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c e v 模型下有交易费用的亚式期权定价模型的研究 摘要 金融衍生工具的发展是当今国际金融领域的主旋律，期权作为金融衍生工 具的核心，日益成为理论界研究的重点和热点。其中如何对期权进行定价和如 何得到它的数值解是必须解决的核心问题。 为了满足金融市场及不同的投资者的特殊需求，也为了防范自己所面临的 风险，在标准期权合同的基础上，人们运用期权理论和分析方法，设计创造出 各种具有不同特征的变异期权品种。亚式期权就是其中的一种，它是一种路径 依赖型期权，它在到期日的收益依赖整个期权有效期内标的资产价格的平均值。 由于具有路径依赖特征，所以使得亚式期权定价比标准期权定价复杂。 以前人们主要研究的是标的资产满足几何布朗运动的期权定价问题，对 c e v 模型的研究很少有人问津。c e v 模型是几何布朗运动的推广，本文是对 c e v 模型下亚式期权定价公式的推广，研究了c e v 模型下有交易费用的几何 亚式期权定价问题。主要做了以下工作：l 。得出了c e v 模型下有交易费用的 几何亚式期权价格满足的偏微分方程；2 。用二叉树法给出了数值解并给出了 实例分析。 关键词：亚式期权；c e v ；交易费用；期权定价公式。 s t u d yo nt h es o l u t i o no fa s i a no p t i o np r i c i n gw i t ht r a n s a c t i o n c o s t su n d e rt h ec v ep r o c e s s a b s t r a c t t h ed e v e l o p m e n to ff i n a n c i a ld e r i v a t i v e si san e wm o l o d yi nt h ei n t e r n a t i o n a l f i n a n c i a lf i e l d sn o w 。a st h ec o r eo ff i n a n c i a ld e r i v a t i v e s ，o p t i o nb e c o m e se m p h a s e s o fs t u d y i n gi nt h e o r ya n dp r a c t i c e 。a b o v ea l l ，i tm u s tb es o l v e dt h a th o wt op r i c e o p t i o na n dh e d g er i s k 。 o nt h ef o u n d a t i o no fs t a n d a r dc o n t r a c t m o r ed i f f e r e n tc h a r a c t e r i s t i c se x o t i c f i n a n c ed e r i v a t i v e sw e r ed e s i g n e di no r d e rt os a t i s f yt h ef i n a n c em a r k e ta n dt h e d i f f e r e n ti n v e s t o re s p e c i a ln e e d s ，a n dk e e pa w a yt h er i s kw h i c hm a n yi n v e s t o r s m i g h tf a c e - o n eo ft h e mi st h ea s i a no p t i o n ，t h e ya r ep a t hd e p e n d e n to p t i o n sw h o s e p a y o f f sd e p e n do nt h em e a n i n go fu n d e r l y i n ga s s e tp r i c ea r a i n e do v e rac e r t a i n p e r i o do ft i m e 。i t sm o r ec o m p l i c a t e dt op r i c et h ea s i a no p t i o n ，b e c a u s eo ft h ep a t h d e p e n d e n c e 。 