（基础数学专业论文）一类带有保护域的离散的竞争扩散系统.pdf

摘要 本文讨论了个包含两个l o t k a - v o l t e r r a 斑块的模型系统包括两个竞 争的物种x 和y ，其中仅y 可以在斑块之间迁徙文章证明了系统至多 只有两个正平衡点，进而证明了系统永久生存蕴涵全局稳定此外，为了 回答保护域是否对于保护物种y 有效的问题，我们对当物种x 是一个强 竞争者时，系统正平衡点的性质和系统的动力学性态进行了完整的研究， 得到了个全局性结果 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r am o d e lc o m p o s e do ft w ol o t k a - v o l t e r r ap a t 炯i sc o n s i d e r e d t h es y s t e mc o n s i s t so ft w oc o m p e t m gs p e c i e sx ya n do n l ys p e c i e sy c a nd i 觚 b e t w e e np m c h e ai ti sp r o v e dt l m tt h es y s t e mh a sa tm o s tt w op o s i t i v ee q u i l i b r i a a n dt h e nt h a tp e r m a n e n c ei m p l i e sg l o b a ls t a b i l i t y f u r t h e r m o r e ，t oa i l s w e rt h eq u e 8 - t i o nw h e t h e rt h ep r o t e c t i o nz o n ei se f f e c t i v et op r o t e c ty t h ep r o p e r t i e so fp o s i t i v e e q u i l i b r i aa n dt h ed y n a m i c so ft h es y s t e ma r es t u d i e dw h e nx i s8m u c hs t r o n g e r c o m p e t i t o r ，a n dw eg e tag l o b a lr e s u l t m 中国科学技术大学学位论文相关声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究 工作所取得的成果。除已特- 另, j j m 以标注和致谢的地方外，论文中 不包含任何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的 同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权， 即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关 、 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、 汇编学位论文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名：杰幽 加q 7 年5 月3o 日 致谢 感谢我的导师蒋继发教授引导我选择微分方程的方向，蒋老 师严谨执着的治学态度，朴实谦逊的为人作风都深深的影响着 我特别地，要感谢蒋老师对我申请的支持和推荐，使我有机会 出国深造 感谢我的论文导师梁兴副教授给了我一个非常之有趣的问 题，并悉心指导，特别在问题的最后解决上起了很大的指导作 用同时要深深地感谢他给予我在学习上和生活上的巨大帮助 感谢非线性泛函分析讨论班上的各位同窗，特别是汤芬斯 蒂同学还要感谢我的大学同学潘欣和他们的讨论和交流使 我受益匪浅 感谢数学系的各位老师的关心和鼓励特别的，我要对王毅 老师表示衷心的感谢在我的学习过程中，持续地得到了王毅 老师的精心帮助 感谢美国w i l l i a m & m a r y 学院史峻平教授的有益建议和热情 帮助 感谢日本s h i z u o k a 大学y a s u h i r o t a k e u c h i 教授提供给我多篇重要 文献，并对我论文初稿提出了宝贵的修改意见 