（基础数学专业论文）具阻尼非线性双曲型方程的初边值问题.pdf

摘要 本文分四章：第一章为引言；第二章研究一类具阻尼非线性双曲型方程的 三维初边值问题局部广义解和局部古典解解的存在性和惟一性；第三章研究第 二章所述问题整体解的第一个不存在定理，并举出一个例子；第四章研究第二 章所述问题整体解的第二个不存在定理 具体情况如下：在第二章中我们研究如下的具阻尼非线性双曲型方程 珏托+ h v 4 钍+ 忌2 v 4 札t + v 2 9 ( v 2 ) = o ，扛，t ) q ( o ，丁) ，( o 1 ) 的具有边界条件 u = 0 ， v 2 札= 0 ( z ，t ) 1 9 q ( 0 ，t )( o 2 ) 和初值条件 钍( z ，o ) = ：“o ( 。) ，u t ( z ，o ) = 乱1 ( 。) ， z q ( o 3 ) 的初边值问题，其中u ( x ，t ) 表示未知函数，n 是r ( 三2 是自然数) 中具有光 滑边界a q 的有界区域，h 和。是两个正常数，v 表示梯度算子，v 2 = 表 示l 删n c e 算子，v a = 。表示双调和算子，9 ( s ) 是给定的非线性函数，下标t 表示对t 求偏导数在这一章我们先给出两个引理，然后用g a l e r k i n 方法和紧 性原理证明问题( o 1 ) 一( o 3 ) 局部广义解的存在性和唯一性，最后给出第三个引 理，用同样的方法证明该问题局部古典解的存在性和唯一性主要结果如下： 定理1 设g c 4 ( r ) ，1 9 ( s ) fs 尬h ，叭s ) i 茎尬h ，。等和矿( o ) = o ，其中p 芝2 是自然数和尬，鹏 o 是常数如果“o 日6 ( f 2 ) 和“- h 4 ( n ) ，那么初边值问 题( 11 ) ( 1 3 ) 存在唯一的局部广义解u ( z ，t ) 定理2假定g c l o ( r ) ，i 夕( s ) ls 尬一，叭s ) j 墨尬f s r l 等 9 ( 2 。( o ) = o ， 2 _ 1 ，2 ，3 ，4 ，其中p 2 是一自然数和舰，尬 o 是常数如果u o 日1 2 ( q ) 和 “。日1 0 ( n ) ，则初边值问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 存在唯一局部古典解“( z ，t ) 第三章利用凸性方法给出问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的解在有限时刻爆破的充分条件 并举出一个例子主要结果如下： 定理3假设札o 日2 ( n ) ，u ，三2 ( q ) ，9 ( o ) = o ，g ( 让o ) l ( q ) 并且存在常数 卢 o ，使得 s g ( s ) 兰2 ( 2 p + 1 ) g ( s ) + 2 p 七l s 2 ，v s r ，( o 4 ) 其中g ( s ) = 片9 ( r ) 打那么初边值问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的广义解u ( 。，t ) 或古典解u ( 。，t ) 在下列条件之一成立时在有限时刻发生爆破： ( 1 ) e ( o ) o ； ( 3 ) e ( o ) o ，如u o “1 d z o ，0 v 2 批o i f o 和 4 p 2 ( 二钍挑出) 2 一妒2 e ( o ) | i 札。0 2 一1 1 4 2 2 | | 2 i i v 2 札。l j 2 一砖0 v 2 咖胪 4 卢2 七2 e ( o ) i i v 2 u o 悒 其中 e ( o ) = i | 钍- 1 1 2 + 七1 l 他。i 2 + 2 上g ( 咖) 出 在第四章中，我们首先证明一个引理然后讨论初边值问题( 1 1 ) ( 1 3 ) 整体 解的第二个不存在定理主要结果如下： 引理 假定伽( f ) 研o ，+ o 。) ng 2 ( o ，+ o 。) 并且满足下面的常微分不等式 由( ) + 盯l 曲0 ) + 盯2 叫( t ) 2 口j ( d i 叫) ， o ( o 5 ) 和条件 训( o ) = 埘o ，曲( o ) = 叫1 ，( 0 6 ) 其中口1 ，盯2 o ，盯3 o ，啦 o ，叫o o 和伽l o 是常数若九( s ) g 2 ( r ) 是一满足 下面条件的偶和凸的函数 ( 1 ) h ( o ) = o 和口3 ( 口4 训o ) 一盯2 加o o ； ( 2 ) 当s 一+ o o 时， ( s ) 增长得足够快，使得当a ， o 时积分 岛讪。0 似+ 。肛s s ) 收敛，且玩 o 时，对有限时刻t - 置= 一击l n ( 1 一风) 成立 l i m 叫( t ) = + 。