（工程力学专业论文）轴向运动薄板的非线性振动研究.pdf

摘要 轴向运动薄板的非线性振动研究 专业：工程力学 博士生：殷振坤 导师：陈树辉教授 摘要 本文研究轴向运动薄板的非线性振动问题，包括建立模型、方程推导、计算求解以 及解的稳定性分析等方面，提出了一套行之有效的分析解决方法。重点讨论了各种非 线性振动的定量求解方法在该问题中的应用。 首先引入了v o nk a r m a n 非线性大挠度薄板理论，添加由轴向运动引起的惯性项， 利用h a m i l t o n 变分原理导出了轴向运动薄板的非线性振动微分方程，针对不同边界条 件用g d e r k i n 方法离散方程，得到各种边界条件下的离散化的振动微分方程，重点讨 论了四边简支运动板和一对边简支另一对边自由运动板的情况，并进行了线性模态分 析以作为进一步非线性分析的基础。 其次利用多维l i n d s t e d t - p o i n c a r 6 ( l - p ) 法求解了四边简支运动板的非线性振动微分 方程，得出系统自由振动、外激励力频率接近第一阶固有频率时的强迫振动的频率振 幅响应曲线，重点讨论了轴向运动速度、外激励力振幅对系统响应情况的影响，特别 是对内共振情况的影响。 接着采用增量谐波平衡法( 简称i h b 法) 分别计算了四边简支轴向运动板和一对边 简支另一对边自由轴向运动板的振动微分方程，得出了频率振幅响应曲线，并与多 维l p 方法的结果进行比较，指出了多维【广p 方法的局限挂，讨论了两种方法的优缺 点。 然后针对多维l - p 法的局限性，在改进的l p 法的基础上，提出了一种适用于轴向 运动体系的改进的多维l - p 方法，用这种方法计算了四边简支运动板的响应情况，并 与m b 方法和普通多维l - p 方法的结果进行比较，说明了改进的多维l p 法的有效性。 最后对本文工作作了总结，并展望了进一步研究的方向。 关键词：轴向运动薄板，陀螺系统，多维l - p 法，增量谐波平衡法，改进的多 维l - p 法 英文摘要 s t u d yo nn o n l i n e a rv i b r a t i o no fa x i a l l ym o v i n gp l a t e s m a j o r ：e n g i n e e r i n gm e c h a n i c s n a m e = y i nz h e n k u n s u p e r v i s o r ；p r o f e s s o rc h e ns h u h u i a b s t r a c t mt h i st h e s i s t h en o n l i n e a rv i b r a t i o no fa x i a l l ym o v i n gt h i np l a t e si sa n a l y z e db y8 e v - e r a lm e t h o d s i n c l u d i n gt h em u l t i - d i m e n s i o n a ll i n d s t e d t - p o i n c a 9 6 ( l - p ) m e t h o d ，t h el u c r e - m e n t a lh a r m o n i cb a l a n c e ( i h b ) m e t h o da n da n e w - s t y l eo fm o d i f i e dm u l t i - d i m e n s i o n a l i 广pm e t h o d f i r s t l y , t h ee q u a t i o n so fm o t i o na g ed e r i v e df r o mv o nk a r m a nn o n l i n e a rp l a t et h e o r y m o d i f i e dt oi n c l u d et h ei n e r t i a lf o r c e sr e s u l t i n gf r o ml o n g i t u d i n a lt r a n s p o r to ft h ep l a t e s t h e n ，t h eg u l e r k i nm e t h o di su s e dt od i s c r e t i z et h ee q u a t i o n so fm o t i o nw i t hv a r i o u s b o u n d a r yc o n d i t i o n s l i n e a rv i b r a t i o na n a l y s i si sc a r r i e do u t8 st h eb a s i so fn o n l i n e a r v i b r a t i o na n a l y s i s s e c o n d l y , t h em u l t i - d i