（应用数学专业论文）cantor集上平方可积空间的可分性及其一组haar基.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 本文首先讨论了在研究分形集时我们经常要用到的一个重要工具符号空 间，给出了它的若干拓扑性质，其本身就是一个自相似集。然后通过分析三分c a n t o r ，1 集c ( 由迭代函数系统 z = x ，厶= o + 2 ) ，x er ) 生成的吸引子) 以及c a n t o r 测 jj 度声( 关于上述迭代函数系统和概率向量p = ( 1 2 ，1 2 ) 的不变测度) 的性质，利用 w e i e r s t r a s s 逼近定理，证明了空间( c ，) ( 1 s p 0 0 ) 是可分的。作为特例当p ；2 时结论自然也成立。另外通过分析符号空间( ”，t ) 的几何性质，探讨了空间 ( 。，4 ) 与三分c a n t o r 集c 之间的关系，并在此基础上利用分形几何中的理论和技 巧，通过构造具体地给出了三分c a n t o r 集c 上的平方可积函数空间( c ，) 中的一 组h a a r 型规范正交基。最后我们将结果推广到一般的满足强分离条件的相似压缩 迭代函数系统的不变集k 上，得到了r ( k ，u ) 的一组h a a r 基。 关键词：符号空间；不变测度；工2 ( c ，) ；可分；h a a r 基 硕士学位论文 m a s t e r s1 7 - i e s i s a b s t r a c t f i r s t l y , t h i sp a p e rh a sd i s c u s s e dt h et o p o l o g i c a lp r o p e r t i e so f t h es h i f ts p a c e ，w h i c h i sa ni m p o r t a n tt o o lt os t u d yt h ef f a c t a ls e t ，a n di t s e l fi sa l s oas e l f - s i m i l a rs e t t h e n ，b y a n a l y z i n gt h ep r o p e r t i e so f t h ec a n t o rs e tc ，t h a ti s ，t h ea t t r a c t o ro ft h ei t e r a t e df u n c t i o n s y s t e m f l = 工，五= ( x + 2 ) ，工r ) ，a n dt h ec a n t o rm e a s u r eu ，t h a ti s ，t h ei n v a r i a n t jj m e a s u r ea b o u tt h ea b o v ei t e r a t e df u n c t i o ns y s t e ma n dt h ep r o b a b i l i t yv e c t o r p = ( 1 2 , 1 2 ) ，t h i sp a p e rh a sp r o v e dt h a tt h es p a c er ( c ，) ( 1sp ) i ss e p a r a b l e b yu s i n gt h ew e i e r s t r a s sp r o x i m i t yt h e o r y , a sas p e c i a lc a s e , t h i sc o n c l u s i o na l s oh o l d s w h e np = 2 i na d d i t i o n , b a s e do nt h ea n a l y s i so nt h eg e o m e t r i c a lp r o p e a i e so ft h es h i r s p a c e ( 。