（基础数学专业论文）拓扑n2超共形代数和homlie代数.pdf

他删嗍 y 1 | 7 - i i i 5 i i l i7 1 3 l ij f l l 2 r i lj i 。9 i i h l l l i i i i 。 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果尽我所知除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 了谢意 研究生签名：丛丕j 魏 瞒叫钢) j j j 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学，中国科学技术信息研究所，国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复 印件和电子文档，可以采用影印，缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内容和纸 质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅j 可以公布( 包 括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理 研究生签名：螂导师签名：胜日期：上坠迎 摘要 y a n g b a x t e r 方程是数学和数学物理中一类重要的方程y a n g b a x t e r 方程与l i e 双代数密切相关，具体地说，每个上边缘三角l i e 双代数都对应着经典y a n g b a x t e r 方程 的一个解h o r n l i e 代数作为l i e 代数的自然形变，其上的h o m l i e 双代数结构与h o r n y a n g - b a x t e r 方程的解有着密切关系 量子化l i e 代数的关键一步是确定l i e 代数上的l i e 双代数结构本文研究了无中心 拓扑= 2 超共形代数的l i e 超双代数结构，证明了其上的所有l i e 超双代数都是上边缘 三角l i e 超双代数，从而刻画了经典y a n g b a x t e r 方程相应的解 w i t t 代数和v i r a s o r o 代数是非常重要的两类无限维l i e 代数与它们相关的h o r n l i e 代数则为h o r n l i e 代数中重要的代数类本文研究了一类与w i t t 代数以及v i r a s o r o 代数相关的h o m l i e 代数的结构我们确定了口一形变v i r a s o r o 代数的自同构群，给出 了两个w i t t 型h o m l i e 代数同构的充分必要条件，并计算了w i t t 型h a m l i e 代数的2 h a m 上循环和口_ 形变w i t t 超代数的2 一h o m l e i b n i z 上循环 关键词：l i e 超双代数，y a n g b a x t e r 方程，拓扑n = 2 超共形代数，h o r n l i e 代数，自 同构群，2 - h o r n 上循环，2 - h o r n l e i b n i z 上循环 - 一一一一一一 a b s t r a c t t h e y a n g - b a x t e re q u a t i o ni sac l a s so fe q u a t i o n ，w h i c hh a sb e e np l a y i n ga ni m p o r t a n t r o l ei nm a t h e m a t i c sa n dm a t h e m a t i c a lp h y s i c s t h ey a n g b a x t e re q u a t i o ni s c l o s e l y r e l a t e dt ol i eb i a l g e b r a s p e c i f i c a l l y , e a c hc o b o u n d a r yt r i a n g u l a rl i eb i a l g e b r ac o m e sw i t h as o l u t i o no ft h ec l a s s i c a ly a n g b a x t e re q u a t i o n h o m - l i ea l g e b r ai san a t u r eg e n e r a t i o n o fl i ea l g e b r a ，t h es t r u c t u r e so fh o m - l i eb i a l g e b r ah a v eac l o s er e l a t i o n s h i pw i t ht h e s o