（测试计量技术及仪器专业论文）混合傅立叶小波图像降噪及激光测速靶信号处理.pdf

中北大学学位论文 混合傅立叶一小波图像降噪及激光测速靶信号处理 摘要 在图像的采集和传输过程中，图像经常会被噪声所污染，因此在对图像进行使用或 进一步处理前，需要去除图像中的噪声。去除噪声的同时不可避免地会扭曲图像，图像 降噪实际上就是要在降低噪声水平和保留图像特征( 如图像中的边) 之间作权衡。基于 傅立叶变换的频域滤波法因为其简单而被经常使用。应用傅立叶变换进行滤波时，我们 假设图像的傅立叶变换系数主要集中在低频部分，应用低通滤波器将认为是噪声的高频 系数去除或收缩，便可以达到滤波的目的。理论上来讲，用变换域滤波法进行滤波时， 若只有少数的图像的变换域系数的幅值较大，而大部分的系数幅值都较小，几乎为零( 称 之为图像能在变换域中被稀疏表示) ，则滤波效果会好。但是图像能否在变换域中被稀 疏表示和图像的特征、变换的种类有关。由于现实世界的图像干差万别，没有一种变换 方法能对所有类型的图像进行稀疏表示。傅立叶变换能有效地稀疏表示图像中有一定变 化周期规律的纹理部分和变化平缓的部分，但是不能有效的表示图像中的突变部分，如 图像中的边。小波变换能稀疏表示包含尖锐变化部分的信号如图像中的边，但缺点是不 能有效表示图像中的纹理和缓慢变化的部分。因此，如果能有一种滤波算法将傅立叶变 换和小波变换组合起来，有可能获得比单独使用傅立叶变换或小波变换都要好的滤波效 果。本文提出一种混合傅立叶小波图像降噪方法：先在傅立叶域降噪，再在小波域降噪。 由于小波变换比傅立叶变换更适合处理图像这样的非平稳信号，因此在傅立叶域中的降 噪要保守一些，起的是辅助作用，以免使图像过分扭曲。实验结果表明，这种混合算法 能够取得比基于小波变换的图像降噪法好的降噪效果。 激光测速靶是一种区截测速装置，即根据子弹通过两个靶面的时间间隔和两个靶面 间的距离计算出子弹的平均速度。对激光测速靶的信号进行分析，准确计算出子弹穿过 靶面的时刻对提高测量精度有非常重要的意义。激光测速靶的信号分析是一种信号奇异 点位置检测问题。本文提出一种使用连续小波变换分析激光测速靶的信号的方法。该算 法从大尺度到小尺度沿着小波变换模极大线确定信号奇异点的位置，从而判断出子弹的 过靶时刻。由于在大尺度上噪声的小波变换系数的幅值比信号的小波变换系数的幅值 中北大学学位论文 小，该算法能有效抑制噪声的影响。实验结果表明应用小波分析激光靶的信号提高了测 量的精度和可靠性。 关键词：图像降噪，小波变换，傅立叶变换，贝叶斯估计，测速 中北大学学位论文 h y b r i df o u r i e r - w a v e l e ti m a g ed e n o i s i n ga n d s i g n a lp r o c e s s in go fl a s e rs c r e e nt a r g e ts y s t e m a b s t r a c t a u t h o r ：j i a n gs a n p i n g s u p e r v i s o r ：z h o uh a n c h a n g d u r i n gi m a g ea c q u i s i t i o na n dt r a n s m i s s i o n , d i g i t a li m a g e sa r ea l w a y sc o n t a m i n a t e db y n o i s e s oi ti sn e c e s s a r yt or e m o v en o i s eb e f o r et h ei m a g e sd a t ai su s e do ra n a l y z e & w h i l e n o i s ei ss u p p r e s s e d ，i m a g e sa r ea l s od i s t o r t e di n e v i t a b l y i nf a c t ，i m a g ed e n o i s i n gi sat r a d e - o f f b e 眦e nn o i s es u p p r e s s i o na n dt h ep r e s e r v a t i o no fa c t u a li m a g ed i s c o n t i n u i t i e ss u c ha se d g e s f r e q u e n c yd o m a i ni m a g ed e n o i s i n gm e t h o d sa r ep o p u l a r l yu s e db e c a u s eo fs i m p l i c i t y f r e q u e n c yd o m a i nf i l t e r i n ga s s u m et h a tf o u r i e rc o e f f i c i e n t so fo r i g i n a li m a g ea l em a i n l y c o n c e n t r a t e di nl o w e rf r e q u