（基础数学专业论文）酉变换和行列式的应用.pdf

at h e s i ss u b m i t t e df o rt h ed e g r e eo fm a s t e r c a n d i d a t e ：l i a n gs h u a n g s u p e r v i s o r ：p r o f l i uh e g u o h u b e iu n i v e r s i t y w u h a n ，c h i n a 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研 究所取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完 全意识到本声明的法律后果由本人承担 论文作者签名：罘霜 签名日期：烈。年d 6 月0 旧 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存并向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可 以允许采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢利为目 的的前提下，学校可以公开学位论文的部分或全部内容( 保密论文在解密后遵守 此规定) 作者签名：澡霜 指导教师签名：；妗( 日 日期：2 01 0 d 6 0 】 日期：讹一d 卅 中文摘要 摘要 本文首先证明了：酉空间v 中任意一个酉变换么在等模正交基下的矩阵是一 个酉矩阵；其次，本文将酉变换进行了推广从而得到一类新的线性变换：a 一酉变 换，与此同时文中还引入了。一正交组、o 一正交基等相应的概念，并在此基础上 对一酉变换和口一酉矩阵的性质作了全面的分析；然后，借助矩阵函数讨论了复正 交矩阵与酉矩阵的联系与区别；最后，本文利用矩阵行列式证明了圆锥曲线上四 点共圆的充要条件 关键词：酉矩阵；复正交矩阵；口一正交基；矩阵范数；谱半径；矩阵级数；行列式 湖北大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , f i r s t l y ，w ed i s c u s st h a te 1 ，2 ，e na r eo r t h o g o n a ln o ts t a n d a r do r - t h o g o n a lb a s i sw h e nt h em a t r i xr e p r e s e n t a t i o n so fa l lu n i t a r y t r a n s f o r m a t i o na b o u tt h i s s e to fb a s i sa r eu n i t a r ym a t r i c e s ；s e c o n d l y ，a c c o r d i n gt ot h eu n i t a r yt r a n s f o r m a t i o n ，w e g e ta l ln e wl i n e a rt r a n s f o r m a t i o na n de x p a t i a t et h ep r o p e r t i e so ft h i sn e w t r a n s f o r m a - t i o n ；t h i r d l yw ep o i n to u tt h ed i f f e r e n c eb e t w e e nu n i t a r ym a t r i xa n dc o m p l e xo r t h o g o n a lm a t r i x ；a tl a s t , w ea p p l yt h el a w so fd e t e r m i n a n tt op r o v ef o u rt h e o r i e st h a tf o u r d i f f e r e n tp o i n t so