（基础数学专业论文）有关smash积和smash余积的若干研究.pdf

摘要 在本文中我j j 饕先弓 入了w s m 威余裾懿定义戳及下溪讨论孛要弼裂游褪荧定义稻 定攥，接装邋过粤l 入疗一衾交换余代数的概念，褥到了渺一s 越a 盎余弦余模范畴是m 。i d 采 菠畴懿充分条彳孛稻渺一s m 8 8 h 余积余模范酶是辫子| o 藏o i d 艟范畴酶充赘条件，毪鄂下掰 豹缝暴： 定璎l 设( 甄盯) 箍辫亿董 o p f 代数，q 矿渊嚣为彬一s m a s h 余积若洚盯一 余突换余代数，藏黠饪熬熬e g 是蜀满足条件睨毳 = 碍镌圆，剜 ( 沏”封朋，强g ，g 零，j ，r ) 燕m o n o i d a l 范畴 定瑷2 设( 撼d ) 楚辫纯瓣神f 代数，g f 籍为渺一s m a 8 h 余粳若e 为矿一 余交换余代数，盛对任意豹c e ，矗搿，满足条件啊危圆= w 诜 ，则 ( 锄螂朋，翻g ，z 7 ，零”1 ) 燕辫子m o n o i d 蔚范潞，巍簦仗当尊一1 ( 彩q ) 、 科_ j ) 盯( 吼，n ( 。) ( 一1 ) 佗 o ) ( o 竹* 一1 ) ，护 o ) 盏仃一1 ( 竹( - ，m o ( 一1 ) 盯1 ( 礼( o ) ( 一”，吼) n ( o ) ( o m 一1 ) m o 。) 成立 其次，我们介绍了有关扭曲s m a s h 积的定义和相关定理，证明了搬曲s m a s h 积的 m a s c h k e 定壤和掇髓s m a s h 积的对偶定理，郛以下结果； 定理3 设日是有限维的毕单h o p f 代数，a 是一个一双模代数且使得条件 ( 聪一s ( ) ) s 如一如一s ( 兢) ) o 是l 成立，驴是一个a t 嚣模。妇聚y 撵必奠一 摸魑完全可约的( 投射的) ，那么v 停为4 盯一模也是完全可约的( 投射的) ， 定瑾4 设矗是域是上余突换熟鞭o p f 代数，骞双射数站壤s ，f 是露。黪一个子 h o p f 代数也有双射的对极，a 是一个u 一局部有限的好一双模代数那么 ( a 灯) 睾a 圆( 社矿) 美键调；辫织珏。掰代数，辫予魏。致。避a l 范蹲，嚣一双穰代数，掇魏s m a s h 积代数，移 趱鄙有限瓣+ a b s t r a c t l 珏烛i sp 8 p e ，w e 触s ti 贰d 毽c es o m ec o 辩c 蹭b 珏s 幽。贰彬一辍l 嬲h p r o d 硅鹋躐娃 转o m er 啦e 疆d e 蠡垃i i o n sa i 蕊掘e 觎e m sw 敦沁hw i l l 董) eu s e d 浊镰l e 掣l e l n 国 ，w ei n 毛r o d u c e t h ed e 蠡珏攮。珏西盯一e o o 瓣搬诖t 8 圭i v e 越g e b r 鑫，黼dt k 珏洳t 蔽珏臻e8 u 蠡e i e n te 醴d i 乇奶nf o r 帮一8 m 黼量l p r | 。d l 王c t 糯o d u 王ec 8 t e g o r yt o 糙am o n o i d 蕊c a 乇e g o r y 柚dt h en e e e s s a r ya n d s 疆爨e i 髓te d 斑蹴勤r 渺一s m 8 s h p r o d 弛c o m o d u 艳t e g o r yt ob ea _ b r a i d e dm o 谴a i 程由e g o r y t h 毹i s ： t h 格o r e m 王l e t ( 籍，拶) b eab r 越d e d 壬| o p f 毹g e b r a ，c 拓渊村b ea 彬一s m a 8 h 静 p r o d u c t l e tg b ea 秽一c o c o m m u t a t i v ec o a l g e b m ，a n df o ra hc e ， 日8 u c l lt h a t 甄矗圆= ，t h e n p 潮州，口c ，g 眠，r 7 ) i sa m 蝴o i d 啦酞e 琴。