（基础数学专业论文）例外型单李代数的3维f稳定单子代数的分类.pdf

摘要 本文试图讨论特征p 8 的代数闭域上典型单李代数( 苹代数群所对应 的李代数1 在f i o b e n i u 8l i e 态射作用下的结构理论本文的结果分为两部分： 第一部分，证明了杜杰墙f 斌所定义的李代数上的f r o b e z l i l l sl i o 态射在典 型单李代数上的定义( 参见嘲) 与李型有限群的定义映射( 对应的单代数群上 的f r o b e n 沁8 映射) 诱导到李代数上的f r o b e i l i u sl i e 态射( 参见【l 鹤) 是等价 的第二部分，得到了例外型单李代数的在f r o b e n i u sl i e 态射作用下保持稳 定的3 维单子代数的分类 关键词：n o b e n i u sl i e 态射g l 共轭类誓稳定子代数 a b s t r a c t l nt 圭l i sp a p e r ，、v et r yt od i s c u s st h es t r u e t u r et h e o r yo fe l a s s i c 越s i m p l el i e a l g e b r a s ( c o r r e s p o n d i n gt os i m p l ea l g e b r a i cg r o u p s ) w h i c hu n ( 1 e rt l l ea c t i o n o ff r o b e n i l l sl i em o r p h i s m ( 0 v e ra na l g e b r 赫c 越1 yc 1 0 8 c d 鑫e l do fc h a r a c t e r i s t i c p o ) t h e r ea r et w op a r t so fo u rr e s u l t t h ef l r s tp a r t ，、v es h o wt h e f r o b e n i u s “em o r p h i s mo nc l a s s i c a l8 i m p l el i ea l g e b r aw h i c hi sd i r e c t l ys e t u po nt h el i ea l g e b r ai 拈e l f ( i i l t r o d u db yd u s h u ，c f 吲) i sc o n s i 8 t e n tw i t h t h ei n d u c e da c t i o no nl i ea l g e b r 8 sf r o mt h ef r o b e n i u sm a po nc o r r e s p o n d i n g s i m p l e 赳g e b r a i cg r o u p s ( c f 【14 ) t h es e c o n dp a r t ，w eo b t a j nt h ec l a s s i f i c a t i o n s o ft h et i l r e ed i m e n s i o n a ls i m p l el i es u b a l g e b r a sw h i e hk e e ps t a b l eu n d e rt h e a c t i o no f & o b e 玎i l l sl i em o r p h i 8 mo fe l a s s i c a ls i m p l e 出g e b r 船o fe x c e p t i o n 硇 t y p e k e yw o r d s ： 轴o b e n i u s 己i em o r 砖主s i n g l c o 玛u g a e yc l a s s 卮一s t a b l es u b a l g e b r a 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明弓l 用的内容外，本论文 不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重 要贡献的令人和集体，均已在文中作了明确说唬并表示谢意 作者签名： 学位论文授权使用声明 本人完套了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并尚匡家主管部门或其指定辊榜送交论文的电 子版和纸质版。有权将学位论文用于非赢肇j 嚣装的少量复制并允许论 文进入学校麴书馆被查阏。有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在 解密后适用本规定。 