fs o m ec o n i ca r ei no n ec i r c l e k e yw o r d s ：u n i t a r ym a t r i x ；c o m p l e xo r t h o g o n a lm a t r i x ；m a t r i xn o r m ；s p e c t r a ll a - d i u s ；m a t r i xs e r i e s ；d e t e r m i n a t e ；a - o r t h o g o n a lb a s i s 一 m 1引言 随着科学技术的迅速发展，古典的代数知识已不能满足现代科技的需要，矩 阵的理论和方法已成为现代科技领域必不可少的工具诸如数值分析、优化理 论、微分方程、概率统计、控制论、力学、电子学、网络等学科领域都与矩阵 理论有着密切的联系，甚至在经济管理、金融、保险、社会科学等领域，矩阵理 论和方法也有着十分重要的应用当今电子计算机及计算技术的迅速发展为矩阵 理论的应用开辟了更广阔的前景 在欧式空间的线性变换中，正交变换是一类相当重要的的线性变换常见的 正交变换有两类：初等旋转变换和镜像变换，通常我们又称镜像变换为豪斯霍尔 德( h o u s e h o l d e r ) 变换，这两类变换在标准正交基下所对应的矩阵当然就是正交 矩阵了例如，在平面r 2 中旋转变换所对应的矩阵是 肚c o s o s i n s o p ) 在欧式空间p 中，镜像变换将向量映射成与单位向量们正交的n 一1 维子空间对 称的像叼，且有 7 7 = ( ，一2 w w r ) = 日专 它所对应的矩阵是 j j r ：i 一2 w w t 正交变换是等积变换，体现在它保持向量的模不变酉空间里的酉变换也 是一种等积的线性变换我们知道，酉空间v 中的酉变换在任一标准正交基 下所对应的矩阵都是酉矩阵现在从另一个方面提出问题：对于v 的某一组 基1 ，2 ，如果v 的每一个酉变换在这组基下所对应的矩阵都是酉矩阵，那 么1 ，s 2 ，n 是否是标准正交基呢? 答案是否定的，本文针对这个问题给出了相 关定理：设1 ，2 ，n 是v 的一组基，若v 的任一酉变换a 在e l ，2 ，s n 下所 对应的矩阵是酉矩阵，则基1 ，昆，岛是正交的，且j 1 i = i e 2 i = = i c n 本文 将酉变换进行了推广从而得到一类新的线性变换：a 一酉变换，与此同时文中还引 入了。一正交组、口一正交基等相应的概念，并在此基础上对a 一酉变换和a 一酉矩 阵的性质作了全面的分析另外，本文通过分析复正交矩阵的特性，得到四个推 论 矩阵是一种有着广泛用途的研究工具，它的标量函数行列式也有着广泛的应 用百年前，著名教材坐标几何( l o n e y 著) 中曾提到椭圆上四点共圆的必要条件： 四点的离心角之和为7 r 的偶数倍证法十分巧妙，但要应用高次方程的韦达定理 湖北大学硕士学位论文 一一_ 条件的充分性，直到几十年后才被确认现在如果用矩阵行列式的知识，解决这个 问题就容易多了在本文的第三章中，我们将借助于行列式证明椭圆、抛物线、 双曲线上四点共圆的充要条件 2 2酉变换 2 1预备知识 2酉变换 欧氏空间是针对实线性空间而言的，即在实线性空间中定义内积运算便构成 了欧氏空间这里要介绍的酉空间，实际上就是一个特殊的复线性空间由于复线 性空间的讨论与欧氏空间的讨论很相似，有一套平行的理论，所以本节只是简单 列举出复线性空间中的内积定义与欧式空间中的内积定义的主要区别，以及酉空 间的主要结论 如果c 为复数域，则欧氏空间给出的内积定义的非负性在复数域上有时不能 成立如果在三维复向量空间c 3 中仍定义内积为 取z = ( 3 ，4 ，5 i ) ，则 ( z ，z ) = 3 2 + 4 2 + ( 5 i ) 2 = 0 这就是说，一个非零向量的长度等于o ；又若取z = ( 3 ，4 ，6 i ) ，则 ( z ，x ) o ) 的一类线性变换，同时引进n 一正交组、口一正交基、o 一酉矩 阵的概念，然后讨论推广后的线性变换的性质 一8 o o 0 o q 0 ，-。