e n c y n o i s ei ss u p p r e s s e db yr e m o v et h eh i 曲e rf r e q u e n c y c o e f f i c i e n t sl l s i n gal o w p a s sf i l t e r t h e o r e t i c a l l y , i fo n l yf e wc o e f f i c i e n t so fi m a g e sa r e h i g h - m a g n i t u d ea n dm o s tc o e f f i c i e n t sa r ec l o s et oz e r o ( t h ei m a g ei ss p a r s e l yr e p r e s e n t e di n t h et r a n s f o r md o m a i n ) ，t h ep e r f o r m a n c eo ft r a n s f o r md o m a i nd e n o i s i n gm e t h o d sw o u l db e b e t t e r b u tt h es p a r s i t yo fr e p r e s e n t a t i o nd e p e n d so nb o t ht h et r a n s f o r ma n dt h eo r i g i n a l i m a g e sp r o p e r t y t h eg r e a tv a r i e t i e si nn a t u r a li m a g e sm a k e si m p o s s i b l ef o ra n y 缸e d t r a n s f o r mt oa c h i e v eg o o ds p a r s i t yf o ra l lc l a s so fi m a g e s f o re x a m p l e ，f o u r i e rt r a n s f o r mi s e f f e c t i v ei nr e p r e s e n t i n gt e x t u r e sa n ds m o o t ht r a n s i t i o n so fa l li m a g eb u tw o u l dp e r f o r m p o o r l yf o rs i n g u l a r i t i e ss u c ha si m a g ee d g e s t h es t r e n g t ho ft h ew a v e l e td o m a i ni st h a ti t s p a r s e l yr e p r e s e n t sc l a s s e so fs i g n a l sc o n t a i n i n gs i n g u l a r i t i e sa n ds h a r pt r a n s i t i o n s h o w e v o r , t h ew e a k n e s so ft h ew a v e l e td o m a i ni st h a ti ti sn o te f f e c t i v ei nr e p r e s e n t i n gt e x t u r e sa n d s m o o t ht r a n s i t i o n s s oad e n o i s i n ga l g o r i t h mc o m b i n i n gf o u r i e rt r a n s f o r ma n dw a v e l e t t r a n s f o r mc a ni n c r e a s et h ef i l t e r i n gp e r f o r m a n c e i nt h i sp a p e r , ah y b r i df o u r i e r - w a v e l e t d e n o i s i n gm e t h o di si n t r o d u c e d t h em a i ns t e p so ft h ep r o p o s e dm e t h o da l ea sf o l l o w s t h e 中北大学学位论文 n o i s yi m a g ei sd e n o i s e di nf o u r i e rd o m a i nf i r s t l ys ot h a tt h en o i s el e v e li sl o w e r e d t h e n s e c o n d l yt h er e m a i n i n gn o i s ei sr e m o v e di nw a v e l e td o m a i n b e c a u s ew a v e l e tt r a n s f o r mi s m o r es u i t a b l ef o ri m a g er