（基础数学专业论文）具多变时滞微分方程（系统）的周期解存在性的研究.pdf

摘要 本文研究具多变时滞微分方程( 系统) 的周期解的存在性问题主要工作分为 两部分：在第一部分中我们运用k r a s n o s e l s k i i 不动点定理和矩阵测度研究一类 较为广泛的具多变时滞中立型微分系统的周期解的存在性我们的结论推广了文 f 3 0 1 的主要结果；在第二部分中，我们利用m a w h i n 延拓定理和关于周期函数的 最佳不等式，给出一类二阶具多偏差变元的微分方程存在y 啊周期解的充分性的 若干条件特别地，作为本文定理的推论，也改进了文【48 的主要结果 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，t h ea u t h o ri sd e v o t e dt os t u d yo ft h ee x i s t e n c eo ft h ep e r i o d i c s o l u t i o no ft h ed i f l e r e n t i a le 啡l a t j o n ( s y s t c i n ) w i t hm u l t i p l ev a r i a b l el a g s i nt h ef i r s t c h a p t e r f i r s t b y l l l e a l l so ft h ek r a s n o s e l s k i if i x e d p i o n tt h e o r m a n dm a t r i xm e a s u r e st os t u d yo ft h ee x i s t e n c eo ft h ep e r i o d i cs o l u t i o no ft h e1 1 1 0 1e g e n e r a l i z a t i o nn e u t m ld i f f e r e n t i a ls y s t e m ya n dg e n e r a l i z e dt h er e s u l t so f 【3 0 1 i nt h es e c o n dc h a p t e r ，u s i n gm a w h i nc o n t i n u et h e o r e ma n ds h a r pi n e q u a l i t i e s 如rp e r i o d i cf u n c t i o n s 、o b t a i ns u 塌e i e n tc o n d i t i o n sf o re x i s t e n c et p e r i o d i c s o l u t i o n so fm o r eg e n e r a l i z a t i o ns e c o n do r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hm u l t i p l e d e v i a t i n ga l g m n e n t s ，e s p e c i a l l y la sc o r o l l a r yo ft h i sp a p e r st h e o r m s i r n p r o v em a i n r e s u l t so f 【4 8 1 ，t o o 前言 具时滞微分方程( 系统) 在力学，物理学，生物数学，自动控制，通讯理论等 方而有着重要的应用背景近十多年来，对于时滞微分方程周期解的研究引起了 人们广泛的关注，并已取得许多好的研究成果1 1 - 5 0 具作者所知，关于中立型泛 函微分方程的研究成果，接所用的方法大致分为如下几类： ( 一) m a s s e la 及y o s h i z a w a 周期定理的推广 1 9 6 6 ，y o s h i z a w at 1 1 ) 对泛函微分方程证明了当滞最r 小于或等于方程的周期 u 时，如果方程的解一致有界，一致最终有界，则存在一周期解之后，李晓颖等 【2 1 1 】致力于文【1 】中定理的推广，并作了一些改进直到1 9 9 8 年，范猛等1 1 2 , 1 3 才 将文【l 】中的定理推广到中立型泛函微分方程( 具有限时滞或无限时滞) 1 9 5 0 年， m a s s e r a 。