（应用数学专业论文）dullingottwaldholm方程的双线性问题及广义chebyshev映射的谱分解.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 本文研究内容主要分为两部分：第一部分利用h i r o t a 法研究了一类含线性色 散项和非线性色散项的新型非线性浅水波方程即d u l l i n g o t t w a l d h o l m 方程( 简 称为d g h 方程) 的双线性问题。d g h 方程是d u l l i n ，g o t t w a l d 和h o l m 从e u l e r 方程出发，利用渐近扩张思想研究无旋不可压缩无粘浅层受地球重力和流体自身 表面张力影响的运动规律，得到的一类1 + 1 维新型单向浅水波方程，它是一类 完全可积型方程。第二部分研究了一种广义c h e b y s h e v 映射的谱分解问题。 首先，我们利用倒数变换把d g h 方程映射到一个与它关联的双系统方程， 即联合d g h 方程。把类似的倒数变换应用到d g h 方程的l a x 对中，通过引入 恰当的势函数得到了一组新的可积系统。这组可积系统中包含了d g h 方程的变 量“似t ) 。通过消掉该可积系统的一个变量得到一个( ) ，t ) 空间上的可积系统，该 可积系统与b b m 方程存在一定的联系。b b m 方程的双线性已知，通过恰当的 设法可以类似得到关联d g h 方程的双线性形式，即得到了d g h 方程的双线性 形式，并由此得到了d g h 方程的1 一孤子解。 其次，讨论了一类广义c h e b y s h e v 映射的谱分解问题。为了构建广义 c h e b y s h e v 映射在f r o b e n i u s p e r r o n 算子下的一种谱分解。我们定义一种恰当的 对偶对或是装备h i l b e r t 空间，这给谱分解提供了一种数学上的意义。构建帐篷 映射在f r o b e n i u s p e r r o n 算子下的一种谱分解，得到帐篷映射的特征值和特征向 量。利用拓扑代换把广义c h e b y s h e v 映射拓扑等价为帐篷映射，从而得到广义 c h e b y s h e v 映射的特征值和特征向量。 关键词：d g h 方程，h o r i t a 法，双线性形式，1 一孤子解，广义c h e b y s h e v 映 射，谱分解，特征值，特征向量 江苏大学硕士学位论文 i nt h i sp a p e r , t h e r ei st w o p a r t s t h ef i r s tp a r t ：w es t u d yt h eh i r o t ap r o b l e mf o ra n e wn o n l i n a rd i s p e r s i v es h a l l o ww a m rw a v ee q u a t i o n s ，n a m e dd u l l i n - g o t t w a l d - h o l m ( i e d g he q u a t i o n ) d g he q u a t i o ni st h e1 + 1q u a d r a t i c a l l yn o n l i n e a re q u a t i o nf o r u n i d i r e c t i o n a lw a t e rw a v e s ，w h i c hw a sd e r i v e db yd u l l i n ，g o t t w a l da n d h o l m , b yu s i n g a s y m p t o t i ce x p a n s i o n sd i r e c i yi nt h eh a m i l t o n i a nf o re u l e r se q u a t i o n si n t h e i r r o t a t i o n a li n c o m p r e s s i b l ef l o wo fas h a l l o wl a y e ro fi n v i s c i df l u i dm o v i n gu n d e rt h e i nf l u e n c eo f g r a v i t ya sw e l la ss u r f a c et e n s i o n i ti sac o m p l e t e l y - i n t e g r a b l ee q u a t i o n t h es e c o n dp a r t ：w es t u d yt h es p e c t r a ld e c o m p o s i t i o no fag e n e r a lc h e b y s h e vm a p s t ob e g i nw i t h ，w eu s er e c i p r o c a lt r