_。一 、li一、 l t 一 一 白 q 一 0 一 0 0 0 o q 一 0 ，-。一 而 2 酉变换 定义2 6 酉空间v 的一个线性变换a n t t 做一个。一酉变换，如果对于任意 f v ，存在一个实数n 0 ，使得 4 ( ) i = o 抖 例在二维复平面中，把每个向量旋转一个角度p ，并将长度按向量原来的方 向延长至原来的o ( 0 ) 倍的线性变换就是一个口酉变换 定义2 7 在酉空间中，如果一个正交组的每个向量的模都是n ( 0 ) ，称这个 正交组为。一正交组 定义2 8 在n 维酉空间v 中，如果n 个向量9 1 ，e 2 ，两两正交，那么称 e 1 2 ，n 是v 的一组正交基如果这组正交基还是一个。一正交组，那么 称e 1 ，勋，是v 的一组。一正交基 下面将给出。一酉变换的一些基本性质： 定理2 9n 维酉空间的两个。一酉变换之积是一个a 2 - - 酉变换 证明设4 ，召都是，l 维酉空间v 的。一酉变换，则v v ，有 i a ( 亭) l = 口i b ( ) l = o 阱 所以 i 加( ) i = 口i b ( ) i = 口2 即朋也是v 的一个口2 一酉变换 定理2 1 0 酉空n v 的线性变换4 是口一酉变换的充分必要条件：v ，叩v 都 有 ( e t c h ) ，a c n ) ) = 0 2 ( ，叩) 证明必要性任取，叩v ，则 4 + 叩) 1 2 = 口2 k + , 7 1 2 一方面 i a + 7 7 ) 1 2 = ( a + ，7 ) ，4 ( + ? 7 ) ) = ( 4 ( ) ，a ( ) ) + ( 4 ( 叩) ，4 ( 叼) ) + ( a ) ，a ( 7 7 ) ) + ( 4 ( 叼) ，4 ( ) ) = 口2 2 + 矿i 叼1 2 + ( e t c h ) ，4 ( 叩) ) + ( a ( 7 7 ) ，a ( ) ) 一9 湖北大学硕士学位论文 另一方面 由此可得 n 2 i + , 1 1 2 = 0 2 + r , + 1 7 ) = n 2 ，f ) + 0 2 ，7 ) + 口2 ，叩) + a 2 向，) ( a ( 0 ，4 ( 叩) ) + ( a ) ，4 ) ) = 6 2 ( ，7 7 ) + 铲( ，7 ，) ， ( a ) ，4 ( 7 7 ) ) 一0 2 ( ，叩) = 豕砭j 万= t 孤虿孤两 所以 ( ) ，4 ( 叩) ) 一a 2 ( f ，叩) = 0 ， 即 ( a ( ) ，4 ( 叩) ) = a 2 ( ，r ) 必要性成立 充分性用取代( 4 ( ) ，4 ( 叩) ) = 6 2 ( ，7 7 ) 中的叩得到 似( 专) ，4 ( ) ) = a 2 ( ，) ， 即 i a ( ) l = 6 2 卧 充分性也成立 定义2 1 1 如果u 坛( c ) 满足 u u + = u + u = a 2 j ( o 0 ) ， 则称u 是。一酉矩阵 定理2 1 2 以维酉空间的一组标准正交基到一组n 一正交基的过度矩阵是一 个。一酉矩阵 有了上述的知识，现在来考察疗维酉空间v 的一个口一酉变换关于v 的一个标 准正交基的矩阵有什么性质 设4 是，l 维酉空间v 的一个n 一酉变换，取定v 的一组标准正交基1 ，e 2 ， 由于4 是口一酉变换，p , i 而a ( e 1 ) ，4 ( 2 ) ，4 ( n ) 是一组口一正交基 1 0 2 酉变换 设u 是4 在标准正交基1 ，e 2 ，n 下的矩阵，记 a ( e l ，e 2 ，n ) = ( 1 ，e 2 ，n ) u 由定理5 可知e 1 ，e 2 ，g n n a ( e 2 ) ，4 ( ) 的过度矩阵u 是一个。一酉矩阵 反过来，当，z 维酉空间中的一个线性变换4 关于标准正交基e 1 ，2 ，岛的矩 阵u = ( 钆巧) 是一个。一酉矩阵那么 并且 于是 i = 1 ，2 ，n 壹u k j f i o = ia2j=1 龛嚣。