骈 t h e o r e m2l e t ( 灯，疗) b eab r a j d e dh o p fa l g e b r8 _ ，c w 嘲b eaw 一8 m a s hc m w o d u c t l e tgb ea 拶一c o c o m n m t8 t ：c o 础；e b r a ，a n df o ra l lc e ，恕詹s u c ht h 融 w 1 九固= ow c ，t h e n ( g ”h 朋，口g ，g e f ，皿一1 ) i 8ab r a i d e dm o n o i d 出 c a t 毽g o r 弘i f 洳do n 玲i f t h ee q u a t i o n 盯1 ( 礼( 一，m o ( 一1 ) 巧( 心，砧( o ) 卜1 ) 乳 o ) o 飞m 一1 ) m o ( 0 ) = 拶1 一，m o ( 一1 ) 盯一1 ( n ( o ) ( 一1 1 ，w 1 ) 忆( o ) ( o 固气m 一1 ) m o ( o ) i sr i g h t + n e x t ，w ed e 蠡n es o m ec o n e e p t i o n s8 n d 呶e o r i e sa b o u tt w i s t e d8 m 8 8 hp 羚d u e t 疑赶dt h e 鞋 0 b t a i nt h em a s c h k e m t y p et h e o r e mf o rt w i s t e ds m a s hp r o d u c ta n dt h ed u 8 l “yt h e o r e mf o r t w i 8 t e d 黼8 s hp r o 出j 蕊a l g e b r a s ，魄贰i s ： t h e o r e m3l e t b ea 最n 虬e _ d i m e l l s i o n a ls e m i s i m p kh o p fa l g e k 毡，l e t 砖b ea 矬 露一b i m 。d 也8 埯e b 鼢嬲礁如a 融一8 是1 ) ) 圆如= 汹一s ( 地) ) 8 毳l ，a 珏dl e 毛矿b e 姚d 辩一h l o d u l e 。i fvi sc o m p l e t e 坶r e d u e i b k ( p r 0 3 e c t 量、呜髓凝a 一诎o d h l e ，攮姚矿趋 撼p 斌电r 穗醢畦b 王e ( p r 崃娥i v e ) 8 s 雌蠢辩一珏擀d 毽i e 。 t h e o 黼m4l 髓日b e 氇c o c 咣n 瓣】t 龋i 王。疼堪g e k a r 露w 捷圭lb 瓣e e 毫主v ea 珏乇i p o 魏 斌ub ea 薹差。西8 u b 赫g b 毡o 嚣张w i 疆b i j 哦i v ea 啭i p o 豳，a n di e t 矗b ea n 符曲i m o d u l e h 越g e b r 8w h i c 圭l 扭一圭o e 奎l y 鑫珏挂e 刁隐e 珏 ( a 日) 移v = a ( 日孝驴) k e yw o r d s ：b r m d e dh o p fa l g e b r a ，b r a i d e dm o n o i d a lc a t e g o r h 日一b i m o d u l ea l g e b r a ， t w i s t 赢s 黼8 s 圭lp r o d u c t 越g e b 阮，扩一l o e 越i y 壬i n i t e i i i 第一章引言 在本牵中，我 f j 善先对珏o p f 代羧及其裙关作溺的背景知识，发展过程加以简荦遣介 缀其次，阐述卒文孛主要闻瑟豹掇遗遵程。 差。王薹黏婶代数鑫卺背景翔识 1 9 4 l 举h o 避梅研究上同谎对拇造了髓有代数缨梅叉露余捩数终镩懿掇念，送一摄念 同期也出现于k a e 及其同事所作的群对偶的文章中直到1 9 6 5 年，m i l n o r 与m 0 0 r e 在 f l 】将上述援念纛式器为珏。簿代数，他l 】黪这籀拜按性懿文章给珏。鲑代数瓣霹究夔定了 蔗础自此，h o p f 代数引起了数学家们的广泛霆视，并且驭碍了事硬戚暴特别是近二 卡冬来，烹凝是鬃予群蛇兴起，k a 稿a 璐姆蔡些耩懋强憋簸凌熬决，戳及蘸硪代数诈臻 理论的发展使之成为一门掰的科学体系。h 0 p f 代数广泛应用于各个领域，妇被佟为工共 寒磷究域惫上鳃i e 代数，辫为一鉴代数凡鳄王佟者需要拳l 耀在室鬻上佟蓿鹃环躐者筏数 来定义足键空蜒( 蠢时程通常的意义上势# 疑空耀) ，魇淡窀农广泛波霆予代数咒傍中。