a n s f o r m a t i o nt om a pd g he q u a t i o nt o a s s o c i a e dd g h e q u a t i o n u s es a m i l i a rr e c i p r o c a lt r a n s f o r m a t i o n0 1 1l a xp a i r so fd g h e q u a t i o n ，w eo b t a i nan e wi n t e g r a b l es y s t e mt h r o u g hi n t r o d u c i n ga p p r o p r i a t ep o t e n t i a l f u n c t i o n t h i si n t e g r a b l es y s t e mi n c l u d e sv a r i a b l eu ( x ，f ) w eg e tai n t e g r a b l es y s t e m 0 f ( ) ，f ) s p a c et h r o u g he l i m i n a t i n gt h e v a r i a b l eo ft h ei n t e g r a b l es y s t e m t h e i n t e g r a b l es y s t e mh a ss o m er e l a t i o nw i mb b me q u a t i o n t h eb i l i n e a rf o r mo fb b m e q u a t i o nh a sk n o w n ，s ow ec a ns i m i l i a r l yg e tt h eb i l i n e a rf o r mo fa s s o c i a t e dd g h e q u a t i o n ，t h e nw ec a ng e tt h eb i l i n e a rf o r mo fd g he q u a t i o na n d1 - s o l i t o nb ya a p p r o c i a t em e t h o d i nt h ef o l l o w i n g ，w ed i s c u s st h es p e c t r a ld e c o m p o s i t i o no fag e n e r a lc h e b y s h e v m a p s i no r d e rt oc o n s t r u c tt h es p e c t r a ld e c o m p o s i t i o no ft h ef r o b e n i u s p e r t o n o p e r a t o rf o rag e n e r a lc h e b y s h e vm a p sw ed e f i n eas u i t a b l ed u a lp a i r so rr i g g e d h i l b e r ts p a c e ，w h i c hp r o v i d e sm a t h e m a t i c a lm e a n i n gf o rt h es p e c t r a ld e c o m p o s i t i o n c o n s t r u c tt h e s p e c t r a ld e c o m p o s i t i o n so f t h e f a m i l y o ft e n tm a p su n d e rt h e f r o b e n i u s - p c r r o no p e r a t o r w ec a ng e tt h ee i g e n v a l u e sa n de i g e n v e c t o r so ft h et e n t m a p s t h r o u g ht h et o p o l o g i c a le q u i v a l e n c eo ft r a n s f o r m a t i o n s ，w e c a nt a k et h e g e n e r a lc h e b y s h e vm a p si n t ot h et e n tm a p s ，t h e nw ec a ng e tt h ee i g e n v a l u e sa n d e i g e n v e c t o r so ft h eg e n e r a lc h e b y s h e vm a p s k e yw o r d s ：d g he q u a t i o n ，h o r i t am e t h o d ，b i l i n e a rf o r m ，1 - s o l i t o n ，g e n e r a l c h e b y s h e vm a p s ；s p e c t r a ld e c o m p o s i t i o n ，e i g e n v a l u e s ，e i g e n v e c t o r s 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密呼 学位论文作者签名：绿戏江 砷年，y 月，日 臌：锣乏移 砷年，月，j 日 f 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：缛观红 日期。