（基础数学专业论文）自由积中的若干问题.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 自由积中的若干问题 摘要 全文共分三章， 第一章是绪论部分，主要介绍本文所涉及问题的背景和主要结果 第二章利用+ - 代数自由积上的g n s 构造，给出了一代数约化自由积 的一种构造方法。证明了它与dv o m u l e s c u 所给出的构造是等价的 第三章研究算子空间的自由积证明了算子空闻全自由积和t r o 全自由 积的泛性质；定义并研究了算子空间上的完全可缩映射的全自由积和t r o 同 态的全自由积，证明了这些自由积映射也足完全可缩的或t r o 同态；最后， 引入了算子空闯全融合自由积和完全可缩映射的全融合自由积的定义，并给出 了具体的构造和性质 关键词 c + 一代数自由积算子空间完全可缩映射三元环算子全融合 自由积 曲阜师范大学硕士学位论文 s o m ep r o b l e m so nt h ef r e ep r o d u c t so f o p e r a t o ra l g e b r a s a b s t r a c t t h et h e s i sc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s c h a p t e r1i st h ei n t r o d u c t m u i tm a i n l yi n t r o d u c e st h eb a c k g r o u n do f s o m ep r o b l e m si n v o l v e di nt h i st h e s i sa n d l i s t ss o m em a i nr e s u l t so ft h , st h e s i s c h a p t e r2g i v e sac o n s t r u c t i o no ft h er e d u c e df r e ep r o d u c to fc + 一a l g e b r a s a n dp r o v e st h a ti ti se q m v a l e n tt ot h ec o n s t r u c t i o ng i v e nb yd v o i c u l e s e u c h a p t e r3 培d e v o t e dt ot h es t u d yo ft h ef r e ep r o d u c t so ft h eo p e r a t o r s p a c e s w ep r o v et h eu m v e r s i t yp r o p e r t i e so ft h ef u l lf r e ep r o d u c to ft h e o p e r a t o rs p a c e sa n dt h ef u l lf r e ep r o d u c to ft r o st h e nw ed e f i n et h ef u l l f r e ep r o d u c to fc o m p l e t e l yc o n t r a c t i v em a p sn lo p e r a t o rs p a c e sa n dt h ef u l l f r e ep r o d u c to ft r oh o m o m o r p l n s m s ，a n ds h o wt h a tt h e s em a p sa r ea l s o c o m p l e t e l yc o n t r a c t i v eo rt r oh o m o m o r p h i s m f i n a l l y , w ei n t r o d u c et h e u o t l o u 8o ft h ef u l la m a l g a m a t e df r e ep r o d u c to ft h eo p e r a t o rs p a c e sa n dt h e f u l la m a l g a m a t e df r e ep r o d u c to fc o m p l e t e l yc o n t r a c t i v em a p s ，a n dg i v ea c o n c r e t ec o n s t r u c t i o na n ds o m ep r o p e r t i e s k e y w o r d s 驴一a l g e b r a ，b e ep r o d u c t ，o p e r a t o rs p a c e ，c o m p l e t e l yc o n t r a c t i v em a p ， t r o ，f u l la m a l g a m a t e df r e ep r o d u c t s 第一章绪论 自由概率论是d v o m u l e s c u 在上世纪八十年代为研究自由群因子 引入并发展的一种非交换的概率理论【6 】其出发点在于，用自由独 立性代替了古典概率论中的独立性古典概率论中的随机变量的独 立性对应了随机变量生成代数的张量积，而自由概率论中的非交换 随机变量的自由独立性则对应了这些随机变量生成的( 非交换) 代数 的自由积代数的自由积不但反映了原代数的自由性，而且还反映了 这些代数间的一些拓扑关系。