l u t i o n so fh o r n y a n g - b a x t e re q u a t i o n t h ed e t e r m i n a t i o no fl i eb i a l g e b r as t r u c t u r e so nal i ea l g e b r ai sc o n s i d e r e dt ob e t h ef u n d a m e n t a ls t e pt o w a r d sq u a n t i z i n gl i ea l g e b r a t h i sp a p e ri n v e s t i g a t e da l lt h el i e s u p e r - b i a l g e b r as t r u c t u r e so nt h ec e n t e r l e s st o p o l o g i c a ln = 2s u p e r c o n f o r m a la l g e b r a i t i sp r o v e dt h a ta l ls u c hl i es u p e r b i a l g e b r a sa r ec o b o u n d a r yt r i a n g u l a r ，w h i c hg i v e sa d e s c r i p t i o no far e l a t e ds o l u t i o no ft h ec l a s s i c a ly a n g - b a x t e re q u a t i o n w i t ta l g e b r aa n dv i r a s o r oa l g e b r aa r et w ov e r yi m p o r t a n ta l g e b r a so fi n f i n i t el i e a l g e b r a h o r n l i ea l g e b r a sr e l a t e dt ot h e ms h o u l db ei m p o r t a n ta l g e b r a so fh o m l i e a l g e b r a i nt h i sp a p e r ，t h es t r u c t u r e so fh o r n - l i ea l g e b r a sr e l a t e dt ow i t ta l g e b r aa n d v i r a s o r oa l g e b r ah a v eb e e ni n v e s t i g a t e d w ec o m p l e t e l yd e t e r m i n e dt h ea u t o m o r p h i s m g r o u po fq - d e f o r m e dv i r a s o r oa l g e b r a ，a n dt h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o ra n y t w ow i t tt y p eh o m - l i ea l g e b r a st ob ei s o m o r p h i ci so b t a i n e d m o r e o v e r ，t h e2 - h o m - c o c y c l e so fw i t tt y p eh o m - - l i ea l g e b r aa n d2 - h o r n - - l e i b n i z - c o c y c l e so ft h eq - d e f o r m e d w i t ts u p e r a l g e b r ah a v eb e e nc o m p u t e d k e y w o r d s ：l i es u p e r b i a l g e b r a ，y a n g b a x t e re q u a t i o n ，t o p o l o g i c a ln = 2s u p e r c o n f o r m a l a l g e b r a ，h o m - l i ea l g e b r a ，a u t o m o r p h i s mg r o u p ，2 - h o m - c o c y c l e ，2 - h o r n - l e i b n i z c o c y c l e 目录 第一章前言 1 1 1 课题背景及研究进展。 