j 三对纯量的周期常微分方程，证明了：有界解的存在性蕴涵了周期解 的存在性之后，c h o w sn 等 1 5 , 1 6 1 致力于这一定理的推广，得到了更为一般形 式的线性滞后型周期泛函微分方程1 9 9 8 年，范猛等”】将其推广到了( 具有 限时滞或无限时滞) 线性中立性周期泛函微分方程存在周期解 ( 二) f o u r i e r 级数展开法 章毅和张毅在文1 9 1 利用f o u r i e r 级数研究了二阶常系数线性中立型方程 z “( t ) + a l z o ) + a 2 x ( t ) + c 。”( 一h ) + c 1 7 ( t h ) + c 2 x ( t h ) = f ( t )( o 1 ) 的周期解之后，用此方法，文1 2 0 一2 4 继续对二阶常系数线性中立型方程进行了 研究，现在对一般t t 阶常系数线性中立型方程周期解的研究已经有较好的结论 ( 三) 重合度理论的应用 1 9 9 8 年，王根强、燕居让两位教授在文f 2 5 l 就二阶非线性的中立型泛函微分 方程 ( x ( t ) + c x ( t r ) 】_ + 9 0 x ( t 一口) ) = p ( t ) 的周期解进行了研究，采用重台度理论讨论了周期解的存在性并得到了一些好的 结果之后，鲁世平、葛渭高两位教授在文【2 6 】中也采用重合度理论就 俨d 焉j p ( f ) 一c z 一亍) 】+ 暑9 r a d f ( 。( ) ) + g r a d g ( z ( t r ( ) ) ) = p ( ) 进行了研究，讨论了周期解的存在性问题 ( 四) 矩阵测度及不动点定理 文 3 0 就1 c i 0 且a ( t ，z ) 是定义在r r “上 的n n 实连续矩阵函数，使得( t z ) 月舻时有a ( t + e z ) = a ( t ，z ) 另外 ，：r r “一，p 使得( t z ) i l 胛时有f ( t + 7 ，? ) = ，( ，z ) ( 7 1 o ) 在系统 ( 0 , 2 ) 的研究q t ，文1 2 7 29 1 就c = o 时的t 一周期解的存在性，唯一性及稳定性问 题进行了研究，其q - 2 7 借助矩阵测度的性质，对t = o 的情况进行了讨论，得到 其周期解存在的充分性条件文【2 82 9 l 又分别利用矩阵测度和指数二分法对r 0 的情况进行了讨论我们发现，在文 2 9 、3 0 l 巾所用的引理a 是错误的 二阶微分方程周期解问题的研究一直是人们广泛关注的研究课题近年来， 在d u f f i n g 型方程和l i d n a rd 型方程方面的研究已有很多结果丁同仁教授 3 9 和o m a r ip ，z a n o l i n ft ”j 在不跨共振点条件下分别研究了d u f f i n g 型方程 的周期问题葛渭高教授在【4 l ，4 2 中分别研究了n 一维l i e j r t a r d 维型方程的周期 解问题，有关这方面工作的详细介绍参见文 4 文【4 4 1 在不跨共振点条件下研究了如下时滞的d u f f i n g 型方程 的周期解问题 文 4 5 将上述结果进一步推，“到高维系统 z ”( ) + f ( t ，z ( ) x ( t r ) ) 7 一t ) = p ( t ，z ( t ) ，t ( 一t ) ) 文 4 6 】利用重合度原理研究跨共振点条件下时滞d u f f i n g 型方程 z ”( t ) + g ( z ( f r ) ) = p ( ) = p ( t + 2 7 r ) 的周期解问题 在文 4 6 的基础上，文【4 7 1 利用类似的方法进一步讨论一类具偏差变元的 l i g n a r d 型方程 的周期解问题在跨共振点及某些单侧条件下，得到了存在周期解的充分性结果 在文【4 7 l 的基础上，文【4 8 1 进一步讨论了一类二阶具偏差变元的微分方程 z ( t ) + f ( t ，z ( t ) ，x ( t 一丁b ( ) ) ) t ( t ) + f l ( t ) g ( x ( t n ( ) ) ) 一p ( t ) ( 