因此，算子代数自由积理论的研究是极 其重要的 1 9 7 3 年，为研究， 型因子，w m c h m g 最早构造了v o nn e u m a n n 代数的( 约化) 自由积 1 5 】，后来，d a v l t z o u r 1 】和d v o i c u l e s c u 2 】将其 扩展到c 一代数上一代数的自由积有两种形式，一是全( 泛) 自 由积，另一种是约化自由积对于约化自由积，人们通常利用p 一代 数的相应态的g n s 构造，作h i l b e r t 空间的“自由积”，从而将给定的 口一代数看作是“作用在同一个大的h l l b e r t 空间”上的算子代数，由 这些代数所生成的c 一代数即为给定一代数在相应态下的约化自 由积本文的第二章将利用c 一代数的由态构造的+ 一代数自由积 及+ 一代数自由积上的g n s 构造，给出c + 一代数约化自由积的另一 种构造，证明此构造与v o i c u l e s c u 所给出的一代数约化自由积的构 造是等价的 上世纪八十年代后期，e e f f r o s 和z jr u a n 引入并发展了算子空 间理论【1 6 】具体的算子空间可视为b ( h ) 中的范数闭子空间，它是 矿一代数的扩展已经知道，每个b a n a c h 空间可以等距嵌入到某个 紧乃空间x 上的连续函数代数c ( x ) 内；由此，z - jr u a n 给出了算 子空间的抽象概念，它可视为非交换的b a n a c h 空间理论由于概率 第一章绪论 论与b a n a c h 空间理论之间存在紧密联系，所以人们有理由相信它们 所对应的非交换理论之间也存在某种联系当然这首先需要给出算 子空间自由积的构造 基于c 一代数的全自由积和约化自由积，m i n g c h ug a o 在【4 1 中 给出了算子空间自由积的两种形式，即算子空间的全自由积和约化 自由积三元环算子( t r o ) 是算子空问理论中的重要研究对象，它 是由h e s t e n e s 引入的，可视为c 一代数上的全h i l b e r t 模【8 1 i 对于 t r o 算子空间，m i n g c h ug a o 同样定义了t r o 自由积，并指出“两个 t r o 全自由积的连接口一代数同构于这两个t r o 的连接口一代数 的全自由积”【4 】本文第三章前半部分主要证明算子空间的全自由积 和t r o 全自由积在相应范畴内的泛性质；这些性质应该是显然的， 但g a o 并没有指出来与此同时，本文还将定义和研究算子空间上 的完全可缩映射和t r o 同态的全自由积映射 在| 5 1 中，p e s t o r s 定义了算子空间的泛口一代数，基于此，本 文第三章还引入算子空间全融合自由积的定义，并给出了一个具体 的构造；同时，在此部分本文还定义了算子空间上完全可缩映射的全 融合自由积，证明该自由积映射仍是完全可缩的 本文有关算子代数理论的定义、术语，结果，我们参见【1 3 1 和【1 4 1 ； 有关自由积的定义，参见【6 】，有关算子空间理论，参见【4 | 【2 4 】 2 第二章c + 一代数的自由积 2 1 基本概念 在1 9 8 2 年和1 9 8 5 年，a v i t z o u r 与v o i c u l e s c u 分别在【1 1 和【2 】中独 立定义了c 一代数自由积，给出了c 一代数自由积的两种构造：泛 自由积和约化自由积；其定义和构造主要涉及了算子代数理论中的 态、g n s 构造、* - b a n a c h 代数的p 包络代数等我们先来回顾一下 这些基本概念 定义1 1 设4 为复b a n a c h 代数，定义对合运算t ：a 一么，对于 v s ，t 一4 ；a ，b c ，满足 ( 1 ) ( a s + b t ) = a s + b t 。， ( 2 )( s t ) = t s + ， ( 3 ) ( t ) + = l ( 4 )l i r 列= i t i l 2 ， 则称4 为c 一代数 定义1 2 设a 为c + 一代数，咖为4 上的线性泛函，若对4 中 的每个正元n ，有庐( n ) 0 ，则称毋为正线性泛函进一步地，若有 单位元，且( ，) = 1 ，则称西为a 上的态 定义1 3 【3 】设4 为+ 一代数，爿为h f l b e r t 空问，用b ( 竹) 表示秆 上所有有界线性算子构成的集合若西：a b ( n ) 为+ 一同态，则称 毋为a 在爿上的+ 一表示 定义1 4 1 i n 设a 。