学位论文作者签名：骈7 导师签名： i h 挑鲫，f 扩疆期： 崭“ o 引言 f r o b e n i u s 映甜作为连通约化代数群理沦中的一个重要工具，萁作用不仅 在代数群层面意义重大( 事实上，连通约化代数群在n o b e n i u s 映射下保持不 动的点构成的集合就是藩名的李型有限群1 ，而且它诱导到代数群的李代数上 的作用也缀有意义妇文 1 酥 16 在磺究有限李代数的f 。u r i e r 变换时就考 虑了诱导到李代数层面一 二的作用文【1 4 在研究李型有限群的李代数时详 细给出了将代数群上的& o b e n i u s 映瓣诱导到其李代数上f f 譬作用的过程最 近，杜杰和舒斌为了研究有限李代数的表示理论，直接在李代数屡面上定义 了o b e n i u s “e 态射( 参见【6 】) 在论文的第一部分，我们将证明从代数群层 面上的n o b e n i u s 映射自然诱导到其李代数上的作用和蚓定义的r o b e n i u s l i e 态射怒等价的( 称两个f r o b e n i u 8l i e 态射是等价的如果它们的不动点 雾。一李代数是阑构豹，见 6 】) 需要指出豹是我铜这里考虑的是特惩为p 豹代 数闭域上的单代数群，且假定p 5 e b d y n k i n 在文阳中给涨了复数域上半单李代数的半单子代数的完全 分类特别地，他利用所谓的特征图f 即我们后面将要定义的权图) 刻蜮了 例外型单李代数的3 维单子代数的共轭类( 已由s p r i n g e r 和s t e i n b e r g 在 2 ，p 姐te 】拔推广到特征足够大的代数闺域上) 蠢j a c o b s o n m o z o v 定理 ( 参见h 5 3 】，已在文 18 j 中被推广到特征p 为“g o o 小的代数闭域上) 将3 维 莘予代数豹g _ 共轭粪和g 在李代数上的幂零轨道建立趣了一一对应的关 系( 其中g 为单李代数相应的伴随群) 在论文的第二部分，我们将根据p b a l a 和r w c a r t e r 在特征为p 3 ( 一1 ) ) 的代数闭域上幂零轨道的分类结 果( 通过所谓的b a l a c a r t e r 理论得到) 将e 。b d y k i n 的例步 型单李代数的3 维单子代数的分类在特征p ( p 3 ( 一1 ) ) 的代数闭域上的推广重新给出叙 述为后瑟研究在o b e n 砸8l i e 态射侔用下僳持稳定熬3 维单子代数的分类 预做准备由于本文依赖e _ b d y n k i n 关于例外型单李代数的3 维单子代数 的分类的一些结果，故我们只对倒外型单李代数加以讨论。 最后，在沦文的第三部分，我们来用h 关于= 李代数e 的f r o b e n i u sl i e 态 刳豹定义方式，研究了例外型单李代数的存f 如b e n 址sl i e 态雕作蠲下操捺稳 定的3 维单子代数给出了3 维单子代数稳定的充要条件，并得到了所有这 些子代数的分类f 南权图刻划) 本文的结构正是按上述思路组织的：在第一部分，我们讨论了蚺李代数上 f r o b e n i u sl i e 态射的两种不同定义方式的等价性在论文的第二部分，我们 绘嬲了e b ，d y k i n 的例舢型单李代数的3 维单子代数的分类的攘广，在第三 部分，我们得到了例外型单李代数的在n o b e n i u sl i e 态射作用下保持稳定的 3 维单子 弋数静分类 2 1 定义的等价性 设g 是特征为p ( p 5 ) 的代数闭域上的单代数群( 当g 为a 。型时，要 求p 不整除n + 1 ) ，定义在有限域f 。上( 使得聪= 瓦) ，f 为相应的n o b e n i u s 映射，这里g 足p 的正整数方幂记g = 勘e ( g ) 为g 的李代数，山 1 0 ，5 54 1 知o 是聪上的单李代数，且和g 为同种类型( a 。，晶，g ，风，b m 一 6 ，7 ，8 ) ，日，g 2 中的一种) 我们知道g 上的n o b e n i l l s 映射f 可以自然诱导 出g 上的f r o b e i l i u sl i e 态射，记为f ( 参见 14 】) ，最近，文 6 】直接从g 作 为向量空间出发，在g 上定义了李代数的一般f r o b e n i u sl i e 态射f 口和标 准f r o b e n i u 8l i e 态射晶，并给出了二者之间的关系本节我们就来讨论g 上 这两种定义的等价性，我们将证明存6 1 定义的等价意义下这两种定义方式 是等价的，即在n o b e n i u sl i e 态射作用下保持不动的点构成的子代数作为 f 。一李代数是同构的 我们先来回顾1 4 1 是如何将g 上的f r o b e n i u s 映射f 诱导成g 上 的f r o b e n i u sl i e 态射f 的：对于g 上给定的f r o b e n i u s 映射f ，我们可以 选取g 的f 稳定b o r e l 子群b f 即f f b ) = b ) 和b 中的f 稳定c a r t a n 子群日，设 ，o 中为g 的相对于h 的根子群集合，中是相应的根 系，定义中中的序使得b = ( h 以，圣+ ) ，则f 置换日的根子群集 合 玩，d 垂) ，从而诱导了中+ 上的一个置换，注意到我们这里要求域的特征 p 5 ，由 4 ，5 1 1 9 知此时f 诱导了g 的单根系一扣，o z ，d 。) 