0 3 ) 的周期解问题，得到了存在周期解的充分性结果 本文的主要工作是： 一将【3 0 】的主要结果推广到多个变时滞的中立型泛函微分系统； 二研究较 4 8 更广泛的二阶具多偏差变元的微分方程，得到了周期解存在 的若干条件作为本文的主要结果的推论，也改进了文 4 8 中关于方程( 0 3 ) 的周 期解存在性的主要结果 华南师范大学硕士学位论文答辩合格证明 学位申请人盘醴向本学位论文答辩委员会提交 题先塑瞳鲢聱毽垃垂厘盔基丛塑鐾殓叠蕉剑些鳓士论文， 学位论文答辩委员会委员( 签名) 主席： 委员： 纽奎 碰选塑 逊 论文指导老师( 签名) ： 力毋年多月矽日 第一章一类具多变时滞中立型微分系统的周期解 1 1 研究对象及相关引理 在生态模型及电子设备的设计中，具时滞微分方程的周期解是至关霞要的， 这方面出现了不少文章 2 53 5 】特别地，就线性微分系统 z ( t ) = a ( t ) x ( t ) ( 11 ) 的丁一周期解已有广泛的研究，其中a ( t ) 是n xn 阶连续实矩阵，对任意t 疗 有a ( t + t ) = a ( ) ( y o ) 当周期扰动存在，模型中时滞被给出时，相应的系统 将被修改以反应这些附加因素 文【3 0 】的作者研究了系统 z ( t ) + 凹4 ( t r ) = a ( t ，。( f ) ) z ( t ) + i ( t ，z ( t 一7 ) )( 1 2 ) 的t 】一周期解 这里我们指出：文【3 0 j 中的主要定理的证明是错误的为了说明这一点，我 们先引出文 3 0 中所用引理如下： 引理a i 任意的t ，8 兄时，有 x ( t ，r ) x ( r ，s ) = 义( t ，s ) x ( t ，o ) x ( t ，s ) = x ( t + t ：s ) 我们不难发现引理a 中的第二个式子 x ( t ，o ) x ( t ，s ) = x ( t + t ，s ) 是错误的 本文研究较( 1 2 ) 更一般的微分系统 x ( t ) + ( t t ) = a ( t ，z ( ) ) ) + f ( t z ( t r 。l ( ) ) ，r ，z ( t r k ( t ) ) ) ，( 1 3 ) 其中r 和c 是常数，且f c f l ，( ) ( i = 1 ，2 ，) 是r 上的r 一周期实连续函数 a ( t ，z ( t ) ) 是定义在r 胛上的n n 实连续矩阵函数，使得( t ，z ) r 府时，有 a ( t + l z ) = a ( t ，) 另外，( t ，“h - ，“k ) 是定义在r 彤r “卅上的实连 续向量函数，当( t ，“圹一，) r 舻r “r ”时，有f ( t + t ，u 1 ，“k ) = f ( t ，u 一，“ ) 利用矩阵测度和k 7 a s n o s e l s k i i 不动点定理给出( 13 ) 存在7 1 周 期解的两个充分条件我们引入k r a s n o s e l s k i i 不动点定理，如下： 定理a ( k r a s n o s e l s k i i ”j ) 假设口是一个b a n a c h 空间，g 是b 的一个有 界闭凸子集令s ，p ：g b 满足如下条件： f i ) 对于任意的? ，g 有s x1p y g ( i i ls 是一个压缩映射 f i i i ) j p 是全连续的， 则s + p 在g 中有一个不动点 首先，我们回忆一些关于线性周期微分系统和矩阵测度的基本事实考虑系统 ( 1 1 ) ，其中a ( t ) 是定义在r 上的7 l 阶实连续矩阵函数，并满足a ( t + j 1 ) a ( t ) 一 令圣( ，t o ) 是( 1 ，1 ) 的满足西( 如，t o ) = ，的基锯矩阵( ，是单位矩阵) 当s r 时显然有 西( t 训) 壬( 1 us ) 二心( s ) 和 巾。( t 8 ) = 巾( s f ) 令a 是一个n n 阶的实矩阵，在线性的欧氏空间聊中，设l i ，是标准p 范 数，l f 爿f f ，就是a 的矩阵范数，矩阵a 相应的矩阵测度定义为 3 7 1 , 则 ，( a ) ：，l i m 。+ i i j + 5 a ，i b - 饲如【3 7 】，令z = ( z 一，z 。) 