，九，a 为含有单位元的+ 一代数，若存在 含有单位元的t 一代数4 及保单位元的+ 一同态忆：a a0 = 3 第二章矿一代数的自由积 1 ，2 ，n ) ，满足泛性质t 对于任意有单位元的一代数舀及任意保 单位元的+ 一同态丌l ：a 一8 ，都存在唯一的保单位元的+ 一同态 咖：4 一尽使得下图可交换， a 0 8 叁多 i a 则称a 为4 - ，如， 的一代数自由积，记作4 ，+ 。如气+ 。a 定义13 1 1 2 设，a ，a 为含有单位元的p 一代数，若存在 含有单位元的c 。一代数4 及+ 一同态礼a 一4 ( 。= 1 ，2 ，n ) ，满 足泛性质s 对于任意驴一代数8 及任意+ 一同态丌| ：a 一8 ，都存在 唯一的t 一同态咖：一4 一b 使得下图可交换， a 豇一日 ， 氐p l 且 则称4 为4 t ，a ， 的泛( 或全) 自由积，记作4 ，札4 。+ 。a 利用，一代数的c 包络化过程，我们可以构造c 4 一代数的泛自 由积。设4 z ，a ，a 为含有单位元的c 一代数，a 蚝a 宰n 。 为其，一代数自由积，我们可做其包络c 一代数：对于任意的n 4 1 a 。 。a ，定义 叫 。= 8 u p ”万( 8 ) i | | r ：4 l 气a 蚝气k 一联h ) 为 一表示 可以证明i 。为口一范数( 【3 1 】) 用a 表示4 。h a ”+ 。a 在此 范数下的完备化，则a 即为+ 一代数4 。a 蚝a 的包络一 4 曲阜师范大学硕士学位论文 代数由【2 】知，c 一代数a 具有定义1 5 中的泛性质，即一4 同构于 4 l ，a ， 的泛自由积 g n s 构造是c 一代数理论中的一个基本工具，下面我们来回颐 其构造过程： 设a 是一代数，为a 上的态作的g n s 构造( 7 r ，咒，) ：定义 半内积 = ( 扩) ，v a ，b a ，令c = 缸a l = d ( a * a ) = o ， 考虑商空间a z ：，定义内积 = 妒( 6 n ) ，从而c ， ) 是正 定内积空间，将其完备化，得到h l l b e r t 空间，记为7 = l 2 ( 4 ，曲) 令 = p 一a z 7 - 1 定义t 一同态”：4 一b ( 珂) 为”( n ) ( 吲) = 【n 6 1 ，则 满足 = 咖( d ) 2 2约化自由积的构造 在【2 1 中，v o i c u l e s c u 定义了c 一代数约化自由积，我们首先来回 顾一下v o i c u l c s c u 给出的构造： 设。，a 是p 一代数，西。，锄分别为一4 - ，4 z 上的态作破0 = 1 ，2 ) 的g n s 构造( 7 r ；，6 ) = l 2 ( a ，也) ，毛= 【1 4 。】a 厶，t 。+ 一同 态丌i ：a b ( ) 为丌i 心) ( 【6 t 】) = k 吲，且满足 = 也( 吼) 用濯， ) 表示( 7 - 1 。，f 。) ( 7 1 2 ，6 ) 的自由积，即 ( “，f ) = 0 0 ( 0 磺。峨0 o 坛) ， “銎t 篱。i 盏。 其中7 - l = e 1 0 懈，7 t 2 = 2 0 弼令 咒( z ) = c f o o ( o o 屹q o 吃) ， 吐1 嚣霉t 幺襄 5 第二章一代数的自由积 定义酉算子如下 k ：h 一他。咒( ? ) f 一6o f 咒? 一孵o f 域o o 心一o ( 赡o o 屹) 爿；o h 品o o 吃h 咒? ( 吆o o 氕三i ) 定义+ 一表示以：a b ( n ) 为 p 叽( a ) = 嵋( 丌l ( ) ol n ( ，) ) k ，( o a ) 定义1 6 称叽( 4 1 ) ，屯( a ) 生成的b 优) 的c + 一子代数为( a - ，咖，) ： ( a ，如) 的约化自由积，记作( a 。，z ) 如( a 2 ，如) 在本文中，我们将给出c 代数约化自由积的另外一个构造 定义4 0 = n al 也( 口) = o = k e r b , ，则几= 川o c l ( z = 1 ，2 ) ， 这里用，同时表示，和a 的单位元用a ，+ 。一4 2 表示4 ，a 的t 一 代数自由积，作为线性空间结构，有 4 ，蚝a 2 = c s 0 0 ( 0 以。镌q 镌) “ l 。骘”。誊1 。 因此，对a t 气a 2 中的向量z ，有表示 z = m + a 。lo 固口i 。 n l 。l ? i “ a c ，n i ，以，n l l 一4 ：，( 1 l ，一，。