e p r e s e n t a t i o nt h a nf o u r i e rt r a n s f o r m ，d e n o i s i n gi nf o u r i e rt r a n s f o r m s h o u l db e c o n s e r v a t i v es ot h a tt h eo r i g i n a li m a g ei sn o td i s t o r t e dg r e a t l y e x p e r i m e n t s d e m o n s t r a t et h a to u rp r o p o s e dm e t h o di ss u p e r i o rt ot h er e c e n t l yd e v e l o p e di m a g ed e n o i s i n g m e t h o d sb a s e do nw a v e l e tt r a n s f o r m l a s e rs c r e e nt a r g e ti sav e l o c i t ym e a s u r e m e n ts y s t e mf o rp r o j e c t e db u l l e t t h ea v e r a g e v e l o c i t yi sw o r k e do u tb a s e do nt h et i m ed u r i n gw h i c ht h eb u l l e tp a s s e st h r o u g ht w os c r e e n t a r g e t sa n dt h ed i s t a n c eb e t w e e nt h et w os c r e e nt a r g e t s i ti si m p o r t a n tt oe s t i m a t et h et i m ea t w h i c ht h eb u l l e tp a s s e st h r o u g ht h et a r g e tb ya n a l y z i n gt h es i g n a lo ft h et a r g e ts y s t e m t h e s i g n a la n a l y s i so fl a s e rs c r e e nt a r g e ts y s t e mi sap r o b l e mo fl o c a l i z a t i o no fs i n g u l a rp o i n t a n a l g o r i t h mf o rp r o c e s s i n gt h es i g n a lo ft h et a r g e ts y s t e mu s i n gw a v e l e ti si n t r o d u c e d s e a r c h i n g a l o n gw a v e l e tt r a n s f o r mm a x i m al i n e sf r o ml a r g es c a l et os m a l ls c a l et h es i n g u l a r i t yp o i n to f t h es i g n a li sd i s c r i m i n a t e d s ot h et i m ea tw h i c ht h eb u l l e tp a s s e st h r o u g ht h et a r g e ti s o b t a i n e d b e c a u s et h ea m p l i t u d eo fw a v e l e tc o e f f i c i e n t so fn o i s ei ss m a l l e rt h a nt h a to fs i g n a l ， t h ei n f l u e n c eo fn o i s ec a i lb ed e c r e a s e d e x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o wt h a tt h ep r o p o s e d a l g o r i t h mm a k e sm e a s u r e m e n tm o r ep r e c i s ea n dr e l i a b l e k e yw o r d s ：i m a g ed e n o i s i n g ，w a v e l e tt r a n s f o r m ，f o u r i e rt r a n s f o r m ，b a y e s i a ne s t i m a t i o n ， v e l o c i t ym e a s u r e m e n t 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含 其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人 承担。 