1 1 2 本文主要研究内容 4 1 3 本文的主要结论 4 第二章拓扑n = 2 超共形超双代数 6 2 1 定义和性质 6 2 2 主要结论的证明8 第三章与w i t t 代数以及v i r a s o r o 代数相关的h o m l i e 代数的同构 2 5 3 1 定义及例子2 5 3 2q - 形变v i r a s o r o 代数的自同构2 6 3 3w i t t 型h a m l i e 代数及其同构2 9 第四章与w i t t 代数以及v i r a s o r o 代数相关的h o r n l i e 代数的2 h a m 上循环 3 2 4 1 w i t t 型h o r n l i e 代数的2 h a m 上循环3 2 4 2q - 形变w i t t 超代数的2 一h a m l e i b n i z 一上循环3 7 参考文献 4 4 附录一致谢 第一章前言 1 1 课题背景及研究进展 y a n g b a x t e r 方程最先y a n g 1 和b a x t e r 2 1 在研究统计物理时提出，它在数学和 物理中起着重要作用( 见 3 ，4 1 ) 在试图用一种系统方法来寻找y a n g b a x t e r 方程的解 的过程中产生了量子群理论y a n g b a x t e r 方程有多种形式，经典y a n g b a x t e r 方程与 h a m i l t o n 结构【5 ，k a c - m o o d y 代数f 6 】，p o i s s o n l i e 群，p o i s s o n - h o p f 代数，量子群， h o p f 代数和l i e 双代数密切相关 6 ，7 经典y a n g b a x t e r 方程的解得到了广泛研究， 例如，每个复半单l i e 代数带有非平凡经典r 一矩阵f 6 】y a n g - b a x t e r 方程在经典和量子 完全可积系统理论中起着重要的作用 y a n g b a x t e r 方程( 也称为三角方程或因式分解方程) 为函数方程( 见文献f 8 1 ) 一s ；k 。l ；k 。2 ( t 1 1 一地) s 。j 。l k 。a 、仳1 一札3 ) - 跪琶( u 2 一u 3 ) = s 毯3 ( 坳一让s ) s 尝嚣( t | - 一“s ，、s 。j l 。j 。2 。、u l u 2 ) ， 其中s ? l j 。2 ( u ) 为关于u 的函数，指标i ，jy , 1n n n 为使上式更简洁，对矩阵作用在三个n 维向量空间的张量积上，满足规则( s 1 2 ) j l j 2 j 3 = 黠者训j 3g l a 记号s 1 2 ( u ) ，s l s ( u ) 和s 2 3 ( 仳) 则上式可改写为 s 1 2 ( t 上1 一u 2 ) s 1 3u l u 3 ) s 2 3 ( u 2 一乱3 ) = s 2 3 ( t t 2 一札3 ) s 1 3u 1 一u 3 ) s 1 2 ( 札l 一让2 ) ， 当h _ 0 时，对上式通过形式极限s ( u ) 1 + h x ( u ) ，我们得到了经典y a n g b a x t e r 方程 x 1 2 ( 钍l 一砌) ，x 1 3 ( ”1 一铂) 】+ f x l 2u l 一“2 ) ，x 2 3 ( 乱2 一乱3 ) 】+ x 1 3 ( u l 一“3 ) ，x 2 3u 2 一“3 ) 】= 0 ， 其中x ( u ) gog ，g 为nx 礼矩阵勘e 代数，尽p x ( u ) = x p p ( 仳) 丘ol ，为g 的基 假设x ( 礼) = r 为常值函数，则上式可化为 垆，r ”】+ 垆，r 2 3 】+ 【r ”，r 2 3 】= 0 ， 即为我们常说的常值经典y a n g b a x t e r 方程 2 0 多年来，l i e 代数的g 形变和量子群研究一直是代数研究的热点之一1 9 8 5 年， d r i n f e l 7 d 7 】 j i m b o 9 各自考虑了l i e 代数l 的普遍包络代数u ( l ) 的形变随后，在 诸如弦论等物理研究的一些领域中出现- f l i e 代数的一些新的形变这些形变的主要对 象是无限维代数，尤其是h e i s e n b e r g 代数( 振子代数) 和v i r a s o r o 代数等 2 0 0 6 年，作为l i e 代数的另一种形变，h a r t w i n g ，l a r s s o n ，s i l v e s t r o v 1 0 1 引入h o m l i e 代数来描述基于口导子的w i t t 代数和v i r a s o r o 代数的一些形变的结构，从而建立 2 东南大学硕士学位论文 了l i e 代数的新的形变并研究了其中心扩张更早的几乎相同的代数结构见 1 1 ，1 2 h o m l i e 代数与离散和形变向量场密切相关【1 3 1 2 0 0 9 年，基于从l i e 代数形变得到何d m l i e 代数的思想，d o n a l dy a