7a = ( ) n 。，p ”则h 1 = ：- k 1 1 4 i i l n a x l g 曼n n i a u ；和肛1 ( a ) 一m a x l ( j s 。 n j ，+ j ： m 引理1 1 【令z ( t ) 是系统( 11 ) 的一个解，对任意的t t o 时有 m e x p f ( 叫j ( _ ) ) ) d s ) 外b me x p ( ( ) ) ) 出 引理1 2 系统( 1 1 ) 的基解矩阵满足 1 l 圣( ，s ) | i - e x p ( p t ( a ( ) ) ) c 廷 ，t s 事实上，令西= ( ) 和圣o 是矩阵西的第j 列，由引理1 1 知 引理i3 如果 西( ，5 ) m = m a xj g ! 。】；( c ，s ) = m a x l 白j 。l 西( j ( t ，s ) | 1 i 中( ，( s ，5 ) jje ，c p ( ，( a ( f ) ) ) 蜓) = e x p r ( - ( a ( ) ) ) d f ) e x p 蟒( p ，( a ( s ) ) ) d s ) l 则线性系统( 1 1 ) 没有非平凡的t 一周期解 2 ( 14 ) 证明：假设x ( t ) 是( 1 1 ) 的一个非平凡的丁一周期解，可设z ( t o ) 0 由引理11 ，我们有 l x ( t u ) i l = i x ( t o + t ) l i i x ( t o ) | ，e x p e ? 。7 ( p ，( 4 ( s ) ) ) 如j ( 15 ) l x ( t o ) l l ， 其中包含z ( 如) = 0 ，这与假设矛盾，引理1 3 得证 引理14 如果线性系统( 1 1 ) 没有非平凡的7 1 一周期解，则对任意的7 周期的连续函数，( t ) ，非齐次系统 z ( t ) = a ( t ) x ( t ) + f ( t )( 16 ) 在初始条件x ( t o ) = z o 下有唯一个7 1 周期解，且由下式确定 z ( ) = 中( t ，t o ) x o + 中( t ，s ) ，( 8 ) ( 如，t 月( 17 ) 进一步，在条件 e x p 上( p 一( a ( s ) ) ) 出) 1 ( 18 ) 下，我们由引理1 3 可知线性系统( 1 1 ) 没有非平凡的丁周期解接着由引理14 知非齐次线性系统( 1 6 ) 的t 一周期解x ( t ) 及条件z ( f n ) = z o 可由( j7 ) 表达，我 们进一步断言 x ( t ) = ( ，一中 + y ，) ) 一1 中( 十t s ) f ( s ) d s( 1 9 ) 事实上，由( 1 7 ) 有 x ( t ) = z ( + t ) = 币( t + t ，t o ) x o + 中( t + t ，s ) f ( s ) d s( 1 1 0 ) 及 币( 丁，州。) = 中( h l 州，哆。圳抖丁，) 坛毗8 ) m ) 出f 1 1 1 1 = 中p + t ，t o ) x o + 尼西( f + t ，s ) f ( s ) d s 。 、 由( 1 1 0 ) 和( 1 1 1 ) 得 ( ，一西( + y 1 ，) ) z ( t ) = ，西o + t ，s ) f ( s ) d 8 ( 11 2 ) 因为 l i 垂( + 正t ) lr l 唧 詹+ 7 ( p 。( 4 ( 8 ) ) ) d s ) = e x p f j ( p 1 ( ( s ) ) ) d s ( 11 3 ) 1 ， 故( i 一币 + l t ) ) _ 1 对每个t r 都是存在的从而由( 1 ，1 2 ) 知( 1 9 ) 成立， 引理1 5 假设( 1 8 ) 成立，则方程( 1 6 ) 与( 19 ) 是等价的 3 1 2 主要结果 令z 是由所有定义在月l 二实的了1 一周期连续函数x ( t ) 构成的b a n a c h 空 间，z 中元素的范数定义为俨) = 忪俨1 忪”) 且忙 ) = m a x 一，t l z ( ) i 和叫p = n l g x o f ( t ( t ) l 为方便起见，下面我们将用，l 川l 和( a ) 代替t ，1 1 , 4 l | 1 和“，( a ) 定理1 1 假设存在一个y 一周期的连续函数n ( ) ，使得 i t ( a ( t ，z ) ) n ( t ) ( t z ) 【0 ，1 1 】r 7 5 和 k = e x p 口o ( s ) d s 0 ，使得 击j 丁s u p i 。