叫年月7 y 日 江苏大学硕士学位论文 第一章绪论 非线性科学是继量子力学，相对论之后2 0 世纪自然科学的重大发展，它包 括混沌，分形，孤立子三个基本分支。爱因斯坦曾预言“由于物理学的基本方程 都是非线性的，因此所有的数学物理都必须从头研究”。 孤立子作为非线性科学的一个重要分支，从2 0 世纪6 0 年代以来获得了重大 进展。它不仅开拓了数学物理新的研究领域，还在许多高科技领域有着重要的应 用，由于孤立子的研究涉及等离子体，凝聚态，光通讯，量子物理等备受重视。 另一方面，关于浅水波方程相关性质的研究由于在超弹性材料力学及浅水波运动 规律研究中有广泛的应用前景而成为目前国内外数学物理届关注的热点问题之 一。讨论浅水波方程解的相关性质并揭示波的传播规律，在准确解释自然现象， 确定物理材料属性等方面均具有极大的应用价值。 1 1 研究背景 孤立子是最早在自然界观察到并且可以在实验室产生的非线性现象之一，它 是非线性场方程所具有的一类空间局域范围内不弥散的解。1 8 3 4 年，英国科学 家罗素在运河喝道上看到两匹马拉着一只船迅速前进。当船突然停止时，被船所 推动的一大团水却不停止，它以很快的速度向前滚动着，高度约为0 3 - - 一0 5 米， 长约1 0 米。罗素骑马沿运河跟踪这个水包时发现，它的大小，形状和速度变化 很慢，直到1 2 英里后，才在河道上渐渐地消失。罗素马上意识到，他所发现的 这个水包绝不是普通的水波。普通水波由水面的振动形成，振动沿水平面上下进 行，水波的一半高于水面，另一半低于水平面，并且由于能量的衰减很快消失。 他所看到的这个水包却完全在水面上，能量的衰减也非常缓慢( 若水无阻力，则 不会衰减并消失) 。罗素认为这种奇怪的水波是流体力学中的一个稳定解，并称 之为孤立波，也叫孤波。但罗素的学说未能使物理学家们信服他的论断，在此以 后有关孤立波的问题引起了广泛的争论。 1 8 9 5 年，k o r t e w e g 和d ev r i e s 在研究浅水波时建立了一个非线性波动方程， 即k d v 方程，并且得到类似的解，才在理论上作出说明。通常线性的波动方程具 有行波解，时间和空间坐标不是各自独立的变量，而是以它们的线性组合作为变 江苏大学硕士学位论文 量，随着时间推移，波形向前传播。孤立波具有三个性质：一是传播过程保持波 形和波速不变，二是孤波碰撞时互相穿透且维持原来的波形和波速，三是振幅越 高传播速度越快。1 9 世纪8 0 年代，b a c k l u n d 得到了s i n e g o r d o n 方程的一个性 质，从该方程的一个已知解，经过一个变换，可求得另一个新解，这种变换被称 为b a c k l u n d 变换。它是将同一个方程的两个不同的解联系起来。而在当时，人 们只把b a c k l u n d 变换当作几何定理看待。直到发现它在孤立子理论中有重要应 用，才引起人们的关注。 孤立波解只存在于非线性色散方程之中，亦即非线性与色散是孤立波存在的 必要条件。色散即波的传播速度依赖于波的频率和波长，它导致波包散开，而非 线性却导致波阵面卷缩，两者共同作用的结果便形成稳定的波包，即孤立波。起 初人们认为虽然单个孤立波在行进中非常稳定，但在孤立波相互碰撞时，就可被 撞得四分五裂，稳定波包将不复存在。但通过计算机对孤立波进行研究的结果表 明，两个孤立波相互碰撞后，仍然保持原来的形状不变，并与物质粒子的弹性碰 撞一样，遵守动量守恒和能量守恒。孤立波还具有质量特征，甚至在外力作用下 其运动还服从牛顿第二定律。因此，完全可以把孤立波当做原子或分子那样的粒 子看待，人们将这种具有粒子特性的孤立波称为孤立子，有时简称孤子。由于存 在色散效应，波的各组成部分具有不同的频率，它们以不同的速度传播，行进一 定距离之后，波形逐渐扩散而消失。对于非线性波动方程，其中出现非线性项， 非线性效应会使较高频率不断累积，波在前进过程中变得越来越陡峭而最终达到 破碎的地步。当非线性项和色散项同时存在，两种效应恰能相互抵消，则出现孤 立波解。 1 9 5 5 年，物理学家f e r m i ，p a s t a 和u l a m 提出了著名的f p u 问题，即用计 算机计算了一维非线性晶格在各个震动模之间的转换，发现在足够长的时间后能 量又似乎回到了开始的分布。后来t o d a 研究了这种模式的非线性振动，得到孤 立波，使f p u 问题得到圆满解答，从而激发了对孤立波研究的兴趣。 