m e n s i o n a ll - pm e t h o di se m p l o y e dt os t u d yt h en o n l i n e a rv i - b r a t i o no fa x i a l l ym o v i n gt h i np l a t e s t h ef r e q u e n c y - a m p l i t u d er e s p o n s ec u i v f o rb o t h f r e ev i b r a t i o na n df o r c ev i b r a t i o na r ec a l c u l a t e d ，t h ei n f l u e n c e so ft h ea x i a l l ym o v i n gs p e e d a n dt h ee x t e r n a le x c i t a t i o na m p f i t u d ea g ed i s c u s s e di nd e t a i l t h i r d l y , t h ei h bm e t h o di sa l s oe m p l o y e dt os t u d yt h en o n l i n e a r v i b r a t i o no fa x i a h y m o v i n gt h i np l a t e s t h er e s u l t so fi h bm e t h o da g ec o m p a r e dw i t ht h o s eo ft h em u l t i - d i m e n s i o n a ll pm e t h o d i tc a nb ec o n c l u d e df r o mt h ec o m p a r i s o nt h a tt h ei h bm e t h o di s s u i t a b l ef o rs t r o n g l yn o n l i n e a rv i b r a t i n gs y s t e m sw h i l et h em u l t i - d i m e n s i o n u ll pm e t h o d i s n o t f i n a l l y , an e w - s t y l em o d i f i e dm u l t i - d i m e n s i o n a ll p m e t h o df o rg y r o s c o p i cs y s t e m si s d e v e i o p e dt oo v e r c o m et h ew e a k n e s so ft h en o r m a lm n l t i - d i m s a s i o n a ll - pm e t h o d t h i s n e wm e t h o di sa l s ou s e dt oa n a l y z en o n l i n e a rv i b r a t i o no fa x i a l l ym o v i n gt h i np l a t e s n u m e r i c a le x a m p l e ss h o wt h ee f f e c t i v e n e s sa n dt h ea c c u r a c yo ft h i sn e wm e t h o d i ti s a l s os u i t a b l ef o rs t r o n g l yn o n l i n e a rv i b r a t i n gs y s t e m sa sw e l la 8t h ei h bm e t h o d t h ec o n c l u s i o na n dr e c o m m e n d a t i o na g eg i v e na tt h ee n do ft h i st h e s i s k e y w o r d s ：a x i a l l ym o v i n gp l a t e s ，g y r o s c o p i cs y s t e m s ，m u l t i - d i m e n s i o n a ll - p m e t h o d ，i n c r e m e n t a lh a r m o n i cb a l a n c em e t h o d ，m o d i f i e dm u l t i - d i m e n s i o n a l 【广pm e t h o d 1 1 一 插图目录 插图目录 薄板内力示意图 四边简支矩形薄板坐标系示意图一 不同激励力振幅下激励力频率q 对板响应振幅a 的影响 不同薄板长宽比下激励力频率q 板响应振幅a 的影响 薄板的长宽比钉对自由振动振幅a 的影响 薄板受横向集中力的坐标示意图 改进的l - p 法与普通l - p 法得到的强迫振动响应曲线的比较 改进的l - p 法，一l p 法一阶解，i 广p 法二阶解 轴向运动薄板示意图2 0 刚度系数和长宽比对临界速度的影响2 8 ( 1 ，1 ) 阶板固有振型示意图( 7 = 1 ，l ，= 0 3 ) 2 9 ( 1 ，2 ) 阶板固有振型示意1 5 ( 7 = 1 ，v = o 3 ) 2 9 ( 2 ，1 ) 阶板固有振型示意图幻= 1 ，v = o 3 ) 3 0 ( 2 ，2 ) 阶板固有振型示意图( ”= 1 ，= 0 3 ) 3 0 轴向运动速度对系统最低阶特征值的影响( 7 ；2 5 ，= 0 3 ，e = 0 0 2 9 ) 3 l 4 - 1v = 3 时，轴向运动板自由振动频幅响应曲线 a l o = 0 ，a , m 0 a l o 0 ，0 , 2 0 0 3 9 4 - 2v ；3 1 5 时，轴向运动板自由振动频幅响应曲线 o , 1 0 = 0 ，o , , 2 0 0 g 1 0 0 ，蚴0 4 0 4 - 3v = 3 1 5 且f 1 1 = 5 时，轴向运动板强迫振动频幅响应曲线4 2 4 - 4v = 3 1 5 且 l = 3 4 8 时，轴向运动板强迫振动频幅响应曲线4 3 4 - 5 v = 3 1 5 时判别式随a l o 与 l 的变化情况4 4 4 - 6v = 3 1 5 ，o a l o 一1 0 7 5 5 4 且 1 o 时， 随a l o 与 l 的变化情况细部4 5 4 - 8v = 3 f l a l o 0 时，a 随a l o 与 1 的变化情况细部4 6 4 - 9v = 3 且 l = 5 时，轴向运动板强迫振动频幅响应曲线4 7 4 - 1 0v = 3 且 l = 3 4 8 时，轴向运动板强迫振动频幅响应曲线4 8 5 _ ls s s s 板当矿= 3 1 5 时的自由振动频幅响应曲线 稳定解；+ + + 不稳定解5 5 5 - 2s s s s 板当v = 3 1 5 且 1 = 5 ，2 1 = o 时的频幅响应曲线 稳定解；+ + + 不稳定解5 6 5 - 3s s s s 板当v = 3 1 5 且，1 l = 1 5 ，2 l = 0 时的频幅响应曲线 稳定解；+ + + 不稳定解5 7 5 - 4 情况珀q s f s f 板v = 0 6 5 ， = 1 2 5 时的频幅响应曲线 自由振动脊骨线强迫振动曲线6 0 9j坫坫璩埔 均 叭弛粥拟躺娜” 弛粥“硒 插图目录 5 _ 5 情况，珀q s f s f 板v = 0 6 5 ，1 = 1 2 5 时频幅响应曲线 自由振动脊骨线强迫振动曲线6 l 5 - 6 s s s s 板当v = 3 1 5 且 l = 5 ，2 1 = 0 时的频幅响应曲线比较 多维【广p 解；+ + + i h b 解6 3 5 - 7 s s s s 板当v = 3 1 5 且 l = 1 5 ，1 2 l = 0 时的频幅响应曲线比较 多维【广p 解；+ + + i h b 解6 4 6 - 1 s s s s 板当y = 3 1 s t i r , l = 5 ，2 l = 0 时的频幅响应曲线 改进的多维工广p 解；+ + + i h b 解；多维l - p 解7 5 6 - 2 s s s s 板当y = 3 1 5 且 l = 1 5 ，2 l = 0 时的频幅响应曲线 改进的多维l - p 解；+ + + i h b 解；多维l - p 解7 6 - v i 第一章引言 第一章引言 1 1 弹性薄板及其非线性振动理论 在人类有文字的记载中，板的使用有超过五千年的历史，它作为古代最主要的交通工具而 被广泛使用，但对其进行系统的实验研究和理论分析却一直到1 9 世纪初才开始。经典的弹性板 理论是由n a v i e r 奠基的，他在1 8 2 1 年给出了弹性板平衡和运动微分方程；随后p o i s o n 在1 8 2 9 年 讨论了板的边界条件，给出了现在通用的简支边和固定边的边界条件方程但对有已知分布 力的边界情况，他要求有三个边界条件( 剪力、扭矩，弯矩) ，这显然与板的四阶微分方程是矛 盾的；从三个边界条件减为两个边界条件的工作是由k i r c h h o f f 完, 成的，他于1 8 5 0 年发表了有 关薄板理论的重要论文，提出了薄板的两个基本假设，确立了板弯理论的基础，同时他纠正 了p o i s o n 在边界条件上的矛盾，指出了在板的每一个边界上只存在两个边界条件；到了1 9 世纪 末，l e v y 研究了对边简支另两边任意支撑矩形板问题，提出了单三角级数法。 