= 1 ，2 ) 定义( z ) = a 可以验证 6 曲阜师范大学硕士学位论文 ( 1 ) 6 ( s ) = l ； ( 2 ) 妒是正映射，即驴( 矿习0 ，vz a l + 。a 2 作j l 的g n s 构造( ，心，白) 定义半内积 j = 6 ( y + z ) 令厶= $ a 1 。a 2 i = 咖( 矿功= o ) ，考虑商空间a 1 。a 2 c ， 定义内积 = 毋( 9 z ) ， 从而( a l 也厶， ) 是正定内积空间，将其完备化，得到h l l b e r t 空间，记为h t = l 2 ( 一4 1 蚝a 2 ，咖) 令白= 【“，。a 2 l a 1 。也岛爿 定义t 一同态：a l 蚝a 2 一口( ) 为 ( z ) ( = 【$ 引， 则 = 咖( z ) 定义17 称( 4 - 。a ) 生成的b ( 咒口) 的c 4 一子代数为( 4 - ，西t ) ，( a 2 ，咖2 ) 的约化自由积 定理1 8 上述两种构造是等价的，即 c ( o - ( a ) u 如( 凡) ) 竺c + 沁( 4 t 蚝a ) ) 证明建立映射 ) t l + u ：如一( 钾，f ) n l ，。 】一a f + f n | 。】。【m 。1 7 第二章驴一代数的自由积 其中 m = n ，+ 啦。 pn | 。 ， n l l 2 a c ，啦l 凡，一，以。4 毛，( 2 l ，。一，= 1 ，2 ) 首先证明u 为酉算子 ( 1 ) u 为良定义的 若 m = n ，+ n 。园。m 。】= 0 则易证 从而 t i 1t l 4 2 d j 】= 0 ，【吼。o 圆m 。】= 0 a = 0 ( ( i 。p - - o ) + ( n u o o 吼。) ) = 0 下面我们用归纳法证明 砂( ( m 。o on i t l ) ( 啦。o o n 。) ) = 也。( 吐吼。) ，以。( n t 。) 当n = 1 时， = ( n ：啦。一也。( 吒n l ，) ，) + 也。( 畦o 。) ，故西( n i m 。) = 也，( 略啦- ) 假设n = k 时等式成立，下面证明n = k + 1 时等式成立 由假设条件 ( 啦。o 圆o 吼。+ 。) 。( o 。， o l 。o 啦。+ ，) = ( o 最+ 。o 口乏o oo 乏) ( 0 i 。o s n 砘。口t 。+ 。) ( ( n 乏固o n 二) ( 0 i 。o o 啦。) ) = 也，( n 啦。) a 。( n 复n ) 8 曲阜师范大学硬士学位论文 知 咖( ( n l 。固o 啦。o0 i - + 。) + ( 吼。o o i 。o 如。+ 。) ) 只能出现在也。( 吒吼。) 也。( 吭o 。) o 毳+ 。0 i 。中 机，( n 矗n l ，) 也。( 吒口i 。) 吒+ 。吼。+ ， = 以，( 略) 也。( n 毛吼。) ( n 气+ 。啦。+ 。一曲。( 吒+ 。0 l 。+ ，) ，+ 以。+ ，( n 毳+ ，啦。+ 。) ，) = 识，( 略8 l ，) 也。( 吭仉。) ( n 毳+ 。啦。+ 。一也。+ ；( 吒+ ，口t 。+ 。) ，) + 也。( 。：口l 。) 以。( 吃a n ) 以。( 口+ 。o n ) ， 从而 西( ( 0 l 。o oo a 。圆a t k + t ) + ( 吼。固o 啦。 吼。+ 。) ) = 也。( n 0 吼。) 破。( a 乏l 。) 也。+ 。( d 乏+ 。仉。+ 。) 综上所述，可以得到 庐( ( 吼。o o 吼。) + ( l 。o o ) ) = 也，( n ；毗。) 丸( 吒) ， 从而 也。( 畦a t 。) 如。( 吃n “) = 0 其中一项必为0 ，不妨设也。( n 。，) = 0 ，k 。卜0 ， 进而 f 吼。】圆o 【n l 。】= 0 ， 从而得到 k + 【吼。】固。【n i 。】= 0 n 14 l 2 i “ ( 2 ) 容易证明u 是满射 ( 3 ) 保持加法运算i e ，( + ) = c ，( h ) + ( ) 9 第二章口一代数的自由积 令 m = b r + 6 l 。 k 】 “2 l1 l 。2 i 忭 7 c ，n 。4 j ，k 0 ，( 1 1 ，z ”= 1 ，2 ) u ( 【卅+ 阿】) = u ( k + 鲥) 一u ( n ，+ m ， 。+ ，y ，+ 6 l ，圆圆6 i n 】) n l 。l 圪t nn l 。2 h = k + 固。k 】+ ，y + 。 m n l2 1 0 2 n e t0 1 0 2 h = u ( k 】) + u ( ( 引) ( 4 ) 保持数乘运算i eu ( h ) = u ( 【司) u ( 七k 1 ) = u ( 【七卅) = u ( m 虹，。固仉。” n l l 1 2 t ” = k + 磨f m 。】