，占，) a n dt h ed i s c u s s i o no f t h e r e l a t i o n sb e t w e e nt h es h i f ts p a c e ( 4 ，4 ) a n d t h ec a n t o rs e tc ，t o g e t h e rw i t ht h et h e o r i e sa n ds k i l l so ff r a c t a lg e o m e t r y , t h i sp a p e rh a s s h o w nah a a rb a s i so f 工2 ( c ，) c l e a r l yb yw a yo fc o n s t r u c t i o n a tl a s t ，t h i sp a p e rh a s p o p u l a r i z e dt h ec o n c l u s i o nt o t h ei n v a r i a ms e tko ft h es i m i l a rc o n t r a c t i v ei t e r a t e d f u n c t i o ns y s t e mw h i c hs a t i s f i e si n t e n s i v es e p a r a b l ec o n d i t i o na n dg a i n e dah a a rw a v e l e t b a s i so fl 2 ( k ，) k e yw o r d s ：s h i f ts p a c e ；i n v a r i a n tm e a s u r e ；2 ( c ，) ；s e p a r a b l e ；h a a rb a s i s 硕士学位论文 m a s t er st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所褒得的 成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作 品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的 法律结果由本人承担。 论文作者签名：懒 b 期： 年 月哆日 学位论文版权使用授权说明 本人完全了解华中师范大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。即：学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权华中师 范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密论文在解密后遵守此规定。 论文作者签名：呻l 砣埯 日期：叼年r 月、) 日 导师签名；_ 邑钐a 日期：叼年弦哆日 本人已经认真阅读4 c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的学位论文 提交“c a l l s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程”中规定享受相关权益。 旦耋迨塞埕銮厘澄量：旦圭生；旦= 生i 旦三生蕉壶。 论文作者签名：嘲1 掩膏 日期： 年了月哆日 派少 丹 泛弘 厕竺 名。 签 ： 师期导日 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第一节引言 自从上世纪7 0 年代分形集的出现，分形集上的许多性质逐步被人们所发现。 三分c a n t o r 集c 是一种典型的分形集，是研究分形几何的一个重要实例。我们都知 道，实数集胄上p 方可积函数空问r ( r ) ( 1 p a o ) 是可分的，那么很自然地我们 会考虑，三分c a n t o r 集c 上p 方可积函数空间r ( c ，) 是不是可分的呢? 本文通过 分析经典三分c a n t o r 集c ( 由相似迭代函数系统 z = j 1x ，正= j 1 + 2 ) 生成的吸引 子) 以及c a n t o r 测度( 关于上述迭代函数系统和概率向量p = ( 去，去) 的自相似测 度) 的性质，利用w e i e r s t r a s s 逼近定理，证明了空问l p ( c ，) ( 1 p ) 的确是 可分的。作为特例当p = 2 时结论自然也成立。空间f ( c ，) 是可分的，也就是说它 有可数的稠密子集，于是空问r ( c ，) 的结构就比较简单，当我们讨论有关这类空 问的某些问题时，往往可以从中挑选出对那个问题最适宜的一个可数的稠密子集， 从这个子集上来进行研究，然后再利用稠密性推广到整个空间上去，显然这对所讨 论的问题有不少好处。 另外寻找可积空间中的正交基一直是调和分析和小波分析的难点。分形集被人 们发现后，分形集上的小波分析一直引起人们的兴趣，其中对于分形集上的可积函 数空间的基的构造尤甚。文【2 】中指出在传统的l 2 ( r ) 中存在h a a r 型规范正交基。本 文通过分析符号空间( 。，t ) 的几何性质，探讨了空间( 。