的图自 同构f ，则r 可扩充为g 的自同构：将根子群映到以，我们知道由g 的d y n k i n 图的同一图自同构引起的g 的自同构至多差g 的一个内自同构 ( 参见 1 2 ，5 2 7 4 ) ，因此在选择适当的坐标下，我们有f = - r = r 岛其 中( ( f ) ) = ( 。) ，对任意的n 币，f k 日作用在c a r t a n 予群日上 也是将其元素提升a 次幂 下面我们来介绍f 。结构：设k g 足g 上的仿射坐标环，则k g 有一 个f 。一f o r mf 。 g 事实上由 8 ，1 e m m a 4 1 3 知f 。【g 】= ， g | f + ( ，) = 产，其中巧为r 诱导的余态刺 ，因此r 足g 的个f 。白同构，且日和相 3 对于日的根子群都是定义在有限域乳上的。 现在我们来将g 上的n o b e r l i u s 映射b 诱导到相应的李代数g 上： 由前嚣g 粒定义，我们可以考虑最在g 主的f 。线性 乍罔，汜为蜀，对任 意的，y t ( g ) 。，( t ( g ) 。为g 单位元e 处的点导子集合) ，1 ，z 岛聪， ，1 ，2 厶如同，定义f q ( 们( 舂 净6 7 限) a ，容易验证如藏定义豹岛 是合理的：v ，9 孤【g 】，不妨写，= 。啦 ，g = 马野啦，k ，五，彩 g ，则 蜀( 了) ( ，g ) 一蜀( 7 ) ( i j 啦幻五野) 一。q b 7 ( 绑) 9 一。吼螗h ( ) 毋( e ) + ， ( e ) 1 ( 毋) ) 9 = 谢吼为( 7 ( 五) 。岛( ) + 五( 8 ) 7 ( 毋) 4 ) = ( ；。1 ( 五) 9 ) ( j 鲫( e ) ) + ( t o t 五( e ) ) ( j b 7 ( 岛) 9 ) 一( ，y ) ( ，) 9 0 ) + ，( e ) 日( 7 ) ( g ) 故知豆( 7 ) 仍为g 的单德e 处的点导子 鼠保持李括积：考虑点导子的矩阵实现，则b 在其上的作用即为将每 个坐标提升q 次方( 具体实现过程见后面引理1 8 的证明) ，从而慰然保持李 括积。因此是李代数g 一芝豹f r o b e n i u sl i e 态瓣，此即为r 诱导到相应豹李 代数g 上的f r o b e i l i u 8l i e 态射，仍记为e 令f 诱导到李代数g 上的乳o b e n i u sl i e 态射f = 打咒，其中打为7 - 的微分由f 1 4 ，1 4 】知是g 的一个f q 一型，即g 麓( 9 7 ) 固f 口k ( 作为融李 代数) 特剐地，我们有g 摧( g 岛) r 聪 f 西，我们来囊文旧是如何定义g 二的n o b e n i u sl i e 态射： 定义1 1 ( 6 ，5 22 】) ，设g 是代数闭域k ( k = 瓦) 上的李代数，称映 射瓦：g g 为g 上的辩o b e n i u g 跌瓣，妻霆莱： ( 1 ) 玛( n z ) = n q ( 。) ，v z g ，n k ( 2 ) 切g ，j n z + ，使得f 孑( ) = 。 若再满足： ( 3 ) b ( f z ，】) = 【玩( z ) 晶( g ) 】v z ，可g 4 则称为a 上的n o b e n i u sl i e 态射 以下g 均指【2 0 1 意义下的典型淮李代数，即单代数群所对戍的李代数 现在我们再来看文矧如俺定义g 上的标准f r o b e n i h s 毛i e 态甜，蕾先，我 们围定g 的一个c w t m l 子代数b ，垂为相应的根系，为单根系，任意选取9 的组c h e v 甜l e y 基 e 。，圣，k 。， ，( 通过糯应的复数域上的李代 数g c 豹c h e v a l l e y 基”i o dp 得到，参见【3 点4 4 ) 记z 。( ) ：= e x p ( 8 d 把。) ，饥 k ，0 = 西，其中。出e 。( ) = t e 。，引，v g ，易知如此定义的n 疵是g 的一个 垂划构，秀记g ( b ) ：= z 。( 亡) ，t 嚣，a 垂) ，这就是募名豹( 伴隧型) c h e v 猷l e y 群 定义1 2 ( 泌，5 】) 设g 怒代数闭域k 噼= 砖) 上的荜李代数，称 f b b e n i u 8 映射磊：g g 为g 上的标准n o b e n i u s 映射，如果：= ( 。mo 。e 。+ 球n 瓯 。) a ，f 0 ( 。) = 。m 。：e 。+ 。