论文作者签名：兰1 日期：丝兰主塑兰璺 关于学位论文使用权的说明 本人完全了解中北大学有关保管、使用学位论文的规定，其中包括： 学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印件；学校可 以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存学位论文；学校可允许学 位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为目的，复制赠送和交换学位 论文；学校可以公布学位论文的全部或部分内容( 保密学位论文在解密 后遵守此规定) 。 签 名：蔓三l 日期：堡星生旦3 三! 堕 导师签名：l 至壁 导师签名： l 主坚至 中北大学学位论文 1 1 研究的背景和意义 第1 章绪论 随着数字技术的发展，数字图像在人类生活和活动中开始扮演越来越重要的角色， 例如卫星电视、x 射线透视、天文观测、地理信息系统的开发等领域都要用到数字图像。 但是图像传感器采集到的图像数据经常会被噪声污染，因此在对图像进一步处理( 如三 维重建、模式识别、纹理分析等) 之前，经常要先对图像进行降噪处理。变换域降噪是 一类最常用的图像降噪方法，但变换域降噪要求图像能在变换域中被稀疏表示。不同的 变换方法对不同类型的图像的表示效率是不一样的。本文研究了一种综合使用傅立叶变 换和小波变换的降噪方法，达到比单独使用小波变换的降噪方法好的降噪效果。 子弹发射速度的测量对弹道研究有重要的意义，激光测速靶是一种非接触的测速装 置。激光测速靶的信号分析是检测瞬态信号奇异点位置的问题，本文提出一种使用连续 小波变换分析激光测速靶的信号的方法，用来提高速度测量的精度和稳定性。 1 2 主要的图像降噪技术及发展现状 数字图像中的噪声来源主要有两类：电子噪声和光电子噪声。电子噪声是阻性电子 器件中由于电子随机热运动而造成的。这类噪声可用零均值高斯白噪声作为其模型，它 具有一个高斯函数形状的直方图分布以及平坦的功率谱，可用它的方差来完全表征。光 电子噪声是由光电转换过程中光的统计性质( 每个图像元素接收到的光子数目是有限 的) 引起的。在弱光的情况下，这种噪声比较严重，此时常用具有泊松分布的随机变量 作为光电子噪声的模型。当光照较强时，这类噪声趋向于高斯分布n 1 。若没有特殊说明， 本文所指的噪声均为零均值高斯白噪声。 图像降噪是图像处理领域的一个经典问题，已经有数十年的研究历史。总的来讲， 图像降噪技术可分为两大类：空间域降噪和变换域降噪。空间域指图像平面本身，这类 方法直接对图像的像素进行处理。变换域降噪法是指将图像进行变换，在变换域中对图 中北大学学位论文 像的变换域系数进行处理，处理完后在进行逆变换，获得降噪后的图像。目前使用最多 的变换方法是傅立叶变换和小波变换。 1 2 1 空间域图像降噪 最简单的空间域图像降噪法就是均值滤波器1 。记观测到的含噪声的图像为 y ( f ) = z ( f ) + 刀( f ) 其中x 为原始图像，靠为噪声，i 表示像素位置。则均值滤波器的输出为 i ( 沪击荟y ( 七) 其中q ，是以f 为中心的局部邻域窗口，m 是窗口g 中的像素总数。 ( 1 2 ) 图1 1 双边带滤波示意图。( a ) 被白高斯噪声污染的阶跃图像，阶 跃幅度的灰度值为1 0 0 ，噪声的标准方差为1 0 ；( b ) 以图( a ) 中心 为中心的一个邻域对应的权重值e e 矿 ；( c ) 双边带降噪 匿罩唑e 丛监 后的图像。 ( c ) 均值滤波器在滤除噪声的同时，也去掉了图像的细节信息，把图像中的不连续的阶 跃变化平滑成缓慢变化，使图像变得模糊。 针对均值滤波器的这一缺陷，一些学者提出了改进的均值滤波方法口钉。其中最著 名的是文献 5 中提出的双边带滤波法( b i l a t e r a lf i l t e r i n g ) 。双边带滤波法自适应 2 中北大学学位论文 于图像的局部形状调整均值系数的权重。双边带滤波法的公式描述如下： ，一堡! 亡m j 1 ( 刮2 ) 2 南荟y ( 七弘吒一下 ( 1 3 ) 堕m 女) 1 ( 0 1 二 其中c ( i ) = p p 2 e h 2 起归一化作用，p 和h 是两个滤波参数。从上式可以看出， t e ( ! 如果某一1 像素的灰度值和窗口中心像素的灰度值差别太大，则它的权重就变小；离窗口 中心越近的像素，它的权重越大，离窗口中心越远的像素，它的权重越小。图1 1 画出 了一个双边带滤波的示意图。呵以看出，双边带滤波在降噪的同时较好地保留了图像中 的边。 图1 2 非局部平均滤波法的示意图。比较相似的像素的权重人，如w ( p ，q 1 1 利 w ( p ，q 2 ) ：差别人的像素的权重小，如w ( p ，q 3 ) 。 文献 6 中的非局部平均滤波法足近期提出的1 种改进的均值滤波法。非局部平均 滤波法的主要思想如下： 主( i ) = w ( j ) y ( j ) ( 1 4 ) e l 其中w ( j ) 是权重值，满足条件0 w ( ) 1 和( ) = 1 。