o t _ 可 ；当盯- o 时，对有限时刻t 。死，成立 1 i m 叫( t ) _ + o 。 t _ c ，其中死由( 4 3 ) 给出 定理4 假设u ( z ，t ) 是问题( 1 1 ) 一( 1 ，3 ) 的一广义解或古典解并设下列条件成 立； 1 ) 上z ( z ) 札。( ) 如= a t o 和 z ( z ) 钍1 ( z ) 出2a 。 o ， 其中z ( z ) 表示问题 z + a z = 0 ， z q ( 0 8 ) 在d i r i c h l e t 条件z = o ，z 棚下的第一个特征函数，并令a ：弘是对应的第一 个特征值； 2 ) g ( s ) a 2 ( r ) 是偶且凸的函数， 9 ( o ) = o 和p 口( 肛a 1 ) 一h 2 n 1 芝o ； 3 ) 当。一+ 时，9 ( s ) 增长得足够快，使得积分 耻彬f a 2 + 2 肛删岫小】d s 冲可 ( 0 9 ) 收敛且b l oa r ec o n s t a n t 8 i fu o 日6 ( n ) a n d 钍1 日4 ( n ) ，t h e nt h ei n i t i a lb o u n d a r yv 猷u ep r o b l e m ( o 1 ) 一( o 3 ) a d m i t sau n i q u el o c a l g e n e r 出i z e ds 0 1 u t i o n “( z ，t ) t h e o r e m2 s u p p o s et h a tg g 1 0 ( 咒) ，i g ( s ) i 冬mj sj p ，j 9 ( s ) l 曼 如i s l 9 1e t c 口( 2 。( o ) = o ，f = 1 ，2 ，3 ，4 ，w h e r ep 2i san a t u r a ln u m b e ra n d 矗， 0a r ee o i l s t a n t s i f “o 日1 2 ( q ) a n d 札1 日1 0 ( n ) ，t h e nt h ei n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ( o 1 ) 。( o 3 ) a d m i t s au 1 1 i ( 1 u e1 0 c a lc l a s 8 i c a ls 0 1 u t i o n 札( z ，) i nt h et h i r dc h a p t e r ，t h e8 u 丘k i e r l tc o n d i t i o n so fb l o w u po ft h es 0 1 u t i o nf b rt h e p r o b l e m ( o 1 ) 一( o 3 ) a r e 西v e nb ym e 8 璐o ft h ec o n c a v i t ym e t h o da i l dw e 百v ea ne x a m p l e t h em a i nr e s u l t s8 舱t h ef o w l l 而n g ： t h e o r e m3 s u p p o s et h a tu o 日2 ( q ) ，札l 工2 ( q ) ，目( o ) = o ，g ( u o ) 上1 ( n ) a n d t h e r ee x i s t sac o n s t a n t 口 os u c ht h a t s 9 ( s ) 2 ( 2 卢+ 1 ) g ( 5 ) + 2 p 1 s 2 ， v s r ( 0 4 ) w h e r eg ( s ) = 詹9 ( 丁) d r t h e nt h eg e n e r a l i z e ds o l u t i o nu 扛，t ) o rt h ec l a s s i c a ls o l u t i o n 乱( z ，) o ft h ei n i t i a lb o u n d a i yv a l u ep r o b l e m ( o 1 ) ( o 3 ) b l o w s _ u pi n 矗n i t e “m ei fo n eo f t h ef 0 1 1 0 w i n gc o n d i t i o n sh o l d s ： ( 1 ) e ( 0 ) o ； ( 3 ) e ( o ) o ，届u o “l 出 o ，| | v 2 o | | oa n d 4 2 ( 五舭，如) 2 4 伊e ( o ) 1 2 一卜2 。刚v 2 “。1 1 2 一瑚i v 2 札o i l 4 4 卢2 2 e ( o ) l i v 2 “o 悒 w h e r e e ( o ) = | i 仳t i l 2 + 七l f i 。