7 - ( a ( 艮) ，4 ( 勺) ) =( 啦z ，u k j e k ) l = ll - - - - 1 鲰( 勺，“) 1 = 1k = l u k f i k j f a 2 i = j ； 2 1 o i # j 因此4 ( 2 ) ，a ( n ) 是v 的一组。一正交基，即4 把v 的一组标准正交基变成一 组。一正交基所以a 是v 的一个。一酉变换 综上可得到以下的结论：咒维酉空间的一个口一酉变换4 关于v 的任意一组标 准正交基的矩阵是一个a 一酉矩阵反过来，如果v 的一个线性变换a 关于某一组 标准正交基的矩阵是n 一酉矩阵，那么4 是a 一酉变换 下面我们来讨论a 一酉矩阵的范数和谱半径 定义2 1 3 1 3 】设i i a i 是以n ( c ) 中矩阵a 为自变量的非负实值函数，如果 它满足以下三个条件： ( 1 ) 非负性：当a o b 寸，i i a i l 0 ；当a = o 时，l i a i i = 0 ； ( 2 ) 其次性：对任意k c ，a m m n ( c ) ，有i i k a 1 = i k l l t a l l ； ( 3 ) _ - - 角不等式：对任意a ，b n ( c ) ，有| | a + b i i i i a i f + i i b | i ， 勺吻 n 触 = v a 湖北大学硕士学位论文 则称i i a i l 为m n 矩阵a 的范数 定理2 1 4 1 3 】设a = ( a 巧) m m n ( c ) ，则有i i a i l 2 = ( a 一( a + a ) ) 主 定义2 1 5 1 1 2 1 设a 螈( c ) ，a 的几个特征值为a 1 ，入2 ，a n ，称p ( a ) = m a x l a l l ，f a 2 i ，i a n i ) 是a 的谱半径 设a 螈满足a = a a = a 2 i ( a 0 ) ，则a + a 的特征值为a 2 由以上的定 理我们可以得到以下推论： 推论2 1 6 设a 霸( c ) 满足a = a a = a 2 i ( a o ) ，则l i a l l 2 = a 推论2 1 7 设a m k ( c ) 满足岔a = a a + = a 2 i ( a o ) ，则p ( a ) = i i a i l 2 = n 定义2 1 8 1 2 1 设矩阵序列 a ( ) ) ，其中a ( 知) = ( 口黪) 螈( c ) ，且当七一o o 时， 0 5 7 ) _ ，则称【a ( 知) 收敛，并把矩阵a = ( o 莳) 叫做 a ( 南) 的极限，或称 a ( 七) ) 收 敛于a 记为 l i ma k = a 七 定理2 1 9 1 2 1设矩阵序列 a ( 知) ：a ，a 1 ，a 2 ，则l i m k - + a 七= o 的充要 条件是矩阵a 的所有特征值的模都小于l ，即a 的谱半径小于1 推论2 2 0a 肘k ( c ) 满足小a = a a = a 2 i o ) ，则l i m a , 。a 七= o 的 充要条件是a o ) 则当口 1 时，矩 一1 2 2酉变换 阵a 的幂级数七+ ：0 0 0a 七是绝对收敛的；当o 1 时，矩阵a 的幂级数盏a 知是发 散的 证明：当o a 1 时，则根据推论2 1 6 我们得知：0 i i a i l 2 1 因此， 0 l i a i l 2 1 在幂级数 + o 。 = 1 + z + z 2 + + z 2 + k = 0 的收敛圆内根据文献【6 】的定理2 4 ( 马0 3 ) ，我们知道定理的前半部分自然成立 当a 1 时，则根据推论2 1 6 我们得知：i i a i l 2 1 因此，0 l i a i l 2 1 在幂级 数 + o o f ：1 + z + z 2 + + 名2 + k = 0 的收敛圆外根据文献【6 】的定理2 4 ( 马0 3 ) ，我们就证明了定理的后半部分 定理2 2 4 1 8 1 设p q 为n 阶非奇异矩阵，若级数七+ ：0 0 0a ( 知) 收敛( 或绝对收敛) ， 则矩阵级数盏p a 七q 也收敛( 或绝对收敛) 根据性质2 2 4 和定理2 2 3 ，我们可以得到下面的一个推论 推论2 2 5 设p ，q ( c ) 为几阶非奇异矩阵，且a 眠( c ) 满足小a = a a + = a 2 i ( 0 a 1 ) ，则矩阵级数盏p a 知q 也绝对收敛 2 4 酉矩阵与正交矩阵 定义2 2 6 1 1 】设矩阵a m k ( c ) ，如果a 满足a f 4 r = i ，称a 为正交矩阵特 别当a ( r ) 时，满足a = j ，则称a 是实正交矩阵 推论1 实正交矩阵一定是酉矩阵，但是复正交矩阵不一定是酉矩阵 例设k = ( 二三) 假，记 邱，却础班邯s t 曲班= c o s h t t i c s 础i n h 。t ) 其中c 。s h 持t e t + e - t 8 i n ht = 竿( t r ) 则 俐r = ( = 亡 i s i n h t ) ( c o s ht - i s i n h 。) 1 3 湖北大学硕士学位论文 然而 = r 尸( s 0 i n 尸 = ( 。1 ；) ( 妒一0 c o s h ( s i n h 妒)() 2 一() 2 a c t ，a ，4 = ( 一c ；o s s ；h n h t 亡i c s i o s n h ht 亡) ( - c i 。s s i h n h tti c s 。i s n h h t ) =( ( c 。s hd 2 ：( s i n h d 2 。c 。s ht ，2 呈。s ；n h 。，2 ) +z k h 亡2 c o s h 0 = ( 竿孛h 孛等) 显然无论t 取何值，总有a ( 亡) 4 ( t ) t = j 成立；但是a ( t ) a ( 亡) + - - i 成立时，当且 仅当t = 0 这就说明复正交矩阵可能并不满足酉矩阵的条件 另一方面，复正交矩阵在什么情况下是酉矩阵呢? 设a 是复正交矩阵，记a = m + i ，m ，n m n ( r ) 若a 小= a + a = i ，则 a a = ( m + i n ) ( m t i 舻) = ( m m t + 矿) + i ( n m t m t ) 所以 n 谱= m n 唾 即当m 舻是对称矩阵时，a 就是酉矩阵 推论2 所有的咒阶复正交矩阵组成的一个集合构成一个群 推论3 正交矩阵可能有模不为1 的特征值 先槲= ( 劬。c 。二。卜( 一s 二亡8 等t 卜弛由推 1 4 2酉变换 论1 可知，无论t 取任意实数都有a ( t ) a ( ) t = ，成立，所以a ( t ) 是正交矩阵由 m - a ( t ) = 卜- - c o s h 亡- is i 础n h 。 = ( 入一c o s ht ) 2 一( s i n ht ) 2 = ( 入一c o s ht s i n ht ) ( a c o s ht + s i n ht ) 可得a ( t ) 的特征值为e 、e 一， 当t _ + 。时，e 一+ ； 当t _ 一。o 时，e 一一+ o o 也就是只要取得足够大，那么a ( 亡) 就有足够大的特征值对一般的正交矩阵而 言，i r a ( c ) ，a 是a 的一个特征值，专是属于入的特征向量，则a = m 所以 ( 联) t ( 饿) = a 2 f t ， 整理得 t ( 1 一入2 ) = 0 但是上式并不能保证1 一入2 = 0 成立，这是由于c n ，从而t 可能为o ，实际原 因也正如此所以并不是所有的正交矩阵的特征值的模都为l ，当a m n ( c ) 是一 个复正交矩阵时，它就可能拥有模不为1 的特征值 推论4m n ( c ) 中酉矩阵群与复正交矩阵群之交是( c ) 中的实正交矩阵 群 证明设u = a + i b ，其中a ，b 坛( r ) ，若u 既是酉矩阵又是复正 交矩阵，那么 ( a + i b ) t ( a + i b ) = ( a t + i b t ) ( a + i b ) = ( a t a b t b ) + i ( a t b + b t a ) = i ， ( a + i b ) + ( a + i b ) = ( a t i b t ) ( a + i b ) = ( a t a + b t b ) + i ( a t b b t a ) = i 1 5 湖北大学硕士学位论文 一一 由上两式可得b b t = 0 从而对每个标准基向量色r 竹，i = 1 ，2 ，扎都 有( b e ) ? ( b e i ) = 0 也就是b 的每个列向量是o ，因此u 是正交矩阵 - 1 6 3 矩阵行列式的应用 3矩阵行列式的应用 3 1 预备知识 行列式的主要性质( 以三阶行列式为例) ： 性质1 a l l 七啦l a 1 2 k a i 2 a 1 3 k a y 3 = k a l la 1 2 a i l a i 2 a 3 1a 3 2a 3 3ilg 3 1a 3 2 a 1 3 口3 3 也就是，一行的公因子可以提出来，或者说以一数乘行列式的一行就相当于 用这个数乘此行列式 性质2 g l l 6 1 + c l a 1 2 6 2 + c 2 a 1 3 6 3 + c 3 o , l la 1 2 a 1 3 6 1 6 2 6 3 + a l la 1 2 o , 1 3 c 1c 2c 3 a 3 1a 3 2a 3 3 iia 3 1a 3 2 a 3 3iia 3 1a 3 2a 3 3 也就是，如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和， 而这两个行列式除这一行以外与原行列式的对应的行一样 性质3 把一行的倍数加到另一行，行列式不变 性质4 对换行列式中两行的位置，行列式反号 用行列式的定义直接计算行列式只适用于少数特殊的行列式对一般的行列 式而言，随着阶数的增大，直接从定义上计算行列式几乎是不可能的，利用这些性 质则可以简化行列式的计算 3 2 圆锥曲线四点共圆充要条件的行列式证明 我们将利用行列式的知识来证明椭圆、抛物线、双曲线上四点共圆的充要 条件 引理1 1 t 1 1t 2 1t 3 1 如 t 2 四 t 2 亡! 培芒； 圬瑶 证明由前面的性质可得 = ( t l + 亡2 + t 3 + t 4 ) 1 - ( t j 一如) l i j 4 1 亡l 0 t 2 一z 1 0t 3 一t 1 0t 4 一t l t 2 磋一t 2 培一 磋一t ； 亡 磋一 瑶一瑶 瑶一t 1 7 t 2 一t 1 亡3 一t 1 t 4 一亡1 绣一亡； 培一； 堵一； 磋一 瑶一t 绣一t 瑶磋瑶瑶堵磋培瑶 n 勿协以 ，上l l l 于是，我们可得以下的结论： 引理3 设a x ( x a ，可1 ) ，a z ( x z ，y z ) ，a 3 ( x 3 ，u s ) ，a 4 ( x 4 ，y 4 ) 是平面上的四个点， 1 8 3 矩阵行列式的应用 且a 1 ，4 2 ，a 3 ，山中无三点共线，则a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 四点共网的充要条件是： 1 z l 1x 2 1 z 3 1x 4 + y + 谚 + 谚 + 贸 = 0 定理3 1 设a ( n c 0 8 吼，6 s i n 吼) 。= 1 ，2 ，3 ，4 ；。仇 2 7 r ) 是椭圆万x 2 + 菩= l 上互异的四点，则四点共圆的充要条件是：0 1 + 0 2 + 0 3 + 0 4 = 2 7 r ，4 7 r ，6 7 r 证明必要性如果a z ( x z ，v 1 ) ，a 2 ( x 2 ，垅) ，a 3 ( x s ，钠) ，a 4 ( 铂，y 4 ) 四点共圆， 由引理3 可以得到 化简可得 1a c o so z 1a c o s 如 1 a c o s 0 3 1g c o s0 4 1c o s 0 1 1 c o s 如 1c o s6 1 3 1 c o s 0 4 b s i n o la 2 c o s 2 0 1 + b 2s i n 2 0 l b s i n 如a 2 c o s 2 如+ b 2s i n 2 0 2 b s i n 0 3 a 2c o s 20 3j - b 2s i