u 1 4 对y a n g - b a x t e r 方程做了变形，引入了h a m y a n g b a x t e r 方程设m 为向量空间，o t ：m m 为线性映射，b ：mom 呻mom 为双线性映射，使得b oa 0 2 = q o b ，( m ，乜) 上 的h a m y a n g b a x t e r 方程定义如下： ( qob ) o ( b 固0 1 ) o ( qob ) = ( boo t ) o ( o lob ) o ( b 圆a ) ， 同时给出了h o m - y a n g b a x t e r 方程的三类解，一个从h a m l i e 代数得到，另外两个 从d r i n f e l 7 d ( 对偶) 拟三角眈e 双代数得到同y a n g b a x t e r 方程的解一样，h a m y a n g b a x t e r 方程的每个解可扩张到满足辫子关系的算子，在可逆的条件下，这些算子给出了 辫群的一个表示 随后，文献【1 5 】引入了经典h a m y a n g b a x t e r 方程h o m l i e 代数( 厶 一，- i ，o t ) 上 的经典h a m y a n g b a x t e r 方程定义如下： 其中 c ( r ) q ：= 【r 1 2 ，r 1 3 + 垆，7 2 3 】+ 【r 1 3 , r 2 3 】_ 0 ， 心s 1 3 】= r l , s 1 】oq ( r z ) q ( s z ) ， n s 2 3 】- ( r 1 ) 。a ( s ，) 。 r 2 ，8 2 ， r 1 2s 2 3 】- q ( r ) 圆 r 2 ，s 1 】。q ( s z ) ， 记r = 7 1 。r 2 s = s 1q s 2 l 文献1 5 1 同时证明了任何一个经典y a n g b a x t e r 方程的解可以诱导经典h o m - y a n g b a x t e r 方程的解，并且引入了h o r n l i e 双代数，研究了上边缘和拟三角h o m l i e 双代数 的子类 文献f 1 6 构造了日d m l i e 代数l 的日d m 一包络结合代数l h l i e ( 己) 文献 1 7 证明了口形 变v i r a s o r o 代数的包络代数的的存在性，并且构造出它的一个非平凡的量子群结构文 、献 t s 弓l k y 拟三角h a m 一双代数每个拟三角h o m 双代数伴随着量子h o m y a n g b a x t e r 方程的一个解文献 1 9 】对偶地，将其推广到余辫h a m 双代数中文献 2 0 1 研究t h o r n l i e 超代数，即超空间上带有括号满足扭超j a c o b i 恒等式，同时构造了g - 形变w i t t 超代数 从y a n g b a x t e r 方程的解得出的量子群是统计量子力学中最令人感兴趣的对l i e 代数g 而言，经典y a n g b a x t e r 方程的解对应g 上的一个上边缘三角l i e 双代数结构因 此，对l i e 双代数结构的研究非常有意义在本文中，我们首先研究了无中心拓扑= 2 超 共形代数的l i e 超双代数结构，其次考虑了一类与w i t t 代数以及v i r a s o r o 代数相关的无 限维h o r n l i e 代数的结构 第一章前言 3 1 超共形双代数 1 9 8 3 年，前苏联数学物理学家v g d r i n f e l 7 d 2 1 在研究量子群，寻找y a n g - b a x t e r 方程的解时，提出了与h a m i l t o n i a n 力学和p o i s s o n 李群相关的l i e 双代数的概念量 子化l i e 代数的关键一步是确定l i e 代数上的l i e 双代数结构w m i c h a e l i s 2 2 考虑了 由l i e 代数( 像w i t t ，单边w i t t 和v i r a s o r o 代数) 的2 维非交换l i e 子代数产生的l i e 双代 数构造了一类包含v i r a s o r o 代数的无限维l i e 双代数，并且给出了得到一个包含两个元 素a ，b ，满足a ，6 】= b 的l i e 代数上的上边缘三角l i e 双代数的方法s h n g ，e j t a f t 2 3 】 证明了w i t t ，单边w i t t 和v i r a s o r o 代数的l i e 双代数结构都是上边缘三角的并且给出 了单边w i t t 代数上的l i e 双代数完全分类，即确定了这些l i e 双代数的同构类 超共形代数，最先d t k a c 2 4 】和a d e m o l l o 2 5 】等分别给出构造，是v i r a s o r o 代数的 超代数推广，可视为v i