和均值滤波法不同的足，非 ， 3 中北大学学位论文 局部平均滤波法不是在一个局部邻域窗口中计算均值，而是在整幅图像歹中计算均值， 因此称为非局部平均滤波法。权重w ( ) 和由灰度值组成的向量y ( n ，) 和y ( n ，) 之间的 相似程度有关( 如图1 2 所示) 。n 。表示以像素七为中心的局部邻域。两个向量之问的 相似程度用欧几里德距离眇( n ，) 一j ，( n ，) l | 2 衡量，权重按下式计算： i 一匦! ! e 丛兰正 w ( j f ) = 南p 矿， l5 其中c ( f ) 起归一化作用： ( 1 6 ) 非局部平均法颇受到人们的关注，例如文献 7 提出的算法就是在非局部平均法的 基础上发展来的，其滤波效果已经达到和滤波效果最好的小波域降噪法聃3 相近的程度。 最小化全变差法( t o t a lv a r i a t i o nm i n i m i z a t i o n ) 卧n 3 1 也是一类颇受关注的空间 域滤波法。最小化全变差法通过最小化以下代价函数来获得原始图像的估计 c ( 少) = 鹕哑n 形( 工) + 五护捌2 ( 1 7 ) 式中( z ) = i j ，( f ) 一石( 叫表示x 的全变差。最小化式( 1 7 ) 的问题的解存在且解唯 i 一嘲。式( 1 7 ) 中的参数名控制着解的平滑程度，若选得太小，则会平滑掉图像的细 节信息。 除了上述空域滤波法，基于偏微分方程( p d e ) 的图像降噪也是一类很重要的空域滤 波方法n 钔1 1 7 1 。这些基于p d e 的空域滤波方法对脉冲噪声有很强的抑制能力，但对于高斯 白噪声去噪效果一般。 1 2 2 频域图像降噪 用。 所谓频域降噪法就是基于傅立叶变换的降噪法。频域降噪法因为其简单而被广泛应 低通滤波器是最简单的频域滤波器。通常情况下，图像的能量大部分集中在幅度谱 4 中北大学学位论文 的低频和中频段，在较高频段，感兴趣的信息通常被噪声所淹没。低通滤波器通过降低 高频成分的幅度来减弱噪声的影响。 频域的维纳滤波器是一种最小均方误差滤波器，它的表达式如下： 聃龋凇) ( 1 8 ) 式中i x ( ) 是不含噪声图像的功率谱，是零均值高斯白噪声的方差，】，( 缈) 是含噪 声图像的傅立叶变换，x ( 缈) 是降噪后图像的傅立叶变换。图像是非平稳信号，要估计 它的功率谱比较困难，这限制了维纳滤波器的应用。 基于傅立叶变换的降噪法要求图像是平稳信号，这与实际图像不相符合。图像中经 常包含大量不连续的突变部分，因此应用傅立叶变换的降噪效果一般不能令人满意。最 近，频域滤波又开始受到关注。虽然傅立叶变换不能处理平稳信号，但局部傅立叶变换 能够克服这一缺陷。例如，f o i 提出一种逐点自适应离散余弦降噪法“刚。该方法在每一 点寻找一个局部区域，然后对这一区域进行自适应离散余弦变换n 蜘吖2 1 | ，再用阈值降噪 法降噪，取得很好的降噪效果。 d a b o v 等提出一种三维变换滤波法心引。该方法将比较相近的小块图像排列起来，组 成一组三维数据( 如图1 3 所示) ，对这些三维数据进行三维离散傅立叶变换，将变换 系数作阈值处理后再进行三维离散傅立叶逆变换，获得降噪后的图像。根据文献 2 2 提供的实验数据，该方法的降噪效果超过了基于小波变换的最好的降噪算法喃3 。 图1 3 三维变换滤波法中，将相似的块组成一组三维数据。 5 参 参 多参 中北大学学位论文 1 2 3 基于小波变换的图像降噪算法 自从1 8 2 2 年傅立叶( f o u r i e r ) 发表“热传导解析理论疗以来，傅立叶变换一直是 信号处理领域中应用最广泛的一种分析手段。但傅立叶变换只是一种纯频域的分析方 法，它在频域的定位性是完全准确的，而在时域无任何分辨能力，也就是说傅立叶变换 所反映的是整个信号全部时间下的整体频域特征，而不能提供任何局部时间段上的频率 信息。相反，当一个函数用6 函数展开时，它在时间域的定位性是完全准确的，而在频 域无任何分辨能力，也就是说6 函数分析所反映的只是信号在全部频率域上的整体时域 特征，而不能提供任何频率段所对应的时间信息。实际中，对于一些常见的非平稳信号， 如音乐信号，在不同的时间演奏不同的音符；语言信号，在不同的时间对应不同的音节； 二维图像，经常包含大量不连续的突变部分等，它们的频域特性都随时间( 对二维图像 是位置) 而变化。对于这一类信号进行分析，通常需要提取某一时间段的频域信息或某 一频率段所对应的时间信息。因此，寻求一种介于傅立叶分析和6 分析之间的，并具有 一定的时间和频率分辨能力的基函数来分析非平稳信号，一直是信号处理领域需要解决 的一个问题。 1 9 8 1 年，法国地理物理学家m o r l e t 在分析地质探测数据时基于群论首先提出了小 波分析这一概念。随后他和法国物理学家g r o s s m a n n 开始一起共同研究小波理论，发展 了连续小波变换的理论体系。这一理论是傅立叶分析划时代的发展结果。正如三角函数 是傅立叶分析的基本组成单元，小波函数是小波分析的基本组成单元。但是，小波函数 具有紧支撑特性，这使得小波分析具有处理非平稳信号的能力。1 9 8 5 年，m e y e r 、 g r o s s m a n n 、d a u b e c h i e s 等人共同研究，得到了一组离散小波基( 称为小波框架) 。