旷+ 2 上g ( “。) 如 v i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，f i r s 七w ep r o v eal e m m a t h e nw e 百v et h e s e c o n d 西o b 出n o n e x _ i 8 t 印c et h e o r e mo ft h es o l u t i o nf o rt h ep r o b l e m ( 0 1 ) 一( 0 3 ) b yt h el e 姗a1 l 咖m a1a s s 啪et h a t 叫( t ) g 【o ，+ o 。) ng 2 ( o ，+ o 。) a n ds a t i s f i e st h ef o l l o w i n g o r d i n a r yd i f f e r e n t i a li n e q u a l i t y 由( t ) + 盯1 曲( t ) + 仃2 叫( t ) o j ( 口4 叫) ， t o w i t h 伽( o ) = 伽o ，曲( o ) = 叫1 ， w h e r e 盯1 ，观兰0 ，口3 o ，d i 0 ，叫o 0a n d 州1 0a r ec o 璐t a l l t s i f ( s ) c 哆( 兄) i sa ne v e na n dc o n v e xf u n c t i o ns a t i 8 母i n g ( 1 ) 忍( o ) = oa n d 观 h ) 一观咖o ； ( 2 ) ( 5 ) f o w sf a 8 te n o u g h 嬲s _ + o 。s ot h a tt h ei n t e g r a l b 0 锄e 。伸+ z ( 酬咱s 】d s 广由 c o n v e r g e sw h e n 盯1 o ，m o r e o v e r ，b o ， h m 叫( t ) = + 。 一t i f o rs o m ef i n i t et i m et o 茎丑= 一击1 n ( 1 一b ) ；w h e n 盯1so ( 0 5 ) ( 0 6 ) ( 0 7 ) l i m ( 幻_ + o 。 _ t 2 f o rs o m ef i n i t et i m e 2 噩，w h e r e 如i sg i v e nb y ( 0 7 ) t h e o r e m4s u p p o s et h a t ( z ，t ) i sag e n e r d i z e ds o l u t i o no rac l a 8 s i a ls o l u t i o no ft h e p r o b l e m ( o 1 ) 一( 0 3 ) l e tt h ef o u o w i n gc o n d i t i o n 8h o l d ： 1 ) 如z ( z ) u o ( z ) 如= a 1 o ，如z ( z ) 钍l ( z ) 出= n 2 o ，w h e r ez ( z ) d e n o t e st h ef i r s t e i g e n f u n c t i o nf o rt h ep r o b l e m z + a z = 0 ，z n v l f 08 1 u n d e rt h ed i r i c h k tc o n d i t i o nz=oo na q ，a n dl e ta =p b et h ec o r r e s p o n d i n g 矗r 8 t e i g e i a l u e ； 2 ) 9 ( s ) g 2 ( r ) i sa ne 、，e na n dc o n v e xf i l n c t i o n ，g ( o ) = oa n d g ( 肛a 1 ) 一h 2 q 1 o ； 3 ) 9 ( s ) g r o 吣f a s te n o u 曲a sq _ + 。s ot h a tt h ei t e g r a l 日，= 如p 2c ” 口! + 2 岫( p s ) 一l | 。- 肛2 s 】d s ) 喝由 ( o 9 ) c o n v e r g e 8 ，m o r e o v e rb 1 0 是常数如果 0 粤琵既( o ) = a = ( “1 ，u 1 ) + ( v 4 乱1 ，v 4 u 1 ) + 惫1 ( “o ，“o ) + 南1 ( v 2 饥o ，v 2 u o ) + 七1 ( v 6 乱o ，v 6 “o ) + 1 0 ，坞 0 都是不依赖于界m 和n 的常数，且 e k ( t ) 一( t ，u t ) + ( v 4 乱t ，v 4 u t ) + 七1 ( u ，u ) + h ( v 2 u ，v 2 u ) + 七1 ( v 6 札，v 6 “) + 1 ( 2 6 ) 证明初值问题( 2 2 ) ，( 2 3 ) 是关于。