。固【吼。 n l4 1 1 2 l n = u ( m ) ( 5 ) 保持内积运算i e = 若$ ，”有不同长度的直和项，则 = = 0 故设 z ，y 有相同长度的直和项此时， = = n l l 托l n n - t 1 1 2 h = + n - lo l 1 2 i “ = 妍+ ， 1 0 曲阜师范大学硕士学位论文 = = + = 研+ - = a 彳+ ， 故 = 由( 1 ) ( 5 ) 的证明可知u 为酉算子我们将u 延拓为心到h 上的酉 算子，仍用u 表示 要证 矿h ( 一4 ，) u 眈( 如) ) 型c + ( ( a t 蚝a ) ) ， 只需证明 u + ( a ，+ 以。( 0 i 。) 以。( ) ) ， = 和( a ，+ a z t 圆。) n 1 1 1 1 2 h 只需证明 ( 1 ) u ( a ，) 【，= ( 入，) ， ( 2 ) u + ( 以；( 啦。) 盯l ，l ( 吼。) ) u = 7 0 ( m 。o o ) ( 1 ) 显然成立 ( 2 ) 只要证明在心的稠子集上成立 第二章g 代数的自由积 r u ( 吒，( m 。) - 以。( n ，。) ) ( ，】) = u ( 吼。( n ；。) 以。( n 。) ) ) = u ( n l l 】o o 【m 。】) = 【吼，固 m 。】 = ( n 。 o ) ( 【，】) 2 0 对于d 心，有 u + ( 以，( n l 。) o t 。( m 。) ) 【，( 【d 1 ) = u + ( 矾。( n 。) 以。( n 。) ) ( m ) = u + 叽。( 吼。) 仉。一，( a ，。一，) ( 【。d a 。( n l 。d ) 门+ 也。( o 。d ) 旧) = u + o s 。( n h ) 吼。( o h 。) ( 【吼。d 一妒h ( 吼。d ) ，】) + u + 盯。( 吼。) - 以。一，( m 。一，) ( 咖h ( 如。d ) 【 = u + ( 【吼。】o 固【o 。一。】o 陋。d 一也。( n h d ) 明) + c ，+ ( 也。( l 。d ) k ，】o o f 吼 。】) = h 。 on l 。一。o ( n 。d 一也。( 吼。d ) ，) 4 - k ( n ，。d ) a 。，o o n h 一。】 = 丌壬( o 。，o o 吼。) ( 【田) 3 0 对于d 屯有 u ( 以，( n 。) 以。( 吼。) ) u ( 【胡) = u ( 以，( 吼，) 以。( 吼。) ) ( 闻) = u + ( k 。j 固g k j 圆旧) = 0 i 。圆o 圆d = 和( 啦。o o 啦。) ( 问) 4 0 对于d 1 ，类似于2 0 的证明，可以得到 u 4 ( 以。( 啦。) 巩。( n 。) ) 【，( 【d ，固od k ) = 和( n 。，o o o n 。) ( 【d 1 固o d k 】) 5 0 对于d l 吃。类似于3 。的证明，可以得到 u + ( 仉，( 吼，) 仉。( n 如) ) u ( f d l 固圆也】) 1 2 曲阜师范大学硕士学位论文 = ( o ) ( d l 圆o d k 】) 由1 0 一5 。的证明可知在心的稠子集上( 2 ) 成立命题得证 注由定理1 8 中u 的良定义性证明，可以看出，若每个破0 = 1 ，2 ) 为a 上的忠实态，则我们在+ 一代数自由积一4 t a 上定义的 泛函也是忠实的因而，当也为忠实态时，上述证明可以简化 设( a ) 硎是c 一代数，也是a 上的态，同样地可以给出( a ，a ) 。n 的约化自由积的两种构造，并且可以证明这两种构造是等价的 1 3 第三章算子空间的自由积 3 1 基本概念 e e f f r o s 和z jr u a n 在1 9 8 0 s 后期引入并发展了算子空间理论 算子空间为b ( h ) 的范数闭子空间，可以视为c + 一代数的扩展我们 先来给出几个基本概念 本章中，设h 为可分的h i l b e r t 空间，用b ( h ) 表示咒上的所有有 界线性算子构成的空间设n 为任意正整数，s 为e ( n ) 的子集，用 厶( s ) 表示由s 中的元素构成的n n 阶矩阵的全体此时，a 厶( b ) ) 可以看成h 的n 直和爿o o 咒上的有界线性算子组成的代数，即 k ( b ) ) 竺日( ”) 用l | 表示 名( 口) ) 上由上述同构诱导的范 数 定义2 1 若y 为b ( h ) 的范数闭的子空间，则称( v 为具 体的算子空间范数族钏0 。一称为算子空间y 的矩阵范数 定义2 2 设v 为算子空闻，妒：v 一为线性映射，定义线 性映射：a k ( y ) 一 霸( w ) 为( 【】乙：- ) = p ( ) ：，：。，v 】0 ： ( y ) ，若妒。一致有界，i e i 曲= s - p 1 1 9 。