穴 十警找，黎苏联鹈理学家蛰娃n 受涟深藉魏攒示了量子群，壬差o p f 代数及爨予y a n 哥b a 蕊e r 方糕瓣关系塞j l ：鬃予群帮珏o p f 找数) 成炎数学繁耪物理学家十分感必怒麓研究领域。 壬o p f 代羧懿发溪经掰了五个阶段： i 珏t e 豁鑫l 黎瓣销c l k e 定疆麓发瓒是第一个阶段；毛a g r 龇l g e 定壤翡证瑟蔻第二个阶段； i | 0 西代数静作掰鹃研究楚第三个阶段，这个领域的激要缩采觅文献| _ 3 】 而且m o n t g o m e r y 帮b l 贰t n e r 涯嚼了辩锅是瑾；量子群酶研究是第疆输段，蟹子群和羧三角弑o p f 代数是一 致的；辫子h o p f 代数的研究和有限维h o p f 代数的分类怒h 0 p f 代数发展的第五阶段，越 辩称在秘毽学察数学中都有着广泛的应掰，超代数鞠超瓢o p f 代数自然也是非常踅簧的。 1 9 8 6 年j o y a l 矛甜s t r e e t 引入辫子m o n o i d a l 范畴，其定义见 4 1 在h o p f 代数中，辫 予m o n o i d a l 范酶是一个霪簧内容，它在跫予群，低维拓扑，三缳滚形，辫联论，撼结璞 论，量子y a n g b 瓤t e r 方程及场论等领域都有许多重要的应用，辫子m o n o i d a l 范畴的 一个重要背疑是豳f 钮d v ，戳s h c t i k i n 及黜h t a j 粕等 弩遗秘h o 蜮代数上酶表示蔻畴，受 文献【5 】 第一章孳i 袁 h o p f 代数日在代数a 上的佟甩的礤究缀早藏已经出现了h o 躜代数与一般群不 同，它作用在张蹙积上，并弱于一般的群，其变换不完全可逆在辩论中，有限群的作用 占裔很黧要的地位两谯搬) p f 代数理论申，作用与余传恩郯模与余模毒学夔要避德。蠢 荚h o p f 代数及其作用与余作用的详细内餐见 3 ，6 ，7 】 1 2 问题的提出 珏。缚代数孛有与群静串奁积稽獒钕静概念，帮s m a s h 秘它国h e y n e m 粕和s 啪e d k 两入曾次撼高，请参觅文献阱1 9 7 7 年，m o l n a r 在f 9 申给出了s m a 8 h 积的对偶概念 s m 赶s h 余秘，弱耩雩粥画了8 m 镐h 积和s 姐l a 8 h 余裰的一夔像质，自鲍它们成为h o p f 代数 理论中的两个重要概念随后，王徐宏和李金其在文献【1 0 中给出了扭曲s m a 8 h 积和掇 滴s m a s h 余积静褫念蕉戴，对缀髓s m a 8 h 积酾研究也有了许多，见文献f l l ，1 2 1 ，同时 正梭宏程文献【1 3 】中给出了扭曲s m 踮h 积成为辫子m o n o i d a l 范畴的充分必要条件，而 蔚娥玲在文献 1 4 l 书讨论了扭藏s m 鹪h 余积成为辫子m o n o i d 文熬畴的充薹 必隳条件， 受到这种思想的启发，我们来讨论文献【15 】中w s m a s h 余积成为辫子m o n o i d a l 范畴的 宽分必要条件 直以来，m 躺c h k e 寇理是h o p f 代数中一个很重要的定理，c o h e n 朔f i 8 h m a 农 文献f 1 6 】中证暖了8 m 砒积的艇鹅h k e 定理； b l 瓣t n 嚣，a o h e 骐籁艇。撼g o 融e r y 程文献 17 】证明了交叉积的m a 8 c h k e 定理等等，受到启发我们将诚明摁睦s m 8 s h 积鲍m 牺c h k e 定瑷 文献 3 l ， 18 】- 2 2 】都对辩偶定理在不月敬条l 牛下，从不阕黪是度，愚不阉的方法绘出 了诞醒，网瓣b l 就搬簦秘o n t g o m e r y 在文藏f 2 翟孛迸疆了帮模钱数豹对偶寇理， k o p p i n e n 张文献【2 4 】中涯魄了交叉积珏。掰代数憋对偶定爨，受到链烬粒襄发我髓将谖 鼹慈鼗s 辍8 媳积瓣瓣疆态遴。 2 第二章w s m a s h 余积的辫子m o n o i d a l 范畴 2 1 预备知识 本文的研究内容涉及w s m h 余积余代数，下面我们将介绍与此相关的预备知识 在本文中如无特殊说明。我们一律用表示一个确定的域所有的代数和余代数及 线性空间都定义在 上，用无下标的。