最后，感谢我的父母和家人，我的女朋友，对我的支持和帮 助正是他们默默的，毫无怨言的支持使我有信心持久地在数 学这条没有“钱途”但很美的道路上前行 1 1 研究背景 第一章引言 自工业革命以来，特别是近2 0 0 年里，随着人口的急剧膨胀和经济的 快速发展，野生动植物的种类和数量在以惊人的速度减少从1 6 0 0 年一 1 8 0 0 年，地球上的鸟类襁兽类物种灭绝了2 5 种；从1 8 0 0 年一1 9 5 0 年地球 上的鸟类和兽类物种灭绝了7 8 种联合国环境规划署( u n e p ) 官员表示， 目前在世界范围内每年至少有6 万个物种灭绝国际鸟类联盟( b i r d l f f e i n t e r n a t i o n a l ) 发表的( ( 2 0 0 4 年世界鸟类状况报告指出，全球鸟类有1 8 濒临灭绝世界自然保护联盟( i u c n ) 发布的受威胁物种红色名录表 明，世界上有x 4 的哺乳动物、1 2 0 0 多种鸟类以及3 万多种植物面临灭绝 的危险近代物种的消失速度比自然灭绝速度快1 0 0 0 倍，比形成速度快 1 0 0 万倍如果这种大量灭绝的趋势继续下去，专家研究称到2 0 5 0 年将会 有超过3 0 的现存动植物品种彻底从地球上消失 保护生物的多样性，保护野生基因库，使人类的工农业生产与环境协 调发展。建立自然保护区是实现环境保护的有效途径之一自1 8 7 2 年美 国建立黄石公园以来，截至1 9 9 5 年，全世界有4 5 0 0 处自然保护区，面积 5 0 0 万k m 2 我国自1 9 5 6 年建立广东鼎湖山自然保护区以来，至2 0 0 1 年 底，已有各类自然保护区1 5 5 1 个，国家级1 7 1 个，面积达1 4 5 亿公顷，占 国土面积的1 4 4 4 左右这些自然保护区保护着我国7 0 的陆地生态系 统种类、8 0 的野生动物和6 0 的高等植物，也保护着约2 0 0 0 万公顷的 原始天然林、天然次生林和约1 2 0 0 万公顷的各种典型湿地 为了更好的发挥保护区的作用，人们有必要考虑如何合理确定保护区 的布局和数量比如单种群在一个局部区域上持续生存的闯题，我们需要 知道维持该种群在区域上生存下去的最小数量再对于某一群落的栖息 地如果我们只能有限的加以保护，那么我们是选择单的大保护区好还 是若干小保护区好? 哪一种方案更有利于该种群的生存? 这些问题在濒危 物种保护中的意义是显然的人类的生产生活经常会影响或改变种群生 存区域的面积和数量，特别是一些大型基建项目更是如此，如果在规划中 考虑到如何安排保护域的布局和数量，就可以有效地减少对濒危物种的 2 0 0 7 年5 月 第一章引言 中国科学技术大学硕士学位论文第2 页 1 1 研究背景 威胁这些都说明了保护域的空间结构，保护域之间、保护域与非保护域 之间的扩散效应的理论研究是十分必要的 上述想法也适用于斑块种群动力学的研究斑块种群是指生活在栖息 地遭破裂，呈斑块状分布的种群，它起源于岛屿生态的研究人们在研究 物种灭绝的过程中，发现许多生物的灭绝过程都是栖息地先行片断化，连 续分布的种群被分裂成斑块种群，继而逐个斑块种群灭绝，最后导致整个 种群灭绝在现今地球上每年灭绝的成千上万种生物中，很大一部分是由 于生存环境的片段化造成的因此研究片段化环境下如何改善生存条件， 使生物多样性得以保护，也就是研究减少物种灭绝的措施就成为环境保 护方面的一个重要丽迫切的课题 自从s k e l l a m 【1 9 1 的开刨性工作以来，许多研究集中于考虑空间因素对 种群稳定性的影响如果用扩散方程来模拟具有空闻奇异性的系统，我们 得到两类方程一类是半线性抛物型方程，即反应扩散方程，此时种群在 空间连续地扩散，如文献【2 】f 4 】，嘲【1 2 】对此类系统做了研究 例如，设qc 静为具有光滑边界的有界区域，cq 边界光滑记 q ，= q ， a l 讨论了下面的个弱竞争者具有保护域的两种群竞争扩散 系统，所有常系数为正， 其中b = 0 ，当2 锄；b ( = b o ，当。