0 ：n n + ，则称妒 为完全有界的若1 曲1 ，则称妒为完全可缩的若m l 西= 1 ，则 称妒为完全等距的 下面我们来回顾p c s t o r s 在【5 1 中对于算子空间的泛驴一代数的 定义t 设y 为算子空间，4 为含有单位元的驴一代数，3 4 ：v 一4 为全 可缩线性映射，且从( y ) 生成4 令三= ( a 3 4 ) i a ，肌满足上述条件) 若a ，召同构，则称( a ，肌) ，( b ，3 8 ) 同构把三中同构的元素视为一个， 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 则三为集合作c 一直积i i “) = 一4 ，定义映射t ，：y i i ( a j j ) - - a 为 ，( n ) ( a ，从) = j ( n ) a ，v a v 容易验证，是良定义的，且为全等距 映射记c ( y ) 为由j ( v ) 生成的似。) e m a 的驴一子代数，称为算 子空间y 的泛一代数 c ( y ) 具有如下泛性质：存在全等距嵌入映射j ：v c ( y ) ，使 得j ( v ) 生成驴( y ) ，并且对于任意的口一代数4 及任意的全可缩映 射妒：v a 存在唯一的一同态：( y ) 一a ，使得妒= od 在算子空间理论的发展中，人们日渐关注三元环算子( t r o ) 的研 究t r o 首先由h c s t e n e s 在 8 中引入，它可以视为c 一代数上的 全h u b e r t 模 让我们来回顾一下t r o 的相关内容： 定义2 3 设k ，h 为h i l b e r t 空间，y 为b ( k ，h ) 的范数闭的子空 间，若y 在三角积( x ，y ，z ) v v v x y + z v 下是封闭的，则称 y 为t r o 定义24 令k 彬为t r o ，线性映射0 ：v 一称为t r o 同态， 若e ( x y 2 ) = 口( z ) 口( ) 目( 。) ，y x ，y ，。v 另外，若0 是单的，则称0 为 t r o 同构 对v n n ，矩阵空间a 如( v ) ( b ( k h ) ) 垒b ( k ”，h ”) ，从而y 上存在矩阵范数i 。，使得每个 缸( y ) 为t r o ，范数族饥i i 。n 称为 y 上的t r o 矩阵范数，故t r o 具有算子空间结构 更一般地，可以定义t r o 为驴一代数的范数闭的子空间，且在 t r o 三角积下是闭的，i e 当霸y ，z v 时，有x y 。z v 给定一个t r o ：v b ( k ，) ，令训= 矿b ( h ，k ) ：z y ) ， 1 5 第三章算子空间的自由积 口( 矿) ：丽i 为由y 训生成的c 一代数，d ( y ) = 耐| ”， 引”一( ：”0 ) 叫， 为单的t r o 同态，则 州，= ( 嚣。羔) 为b ( k oh ) 中由l v ( y ) 生成的c 一代数，称a ( v ) 为矿的连接c 一 代数 c t 一代数a ( v ) 具有泛性质：存在单t r o 同态：矿一a ( y ) ，使 得。( y ) 生成a ( y ) ，并且对于任意的c + 代数日及任意t r o 同态 0 v 一8 ，存在唯一的+ 一同态7 r ：a ( v ) 一廖，使得7 r o 印= 0 t r o 与c 一代数，y o l ln e u m a n n 代数有许多类似的性质例如 每个t r o 同态都是可缩映射f 3 0 】若口v w 为t r o 同态，则 ： 厶( y ) 一a 岛( ) 为t r o 同态，进而以为可缩映射( n ) ，即 有0 为全可缩映射这说明，每个t r o 同态均为全可缩映射 命题25 1 1 7 1 设v b ( k ，日) 。w b ( k ，h 7 ) 为t r o ，0 ：v w 为 线性同构，则0 为t r o 同构当且仅当口为全等距 t r o 的一些性质与对应的连接一代数有关令v b ( k ，) ，w b ( k ，h ) 为两个t r o ，若0 ：v w 为t r o 同态，则a ( v ) 与a ( w ) 一 同态从而，y 与w 为t r o 同构当且仅当a ( v ) 与a ( w ) 是c 一同 构 1 6 曲阜师范大学硕士学位论文 3 2 算子空间的全自由积 基于算子空间的泛驴一代数”和“c 一代数泛自由积 两种思 想，m i n g c h ug a o 在 4 】中给出了算子空间全自由积的定义 定义26 令k k 为算子空间，c ( v i i ，c ( k ) 为对应的泛c 一 代数作c + 一代数伊( k ) ，c 。( k ) 的泛自由积c + ( v 1 ) c ( ) 设正： k c + ( k ) 为嵌入，协：c ( k ) 一c + ( k ) + 。c + ( v 。) 