n 酵 容易验证，如此定义豹磊保持李攒积( c h e v a h e y 基的结均常数为整数在 这熙起了关键性的作用) ，因此是g 上的一个轴o b e n i u sl i e 态射 注记：这个定义是结合于一缝c h e v a l l e y 纂的，韭由下蕊豹命蘧1 4 褥在 不同的c h a l l e y 基下的定义是等价的 此外，文 6 1 还引入了g 上两个f r o b e l l i u 8l i e 态射等价的定义： 定义1 3 ( 嗡2 5 限豆，磊分剐楚g 上两个n o b 锄i u 8l i e 态菇，称最 和豆是等价的，如果g 羁竺g 岛( 作为咿。李代数) 记为豆一豆 对于如t 标准n o b e n i u sl i e 态射的定义方式，我们有如下结论： 命蘧1 4 g 上瓣任意两个标准f r o b e n i u 8l i e 态射娲和f l 都是等价的， 即有：磊一豆 诞明：设磊是相对于g 8 r t a n 子代数b o 的一组c h e v a l l e y 基 ， 。) 上 的标准n o b e n i u sl i e 态射，最是相对于c t a f l 子代数b l 的一缎c h e v 龃l e y 基 e j ， ；。) 上的标准n o b e n i u sl i e 态射， 煲l g 。j = ( e 。，是。：) ! z ( e 。，丸。；) 圆z ， g 娲= f 。( e j 岳) 型z ( e ； 麓) z f 。 由f l l 荐2 54 】知：z ( e 。，矗。：) ! z 略，矗) 所以。厢皇g f l ( 作为f 。一李代数) 5 印磊一磊 口 注记：由上面命蹶的证明过程和下面的引理1 6 ( a ) 可知，对于李代数9 ，若 其g a r t a n 子代数确定了，捉习晶的定义就唯一确定7 ，它与e h e v a h e y 基的选 取无关( 因为相对于同一c a r t a n 子代数，不问的c h e v a l l e y 基中的元素至多 相藏个符号( 参觅l n ，2 5 矧) ，从而f q 一生成的李代数相同) 对于如上定义的兄和蜀，我们有妇下结论： 命题1 5 ( 6 ，l e m m a 5 2 ) 设g 为贝型单李代数，则g 上任意的f r o b e n i u s l i e 态射瑶= f 露，且这种分解是唯一的其中f f ，r 为由g 的d y n k i n 图的自同构所唯一诱导的李代数g 的自同构构成的自同构群( 参见【2 0 ，p 6 5 ) ， f 篇窖一1 一f b 9 ，9 g ( 白) 本节的主要目的就是证明在上面定义1 3 意义下有f 一日，为此我们还需 要下嚣豹弓| 理： 号i 理1 6 ( 【6 ，5 2 6 ) 设f 1 和f 2 是g 上两个f r o b e n i u sl i e 态射，则有： ( a ) f l = 玛当量仅当g 砖= g 恐 ( b ) f 1 一易当且仅当j 一a u t ( g ) ，使得n 一口马矿，其中a u t ( g ) 为 g 的自同构群 引理1 7 ( 6 ，5 】) ( 8 ) 妇a u t ，劫g ( 喊使得f - 1 - 玛口= g 焉9 ( 6 ) 均g ( b ) ，j 危g ( b ) ，使得目- 岛一 _ 。日 ( c ) 对于g 上的两个b e n i u sl i e 态射最一赶磊帮磊= 乃露，这 熙n ，仡r ，弼， g - 局t g 旧g ( b ) ) ，则日一f 2 当且仅当n ，丁2 在r 中共轭( 即存在r r ，使得亿= t n r ) 存了上嚣约7 辫和准备工作，我们现在可以来证明f 和蜀鹊等侩挫营 先我们来证明只和昂是等价的 引理1 8 日和娲定义如上，则日一局 证明：慰于代数闭域聪一b 给定的单l 弋数群g 及箕李代数g ，因为同宗粪( 具 有相同d y n k i n 图的单代数群) 对应的李代数相同( 参见【1 0 点54 】) ，故为了讨 6 论方便，我们不妨假设g 为伴隧型。 o c 为复数域上和g 同种类型的单李代数，b c 为g c 的一个a a r t a n 子代 数，圣为穗应豹掇系，玎为苹校系b 一 i a 圣 o 凫。0 啦珏 是相对 于b c 的一组c h e v a l l e y 基记瓤：= 瓞 z ( 固z ，g ( k ) ：= ( z 。( f ) j o 圣，t 砖) 垦g 三( g k ) ，其中z 。( t ) = e ) c p ( 掘d e 。) ，则三钯( g ( k ) ) = o k ( 参见 8 ，1 5 1 5 】) ， g ( 聪) = g ( 参见f 1 7 ，骑1 】) 从丽g = g k ，故我们不妨将g 和瓤等同起柬 由f 8 ，5 1 5 15 】，g ( k ) 是g l ( 胀) 的一个连通闭子群( 可通过a d 作用嵌入) ， 从露瓤瓣通过勰作翅嵌入翻线性李代数g l ( 缸) 中，避蘑圊麴于g l 国k ) 对应的矩阵代数( 相对于开始取定的c h e v 甜1 e y 基) 的一个子代数我们 来考察f 0 诱导到线往李代数上的作用( 不妨仍记为) f 0 ：因为e h e v 毹l e y 基的结构常数为整数，故a 如。