p e o p l e i sd e d i c a t e dt ot h e s t u d y i n g o nt h ea s i a no p t i o np r i c i n gu n d e r g e o m e t r i cb r o w a i nm o v e m e n tp r e v i o u s l y ，b u tf e wp e o p l es t u d yt h eo p t i o np r i c i n g u n d e rc e vp r o c e s s 。c e vp r o c e s si st h eg e n e r a l i z a t i o no fg e o m e t r i cb r o w a i n m o v e m e n t - i nt h ep a p e r ，le x t e n dt h ea s i a no p t i o np r i c i n gu n d e rt h ec v ep r o c e s s ， s t u d y i n go nt h es o l u t i o no ft h eg e o m e t r i ca v e r a g ea s i a no p t i o np r i c i n gw i t h t r a n s a c t i o nc o s t su n d e rt h ec e vp r o c e s s 。im o s t l yd i s c u s st h ef o l l o w i n gw o r k ： ( 1 ) s t u d y i n gd i f f e r e n t i a le q u a t i o no ft h eg e o m e t r i ca v e r a g ea s i a no p t i o np r i c i n g w i t ht r a n s a c t i o nc o s t su n d e rt h et h ec e vp r o c e s s ；( 2 ) s e e k i n gi t s a p p r o x i m a t e s o l u t i o nb yt h eb i n o m i a lt r e e ，a n dt h ep r a c t i c a b i l i t yo ft h ec o n c l u s i o ni sc a l i d a t e d 。 k e y w o r d s ：a s i a no p t i o n ；c e v ；t r a n s a c t i o nc o s t s ；o p t i o np r i c i n g 。 插图清单 图3 1 资产价格的树型结构2 6 图4 1 因子与股价的变化关系3 2 图4 2y 因子与股价的变化关系3 2 图4 3 股票期权估值的二叉树树图3 3 图5 1 三步步长期权估值的二叉树树图3 9 表格清单 表1 1 期权的盈亏状态 表1 2 下面用表格分析期权价值与各参数之间的相关性 表4 1 因子与股价的变化关系 表5 1 股票价格服从c e v 的有交易费用的亚式看涨期权一 表5 2 股票价格服从c e v 的有交易费用的亚式看跌期权 2 4 3 l 4 l 4 l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得 盒避王业友堂 或其他教育机构的学位或 证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：乒乐签字日期：驴年j 1 ；日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盒照王些太堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授 权金担王些盔堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 日 学位论文作者毕业屙去向 i ：作单何： 通讯地址： 导师签名彩缈 l 、 签字目姆：矽年f 只jl 电话 邮编 jj一一 ，j户 曲u 豫 名 年 签 6 者 口 作 ： 文 期 沧 日 位 字 学 签 致谢 特别的感谢献给我尊敬的导师杜雪樵教授! 