为单的t 一同态令 九= 吼。正，则凡为k 到c + ( ) + 。c + ( k ) 的嵌入( z = 1 ，2 ) 称由 a i a 2 a 。： 凡，( ) ，1 1 。2 一z 。，如 l ，2 ，n n 生成的c * v 1 ) + 。c ( ) 的范数闭子空间y 为算子空闻h ，k 的全自 由积，记为u + k 本节主要研究全自由积k tk 的性质，其中第一个性质是泛性 质 定理27 设n ，k 为算子空间，h + 圪为它们的全自由积，则 ，具有如下泛性质：存在全等距映射凡：k 一k ，使得对于 任意算子空间吖及任意全可缩映射丌l ：k m ，都存在全可缩映射 7 r ：h k m ，使得丌0 凡= 丌i ，即下图可交换： k 盈 k sk 证明设九为定义2 6 中k 到c + ( ) c 。( ) 的嵌入，则凡为 k 到k + 的全等距映射设m 为任意算子空间，霄i ：k m 1 7 mlr 第三章算子空间的自由积 为全可缩映射( 。= 1 ，2 ) ，由于知：m c ( m ) 为全等距映射，故 山。丌t ：k c + ( m ) 为全可缩映射由口( k ) 的泛性质知，如。仉可 延拓为一同态 扁：c ( k ) 一c + ( ，) ， 使得霸。o 五= o7 r z 由c 一代数泛自由积的泛性质知，存在+ 一 同态 寄：c 似) c + ( k ) 一c ( m ) ， 使得弃。鼽= j mo ，其中为p ( k ) 到c m ) c ( ) 内的单+ 一同 态由于荇i k = 丌l ，且九为嵌入映射，故弃i ( k ) = 7 s ：k m 为全可 缩映射又由m ，的构造知， | u ，k + k m a 1 a 2 a 。h 丌i 。( a 1 ) 仉。( a 2 ) 仉。( a 。) 为t 一同态齐在* 上的限制，进而为全可缩映射，记为”下证 ”o 九= l r , 事实上，由于九为嵌入映射，且”i k = l r , ，有7 ro 九( k ) = 丌( k ) = 几( k ) ，故7 ro = 疋证毕 推论2 8 设k ，睨为算子空间，以：k 一眦是全可缩映射( i = l ，2 ) ， 则存在全可缩映射一：+ 坞一慨+ ，使得一i k = 以 证明由算子空间全自由积的定义知，存在全可缩映射i ：眦一 眦+ ，又已知以：k 一睨是全可缩映射，则i o 以：k m t w 2 为 全可缩映射由k + 的泛性质以及构造知，存在全可缩映射 ：u v 2 _ 1 哌 w 2 a 1 a 2 a 。h8 z 。( a 1 ) 盯堙( a 2 ) - ( a 。) 1 8 曲阜师范大学硕士学位论文 ( a s 凡，( y , j ) ) ，使得盯。九= x o6 r z ，并且a i k = 以证毕 注称推论2 8 中的一为算子空间上全可缩映射0 2 的全自由 积，记为0 1 1 0 2 推论2 9 设a ，也为c + 一代数，4 t 如为c 一代数泛自由 积，一4 ，+ a 为算子空间全自由积，则存在4 。+ a 到a - a 上的全 可缩映射 证明令m a 一4 ，a 为单的，一同态，进而，丌l 为算子空 间a 到a ，屯4 。内的全可缩映射由定理2 7 知，存在全可缩映射 口：a l a 2 一a 。4 2 ，使得口k = 丌i 证毕 基于“t r o 的连接c 一代数及“一代数泛自由积，两种思想， m i n g c h ug a o 在 4 】中给出了t r o 自由积的定义。 定义2 1 0 设k ，k 为t r o ，a ( v 1 ) ，a ( ) 为对应的连接p 一代数 令a ( h ) a ( v 2 ) 为c 一代数a ( v 1 ) ，a ( k ) 的泛自由积设k a ( k ) 为t r o 同态，讥：a ( k ) 一a ( h ) ，。a ( v 2 ) 为单的t 一同态令以= 以o ， 则良为k 到a ( u ) a ( ) 的单的t r o 同态称由 a 1 a 2 a 。a s 巩，( ) ，。l 地z n ，码 l ，2 ，n n 生成的t r o 为h ，的t r o 自由积，记为k k 注定义2 1 0 中的机k 为t r o 范畴下自由积的定义，并不是 ，k ( 作为算子空间) 的自由积 定理21 1 设，为t r o ，+ 。v 2 为，的t r o 自由积，则 屯具有如下泛性质：存在单的t r o 同态巩：k k 钆k ，使得 对于任意t r ow 及任意t r o 同态也k w ，都存在t r o 同态 1 9 第三章算子空间的自由积 ：k 屯k w ，使得庐。巩= 也，即下图可交换： 证明设b 为定义21 0 中k 到a ( k ) a ( ) 的单t r o 同态，则吼 为k 到扎v 2 的单t r o 同态设为任意t r o ，也：k w 为t r o 同态0 = l ，2 ) ，由于t w ：w a ( ) 为t r o 同态，故t w o 也：k a ( ) 为t r o 同态。