i ! m ， 。 ! m i f ( t 、肛1 ，- ，z b ) 1 m 面1 - 了k ( 1 一i c l ) 一i t l 7 1 则( 1 3 ) 有一个丁一周期解 证明：对于任意的u z ，考虑线性系统 和 ( i1 4 ) ( 11 5 ) ( 11 6 ) ( t ) = a ( t ，u ( ) ) 。( ) + f ( t ，“( t r 1 ( ) ) ，u ( 一r ( ) ) ) 一r l z ( t r ) ( 11 9 ) 由条件( 1 1 4 ) 和( 1 1 5 ) 有 e x p y ；p ( a ( t ，“( t ) ) ) d e x p 仃o ( s ) d s ) 1 ，( 12 0 ) 由引理1 3 知( 1 1 8 ) 没有非平凡的周期解进一步，由引理1 5 知( 1 1 9 ) 等价下 列积分方程 缸幻叫卜瓣掣j 蕊? ：警舢b 叫胁，。- ， ，( s ，( s n ( s ) ) ，u ( s r ( s ) ) ) 一眦( s t ) d s ， 、 其中币。( f ，t o ) 是( 1 1 8 ) 的基解矩阵，并满足币。( o ，t o ) 一，( 其中是单位矩阵) 4 船 川 跏 似 t 徘 嬲 9 帆 船 一 = 眦 l = 中其 和 对任意的z ，定义映射s ：z z 和p ：z z 如下： ( s l 小t ) = c u ( t 一7 ) ( 1 2 2 和 ( p 7 1 ) ( t ) = ( 一中。【+ 丁) ) 一片+ t 中。( + t ，s ) ，( s ，“( s 一7 i ( s ) ) ，t “( s 一，k ( s ) ) ) 一r “。( s t ) d s4 - ( 1 z ( f r ) ， ( 19 3 ) 显然，如果p4 - s 有一个不动点，则这个不动点就是( 1 3 ) 的周期解 为了找到这个周期解，我们将验证k r a s n o s e l s l e i i 定理中的假设成立，因为 西。( s ，o ) 吒1 ( 8 t o ) = ， 和 吒1 ( t o ，s ) = 峨( s ，t o ) ， 于是我们有 亘d s 垂。( t ，s )一是净。q ，o ) 电u ( t 吼s ) l = 中。( ，t o ) 五dl w 。- 1 ( s ，t o ) l ( i2 4 ) 一一圣。( t 、s ) a ( s ，w ( s ) ) 及 ( ，一币。o + 正f ) ) 1 f + t 壬。( 亡+ t ，s ) u7 ( s r ) d s = ( j 一壬。h + t ，t ) ) 一1 片+ t 垂。 + 1 1 ，s ) d m ( s r ) 一( 壬。 + t ，t ) ) 一1 西。( + t ，s ) u ( s r ) i ；茎；+ 7 1 一( ，一圣。p 十l ) ) 一1 露+ t 【五d 西。( 亡+ t ，s ) 】u ( 8 一丁) d s = o 一丁) + ( ，一垂。 + t ，t ) ) 一1 詹+ t 圣。( t + t ，s ) a ( s ，u ( s ) ) u ( 8 r ) ( i s ( 12 5 ) 由( 1 2 3 ) 和( 1 2 5 ) 可得 ( j p ) ( t ) = ( j 一中。( t + t ，) ) 一1 詹+ 丁垂。( t 十正s ) j ( s ，“( s r l ( s ) ) ，- ，“( s r k ( s ) ) ) d s c ( i 一中。( + t ，) ) 一1 口+ t 西。( t + t ，s ) a ( s ，u ( s ) ) ( s r ) d s f l2 6 1 下面将证明：对于任意的u ，”z ，t r 及i u ( t ) ism ，i ( t ) i m 有 i ( p ) ( ) + ( s 扎) ( t ) i m 成立事实上，由引理1 2 ，( 1 1 3 ) 和( 1 1 5 ) 有 i i 圣。