在这两年多的研究生学习期间， 杜老师不仅在生活上给予我无微不至的关怀，在学习上更是严格要求、耐心知 指导。在论文选题，研究，撰写的过程中，导师倾注了大量的心血，导师诲人 不倦的高尚品德，认真严谨的治学态度使我终生收受益，在此向我的导师表示 衷心的感谢和敬意。 我还要感谢我的亲人，是他们时刻的关心、支持、鼓励、爱护、使我克服 困难，坚强地走了过去。 在完成论文的过程中，数学系的多位师长及其同学给予了我无私的帮助， 在此一并向他们表示真诚的谢意! 作者：陈刚 2 0 0 6 年5 月 第一章绪论 1 1 期权的概述 随着金融市场的蓬勃发展，金融市场日益呈现出高度的风险性和不确定性。 半个世纪以来，金融活动在给投资者带来巨大收益的同时，也蕴涵着日益显著 的高风险，给投资者带来巨大的经济损失。尤其是近十多年来，这种高风险引 发的严重的金融危机频繁发生，其带来的损失都是前所未有的。因此促使了学 术界和金融界开始考虑和重视如何能够正确评估金融风险和加强风险管理。这 些都从客观方面要求国际金融界和学术界重视金融学的研究。而金融学研究的 主要对象之一就是金融衍生证券或者称为未定权益，是指一切未确定的或者是 或然的权益。常见的衍生证券有：远期合同( f o r w a r dc o n t r a c t s ) 、期权( o p t i o n ) 、 期货( f u t u r e s ) 和互换( s w a p s ) 。对衍生证券的研究主要从两个方面来考察，即如 何确定衍生证券的价格问题和衍生证券的套期保值问题。衍生证券的价格是指 为了拥有在未来某一时刻( 如t 时刻) 的衍生证券而现在应该支付的费用。衍生 证券的套期保值是解决衍生证券的出售者应该采用哪种策略才能避免或者尽可 能的降低因为出售衍生证券而在未来可能遭受的损失。在衍生证券的研究中， 期权既能够给投资者提供套期保值功能，又不丧失盈利机会，因而在金融衍生 工具中占有重要的地位。 期权作为一种最基本的金融衍生工具，是一种权利。期权的买方向卖方支 付一定数额的权利金后就获得了这种权利，即在一个预先约定的时间或者在特 定的期限范围内，以一个事先约定的价格买入或者卖出一定数量的某种原生资 产的权利。但这只是一种权利，而不是义务。期权是一种特殊的金融合同，按 照权利的性质分，可以分为买权( c a l lo p t i o n ) 和卖权( p u to p t i o n ) 两种类型。其中 买权又叫看涨期权，是指期权的持有者有权在某一确定的时间以某一确定的价 格购买标的资产：而卖权又叫看跌期权，是指期权的持有者在某一确定的时间 以某一确定的价格出售标的资产。如果根据合同持有者在有效期内行使权力的 自由度不同，期权又可咀分为美式期权和欧式期权。欧式期权是指期权的买方 只能在合同的到期日当天才能行使权利；美式期权则可以在合同到期日以前任 何一天行使权利。由于欧式期权的特征比较容易分析，所以对期权的研究都是 以欧式期权为起点的。如果期权按照交易方式分，又可以分成标准化期权和非 标准化期权( 变异期权) 。标准化期权是在交易所上市交易的期权，例如欧式股 票期权，股指期权，外汇期权和利率期权等。非标准化期权又称为变异期权， 大多是在店头市场进行交易。按照标的资产类型的不同，期权可以分为股票期 权、利率期权、货币期权、黄金期权、商品期权、期货期权等。 由于期权是一种权利，不是义务，即合约持有人有放弃合同的权利，所以 要获得这种权利就必须为了获得这种权利支付一定数量的权利金。这种支付的 权利金就叫做期权的价格，而期权的价格很难从市场交易中直接反映出来。因 此期权的定价一直是金融实践和金融数学中的一个重要的课题。为了获得准确 的期权定价公式，金融学家和金融数学家花费了长达半个世纪的努力，虽然在 许多问题上得到了突破，但是还存在大量的问题拯待进一步研究。期权的价格 是由期权市场的供求关系决定的，它的价值等于其内在价值和时间价值之和。 其中期权的内在价值是指期权盈价的金额，即期权的做多方从执行期权合同中 得到的现金收入额。由于损益结构的不对称性，其内在价值不会为负。