对应的矩阵为坐标皆是整数的矩阵，由 兆一( 。mo 。e 。+ 。印6 。) g ，聆( z ) 一。mn ：e 。十州h 酵 可 知娲在线性李代数上的作羽是终矩阵的每个坐标提升为q 次幂( 注意到整数 的q 次幂在特征p 域上为其本身) 下面再着日在g 嵌入的线性李技数上的作用：v x g 墨，由【王2 荐9 3 】 知其对应的矩阵实现a x = ( x 慨，) ) 。，其中为矩阵的坐标函数因 此日( x ) 对应的矩阵为a 元一( 日浮) ( ) ) 。= ( x ( ) 。) 。( 参见前面 目的定义) 这说明玛诱导到李t 弋数的矩障实现上的作用( 仍记为) 岛即为 将矩阵的每个坐标提升d 次幂 记g 对疲的线性李代数实瑗为g m ，刚由暴露蜀静作用均为将矩猝豹每 个坐标提升g 次幂可知；g 玺2g 器，从而g 晶_ g 昂，因此有最一f 0 综上，引理证毕 口 注淑：当g 为a h 与k 2 ) ，c ：枷3 ) ，1 扎( n = 7 ，8 ) ，毋，9 2 型时，相威的 李代数g 的单根的d y n k i n 图的隰自同构为l ，由模李代数的经典结果：对于 给定的有限域f 。，图自同掏为1 的单李代数g 的f 。一型在间构意义是唯一 的( 参见 2 0 ，i v 6 1 ) ，又l ；_ b 前面的预备知识我们知道g 局，g 娲均为g 的f 口型 ( 事实土。绘定g 的f 。一型和给定g 上的一个n o b e n i u sl i e 态射f 是等价 的，因为每个9 的职。一型都可看成g 在f 作用下在保持不动的点构成的予代 数) ，因此对于这几种型的李代数，立邵可知有g & 竺g 罚( 作为f 。一李代数) 由定义l3 ，即e 一焉， 7 下面我们再采涯明g 上一般熬o b e n i _ 1 1 8 映射诱导的f 韶文斟定义 的巩也是等价的 定理1 9 辩于如上定义豹f 稆日，我们有f e 证明：设g 为单代数群，f 为g 上的f r o b e n i l l s 映射，由前面的叙述f 诱导 到g 相应的李代数g 的f r o b e i u 8l i e 态甜f 一打- 羁，其中打为r 的 微分 根据r ( ) = 珥，r ( h ) 一廿( 其中日，分别足g 的c a r t a n 子群和相 对于c a r t a n 子嚣的根子群) ，可知打江话( ) ) = 把( 珥f 。 ) ，出( 诧( 蟊) ) = l i e ( 日) ，由【l o ，p 4 知助e ( 日) ，l 钯( ) 恰为g 相应的李代数g 的c w t a n 子 代数和相应的裉空间，因此打是g 上的保持e a r t 拍子代数自不动，且将根 空间瓢殃到g ，( 。) 的自问构，事实上，由【2 0 ，p 6 5 】我们可知：打一r ，危，其中 r r ， 为g 的满足 ( e 。) = a ，e 。，九( e 一。) = a i l e 。，危( 。) = 。，的自同 构，e 。，e 。是。分别是投向量和c 8 r t a h 子代数中的元素所以f r + 氩+ 最 由引理1 7 ( b ) 知为g ( b ) ，使得h 蜀= gr 9 ，樽根据上面的引理 1 8 和弓 理1 6 知：存在口a u t ( g ) ，鲣得墨w = 口+ 蜀- d ，结合g i 理1 7 ( a ) 知：存在g ( b ) ，使得只= 昂p 从而f = 7 - ( 9 p ) 一1 蜀( 9 ) ，9 p g ( b ) 对于文隧中的疋= r 旷1 f o 口，9 g ( b ) ，( 熙然我们这里讨论等价性 必须考虑同一个图自同构才有意义1 根据等| 遴1 7 ( c ) ，我们立即可得：f 一蜀， 至此，定理证毕 口 注记：( 1 ) 通过本节的讨论，我们知道荜代数群g 上的f r o b 衄i t l s 映射f 诱 导到其李代数g 上的f r o b e n i u sl i e 态射，实际上和从g 上直接定义的兄 是等价的，而后面那种定义方式无疑要具体得多，且可以和c h e v a l l e y 群建立 起缀好豹联系 f 2 ) 我们将在第三部分用后面那种定义方式来研究例外型单李代数的 在五作用下保持稳定的3 维单子代数( 我们称之为咒稳定子代数) ，并绘 出3 维单子代数是否咒一稳定的判定和分类( 在g ( 0 ) 共轭意义下) 8 2 特征p 域上例终型单李代数的3 维单子代数的分类 设g 是代数闭域k 上的例外型单李代数，在本节我们总假定域的特 征p 3 ( 危一1 ) ，其中 是g 的c “e t e r 数，由 1 3 曩3 1 2 j 知 晚= 1 2 危f ，= 1 8 ， 岛= 3 0 ，矗最一1 2 ，a g 。= 6 ，取定g 豹一个c a r t 8 n 子代数b ，圣为橱应的 根系，n 为睢根系，任意选取g 的一组c h e v a i l e y 基和。垂， 。