( t ) ( s = 1 ，2 ，) 的二阶常微 分方程组的初值问题，我们可以等价地将其转化为2 n 维一阶常微分方程的 初值问题因为非线性项是光滑的，所以根据常微分方程理论知道初值问题 ( 2 2 ) ，( 2 3 ) 的局部解总是存在的记 o ，码一是解存在的最大时间区间，从下 面对解的估计容易看出r 有不依赖于的正下界方程( 2 2 ) 两边同乘以 2 ( 1 + 砖) a 。( t ) ，对s = 1 ，2 ，求和，两边各加上2 七1 ( u ，札t ) ，并对z 5 分邵积分，得 爰嘶+ 圳i v 2 蛳酽刊v 6 u 枷) = 2 ( 一v 2 9 ( v 2 乱) ，札t + v 8 “t ) + 2 惫1 ( u ，乱t ) ( 2 7 ) 根据椭圆型方程理论知| | v 2 。训i 等价于i i 怯( q ) ，其中2 是任意自然数， 由g a g l i a r d o - n i r e n b e r g 内插定理和( 2 6 ) 有 i i v 3 “i | c i i i 札i i i l v 6 札i i q ( e ) ，( 2 8 ) j i v 2 札i l o o 伤i l “i i 丧i i v 6 “i l 矗a ( e ) ，( 2 9 ) i l v 乱。i i 冬既i i u 。 | ；0 v 4 “。l i sq ( j 1 ) ，( 2 1 0 ) 其中q ( = 1 ，2 ，) 是与和# 无关的常数利用引理2 1 的条件， ( 2 8 ) 一( 2 1 0 ) 和h 6 1 d e r 不等式知 2 i ( 一v 2 9 ( v 2 u ) ，u t ) i = 2 i ( v 9 ( v 2 u ) ，v 饥t ) l 2 a 毛| | v 2 u l l 蓄1 i l v 3 “| | l i v “t i i 茎伤( 西( t ) ) 学，( 2 1 1 ) 其中g 是与无关的常数利用求导通过直接计算及对g ( s ) 的假定，推出 i i v “9 ( v 2 钆) l l q | l u i l p m + 2 ) m ) ， ( 2 1 2 ) 其中g 是与无关的常数由( 2 1 2 ) ，h 6 l d e r 不等式，c a u c h y 不等式和 ( 2 7 ) 式可见 2 i ( 一v 2 夕( v 2 饥) ，v 8 乱) | = 2 i ( 一v 4 9 ( v 2 “) ，v 6 “t ) | 岛i i v 4 9 ( v 2 札) | | | f v 6 u t l a o i l u 1 1 6 ( q ) p i | v 6 札i | q l ( 西v ( t ) ) 9 + | i v 6 u t | | 2 ； 2 i 尼1 ( u ，u t ) ls2 尼1l f “| ii l 钍t | | q 2 j 知( t ) 把( 2 1 1 ) ，( 2 1 3 ) 和( 2 1 4 ) 代入( 2 7 ) ，我们马上断定 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 丢既g 3 ( 蜘( 啪学+ ( 西) p + 跏( 圳q 4 ( 跏) p ， ( 2 1 5 ) 其中q 4 是不依赖于的常数对任意的t ( 0 ，乃v ) ，从( 2 1 5 ) 可得 眦) 而再意s 而再函 若取1 使下式成立 0 1 + ( 1 一p ) g 1 4 t 1 a 9 1 7 ， 其中o 7 0 是常数如果“o 日6 ( q ) 和l 日4 ( q ) ，那么初边值问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 存在唯一的局部广义解“( z ，t ) 证明 方程( 2 2 ) 两边同乘以2 d ，。( ) ，乘积对s = l ，2 ，求和，得 札村1 1 2 + ( 岛1 v 4 u + 七2 v 4 “ ，乱托) = ( 一v 2 9 ( v 2 乱) ，u “) ( 2 1 8 ) 利用c a u c h y 不等式， ( 2 1 2 ) 和( 2 1 7 ) ，由( 2 1 8 ) 可得 “眦1 1 2 g 6 ，t o ，t 1 】，( 2 1 9 ) 其中g 6 是不依赖于的常数由g a g l i a u r d o - n i r e n b e r g 内插定理和( 2 1 7 ) ， 有 l i v 3 u j | 4 q 7 l | v 3 “| j ；i | v 3 u v i i ；( n ) a 8 ， o ，t 1 】，( 2 2 0 ) 其中q 7 和g 8 是不依赖于的常数从( 2 1 7 ) 和s o b 0 1 e v 嵌入定理，推出 i i “l i c u ，a ( n ) + l i “t i i g 。