而时间 价值在形式上表现为期权价值减去内在价值的差，反映了买权做多方手中拥有 的相机抉择权利的价值。它是由期权合约的有效期长短等时间因素所决定的标 的资产合约价格波动风险的估计值。通常情况下，期权合约距离剩余有效时间 越长，期权的时间价值就越大；反之则时间价值就越小。因此确定期权的时间 价值是期权定价理论研究的一个重要问题。下面以欧式期权为例，先分析期权 在到期日的价值，它是进一步研究期权有效期内任意时刻价值的基础。假设标 的股票为一股。投资者在t 时刻买入一个到期日为t 的股票买权合同，其执行 价格( 又叫敲定价，s t r i k e p r i c e ) 为x ，s ，为到期日市场价格，则在到期日当s ， x 时，买方行使权利，获得了s ，x 的差价，卖方则相反，否则放弃执行。则买权 合同在到期日的价值c ，可以表示为c ，= m a x ( s ，x ，0 ) 简记( s ，x ) + 。显然，通过买 入买权，该投资者一方面得到买权的有利部分，即他手中买权的价值将随标的 股票价格的上涨而增加，从理论上讲，可以达到无限值；另一方面又避免了股票 价格向不利的方向变动带来的损失。期权的这一特性使得它受到交易者的关注。 期权合同执行，期权就会有盈亏。期权的盈亏状态( m o n e y n e s s ) 是指一个期权 合同立即执行时对持有人所带来的收益或损失。它是反映期权价值的一个基本 概念。盈亏状态有三种可能：盈价( i n t h e m o n e y ) ，平价( a t t h e m o n e y ) 和亏价( o u t o f m o n e y ) 一个期权合同到底处在何种盈亏状态关键要看执行价格相对于标的 资产价格s 的差异，并要考虑期权的类型。 表1 1 期权的盈亏状态 买权卖权 盈价x ( sx s 平价 x = sx = s 亏价x sx ( s 从分析上可以看出期权使买方得到了对其有利的不确定性，避免了不利的 不确定性。而卖方则不能保证价格变动的损益对冲，正是由于期权损益的不对 称性，使得它成为金融市场上用来进行资产风险管理的有效的工具。当然除了 这个优点之外，它还可以进行投资和套利。 在所有的金融衍生产品中，由于期权易于定价，且大多数衍生产品可以表 示为期权组合的形式，因此其研究最为广泛期权的价格其实是一种风险价格， 影响期权价格的因素很多，一般从经济的角度来说主要有以下六种。下面考察 这六种因素与期权价值的关系。 第一标的资产当前价格s ：就买权价值而言，它是由内在价值和时间价值构成 的，买权的内在价值体现为期权合同执行时标的资产市场价格超过执行价格的 部分。由于执行价格x 是事先确定的量，因此在其他条件相同的情况下，s 。越 高，买权的价值就越高，反之，卖权的价值就越低。 第二执行价格x ；在其他条件相同的情况下，执行价格x 越高，则标的资产 市场价格大予执行价格的可能性就越小，买权的内在价值就越低。反之，实权 的内在价值就越高。 第三距离到期日的时间t t ：距到期日的长短对买权价值的影响要视买权的类 型及有无股利发放而定。首先对美式买权，在其他条件不变的情况下，距到期 日时间越长。其时间价值可能越大。这是因为，对于长期买权的持有人来说， 其可以行使权力的机会完全包括了短期买权持有人的机会。其次，对于欧式买 权，可以证明，如果不存在股利发放，买权的价值仍然与到期日的长短呈正相 关。但是，在存在股利发放的场合，情况则有所不同。例如，假设有两个欧式 买权股票，它们离到期分别有2 个月和1 个月，且标的股票预期在六周后将发 放较大数额的股利，其他参数相同。由于股利除权后导致股票价格的下降，而 弃权合同的有关条款不对现金股利支付进行调整，这可能会导致短期买权的价 值高于长期买权。对于欧式卖权，卖权价值与t - t 之间的关系是不确定的。 第四关于无风险利率r ：无风险利率r 反映了投资者的资金成本( 即货币的时 间价值) 。与直接在股票市场上购买股票相比，买权的做多方直到执行合同才付 出现金。显然r 越大，这种延期支付的价值就越高。因此，在其他条件相同时， 无风险利率越高，买权的价值就越大，卖权的价值就越低。 第五标的资产的波动率o - ：是对标的资产价格未来变化不确定程度的度量。其 值越大，标的资产价格未来的波动率就越大，即其涨跌的可能性及幅度就越大。 