o + t ，t ) l i k l ， 5 因此 i i ( i 一币。0 t ，t ) ) “| | = | | 是o 【中。( + t ) 】“| | 是。慨( + 圳 f 1 2 7 1 o n 二co k ” s 由 进一步，对任意的t sst + 7 1 由引理1 2 和( 11 7 ) 可得 圣。( 十一s ) lle x p f + 丁p ( a ( 臼，“( 口) ) ) d 口 s “p f + 7 n ( 日) 础) ( 12 8 ) m o 对任意的t r ，由( 11 6 ) ，( 1 2 2 ) ( 1 2 6 ) ，( 1 2 7 ) 和( 12 8 ) 有 i ( p ”) ( f ) ( s u ) ( f ) l l ( | p ) ( ) i + l ( s “) ( ) l i e l m + l i ( ，一西。( f + r t ) ) 一1 i | 盯+ 1l l 壬。p + t ，s ) | | f ( s ， ( s t 1 ( s ) ) ，u ( s 一7 女( s ) ) ) l d s + l d l l ( z 一中。0 + t ，t ) ) 一1 l i + 7 l | 西。0 + t ，s ) l l l l a ( s t ，( s ) ) “( s r ) l d s 玉i c l m + 盯+ t l ，( s ，t ，( s r - ( s ) ) ，一，”( s “( s ) ) ) l d s 十l c i 掣氅手 sm i c i + i c l 等骘手+ 詈【业= 掣一i c l l t = m 令 = 半导， 其中 b o s u pi f ( t ，u 1 ，u k ) l o ! t g 。，f “1 i ! m ，i ”k l ! m 和 g = u z ：l 札( t ) i m ，i u ( ) i n ，0 t 丁 显然g 是z 的有界闭凸子集接着我们将证明：对任意的u ，u g ，有 l 爰【( p 州讣( s “m 川曼w r 成立事实上，因为 击( s u ) ( ) = - - c z t 0 一r ) ， 结合( 1 2 3 ) 和( 13 0 ) 可知( p v ) ( t ) + ( s v ) ( t ) 是系统 z o ) = a ( t ， ( f ) ) z ( t ) + f ( t ，v ( t r l ( t ) ) - 一，v ( t 一( ) ) ) 一c v ( t r ) 6 约 的一个解，故有 丢( p 2 ) ( 。) = _ ( ”0 ) ) 【( 尸”) ( ) + ( s ”) ( ) 】( l 3 t ) ，( t ， ( 一r l ( ) ) - - ，( t n ( ) ) ) 进一步有 l 盖【( p ) ( t ) + ( s u ) ( ) 】l l i a ( t d t ) ) l l i l ( p v ) ( t ) + ( s ”) ( ) | + l f ( t ，”( 一r 】( t ) ) ， ( 一“( ) ) ) i + l c i m l m + 6 0 + f c n 曼n ， 因此有 i i ( p v ) + ( s ) l l 2 = m a , x o 。兰l l ( p u ) ( t ) + ( s ? z ) ( ) 斗n l a x o ：垤tl 羞【( j p 廿) ( f ) + ( ，s t ) ( t ) m + n 于是我们证明r 任意的，u g 有p u + s u g 注意，v g 是丁一周期的， 所以有 | i s ( u u ) l l 计= m m x 0 t ti c ( u 一 ) ( 一t ) l + m a x o ! ! tl c ( u 一 ) 7 ( 一r ) i = i c l m a x o t ti ( 一w ) 0 ) i + i i i a x o t ! tl ( 一 ) ( t ) 1 ) = 川i t z 一训p 由l c i 1 知s 是一个压缩映射 我们进一步证明；尸是一个从g 到g 的全连续算子对任意的虬t ，g ，令 h = p u p v 由( 1 3 1 ) 有 日“1 = a ( t ， ( ) ) f ( p u ) 0 ) + ( s u ) ( ) 】+ ，( ，u ( t r ，( t ) ) ，一，? l ( t r 女0 ) ) ) ) 一 4 ( z ，t ， ) ) ( p ”) 0 ) + ( 5 协) ( f ) j + f ( t ，”0 一r ，( f ) ) ，- 一， ( 一r * ( f ) ) ) f 1 3 2 1 令 + ( t ，“( f ) ， ( ) ) = a ( t ，“( t ) ) c p o r ) 一u ( 一r ) 】+ a ( t ， ) ) 一a ( t ，”( f ) ) 】 ( p ) ( ) + ( s ”) ( f ) 1 + ，( t “0 一n ( ) ) ，。一，u ( 一r 女( t ) ) ) 一，扛，”o t 1 0 ) ) ，u ( t r k ( t ) ) ) f 1 3 3 1 令g 1 = z r “：h m ) 因为对0 t 茎t ，a ( t ，z ) 和，( ，“h ，b ) 在 g ，上是一致连续的，且l ( p u ) ( ) + ( s ) ( t ) i 是有界的，于是对0 t t 时，当 俨一0 时舻( ，u ， ) 一0 一致地成立由( 12 2 ) 和( 1 3 2 ) 可得 h 。( t ) = a ( t ，“( ) ) 日( ) + ( t ，“( t ) ，u ( t ) ) ( 1 3 1 ) 7 于是h ( t ) 是( 13 4 ) 的一个r 一周期解由引理14 有 i h ( t ) lsi i ( i 一巾。( t tt ) ) 1 i l 爿+ 7 | | 巾。( + t s ) l l l h + ( s ，“( s ) ，t ，( s ) ) i d s 曼搀7 弦( 刚( s ) ，t ，( s ) ) l d s 故当一叫一0 时有i i p up ) = i i ”一0 另一方面，由( i3 2 1 可知：当 忆一口俨一0 时有| lj f ) 一，”一| | h ) = | l h 俨) 一0 因此，如果一 俨一 0 则有忪一v 】一0 进一步有i | p up v 俨) = l j d u p u + l l p u p v 一0 所以j d 在g 中是一个连续映射下证p g 是相对紧的+ 注意到p gcg ，由g 的 定义可知g 是一致有界等度连续的，从而p g 是按模” ) 一致有界等度连续 的对任意的p “。 g ，p u 。是一个收敛子列，不失一般性，我们假设p u 。按模 ”俨1 收敛我们将证明p t k 有按”俨收敛的子列事实上，因为当 g 时 有| l p u l l “n ，显然当“g 时有i i 岳( p h ) 俨n ，也即是说 蔷( p u ) ：7 1 g ) 是一致有界的接着，对任意的u g 我们有 忑d ( p u ) ( f ) = a ( t ，( t ) ) 【( p u ) ( t ) + ( s u ) ( t ) 】+ ，( ，( 一r 1 ( ) ) ，一，札( t n ( ) ) ) 因为a ( t ，z ) 和f ( t ，h 一，“k ) 在【0 ，卅g 1 h 是一致连续的，g 和p g 是等度连 续的，因此 差( p u ) ：u g ) 是等度连续的因为 袅( p “。) c 盖( p “) ：u g 可知爰( p u 。) 有子列( p u “) 按模”俨收敛，即是说 p u n k 按模”收 敛，从而p 是g 到g 的一个全连续映射 运用k r a s n o s e l s k i i 不动点定理可知，p + s 在g 中有一个不动点，即( 1 3 ) 的一个l 。周期解 定理1 2 假设存在一个丁一周期的连续函数n ( f ) ，使得 p ( a ( ，z ) ) 5n ( ) ，( t ，z ) 0 ，t 】r ” ( 13 5 ) 和 k = e x p ( s ) d s 0 满足 耐1 詹s u p i 兰m ，拈。i 吖i ，( t ，肛l ，一，上) l d t l 。- 。k 。( 、l 一2 1 c 1 ) 一l c 了 等圭癸， ( 1 3 7 ) 其中 l = s u p i 。i ! m ，o ! t f ti i a ( t ，z ) m n 矗= s u p o ! 