r a s o r o 代数的非平凡z 2 一阶化扩张超共形代数在弦论，共形 场论和镜像对称中起着重要的作用，其在理论力学中的根源可追溯至u 1 9 7 6 年f 2 5 1 文 献2 6 1 ，f 2 7 对超共形代数进行了完全分类并且证明了，n = 2 超共形代数分成四个 部分：n e v e u s c h w a r z 部分，r a m o n d 部分，拓扑部分和扭部分h y a n g ，y s u 2 8 1 考 虑了r a m o n dn = 2 超v i r a s o r o 代数上的l i e 超双代数结构，证明了其上的所有l i e 超 双代数是上边缘三角l i e 超双代数h u a n x i af a ，j u n b ol i 2 9 1 考虑了无中心扭n = 2 超共形代数上的l i e 一超双代数结构，证明了其上的所有l i e 超双代数是上边缘三角l i e 超 双代数j i a n z h ih a n 等 3 0 】考虑t s c h r o d i n g e r v i r a s o r ol i e 代数上的l i e 双代数结构， 证明了并非所有l i e 超双代数都是上边缘三角l i e 双代数本文的第一部分研究了无中心 拓手b n - - - 2 超共形代数的l i e 超双代数结构，从而刻画了经典y a n g b a x t e r 方程的解 2 与w i t t 代数以及v i r a s o r o 代数相关的h o r n l i e 代数的结构 由于上边缘三角l i e 双代数与y a n g b a x t e r 方程密切相关，故要考虑h o m l i e 代数 的h a m y a n g b a x t e r 方程需要先研究一些特殊的h a m - l i e 代数的结构本文所讨论的 无限维h o m l i e 代数，即g - 形变v i r a s o r o 代数，w i t t 型h o r n - l i e 代数和g 形变w i t t 超 代数与w i t t 代数以及v i r a s o r o 代数有着密切联系 w i t t 代数是非常重要的一类无限维l i e 代数w i t t 代数是由圆环s 1 上的向量场构 成的l i e 代数的复化作为w i t t 代数的泛中心扩张，v i r a s o r o 代数在数学和物理的众多 领域有广泛的应用例如，仿射李代数，统计力学，以及理论物理和共形场论等 b l o c k 3 1 ，g e ll a n d ，f u c h s 3 2 1 证明了w i t t 代数存在唯一非平凡一维中心扩张，称 之为v i r a s o r o 代数赵开明【3 3 】考虑了v i r a s o r o 代数的自同构和自同态d o k o v i c ，d z ， z h a o kf 3 4 1 研究了广义w i t t 代数的导子，同构和二阶上同调l i ud a n g ，h un a i h o n g 3 5 考虑t c t ，t q 】和c ( ( t ) ) 上的微分算子代数的一维l e i t r n i z 中心扩张，并确定了其上的 所有非平凡l e i l m i z2 上循环l a r s s o n ，s i l v e s t r o v 1 3 1 引入了h a m l i e 代数的自然推 4 东南大学硕士学位论文 广一拟h o m l i e 代数，并研究了其中心扩张理论本文的第二大部分研究了与w i t t 代数 以及v i r a s o r o 代数相关的这一类无限维h o r n l i e 代数的自同构群，2 - h o r n 上循环和2 h o m l e i b n i z - 上循环 1 2 本文主要研究内容 本文共分四章： 第一章简单介绍了课题研究背景，发展概况以及本文结构与主要内容 第二章研究了l i e 超双代数的一些性质，通过计算一阶上同调群，确定了无中心拓 扑= 2 超共形代数的l i e 超双代数结构，证明了其上的所有l i e 超双代数是上边缘三 角l i e 超双代数 第三章刻画了q 形变v i r a s o r o 代数的自同构群，给出了两个w i t t 型h o r n l i e 代数 同构的充分必要条件 第四章计算了w i t t 型h a m l i e 代数的2 h a m 上循环和q 形变w i t t 超代数的2 一h a m l e i b n i z - 上循环 1 3 本文的主要结论 对于无中心拓扑= 2 超共形代数丁，我们证明了它的所有l i e 超双代数是上边缘三 角的，从而刻画了经典y a n g b a x t e r 方程相应的解 定理2 1 1 ：( 1 ) 在丁的伴随对角作用下，v = t 固t 作为丁一模：日1 ( 丁，v ) = d e r ( t ，v ) i n n ( t ，v ) = 0 ( 2 ) 无中心拓手b n = 2 超共形代数丁上的每个l i e 超双代数是上边缘三角的 对于v i r a s o r o 代数在h o r n l i e 代数中的形变，g - 形变v i r a s o r o 代数，我们刻画了它 的自同构群 定理3 2 4 ：q 形变v i r a s o r o 代数v i r g 的自同构群为：a u t ( v i r q ) = a l 入c + ) ，其 中a 为线性变换 a ：v i r g 叫v i r 口 l nh l 。 