由钗k ) 的泛性质知， wo 欢可以延拓为+ 一同态 稔：a ( k ) 一a ( ) ， 使得；葡。坝= b w 0 他由c 一代数泛自由积的泛性质知，存在+ 同态 a ：a ( v 1 ) a ( k ) 一a ( w ) ， 使德a 。也一歹了夏，其中识为a ( v d 到a ( h ) a ( ) 内的单t 一同 态由予 l = 也：k 一为t r o 同态，故 为t r o 同态，记为又由u 屯的构造知， l u 虬耽：机k 叶w ( ) a 也如一a ；。( a 1 ) a 。( a 2 ) 人i i ( a ) 小 “ 、tiij 0 ，a o o 哳，一 1 - h 盼、一、 “q o 0： o o k，一 k | l k d 曲阜师范大学硕士学位论文 为t r o 同态( 钆( k ，) 由于 一( ：) ，彤 为单的且满的t r o 同态，则存在t r o 同态 皆( ：伽0 ) 一钾 令= o 。b ，则咖：y l 机k w 为t r o 同态下证o 最= 也 对于1 i , ，有 加矾c ，= c 。 i m 。b 。k c ，= t 。 ；( ：) = 。( ：也) = a c 曲 故西。以= 也证毕 推论2 1 2 设k ，弼为t r o ，a ：k 一眦为t r o 同态( i = l ，2 ) ，则 存在t r o 同态p ：k 机v 2 一m 屯w 2 ，使得p i k = 地 证明由t r o 自由积的定义知，存在t r o 同态瓦：眦一m 札w 2 又已知他：k 一眠为t r o 同态，则瓦o p 。：k m 卓为t r o 同 态由k 屯v 2 的泛性质知，存在t r o 同态p ：k k m 乜w 2 ，使 得p o 巩= 巧。地，且p i k = 胁证毕 注称推论2 1 2 中的弘为t r o 同态的t r o 自由积，记为 3 3 算子空间的全融合自由积 我们首先回顾c 一代数全融合自由积的定义： 第三章算子空闻的自由积 定义21 3 设( a ) 。，为有公共单位元，的伊一代数族，8 为它 们的一个公共c 一子代数且含有单位元j ，令咖嚣一a 为单的+ 一 同态若存在含有单位元的口一代数a 以及+ 一同态砒：a 一4 o ，) ，使得以。也= 仍。奶m ，j ，) 并且( 一4 ，以) 满足泛性质t 对于任意的c 一代数c 及任意+ 一同态巩：a c ( z n 且满足 以oa = 乃。妒，m ，耽都存在唯一的，一同态7 r ：一4 一c ，使得 7 r o 识= 丌l0 n 即下图可交换： a n + c 趴 a 则称4 为( a ) l j 的全融合自由积，记作( ，7 r ) = * z e i , b ( a ，也) 假设存在a 到口上的条件期望e ，则( a ) 。，的全融合自由积的 构造如下。令a = b o 冉为& 双模，其中一= k c r 最我们用+ 即a 表示它们的+ 一代数融合自由积，则作为b 双模，坦。a 同构于 b 0 0 ( o 凡。苁o o 心) “2 1 嚣警，：鲁 占b且 ( a ) 州的全融合自由积是+ 一代数鼬a 在最大c 一范数 i l a l i = s u p 钏”( n ) i ii ”是鼬a 的一表示) 下的完备化，我们用+ 耶a 表示见【1 2 】 基于哼掌子空间泛9 一代致及“c 一代数全融合自由积”两种 思想，下面我f r i l l 入算子空问全融合自由积的定义： 曲阜师范大学硕士学位论文 定义21 4 设1 4 , “= l ，2 ) 为算子空间，为k 的子空间， 也：w k 为嵌入若存在算子空间y 及全可缩映射：k y ，使 得a 。o 啦= o 如，且满足泛性质：对任意算子空间h i 及任意全可缩 映射丌l ：k m ，且丌io 破= 乃。如，都存在全可缩映射”：y m ，使 碍”。= 丌t ，即下图可交换t k j l ! 则称y 为算子空间，v 2 的全融合自由积，记作v = h + w k 假设存在全可缩的投影协k w 及c + 一条件期望蟊：c ( k ) 一 c + ( w ) ，使得矗j k = 协，则我们有全融合自由积的如下构造： 将c + ( w ) 看作c m ) 和c ( u 2 ) 的c 一子代数，作c ( k ) 和c + m ) 的全融合自由积c ( ) + 口。( w ) c ( ) 对于忠实的嵌入映射 及单的+ 一同态 砒：c + ( k ) 一c + ( u ) + 口) c ( ) ， 令 凡= 戗0 ：k c ( k ) d ( c ，( k ) 为忠实嵌入由 a t a 2 一a 。：a a a q ( ) ，l i 堙，勺 l 2 ，1 7 , n 生成的c 4 ( k ) + c c 。) 的范数闭子空间v 即为算子空间v 1 ，v 2 的 全融合自由积 第三章算子空间的自由积 定理21