，( 磊) sq 9 ， o ，t l 】，( 2 2 1 ) 其中o a 和q 9 是不依赖于的常数 由( 2 2 1 ) ，根据a s c o l i a r z e l 矗定理可知存在函数u ( z ，t ) 和函数序列 札( z ，t ) ) 的子序列，仍记为 “( z ，) ) ，使得当一+ ， “( z ，t ) 在 q t 上一致收敛于“( z ，t ) 对应的导数序列 v i u ( 卫，) ) ( = 1 ，2 ) 在国 上也一致收敛于驴“( z ，t ) ( i = 1 ，2 ) ( 一十) 根据弱紧性定理，由 ( 2 1 7 ) 和( 2 1 9 ) 可知子序列 v i “( z ，t ) ) = 3 ，4 ，5 ，6 ) ， v2 札( z ，t ) ) ( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) ， ( v 3 札( z ，t ) ) 2 和 u t t ( z ，t ) ) 在l 2 ( q t 。) 中分别弱收敛于 8 v 札( 。，t ) ( t = 3 ，4 ，5 ，6 ) ，v “t ( 。，t ) ( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) ，( v 3 u ( z ，) ) 2 和乱托( 。，) 因此初边值问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 存在局部广义解 下面证明局部广义解的唯一性 假设u ( z ，t ) ，u ( z ，t ) 是初边值问题( 1 1 ) ( 1 3 ) 的两个广义解令叫( z ，t ) = 乱( z ，t ) 一u ( 。，t ) ，那么叫( z ，t ) 满足下面的初边值问题 叫托+ 屉l v 4 加十砬v 4 毗+ v 2 9 ( v 2 u ) 一v 2 9 ( v 2 ) = 0 ， ，t ) qx ( 0 ，t 1 ) ， ( 2 2 2 ) 训= o ，v 2 训= o ，( z ，t ) a q ( o ，1 ) ， ( 2 2 3 ) 训( z ，o ) = o ，u t ( 留，o ) = o ，( z ，) q ( 2 2 4 ) 方程( 2 2 2 ) 两边同乘以2 叫t ，两边同时加上2 伽加并在q 上积分，推出 翱酬2 圳训1 2 + 蚓i v 2 叫旷) + 2 蚓i v 2 ”川2 = 一2 二 v 2 9 ( v 2 u v 2 9 ( v 2 ) 如+ 2 五伽叫t 如 = 一2 厶 9 ( v 2 u ) 一9 ( v 2 u ) 】v 2 毗如+ 2 二训毗如 = 一2 五9 7 ( v 2 “+ p ( v 2 u v 2 ) ) v 2 训v 2 叫t d z + 2 厶叫毗如， ( 2 2 5 ) 其中o o 和矗( o ) o ，那么存在t 1 嚣茜使得 当t t 1 时，h ( t ) 一+ 。 ( 2 ) 如果a 1 + a 2 o ，日( o ) o 和疗( o ) 2 一仇p _ 1 日( o ) ，那么存在 坯沪孺z 扎豁 使得当t 一l 时，日( t ) 一+ o 。，其中，y 1 ，2 = a 1 a ；+ 卢a 2 定理3 1假设u o 日2 ( q ) ，1 l 2 ( q ) ，夕( o ) = o ，g ( “o ) l 1 ( q ) 并 且存在常数卢 0 使得 s 9 ( s ) s2 ( 2 卢+ 1 ) g ( s ) + 2 卢忌1 s 2 ， v s r ，( 3 2 ) 其中g ( s ) = 届g ( 7 ) d 丁那么初边值问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的广义解珏( ，) 或古典 解u ( ，t ) 在下列条件之一成立时在有限时刻发生爆破： ( 1 ) e ( o ) o ； ( 3 ) e ( o ) o ，屉乱。札1 d 。 o ，i l v 2 札o i i o 和 其中 4 卢2 ( 五“舭，如) 2 4 p 2 e ( o ) i u 。1 1 2 一l l 咖j 1 4 2 也i i u 。旧j v 2 。1 1 2 一磅l i v 2 乱o f l 4 4 卢2 惫2 e ( o ) | | v 2 “o l l 2 ， e ( o ) = i i u l i 2 + 七- i u 。