随着现代机械设备的高速发展，在薄板的结构强度和振动稳定性等方面提出了大量 的新问题，在这些问题中板的挠度和其厚度相比已经不是小量，所以经典的弹性薄板理 论及线性振动分析已经不能满足要求，而板内薄膜力和板的曲率之同的相互作用必须 被考虑进来，这导致板单元平衡方程中出现了非线性项，基于这些考虑，v o nk a r m a n 提 出了大挠度非线性薄板理论，他在1 0 1 0 年研究了简支边界条件下的薄板大挠度非线性问 题，给出了著名的v o nk a r m a n 方程组；c h u 和h e r r m a n n ”将v o nk a r m a n 理论推广到振动问 题，得到了v o nk m m n 方程组的动态比拟，他们采用双傅立叶级数研究了板内的挠度分 布 由于v o nk a r m a n 方程组是高阶非线性偏微分方程组，在求解上存在困难，b e r g e r “1 从 变分问题着手并忽略了第二个不变量e 2 = e 1 眈一2 2 4 ，得到了简化的b e r g e r 方程组；随 后n h 和m o d e d ”在b e r g e r 研究的基础上给出t b e r g e r 方程组的动态比拟；但是之后大量的 研究表b 蝈b e r g e r 的假设在振幅较小时比较精确，而随着振幅的增大，精度会降低，而且对有 可移动边界的薄板。该假设更是完全不适用的；m a 研究了各种边界条件下薄板的非线性 振动，并在1 9 8 7 年对薄板的非线性振动作了很好的综述；另一份对该问题较系统的综述是 由s a t 埘孤删h y 州完成的 由于现代航空、航天、造船、建筑，桥梁，公路等现代工业的发展，对板结构的分析 提出了更高的要求，板的精确解因应用范围过于狭窄而不能满足要求，所以在继续追求板 的精确解的同时，人们也致力于近似求解的研究，经典的近似方法有瑞利李滋( r a y l e i g h - m t z ) 法，伽辽金( g a l e r k i n ) 法、屈列夫斯( t r e f f t z ) 法、卡斯提良诺法( c a s t i g l i a n o ) 、康托洛维 奇( k a a t o r o v i c h ) 法以及差分方法等，他们在板的数值解中有着广泛的应用；随着计算机性能 的飞速提升，有限单元法、有限条法、边界积分法等，也已成为板结构分析的重要工具，并 在实际工程中被广泛使用。本文中采用了g a l e r k i n 方法来离散时间和空间变量，g a l e r k i n 方法 是原苏联科学院院士g a l e r k i n 在1 9 1 5 年创立的求解偏微分方程边值问题的近似方法，它还有广 一1 1 2 非线性振动常用的分析方法 义g r l e r k i n 方法和非线性g m e r m n 方法等改进和推广，这些改进的方法也被广泛应用于粱、板 等连续体的求解中，l e n g o c 和m c c a l l i o n ”应用广义g a l 口l d n 方法分析了运动薄板的线性振动， 张新华和徐健学”。应用非线性g a l e r l 【i n 方法分析了粱的非线性动力学性态 近来在薄板大挠度非线性振动方面的研究更加注重利用高速计算机的强大计算能力， 研究者通常采用半解析或者数值的方法来解决实际应用中的问题，并结合实验结果的比 较来验证或者改进理论分析w a n g 等采用基于边界元的数值方法研究了弹性薄板静态 大挠度问题# b e n a m a r 等”从实验和理论分析两个方面研究了四周固支矩形板在大挠度振 动时的动力学行为；h a n 和p e t y t ”研究了各项同性薄板和夹层板的非线性频率和模态；随 后融b 曲r o 和p e t y 1 分析了薄板非线性振动中的内共振问题；e l b e y l i 和a n l a s ”1 采用多尺度法分 析了有横向简谐激励力的简支薄板的非线性响应 r a j u 等”对承受横向荷载固支方板的大挠度 自由振动进行了理论分析和实验研究；s a h a i 等提出了一种新方法来研究各种边界条件组合下 的薄板的非线性振动 1 2 非线性振动常用的分析方法 非线性振动系统最终是用非线性微分方程来描述的，对非线性微分方程而言，除极少数可 以求出精确解析解以外，一般情况下只能用近似方法求解。理论研究分两类基本方法：定性方 法和定量方法定性方法是以微分方程稳定性理论为基础，做出定性分析以判断系统的运动规 律和振动特性；而定量方法则是直接求出系统的非线性响应曲线，从定量的数值来研究系统的 运动规律本文主要采用定量方法来求解薄板的非线性振动微分方程。下面简单介绍几种主要 的定量分析方法的发展概况 1 2 1 数值解法 数值方法直接对微分方程采用时间积分法，如常用的r l l n g e _ k u t t a 法，该方法可以较准确 地给出某一时刻的位移、速度、加速度的数值，但不能提供解的表达式，因而很难用来分析系 统的全局性质其他如变分法、有限元法、配置法等也都是数值解法。 1 2 2 l i n d s t e d t - p o i n c a r 6 ( l - p ) 法及改进的i 广p 法 该方法是一种最常用的摄动方法，它最初是由l i n d s t e d t 在1 8 8 2 年提出的，此方法引入新 变量f = _ ( u 代表系统的非线性频率) ，并把解和频率都展成小参数的幂级数，最后通过 选择适当的。