代替o 对于域b 上的驭代数日，它的乘法，单 位，余乘，余单位分别记为：m 月，船，h ，e h ，我们将沿用文献【3 】和【2 5 中的记法，并 将h 中的余乘简记为：日一日oh ，( 哟= 1oh 2 ，v h h ；其次我们用日m 和 8 m 分别表示左耳一模范畴和左 卜余模范畴 首先我们来回顾一些一s m a s h 余积余代数的概念和定理 设g 和d 是域女上的余代数，考虑一个一线性映射： w ：e d d 圆g ， ( c 。d ) = 圆 设c h 闻d 作为一个域上的向量空间是g o d ，其余乘是 c * 阳d = ( 而圆w 。圆如) ( c 园d ) ， 或者 c 抽一( c d ) = ( c - d t ) ) ( 气c 2 ) d 。) 定义2 1 1 ( 见【l5 1 ) 如果上述定义的余乘是余结合的，并且余单位映射是c 。口( c 阳 d ) = s c ( c k p ( d ) ，则g v 上) 称作一个s m a s h 余积 例子2 1 2 ( 1 ) 设w = 丁。d ：g o d d 固g 是通常的扭曲映射那么西，w d 就 是张量积余代数 ( 2 ) 设h 是双代数，c 是一个右一模余代数，d 足一个右h 一余模余代数，其 余作用是肋：d _ d 日，助( d ) = d 圆d d 固h 设 ：c d 1 d 。e ，扣固d ) = d t 。 圆cd c l 那么c bp 日口= g w d 正是m o 】n ”所定义的s m h 余积f 9 1 那么e w i d = g 闻d 正尾m o 】n 所定义的s m h 余积f 9 1 3 第二章 矿一s m 箍s h 余糕髂辫子m o n o i d 奎范畴 4 ( 3 ) 如果c 和。是有隈维鹣，那么w + ：驴s 一a 9 d 4 ，又( g 圆功+ 望9 0 扩。 我们有代数同构 ( ( 麓硼o ) 4 兰0 毒d “， 定义2 1 3 ( 见 1 5 】) 设g 髑p 是域枣上的众代数，对予一个一线蛙映射彤： 9 9 d 一拶 g 渺嚣必爨左余纛鬣妻冬，瓣聚 五e )( 而固。) ；矿( c 固一s d ( e ) 矗， ( 2 1 ) 其中c e ，d d 彬称魏是右余正规懿，如采 ( r g )( g dq 如) i 矿( cqd ) 一d 固e ，( 2 2 ) 其审e g ，矗移 称秀是余瑟筑妻孽，辩暴渺凝是发余正规静又是右余芷鬟盼， 定壤叠1 4 觅【1 5 ) 设g 和p 燕域向上的余代数，对予一个一线性映射彤： e 圆d 一拶圆g 下述绪论楚等价静 1 函p 醐d 是一个彬s m a 8 h 余积； 2 下鄹条件成立： ( g ) w 是余砸规的； ( g o ) 下述等式成立， 气d t ) 圆( ) t 飞d z ) 圆飞( ) 2 净弋( ) 1 ) c 1 ) ( ) 2 飞c 2 ) ； 3 。下捌条棒戒立： ( g w 是余凌援懿； ( g 霸下述秘个涯边形怒可按静， f g p l g d 旺d o g i c 毽d e d 圆v d 熬d 圆i e d d e i d 国w dogd 第二章 矿一s m 辅h 余积豹辫子辩9 垡蠢范嗨5 ( e p 2 ) e 圆d 韭d 固g a o 如| e 固g d i c 圆w l d 毽g d c g | 1w 固如 g 惑d 毽e u 定义2 。l 。5 ( 凳【l 翻) 竣g 穗鼢憝域菇上鹣余健数，霹予一个惫一线性i 凑射渺：g 岱口一 d g 彤称为是发余可黎螅，鳃皋( e p l ) 是霹换的，媳即怼予任意酶c g d 移， ( ) ，。( ) 2 。c 一气d - ) 弋如) 固弋) ( 2 3 ) 称凳楚意余萄乘的，辩皋心尹2 ) 是胃抉的，键鄂对予任慧的e g ，d d ( ) l ( w c ) z 一飞) 飞e 1 ) 。气c 2 ) ， 2 称为楚余可莱的，如果既是疲余w 乘酌又是右余可黎驰。 设怒h o p f 代数，d 是余代数：c 槲一栉oc ，w ( c ) 一w h 圆 怒上述定义的一个奄一线性浃射，q v 嘲弹是一个一s m a s h 余秘 若m 为左g 一余模且为左h 一余模，我们将其结构映射分别表示为 m 一1 固竹一，辩p 吖：mh m ( 一1 圆m ( m ，其中m 搿 命题2 1 6 设g 湖日是一个w s m a s h 余积，则m 为发c 切叫日一余模当且仪 当艏为左e 一众摸置为友日一余模，照使得下蔽成立 m 嘞。 裔。 m 渤。