1 1 2 + 2 厶g ( 咖) d z 证明假设初边值问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的解存在的最大时间区间是无限的 方程( 1 1 ) 的两边同乘以2 饥，在q 上积分和分部积分，可推出 其中 则 令 和 e ( t ) = 0 ， t o e ( ) = 恤1 1 2 + 后1 v 2 “| | 2 + 2 r 二i v 2 “t | 2 如打+ 2 厶g ( v 2 u ) 如 e ( t ) = e ( o ) ， t o ( 3 3 ) h ( t ) = ( ，t ) 1 1 2 + 奶rj v 2 “( ，丁) 1 1 2 打 + 也( 一) | | v 2 “o | | 2 + ( t + t o ) 2 其中蜀 0 ， 0 和o 0 是待定常数那么我们可以得到 疗( ) = 2 ( 札，“) + 乜| | v 2 ( ，) | | 2 一如| j v 2 “o i l 2 + 2 0 ( t + t o ) ( 疗( t ) ) 2 = 2 ( ，毗) + 2 兢五r 札( z ，7 - ) 札，( z ，7 - ) d 丁d z + 2 a ( t + 如) ) 2 冬4 舭( ，郴+ 忌2 翩u ( ，下) 1 1 2 打 + q ( 抖如) 2 ) 2 i m 驯2 + 尼2 翩u r ( ，7 _ ) 1 1 2 打+ 。) 4 日( t ) 伽t ( ，w + 南2 翩“r ( 。，丁) | 1 2 打+ a l ( 3 4 ) 对方( t ) 关于t 求导，有 雷( ) = 2 毗( ，t ) 1 1 2 + 厶扛，t ) 札托( z ，t ) 如+ 乜厶钍( z ，t ) 魄( z ，t ) d z + n ) = 2 毗( ，t ) 1 1 2 + 厶“ ，t ) u 托( z ，t ) 十奶2 讹( 茁，t ) d z + a ) 一2 小t ( ，珊+ 五“( z ，t ) 【_ 七1 v 4 ( z ，t ) 一v 2 9 ( v 2 u ( z ，) ) + a ) = 2 ( 1 | t ( ，t ) 0 2 一后1 i i v 2 札( ，t ) | | 2 一厶v 2 札( z ，t ) 夕( v 2 乱( z ，t ) ) 如+ d ) ( 3 - 5 ) 我们从( 3 4 ) ，( 3 5 ) 和假定( 3 2 ) 推出 矗( ) ( ) 一( 卢+ 1 ) ( 膏( t ) ) 2 2 ( 2 卢+ 1 ) 日( t ) 一i l 毗( ，) 1 1 2 一南t 伊“( ，w 一2 五g ( v 2 “( 茁，t ) ) 出 一黼七z 加2 州，丁川2 扣a ) 2 ( 2 卢+ 1 ) 日( t ) 一e ( o ) 一o ) ( 3 6 ) 如果e ( o ) o ( 3 7 ) 进而，盏蜀当且仅当 蚓1 2 + a 瑶2 腽( 厶毗z ) u ，( 。) 如+ d 幻一勃“。| 1 2 ) ( 3 8 ) 现在选择幻足够大，使得 厶咖( 咖1 ( z ) 如+ a 幻一翱札。1 1 2 o ( 3 9 ) 和 蜀= 丽而蒜船等骊 ( 3 1 0 ) 如2 獗面而面丽丽j i 哥酾 u j 当蜀关于t o 取最小值时，有 护三 翱龇1 1 2 一五咖( z ) 札，( 批c + 瓜蕊蕊焉再而， ( 3 1 1 ) 把( 3 1 1 ) 代入( 3 1 0 ) ，可得有限常数显然，( 3 1 1 ) 中的t o 是正数并且满 足( 3 7 ) 和( 3 9 ) 如果曰( o ) = o ，取a = o ，那么从( 3 6 ) 式我们可以得到 宙( t ) h ( ) 一( 卢+ 1 ) ( 膏( ) ) 2 o 1 6 因为日( o ) = 2 血钍o ) “l ( 。) 如 o 和日( o ) o ，我们取 = 骊面裂差硫， 使得嚣尚乃，所以根据引理3 1 ( 1 ) 可知存在乃器，使得当一巧 时，日( ) 一+ o 。