n ) ， g ( ) 是l 定义豹e h e v a l l e y 群，事实上，由 2 0 ，3 4 ，1 ，4 1 1 ，4 。1 2 】我们知道 在代数闭域上，g ( b ) 的选取和b 无关，故我们下面为方便就简记为g e b d y n k i n 在包那箱著名的文章i 7 ，c h a p t e r 3 1 中给出了复数域上半单李 代数的3 维子代数的分类( 在p 共轭意义下) ，特别地，他给出了测外型单 李代数的3 维单子代数的分类结果( 对于a ，日，ed 型子代数的分类已由别 人给出) ，实际上，纯证明了复数域上半单李代数豹子代数豹分类掰以归结为 单李代数的子代数的分类此外，在复数域上，著名的j a c o b 8 0 nm o m z o v 定 理( 参见f 4 ，5 3 】，已在文f 1 8 】中被推广至特链p 弩d ”的代数闭竣上) 将阕 构于s f 2 的3 维予代数的g _ 共轭类和g 在g 上幂零轨道建立了紧密的联系 事实上，该定理指出李代数g 中每个幂零元都可唯一( 在g l 共轭意义下) 地 嵌入到一辅构于8 f 2 的3 维子代数中，从而在子代数的共轭类的集合和g l 幂零轨道的集合问建立了一一对应的关系，这样根据e b ，d y n k i n 的分类结 栗帮可褥昏幂零轨道| ! 孽分类( 对于a ，b ，gd 壅g l 幂零轨道的分类有嗣的 方法处理，( 参见1 5 1 ) p b “a 和r w c a r t e r 在7 0 年代初通过其它j ；| 勺方 法( 即b 8 l a c a r t e r 理论) 将( 幂零轨道的分类推广至特征p 囟 3 ( 九一1 ) ) 的代数闭域上( 参见f 4 ，5 ) 在本节，我们将根据p b a l a 和r w c a r t e r 关于g 幂零轨道的分类来 磋究绸癸受擎李代数g 豹3 维孽子代数豹分类，并对每个共轭类绘选出相应 的代表元子代数，为下一节研究咒一稳定子代数的分类预作准备 这犟我们要指出的是e b d y n k i n 的单李代数的3 维单子代数的分类在特 征足够大的代数闭域上的推广融由s p r i n g e r 和s t e i n b e r g 给出( 参见i 2 ，p a r t e 1 ) ，我们这里将其和幂零轨道的分类联系起来，并黧新给出叙述足为后画第 9 三部分作准各 定义2 1 7 ，n o 2 61 设m 是g 的一个3 维子代数， 是m 中的向量，若m 中存在e + ，e 一，使得e + ，危，e 一构成m 的一缀典范基，耀 8 + ，e 一】= 怠，限e 一 = 一2 e 一，e + = 2 q ，则我们称 为m 定义向量 对于既定义向量，我们由下丽的结论可知它确是“名符其实”的： 定理2 2 【4 ，p r o p 5 6 4 】设m ，9 2 是g 豹两个3 维单子代数，矗l ， 2 分别是9 1 ，9 2 的定义向量，则9 1 是( 7 一共轭于9 2 ( i ej 口g ，5 t 9 2 = ( a 匆) 国t ) ) 当且仪当盘l 是g 一共轭于 2 ( i 息j 。g ，馕褥凫2 = ( a 出) ( ) ) 下面为方便我们总写o 危1 表示a 如m ，) 定义2 3 对于g 的任一3 维单子代数g 。，黻 e + ， ，e 一 为g 。的一 组舆范基，我们都可以选取g 的一个c ”t a n 子代数b ，使得危b ，且相对 于b 的单根系 娃1 ，a 2 ，。) 满足( 吼， ) o ，l ，2 ( 参见【4 ，p r o p 5 6 6 l 或 【1 9 ，| ) 3 4 4 】) 将g 豹单根系的d y n k i n 圈中啦位置下西标上相应的数( 啦， ) ， 得到一个新图，我们称此图为予代数9 1 的权图，汜为( 危) 对于上菌定义的图( 忽) ，裁们有如下定理： 定理2 4 设h l ， 2 分别是3 维子代数g l ，9 2 的定义向精，则g l 是g 珙 轭于g z 当日仅当( 矗1 ) = ( 慨) 证骧：根据f 4 中的命题5 6 f 4 和裔题5 6 8 立即可得上面的定理， 口 注记： 由上面的定理2 2 和定理2 4 可知子代数的权图f m 和其定义向 量靠豹选取无关，且特征圈的的集合嚣l 子代数的g 一共轭类的集会是一对 应的，从而李代数g 的3 维单子代数的分类可转化为找出于代数的所有可 能的权图首先这样的图至多只有3 ”个，僵舆体哪黧圈爿是“真正”的权圈 呢? 我们一f 面将通过一些定理说明【4 ，姐3 1 】中所列的百( 这里西指以g 为 其相应的李代数的伴随型代数群) 中幂幺元的非零共轭类所对的权图( 幂幺 类毽是由权图亥l 划( 参见 4 遗5 】) ) 即为李代数g 的3 维单子代数的壤有可能的 权图 下面的l 理在后面起着 f 常重要的作用( 尤其是在第3 部分) ：设e g 是一个幂零元：即批n ，使得( n d e ) ”= o ，则出特征p 如 3 ( 九一1 ) ) 域上 的j a c o b s o n m o r o z o v 定理，e 可唯一f 在昏共轭意义下) 地嵌入到一同构 1 0 于s 如的3 维子代数中( 参见 4 ，t h 5 3 2 1 ) ，我们任意选一被嵌入的子代数，不 妨记为g 。