，4 ) 与三分c a n t o r 集c 之 间的关系，并在此基础上利用分形几何中的理论和技巧，通过构造具体地给出了三 分c a n t o r 集c 上的平方可积函数空间r ( c ，a ) 中的一组h a a r 基。最后我们将结果 推广到一般的满足强分离条件的相似压缩迭代函数系统的不变集定上，得到了 上2 ( k ，a ) 的一组h a a r 基。这些结果为分形集上的小波研究和谱分析提供了参考和依 据，并为分形集上的信号处理和图像处理提供了理论依据。 硕士学住论文 m a s t e r st h e s i s 本文中我们主要得到： ( 1 ) 三分c a n t o r 集c 上所有连续函数构成的空间c ( c ) 在矿( c ，t ) ( 1 p o o ) 中稠密，且( c ，) ( 1 s p o o ) 为可分空间。 ( 2 ) 函数列 ( x ) ，o e y 。 是上2 ( c ，) 中的一组l t a a r 基，这里 ( x ) = 2 譬自。厶一1 ( 力，盯+ ，并约定( 工) = 厅( x ) 。 2 硕士学位论文 m a s t er st h e s i s 2 1 迭代函数系统 第二节预备知识 迭代函数系统简记为i f s ( i t e r a t e df u n c t i o ns y s t e m ) ，是分形理论的一个重 要内容，其理论与方法是分形自然景物模拟及分形图像压缩的理论基础。有关它的 论述是由j e h u t c h i n s o n 在 1 中给出的，建立了i f s 的一般理论基础，至今已有 十分丰富的内容。特别是m f b a r n s l e y 等人的工作，使得它成为绘制分形集的方 便有效的方法，并将之应用到图像的压缩与处理方面，取得了巨大成功。下面介绍 它的一些基本概念。 定义2 1 ( i f s ) 设( r ”，d ) 为 维欧氏空间，如果对任意i e 1 , 2 ，n ， ，：r ”- - ) r “是压缩映射，即对任意x ，y r ”，存在( 0 ，1 ) ，使得 d ( ，( x ) ：( j ，) ) s r , d ( x ，力， 则称压缩映射族f ，) 二为似”，d ) 上一个迭代函数系统。 h u t c h i n s o n 在 1 中己证明对于给定的i f s ， ：。，总存在唯一非空紧集 k c r “，满足 k = u ，( k ) ， 称量为关于迭代函数系统 ， ：! ：，的不变集或吸引子。通常情形下k 或者k 的边界是 分形集。 如果映射厂，对任意x ，y r “，满足d ( ( j ) ，o ) ) = r d ( x ，j ，) ，其中，( o ，1 ) ， 则称厂为压缩比为，的相似压缩。相似压缩变换族之下的不变集称为自相似集。 例如由相似压缩迭代函数系统 z = 了1z ，z = ； + 2 ) 生成的不变集c 就是通常 意义下的三分c a n t o r 集。它是一个自相似集。 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 定义2 2 ( 开集条件) 设 ，) _ ：。是( r ”，d ) 上一压缩迭代函数系统，如果存在非 空开集矿c r ”，使得u ：二。f ( v ) c v ，并且，( 矿) n 乃( 矿) = 矿，i # j ，则称i f s f , n 满足 开集条件。， 定义2 3 设k 为i f s z ) ：。的吸引子，如果f ( k ) n f j ( k ) = 妒，i # j ，则称 i f s ，) ：i ：。满足强分离条件。 容易验证i f s a ，厶) ，其中z ：；x ，厶： o + 2 ) 是满足开集条件和强分离条件 的相似压缩迭代函数系统。 2 2 测度 定义2 4 设一非负集函数： a ：ac - x - - 【o ，1 满足 ( 1 ) ( 矿) = o ； ( 2 ) ( u 巨) s ( e ) ，ec x j ；l i = l 则称为测度，通常称为外测度。我们说ac x 是可测的当且仅当对所有t 匕x ， 有 ( r ) = ( 丁n 爿) + ( r n 彳) 。 如果a ( x ) o ，l i n i - i 的概率向量p = ( a ，p 2 ，办) ，h u t c h i n s o n 在n 中已证明存在唯一的ur 使得 对任意的b o r e l 集一，有 ( j t ) = p ，芦。，：4 ( “) l m l 称满足上式的测度为关于i f s 和p 的不变测度。特别地，当上述i f s 是一族相似压 缩映射时，此测度就称为关于它们的自相似测度。不变测度的支撑即为不变集( 参 见 1 ) 。 