一气m q ) 圆气舻一) 固甜( ， ( 2 证明设吖上的结构映射d ”嬲( 残砖是以下复合映射膨一0 埘一e 鞍日 a 东 鄹矿m ) 一m 以岱嚣q 辨哦密余撰定义褥褥； ( m 。) l 固( m q k m 渤一m - 1 。m 蛳1 圆m 。) ( o ) ， ( 2 6 ) ( 嗽一) t 圆( m 以) 。q m 。= 辨一1 m 。一1q m ， ( 2 ，7 ) 整三璧 鲨= 璺黧璺受塾窭熬整塑至巡篓避壁耋窭一6 刚刹咫( 2 ，( 2 7 ) 式，我们稳： ( o w 阳疗固j ) 。妒( m ) 一f a 蚀m 嚣嵇p m 一1o f 一1 固舻( 。) 一( m 一1 ) l 圆弋( n 叫) 1 ) 气( m 。) 2 ) o 妒_ ) 2 竹矿 f 2 ，8 1 警f m 一1 岱气( m f 一1 ) 1 ) 飞m 8 “1 ) 缸q 蜮1 ) 2 醣娥瞄 ( 塑f 符厂1 气m ( 一l ) 飞静严一1 ) 瓣产鹳) ( 1 岱撒等将) ( 。 ( 謦f 旷1 圆舻一l 固m 。( 。) 一1 圆舻( 。辨1 秘甜( o ) 。， ( f 转z 廊。p ( m 一国f 国激一1 舻f 一1 秽鼢) 2 - 国 。、r m 1 7 一”岱甜獬”1 圆卵铲( 一苟圆舻鹕) o 獬。 等式f 2 ，国秘等鬣( 2 9 ) 鞠等，爨魏( 洲d 。p 一f 固j p ) 。p 。叉巍( a j ) 。劫封一 z ，( g 拦d 。劫m j ，可褥0 州q j ) 。p l ，掰以掰是擞嘞闪槲一余模 爱之，鑫( 嘶。群 句o p 一f ，妒) 。妒霉 黼一1 圆泌护一1 ) 静气秽一1 ) 固扩叫嵇萨 m “ ，1 i 、 ：f m 一1 秽国m o f o ) 一1 圆m n ( 0 ) o ( 一1 o 舻o ) o ( 。) 。 楚| 柱( 2 ，1 0 ) 姣嚣逮俸鹅即j $ f g 嚣，群褥( 2 5 ) 戏戚激。谥攀， 0 宠黧2 。1 7 ( 楚潮) ( 弱疗麓辫豫弑婶f 我数燕辫在嚣上莓警游戮邋懿双线瞧溪 仃满慰； 辩1 ) 玎( 是萝，# ) = = 萨( 擘，1 ) 萨( 盎，1 2 ) ； b 2 ) 拶( 掩，尊f ) = ：寸( 1 ，尊) 萨( h 2 ，i ) ； 耘3 ) 芝二群( 毳l ，9 1 ) 9 2 毳2 ；芝：毳l 营l 拶( 是2 ，轮j ， 其中 ，热 科 壅叠e 葺 耱d ( 毳，1 ) 一拶l ，磊) ：= 。( 毳) ，拶一1 ( 是，萝) = 拶( 毳，s ( 雪) ) ，差l 嚣。 b 1 ) 盯1 ( 孽，1 ) = ：疗一1 ( ，f 1 ) # 一1 ( 彗， 2 ) ； 转2 ) 拶1 ( 赶，窖i ) = = 羔：疗一1 磊l ，转疗锄，譬； 一一麓三壅 鲨= 苎翼塑塾叁鍪缒篓至鹜窆望望堡壁蕊煎 7 b 3 ) 仃1 ( 危l ，9 i ) 毳2 碧2 = 露l 矗l 萨一1 ( 怠2 ，萝2 ) 进一步， ( 灯州， ，南，谗，f ，r ，皿) 是辫子m o n o i d a l 范畴其中m 定义如下： 雪( ，) ：甜 _ 。m ，m 。n 盯( m 卜”，杆( q m ( o ) m ( o j ， ( 2 1 1 ) 零茹罔：掰 一固竭凇。魏一拶一1 ( 一卦，m ( 一；铃 m 。( 2 。1 2 ) 本章戳下搿带垮设( 嚣、玎) 楚辫纯鞲o p f 代数，g r 渊努为w s 潞h 余积，友 ( 碲吲静余模范畴记为碲“对m ，且满足； 是。一固( 2 1 3 ) 2 2 范畴嘞则朋为m o i l o i d 越范畴 这一带主要讨涂& y 喀显余模范畴。 定义2 2 l 猕e 鸯拶一余交按e o m 鼬n a t i v e ) 衾德数，箸辩任意酌e g 满足j ( c ) = d ( 嘎，气) 飞c 2 ) 气c 1 ) 。f 2 ，1 4 ， 为了谣鳐本节酶主婺定理( 定蘧2 2 就我稻髂簧以下几个弓i 瑷； 亏 遴2 2 2 时任意的m 铷洲州，若g 为寸一余交换余代数，则m 是a 一双余 貘 证明设肼。”“封朋，则由命题2 1 5 知m 既为旋g 一模，又为意灯一余模，同 时满足( 2 ，5 ) ，定义英右秽余模绐梅映射势；藤：射一拟圆g 鄹 露勰) = 矿( 毁，m 。一1 ，鹣。砷岱气隅1 ) 一m l 撒2 。 ( 2 1 5 ) 先诞m 满足c f 一双余模相察条件 对 圣意的m 掰，蠢 ( m 圆z ) 。