1 9 8 6 年，m e y e r 在证明不可能存在时域和频域都具有一定正则性的正交小波基时，意外发现 了具有一定光滑性和衰减性的规范正交小波基，从而证明了确实存在正交小波基。1 9 8 8 年，d a u b e c h i e s 提出了具有紧支集的正交基u - d a u b e c h i e s 基侧。后来，m a l l a t 将计 算机视觉领域内的多尺度分析思想引入到小波分析中，提出了多分辨率分析的概念，统 一了在此之前的所有具体正交小波基的构造，并提出了相应的分解和重构快速算法 醢钉啪1 。这是小波理论突破性的研究成果。m a l l a t 快速算法的提出促进了小波理论的应 6 中北大学学位论文 用发展。 w e a v e r 等最早将小波变换用于图像降噪涵1 。w e a v e r 等所用的算法是一种简单的阈 值降噪法。所谓阈值滤波就是把小波系数的幅值同一个阈值进行比较，若小波系数的幅 值比这个阈值小，则把小波系数置为0 ；若小波系数的幅值比这个阈值大，则把小波系 数保留下来或进行修改后保留下来。随后d o n o h o 等对小波阈值滤波算法作了系统阐述 c z z - c a ，成为小波滤波方法的一个具有里程碑意义的研究成果。 d o n o h o 等在文献 2 7 中提出的阈值滤波法采用的是统一阈值( u n i v e r s a l t h r e s h o l d ) 。统一阈值的动机是要去掉所有的幅值可能大于噪声小波系数最大幅值的小 波系数，阈值选得过大，因此滤波后的图像过于平滑。d o n o h o 等还提出一种s u r e 阈值 晒1 。s u r e 阈值是在s u r e ( s t e i n su n b i a s e dr i s ke s t i m a t o r ) 准则下得到的阈值，和 统一阈值相比，s u r e 阈值能够较好地保留图像中的不连续部分，但也把过多的噪声保 留下来。 采用c r o s sv a l i d a t i o n 准则选取阈值沏1 是n a s o n 提出的。采用c r o s sv a l i d a t i o n 准则能得到一个接近最优的阂值，而且不需要知道噪声的方差，但这种方法要重复多次 小波变换和逆变换，计算量较大。 小波基的选择对降噪的效果影响也很大。现实世界的图像干差万别，对不同的图像， 使降噪效果达到最优的小波基是不同的，因此选择最优小波基是很困难的。n a s o n 等提 出采用c r o s sv a l i d a t i o n 准则选择小波基以及最优的小波分解层数口，但同样有计算 量大的缺点。 除了阈值降噪法外，研究最多的是基于贝叶斯估计理论的降噪算法恤卜m 1 ，该类算 法通过最小化贝叶斯估计风险来获的小波系数最优估计。影响该类算法降噪效果的最主 要因素就是要为小波系数选择一个准确的先验概率分布模型，但同时为了顾及问题的可 解性，概率分布模型不能太复杂。总的来讲，图像的小波变换系数的概率分布具有以下 几个特点： ( 1 ) 稀疏性：即大部分小波系数的幅值接近于零，只有少数小波系数的幅值较大。 反映在概率分布密度函数上，就是要求概率分布密度函数在0 处有一个尖的峰值，而在 幅值较大的地方有长长的拖尾。 ( 2 ) 传播性：若一个小波系数的幅值较大，则在下一个比较精细的尺度上同一位 7 中北大学学位论文 置的小波系数的幅值也趋向于较大。称这一特性为父系数和子系数之间的相关性。 ( 3 ) 聚集性：若一个小波系数的幅值较大，则它周围的小波系数的幅值也趋向于 较大。 ( 4 ) 方向性：这一点是针对二维小波变换而言的，即在每一个子带中，小波系数 在不同的方向上具有一定的相关性。 先验概率分布模型要能反映小波系数的以上几个特点，但为了使问题简化，往往不 能将以上几个特点都考虑进来。 n a l l a t 最早提出用广义高斯模型( g e n e r a l i z e dg a u s s i a nd i s t r i b u t i o n ，简记为 g g d ) 描述小波系数的稀疏性。后来c h i p m a n 又提出一种高斯混合模型( g a u s s i a n m i x t u r e ) 描述小波系数的稀疏性嘞3 。高斯混合模型不如广义高斯模型准确，但比广义 高斯模型简单。这两种模型都假设小波系数是相互独立的随机变量，只考虑了小波系数 的稀疏性，而没有考虑小波系数之间的相关性，是一种边缘分布模型。 c r o u s e 等在高斯混合模型的基础上提出了一种隐马尔科夫树模型( h i d d e nm a r k o v t r e e s ，简记为h m t ) 用于一维信号滤波嘲，后来r o m b e r g 等将此模型用到图像降噪m 1 。 隐马尔科夫树模型考虑了层间小波系数的相关性，是一种联合分布模型。使用h m t 降噪 的缺点是计算量较大。为了克服这一缺点，r o m b e r g 等又提出了一种简化的嗍模型， 称之为i lh m t 模型嘲。 m i 吣a k 等提出的算法啪1 是一种非常简单却很有效的算法。