1 9 6 2 年，p e t t i n g 和s k y r m e 在研究基本粒子模型时对s i n e g o r d o n 方程进行 数值模拟实验，结果表明孤立波在碰撞前后波形和速度保持不变。1 9 6 5 年， z a b u s k y 和k r u s a l 详细考察了等离子体中孤立波的相互碰撞过程，进一步证实了 孤立波在碰撞前后波形和速度保持不变的论断，并且把它命名为孤立子( s o l i t o n ) ， 2 江苏大学硕士学位论文 它是指一大类非线性偏微分方程的许多具有特殊性质的解，以及具有的相应的物 理现象，它的性质具体为：( 1 ) 能量比较集中；( 2 ) 孤立子相互碰撞时具有弹性散 射现象，从此孤立子理论的研究工作得到了迅速发展。由于物理学，力学和工程 技术等方面的许多问题都归结为孤子方程的定解问题，因此在孤立子理论中，孤 子方程的求解已经成为一个重要的研究课题。但是大量的孤子方程的解无法用初 等函数表达，甚至不能用积分式表达。 1 9 6 7 年，g a r d n e r ，g r e e n ，k n m k a l 和m l u r a 提出的反散射方法，解决了一 大类孤子演化方程的求解问题。反散射方法的提出是应用数学的一次重大突破， 它不仅为应用数学开拓了一个新领域，而且也为孤子物理学的研究提供了数学工 具。反散射方法解决了k d v 方程的求解问题。1 9 6 8 年p d l a x 通过引入l a x 对， 将孤立子演化方程的求解问题和求l a x 对的问题联系起来，从而使反散射方法的 数学形式的表达更为简单。此后几年反散射方法被推广应用于许多孤立子方程的 求解。1 9 7 2 年找到了非线性s c h r o d i n g e r 方程的l a x 对，首次求出了方程的孤子 解。同年，m w a d a t i 求得m k d v 方程的精确解。1 9 7 3 年将反散射方法用于 s i n e - g o r d o n 方程，求得其精确解。在这期间，这些纯粹数学上的孤立子，很快 在流体物理，固体物理，等离子物理和光学等其他学科被发现。更令人振奋的是， 这些似乎是纯数学的发现，不仅为实验所证实，而且还找到了实际应用。例如光 纤通讯中传输信息的低强度光脉冲由于色散变形，不仅信息传输量低，质量差， 而且须在线路上每隔一定距离加设波形重复器，花费很大。7 0 年代从理论上首 先发现“光学孤子”可以克服这些缺点，并可大大提高信息传输量。目前这一成果 已进入实用阶段，而反散射方法的提出和推广，为求解这些孤子方程提供了数学 工具，极大地推动了孤立子理论的研究。1 9 7 5 年，k r u m h a n s ls c h i e f f e r 开始研究 孤波的统计力学。1 9 7 1 年，日本数学家h i r o t a 创造性地提出了一种获得孤子解 地直接方法一h i r o t a 双线性导数方法，并成功应用于求各种非线性波动方程的多 孤子解，它的基本思想是运用合适的变换将非线性方程变换成齐次形式，对于可 积系统，往往是双线性形式。 在我国孤立子的研究开始于2 0 世纪7 0 年代，杨振宁，李政道，陈省身教授 等回国讲学时，向国内同行介绍孤立子理论的研究进展，并指出它的重要性。随 后在中国科学院和国内部分高等学校相继开展了这方面的研究工作。随后在中国 3 江苏大学硕士学位论文 科学院和国内部分高等学校相继开展了这方面的研究工作。 孤立波早期研究大都局限在单一的学科里，现在由于有许多重大的应用问 题，逐渐形成多学科的研究。在1 9 5 0 年以前，孤立子的研究大都集中在理论探 讨，例如，建立k d v 方程( 描述浅水波中孤立波的运动，是典型的经典问题) ， 提出逆散射方法并将它推广应用于非线性薛定谔方程和s i n e g o r d o n 方程的求 解。这些研究对发展孤立子理论至关重要。但当发现理论研究在技术上有重大应 用前景时，生产和技术的需要更能推动理论发展。在1 9 7 5 年以前，所讨论的孤 立子问题都是低维的，即孤立子的空间分布是一维的。逆散射变换也是一维的变 换。随着孤立子理论的发展，许多实际问题不能简化成为一维的问题，或简化成 为一维问题后会失去它的重要特征。于是现在孤立子的研究工作开始由一维发展 到多维，由单学科的研究逐渐形成多学科的研究，当今孤立子的发展已由前期的 理论研究进展到实际应用。现在孤立子的研究深入到场论、粒子物理和核物理这 些领域时，只能采用量子的方法处理，量子孤立子理论的研究还在继续发展。 1 2 研究现状 近十年来，关于孤立波的研究工作在理论及应用方面均取得突破性成果。由 于在超弹性材料力学及浅水波运动规律研究中有广泛的应用前景，浅水波方程相 关性质的研究成为目前国内外数学物理学界关注的热点问题之一。讨论浅水波方 程解的相关性质，并揭示波的传播规律，在准确解释自然现象，确定物理材料属 性等方面均具有极大的应用价值。 