所给出的具有时间周期性的三种群互惠模型是变系数的讨论过程也表 明对于三种群的周期互惠模型正解的存在性的讨论要比两种群的互惠模型正解 的存在性的讨论复杂得多 第五章考察了一类具有时间周期性的、带有齐次n e u m a n n 边界条件的三种群 竞争模型共存态的渐近性主要目的是探讨系统共存态的一种渐近行为，即一个 物种灭绝，而另两个物种生存首先，针对系统的正解，运用模型中的系数函数给 出了正解的一些估计，同时，还得到了模型不存在严格正解的一些充分性条件 其次，利用给出的模型不存在严格正解的充分性条件，讨论了系统共存态的渐近 行为，具体地说，就是当时间充分大时，一个物种灭绝，而另两个物种共存与 第四章一样，本章所给出的具有时间周期性的三种群竞争模型也是变系数的讨 论发现，对于三种群周期竞争模型共存态的渐近性的讨论要比两种群的周期竞争 模型共存态的渐近性的讨论复杂得多 关键词共存态；上下解方法；特征值；分歧理论；不动点指数理论 i i t h ec o e x i s t e n c es t a t e so fs e v e r a lr e a c t i o nd i f f u s i o n s y s t e m s j i ny u n f e n g a b s t r a c tt h et h e o r e t i c a ls y s t e mo fr e a c t i o nd i f f n s i o ns y s t e m si sp r o d u c e db yt h e r e s e a r c ho nt h er e c i p r o c i t i e so fi n t e r a c t i n gp o p u l a t i o n sw i t h i nap o p u l a t i o nd y n a m i cs y s - t e m w i t ht h ei n v e s t i g a t i o ng o i n gd e e p l y , t h er e a c t i o nd j 吊1 8 i o ne q u a t i o n sa r ew i d e l yu s e d t oi n v e s t i g a t et h ep o p u l a t i o nd y n a m i cs y s t e m sw i t hd i f f u s i o n t h ea p p l i c a t i o n so fr e a c t i o n d i 觚o ne q u a t i o n sp l a y a c t i v er o l ei np h y s i c s c h e m i s t r y , m e d i c i n e t h ep r o t e c t i o no f 口e a t u r e sa n dp l a n t sa n di nt h ec o m p r e h e n s i v ec o n t r o la n de x d l o i t a t i o no fe n v i r o n m e n t i nt h el i g h to ft h ec u r r e n tr e s e a r c h e sa n da p p l i c a t i o n so ft h et h e o r e t i c so fr e a c t i o n d i f f u s i o ns y s t e m s ，b a s e do ns o m ep l 。o n e e r i n gw o r k s ，f o rat w os u b s t a n c e sa u t o c a t a l y t i cr e - a c t i o nm o d e l ，at w os p e c i e sp r e d a t o r - p r e ym o d e lw i t hn o n - m o n o t o n i cf u n c t i o n a lr e s p o n s e a n dd i f f u s i o n ，at h r e es p e c i e sp e r i o d i cc o o p e r a t i n gm o d e la n dap e r i o d i cc o m p e t i t i o nm o d e l 们t hd i f f u s i o n w ea p p l yt h em e t h o d so fn o n l i n e a ra n a l y s i sa n dt h et o o l so fn o n l i n e a rp a r - t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( m a i n l yt h et h e o r yo fs e c o n do r d e re l l i p t i ca n dp a r a b o l i cp a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ) t os t u d yt h ed y n a m i c a lb e h a v i o ro ft h e s em o d e l s ( i n c i n d i n gt h ee x i s t e n c e ，n o n e x i s t e n c e ，s t a b i l i t yo ft h es t e a d y - s t a t es o l u t i o n sa n dt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o r o ft h e s em o d e l s ，e t c ) ，s o m ev a l u a b l er e s u l t sa r eo b t a i n e d t h es t r u c t u r ea n dc o n t e n t so ft h i sp a p e ra r ea sf o l l o w s ： i nc h a p t e r1 ，w el i s ts o m eb a s i ct h e o r ya n dc l a s s i c a lr e s u l t so fr e a c t i o nd i f f u s i o n s y s t e m s ，s u c ha st h em a x i m u mp r i n c i p l e ，t h es u b - a n ds u p e r - s o l u t i o n sm e t h o da n dt