对买权持有着来说，由于买权损益结构的不对称性( 即因价格下跌导致的可能 损失有限，而因价格上涨导致的可能收益是无限的) ，大的波动性不是件坏事， 而是件好事。一方面，他既可以从标的资产价格的上涨中获得更大的内在价值； 另一方面，又不必担心标的资产价格下跌会带来巨大的经济损失。因此，在其他 条件相同的情况下，波动率越大，卖权的时间价值就会越大。波动率与期权价 值之间这种正向相关性反映了持有买权和直接持有标的资产的本质差异。 第六股利支付d ：股利支付将对标的股票价格产生除权作用即使股票价格有所 下降。因此，对于买权来说，在其他条件相同的情况下，标的股票的股利支付 金额d 越大，买权的价值就越小。 表1 2 下面用表格分析期权价值与各参数之间的相关性( 其他参数不变) 。 参数 欧式买权欧式卖权美式买权美式卖权 s + x + r 一， 口， +? 盯 + + ，+ d + 1 2 期权定价理论的起源和发展 期权定价模型的建立是将上述影响期权定价的诸多因素作为参数来建立起 相应的数学模型。长期以来，人们一直在探索利用各种因素采用各种方法来正确 评估资产风险的有效方法。1 8 7 5 年，一家名叫的t u r n b r i d g ea n d c o m p a n y 的证券 经济商提出以下建议：l 。若你认为股票的价格会下跌，则可以买入卖权或者 买入买权，同时卖出相应的标的股票。2 。若你认为股票价格会上涨，则可以买 入买权或者买入卖权，同时买入相应的标的股票。3 。上述策略除了支付的权利 金之外，没有负债，也不存在风险。显然上述建议至今仍然具有应用价值。到 了1 9 世纪后期，期权的店头交易时常开始出现，当时有一位名叫萨奇( r u s s e l l s a g e ) 的铁路大投机商对期权交易策略很有研究，因此被后人称为“期权之父”。 他提出的“转换( c o n v e r s i o n s ) ”和“逆转换( r e v e r s ec o n v e r s i o n s ) ”的期权交 易策略，至尽仍然被人们关应用。所谓转换，即是做多卖权和标的股票，同时 做空买权。萨奇的做法是：当投资者要从萨奇借钱时，萨奇要他们以股票为交 换，因此，萨奇在借出钱的同时做空了股票。然后，他立即买入以该股票为标 的资产的卖权合同，同时向其他投资者出售该股票的买权合同。不过，当时期 权市场规模仍然很小，由于期权被投机者大量用来进行套利活动，其在公众心 目树立的形象不佳。不过，从严格意义上说，对于期权问题的最早研究可以追 溯到1 9 0 0 年。法国数学家路易斯巴舍利耶( l o u i sb a c h e l i e r ) ，在他的博士论文 投机理论中，他提出了最早的期权定价模型在考察股票波动时，他注意 到布朗运动数学理论的某些特性，假设股票价格运动过程是没有漂移的，单位 时间方差为的绝对布朗运动，并推导出到期日时的看涨期权的期望值为： c = s1 9 ( 三二当) x1 9 ( 皇二当) + 盯打( 竺二；) ( 1 ) a 4 t r 1 ta 4 t 在( 1 ) 式中，s 是股票的价格，x 是执行价格。t 是距到期日的时间，1 9 ( ) 和( ) 分 别是标准正叁分柱累积函数和正态密度函数。巴舍利耶模型奠定了现代期权定 价理论的基础，但是他的模型假设具有很大的局限性和缺陷，即：股票价格过 4 程是绝对布朗运动一允许股票价格为负，这与现实明显不符，另外他的模型对 股票价格做出的零期望值假设忽略了资金的时间价值为正，期权与股票间的不 同风险特征以及投资者的风险厌恶，因此在应用上受到很大的限制。 在巴舍利耶以后的半个世纪里，期权定价理论进展很缓慢，其大部分发展 表现在经济模型上。一直到上世纪6 0 年代，才有一些新的发展，主要表现在以 下几个方面：1 9 6 1 年斯普里克尔( s p r e n k l e ) 在认股权价格是预期和偏好的指 示器一文中 2 】提出设想，股票价格服从对数正态分布，其均值和方差都是常 数，并且考虑到股票的正漂移，并以此假设为基础，他提出了一个买权的定价 公式： i n 尝+ ( 口+ 妻盯2 ) fi n s + ( 口一! 盯2 ) f c = e t s 口 墨二下卜( 卜万) x 1 9 墨二，2 二 ( 2 ) a 4 r 0 - 4 r ( 2 ) 式中2 是市场价格杠杆的调节量，但是他的缺陷在与他没有对期望值 折现，以确定期权值。