这与假定解的最大存在时间区间为无穷矛盾从而解的最 大存在时间区间为有限 如果e ( o ) o ，取q = o ，那么( 3 6 ) 变为 宜( t ) 日( t ) 一归+ 1 ) ( 矗( t ) ) 2 一2 ( 2 卢+ 1 ) 圩( ) e ( o ) ( 3 1 2 ) 定义 f ( t ) = 一日一卢( t ) ， 那么 p ( ) = 卢日一卢一1 ( ) 膏( t ) 根据( 3 1 2 ) 求得 声( t ) = 卢日一卢一2 ( t ) 一( 卢+ 1 ) ( 宣( ) ) 2 + 古( t ) 日( t ) ) 2 2 卢( 2 卢+ 1 ) h 一卢一1 ( t ) e ( o ) ( 3 1 3 ) 由假定( 3 ) 知 户( o ) 一卢日一卢一1 ( o ) ( 2 二咖( z ) u 1 ( z ) d z + 2 a ) o 令 矿= s 即矧f ( r ) o ，丁 o ，t ) ) ( 3 1 4 ) 由于户( t ) 的连续性， 矿是正的在( 3 1 3 ) 式的两边同乘以2 f ( t ) 得 爰( 户( t ) ) 22 4 卢2 ( 2 p + 1 ) 日卢吨( t ) 膏( t ) e ( o ) = 4 邸( o ) 爰( p ) ) ，t 0 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 5 ) 式对积分，出现 ( 户( t ) ) 2 ( 户( o ) ) 2 + 4 卢2 e ( o ) ( 日一2 p 一1 ( t ) 一日一2 4 1 ( o ) ) ( 3 1 6 ) 我们也有 ( 户( o ) ) 2 4 p 2 e ( o ) 日一2 卢_ 1 ( o ) = 卢2 日一2 卢一2 ( o ) ( 直( o ) ) 2 4 卢2 e ( o ) 日以卢q ( o ) = 卢2 日一2 卢一2 ( o ) 4 ( 如“o ( z ) 乱1 ( z ) 如) 2 4 e ( o ) ( 1 l “0 1 | 2 + 南z 蜀l l “o l l 2 ) ) 若如充分小和注意到假定( 3 ) 知 4 ( 厶咖( z ) u 1 ( z ) d z ) 2 4 e ( o ) ( | i 咖1 1 2 + 也如i | 咖i j 2 ) o ，( 3 t 1 7 ) 即 ( 户( o ) ) 2 4 卢2 e ( o ) 日一2 卢一1 ( o ) o ( 3 1 8 ) 因为4 p 2 e ( 0 ) 日一2 芦一1 ( ) o ，从( 3 1 6 ) 推出 ( 户( t ) ) 2 ( 户( o ) ) 2 4 卢2 e ( o ) 日一2 4 1 ( o ) ( 3 1 9 ) 因此根据( 3 1 8 ) 和p ( t ) 的连续性，由( 3 1 9 ) 得 户( t ) ( 户( o ) ) 2 4 卢2 e ( o ) h 一2 卢一1 ( o ) ) i ， ost o 我们选取如使得 由( 3 2 1 ) 式知 丽庐高 蜀 ( 3 2 ，) ( f ( o ) ) 2 4 p 2 e ( o ) 日以芦q ( o ) 】 ” 、 咖| | 4 + 2 如| i 咖| | 2 | | v 2 呦| | 2 + 惫；瑶i v 2 伽i | 4 1 ，则由( 3 2 2 ) 式得 a o 一码 ，4 卢2 ( 尼“o u l d z ) 2 一e ( o ) l i u o l l 2 ) 一l i 札o l l 4 2 j i “o i l 2 i v 2 “o i | 2 一南；i | v 2 “o i | 4 垒。 、 4 南2 p 2 e ( o ) i i v 2 钆0 1 | 2 一 最后，满足 1 a o = 乃 b 的蜀即为所求显然，上述满足( 3 1 7 ) 和( 3 2 1 ) 因此存在码 吣码 而庐高 使得f ( 玛) = 0 这样当t 一写1 时，日( t ) 一+ 这与假定解的最大存在 时间区间为无穷矛盾定理证毕 2例子 例子现在我们举例来说明满足定理3 1 条件的函数9 ( s ) ，u o ( z ) 和“l ( z ) 是存在的因为定理3 1 对于方程( 1 1 ) 的一维情形仍然成立，为了简单起见， 我们只举一维情形的例子 例我们考虑下面的初边值问题 札托+ 南1 u 。+ 南2 钆。耐+ 9 ( 。) 。= o ， ，t ) ( o ，1 ) ( o ，丁) ，( 3 2 3 ) u ( o ，t ) = “( 1 ，t ) = o ，钆。( o ，t ) = u 。( 1 ，t ) = o ， ( o ，t ) ， ( 3 2 4 ) u ( z ，o ) = “o ( z ) ，讹( z ，o ) = “1 ( 茁) ， z o ，1 】( 3 2 5 ) 分三种情形讨论 ( 1 ) e ( o ) o 时，9 ( s ) 满足一维情形下定理3 1 中的假设( 3 2 ) 式通过 简单的计算得到| | 钆o i l 2 = i l “- 旷一篇，l i “o 。1 1 2 = 警， 小( 洲啦= 罴， 五1 脚魄= 一焉 和 即) 刮珊侧“胪+ 2 胁训扣警卜鬻( 3 2 6 ) 这样当o 七1 专i l 等时，由( 3 2 7 ) 知e ( o ) o 取七1 = 考装g 鬻和 忌2 = ；，那么e ( o ) = 1 o ，a = 一e ( o ) = 1 护三 翱u 脑川2 一z 1 舡) u ，( z ) 如 + 肛蕊蕊亏荪磊 = 警一罴+ 雁孺：箬+ 需4 6 ， = 瓣丽蒜辫鲁哥丽锄。