h e e i g e n v e l u ep r o b l e m so fs e c o n do r d e re l l i p t i ca n dp a r a b o l i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ， t h e 丘x e dp o i n ti n d e xt h e o r y , b i f u r c a t i o nt h e o r ya n ds t a b i l i t yt h e o r y t h e s ea r et h eb a s i c p a r t st h a tw i l lb ev e r ya s e f u li nt h ef o r t h c o m i n gc o n t e n t s i nc h a p t e r2 ，at w os u b s t a n c e sa n t o c a t a l y t i cr e a c t i o nm o d e lw i t hh o m o g e n e o u sn e u - m a n nb o u n d a r yc o n d i t i o n si sc o n s i d e r e d w e6 r s td i s c u s saf e wc h a r a c t e r i e t i c so ft h e p o s i t i v es o l u t i o n sb yi n t e g r a t i o na n ds o m ek n o w ni n e q u a l i t i e s ，a n db yt h eb o u n d e d n e 圈 o ft h es o l u t i o n ，i ti ss h o w l lt h a tt h e r ei sn op o s i t i v es o l u t i o nw h e nt h ed i f f u s i o nr a t e sa r e t o ol a r g e s e c o n d l y , t a k i n gt h ec o n s t a n ta p p e a r e di nt h es y s t e ma n dt h ed i f f u s i o nr a t e s a st h eb i f u r c a t i o np a r a m e t e rr e s p e c t i v e l y , w ea n a l y s i st h eb i f u r c a t i o ns o l u t i o nw h i c he m o a n a t e sf r o mt h ec o n s t a n ts o l u t i o n t h es t a b i l i t yo ft h ep o s i t i v ec o n s t a n ts o l u t i o na n dt h e i i i b i f u r c a t i o ns o l u t i o na r ei n v e s t i g a t e d i ns u c c e s s i o n u s i n gt h e 缸e dp o i n ti n d e xt h e o r y , t h e e x i s t e n c eo fn o n - c o n s t a n tp o s i t i v es o l u t i o n si se x p l o d e d f i n a l l y , w ed i s c u s st h eg l o b a le x - i s t e n c eo ft h ep o s i t i v es o l u t i o n s ，i ts h o w st h a t ，i no n ed i m e n s i o n a l ，t h eb i f u r c a t i o ns o l u t i o n w h i c he m a n a t e sf r o mt h ec o n s t a n ts o l u t i o nm u s te x t e n dt oi n f i n i t y i nc h a p t e r3 ，at w o - s p e c i e sp r e d a t o r - p r e ym o d e lw i t hn o n - m o n o t o n l cf u n c t i o n a lr e - s p o n s ea n dh o m o g e n e o u sd i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n si ss t u d i e d 、 ，ec o n s i d e rt h ee t a - b i l i t yo ft h et r i v i a la n ds e m i - t r i v i a ls o l u t i o n s t a k i n gt h eb i r t hr a t eo fo n es p e c i e sa st h e b i f u r c a t i o np a r a m e t e r ，w ed i s c u s st h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n ds t a b i l i t yo ft h eb i f u r c a - t i o ns o l u t i o nw h i c he m a n a t e sf r o mt h es e m i - t r i v i a ls o l u t i o n f u r t h e r m o r e ，w et a k et h e b i r t hr a t e so ft w os p e c i e ss i m u l t a n e o u s l ya st h eb i f u r c a t i o np a r a m e t e r s ，u s i n gl y a p u n o v - s c h m i d tm e t h o d s t h ee x i s t e n c e u n i q u e n e s sa n ds t a b i l i t yo ft h eb i f u r c a t i o ns o l u t i o nw h i c h e m a n a t e sf r o mt h et r i v i a ls o l u t i o n ( i e ，e m a n a t e sf