f i 另类是离散的扩散方程，数个物种分布在互不相连的区域内，某些 物种可以在不同区域间迁徙，如文献【s l 、1 9 1 、【1 3 1 、【1 5 对此类系统做了研 究特别的，y t a k e u c h i 在此方面做了大量研究f 6 】、用、f 1 4 l 、f 2 6 卜【船1 f 0 c ： 吣 皿 珀 i i 嚣嚣蚝淞堋邺曲地如灿蚝口艇荆帅咖锄 叫 刈 加 仁弘”狐一卅酃沦 肌 舻绷删 2 0 0 7 年5 月 第一幸引言 中国科学技术大学硕士学位论文 第3 页 1 1 研究背景 例如，f 3 0 j 讨论了下面的一个种群具有保护域的三种群竞争系统，所 有系数为正常数， 窿薹篓_ x 其中现o = l ，2 ，3 ) 是种群i 在公共域上的数量；是种群1 在保护域上的 数量 从2 0 世纪8 0 年代至今，国内外在带有扩散项的生态模型上的研究进 展迅速，大量的数学模型被用于分析各式各样的扩散问题对这些问题的 理论研究主要集中在讨论扩散因素对系统平衡态稳定性和种群持续生存 的影响早期的扩散模型大多限于o d e 的自治系统，这样的系统无法反 映生物物种生活的外部条件诸如温度，湿度，食物，水源以及其它资源通 常都会随时间和地点的不同而不同近期所研究的模型更加向实际靠拢， 大致有四个发展方向t 模型所涉及的因素增多，例如考虑时滞因素，年龄 结构，随机因素；更一般的系统，例如周期系统，几乎周期系统，甚至一 般的非自治系统；模型维数的增高，考虑多个物种在多块区域间扩散；结 合某些具体的扩散模型进行更为细致深入的研究 在本文中，我们主要考虑一种带有保护域的自治的竞争扩散模型，即 在两块互不相连的区域1 和区域2 上生存着两个竞争种群x 和y ，其中 种群x 被限定在区域1 上，而种群y 可以在两块区域之间扩散，其扩散 机制如下图所示； 2 0 0 7 年5 月 第一幸引言 中国科学技术大学硕士学位论文第4 页 1 2 本文主要i 作 这里x 1 0 ，h 0 分别是种群x 和y 在区域1 上的密度，y 2 0 是种群 y 在区域2 上的密度，此时模型为 警= 汹( 1 一面x 1 呐每 譬= 州1 一熹也鬻( ， ( 1 1 1 ) 警= 伽蚝( 1 一旦n 2 ) + 嘶一功， 其中a - ，岛表示种群x 与种群l ，之间的竞争效应；批，江1 ，2 ( 或者 矗) 是种群y ( 或者x ) 在区域i ( 或者1 ) 上的负载量；琅， = l ，2 ( 或者，) 是 种群y ( 或者x ) 在区域i ( 或者1 ) 上的内禀增长率；d 是种群y 在两个 区域之间的扩散系数假设所有系数为正 对这类模型的研究，y t a k e u c h i 和z h e n g y i l u 等作出了很大的贡献t a l c e u c h if 2 9 】中，作者证明了即便竞争区域在没有扩散条件下是非持续生存 的，但在适当扩散系数以保证边界平衡点不稳定的条件下系统可以持续 生存此外，当两种群之间的竞争效应较弱时，对于任意的扩散系数都有 系统是全局稳定的在t a k e u c h i 和l u1 3 3 】中，他们指出在边界平衡点都不 稳定的条件下，系统是永久生存的；并且若正平衡点是唯一的，则其必是 全局稳定的特别的，当a z b 。sl 时，系统永久生存蕴涵全局稳定他们 同时提出问题，当a ，b z 1 时，系统是否仍有永久生存蕴涵全局稳定成 立文献【1 1 1 试图甩数值的方法在一定约束条件下解决上述问题，并声称 他们的方法是不严格但令人信服的然而事实上他们的方法是没有多少 意义的，因为平衡点非双曲的情形是零测集的 1 2 本文主要工作 本文主要考虑了上面所提到的t a k e u c h i 和l u 【3 3 】未解决的问题和当 x 是个强竞争者时系统的动力学性态，也就是下面的两种情形： ( 1 ) 证明了系统( 1 1 1 ) 至多有两个正平衡点，并给出了正平衡点线性稳定 的判别公式，大大简化了【2 9 1 关于当a t b zs1 时系统全局稳定性的证 明特别的，对【3 3 】中的问题给予了肯定的回答 2 0 0 7 年5 月中国科学技术大学硕士学位论文 第5 页 第一章引言1 2 本文主要工作 ( 2 ) 完整分析了当种群x 是一个强竞争者时，( i i 1 ) 的正平衡点的性质和 系统的动力学性态，得刭了一个具有生物学意义的结果 本文安排如下：在第二章中，我们将介绍在这篇文章中所需要用到的 一些准备知识第三章是对上述第一个问题的分析对第二个问题的讨论 安排在第四章最后是总结与讨论 第二章预备知识 为了研究以系统平衡点的全局稳定性，在这一章里，我们将引入一些 记号和假设，并描述一些在本文中要用到的有关单调系统及矩阵方面 的基本知识 2 1 基本概念 设n 为自然数，记畔；扛：o ，i tsn ) ，i n t r = 母r n ： 盈 0 ，i s t s n ) 定义2 1 i 设k = 扛引眇：( 一1 ) “o ，i ts 吣，其中r n i o ，1 ) ，i = 1 2，n r 中由正锥生成的偏序可如下而记s z - k 可当且仅当z 一矿； k 掣当且仅当七一k ，卫驯 z x 当且仅当嚣一血 对m n 矩阵a = ( ) 和b = ( 岵) 也可定义类似的序关系当$ s 时，记k 口k = 0 ：z s ：耳p ) ；当$ kv 时，记0 ，k = d 耵： g k = e ) 定义2 i 2 称半流妒为_ f f 型单调的，若讥( 劫x 仇( f ) 对任意的z * v 和 t 0 成立；妒称为k 型强单调的，如果妒为k 型单调的且识( 砷_ j r 讥( f ) 对任意的。 kf 和t 0 成立 下面介绍合作矩阵，耳型合作矩阵、竞争矩阵、k 型竞争矩阵的概念 如果一个矩阵的所有非对角元都是非负的，则称这个矩阵为合作的 如果一个矩阵具有形式， 卜一a 2 1 一a sa 这里 1 为女x 合作矩阵( o s sn ) ，也为k ( n t ) 非负矩阵，如为 n i ) 非负矩阵，血为( n k ) x 唧一k ) 合作矩阵；则称这个矩阵为k 型合作的 一个矩阵 称为( 型) 竞争的当且仅当一a 为( 型) 合作的 6 2 0 0 7 年5 月中国科学技术大学硕士学位论文 第7 页 第= 章预备知识2 2 有关结论 记8 ( a ) = m a x ( 姒：a d ( ) ) ，其中a 是n n 矩阵，盯( a ) 是a 的特征 值全体所组成的集合称矩阵a 是稳定的，如果s ( a ) ( 或者 ) 如当t o o 时，若仇( 力是k 单调非减( 非增) 地收敛于某个平衡点，我衍简称诹( 力递增( 递减) 地收敛于此平衡点本 文中，我们主要使用正锥酶和k = ( 卫1 ，讥，抛) r 3 ：x l 0 ，虮0 ，抛o 后文中k 特指后一种正锥，并且当正锥为肆时，我们舍去噩直接记 ”，” 0 ，t = 1 ，2 ，n 定义2 1 5 称系统( 2 1 1 1 ) 永久生存( p e r m a n e n c e ) ，如果存在正j 曾数d ，6 ( o 0 ，1 七茎t 1 引理2 2 。3 ( 2 0 1 ) 设f = ( 足，致) 是定义在开集f lc 上的强竞争或者 强合作的o d b s 三对角系统，并且只， = 1 ，n 是l 一1 次可微的若妒为 乒= f ( ) 的有界解，其存在的最大半开区间为1 0 ，0 - - k ( k ) 0 如果皿t ( 翔) 在【o ，o o ) 上有定义，则吼) 在 t 0 上是耳单调非减一 增j 的，其中霍是对应于j = g ( z ) 的流此外， 如果d ( 句) = 皿t ( z o ) ：t o 在r 罩中具有紧闭包，则u ( 勾) 为孤点集 引理2 2 5 ( 1 2 5 1 ) 设j = g i ( z ) ，i = 1 ，2 为定义在r ；上的k 型单调系统并且 满足 g l ( = ) 耳g 2 ( z ) ，觇r ； 记驴为对应于j = g ( 力，i = 1 ，2 的流如果以，鲍r ；，忽耳钇，且在t 0 处嘭( ) ，t = 1 ，2 有定义，更i i 戳1 ( z 1 ) j r 哦( 勿) 引理2 2 6 ( 【1 6 1 删) 设a 是n 阶三对角方阵，即设 a = 6 1 啦 6 2 岛一2a n 一1k 一 岛l l a n 并且b j q 0 ，歹= 1 ，2 ，n 一1 则方阵a 的全部特征值都是实数，并且互 不相等 第三章永久生存蕴涵全局稳定 本章我们将证明系统( l 1 1 ) 至多有两个正平衡点，并给出了正平衡点 稳定的判别公式，大大简化了【2 9 】关于在a 1 8 1 1 时系统全局稳定性的 证明特别的，对1 3 3 j 中未解决问题给予了肯定的回答 3 1 准备工作 为讨论方便，我们首先对系统( 1 1 1 ) 无量纲化【1 8 】以减少变量个数 设 ；面x1m=熹，搬=熹，t=the,xlt h e , n = 鲁，2 面，v 1 2 两，搬2 丽，2n 2 茄， 跑= 署，a = 石d ，如= 瓮，m = a z 篆，p = 且甏， 得到无量纲的系统 鲁= r l z l ( 1 一z 1 一a l y l ) ， 婴= 虮( 1 一y l 肛1 ) + j ( 抛一讥) ， ( 3 1 1 ) 孥= s 2 y 2 ( 1 一巧1 沈) + “执一沈) 这里z 。