该算法采用的统计分布 模型不同于前面提到的统计模型，它假设相邻的小波系数是方差相等的相互独立的高斯 随机变量。该算法一共分两步：首先在一个局部窗口内估计小波系数的方差；然后用估 计来的方差作维纳滤波。该算法的计算量很小，但获得的降噪效果却很好。 s e n d u r 提出的双参数收缩法( b i v a r i a t es h r i n k a g e ) 也是一种简单有效的算法1 。 双参数收缩法的思想是把广义高斯分布模型扩展成二维形式，来描述相邻尺度间父小波 系数和子小波系数之间的关系，然后用最大后验概率估计获得小波系数的估计值。估计 的结果不仅与当前的小波系数有关，而且还与对应的父系数有关。后来s e n d u r 通过一个 局部窗口估计小波系数的方差，把相邻小波系数的相关性也考虑进来啪1 。为了使双参数 收缩法有解析解，双参数收缩法中的二维联合概率密度分布选了一些特定的参数，这限 制了双参数收缩法的降噪效果。 8 中北大学学位论文 以上算法都没有考虑不同方向上相邻小波系数间的不同的相关性，p l s h u i 在文 献 3 6 的算法的基础上，通过将估计小波系数方差的局部方形窗口改成具有方向性的椭 圆形窗口将小波系数的方向性考虑进来嘲1 。 p o r t i l l a 等提出用g a u s s i a ns c a l em i x t u r e ( g s m ) 模型描述小波系数的统计特性 呻儿引。g s m 模型把局部窗口内的小波系数看作一个高斯随机向量，该随机向量的协方差阵 反映了小波系数间的相关性。g s m 模型是目前描述小波变换系数最精确的一种模型，这 种模型考虑了小波系数的所有四种统计特性：稀疏性、传播性、聚集性和方向性。文献 8 中的b l s - g s m 降噪算法的降噪效果也是目前降噪效果最好的一种算法。 以上基于贝叶斯估计理论的降噪方法都要用一个统计模型描述图像小波系数的先 验联合概率分布，为了得到先验概率分布的参数，往往要作大量的统计运算。l u i s i e r 等提出的降噪方法呻1 没有把小波系数看作随机变量，直接把降噪过程看作是一个小波系 数的加权和，通过s u r e 估计( s t e i n su n b i a s e dr i s ke s t i m a t e ) 获得近似最优的小波 系数的权值。其降噪效果和b l s - g s m 相当，而且运算量很小。 1 2 3 其它图像降噪方法 每一种数学工具的出现都会吸引人们去试图利用它解决各自感兴趣的问题。分形数 学出现后被成功地用在图像压缩技术中。受分形压缩技术的启发，g h a z e l 等在文献 6 3 6 4 中探讨了如何利用分形数学进行图像降噪。 近几年，一种称为独立分量分析( i n d e p e n d e n tc o m p o n e n ta n a l y s i s ，简记为i c a ) 的新方法引起了人们的广泛关注。h y v 聂r i n e n 在文献 6 5 中讨论了利用i c a 技术进行图 像降噪。i c a 图像降噪实际上也属于变换域降噪，但和其它变换方法不同，这种变换是 自适应于数据的。i c a 技术的缺点是因为使用滑动窗口，计算量较大，还有它需要不含 噪声的训练数据，在有些情况下这是不可能的。 1 3s a r 图像的相干斑点噪声抑制 合成孔径雷达s a r ( s y n t h e t ica p e r t u r er a d a r ) 是一种具有全天时，全天候工作优 9 中北大学学位论文 点的高分辨率微波成像雷达，被广泛应用于军事和民用领域口4 1 。由于s a r 的相干成像特 点，造成图像不可避免的含有斑点噪声，这大大降低了s a r 图像的质量。因此有必要对 s a r 图像的相干斑点噪声抑制的方法进行研究。 对s a r 图像的相干噪声抑制技术，国内外的研究已经非常广泛而深入。目前常用的 方法有：均值滤波、中值滤波、k u a n 滤波器、l e e 滤波器、f r o s t 滤波器等口4 1 。后来有 学者开始研究应用小波变换抑制s a r 图像的相干噪声。s a r 图像的相干噪声是乘性噪声， 而基于小波变换的图像降噪方法都是用来处理加性噪声的，因此在应用小波变换抑制 s a r 图像的相干斑点噪声前，要先对图像进行对数变换将乘性噪声变为加性噪声嘲。 1 4 基于小波变换的激光测速靶信号分析 激光测速靶是一种区截测速装置，即根据子弹通过两个靶面的时间间隔和两个靶面 间的距离计算出子弹的平均速度。 激光靶的靶面是用半导体激光器产生的。半导体激光器发出的激光束经圆柱透镜后 发散成一个很薄的扇形光幕，然后经弧面反射镜反射汇聚到一点。将光敏器件安装到这 一点上，当子弹穿过扇形光幕时便会接收到一个信号。子弹穿过靶面的时刻由这个信号 来判断。由此可见，对激光测速靶的信号进行分析，准确计算出子弹穿过靶面的时刻对 提高测量精度有非常重要的意义。激光测速靶的信号分析是检测瞬态信号奇异点位置的 问题，本文提出一种使用连续小波变换分析激光测速靶的信号的方法。 1 5 论文研究的内容 用变换域滤波法进行滤波时，若图像能在变换域中被稀疏表示，则滤波效果会好。 但是图像能否在变换域中被稀疏表示和图像的特征、变换的种类有关。