定义2 6 设f ( x ) 是c 上的可测函数，记 i i l s l l ，= 叫厂( x ) f p d ) ；，1 p 0 0 ， 其中c 为三分c a n t o r 集，为关于i f s 石，石 和p = ( a ，p 2 ) 且支撑在c 上的不变 测度。我们用l p ( c ，) 表示8 ，8 。 口。( 1 p 0 ，存在g f 使得 l l 一g 忆 占， 则称r 在矽( 三) 中稠密。若l p ( e ) 中存在可数稠密子集，则称( ) 是可分的。 定义2 8 我们称定义在实直线胄上的函数 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s f l ， 妒( x ) = 一l ， 【0 ， x 【o ， ) ； x 皓，1 1 ； 其它 为t t a a r 函数。正交序列 吼 ( ，) 为空间r ( r ) 中的一组t t a a r 基，其中 纺 ( f ) = 2 7 7 2 伊( 2 t 一七) ，( ，kez ) 定义2 9 若拓扑空间中任何两个不同点都有不相交的邻域，则称空间x 为 h a u s d o r f f 空间 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第三节符号空间 在这部分，我们将介绍符号空间，它是理解自相似集的拓扑结构的关键。实际 上，引理3 4 将表明每一个自相似集是一个符号空间通过某种等价关系形成的一个 商空间。 设n 2 2 为正整数，记= 1 , 2 ，n 为个不同符号的集合。 p = ：f ，l ，拧) 表示长为，l 的符号序列的集合，集合”中的元素 亦称为长为以的词。约定o = 痧为空词。 记= u p ，即长为有限的符号序列的集合( 或长度为有限的词的集合) 。 月2 0 若m ，我们用h 表示国的长度。 记。= i l i 2 ：f 1 ) ，它表示无穷长的符号序列的集合。对任意 x 。，记x l 。= x 1 x 2 矗，它表示工的头行个符号组成的符号序列，胆为自然数。 定义映射仃t ：。寸。为吼( q 2 毡) = k q 甜2 q ，女。 现在在。上定义下述度量：设戤f 。，0 ， 0 为半径的开球为： 尾( f ) = 珊”：4 ( ，f ) 占 。 如果花括号中“ ”改为“”，则称作闭球。 设国，记 r = x = x t x 2 x 3 。”：x i l m l = 国 ， 称其为”中的一个柱集，它由头h 个符号恰好为的无穷符号序列组成。 性质3 2 柱集l ( ) 是( 。，4 ) 中既开又闭的集会。 证明：对于任给的= q ：，取乙中任意元素f ，则f | 。= 国。构造 硕士学位论文 m a s t e r sn - i e $ 玲 开球哆一( r ) = c o ：毋 ，f ) r ”1 ，下面证明哆。( f ) = 乙。任取易。( ) ，则 4 ( 国，r ) = ，5 ” r “，所以艿 ，f ) 甩，也就是国i 。= 国，所以m 瓦，从而 b ，。( f ) 瓦a 反之任意f 乙，故而f i 。= 国，万( f ，f ) j ( c o c o , f ) ，。，所以 一( f ，r ) 8 ，( c o w ，f ) 时有t ，f ) = r ” 占，这样e ( ) 3 ，。另 一方面，任意柱集r 。= f e 。：r l 。= ) ，”，于是毽( 国) = f ，t ( 国，f ) 占 c f r ：t ( 国，f ) ，”) ，即匪) c l i 。，从而( 。，t ) 中的任一开球就唯一对应”中 某词的柱集。又因( 。，只) 中任意开集d 都可以表示成为开球的并，于是( ”，坑) 中 任意开集d 都可以表示成为“中某词的柱集的并，而同一词长的柱集不交且一可 数，所以结论成立。 口 上述符号空间中的概念与压缩迭代函数系统有密切的关系。对于 m = q 吐嚷，记无= 厶。lo 。矗和也= 厶( 足) ，这里k 为吸引子， 特别 为恒等映射，我们有如下引理。 引理3 4 ( 参见 2 ) 对于任何缈= 国l o - ) ：吐。，n e 。仅包含一个点。 m l 如果定义映射万：。寸k ， 石( 0 0 2 n k q 。，则万为一个连续的满射，并且 m l 对任意， 】，2 ，有厅o q = ，o 石。 证明：注意到 硕士学位论文 m a s t e r st h e $ i s k 。= 厶。( 。，0 ( k ) ) 厶峨( k ) = k 吐。， 同时考虑到k q 一“是紧的，故q k u 叩“是非空紧的。设r = m 。a ；。