。! te x p en ( 日) 瑚) 8 和 则( 1 3 ) 有一个丁一周期解 事实上，如果令 = 半导 和 g = z ：l “ ) l m ：i t ( t ) l n ，0 t t ) 。 由定理1 1 中的( 1 2 2 ) ，( 12 3 ) ，( 1 2 7 ) ，( 12 8 ) ，( 12 9 ) 和( 1 3 1 ) 及条件( 1 3 7 ) 当 t ，u g 时显然有 和 1 ( j d 训) ( t ) + ( s “) ( ) l l ( ，) ) ( t ) i + i ( _ s 儿) ( t ) | l c “( tr ) i + l i ( i 一中。( t + 7 j ) ) 1 i 后+ 7 l l e 。( + rs ) | | l ，( s ，v ( s n ( s ) ) ，- - ，v ( s 一7 ( s ) ) ) 一c ( s t ) l d s + 1 c v ( s r ) l s2 k l m + i i ( r 一中。 + t ，t ) ) 。1 | | c + 1l i 圣。0 + t ，s ) | | 【i ( s ，”( s f 1 ( s ) ) ，一，”( s r t ( s ) ) ) l + 1 c u ( 8 一r ) l l d s 2 1 c i m + 芒玺露+ 7 i i ( s ，v ( s r ，( s ) ) ，- ，u ( s r ( s ) ) ) i + i c l n d s 羔 铩2 1 c i m + i c l n t 十m 【面it l ( 1 2 l c i ) 一i c l t , - t 。1 m i 叠 ( p u ) ( t ) + ( s “) ( ) | | 茎l i a ( t ，u ( t ) ) | | i ( p u ) ( t ) + ( s u ) ( ) l 】 + l f ( t ，v ( t f 1 ) ) ，一，v ( t r k ( t ) ) ) i + i t i n s 工m + + t i n n ， 类似定理1 1 中的讨论，可知k r a s n o s e l k i i 定理中的假设被满足，从而p + s 在 g 中有( 1 3 ) 的一个丁一周期解 1 3 例子1 2 t 7 ( t ) 一矗z7 ( 一r ) 一a ( t ，z ( t ) ) z ( ) + f ( t ，z ( 一s i n 2 7 r t ) ，x ( t c o s2 7 r t ) ) ，( 1 3 8 ) 9 其中 和 a ( tx ) f ( t ，v ，w ) 堕型e x p ( 一z ；r ；) 一1 j 五 在| ，川l 和( - ) 中令p = 1 显然有l n “( z ，z ) i = i 1 l “= 1 2 ) ，( 。4 ( z ，z ) ) 寻假设n ( ) = 吾，m = 二j 6 ，则k = e x p 詹a ( s ) d s ) 一e x p 吾m o = 1 ，l s u p f ! 氓0 ( i i a ( t ，z ) j j = ；，b o = s u p 吲乳m t l l 6 , ! 6l l ( t ， ，) l = i i 通过计算， 定理1 2 的条件满足，从而( 1 3 8 ) 有一个1 一周期解，且是非平凡的，因为i ( t ，0 0 ) 不恒等于0 1 0 罐寻n 骶 半 第二章具偏差变元微分方程的周期解 2 1 研究对象及相关引理 本文研究较( 0 3 ) 更广泛的二阶具多偏差变元的微分方程 z “( t ) + f ( t ，t ( ) x ( t t n ( ) ) ) z ( t ) + ；1 1 聩( ) m ( z ( t t ( ) ) ) 一p 0 ) + ( 21 ) 其中f ( zz y ) 为舻上的连续函数，且f ( t ，z ，) 关于t 为丁一周期函数；g i ( x ) ( i = 1 ，2 ，- ，m ) 为r 上的连续函数；t o ( t ) t 1 ( t ) 恐( ) ，q - r ，( ) ，崩( t ) 肫( ) ，崩。( ) 及v ( t ) 都是丁一周期的连续函数 我们利用m a w h i n 延拓定理给出( 21 ) 存在丁一周期解的三个充分性条件 同时，在周期解界的