r o md o u b l ee i g e n v b l u e s ) a r ea l s oi n v e w t i g a t e d a n dt h ee x i s t e n c eo ft h ec o e x i s t e n c es t a t e si sd i s c u s s e db yu s i n gd e g r e et h e o r y a n dt h ef i x e dp o i n ti n d e xt h e o r yi nt h er e m a i n d e rs e c t i o n i nc h a p t e r4 at h r e e - s p e c i e st i m e - p e r i o d i cc o o p e r a t i n gm o d e lw i t hh o m o g e n e o u s d i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n si sd i s c u s s e d u s i n gs u b - a n ds u p e r - s o l u t i o nm e t h o d ，w eg i v e s e v e r a ls u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n s o m eap r i o re s t i m a t e s a r ee s t a b l i s h e d f o rac o n c r e t ec a s e ，c o m b i n i n ga l g e b r aw i t hf u n c t i o n a la n a l y s i s ，w eo b t a i n s o m es u 伍c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n d i f f e r e n t f r o mm a n yo t h e rt i m e - p e r i o d i cm o d e l s ，t h es y s t e mg i v e ni n t h i sc h a p t e ri sc o e f f i c i e n t v a x i a b l e i ts h o w st h a tt h ed i s c u s s i o i lo l ie x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o no ft h r e c - s p e c i e s t i m e - p e r i o d i cc o o p e r a t i n gm o d e li sm o r ec o m p h c a t e dt h a nt h a to fi nt w o - s p e c i e sm o d e l i nc h a p t e r5 ，t h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h ec o e x i s t e n c es t a t e so fat h r e e - s p e c i e s t i m e - p e r i o d i cc o m p e t i t i o nm o d e lw i t hh o m o g e n e o u sn e u m a n nb o u n d a r yc o n d i t i o n si sd i s - c u s s e d t h em a i np u r p o s ei nt h i sp a r ti bt os e e kf o ra na s y m p t o t i cb e h a v i o rf o rt h e c o e x i s t e n c es t a t e s ，t h a ti s ，o n es p e c i e sd i e so u t ，a n dt h eo t h e rt w oc o e x i s t f i r s t ，f o rt h e p o s i t i v es o l u t i o n s ，w eg i v es o m ee s t i m a t e sb ys e v e r a lc o e f f i c i e n tf u n c t i o n s af e ws u f f i c i e n t c o n d i t i o n so fn o n e x i s t e n c ef o rt h es t r i c tp o s i t i v es o l u t i o na x eo b t a i n e d s e c o n d l y , a p p l y i n g t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fn o n e x i s t e n c e ，t h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h ec o e x i s t e n c es t a t e s i sc o n s i d e r e d i np r e c i s e l y , o d es p e c i e sd i e so u t ，a n dt h eo t h e rt w oc o e x i s t s i m i l a rt o c h a p t e r4 ，t h es y s t e mi nt h i sc h a p t e ri sa l s oc o e f f i c i e n tv a r i a b l e w es t i lf i n dt h a tt h ed i s - c n s s i o no ne x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o no ft h r e e - s p e c i e st i m e - p e r i o d i cc o m p e t i t i o nm o d e l i sm o r ec o m p l i c a t e dt h a nt h a to fi nt w o - s p e c i e sm o d e l i v k e y - w o r d s c o e x i s t e n c es t a t e s ；s u b - a n ds u p e r - s o l u t i o nm e t h o