，则对于幂零轨道g e 的集合和子代数的共轭类g g 。的集合我们有 下舔的结论： 引理2 5 ( 【4 ，t h 5 5 ，l l 】) 映射母： g 。e ) - g g 。 ，( g e ) = g g 。是一 一的 我们知道当百为代数 j 】域菇扫 3 协1 ) 上的伴随型单代数群时，则召 在其相应的李代数g 上的幂零轨道和西的幂幺元的麸轭类足一一对应的，且 都蹩由权圈刻划，即每个共轭类对应于一个权图( 参见 4 焉5 1 0 ，5 h 协涟意 到我们这熙的c h e v a l l e y 群g 也为伴随型代数群，且相应的李代数即为g ( 参 见【8 ，1 5 1 5 】) ，因此综合上面的引理，我们有： 定理2 6 文| 4 】在1 3 1 所列的露的幂幺元的a # 零共轭类所对应的权图 即为李代数g 的3 维单子代数的所有可能的权国 注记：将 4 】在1 3 1 所列的召的幂幺元的非零共轭类所对应的权图 耪e b d y n k i n 在【7 】巾得到的t a b l e l 6 t a b l e 2 0 对比，发现二翥完全一样， 这说明在特征p 足够大( p 3 ( 一1 ) ) 的代数闭域上例外型单李代数的3 维雎子代数的分炎和在复数域上的分类结果完全一样( 由权图刻划) 一个 很自然的问题就是对于一个给定豹权图，我们如何选取相应的共瑰类的代 表元予代数呢? ( 若能找出一个代表元m ，则所有的子代数都清楚，具有形 式9 - m ，9 g ) 下碰豹命题将给我们癌发： 设m 悬g 的一个3 维子代数，九是m 中的定义向量，b 是g 的一个满足 定义2 3 中条件的c a r t a n 子代数，g 一目+ 。；m g 。是g 的一个c a r t a n 分 解，m b o + 。m 。g 。，o b ，圣oc 西则我们有以f 结论： 命题2 7 设r = 垂l 助= 2 ，则定义o 3 中的e + ，h ，e 有如下 形式：e + = 。r 茹d ，e 一= 。r z h ，矗= 。r ( m 其中z 士。g 圭。，k 为和a 对应的c a r t a n 子代数中的元素，g k 我们先证明下隧的引理： 引理2 8 若忍= + 胀e 砀陋b ，圣，o x p g p ) 是子代数m 的对应于根a 的根向量，则危一o ，且v p ，有分髌声一a + ，( a 7 ，由o ) = 0 ，( m ，西。如前所述) 迸明：我佛主要用到线性代数的个事实：若线经变换毋的线性无关的 特征向量之和仍为一的特征向造，则所有这魑特征向量都属于毋的同一特征 值( 显然如果特征值存在的话，这个结论在素特征域上也是成立的) 为涎本引理我 f 取毋= 。够( ，b o ) ( 注意到我们这里考虑的都是在1 2 q 意义 下的典型李代数，故a d f 的特征值都落在基域k 中) 由题设，弱，j 咕均为n 够豹特镊向量，甥应的特征馕为a ( ，) ：孑( ，) 若 o ，则危也是n d ，的特征向量，相应的特征值为o ，照然， ，卢 是线性无荧的特征向量，且它们的和弱仍为8 够的特征向量，故由上面提 到的线性代数的事实知p ( 妇一o ，从而a ( ，) = 0 ，由，b o 的任意性，故 知a ( b o ) = 0 但是巩 ，我 f 】有a 0 ) = ( 入，a ) o ，矛纛! 从而 = 0 ，故知a ( 忍) = p ( 危) ，引理成立 口 由就弓l 疆，我们立酃可得下两豹推论： 匡论2 9 v a 西，记r ：= 7 垂i 叮= a + ( 7 一a ) ，( a ，7 一a ) = = o ) ，贝ua 有以下形式：a = 。r 、g a 证明：令j 文= 。芒n 五，x 矗= 。r 。疋。其中r l ，n 圣，墨g 。，j 芝。 g 且均不为0 教：隔，义一 】= e 。r 。口r 2 臣，j 强 即( 弱，咒 ) = n n r 。( ，磁) t 。，( 因为卢+ 血o 时，( 五，弼) = o ) 号屯= & ，m 撩雳蓦= e r 。n r 。晚a ， 由上面的引理2 8 我们有r l h ，r 2 曼n ，故r ln r 2 n 因此将a ，h 对应起来，即有我们的推论成立 口 一f 西我们来证明命题2 7 ： 注意到在假设域的特征p 3 ( 一1 ) 时，g 上的k i l l i n g 型( ，) 是非退化 的( 参见f 2 0 。蝉7 】) ，因此我 f 可以将矗= 。r g 。和，l 一。r 巴8 等目 起来，故我们要证 = 。rg t 。，即证对应的 = 。r 瓯o 。 v 穗r ，n = + ( 。一危) ，易知( ，。一 ) = ( 叫) 一( ) = ( o ， ) ( 矗 ) = 1 2 2 2 一o ，从露f 满足上瑟推论2 9 的条件 由上面的推论29 知：九一。