x l i p ( f , ) ，由 于d i 锄( ，( 爿) ) rd i a m ( a ) ，u - j 知d i a m ( k 吐) r m d i a m ( k ) ，所以 d i a n a ( n k 叩) = o ， 因此n k 。，”仅包含一个点如果4 ( 国，r ) ，。，则8 ( t o ，f ) m ，即t o , = ， 1 ，s 朋于是万( 曲，万( f ) k q ”2 墨”，因此j ( 功，万( f ) ) 矗”d i a m ( k ) ， 这就说明石是连续的。又由 万( 盯。( 国) ) ) = n k ，嘶。一。= n z ( k 。m 。) = ，( 万( 珊) ) ) 可知石。盯，= z 。万。最后来证刀是满射。注意到 万( 。) = 石( q ( 。) u u o r ，( 。) ) = 万( 口。( ”) ) u u z ( a 。( 。) ) = z ( 厅( 。) ) u u ( 万( 。) ) ， 又因为万( ”) 是一个非空紧集，于是由自相似集的唯一性知万( 。) = k ，所以万是 满射。口 对于上述引理，j u nk i g a m i 在 2 中已进一步指出，如果k 是满足强分离条件 的相似压缩迭代函数系统的吸引子，则映射7 除满足上述引理中的结果外，还是” 到k 上的一个同胚映射。 定理3 5 记巴= 无( c ) ，埘+ ，则e 为三分c a n t o r 集c 中的开集，并且c 中 的任意开集0 都可以表示成为至多可数个巴的并。 证明：因为集c 是满足强分离条件的相似压缩迭代函数系统的吸引子，所以石： 。斗c ，石 ) 2 n c 嘶即。为。到c 上的一个同胚映射，又由性质3 2 知柱集 m i l ，是。中的开集，故而其象 l o 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s j r ( 兄) = 万。吒( 。) = 五。万( 畸) = 厶( c ) = g 也为c 中的开集。又由引理3 3 ，。中任意开集d 可以表示成d 1 = u 瓦，两边用 _ e 万作用，得c 中的开集o = 7 r ( o 。) = 万( u 乙) = u 石( 瓦) = uc ：。 口 m e m e z d e e + 最后由 3 中关于测度的介绍，可知关于i f s z ，厶) 和概率向量p = g ，去) 的 二 c a n t o r 测度满足( 巳) = 2 制，c o 。 硕士学住论文 m a s t e r st h e s i s 第四节l z ( c ，z ) 的可分性 记e ( ) 为x 上所有具有紧支撑的连续函数构成的空间，当x y o 紧集w f ，可简 记为c ( x ) 。 引理4 1 ( 参见 4 ) 如果卢是有限的b o r e l 正则测度，则对任意的集合ecc ， 有 ( e ) = s u p z ( k ) ：k 1 - e ，k 是紧集) ； ( e ) = i n f 4 v ) ：ec - v ，v 是开集 。 引理4 2 记b c ( c ) = f ：f 在c 上连续且，将有界集映成有界集) ，对于任意 u ，f b c ( c ) ，定义( 力= ，则：占c ( c ) 一【o ，) 是线性和正则的。 引理4 3 ( 鲁津定理，参见 4 ) 设是一个局部紧致的h a u s d o r f f 空间，为 其上的一b o r e l 正则测度。设厂是x 上的一复可测函数，( 彳) 0 ，存在一函数g c c ( 彳) ，使得( x ：厂( x ) g ( x ) ) f 。 并且，我们可以选择g 使得其还满足s u p k ( x ) lss u p f ( x ) i 。 j e 舵 引理4 4 如果z 是局部紧致的h a u s d o r f f 空间，是满足引理4 1 和引理4 2 且定义在x 上的一盯代数上的测度，则e ( 在( x ，) ( 1 p o 。) 中稠密。 证明：令s = d ：( 缸：j ( x ) o ) o o ，其中j 为x 上可测简单函数。由鲁津定 理，如果s s ，则存在一个g e ( z ) ，使得在除去一个测度为任意小的集合上外 g ( x ) = s ( x ) ，且吲- 1 1 s 因此恬一s 扎 _ 2 e 1 p 。，所以s 在p ( ) 中稠密，这就完成 了证明。口 引理4 5 ( w e i e r s t r a s s 逼近定理) 设x 是中的局部紧子集，则对c ( x ) 上 1 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 的任何一个连续函数f ( x ) ，必存在一列多项式函数p 。