0 和y 。0 表示种群x 和y 在区域1 上关于各自负载量量化后 的密度；y 2 0 是种群y 在区域2 上关于其负载量量化后的密度；n 。和_ i 表示种群y 对x ( x 对y ) 关于负载量比率量化后的平均效应；6 上种群 y 关于其在区域1 上的增长率量化后的扩散率；r t 是两种群在区域1 上内 禀增长率之比；如表示种群y 在两块区域上的负载量之比；s ：表示种群 y 在两块区域上的内禀增长率之比；时间度量t 是r 和m 的复合这里所 有的系数为正 为了获得系统永久生存的条件，对下列二维扩散子系统的讨论是必要 的二维子系统为， 疵= 玑仇( 弘) + 6 ( 协一弘) ，i ，j = 1 ，2 ，i 歹 ( 3 1 2 ) 这里吼， = 1 ，2 满足毋( o ) o ，9 ( 玑) 0 使得m ( 工t ) = 0 类似于【8 l 、 2 4 1 ，陷】，关于系统( 3 1 2 ) 我们有下列更一般的结论成立 9 2 0 0 7 年5 月中国科学技术大学硕士学位论文第1 顷 第三章永久生存蕴涵全局稳定 驺1 准奋i 作 引理3 1 1 设雪= ( 口l ，蟊) 0 是系统( 3 i 2 ) 的正平衡点，则 俐口存在且唯一； 砂关于辟 ( o ，o ) ) 全局稳定； 俐当毛 岛( t ，j = 1 ，2 ，i j ) 时，厶 吼 协 易，vj o ； 俐当厶 岛( 1 ，j = 1 ，2 ，i j ) 时，訾 o ； 俐当6 一o o 时，蟊( d y + ， = 1 ，2 ，其中圹是g l ( ) 4 - 9 2 ( f ) = 0 的解 注记3 1 2 记( 3 1 2 ) 在平衡点”= 口处的j a c o b i a n 矩阵为了，则s ( 力 o 系统( 3 1 1 ) 右端向量场的j a c o b i a n 矩阵为。 ，r l 一2 r z z l 一r 1 虮讥 - - r l o , 1 9 1 0 、 l p 玑1 2 玑一肛1 一占 j i 0 6 却一2 s 2 妨1 耽一6 显然系统关于正锥 k = ( z l ，讥，! ，2 ) r 3 ：卫1 o ，讥o ，抛o ) 2 0 0 7 年5 月中国科学技术大学硕士学位论文第1 1 页 第三章永久生存蕴涵全局稳定 3 2 边界平衡点的稳定性 是合作的，而且上述j a c o b i m a 矩阵在i n t r ；上是不可约的记f 为( 3 1 1 ) 的向量场，妒为之对应的流贝! i 妒在赋上是k 型单调的，在1 d - 曝辜上是 k 型强单调的 引理3 1 1 和单调性意味着系统( 3 1 1 ) 是耗散的事实上，任取z = ，暑) 畔，其中霉= 勋 o ，”= ( 札珈) 0 ，有( o ，9 ) j r2 k ( ，o ) 从而 讥( ( 0 ，y ) ) 耳讥如) - r 仇( ( 2 ，0 ) ) ，t 0 因为当t o o 时也( ( o ，咖) 一目，讥( ( 墨o ) ) 一b ，得知所有正轨被吸引到 【目，最k 取z = ( z ，y ) 满足z ，y 0 ，则饥( z ) o ，v t 0 记e 、e 十分别 为系统( 3 1 1 ) 韵非负平衡点集合、正平衡点集合显然曰c 隅，五耳，且 e ( 日，b ) 耳，v 日矿 弓i 理3 1 4 ( i a a l ) 当致和邑都线性不稳定辞毒，系统( 3 1 1 ) 是永久生存 的，更准确地说，存在正平衡点鼠和反满足鼠且。，使得任一始 于0 ； ，) ：为口 o ) 的解的极限集都包含于峨，且j 芷特男d 地，当 e 一最。时e 是全局稳定的 注意到系统( 3 1 1 ) 的j a c o b i a u 矩阵是三对角阵，利用弓l 理2 2 3 可得到 下述结论 定理3 1 5 系统( 3 1 1 ) 经过任一点= 碾童的u 一极限集埘( 力为孤点集 推论3 1 6 假设( 3 1 1 ) 没有正平衡点，那么既或者日为全局稳定的 注意到当取正锥( 1 = k ，y l ，抛) r a ：现o ，矾0 ，抛o 时，系统 ( 3 1 1 ) 还是k 型竞争的这样，由于k 型竞争和单调映射的动力学性态 本质上都是余维1 的，所以系统( 3 1 1 ) 的动力学性态实际上降低了两维， 是1 维的类似于1 1 3 1 我们可以给定理3 1 ，5 一种不同的证法 - ，c 日，= 0 五岛，) ，其中厶c 堙，= ( 1 ：6 。