的各阶分量咄来消除久期项，随后p o i n c a r 6 在1 8 9 2 年证明了l i n d s t e d t 的级数解是 渐近级数，为该方法完善了理论基础：l i a p u n o v i j i 入了本征时间变换，使解对新本征时问 来说周期为2 口，k r y l o v 采用了将解和频率的平方按小参数展开的方法，使计算得到较大的 简化m a r l k i n 系统地发展了摄动法，使其适用各种非线性振动的需要“；l i g h t h i l l l “1 推广 了i 广p 法的思想，提出了坐标变换法，郭永怀1 将坐标变化法进一步推广应用于粘性流动问 题，因此钱学森”称此套方法为p l k 法。 上述的经典l - p 法只能适用于弱非线性振动的分析，而不适合于强非线性振动的分析，为 了将i 广p 法的思想应用于强非线性振动系统。众多的学者做了大量的工作。j o n e s ”在1 9 7 8 年 一2 一 第一章引言 研究了大参数d u f f i n g $ 程的自由振动问题，应用变换= o ( ) 将对而言是强非线性 的系统转化为对n 而言是弱非线性的系统，然后用l - p 法的思想求得了自由振动频率 的准确解；b u r t o n 引入了基谐波的振幅口。提出了不同的参数变换a = a ( ，口) ，但 是b u r t o n 和j o n e s 的变换都只适合于具有奇次非线性的系统：c h e u n g 等9 ”在l 1 年提出了新 韵参数变换a = a ( e ，t o o ，铆) ，其中蛳、w 1 分别表示非线性颏率，的零阶和一阶分量，这一变换 使该方法不仅适合于奇次非线性系统，而且适用于偶次非线性系统，成为个具有普遍性和系 统性的方法，称之为改进的l - p 方法；c h e u n g 等”在1 9 9 3 年又把该法推广到更一般的强非线性 系统；c h e r t 等9 ”于1 9 9 6 年将该方法推广到两自由度强非线性系统；唐驾时等9 ”采用该方法分 析了参数激励的广义v a hd e rp o l 型强非线性振子的分叉，随后唐驾时9 ”又利用它求解了强非线 性系统次谐共振解；王永岗等采用该方法求解了正交各项异性扁球壳的非线性振动 1 2 3 多尺度法及改进的多尺度法 s t u r r o e p ”1 于1 9 5 7 年首先提出了多时阃尺度的概念；年代n 8 蛐出将各阶近似解设成 为t ，耵，乎，等多个时间尺度的函数，建立了多尺度法。与l - p 法相比，多尺度法的明显优点 是不仅能计算周期解，而且能计算耗散系统的衰减振动；不仅能计算稳态响应，而且能计算 非稳态过程 也可以分析稳态响应的稳定性，描述非自治系统的全局运动行为；该方法的 缺点为计算十分繁琰。常用的多尺度法有三类，n a y f e h 、f r i e m a n t 3 0 l 等发展的多变量展开 法；c o l e 和k e v o r k i a n 1 引入的两变量展开法；n a y f e h ”1 、m a h o n y t ”等提出的非线性多尺度 法。多尺度法最近的应用有：a b d e n l 墙z 将其应用于含有二次、三次、四次非线性项的振动 系统；z h a o 等”用该方法分析了弹性索的二维模型的非线性振动；a r a r a t f d l n a y f e h 用该方 法研究了悬索的非线性振动，李欣业和陈予恕”1 用该方法研究了多自由度内共振系统非线性摸 态的分叉特性 b u r t o n t ”l 在1 9 8 2 年提出了一个时间变换法，扩展了多尺度法中参数的范围，可以达到适 中参数；随后b u r t o n 等将该时间变换应用于含有奇次非线性的系统的自由振动问题；基于这 一时闻交换法，b u 呦n 等在1 9 8 6 年提出了改进的多尺度法的摄动过程，但是这一方法仍然局 限于只含有奇次非线性的系统：l u o n g o l ”也提出了一个摄动过程，推广了多尺度法 1 2 4 平均法及k b m 法 v a nd e rp o l 在1 9 2 6 年解决自激振动问题时根据常数变异法的思想首先引入缓变系数 法，即认为振幅和相位是时间t 的缓变函数，该方法建立在直观的基础上，只能求得 一阶近似解；k r y l o v 和b 0 9 0 h u b w 对此进行了系统的研究，提出了平均法( 又称k - b 法) ； 该方法有两大要点，第一是假设振幅n 和相位0 是时问的慢变函数，第二要点是平均思 想。取a 和口在一个周期内的平均值作为近似值但是平均法只能求出一次近似孵，为 此k r y l o v 和b o g o l i u b o v 在1 9 4 7 年改进了他们的方法，提出了一种能求任意次近似解的新方 法# 此后b o g o u u b o v 和m i t r o p o l s b 对此方法作了严格证明；m i t r o p o l 8 k y 在1 9 6 5 年还将其 推广到非定常振动，因此我们称这一方法为k b m 法。