由于现实世界的 图像干差万别，没有一种变换方法能对所有类型的图像进行稀疏表示。例如，傅立叶变 换能有效地稀疏表示图像中有一定变化周期规律的纹理部分和变化平缓的部分，但是不 能有效的表示图像中的突变部分，如图像中的边。小波变换能稀疏表示包含尖锐变化部 分的信号，但缺点是不能有效表示图像中的纹理和缓慢变化的部分。因此，如果能有一 1 0 中北大学学位论文 种滤波算法将傅立叶变换和小波变换组合起来，有可能获得比单独使用傅立叶变换或小 波变换都要好的滤波效果。本文提出一种混合傅立叶小波图像降噪方法，该方法的主要 步骤如下： 1 ) 在傅立叶域中保守地降噪，以便使噪声的水平降低而又不过分扭曲原始图像。 2 ) 在小波域中去除剩余的噪声。 第二步在小波域中要滤除的噪声是有色噪声，处理上比白噪声的情况要复杂。 应用激光测速靶测速时子弹过靶时刻的判断对速度测量的精度影响很大。若简单地 将信号变化幅度最大的点作为子弹的过靶时刻，则由于噪声的影响容易产生较大的误 差。本文提出一种应用小波变换分析激光靶过靶信号的算法，该算法从大尺度到小尺度 沿着小波变换模极大线确定信号奇异点的位置，从而判断出子弹的过靶时刻。由于在大 尺度上噪声的小波变换系数的幅值比信号的小波变换系数的幅值小，该算法能有效抑制 噪声的影响。 本论文的结构大致如下： 第二章介绍小波变换的基本理论的基础知识。第一节介绍小波变换的基本概念及连 续小波变换。第二节介绍离散小波变换，包括小波框架及正交小波变换，重点介绍离散 正交小波变换及其快速算法。 第三章介绍应用小波变换进行图像降噪的基础理论和方法。第一节至第四节介绍图 像降噪的几个基本问题，包括白噪声的小波变换，如何用小波变换估计噪声的方差，如 何评估降噪算法的降噪效果，及小波图像降噪的理想滤波器。第五节介绍小波阈值滤波 法的基本原理和存在的一些问题。第六节介绍贝叶斯估计的基本理论及基于贝叶斯估计 的小波图像降噪算法。 第四章介绍混合傅立叶- 1 1 波图像降噪算法。第一节从理论上分析了变换域降噪中 降噪效果和变换域系数稀疏性间的关系。第二节介绍傅立叶变换和小波变换对不同类型 的图像的表示效率。第三节提出一种混合傅立叶一小波图像降噪算法。第四节和第五节 分别是两种改进后的傅立叶一小波降噪算法。 第五章介绍混合傅立叶一小波图像降噪算法在s a r 图像相干斑噪声抑制中的推广应 中北大学学位论文 用。 第六章介绍应用小波变换分析激光靶过靶信号的算法。 第七章是对本文的总结以及对以后工作的一些建议。 1 2 中北大学学位论文 2 1 小波变换概述 第2 章小波变换 本章介绍一些小波变换的基本概念。这一章的内容能够在一些关于小波变换的经典 著作呻盯1 中找到。 2 1 1 小波变换的一些概念 小波是一个在局部区域内波动的函数，因此称为小波。小波分析的核心思想是按照 尺度来分析信号：将小波伸缩和平移，然后研究信号和小波之间的相关性。这就好象从 不同的距离观察一个物体，信号和伸展后的( 称之为大尺度) 小波的相关性揭示的是信 号的粗略特征，信号和收缩后的( 称之为小尺度) 小波的相关性揭示的是信号的精细特 征。因此用小波分析信号可以说是即见树木又见森林。 设x 为一个实变量，若函数矽g ) 是一个均值为零，即满足y g 皿= o 的波动函 数，且是y g ) 紧支撑的( 即只在一个局部区域内有定义，在这个区域外趋于零) ，则函 数y 称为一个母小波。将函数少伸缩和平移获得一个小波族 ；c ，。g ) j ： 阱万1 缈( 孚) ，删m r ( 2 2 1 ) 式中，a 为尺度，6 为位移。为了方便取母小波沙g ) 是以x = o 为中心的单位能量函数， 即i 陟g = 1 。若小波满足： j 缈b = o ，o k i 工2 伸缩和平移后得到的几个小波函数。此母小 波是高斯函数的二次导数，被称为墨西哥草帽( m e x i c a nh a t ) 。 1 3 中北大学学位论文 2 1 2 连续小波变换 图2 1 母小波墨西哥草帽伸缩和平移后得到的几个函数 空间r ( r ) 中的函数厂g ) 的连续小波变换( c o n t i n u ew a v e l e tt r a n s f o r m ，简记为 c w t ) 定义为： 町) = 去外砂宰( 孚) 出= ( 加口j ) & 3 ) 式中 6 ，g ) 为函数5 f ，g ) 的复共轭函数，孵( 口，6 ) 称为小波系数。若函数y g ) 满足：， 妒如】2 i 婶彩= q 佃 ( 2 4 ) 则称小波函数y g ) 满足可容许条件。式( 2 4 ) 中汐0 ) 是y g ) 的傅立叶变换。式( 2 4 ) 衾明矿0 ) ：0 ，因此眇g ) 可以看作是一个带通滤波器的单位脉冲响应。若小波满足可容 许条件，则连续小波变换的逆变换存在： 厂g ) = ( g ，6 砂如( x ) a , d b i 口2 ) 巳 ( 2 5 ) 为了节省存储容量和减小计算量，经常使尺度口= 2 ，i 闻，相应的小波变换哆( 2 ，b ) 称为二进小波变换。当然，二进小波变换存在逆变换的条件比式( 2 4 ) 的可容许条件 要严格，详细内容可以参考文献6 6 卜6 8 1 。 1 4 中北大学学位论文 2 2 离散小波变换 由连续小波变换的定义可知，在