二0 t ，c 尾，= ( 了五南，) ，其中+ t c r - m ，。，。l c 磅，= ( 1 一：j 。二0 2 0 0 7 年5 月中国科学技术大学硕士学位论文第1 2 页 第三章采久生存蕴涵全局辘定33 正平衡点的存在性 j e 马，= l l - - 7 1 m 讥五。o 霹，) ，其中钯= ( - 譬1 ) ， 由c 骂) = ( 1 2 一6 。一。观：i 。蟊一。) ， 注记3 2 1 因为山( 霹) 是实对称阵，它的特征值都是实的易知s ( j o ( 磅) ) 0 所以e o 至少有两个正特征值，它是线性不稳定的根据注记皇2 ，我 们知道s 瓴( 霹) ) 铲因为1 一卫# = d - p ，t = 1 ，2 ，得丹 ，则8 2 一却坛1 抛一6 o , v | 1 2 毋定义 9 ( 驰) = s 2 耽( 1 一e 1 抛) 一曲，因此 夕( ) 一9 ( 谬) = 蹦”一如p 0 ， 这与，( 伽) = 跑2 8 2 l i l 耽一5 o ，v 抛矛盾 命题3 2 4 当现 0 ，8 2 j 或者p 旷，现 0 ( 0 当p 0 时显然有s ( 磁) ) 0 当p 0 ，5 2 一j 0 时有d e t 五( 唾) o ； 当口 0 ，却一j 0 ，此时l 的系数d = i ! 兰= 丑与攀= 6 0 ，矛盾 口 命题3 33 当p 矿- l d l 时，系统( 3 1 1 ) 至多有两个正平衡点 证明用反证法，假定在题设条件下( 3 1 1 ) 有三个正平衡点则由( 3 3 1 ) 我们有 ( i p ) 9 l 一( 1 一# m 1 ) 口 + 6 ( w 一玑) = o ， s 2 抛一s 2 坛1 躬+ a ( v 1 一抛) = 0 2 0 0 7 年5 月中国科学技术大学硕士学位论文 第1 4 页 第三章永久生存蕴涵全局稳定 3 ，3 正平衡点的存在性 直接计算得 ( 1 a t - 1 ) v 1 2 一( 1 一p ) 一6 ( t 一1 1 ) o ， ( 3 3 3 ) 5 2 l 。- 1 她= s 2 + 6 ( u 一1 ) 0 ， 其中“= 玑抛并且“满足 ( 坶l 1 ) 5 扩一( , u , a l 一1 ) 一s 2 ) 铲+ s 2 l ；1 ( 1 5 一t 一( 一s 2 l 。- 1 母= 0 ( 3 3 由 ( 3 1 1 ) 的任一正平衡点对应着( 3 3 4 ) 的一个正根记t ，i = 1 ，2 ，3 为( 3 3 4 ) 的根，则 m u 2 u 3 2 面# 币。 从方程( 3 3 1 ) 第三式知，如果扛。，玑，抛) 是( 3 1 1 ) 的一个正平衡点，则 ( 1 一n l 切l ，妇l ，七抛) ，女 0 亦为( 3 1 1 ) 的正平衡点当且仅当七= 1 因此( 3 1 1 ) 的不同正平衡点对应着方程( 3 3 4 ) 的不同正根所以( 3 3 4 ) 必有三个互 不相同的正根，此与1 , 1 t , c 2 u 3 o ， ，2 i 嚣一：暑1 卟e 扩石1 o ， j 0j 一5 2 巧1 抛( 一6 嚣措l i e 卅一击 0 由此得知玩线性稳定当且仅当p 1 ，这个结论在后文中将多 次使飓。 。 3 4 全局稳定性 当叩1 时，t a k e u c h i 2 9 l 通过逐个构造l i a p t m o v 函数证明了下面三 个结果这里我们利用命题3 3 4 ，可以非常容易且自然地得到那些结论 推论3 4 1 饭设1 - a l 季, a 0 充分小时，特另1 l 的，当弘s 矿= 1 a l 时岛关于 ( z l ，l ，抛) r 辜：y l + 抛 o 全局稳定 注记3 4 2 值得注意的是t 当p p ”且1 一n l 雪l 0 时，最是线性不稳定 的事实上，由命题3 2 ；知，当s 2 6 时区线性不稳定；当 q 2 6 时， 为了证明最线性不稳定只需要证明p ” t ，等价于，击 击，只需证热 1 + 考去 雪l 一1 ：堕丝；型 7 墼生骨6 ( 统一雪1 ) 观蠡 因为砸i 2 一玩) 一现拢= 一却坛1 韬 0 全局稳定 证明设l = l ( ，0s 1 是连接平衡点忍与目的线段，这里 l ( v ) = ( 1 一 ，雪l 口，玩口) ，0 口1 2 0 0 7 年5 月 中国科学技术大学硕士学位论文第1 6 页 第三章永久生存蕴涵全局铯定 3 4 全局稳定恒 邛u 用1 一0 1 讥2u 下t 畀，【l 一。