对于w i t t 型h o r n l i e 代数，我们给出了两个w i t t 型h a m l i e 代数同构的充分必要 条件，同时计算了2 h a m 一上循环 定理3 3 2 ：设( w 1 ，( 1 ) ，( w 2 ，白) 为两个w i t t 型h a m l i e 代数，其中肌= ( a 1 ，t i ，妒1 ) ， = w ( a 2 ，t 2 ，妒2 ) 若e ：w 1 一鹏为h a m l i e 代数同构映射，则存在x x ( 铷，以及 第一章 前言 同构盯：a l a 2 ，7 ：乃一t 2 ，满足( 7 - ( a ) ，盯( z ) ) = ( 0 ，z ) ，vz 40 五，使得 o ( t 霉0 ) = x ( z ) t 。p ) r ( a ) ，vz a0 互 定理4 1 1 ：w i t t 型h o r n - l i e 代数wn 2 h o r n 上循环为： 砂( 铲0 ，0 ) = 0 ，当z 0 时，矽( 矿0 ，t u o ) = 0 ，当z + y 0 时， 任意给定跏a ，使得o ( x o ) 0 ，n o ( x ) 0 时， a ( x ，z o ) 砂( 霉0 ，t 一。0 ) = 6 ( z ，z o ) 妒( t z 。0 ，t - z o o ) + c ( z ，z o ) e ( t 2 。0 ，t - 缸o o ) ， 其中口( z ，z o ) ，6 ( z ，z o ) ，c ( z ，z o ) 为关于q a ( 一动一q o ( z ) 的函数 对于q g c 变w i t t 超代数，我们计算- j 2 一h o m l e i b n i z - _ l ：循环 定理4 2 1 ：q 一形变w i t t 超代数v _ t ：o 向2 一h o m l e i b n i z 一上循环为： 且 妒( 叉k ，j ) = 妒( g n ，g 仇) = 0 ，vn ，m z ， 妒( ，g ，) = 0 ，v 礼+ 7 + 1 0 ，n 土1 ，0 ， 妒( x 1 ，g 一2 ) = 妒( x 一1 ，g o ) = 妒( ，g 一1 ) = 0 ， ( q 一七一q - t ) ( 1 + q k + 1 ) 妒( x 一七一1 ，g 七) = ( 1 + q - k ) ( q 一1 一q k + 1 ) 妒( x 一七，g k 1 ) ， 并且妒( 凰，g 一一1 ) 由妒( x 一2 ，g 1 ) 完全确定，其中七2 或七一3 ； 且 妒( g 几，墨) = 0 ，vn + r + 1 0 ，r - + 1 ，0 ， 妒( g 一2 ，x x ) = q o ( a o ，x 1 ) = 妒( g 一1 ，x o ) = 0 ， ( q 一1 一q r + 1 ) ( 1 + g 一) 妒( g ，一1 ，x 一，) = ( 1 + q r + 1 ) ( g 一1 一g 一7 ) 妒( g ，足，一1 ) ， 并且妒( g ，汇，一1 ) 由妒( x 一2 ，g t ) 完全确定，其中r - 3 或r 1 5 第二章拓扑n = 2 超共形超双代数 量子化l i e 代数的关键一步是确定l i e 代数上的l i e 双代数结构r a m o n d 和无中心 扭= 2 超共形代数_ j ：的l i e 超双代数结构分别由文献 2 8 和 2 9 】给出本章确定了无中心 拓扑= 2 超共形代数的l i e 超双代数结构，证明了其上的所有l i e 超双代数是上边缘三 角l i e 超双代数( 见定理2 1 1 ) 2 1 定义和性质 首先我们回顾一些定义设丁= 尹0 丁1 为复数域c 上z 2 阶化向量空间假定下面所 有元素都是z 2 齐次的，其中z 2 = ( 6 ，i ) 对z 丁，记号z 2 表示z 的度，即z 丁吲 记7 - 为丁0 丁上的超扭转映射，即 丁( z 1ox 2 ) = ( 一1 ) b l l i z 2 x 2oz 1 ，vz l ，z 2 t ， 记为丁。丁0 丁上的超循环映射，即 f = ( io7 ) ( 下o1 ) ：z loz 2oz 3一( 一1 ) k i 】( k 2 j 十k 3 1 ) x 2oz 3oz 1 ，vz 1 ，z 2 ，z 3 丁， 其中l 为丁的恒等映射我们可重新定义l i e 超代数如下： 设丁为超向量空间，双线性映射妒：7 - 丁_ 丁，若满足 妒( 丁。