r 瓯o ，即九= 。r g t 。设e + = 。m 。甄， 萸 圭；| 【矗，e + = 。币南。( o ，矗) x 0 = 2 e = 2 。t 垂( ，毳) x 。可塞瓣( 。，丸) = 2 从而 e + 裟。r j k ，同理e 一= 。r 兄。 因此命题2 7 成立 口 注记：根据上面的命题2 。7 ，对于给定的奴阁，我们可按如下步骤来选取 该图所对的共轭类的代表元子代数： ( 1 ) 用特定磊数法礁定定义向量懿表达式( 根据啦，是= ( 铫，) 。 ( 2 ) 待定系数求出g 的根系西中所有满足( n ，h ) = ( 氆， ) = 2 的o ，由上面的 命题2 7 我们知这些a 所对应的根向鬃的适当的线性组合即可构成3 维单子 代数的一组基f 可通过待定系数求出) 下面我们就通过一个疑体的例子来看如何选取 铡2 1 0 我们寒看g 2 型单李代数g 的3 维单子代数的分类 由 4 ，1 3 1 ，g 2 型单代数群百的幂幺元的非零基轭类所对应的权图有且 仅有以下酒种，也耀g 2 型单李代数的3 维单子代数的擘共轭类只有4 个( 以 下a l 表示长根，。2 表示短根，为方便计算，不妨设( “1 ，o t ) = 2 ，则( a 1 ，a 2 ) = 一1 ，( n 2 ，嘶) = ；) 熟知g 2 型单李代数的根系为仕o l ，士0 2 ，士( n l + 0 2 ) ，土( 0 1 + 2 锄) ，士( o l + 3 q 2 ) ，士( 2 n l + 3 a 2 ) 。 ( 1 ) a l口2 f 锑 设 = 南1 q 1i 七2 0 2 ，贝0 ( a 1 ， ) 一七l ( 1 ，q 1 ) + 如( n 1 、“2 ) = 2 h 一= 1 ，( n 2 ，允) = 南l ( 。2 ，0 1 ) + 也( a 2 ，2 ) = 一向1 + ；如= o ，净矗= 2 盘1 + 3 。2 下面求圣中满足( o ，五) 一2 的1 | j 吁有a ： 设。拦6 1 “l + 6 2 0 2 ，则( o ， ) = ( 6 1 n 1 + 6 2 n 2 ，f ) = 6 1 + o 6 2 = 2 = 争6 1 = 2 ，6 2 任意，因扰数系中滤足此条传的根只有a = 2 n l + 3 8 2 ， 从而根据命题2 7 我们可以取 m = ( 二“1 + 3 d 2 ，x 一( 她l + 3 衄) ，t 2 l + 3 铆) 为该图对应的一个代表元子代数( 这里如。，+ 3 。一( 2 。，+ 3 。) ，2 。，+ 轴为g 1 3 的w j y l 基中的元素，以下类似，均是用g 的w 匆l 基中的元素寒表示) ( 2 ) 1a 2 萨毫o l 和( 1 ) 过程完全类似，我们可以取 m = ( 、j x 。十2 。，、x 一( 。+ 2 。) ，3 t 。，+ 2 。) 为该圈对应豹一个代表元子代数 ( 3 ) l口2 尹锑2 。 o 魏( 1 ) 阉理，易求得 = 4 a 1 + 触2 ，西中满足( ，埘一2 的所有n ： a l ，n 1 + n 2 ，。1 十2 口2 ，0 1 + 3 0 2 ) ) 这样，基的取法就不唯一了( 事实上，同 一个特征图对应着一类子找数，目一定义翔量矗，也可能我到凡缝不同 e + ，e 一) ， e i ，e ! ) 使其构成一组典范基，( 参见1 4 ，p r o p 5 5 1 0 】) 为方便后面 第3 节的讨论，我们总取具有相闷长度的根对应的根向量的维合为基f 如果可 以的话) ，后面我们将了解这样做的好处 通过待定系数，设e + 一1 k 。+ 如x ，+ 3 e 一= m l x 一。l + ”2 x 一( 。+ 3 。，) ， 孬根据关系式降，e + 】= 2 e + ，e 一】= 2 e 一， e + ，e 一】一九，我钓可以求出基数表 达式因此，对此图我们可以取 m = ( 、2 ( 五。十五，+ 3 。) ，、2 ( x 一。，+ x 一( 。，+ 3 。) ) ，4 。，+ 倪。) 为该图对应的一个代表元子代数 ( 4 ) d la 2 尹毫 和( 3 ) 同理，我们可以取 m = ( 2 溉。+ 3 x 。，5 x 一。+ 6 x 一。，l o 乇，+ 1 8 z 。) 为该图对应的一个代表元子代数 1 4 ( 事实上，这里只霈要j 屯，x 一。，薅豹系数乘积为1 0 ，：，x 一。魏豹系数藜积 为1 8 即可)口 注记：( 1 ) 注意存我们对域的特征p 的假设p 3 一1 ) = 3 ( 6 1 ) 一1 5 前提下，上面的计算不受影响，对于其它几种傺j 外型单李代数，由f 7 ，t a b l e l 6 1 8 l 可以看到在假没p 3 一1 ) 前提f ，计算也不受影嘲 ( 2 ) 这样我们就完成了特征p ( p 3 ( 1 ) ) 的代数闭域上3 维单子代数的分 类( 根据权图来亥i 划) ，并对每穆图l l 应的子代数的共轭类选出