，饥”，驰”) ，b j | 侍 n ( 1 一 ) 扣一口l 口l f ( 11 咖渤啦卜呱= 拦制纛j ， r x ( 1 一v ) v ( 1 一口l i l ) 、， r 1 ( 1 一 扣( 1 一口l 飒) 、 2 i 口l 【l 一口1 。一p ( 1 一口) + 6 ( 舞一1 ) 1i = l 雪l 1 一矾t ，- - t ( 1 一t j ) + ( 口l 一1 ) 】i f 1 2 v s 2 ( 1 一e 1 蟊口) + 6 ( 塞一1 ) 】现叫寥2 ( 1 一e 1 彘口) + s z ( l i l 雪2 一1 ) 1 = 蜮二：麓) 弋纛，卜咄 故当弘s = 雪1 时，f ( 工) ko ，v ( o ，1 ) 根据引理2 2 4 知，对任 意的”( 0 ，1 ) ，经过点l ( ”) 的解都收敛于一个偏序耳意义下小于l ( ) 的平衡点，因而马关于吼，忍】是稳定的注意到 ，现) ( 1 ，如) ，从面 ps 旷1 ，所以e 线性不稳定分析易知此时系统( 3 1 1 ) 不存在正平衡 点，日全局稳定性得证 口 推论3 4 4 假设s 2 j 且矿 0 ，讥0 ，抛0 全局稳定 注记3 4 5 类似于注记只4 幺我们可以证明当s 2 6 且t 0 ，则当p 0 充分小时( 3 1 1 ) 有唯一的正平衡点 玩，其表达式为 z l ( p ) - - - - - z 1 0 - - 去( 一砌l o d l ) ( s 2 虼1 y 2 0 + 6 罢) p + 。( 弘) ， 抛( p ) 盅玑。一否1 ( 卫l o 蛐) ( s 2 l i l + 占罢m + 。( p ) ， ( 3 4 1 ) 抛( _ ) = s f 幻一( 茁1 0 掣1 0 6 ) 肛+ o ( p ) 其中( 。l o ，爹l o ，锄) = ( 1 一a 1 雪l ，雷l ，2 ) 为系统( 3 1 1 ) 在弘= 0 处的正平衡点，= ( 跏+ 6 暑) ( s 2 历1 物十j 船) 一铲 0 特别的，当t 0 系统( 3 1 1 ) 有唯一的正平衡点换言之，系统永久生存蕴涵全局稳定 证明，假设存在某个伽对应( 3 1 1 ) 有两个不同的正平衡点e 品和硫，不 妨设砚k 硪显然脚 l a 1 下证觋。和硫都是非双曲型平衡点 根据定理3 3 1 知砚或者砚必是非双曲的，不妨设硫为非双曲的 ( 另一情形可类似证明) 反证，若跣是双曲的，则其必是线性稳定的 因为e 墨线性稳定，存在充分小的e 0 使得当肛= p o + e 时系统( 3 1 1 ) 有一个线性稳定的正平衡点，记作觋，满足戤耳砚因为e 线性不 稳定并且f ( 瓯) 耳0 ，讥( 硫) 递增地收敛于一个正平衡点，记作礞，满 2 0 0 7 年5 月中国科学技术大学硕士学位论文 第1 8 页 第三章永久生存蕴涵全局稳定3 4 全局稳定桂 足瓯x 碍因为e 和焉都在【或，或】片上稳定，由连接轨道定理1 1 0 1 知必存在另一个正平衡点，矛盾 因此和硪都是非双曲的，根据注记3 2 2 知碗，i = 1 ，2 必然满足 d e tj ( 砬) = 0 和( 3 3 1 ) 直接计算得 占2 r l z l + ( 一r 1 2 l + 5 r l z l + l r l 鼋+ 2 r l z l ! f l 一# m l r l z l 玑) ( 一占+ 兕一2 s 2 啦如) = 0 将。l = 1 一a t y l ，s 1 2 = ( 碗一轨( 1 一y l p ( 1 一敏敬) ) ) 芦代入上述方程得 一4 a y + 6 b y + 2 g 讥+ d = 0 ， ( 3 4 2 ) 其中a ，b ，c ，d 的定义与命题3 3 2 中相同将方程( 3 3 。