( z ) p 点态收敛于它，这里p 为有理系数的多项式函数全体。 定理4 6c ( c ) 在l p ( c ，) ( 1 p a o ) 中稠密，i jl p ( c ，) ( 1 p ) 为可分空 间。 证明：显然紧集c 为局部紧致的h a u s d o r f f 空间，且不变测度满足引理4 1 和引理4 2 ，由引理4 4 知c ( c ) 在p ( c ，) ( 1 p ) 中稠密。记p 为有理系数的 多项式函数全体构成的空间，由w e i e r s t r a s s 逼近定理，任一连续函数，( x ) ec ( c ) ， 必存在一列有理系数的多项式函数见( x ) p 收敛于它，故p 在c ( c ) 中稠密。又前 面已知c ( c ) 在( c ，) ( 1 p c o ) 中稠密，所以p 在( c ，1 t ) ( 1 p 0 0 ) 中稠密。 由有理数的可数性知三( c ，) 中存在可数稠密子集p ，故f ，) 为可分空间。 口 由上述定理，我们知道l p ( c ，) ( 1 p o o ) 为可分空间，当p = 2 时作为特例 2 ( c ，p ) 也是可分的。 当一个空间具有可分性这个良好性质时，我们研究此空间的元的各种性质就可 以转化为研究这可数个元的性质，其余的可以用此可数元来逼近，从而降低了研究 的复杂性。 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第五节l 2 ( c ，) 中的一组h a a r 基 在上一节，我们已证明了r ( c ，) 为可分空间，但一般的可分空间并不一定存 在一组h a a r 基。下面通过构造我们得出结论： c a n t o r 集上平方可积函数空间r ( c ，) 不仅是可分的，而且存在一组h a a r 基。 其中 我们已经知道，r ( r ) 中有如下的h a a r 小波基； 侈 ( f ) = 2 j 2 妒( 2 t - k ) ，( 工k z ) ， f1 ， p ( 力= 一l ， 【o 工【o ， ) ； 工皓，l 】； 其它 类似地，我们将证明( c ，) 具有h a a r 形式的规范正交基。 定义h a a r 函数 f1 ，x e c n o ， ) ； 厅( x ) = 一1 ，x c n 【 ，1 】； l0 ， 其它 通过简单积分计算，我们可以得到： f 厅( x 蚴= o ，i h 2 ( x 坳= + = 1 再定义函数列 2 譬厅。五一一 ) ，d ，其中x r ，是由石( 功：1 ，和 a ( x ) = o + 2 ) 的任意盯复合。 j 下面我们将要证明 2 譬 。一1 ( x ) ，盯 是z ( c ，) 中的一组h a a r 基。为了证 明的需要，先看下面一个引理： 引理5 1 ( 参见 4 ) 若f ( x ) 是e c 上的非负可测函数，则存在非负可测简 单函数浙增列缺( 工) ，使得以( x ) 丸+ 。( f ( x ) ，且有 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s ! 觋疵( 工) = ，( 工) ，v x e e 。 证明：记皖= 2 一，对每一个正整数h 和每一个实数t ，相应地有唯一的整数 m 满足邮f ( 川盼定义堋= p 警篡三于是每一低是一 个定义在【o ，) 上的b o r e l 函数，当0 t 盯时，t 一玩 ( f ) s ，o 毛s 2 t ， 且当甩斗m 时，对每个t o ，叫，( f ) - - - t 。于是得到函数丸= j 。f 满足条件 丸( x ) 丸“( 力，且对于x e 有! 觋九( x ) = ( x ) ，并且显然它们是可测的。 口 定理5 2 函数列 以( 工) ，口+ ) 是r ( c ，) 中的一组h a a r 基，这里 以( x ) ：2 - i o 五。厶一1 ( 工) ，盯，并约定( 工) ： ( 力。 证明：分两部分来证明函数列 h o ( x ) ，盯，是三2 ( c ，力中的一组h a a r 基。首 先证明 以( x ) ，o r ) 是三2 ( c ，) 上的- - 4 规范正交序列；其次证明对任意的 ( z ) l 2 ( c ，) 均可表示成吃( 工) p ) 的线性组合的形式。 下面我们开始证明第一部分，即证 吃( 曲，仃 是2 ( c ，) 上的一个规范正 交序列。 因为对任意盯，fe ，有 ( ( 蚋( ) = ( 2 掣办。五- , 2 9 h o f , 。) = 上2 譬厅町1 2 9 m “m 所以当r = o r 时， f2 譬 。