，t j ) c 丁。卅，vl ，j z 2 ， k e r ( 1o1 7 ) ck e r 妒， 妒( 1o 妒) ( 1 + + 2 ) = 0 ：丁 丁。丁_ 丁 则称( 丁，妒) 为一个l i e 超代数 定义2 1 1 ：( 1 ) 设丁为超向量空间，线性映射a ：t _ tot ，若满足 ( ，) c 矿。矿，vi ，j ，七z 2 ， j + k = i i maci m ( 1 圆1 一下) ， ( 1 + + f 2 ) - ( 1 a ) - a = 0 ：丁一t 丁。丁 则称( 丁，) 为一个l i e 超余代数 ( 2 ) 若( 丁，妒) 为l i e 超代数，( 丁，) 为l i e 超余代数，且 妒( z 圆y ) = z 可一( 一1 ) t z 】b 】可z ，vz ，y t ， 6 第二章拓扑n = 2 超共形超双代数 其中符号“”为伴随对角作用，且陋，y = 垆( zoy ) ，即 z ( a tob i ) = ( i x ，a i ob i + ( - 1 ) t z 】【a d a i 圆【z ，玩】) ，vz ，a i ，b i t ， ( 2 1 1 ) l 则称( 丁，妒，a ) 为l i e 超双代数 定义2 1 2 ：( 1 ) 假设( 丁，妒，a ) 为l i e 超双代数，r i m ( 1o1 一r ) ctot ，若定 义a = a ，如下 ，( z ) = ( 一1 ) r l x x r ，vz t ， ， 则称a = a ，为r 的上边缘，( t ，妒，a ，) 为上边缘l i e 超双代数 因为假设7 是齐次的，所以存在m z 2 ，使得7 = a i 圆b i ，a i ，玩是齐次元素，我们 将r 的度定义为r 】= a i 】+ f b i ( 2 ) 上边缘l i e 超双代数，若满足经典y a n g b a x t e r 方程( c y b e ) ： c ( t ) ：= 垆，r 1 3 】+ 垆，r 2 3 】+ 护，2 3 】- 0 ，( 2 1 2 ) 其中 r = e 口i 。饥，r 1 2 = 吼。6 i 。1 ，r 1 3 = a i 。1 。玩，r 2 3 = 1 。a i 。6 t ， tt i 则称上边缘l i e 超双代数为三角的 设丁= t oot 1 为超代数，y = v o0v i 为丁- 模z 2 齐次线性映射d ：t _ y ，若满 足以下条件： d ( t i ) cv 件问， d ( 【z ，y 1 ) = ( 一1 ) 问陋】。d ( y ) 一( 一1 ) 【引( d 】+ x 1 ) y d ( z ) ，vz ，y t 则称d 为度为闻z 2 的齐次导子若 卅= 石，则称d 为偶的；若 硼= i ，则称d 为 奇的记d e r p ( 丁，v ) 度为p 的齐次导子集合，则从丁到y 的导子集a 为d e r ( t ，v ) = d e r 石( 丁，y ) od e r l ( 丁，y ) i p _ , i n n v ( t ，v ) 为度为p 的齐次内导子集合，由n i n n ，a v p 组成其中 a m ：zh ( 一1 ) a l x l x 口，vz t ，【口】= p 则内导子集合为i n n ( 丁，v ) = i n n 6 ( 丁，y ) oi n n l ( 丁，y ) 记日1 ( 丁，v ) 为系数在v 中的丁的一阶上同调群，而显然有 日1 ( 丁，v ) 兰d e r ( t ，v ) i n n ( t ，y ) 7 ，一 8 东南大学硕士学位论文 若r t 满足 z c ( r ) = 0 ，vz t ( 2 1 3 ) 则称r 满足修正y a n g b 凹t e r 方程( m y be ) 本章将研究无中心拓扑= 2 超共形代数丁，其中丁= t 6 0 丁1 ，f h b o s o n i c 算子n ，h n 弄4 1 f e r m i o n i c 算子吼，q n 生成( 即一= s p a n c c n ，7 - nln z ) ，t 1 = s p a n c ( 吼，q 几in z ) ) ，带有下面交换关系( 见 4 0 】) ： c m ，q n 】= 一n q m + n ， c m ，- 。j = - n - 。+ n ，【7 - 仇，9 n 】= 6 | m + n ， 【c m ，岛 = ( m n ) + n ， 7 - m ，q n 】= 一q m + 住， c m ，n 】= ( m n ) c m + n ， ，q 。 = 2 c m + n 一2 n 7 - m + n 显然，t = 0 迮z 互可z - 阶化，其中互= c c i0c “t0c 瓯ocq i ，i z 本章的主要结论如下： 定理2 1 1 ：( 1 )在丁的伴随对角作用下，y = 丁pt 作为丁一模，日1 ( 丁，v ) = d e r ( t ，v ) i n n ( t ，v ) = 0 ( 2 ) 无中心拓扑= 2 超共形代数t 上的每个l i e 超双代数是上边缘三角的 2 2 主要结论的证明 本文中用z + 表示非零整数集下面引理可通过采用【2 3 ，2 8 的方法类似得到 引理2 2 1 ：( 1 ) 三元组( 丁，【一，一 ，a ，) 为l l i e 超双代数当且仅当r 满足 ，y b e 亿1 3 ( 2 ) 如果r t 丁满足z 7 = 0 ，vz t ，则r = 0 ( 3 ) 元素r i m ( 1 圆1 7 - ) 满足c y b e ( 2 1 2 ，当且仅当r 满足 ，y b e 偿1 3 ， 命题2 2 2 ：d e r ( t ，v ) = i n n ( t ，y ) ，其中y = t t 证明：注意到y = o 炬z k 可z 一阶化，其中k = j + ：t 乃。五，i ，j ，k z 如果d ( 乃) c k 竹，v 歹z ，则称导子d d e r ( t ，v ) 为度为i z 齐次，并i e , i 为d e g d i 发d e r ( t ，y ) = ( d d e r ( t ，v ) id e gd = i ) ，i z 设d d e r ( t ，y ) ，对t z ，我们定义也如下：vu 乃，j z ，可写d ( u ) = 七zv k v ，其中魄k ，设也( “) = 饥钾，贝l j d i d e r ( t ，y ) i ，且有 d = d i ，d i d e r ( t ，y ) t i e z ( 2 2 4 ) 假设这样的和是有限和，即对任何u t ，d ( u ) = 诞z 也( “) ，只有有限多个也( u ) 0 ， ( 有限和将在断言3 中给出证明) 我们假设下面出现的和都是有限和 断言1 ：d i n n ( t ，y ) ，d o ( o ) = 0 ，vi z + 任取i z + ，记u = 一也( c o ) 对任意巧l ：j ，将也作用到 c o ，x j = 一j 巧，利 用也( 巧) k 卅和c o 在k 啊的作用是数乘一i j i ，有 一( t + j ) d i ( x j ) 一( 一1 ) 【d 1 i x ， x j d i ( l o ) = - j d i ( x j ) ， ( 2 2 5 ) t t p d i ( x j ) = u 缸n ( ) 因此以= u i n n 为内导子将i = 0 代入( 2 2 5 ) ，, - - i 得z d o ( g o ) = 0 因 此结合引理2 2 1 ，有d o ( c o ) = 0 断言2 ：用而一u i n n 代替d o ，u v o ，我们可假设d o = 0 对任意的n z ，记 d 0 ( c n ) =( a n , i f - 件n 。7 - 1 一+ 口：i 7 - 1 件n 。c 一 + k ，t c 件n 9 一 + 6 ：，t 鼠+ 几 c i i e z + c 几t t + noq i + c ： q 件nqc i + 厶，i 7 - 1 i + n 9 一t + d ：，t 9 i + n 。7 t t + e n ，t 7 - t 件noq i + e ： q 件n 。咒一i + 厶，t 鼠+ n 圆q i + 矗，t q 件n 9 一 + q 珏，t c 件noc i + 风，t 7 - l i + n 圆7 - 1 一i + ，l 鼠+ n 圆孚一i + 2 n , iq i + n 圆q i ) 其中张量积的系数在c 中，由关系式和伴随对角作用，我们有下面内导子作用， c 1 ( 疋 z t ) = 疋圆z 1 一i i 疋+ loz - i ，石，z = 7 - i 或q ， c 1 ( 疋pz t ) = ( 1 一t ) 疋+ 1 圆z - i + i 疋oz 1 而石，z = 或9 ， c 1 ( 花qz i ) = ( 1 一t ) 越+ l 圆z i + t 疋圆z 1 “疋= c 或9 ，z = h 或q ， c 1 ( 疋。互 ) = ( 1 + i ) 疋oz 1 一 一t 疋+ 1oz 而疋= 氕或q ，z = c 或9 ， 通过减掉上述内导子的线性组合( 注意到此变换不影响如( c o ) ) ，因此d o ( c 1 ) 一p 1 ，一1 q oo q l 一肛1 ，o q l 圆q o 可改写为 a l , - 1 ：。 7 - 1 + 口1 ，1 2 。7 - 1 1 + o i ，一2 7 - 一l 。2 + o j ，。7 l l 。c o + 6 1 ，一2 c 一1q g 2 + b 1 ，1 c 2 。乡一l + 6 i 一2 9 一l c 2 + 6 j ，1 9 2 。c 一1 + c l , - l c 。 q i + c l , l c