1 9 6 4 年博内斯( b o n e s s ) 在股票期权价值理论的要素 【3 】_ 。文中跟斯普里克尔相似，他也假设股票收益服从平稳的对数正态分布。不 同的是，博内斯考虑了风险溢价的重要性。为便于处理，他假定投资者不在乎 风险，利用这一假设按f 2 折现期权的期末期望值( 其中岱是股票的预期收益率) ， 得到期权定价模型是： i n s + ( 口+ ! 盯2 ) fi n s + ( 口一0 2 ) f c = s “l 二乒 一e x , 9 l 二；二 ( 3 ) 0 4 r c r 4 r 这个模型在形式上和b s 模型相同，唯一不同地方表现在a 的使用上，这 是它的股票的预期收益率，而不是无风险利率，如果博内斯将他的假设再向前 推一步使岔= r ，那么他就得出著名的布莱克斯科尔斯( b l a c k s c h o l e s 简记为 b s ) 定价公式【4 。 1 9 6 5 年萨缪尔森( s a m u e l s o n ) 意识到在一般情况下期权的预期收益率和 股票的预期收益率会因风险特征不同而不一致，尽管他意识到更深的理论会推 出预期收益率，但是他所设定的期权的预期收益率( 常数) 口高了一点些，他 还意识到这些假设意味着提前执行合约可能是最优策略，但是他没有办法求出 最优执行策论( 永久性看涨期权除外) ，在他的论文认股权定价的合理理论 中【5 ，提出了欧式买权的定价模型，模型公式是： i n 旦+ ( d + 三0 2 ) fi n ，兰- i - ( 口一10 2 ) r c = ”肋7 s “l 二 卜矿x 1 9 l 二# ( 4 ) 6 to t 博内斯的方程是这个模型的特殊情况。上述期权定价模型的提出，推动了 期权定价理论的发展，为后来的b s 模型的出现奠定了基础。 1 9 6 9 年。萨缪尔森和默顿研究了在资产组合简单均衡模型中的期权定价 【6 】。这样就可以根据模型确定股票和期权的预期收益。他们证明了期权问题可 以用函数形式中的“公共概率”项来表示，这种函数形式和实际概率表述问题 一样。根据这种表示法，经调整后的股票预期收益率和期权的预期收益率是相 同的。这种方法预示着风险中性或无偏好期权定价法的发展。 现代期权定价理论的最新革命开始与1 9 7 3 年。虽然在这之前学者们已经建 立了各种各样的期权定价模型，但是这些模型几乎不具备任何实用价值。因为 它们或多或少的包含着一些主观参数。如投资者个人对风险的态度，市场均衡 价格等。在1 9 7 3 年，布莱克和斯科尔斯在政治经济学杂志上发表了他们关 于期权定价的经典论文期权定价与公司债务一文 4 】。首次提出了欧式股票 期权定价公式：在定价日t ，到期日为t ，欧式买权的定价公式为： c ，= s 。n ( d 1 ) 一x e “4 ”n ( d ：) ( 5 ) l n ；+ ( r + 三盯z ) ( r r ) 一 其中d = 丛1 垒一，d 2 = d t 一盯r 一，。n ( x ) 是标准正态变量的累 o 4 t r 积分布函数。即n ( x ) ；p f x x ) ，这里x 服从标准正态分布。由买权卖权平价公 式：只= g s t + x e l “ ( 6 ) 以及n ( x ) 的性质得到欧式卖权在定价日t 时的定价公式为： = - s , n ( 一d i ) + x e - “1 ( 一d 2 ) ( 7 ) 上述的模型就是著名的布莱克斯科尔斯模型( b s 模型) ，这一模型是金融 领域的里程碑。在b s 模型中有五个参数，其中股票的现价是“，执行价格是 x ，距到期日t - t ，无风险利率r 都是可以观测的，而波动率d 也可通过市场数 据去估计，这使得它具有广泛的实用性和可操作性。b s 模型克服了以往各种 模型存在的问题，从而为包括期权在内的衍生工具定价问题的研究开创了一个 新时代。布莱克和斯科尔斯成功之处在于，他 f 3 认识到了一个期权损益特征可 以由标的股票和无风险证券的适当组合来精确复制，即任意一个期权都可以通 过人为合成的办法来实现。因此，合成期权所需要的成本即为所对应的期权的 价值b s 公式给出的定价与所谓的预期收益率卢无关，也就是说。期权的合理价 格是不依赖于投资者的偏好的，这一特征使人们能利用所谓的风险中性的方法 进行定价。风险中性定价现在已经发展成为一种非常有效的定价方法。