d s ；e i g e n v a l u e ；b i - f u r c a t i o nt h e o r y ；f i x e dp o i n ti n d e xt h e o r y v i n d e x ( t ，x 0 ) c 芦( r 2 ) ： a b ： d i m x ： c o d i m x ： x 上： ： n ( t ) ： r ( t ) ： s p a n z ) ： 主要符号表 n 维欧氏空间 负l a p l a c e 算子 算子t 的梯度 算子t 的共轭算子 区域n 的体积 区域n 的边界 区域n 的闭包 区域n 的内部 区域n 上的p 次可积函数的全体 算子t 在区域n 上关于x o 点的拓扑度 算子t 在孤立零点z o 处的不动点指数 区域n 上的k + n 次h 6 1 d e r 连续函数空间 属于集合a 但不属于集合j b 的点集 空间x 的维数 空间x 的余维数 空间x 的正交补空间 向量z 与g 的内积 算子t 的核空间 算子t 的值域空间 由向量z 张成的空间 肌 越 订 n 俳 扭 雨 ：蚕 即 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：豆羔丝i 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西 师范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文 的电子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进 入学校图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名：豆擅 日期：型：墨蛰 前言 自然科学的发展在很大程度上依赖于物理学、化学以及生命科学的成就与进 展。而这些具体学科自身的精确化又是使人们对其作进一步研究并使其取得进展 的重要保证同时，这些学科的精确化往往需要抽象化，即需要通过建立一定的 数学模型来实现大量的实验及研究表明。自然界的许多现象都可以用数学模型 来刻画通过对数学模型的研究，人们可以对相关的自然现象作出科学的鼹释和 预测，从而对解决实际问题寻求得当的措旖，提供合理的方案 自然现象数学化后，大量的数学模型体现为或可归为所谓的反应扩散方程( 或 反应扩散系统) 近几十年来，反应扩散方程的研究在得到人们高度重视的同时也 取得了长足的进展，这个研究领域之所以受到大量学者的高度关注，是因为反应 扩散方程不仅产生于社会生产和生活，具有强烈的实际背景，而且对于该领域的 研究也对数学本身及研究人员提出了许多极富挑战性的问题 反应扩散方程遍及许多学科波的传播、热的传导物种的生存疾病的传 播、人口的迁移、细菌的繁殖、污水的净化物质问的化学反应等不同学科的问 题均可演化出反应扩散方程，可以说反应扩散方程是刻画自然界各种现象及运动 规律的基本方程之一本文内容主要着眼于反应扩散方程理论在化学和生态学领 域的应用，考虑处于同一环境中不同物质或种群问的共存问题 应用反应扩散方程来研究具有扩散现象的化学、生态学问题的工作已有了大 量的经典结果，可参见文献【5 , 6 ，1 2 - 1 8 ，4 “6 ，5 0 - - 5 4 ，5 6 ，5 8 ，6 0 ，6 3 ，6 扣7 7 ，i 0 弘1 1 0 在相 关的化学研究成果中。有许多是关于高次自催化反应模型的( 见文献1 3 - 1 8 ) 在 这类化学反应中，某些反应物本身对化学反应具有催化作用，并且随着反应时间 的增加会在反应器中形成化学震荡在相关的生态学研究成果中，有关于单物种 的，两物种的( 见文献【6 ，1 1 ，2 0 ，4 0 - 4 2 ，4 4 ，5 0 ，5 9 ，5 9 ，6 1 ，6 6 ，7 8 - 8 1 ) ，也有关于多物种的( 见 文献【4 “9 ，6 2 - 6 4 ，6 9 ，7 3 ，8 2 - s 7 1 ) 在众多的反应扩散生态系统中，早期出现的l o t k a - v o l t e r r a 系统占据着相当重 要的地位种群动力学中的许多相关理论都是围绕该系统建立并发展起来的更 一般地具有扩散现象的两物种的l o t k a - v o l t e r r a 系统为 j 啦一d l n = 牡( 飒托) 一危l ( u ) ) ，( ，z ) ( o ，) x q ，。、 l n d 2 = u ( 9 2 ( u ) 一 2 ( ) ) ，( ，z ) ( 0 ，0 0 ) n 、u 叫 该方程组为抛物型半线性方程组，其中nci v 为具有充分光滑边界铀的有界 区域，u ( t ，z ) ， ( t ，z ) 表示生活在环境n 中的两物种的数量，参数d 1 ，d 2 0 为两物 1 种的扩散率，g i ，啦，一h 1 ，一 2 c 1 ( n ) 为单调不增的函数且g l ( o ) ，9 2 ( o ) 0 ，h l ( 0 ) = ：( o ) = 0 如果该方程组涉及的参数只是空间变量z 的函数，而与时间t 无关， 这时方程组为椭圆型半线性方程组，其解为( 0 1 ) 的平衡态解，也就是解只依赖于 z 进一步，如果( 0 1 ) 的解( t ， ) 中的札口均是正的，则称( q ”) 为共存态解如果 ( 0 1 ) 中涉及的参数只是时间变量t 的函数，而与空间变量z 无关，这时方程组成 为常微分方程组 iu 7 = u ( g l ( u ) 一h i ( ) ) ，t ( 0 ，o 。) ， l t ，= 口渤( u ) 一k ( ) ) ，t ( 0 ，) 自然地，该方程组的解也是方程组( 0 1 ) 的解 在( 0 1 ) 中，若参数均是以t 0 为周期的函数，则可以寻求方程组具有周期 性的共存态，即正解以t 为周期对时间周期系统，我们可考察其共存态解的渐 近行为，关于这方面的工作，可参见文献1 5 1 5 2 ，5 4 _ 6 1 ，8 8 - 9 0 人们关注更多地、典型地具有扩散现象的两物种的l o t k a - v o l t e r r a 系统为 j t “一d a a u = ( n b u c ) ， 0 ，z ) ( 0 ，o o ) n ， ，n m 1 巩一d 2 = ( d e u 一， ) ，( t ，z ) ( 0 ，o 。) n ， 、7 其中n ，u ( t ，z ) ， ( t ，z ) ，d 1 ，如 0 同系统( o 1 ) d ，b ，c ，d ，e ，均为定义在f 0 ，) 孬上的 光滑函数，其中n ，d 表示两物种的出生率，b ，表示两物种各自内部的数量抑制 率。c ，e 表示两物种之间的相互影响关系参变量c ，e 的符号决定了该系统的类 型通常情况下，依据叩的符号可将系统( 0 2 ) 分为三种类型：( i ) 若c ，e 0 ，则 称为竞争系统；( i i ) 若c ，e 0 ，记 劬= n