在文献f 1 1 中d u l l i n ，g o t t w a l d 和h o l m 从e u l e r 方程出发，利用渐近扩张思 想研究了无旋不可压缩无粘浅层受地球重力和流体自身表面张力影响的运动规 律，推导出一类1 + 1 维新型单向浅水波方程即d u u i n - - g o t t w a l d - - h o l m 方程( 简 称为d g h 方程) 鸭+ c o u 。+ 峨+ 2 m u ，= 一肛。，t 0 ，z r ，t r 其中以o ，d 表示x 方向的流体速度，m = u - c 1 2 u 。表示动量，7 c 。是区间长度的 平方，c 。= 曲( 其中c o = 2 c o ) 表示线性波速。 利用m = u 一口2 搿。，可以将d g h 方程写成： 4 江苏大学硕士学位论文 l i l 一口2 “脚+ 2 a m x + 3 l i l i j + 蕊= 口2 ( 2 u u 。+ 期。) ，t 0 ，x r d g h 方程联系了两类相对独立的可积孤立波方程。一方面，当口2 0 时， 方程形式上成为k o r t e w e g - d ev a l e s 方程( 简称k d v 方程) u t + 2 a m j + 3 u u x = 一肛m 特别地，这种k d v 方程有光滑孤立波 u ( x ，f ) = s e e h 2 “x c t ) 周- y 2 ) ，c = + 且当缈= 0 时，对应的k d v 方程有光滑孤立子解。 另一方面，若令厂一0 ，方程形式上成为c a m a s s a - h o l m 方程( 简称c h 方程) u t 一口2 h 埘+ 2 绷，+ 3 u u x = 口2 ( 2 l h 搿+ 枷。)( 1 2 1 ) 在文献【2 】中，r c a m a s s a 和d d h o l m 在研究浅水波运动规律时，用哈密顿 量的方法，根据物理原理【3 】【4 】，推导出新型非线性色散波方程即c a m a s s a - h o l m 方程( 简称c h 方程) 。其中“= 似t ) 表示x 方向的水波流速( 或者表示浅水波的自 由表面的高度) ，缈是一个与临界浅水波速度有关的常数。对任意( - 0 ， c a m a s s a h o l m 方程( 1 2 1 ) 具有一个l a x 对，具有双哈密顿结构，也具有无穷个 守恒量。对缈= 0 ，方程( 1 2 1 ) ：t 宁c e p 卅i 形式的尖峰孤立波解，它在波峰处一阶导 数不存在，这种行波解通常被称为p e a k o n ，更进一步的研究表明，c h 方程具有 简单的多重p e a k o n 。c a m a s s a ，h o l m ，h y m a n 在文献 s l q 了使用哈密顿方法得到 了c a m a s s a h o l m 方程的单向波，并且分析了方程的解的性质，表明在某个初值 条件下在有限时间内可以形成纵向斜率，同时也验证了c h 方程的守恒量和双哈 密顿性质。文献6 1 中应用一些变分函数导出了c a m a s s a h o l m 方程的一个近似孤 立子解，在文献 7 1 q bc o n s t a n t i n 解决了c a m a s s a - h o l m 方程的一类初值的散射与 反散射问题，通过l i o u v i l l e 变换，将c a m a s s a - h o l m 方程的等谱问题变到经典的 s c h r o d i n g e r 特征值问题，从而通过解非线性的二阶常微分方程，从s c h r o d i n g e 问题相关的散射数据构造出c a m a s s a h o l m 方程的显示解。文献【8 】中利用【7 】的散 射数据，得到了c a m a s s a - - h o l m 方程的孤波解和2 一孤子解，3 一孤子解，同时 也给出了解的性质和图像。在文献 9 1 q b 八c o 璐蛐和w a s t r a u s s 通过对线性 化h a m i l t o n i a n 算子进行谱分析，研究了c a m a s s a - h o l m 方程的孤立波的轨道稳 5 江苏大学硕士学位论文 定性问题，证明了在小扰动下，孤立波的波形是稳定的。文献 1 0 l q p 弓i a t - 个 带非线性色散项的五阶k 伽，甩，0 方程，从而利用a d o m a i n 分解法得到了多重 c o m p a c t o n 解。在文献1 1 1 中f a n 和t i a n 证明了当扰动参数适当小时m k d v - k s 方程的孤立波的存在。t i a n 和y m 在文献1 2 1 中了具有完全非线性对流项和色散 项的广义c a m a s s a - h o l m 方程，从中得到紧孤立子c o m p a c t o n 解和孤立波模型解。 文献【1 3 1 研究了c a m 弱s a h o l m 方程守恒量和初值问题，文献1 4 1 讨论了该类问题 的对称性和可积性，文献 1 5 1 研究了c a m a s s a h o l m 方程的可积扰动问题，文献 【1 6 】中o i n g 和t i a n 研究了耗散c a m a s s a - h o l m 方程的全局解和全局吸引子的存 在性。