k b m 法是参量变值法中最基本的渐进方 法，其他平均法都是由它演化而来的$ a r m a l l a k “”进一步发展了k b m 法，从理论上全面地解 决了多自由度系统多频振动问题o t t y 在1 9 7 9 年推广了平均法；丽戴世强等“”在1 9 8 5 年提出 3 1 2 非线性振动常用的分析方法 了一个新的渐进方法，推广了经典的k b m 方法。最近k b m 法的应用有；y a n g 删利用k b m 法 分析了机翼颤振的极限环问题：z h o u 和亿“m 应用k b m 法分析了非线性压电的薄圆形壳的主 动控制；孟光利用该方法来分析延时反馈振荡器在弱正弦外激下的强制振动 1 2 5 谐波平衡法以及增量谐波平衡法 谐波平衡法的基本思想是把周期解展开成由谐波组合成的f o u r i e r 级数，代回原控制方程， 令两边相同谐波项的系数相等，得到一系列以f o u r i e r 级数的系数作为未知量的非线性代数方 程，解出这些系数就得到了周期解。h a y a s h i ”，n a y f e h ”1 等都在其著作中描述了谐波平衡法 的基本步骤。在求解以f o u r i e r 级数的系数作为未知量的非线性代数方程组问题上，主要有两种 方法；迭代方法和n e w t o n - r a p h s o n 方法d o o r e ”提出了应用迭代技术来完成谐波平衡的典 型例子；更多的学者则是采用n e w t o n - r a p h s o n 方法，如c h i a 和p r a b h a l f a ”应用该方法分析 了四边形薄板的非线性振动：c h e u n g 和i u 给出了这种方法的显式表达式；d u g u n d j i 等利 用该方法分析了数种实际工程结构中的非线性振动问题；郑小平等利用此方法计算了局部非 线性系统的稳态响应m i c k e n s ”在1 9 8 4 年评论了谐波平衡法，该方法的最大优点是概念简单 明了，不局限于弱非线性系统，应用广泛；但是要获得一定精度的解，必须取足够多的谐波 项，否则会引起较大误差；随后m i c k e n s ”1 在1 9 8 6 年推广了谐波平衡法，可以控制高阶误差 l a u 等在1 9 8 1 年提出了弹性系统的幅度增量变分原理：在这一原理的基础 上，l a u 和c h e u n g 将增量法与谐波平衡法有机地结合起来，提出了增量谐波平衡 法( i n c r e m e n t a lh a r m o n i cb a l a n c em e t h o d ，简称i h b 法) ，该方法是求解强非线性振动的有 效方法。成功地被推广、应用于非线性振动的各个领域。c h e u n g 等将i h b 法与有限条法 结合起来。提出了增量时间空阃有限条法；l 等”1 将i h b 法与有限元法结合起来，分析 了弹性薄板的非线性振动；随后l a u 等”又用之求解了壳体问题；i u 等用该方法求解了夹层 粱问题和夹层板问题；c h e n 等用它求解了平面杆系结构问题；p i e r r e 等”将i h b 法推 广用于求解有阻尼大挠度板的动力不稳定边界；f e r r i 等”将之推广应用于阻尼系统的干摩 擦问题；l a u 等提出非线性非周期的增量h a m i l t o n 原理，把i h b 法应用于概周期的振动分 析il e u n g 等采用i h b 法，求解d u t b n g 振子参数空间的分叉边界；w j n g 等”应用该法研究 具有非对称分段线性系统的稳态响应；w o n g 等9 ”随后将i h b 法与快速f o u r i e r 变换结合，研究 具有非线性阻尼的系统；l a u 等”4 将i h b 法与时间变换法结合，提出了m b t 法，詹胜等”应 用此方法进行了非线性方程的参数研究；l i n g 等”提出了快速g a l e r k i n 方法，c a m e r o n 等”提 出了频率时间转换法，y a s u d a 等提出了增量迁移矩阵法，这几种方法是i h b 法的有效推 广和补充；c h e u n g 和c h e n ”将弧长增量法引入h i b 法，使其能够自动追踪响应曲线：l a u ” 在1 9 9 5 年对m b 法作了综述，总结了之前m b 法的发展和应用最近。l i 等”应用b i b 法研究 了水波作用下管道的非线性振动效应；g e 等”1 成功地应用i h b 法研究速率陀螺非线性系统参 数激振下的周期响应和混沌响应：r a g h o t h a m a 等“1 应用i h b 法研究选逸方程的分叉和混沌现 象。 i h b 法是一个半解析的方法，能分析强非线性振动问题，并提供高精度的解适合于大范 围参数变化的定量分析，适合于系统的总体特性分析。容易与其他方法结合推广，应用范围广 泛；但同谐波平衡法一样，要获得高精度的解必须取较多的谐波项，计算量较大 ，4 一 第一牵引言 非线性振动的分析方法，除了上面所述的几种以外还有直接变分法、点映射法、颓闪法， 模拟计算机方法等多种方法，各种方法都有各自优点，但同时也都有各自的局限性本文主 要采用l - p 法、改进的l - p 法和i h b 法来求解振动控制方程，关于其他方法的详细介绍可参见各 种非线性振动的专著。