2 ) 两边同乘以筋砌， 然后与( 3 4 2 ) 作差得到 2 b 贲+ 2 c 玑+ 3 d = 0 【3 4 3 ) 所以( 3 4 3 ) 有两个不同的正根如果b = 0 ，即p = l 一6 ，则e = d = 0 由c ；0 得到s 2 = 6 ，此时d = j s 2 0 ，矛盾因此b 0 将d = - ( 2 8 9 + 2 c y l ) 3 代入( 3 4 2 ) 化简得 一3 a 旌+ 4 b 轨+ e = 0 ( 3 4 4 ) 注意刭( 3 4 4 ) 也有两个不同的正根，因此我们有 2 b 2 g3 d 一= - 一 一3 a4 bg 并且g 0 ，d o ，从而伊= 6 b d 但( 3 4 3 ) 有两个不同的正根，4 俨一 2 4 b d 0 ，矛盾 口 定理3 4 7 的证明过程告诉我们系统( 3 1 1 ) 不可能同时存在两个非双 曲的正平衡点类似可证当乜，蜀都线性稳定时，系统存在唯一正平衡 点由定理3 4 7 和也的强单调性，显然我们有， 推论3 4 8 假定日是线性不稳定的那么对于任意使得忍线性不稳定的 p i ，地有耳。耳e k k 岛= ( 1 一m l ，甄，协) ，其中p 1 他 0 第四章对种群x 是强竞争者的完整分析 在本章，为了回答区域2 的存在能否对种群y 起到保护作用的问题， 我们完整地讨论了，当种群x 对种群y 的竞争效应p 充分大时系统( 3 1 1 ) 的正平衡点的性质和系统的动力学性态，得到了一个具有生物学意义的 结论 4 1 准备工作 命题4 1 1 若存在点列 脚) 满足鼽一0 0 ，n 0 0 ，对应着系统( 3 1 1 ) 一族 收敛的正平衡点列 ) 那么下列三个命题必有一个成立。 俐e k 一足仅当s 2 j 时成立，此时耽( ) 一玑( 如) 6 。； r 矽目。一磊( 1 ，0 ，2 譬二2 ) 仅当既5 时成立，此时钝( ) 一p , , y l ( 鲰) 矿，讥( ) 掣l 2 ； 一铆一日等( o ，石1 ，堕兰垫笔曷拿幽) 仅当l 一口l 痧。o 时成立 证明记国k 一( 吒虻，蝣) ，n o o ，则。；= 0 或1 如若不然，则舛 ( 0 ，1 ) ，城= ( 1 一舛) a l 0 通过对下列等式两边取极限n 0 0 g , , x l ( 鲰h ( ) ；d ( ) 一讥( ) ) + 讥( ) ( 1 一讥( h ) ) ， 得到一煎主二雩产 o 时磁= 譬如， 即一玩 当。：= 0 时虻= 1 a i ，对( 4 1 1 ) 两边取极限住一o o 得到 观医1 蝣2 一( 8 2 6 ) 虻一6 乱= 0 易知此方程有一正一负两个根，而正根即为晶因为。- ) = l - a - 玑( h ) l 一口l 玩，得l 一8 l 雪l 0 口 2 0 0 7 年5 月中国科学技术大学硕士学位论文 第2 0 页 第四幸对种群x 是强竞争者的完整分析42 情形l ，5 2 6 ，j o l 雪l 0 注记4 1 2 事实上，从后面的讨论我们可以知道当且仅当s 2 = 正1 - a l 口l 0 时存在点列脚满足脚一0 0 ，对应着一族收敛的正平衡点列 e k ) 满足 一忍，n _ 0 0 下面我们将详细分析系统( 3 1 1 ) 的正平衡点的性质和系统的动力学 性态，按照下列四种情形分别展开讨论， 1 掌2 6 ，1 一0 1 甄 0 ，即玩和马都线性不稳定； 2 s 2 0 ，此时日线性不稳定，忍在p 矿时线性稳定，在 弘 矿时线性不稳定； 3 s 2 6 ，1 一( 2 1 1 矿时线性稳定，在 p o 系 统( 3 1 1 ) 存在唯一的正平衡点耳 定理4 2 。1 设8 2 5 其i l 俐耳一乜且l ( p ) 一譬岛j i 1 ，p o o ；并且x l ( 譬岛； 例当p 充分大时邑线性稳定 证明( i ) 因为却 最1 一n l 蟊 0 ，利用命题4 1 1 我们直接得证；( j i ) 应用结 论，我们有 恕；( 击+ 鲁丽硫器毛丽) = 躲舞而u 2 ( u ) = 一l i r a 击毒禹= 熙高南一 根据注记3 3 5 ，对充分大的p 有耳线性稳定 口 注记4 2 2 当s 2 = 6 时，由命题4 j 易知耳一岛且抛( h ) 一脚口l ( 鲰) 旷1 口_ 因为 1 i m o o 三h ( 三g 1 + 砌枷= 撬面函甄涵舞帮鬲鬲丽 = 熙鲁，差= 撬志4 ( 字) 3 = o 。， 2 0 0 7 年5 月中国科学技术大学硕士学位论文第2 1 页 第四章对竹群x 是强竞争者的完整分析 4 3 情彤2 ：3 2 0 得对充分大的弘有玩线性稳定 4 3 情形2 ：8 2 0 此时，马线性不稳定，e 在p 矿时线性稳定，在肛 。l i m 。盖。踹= 规砾8 2 。( 譬? 3 = 甑 故当n 充分大时e k 线性稳定，这与当p 旷时忍的线性稳定性矛盾 当矿 矿。使得( 3 + l 1 ) 在