文献 1 7 】田立新等研究了该方程的行波孤子解及其双孤子解，并首次引入 了凹凸孤立子及光滑孤立子的概念。文献 1 8 1 研究了广义c a m a s s a - h o l m 方程及 广义弱耗散c a m a s s a h o l m 方程，并得到了一类新的尖峰孤立子解。在文献 1 9 1 中，l e n e l l s 研究了c a m a s s a h o l m 方程的散射逼近问题，给出了c a m a s s a - h o l m 方程的初始位势函数的求解方法。文献2 0 1 讨论了c a m a s s a h o l m 方程的反散射 逼近问题，通过一种新的逼近法为方程的反散射问题提供了一种方便的算法，进 而用实际例子表明方程的孤立波确实是孤立子。文献f 2 1 1 在文献f 2 0 】的基础之上 继续讨论了c a i n a s s a h o l m 方程的反散射逼近问题，给出了更为简单的算法。在 文献 2 2 1 1 2 3 1 ，a c o n s t a n t i n ，j e s c h e r 和r d a n c h i n 研究了非线性非局部浅水波 方程的解的 w a v eb r e a k i n g ( 碎波) 问题，其中 w a v eb r e a k i n g ”是指方程的解( 也就 是波) 本身在有限时间内有界，但它对空间变量的导数趋于无穷。在文献 2 4 】中 t i a n ，g u i 和l i u 研究了d u l l i n g o t t w a l d h o l m 方程的g a u c h y 问题的局部适定性 理论、整体适定性理论，解的极限行为，孤立波的轨道稳定性，散射理论，新型 尖峰孤立波解，同时也给出了d g h 方程的散射数据。郭柏灵和刘正荣【2 5 】通过 使用平面的自治系统和数字模拟的定性分析研究方法研究了 d u l l i n g o t t w a l d h o l m 方程的尖峰孤立波解。文献 2 6 1 研究了d g h 方程的局部解 和整体解问题，同时讨论了方程解的b l o wu p 。m ：i n y i n gt a n g 和c h e n g x iy a n g 在 文献【2 7 】中利用分歧细想获得了d g h 方程的行波系统双波解的具体表达方式。 在文献【2 8 】中殷久利，田立新研究了d g h 方程的行波解。在文献f 2 9 】中田立新， 居琳研究了d g h 方程的散射逼近和反散射问题。 6 江苏大学硕士学位论文 1 3 研究内容及研究意义 在上述研究基础上，本文研究内容主要分为两部分，第一部分利用h i r o t a 方法研究了一类含线性色散项和非线性色散项的新型非线性浅水波方程即 d u u i n g o t t w a l d - h o l m 方程( 简称为d g h 方程) 的双线性问题，得到了d g h 方 程的双线性形式和1 一孤子解。d g h 方程是d u u i n ，g o t t w a l d 和h o l m 从e u l e r 方程出发，利用渐近扩张思想研究了无旋不可压缩无粘浅层受地球重力和流体自 身表面张力影响的运动规律，推导出一类1 + 1 维新型单向浅水波方程，它是一 类完全可积型方程。第二部分研究了一类广义的c h e b y s h e v 映射的谱分解问题。 作为一类1 + 1 维新型单向可积浅水波方程，d g h 方程 u t 一亿2 砧埘+ 2 国虬+ 锄，+ 肛。= 口2 ( 2 u u 搿+ m “嬲) ，t 0 ；x r 结合了k d v 方程的线性色散项和c h 方程的非线性( 非局部) 色散项，通过反 散射方法证明它仍然保持可积性。目前关于k d v 方程和c h 方程的散射和反散 射理论的研究已经比较完善。d g h 方程的作为一类新的重要的可积型孤立波方 程，近年来引起了国内外专家学者的广泛关注，田立新，居琳研究了d g h 方程 的散射逼近和反散射问题，对d g h 方程的研究必将有助于浅水波方程相关理论 的完善和发展，同时也为孤立子理论的研究开拓新的方向。 本文的结构安排如下：第一章绪论；第二章介绍了一些基本概念和本文用到 的方法；第三章介绍了d g h 方程的双线性问题，得到d g h 方程的双线性形式 和1 一孤子解；第四章介绍了一类广义的c h e b y s h e v 映射的谱分解问题，得到了 广义c h e b y s h e v 映射的特征值和特征值。 7 江苏大学硕士学位论文 2 1 孤立子结构 第二章基本概念 偏微分方程 u t t = 口2 ，h o ( 2 1 1 ) 是通常的弦振动方程，它是线性的，而且无色散项。式中u 是任意函数，a 是常 数，下标表示偏导数。式( 2 1 1 ) 的通解为 “= 厂( z + 口f ) + g ( x a t ) ( 2 1 2 ) 通解中g ( x - a t ) 表示，当f = 0 时波形为g 的波，在f 时刻向右平移a t e _ 离，而 成g ( x - a t ) ，即所谓沿x 正方向的右行波( 图2 1 1 ) 。