如n a y 蝴m o o k ，陈予恕，刘延柱和陈立群、黄安基、褚亦 清，陈树辉等都对各种方法有较好的介绍。 1 3 轴向运动体系非线性振动国内外研究动态 在人类社会中，轴向运动物体十分普遍，广泛地存在于军事、航空航天，土木，电子、 机械、汽车等工程中而对于高速轴向运动的磁带、锯片、缆车弦索、电梯缆绳、印刷纸 张、传送带等的振动的研究，显然是非常重要的，例如缆车弦索的振动影响乘客的舒适甚至 安全；运动中的印刷纸张的振动关系到印刷质量好坏；高速锯片的振动影响切割面的光滑程 度等等。这些都对轴向运动体系振动的激励响应关系、稳定性分析、控制系统设计等方面提 出了若干重要问题。轴向运动体系振动的研究已经成为国际上振动研究的新热点，国内外许 多学者都对此进行了研究并取得了一系列科研成果。m o t e “1 在1 9 7 2 年总结了之前对各种轴向 运动体系的应用和研究；w i c k e r t 和m o t e ”在1 9 8 8 年综述了之前轴向运动物体的振动和稳定性 的研究成果；w a n g 和l i u ”1 总结了运动索链的振动研究；a b r a t e 则综述了传送带的振动问 题；p e l l i c a n o 等1 总结t 2 0 0 0 年之前对轴向运动梁的研究：最近陈立群”综述了轴向运动弦线 的振动问题 根据所研究的轴向运动物体抗弯刚度的大小，建立的研究模型可分为两大类：二阶体系和 四阶体系二阶体系模型的运动微分方程是二阶的，不考虑其抗弯刚度，如轴向运动弦线、轴 向运动缆索轴向运动膜等；四阶体系模型的运动微分方程是四阶的，需考虑其抗弯刚度如 轴向运动粱，轴向运动板等 对轴向运动弦线等二阶体系振动的研究起源于1 8 9 7 年s k u t c h 的工作，他利用两个波反向传 播的方法褥到了两端无位移的运动弦线的固有频率；a r c h i b a l d 帛l e m s l i e m l 用变分原理建立了轴 向运动弦线的动力学方程，并分析了轴向运动对固有频率和本征函数的影响；突破性的进展是 由w i d 口e r t 和m o t e ”1 完成的，他们采用连续陀螺系统模态分析的方法确定了轴向运动弦线对一 般激励的响应，随后又采用模态分析的方法得到对任意作用力在任意边界条件下的响应，利 用g r e e n 函数给出了响应的积分表达式，后来又对模态函数的选取作了改进”这一系列的工 作完全解决了均匀运动弦线在两端固定边界条件下的振动响应问题，也是进一步研究更为复杂 的轴向运动弦线非线性振动问题的基础。随后众多学者对二阶轴向运动体系进行了大量的研 究，这里不再详细列出值得一提的是近来国内的几位学者在轴向运动体系上的研究十分出 色，陈立群等研究了轴向运动粘弹性弦线的分叉以及混沌特性，张伟等系统地研究了牯弹 性运动带参数激励的混沌动力学特性，金栋平和胡海岩”1 等研究了运动绳索在横向流体激励下 的运动。 早期对轴向运动梁的研究，主要是线性的、简单边界条件的e u l e r - b e m o u l l i 粱；n e l s o n l j 研究了两端固支运动粱的固有频率和振动摸态：m o 沁将镊片模型化为简支的运动粱，讨论 了张力与轴向速度的关系；m o t e 和n a g u l e s w a r a n ”开展了对运动梁振动理论与实验相结合的 一5 一 1 4 本文研究工作 研究：n a 砌目m m 和w i h j 僻l ”1 用粱本征函数进行g a l e 堍i n 过程。发展了确定参数共振不稳 定区的数值方法：w i c k e r t 和m o t e l ”j 发展了适用于陀螺连续体的复模态分析方法，基于正交的 模态函数导出了运动粱对任意初始条件和激励的响应。得到了在简支边界条件下计算固有频 率和模态函数的方法；陈立群和李晓军”用w i c k e r t 复模态分析的方法得到了两端固支张紧运 动粱的固有频率和模态函数：t 9 9 2 ：f i f w i c k e r t 又应用k b m 法研究了轴向运动粱的横向振动及 其分叉；p e l l i c a n o 。o j 利用高阶g a l e r k i n 截断研究运动粱的动态响应；r i e d e l 和t a n ”应用多尺 度法研究了运动梁的内部共振；z h a n g i 和z u “”应用多尺度法分析了轴向运动梁在参数激励下 的非线性振动；s 盔e 等“”应用i h b 法研究了轴向运动粱的各种谐波响应；陈树辉等”对匀速轴 向运动的情形作了细致的分析，解析了牵连加速度、相对加速度和科氏加速度在运动方程中 的体现：杨晓东和陈立群“”系统地研究了粘弹性运动梁的非线性振动特性；陈树辉和黄建 亮”圳“1 1 1 “分别用多维k p 法和璃【b 法研究了轴向运动梁的非线性振动响应 目前的研究一般都将研究对象简化为一维的轴向运动粱或者运动弦线等但是对于锯片、 传送带等运动物体采用二维的轴向运动板或者轴向运动膜来描述显然更加准确，丽采用一维 模型则显得先天不足u l s o y 和m o t e i “”首先采用二维运动板模型来研究锯片的振动问题，他们 采用李滋法和有限单元一李滋法来计算该问题：l e n g o c 和m c c a l l i o n ”采用广义g a l e r k i n 方法分析 了轴向运动板在受到板内应力和切线边界外力时的固有频率；随后他们又分析了轴向运动板受 到简谐激励力时的稳定性“”il i n 和m o 甜采用v o nk a r m a n 大挠度非线性板理论研究了轴向 运动板承受垂直板面载荷时的平衡位型和应力分布；随后l i n ”研究了对边简支对边自由轴向 运动板的稳定性。