2 掣厅。( x ) a u = 2 驯( 厅。( 工) ) 2 咖 2 l 2 1 4 ( 办。( 工) ) 2 咖 = 2 h ( 力( 砌= 2 h 击= 1 。 当f 仃时，gi q c ，= 妒或者c af l c ，= c o 或e 。 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s ( i ) c ，n c ，= 时，因为s p t ( h 。力。) = c ，s p t ( h 。z 。) = c f 所以 上2 掣 。厶一1 ( x ) 2 。z 一1 ( 工) 和= o ； ( i i ) c 。n c ，= c 或c f 时，不失一般性，不妨设g n c = o ，此时有c 。c c ，。或 c ace ：，其中c 。= ，( c ) ，i = l ，2 ，因此我们有 2 掣 。( z ) 2 t h 。础工) 审 = 2 掣而。厶4 ( x ) 咖= 幽2 ( 工) 咖- 0 0 综上所述有 ( 吃( x ) ，i ( x ) ) = ( 2 掣厅。；一l ，2 譬矗。- 1 ) = f 之：i 三i 所以函数列 h a x ) ，仃+ l 2 ( c ，) 上的一个规范正交序列。 其次再来证明第二部分，即证任意的八x ) f f ( c ，) 均可表示成吃( x ) p ) 的线性组合的形式。为此，我们先做三步预备： ( 1 ) 对l 2 ( c ，) 上的任意，先考虑f 0 的情形，由引理5 1 知存在非负可 测简单函数渐增列溉( x ) ，使得丸( x ) 蔓丸+ ，( 力厂( x ) ，故而丸( x ) l 2 ( c ，z ) ，且 有! 鳃九( 工) = ，( 工) 。 对于一般的，记f ( x ) = 厂+ ( x ) 一- ( x ) ，其中f + ( x ) = m a x ( x ) ，0 ) 2 0 ； 厂一( 工) = 一r a i n f ( x ) ，0 0 。仍由引理5 1 知存在非负可测简单函数渐增列溉1 ( x ) ) 、 娩o ( x ) ，满足! 鳃丸1 ( x ) = f + ( x ) ；! 觋丸啦( x ) = f ”( x ) 所以 i m ( 奴1 o ) 一噍2 o ) ) = ，+ ( x ) - f o ) = 厂o ) ， 显然 c k 1 ( x ) 一九2 ( x ) ) 是可测简单函数列，故而不失一般性。所以我们只考虑 f 20 ，f l 2 ( c ，) 。 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 对任意的自然数k ，我们将 0 ，k 划分为k 2 等分，并记 c = 胙c ：可j - i m ) 0 ，总存在c 上的开集瓯3 e ，满足( q 、) n 时，有 硕士学位论文 m a s t e r s1 1 e s i s 卜，一荟州x ) | 1 2 0 ， k = l 存在正整数n ，使得当珂 n 时， 0 x x ，一喜c 。z c x ，0 1 2 占。 l l i - l 时有 再根据( 2 ) 知对于上述的占总存在开集q3 以满足( q 4 ) n 时， 土 2hh0 饥 一 ok 胆 m升 砂 盯 心 为8 写 可又式等不述 上 令 以所 州 2 村 心 q 。h = 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s i i 厂一九( x ) l i ： 雌k = l 嚎矿帆8 ： f e z f e 1 2 雌刮唯q 饥一言嚎驴刊m 叫i ： 占+ 扣寿删s 所以f 以0 ) ，盯) 在u ( c ，) 中是完备的，又可数，所以任意的f ( x ) er ( c ，) 均可表示成吃( x ) p ) 的线性组合的形式。 两部分证毕，因而 ，( z ) ，盯) 是l 2 ( c ，) 中的一组h a a r 基。 口 由上面定理，我们可以得到如下推论。 推论4 8 设k 为满足强分离条件的相似压缩迭代函数系统的不变集，为对应 的不变测度， q f j n x h h 。厶一，盯+ ) 为2 ( k ，) 中的一组h a a r 基，这里为压缩 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 参考文献 1 j e h u t c h i n s o n ，f r a c t a la n ds e l f - s i m i l a r i t y ，i n d i a n au n i v m a t h j ，1 9 8