类似地f ( x + a t ) 表示波形不 变，以速度a 向x 轴的负方向行进的波，即所谓的左行波。通解是右行波和左行 波的叠加。 图2 1 1 式( 2 1 1 ) 过于一般化，它所代表的实际问题也不多。 其次，观察偏微分方程 u t + h 越= 0 ( 2 1 3 ) 这是一个线性方程，但包含色散项h 掰，式( 2 1 3 ) 的解为 心似d = e x p i ( k x 一哪】( 2 1 4 ) 其中，缈为圆周率，七：三三为波数，五为波长，彩：k ，。相速彩k ：k ：与后有关。 8 江苏大学硕士学位论文 式( 2 1 4 ) 对七求和得 h o ，t ) = c ke x p i ( k x - 纠) l( 2 1 5 ) k 式( 2 1 5 ) 仍然是方程( 2 1 3 ) 的解。相速与有k 关，即不同分量的传播速度不同， 称为色散。由于存在色散，这样的波包在传播时会变形。 再次，我们考察一个非线性但无色散的偏微分方程 u t + u u ，= 0 ( 2 1 6 ) 其中暇为非线性项。上式的行波解为砧= 配o 一哪，其中1 ，是波的传播速度，且 u = v 。速度与”有关，即波形中不同高度的各点传播速度与高度成正比。这种波 在传播过程中不可能保持波形不变。 最后，考察k d v 方程 u t 一6 u u ，+ = 0 ( 2 1 7 ) 上式中“。为色散项，6 1 峨为非线性项。由于色散效应和非线性效应所产生的影 响互相抵消，使得在传播时能维持不变。k d v 方程的解为 u ( x ，0 = - 2 k 2s e t h 2 k ( x - 4 t 2 t 一而) ( 2 1 8 ) 其中k 为一常数。从上式中可以看到波的振幅与波的速度有关，波幅高的波跑得 快一些。图2 1 2 绘出式( 2 1 8 ) 的波形。 图2 1 2k d v 方程孤立子的形状 从上述的例子可以看到：产生孤立子的物理条件是色散和非线性。线性过程 是不能产生孤立子的。 从数学的观点来看，具有下列两类性质的特殊解称为孤立子解：( 1 ) 能量有 限，且分布在有限的空间范围内；( 2 ) 弹性碰撞，即在碰撞后能恢复到原来的波 9 江苏大学硕士学位论文 形和速度。 但是，从物理学的观点看，一般认为，具有性质( 1 ) 的特殊解就可以称为孤 立子。以粒子物理学中的孤立子问题来说明这一点是最清楚的。在粒子物理学中， 将孤立子看成是量子场的激发态。微观系统中的能量状态是分立的，人们所关注 的是碰撞前后处于什么量子态，而不是波形是否改变。又例如在单模光纤中的亮 孤立子，其中高阶孤立子的波形在传播过程中会产生周期性的变化，对于这些波 形在传播过程中有明显变化的孤立子，在物理学上仍然称为孤立子。所以一般的 认为只具备性质( 1 ) 的就可以称为孤立子。 2 2 孤立子求解 求行波解的方法，是将偏微分方程化为常微分方程来求解。这种方法在科学 技术中已被广泛应用。这里主要以k d v 方程及n i _ s 方程为例，介绍如何应用这 种方法求出方程的一些特解。 ( 1 ) 设k d v 方程 呸一6 毂+ = 0( 2 2 1 ) 的解是留= 留似力= 厂( 9 ，其中 孝= x - v t( 2 2 2 ) 将( 2 2 2 ) 代入式( 2 2 1 ) ，将它化为对孝的常微分方程 叫t 叫h ”地卜蓑 积分一次，得一v f 一3 f 2 + 一a ：0 ，其中a 是积分常数。这式子乘以，再积 分一次，并引进积分常数丑，得 三( 门2 一l ( 2 f 3 - 矿2 一a f 卅 = - ( f 一口) ( ，一b x f c )( 2 2 3 ) 这里口、b 、c 是关于厂的三次方程的三个根。 对式( 2 2 3 ) 积分，就要考虑椭圆积分的问题。为此，需要引进椭圆函数。在 江苏大学硕士学位论文 微积分学中，已知国= r 百三簪的积分可写成缈= 嬲i n y ，即s i n 国= y 。现在 对积分y = r 百刍引进雅可比函数 s n v ，m 】= s i no ，c n v ，m 】= c o s o , o - m 1( 2 2 4 ) c n v , o 】一c o sp ，c n p , 1 】= s e c h v( 2 2 5 ) 为了将( 2 2 3 ) 化为上述积分形式，我们假定三个根口、b 、c 都是实根，而且 a b c 。作变换 厂= c + ( b - c ) s i n 2 口= 6 一p c ) c o s 2 0 ( 2 2 6 ) 则 弋，一口) ( 厂一功( 厂一c ) = 【( c 一口) + ( 6 一c ) s i i l 2o ( b - c ) c o s 2o ( b - c ) s i n 2 印 a f = 2 ( 6 一c ) s i no c o s o d o 因此，积分( 2 2 3 ) 就化为 心= 告r 从( 2 2 3 ) 知 d 口c 一6 忑1 朋。一c - a ，= 2 ( a + 6 + c ) ，a = 2 ( 口b + b c + c a ) ，b = 2 口k 。 