p 蛊( m ) = 拶( 毪， 拶一1 ) 舻 婶一1 舻( 。为8 飞m 一1 ) ，( 2 1 ( 7 p 鑫) 。甜( m ) 一盯( 隗，魄。一1 ) ) 擀一1 s 甜。( o ) 气1 ) ，( 2 。1 7 ) 第= 章；矿一s m a s h 余积的辫子m q 幽堕生煎堕8 一穷嚣，( 2 ，1 6 ) 式纯为 yd ( 魄，舻) 舻( o ) 一1 m o ( o j o ( m 以) 一 磐盯( q ，弋m 。叫) ) 弋m 。一1 ) m 0 0 。 、m - 1 ) 謦玎( 毪，弋m 联一笱) ) 飞( m 一1 ) 2 ) 。m 。獬。鼍( m ) 1 ) 另一方面，( 2 1 7 ) 式可化为 了_ 仃( 飘，竹产q ) ) m - 1 圆m o 。o 气m 。以) f 口( 雌，m o ( _ ) ( m - 1 ) l m o ( o 气( m 。) 2 ) f 口( 啊，m o ( 一1 ) ) 仃( 1 ，q ) 弋( m 一) 2 ) m o ( o o 弋( m 卅) 1 ) ) f 疗( ( 毪) ，鼍) 铲( ( 毪j 2 ，m 。一站) 飞( 撒一1 ) 2 ) o 释声( 婶。气( m 一1 ) 1 ) f 口( 吼，1 m o ( 一1 ) 弋( m 一1 ) 2 ) 圆m 。( 0 1 飞( m _ 1 ) 1 ) f 口( 飘，弋m 。卜1 ) ) 飞( m 。k ) m 。 。固气( m - 1 ) 1 ) 灏戳( 2 ，1 8 ) 式襄( 2 。1 7 ) 式耀等，获焉( 掰圆j ) 。露= ( ，o 露) 。 再证m 是右g 一余模 ( f 圆d ) 。成( m x 玎( w l ，m 。垮懈o ( 鳞圆飞溉。) ) i 飞m 一1 ) ) 2 f 盯( ( 气) ，m o ( 。) m 0 ( 0 圆( ( m _ 1 ) 1 ) 圆弋( m 以) 2 ) 玎( 韩，l 鼍，m 。) m 8 獬圆气( m 一1 ) 1 ) 固x m 。) 2 ) ( l ，( m o 。) 2 ) 盯( 气，( m o _ 1 ) 1 ) m 帅固 ( m - 1 ) 1 ) 8 飞( m “) 2 ) 伊( w l ，舻 州一1 ) ( 气，舻卜1 ) m o ( 。) ( o ) 飞( m - 1 ) 1 ) 弋( m 一1 ) 2 ) 铲( 豫，m o ( o ) ( - 1 ) 玎( 鼍，m 。f 一g ( 唆，鼍) 啦o ( 。) ( 。 s 吣x ( m _ ) 2 ) ) 圆弋1 ( m 川) 1 ) ) 疗( 啄，静。_ ) 拶( ( 鼍) 。，m 。) 萨( ( t i l ) ，“1 ) m 。滞固气( m - 1 ) 2 ) ) 固1 ( m 一1 1 1 ) 望掣掣磐望掣 壁 塑三壅受：釜堡避塾鑫塞煎鲞量墅婴垡垒壁薹筑9 翌y 、玎( 咒，秽o ) ( 一1 ) 拶( ，鞭，舻( 一1 如o 锄( w x m 叫) 2 ) ) 圆飞( m 以) 1 ) 磐f 疗( 睨，m o ( o ) ( - 1 姒弋，气f 妒( 一1 ) ) 础( o ( o 气m 一1 糊 x 泓。) 0 ( 翟 f 寸( 毁，m o ) 一1 ) 拶( 气，“钟声一1 ) ) m o 。) f 。s 气m o 一1 ) ) 圆弋m q ) 蓼f 仃( 毪，舻1 ) 咿( 鼍，一1 ) 舻。岱气舻。) 一1 ) o 弋m 一 一( p 品o j ) o 忍( m ) ， 这羹拶= 秽= 秽一栏。 曩时； ( ，圆c ) o 露( m ) 萨( 魄，舻。1 ) s 气礅q ) ) m 。 口s m 州) l ，甜_ 矽 ( 树。) m q ) 彬。 m ， 因此口os g ) o 露一j ，所以m 势蠢e 一众摸，至此完成弓l 理的溅暖。 命载2 2 3 设掰嘞螂硝，蒯有 证曦 露 r m 卜1 固m 【啡 m ( o ) 2 一f 嗽l l 一砖隗m 1 飞m 2 ) ( 2 1 鼬 -_ f m ( 一1 m ( o ) 1o m ( o ) 2 f 拶( 嘎，饿f 。( 一1 ) m 一1 僦。( 。 册f 。) 一1 ) f 拶吮，辩( 婶一1 ) 飞斡t 一1 ) 斡( 。) 8 气气黼一1 ) ) f 盯( q ，m 。