除了布 莱克和斯科尔斯之外，默顿( m e r t o n ) 也对期权定价理论和实践的发展做出了独 到的和开刨性的贡献，他几乎和搬莱克，骺科尔斯同一时间。褥到了期权定价 模型【7 】以及其他成果。例如，布莱克和斯科尔斯只考虑了股票价格连续变化的 6 情况，而实际上股价并不是始终连续变化的，可能存在着非连续的跳跃点【8 】， 另外由于b s 模型中没有考虑标的股票在合同有效期内发放股息的情况，这是 这个模型又一个的缺陷。1 9 7 3 年默顿考虑了标的股票存在连续支付股利的期权 定价问题，给出了修正后的b s 公式，从而使该模型的实用性大大增强，被学 术界成为b s m 模型。布莱克，斯科尔斯和默顿的定价理论是现代金融学晟杰 出的成就之一，该理论为金融经济学的研究开辟了新天地。三十多年来，金融学 的发展几乎都是在b s 模型或者b s m 模型的基础上进行的。 b s 期权定价模型对市场做了许多理想化的不切实际的假设：例如，标的 资产价格波动率为已知，且在期权的寿命期内不发生变化；股票交易是连续不 问断进行的，因此它的价格变动是平稳的，在短时问内不会发生向上或者下的 跳跃；短期无风险利率为一给定的常数，不是随机变量；任何人都能以同一利 率借入或贷出任意金额的资金：可以任意卖空标的股票或期权，且所的可以立 即全额使用：股票市场或期货市场均不存在交易成本；投资者参与市场交易并 不影响其所承担的税赋；股票市场和期货市场都具有充分的流动性；标的股票 不支付股利；期权为欧式的，即投资者只能在期权到期日形行使权利；不存在 兼并或其他可能中止期权寿命期的事件等。这些直接影响到b s 公式的推导及 其运用受到各种各样的条件的制约。显然过于严格的假设削弱了原始定价公式 在现实中的应用，使其在理论和应用上存在缺陷。其后默顿、考克斯和罗斯， 斯科尔斯和鲁宾斯坦，布伦南和布莱克，哈里森和克雷斯普，加曼和科尔哈根 等学者对模型进行了更加详细深入的研究和改进，并把它推广到对其他金融衍 生工具的估价和金融风险控制这些“更普遍的环境”中，使期权理论得到迸一 步完善。这里简要的介绍围绕上述假设进行的推广。 ( 1 ) 利率不是常数时的期权定价问题 在b s 模型中，利率是给定的常数。实际上，利率的变化相当复杂。不同性 质，不同到期日的证券，利率变化规律互不相同，这就是利率的期限结构。利 率不变实际上是假设利率的期限结构是一平坦的直线，显然这是不符合实际情 况的。1 9 7 3 年默顿考虑了这种情况，首先给出了利率随机变化的欧式期权的定 价模型【7 】，由于各种原因，他的模型在实际中很少采用。近年来由于利率风险 日益突出，利率期权的利率衍生证券得到了飞速的发展，关于利率期权定价方 法的研究在期权定价理论研究中尤其重要。综合这方面的研究可以分成两类： 一是b - s 模型为基础的修正和推广。例如默顿的债券期权模型【8 】；二是基于对 利率期限结构变化的估计与建模。例如h u l l w h i t e 模型【9 和 c o x i n g e r s o l l - r o s s 【1 0 】是比较重要的研究成果。 ( 2 ) 股票价格是非连续变化时的期权定价问题 在现实中股票价格可能出现非连续的变化，即所谓的跳跃，这使得使用b s 模型下股票服从对数正态分布的假设无法处理。为此需要引入新的分布，1 9 7 6 年默顿第一个考虑了股价服从跳跃扩散过程的期权定价问题【1 1 】，由于得到的定 价公式十分复杂，而且所含参数的值不容易确定，使这个模型在实践中难以推 广应用；另一方面，c o x 等人在1 9 7 9 年提出股票价格变化服从对数泊松分布的 假设，从而得到了所谓的“跳跃过程”离散买权定价模型【1 2 】。 ( 3 ) 波动率不是常数时的期权定价问题 股票价格的波动率是刻画未来股票价格变动的一种最为关键的变量，在 b - s 模型的大部分推广中，总认为股票价格的波动率为常数。事实上，金融统 计数据表明b s 模型与实际情形存在显著的系统差异，其中主要的两种不一致 现象是：一是由b - s 模型确定的无条件报酬分布的蜂度过小；二是实际观测的 资产价格分布的两条拖尾曲线都比b s 模型假设的对数正态分布要宽。同时， 实际观测到的衍生证券市场价格表明，隐含波动率并不符合模型所做出的常值 假设，而是存在隐含波动率微笑现象。