分析了轴向速度对固有频率，桩界速度等的影响；l e h m a n n 和h u t t o n ”提 出了一种新的板模型更准确地模拟了运动锯片。该模型将锯齿以及切割面与锯面之间的作用力 考虑进来；w a u g t “”基于m i n d 缸i 汤m 板模型对轴向运动各向异性板发展了一种混合有限元 法；d a m a r e n 和l a n g o c 4 ”应用i h e i g h _ 瞰t z 法离散了轴向运动板的振动方程，并应用于主动 控制的研究；j o o h o n g 等”2 ”采用频谱单元模型研究了受到板内轴向拉力的轴向运动板振动特 性由上面的叙述可以看出，到目前为止，关于轴向运动板的研究主要都还停留在线性分析的 阶段，非线性韵振动分析比较少，没有系统的解决方法，所以本文的工作就主要集中在轴向运 动板的非线性振动分析上 1 4 本文研究工作 本文研究轴向运动薄板的非线性振动及其稳定性提出了一套对轴向运动薄板非线性振动 定量分析行之有效的解决办法，其中包括创新的适合于陀螺系统的改进的多维l 广p 法，并应用 多维l - p 、改进的多维l - p 、i h b 等方法对轴向运动薄板的振动响应进行了计算和分析。 在第二章中作为基础分析了没有轴向运动的弹性薄板的非线性振动，并分别用经典 的l p 方法和改进的【广p 方法计算了外激力频率q 对板中点挠度的影响，比较了改进的l p 法与 经典的i 广p 方法的不同，还分析了外激励振幅、薄板长宽比对响应振幅的影响。 在第三章中在v o nk a r m a n 大挠度非线性扳理论的基础上利用h a m i l t o n 原理导出了轴向 运动板的振动控制微分方程，并利用组合粱函数法对各种边界条件下轴向运动板的振动控制 微分方程进行了g a l e r k i n 截断，得到离散化的振动控制方程。随后对轴向运动板进行了线性模 6 第一章引言 态分析，研究了板刚度系数e 与长宽比 对临界速度的影响。讨论了轴向运动板的稳定和失稳条 件。同时还分析了轴向运动速度矿对固有频率的影响给出了运动薄板前四阶的振型。 在第四章中应用适用于陀螺系统的多维l - p 法求解轴向运动板的振动控制微分方程，计算 了四边简支轴向运动板的自由振动和受迫振动，得出了频率振幅响应曲线。讨论了板的外激励 振幅，和轴向速度y 对其响应的影响，同时研究了内部共振的情况 在第五章中应用增量谐波平衡法计算轴向运动板的振动控制微分方程，分别研究了四边简 支运动板的非线性振动响应和对边简支对边自由运动板的非线性振动响应，并利用f l o q u e t 理论 计算了周期解的稳定性，最后与多维l - p 法结果进行比较，分析了两种方法的优缺点。 在第六章中在改进的l - p 法的基础上提出了一种适用于陀螺系统的改进的多维l - p 法，并用 其求解四边简支轴向运动板的振动控制微分方程，通过与普通多维l - p 法、i h b 法的结果的比 较，表明了这种新方法适用于大参数强非线性振动 最后，第七章给出了研究的总结，提出了一些不足和进一步研究的展望 一7 第二章弹性薄板非线性振动 2 1 薄板振动的基本概念与基本假设 中面为一平面的扁平连续体称为平板，当其厚度 远小于中面平面尺寸时则称为薄板。薄 板主要承受垂直中面的横向载荷，将外载荷传递到支撑处，此时板件发生垂直中面的横向挠 曲。相应动力问题即是薄板的横向振动 弹性薄板横向振动常用的基本假定有： ( a ) 认为变形前垂直于中面的直线在变形后仍为一直线，并保持与中面垂直 ( b ) 忽略沿中面垂直方向的法向应力。 ( c ) 只计入质量的移动惯性力，而略去其转动惯性力矩 ( d ) 无沿中面内方向的变形 假定( a ) 即所谓“直法线”假定，是薄板振动理论的基础这一假定的实质是使板件内整个 变形状态只取决于中面挠曲面形状，从而使求解三维变形体问题转变为确定二维挠曲面问题， 并使问题大为简化从力学角度来看，假定( 8 ) 认为直法线永远与中面垂直，即横向剪切变形为 零，也即横向剪应力比平面方向弯曲应力要小的多；假定( b ) 则认为垂直方向法应力也比弯曲应 力小的多。这两点对于厚度尺寸比平面尺寸小得多的薄板是近似成立的。至于假定( c ) ，因为移 动惯性力正比于扳厚h ，而转动惯性力矩正比于截面惯性矩，即正比于 3 ，所以对于相对厚度 很小的薄板，这一假设也是成立的。假定( a ) ( b ) ( c ) 一般