姆) f 一1 ) q ，n 钺一1 竹泸( o ) ( o 固气弋m _ 1 ) ) f 盯( 吼，( 舻( 一1 ) ) 2 ) 毪( m 。) t 固舻 o 飞飞m 。) ) f 盯( ( ) 2 ，( 舻( 一1 ) 2 ) ( 1 ) 1 ( m 0 ( 一1 ) 1 m 0 ( o 弋m _ ) f 疗( ( 吮) 1 ，( 辨妒f 一1 ) 1 ) ( 嚣拶。) 2 ( 毁) 2o 荇产蝴固冀m - 1 ) f 玎( 魄：( 聍_ o 1 ) 1 ) ( 玎一1 b 鼍9m o 雠圆铭( 气m 一1 ) ) | 型一 | | | 掣掣掣掣磐粤 第二章一s m a s h 余积盼辫子m o n o i d a i 范踌 謦薛( 鼍，钟( 一l ) m 。辩一1 ) 鼍9 m 。秘e ) 弋鼍m 一1 ) ) 磐m 1 ( _ 1 ) q m 1 ( 。) 气m 2 ) 于是该命题得证 口 季l 瓒2 。2 4 设掰，嘶则朋，g 为口一余交换余代数，弼余张萤积m 国c 一 妇t 商o j n j m 固c p n 、：m 圆n m 固c 圆n 为左g w h 一余梭，其中m 口c n 上的左g 一余摸结构浃辩为： 哆甜国。：掰国。一o 婀。，僦。一m 1 圆璐。嵇强 2 ，1 9 ) 发日一余摸结构映射为： m 口。：m 口g _ 曰 m 口。，m n 一m ( 一1 ) 住( 一1 ) m ( 。) 豫( 0 1 ( 2 2 0 ) 证明由引理2 2 2 可知m ，v 均为g 一双余模，则m 口e 也有一个g 一双余模结构 ( 见【2 罐) ，囊嚣倒是辫子m o i 魏l 莛睫熟艇圆为左辩一余摸，基建簧涯掰蜀e 为套 爿一余摸，只要诚肼口g 是吖固的一子余模即可，而对任意的m n m 口g ， 我磐j 寿 于是 m 1 m 2 扎= m 扎q n 。 黼( q 露_ 8 赢( m ( 。) 圆斡 = m 一1 n 一1 ) m ( 0 ) 1 圆m ( 啪圆讥( 0 ) j 堂m l f 一1 ) 毪永一1 ) 圆m l ( 。) 圆、m 2 ) 礼f o ) 氅”m ( 1 ) q 肄。( 一1 ) 。m ( o ) 、挖1 ) 站。( 0 j 望m ( 一1 、扎。( 一l ) 圆m ( 。) n 一1 ) 舻( 0 ) 望 f ? 醅( 一l l 嚣m ( o 耗( o ) 一1q 耗 = m 卅n q ) 圆m ( o ) ( 扎) 。 所以m 嘶( m 礼) m 口。，即m 口c 是m 圆的圩一子余横 ( 2 2 1 ) 纂= 章￥矿一s m 8 8 h 余积豹辫子辩o n o 谴a l 范酶 冀 下颟我们要话对任戆鲍m 谚嚣酗口o ，满足条彳串( 2 。砖，没意列； 瓣圆托) 一1 固( 懈 托) o 一1 圆( m 圆褥) 。 毫彗m 卜1 私一1 ) ( m 。) n ) 一1 固( m ( 。) 固n ( 。) 。 乇罗m ( q ) 豫- 1 ) m f o ) _ 1 。m ( o ) o n f o ) 翟气m 。( 叫) 钝( 一1 ) 圆气m 一1 ) 固m 0 ( 0 ) n ( 。) 磐唆舻( 叫豫( q x 灞一1 m o ( o ) 圆柱( o ) ， 鼍( 嗽岱扼) o _ ) 圆气( m s 弛) 一1 ) 圆( m 固珏) o 。 ! 攀气( m 。) 礼) 一1 ) x m 一1 ) ( m 袖固讹) ( 。) 望气m 咿1 ) 礼 叫) 固气m 1 ) 圆甜( 鼬。札f 。) 望m m 。( 一1 ) 彤一1 ) 固、m 一1 ) 。m 0 ( o ) 。他( m 扶 i 茸由命趱2 1 5 襻掰翻p 为凝q r 渊日一余模证华 亏l 璩2 2 5g 为左g r 臀一余模，冀结构映射定义如下： 乒：c 一嘞州拄9 ge 一e t 圆弧。段e 2 ) 证明骏证如上定义是众模结构 一方面 另一方嚣 ( e 。删圆f ) 。芦( c ) = c ，圆弋( 啊) t ) 。弋c 2 ) ( q ) 2 。c 3 ) 彗c l x 魄) 。c 2 ) 圆鼍固弋气c 3 ) ， ( ， 卢) 。扣( e ) = 魂岱吩圆( 飞。2 ) ) l 鼍。埘( 砰x 晓) ) 2 ) 型e 圆毁) 飞c 2 ) 。钍王。c 3 ) ) 朗 l l 第二颦漤一s m 龋h 佘积酌辫子搿o n o 避蠢范瞬 因j 比( 咖州圆j ) o 多一( j o 动。芦 又( 5 咖删圆，) 。芦( c ) = g ( c 1 ) 。s ( w 1 ) 。 也) 望c 成立放a 是左嘞嘲曰一 余模。