s 9 5 日( o ) = | j u o i | 2 + 七2 i i u o 。l | 2 + t 3 1 7 4 6 7 5 7 和 应( o ) = 2 z 1 札。( z ) 乱1 ( z ) 如+ 2 血如= 1 8 8 7 4 4 从而满足定理3 1 一维情形的条件，因此存在乃舞茜1 2 3 3 9 5 ，使得当 t 一玎时，( t ) 一十。 ( 2 ) e ( o ) = o 的情形我们仍然取“o ( z ) = 一一2 2 3 ，“1 ( z ) = z 4 2 2 3 和 夕( s ) = s 4 ，与e ( o ) o 时，夕( s ) 满足一维 情形下定理3 1 中的假设( 3 2 ) 式由( 3 2 6 ) 知当七1 = 燃时，e ( o ) = o 当卢= ；和o o 时，9 ( 3 ) 满足一维情形下定理3 1 中的假设( 3 2 ) 式我们有 e ( o ) = l f “。1 1 2 + ij “。圳2 + 2z 1g ( “。) d = 萼一兰筹( 3 2 7 ) 显然，当七- 彳鬟筹( 5 0 1 0 8 7 1 ) 时，e ( o ) o 总成立取h = 2 i ；筹( 5 0 6 2 9 5 4 ) ，则e ( o ) = l o 取七2 = o 1 ，则有 4 卢2 ( 五1 刚1 如) 2 4 p 2 e ( o ) 恻1 2 一1 4 2 七2 m 训2 一南孙乱。圳4 4 2 后z e ( o 川乱。川2 = 三器1 7 3 7 9 1 o 因为 4 卢2 ( 暗u o “1 c b ) 2 4 卢2 e ( o ) i i 钍0 0 2 一i i 钆o l l 4 2 如i i u o i l 2 i i 乱。1 1 2 一后；l i u o 。1 1 4 取 我们可得 1 o ( 4 1 ) 叫( o ) = 叫o ，曲( o ) 一叫1 ( 4 2 ) 其中盯1 ，盯2 o ，印 o ，盯4 o ，叫o o 和叫1 0 是常数若h ( s ) e 2 ( r ) 是一满足下面条件的偶和凸的函数 ( 1 ) ( o ) 一。和盯3 ( 盯4 训o ) 一o 2 训。芝o ； ( 2 ) 当s 一+ 。时， ( s ) 增长得足够快，使得当盯l o 时积分 玩= 盯。 伽 + 2 最h ( 吼s ) 一盯。s d s 一。由 收敛同时，岛 o 时，对有限时刻t 1 乃= 一去l n ( 1 一玩) ；成立 l i m 叫( ) = + t t 、 2 4 ( 4 3 ) 当盯1 0 时，对有限时刻t 2 死，成立 l i m ( t ) 一+ o 。， 。c 2 其中死由( 4 3 ) 给出 证明首先证明对所有的s 蛳，吼 ( 0 r 4 s ) 一盯2 s 0 成立事实上，因 为危c 2 ( r ) 是一个偶且凸的函数，所以器( 口4 s ) 2o 和基 ( o ) = o 若令 ，( s ) = 吼 ( s ) 一盯2 s ，则券( s ) = 盯3 西导 ( c r 4 s ) o 所以岳，( s ) 是一单 调增加的函数由 f ( o ) = 邶) = o ，昙，( o ) = 盯s o r 4 未邶) 一盯z = 咱o 和，( 训o ) o 可知，( s ) 在某点s 0 ( o ，咖) 处取得最小值且未厂( s o ) = o 由 于未厂( s ) 是单调递增函数，于是当s 叫。时岳厂( s ) 岳，( s o ) = o ，即当 s 叫。时- 厂( s ) 是一单调递增的函数特别地，( s ) 在 叫o ，+ ) 是单调增 加的和，( s ) t 厂( 咖) o 于是对所有的s 训o ，盯3 ( 0 r 4 s ) 一盯2 s 芝。成立 现在证明对任意的t 0 ，曲( ) 0 假设结论不成立，则存在o 0 ，使 得当o o 的情形( 4 1 ) 式的两边同乘以e 州并在( 0 ，) 上积分， 得 石昙7 西) d 丁n 咖( 删) 根据t o 的定义知，当o t o 时伽( ) 撕由( 4 4 ) 式得 曲e 一口1 。 叫1 + r 盯3 ( 盯4 叫) 一盯2 叫】e 口1 7 d 丁) 2e 一口1 t 叫1 ， t ( o ，如) ( 4 5 ) 因此，曲( 如) e ”，叫1 o 这与西( o ) = o 矛盾从而对于t 0 ，曲( t ) o 易知对t o 时，叫( t ) 叫o 2 5 ( 4 1 ) 式两边同乘以2 e 2 州曲，在( o ，t ) 上积分和注意到e 2 州 1 ，可推得 于是 e 2 口。曲2 伽；+ 2fe 拈t 7 盯3 危( 盯4 训) 一盯2 叫】曲d 7 叫 + 2 e m ( 邓) 一c r 2 s 】d s 曲2 e 1 。