由此，得k d v 方程的解 g ( x ，f ) = = 6 + 。一6 ) 阴2 【击p 一力；o 一2 ( a + b + c y + ) ，朋】( 2 2 7 )、，2 。、 这是一个椭圆函数解，是个周期函数。 当口= 6 c 时，( 2 2 7 ) 中令 b a ，m 一1 得孤立波解 g o ，) = 口+ p 一口) s e c 办2 【三 一口) 】_ 1 h 一2 ( 2 口+ c y + 】 ( 2 2 8 ) 兰莶查兰塑主堂堡垒查 - _ _ - - - _ - - - _ _ _ _ _ _ _ - _ - - - _ _ - - _ - - - _ - _ _ - _ 一 令= a ，k 2 = 去( c 一口) ，( 2 2 8 ) 写成 留似f ) = u o + 勰2s e c h 2 w x 一( 舷2 + 缸o y + 而】) ( 2 2 9 ) 由此看出这个孤立波解以舷z + 6 l 。的速度向前传播，并由此看出速度愈快，波愈 高，波形愈窄。 当口= b = c 时， 留( 而f ) = 厂= 口一2 ( 孝一彘) 。2 ，善- - - - x v t ( 2 2 1 0 ) 这是一个有理解。 ( 2 ) 设n l s 万程 i q , = + 2 盯g 的解是 q ( x , t ) = 厂( 0 e 讯，儡= 吼0 + 研，孝- - - - x w 其中，幺为实函数。 将它代入式( 2 2 1 1 ) ，分别取实部与虚部，得 v r 0 7 一( d r = r 。一0 7 2 r + 2 r 3 一v r7 = 2 r 7 秒7 + r o ” 取式( 2 2 1 4 ) 的解为= 一兰，即 口= 一兰= 一差( x w ) 代入式( 2 2 1 3 ) ，化成对，的方程 ，- ：一兰r 一2 ，3 一翻矿 积分一次，得1 2 = 一8 厂2 1 2 ，4 一圭硝2 + b ，其中曰是常数。 令5 = ，2 。上式乘以8 r 2 ，得 ( d 2 = _ 4 ( s 3 + p + 等) s 2 + 2 廊) = _ 4 0 山) o 吖p ( 2 2 1 1 ) ( 2 2 1 2 ) ( 2 2 1 3 ) ( 2 2 1 4 ) ( 2 2 1 5 ) ( 2 2 1 6 ) 江苏大学硕士学位论文 其中国+ 鲁= 而一c ，幻= 2 b 。并设。 6 。 ，= 届行 奶，1 】= 石s e c 厅船 这时得到峪方程其包络形状为孤立波的解 g ：石s e c 办石o w ) p 廿；x m 2 3h i r o t a 双线性方法 ( 2 2 1 8 ) ( 2 2 1 9 ) 在寻求孤子方程精确解的方法中，h _ i r o t a 方法是个重要直接的方法。1 9 7 1 年，h i r o t a 创造性地提出了一种获得孤子解地直接方法一h i 胁双线性导数方法 【3 0 1 。在这种方法中，首先通过引入位势甜的适当变换，将孤子方程化为双线性 导数方程，然后将扰动展开式带入双线性导数方程中，在一定条件下该展开式可 以截断至有限项，并可得到线性指数函数形式的单孤子解，双孤子解和三孤子解 等具体表达式，并由此猜测出多孤子解的一般表达式。对于一般表达式可利用数 学归纳法验证其成立，但过程比较复杂f 3 1 1 在实际应用中h i r o t a 方法所引入的位 势甜的变换，往往以反散射变换的结果为基础或者p a i n l e v e 截断展开为基础，但 要比反散射方法简单和直接。由于h i r o t a 双线性方法以双线性导数为工具，且仅 与求解方程有关，而不依赖于方程的谱问题或l a x 对，具有简捷，直观的鲜明特 点，已从最初求解k d v 方程，m k d v 方程，s i n e g o r d o n 方程等的多孤子解而发 展成为一种可以求解一大批非线性发展方程多孤子解的十分普遍的方法。其使用 范围几乎涵盖了所有反散射变换可解的方程。h i r o t a 等考虑了带有损耗和非均匀 项的k d v 方程，得到其多孤子解的表达形式。这一方法的不足之处在于只能求 解单一的方程，而且其对n - 孤子解表达式的猜测难以给出令人满意的证明。 下面介绍一下双线性导数的相关知识： 设，似d 与g ，t ) 是变量t 与x 的可微函数，引进微分算子以与d ，使得对任 江苏大学硕士学位论文 意的非负整数m ，n 有 d m d t f g = ( a ，一a ，) ”( a ，一o r , ) ”厂( x ，t ) g ( x 7 ，f ) l ，：。r ：，( 2 3 1 ) 式( 2 3 1 ) 称为函数，与g 对x 施行m 次皿，对f 施行刀次日的双线性导数。 特别当所= 玎= 1 时，算得 当m = 4 ，n = 0 时，有 d ，o , f - g = f g f t g 。一l x g t + 趣吐1 2 3 磁厂厂= 2 ( 如- 4 l 厶+ 3 厶2 )( 2 3 3 ) 这种导数具有以下性质： ( 1 ) 函数f ( t ，功与自身的奇数次双线性导数为零。就