诞毕船 喹弓l 理2 ，2 5 翔g 挺发q 扩窟一余攘，慰时g 逐是溅畴w 嚣奠， 串戆擎搜瓣象， ：( 掰国g ) 日g 毛一掰蜀c ( n 翻。三。，乳g 溺c 掰_ 掰，r ：船口o g 一掰熬余张蛩口g 奄 愆攘薅申戆撂磴潜梅。 综上，我稍褥潮本节静主要缮桀如下： 定疆2 2 8 设甄拶) 麓辫纯醚o p f 代数，g p 潲置为w s m 蠹s h 余税若s 舞萨一 余交换余代数，且对任意的c g ，h ，满足条件( 2 1 3 ) ，痢( c w 涮m ，豳c ，g ，f ，) 是瓣o n o i d 越范畴0 2 3 范畴锄姗m 上的辫结构 为了谖疆零带翡主要寇瑾( 定瀵3 。3 叛我嚣j 需簧以下凡个芎i 壤； 罢l 璎3 、3 。l 藩m 圆札掰 b ，裂零一1 ( m 髓) 论掰避羹仅当 盯- 1 ( 扎以，m o ( 恤1 ) 口( q ，札( 。肛1 ) 札( 。) ( 0 ) ( m 1 ) m 0 ( 0 ) = 玎一1 ( 叫，嫩。棚) 移一1 ( 辩f 。) q ，嘿) 霓妨圆气m 一1 ) 钉严c 。) ( 2 。2 2 ) 证龋藩m 咒m b ，刚 m 站一1 妒= m 1 圆概2 圆托一尊( 毁，m e ( 一l ) 糯。鼢。气m 1 ) 圆 ( 2 2 3 )、 ，一、 ，一、一， 方面 ( 西 ) m q 沏 n ) 了_ 盯一1 ( 犯f 一 ，f 弛( 一l ) 钆f 。) 1 圆札 o 磅of 孔( o “ 、 ， ” 一 一y 仃 鬯y 玎 訾盯 一1 ( n ( 一，竹l 一1 ) 盯( q ，扎( o ) o ( “1 ) 礼( 0 ) o ( o 气礼( 0 ) 一1 ) 圆m ( 0 ) 一1 ( 媛斡。一1 ) ，凇( 一1 ) g ( 毁，妒o ) 一1 ) 珏o ( 。x 鼍乳一1 ) ) 激 一1 ( 鼍羁一1 ) ，m o o 一1 ) 玎( 曩，m 。( 一1 ) 疗( ，嚣o ) ( ”) 诧。 # 圆弋气气黼1 ) ) ) 第二章一s m 赫h 余弦懿辫子掰o n o 避a l 耗涛 舞一方嚣 o 妒q 口q ( 咀扎q ，m o 州。) 盯( q ，m o _ 1 ) 玎( ，扎州一) 托o 邶。飞1 气m _ ) ) ) 撒o “ 口1 ( 唆，( m 啪。) 1 ) 拶_ ( 摊。，蕊。 q ) 2 ) 拶( 蝣l ，m o 1 ) 仃( 憋，托q ) 扎( 。) 气鼍气m 1 ) ) ) 即矿 o ) o ) 盯“( ( q ) 。，( 舻) 1 ) a - 1 ( 乱q ，( 一o 卜1 ) 2 ) 仃( ( 囊) l ，m o _ 1 以魏，髓啾_ 1 ) 扎( o ) ( 圆w u ( m 一1 ) ) 固m o ( o ) ( m g 越( 魄) 2 ，秽。) 2 ) 疗“唆) l ，舻) i ) 玎一1 泌卅，( 舻删) 3 ) 疗( 毪，嚣一1 ) 铃( 。 o 圆气唆僦。) m 。( o 口一1 ( n 一“，m 掣一1 ) 口( 毪，n 姆一1 ) 孔秘渺固( q ) 气气m 1 ) ) 圆m 。 o ) 口。吲。，m o 。) 口( 吼，乱。卜1 妒圆气m 1 ) 圆m o ( ， ( ， p 埘) m 一1 ( m 圆咒) = 盯一1 ( 一，m 一1 ) 再o m o ) 一1 潞( 。o 些 玎一1 ( 一，气m o ) ) 耗( 啦圆气m 1 ) m o ( o ) 謦仃一1 ( 叫，m 0 ) n ( o ) 飞m 一1 ) 固，护( 。) 鬯口一1 ( 秘书) l ，m 叫一1 ( 耐叫) 2 ，飞) 张( 。) 固飞m 一1 ) 舻( o ) 誉盯1 ( n ( 叫，m 。( 叫) 寸一1 ( 他( 。肛，_ m ( 0 ) ( 。) 气m 一1 ) m 0 ( 0 ) 。 溺戴，国1 ( m n ) 口o m 当且仅当 1 ( ( ，扩一1 ) 玎( 飘，嚣( 。) 一1 ) 嚣螂( 。蛰气m 一1 ) ，妒( o ) 1 ( 搿，槐o 1 ) 萨一1 ( 髓。) 一n ，毪) 嚣( 。) ( 。气擞一1 ) 圆m 。) 因此，引理照然成立+ 芷毕 零l 璎3 3 。2 定义零一1 埘，= 零1 | 村：掰鞠c _ 翻g 联 撵一余撰映射。 ( 2 。2 4 ) 凸 剿毒j 埘是定e 协醐 型 掣 罂 掣 | i | | 萨 萨 | | 萋三重型= 兰翌堂塾垒篓墼塑至些望殳i 垒垒! 煎