n 20 3 b s i n 0 4a 2 c o s 2 吼+ b 2 s i n 2 吼 s i n 0 1 s i n 如 s i n 0 3 s i n 以 a 2 c o s 2 0 1 + b 2s i n 2 0 1 a 2 c o s 2 如+ b 2 s i n 2 如 a 2 c o s 2 0 3 + b 2 s i n 2 如 a 2 c o s 2 以+ b 2 s i n 2 以 令t a n 鲁= 如 = 1 ，2 ，3 ，4 ) 则由万能公式得到 = 0 = 0 8 i n 吼= 禹，c 硼= 研1 - t i 2 ( i - l ，2 ，3 1 4 ) 继续化简整理得到 1 t z + t 1 t 2 + t ； 1 t 3 + ； l t 4 + t i t i 瑶 t ；t 2 t ； 磋t 2 1 9 = 0 遽 肌 耽 始 弧 湖北大学硕士学位论文 故 由引理1 和引理2 可得 又因 所以 此时 1 t l t ；t 1t 2 t ；t ； 1 t z 瑶瑶 1 t 4 埕磋 1t 2 1t 2 1t 2 1 t 2 堵t 谚t 2 培t j 埕t 2 ( 亡1 + t 2 + t 3 + t 4 )n( t j - t i ) = ( t l t 2 t 3 + t l t 2 t 4 + t l t 3 t 4 + t 2 t 3 t 4 )n( t j - t i ) 1 i ，4 1 i 0 ) 上( 按逆时 针方向) 互异的四点，则这四个点共圆的充要条件是h 。a 。，七a ：a 4 存在且不为零，使 得h l a 3 + h 2 a 4 = 0 证明必要性根据圆锥曲线以及圆的对称性可得，要使a ( 戤，玑) “= 1 ，2 ，3 ，4 ) 四点共圆，h 。a 。，k a ：山必须都存在，并且都不为零 如果a ( 孔，玑) 0 = l ，2 ，3 ，4 ) 四点共圆，则由定理3 2 可得可1 + 耽+ 蜘+ 驰= 0 又 因为 “l a 3 = y l y 3 x l x 3 2 p2 p ， 2 ；而；2 一y 2 + y 42 咄a ：凡 肌十蜘 。 所以h ，如+ h 。山= 0 于是证明了必要性；充分性，反之亦然 接下来我们讨论双曲线x 2 一笤= 1 同样根据圆锥曲线以及圆的对称性可 - 2 1 = 0 霹遽 玑 垅 弧 弧 玑 耽 蜘 玑 湖北大学硕士学位论文 得，h ，a 。，k a 。a 。必须都存在，并且都不为零并且当a ( 甄，玑) ( 1 = 1 ，2 ，3 ，4 ) 四点共 圆时，如果相邻两点，如a 1 与a 2 的横坐标相等，则必有剩下两点的横坐标也相 等。下面我们只讨论z i x j ( z ，歹= l ，2 ，3 ，4 ) 的情况我们有下面的定理： m 2口2 定理3 4 如果a ( 甄，玑) g = l ，2 ，3 ，4 ) 是双曲线二一告= 1 上( 按逆时针方 向) 互异的四点，则这四个点共圆的充要条件是( 4 一- ) 2 xx 2 七1 3 = ( x 3 一z 2 ) 七1 4 + ( x 4 一 x a ) k 1 2 证明必要性如果a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 四点共圆，由引理l 可以得到 1 x l 1z 2 1 x 3 1 z 4 饥z ；+ y y 2z l + 垢 蜘z ；+ 谚 讥z i + 贸 又因为等2 一荽= 1 ( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) ，所以 1x l y l l z 2 耽 1 z 3y s 1 z 4 玑 + 暑 + b 2 + 蓦 + b 2 z 一6 2 遽一6 2 z ；一6 2 z i 一6 2 再由四阶行列式的性质直接计算可得 暑，1 i 2 y s 舰 = 0 z ； z ； z ； z i 1 z 1 z ；y l 1 x 2 遽耽 1 x 3z ；y s 1 x 4 司y 4 ( 钒一x 2 ) k 1 3 = ( x 3 一x 2 ) k 1