总之，b s 模型关于标的资产价格的分 布规律的假设与实际相违背。而大量事例分析表明，随着时间的变化，波动率 一般不是一个常数。例如波动率的大小往往与股价水平的高低成反向方向变化 关系。因此如何估计波动率的变化规律，并将它反映在期权定价模型中，是学 者们十分关注的问题。早在1 9 7 6 年，c o x 和r o s s 就给出了考虑非定波动率的 买权定价模型，即所谓的常方差弹性期权定价模型【1 3 1 ，然而人们经过研究发现 股价水平只能部分解释波动率的变化，因此，有必要考虑更一般的方法，即将 波动率盯作为随机变量，建立随机波动率模型 1 4 】。不过，这样做的结果把期 权定价模型从单因素模型变成了二因素模型，即定价模型中同时存在两个随机 变量，从而大大增加了建模的复杂性，难以得到模型的解析解。但是实证分析 表明随机波动率假设更接近实际，它能给出和市场数据更为吻合的结果，所以 随机波动率假设下的期权定价将是今后研究的重要方向之一，也是笔者这篇论 文主要研究的目标。 另外。默顿和斯科尔斯还共同将期权定价公式扩展到了股票指数期权，货 币期权，期货期权及其他资产的期权定价公式。为衍生金融工具市场的迅速发 展铺平了道路。在一定程度上使衍生金融工具成为投资者良好的融资风险防范 手段。 1 3 本文的内容和结构安排 由于衍生证券问题的求解取决于基本资产价格过程的变化规律。因此，对 标的资产价格过程的分布规律的各种不同假设，构成了当今各种各样的衍生证 券定价模型。根据数学建模理论，评价这些模型好坏的标准是：1 关于标的资 产价格过程运动规律的假设应尽可能接近现实：2 力求构造的模型数学上易于 处理，实践上易于执行。本文研究的主要目的对c e v 模型下的亚式期权定价模 型进行推广，建立c e v 模型下有交易费用的亚式期权定价模型的微分方程，并 用二叉树求其近似解，最后给出实例分析；同时也用二叉树法求标的资产服从 几何布朗运动的有交易费用的亚式期权的近似解。因为在目前比较流行的计算 亚式期权的数值方法主要有三种：蒙特卡罗法、偏微分方程数值法( 包括有限差 分和有限元法) 、树图法。在树图法中最常见的是二叉树法，用二叉树法不但降 低了计算的难度，而且比其它两种方法更直观和更容易理解。本文就是用二叉 树法和必要的鞅、随机分析的知识来讨论这个问题的。 本文一共分成了五章。其结构安排如下：第一章是绪论，首先对金融衍生 证券一期权的概念以及损益情况，价值影响因素做了简单的介绍，然后回顾了期 权定价理论的发展进程以及具用开创意义的b s 期权定价模型及其推广和改 进；第二章介绍本文所需要的随机分析知识；第三章介绍了b s 模型和c r 模 型；第四章首先介绍亚式期权，接着介绍标的资产服从几何布朗运动的亚式期 权的定价和有交易费用的亚式期权定价公式；第五章首先介绍了c e v ( 即波动 率弹性位常数) 的基本概念，然后对c e v 模型下亚式期权定价公式进行推广， 得到了c e v 模型下有交易费用的亚式期权价格满足的微分方程，利用二叉树法 求其数值并用实例验证结论。 第二章随机分析知识 2 1 前言 9 7 3 年布莱克和斯科尔斯因为发现欧式看涨期权的定价理论而获得1 9 9 7 年 的诺贝尔经济学奖。b s 模型的优越下处主要体现在以下两个方面：( 1 ) 在股票 价格价服从几何布朗运动的理论化市场条件下，发现了欧式看涨期权的套期保 值策略，指出拥有看涨期权与拥有这种策略是完全等价的。从而得到该策略对 应的初始财富，即期权唯一的公平价格，它与投资者的风险态度无关；( 2 ) 给出 了操作简单的欧式看涨期权的定价公式。不过这两点中前者的动态套期保值思 想没有后者有价值。从数学角度考虑，其实质是随机分析中的布朗泛函鞅表示 定理的一个应用。现在虽然围绕b s 模型的改进型层出不穷，方法也多种多样， 但是到目前所使用的基本方法还是建立在随机分析的基础上。因此要研究期权 定价问题必须要了解一些与定价有关的随机分析的基础知识。b s 模型中标的 股票价格的变化过程用几何布朗运动方程表示，它是一个随机过程。c e v 是几 何布朗运动的推广，它也是一个随机过程。因此了解随机过程的基本特征是进 行期权定价的首要问题，也是本文的一个重要知识点。下面我们就介绍一些基 本的随机分析知识。 2 2 基本的随机过程 下面研究几个基本的随机过程： 1 马尔可夫过程： 若任意 j 2 s n j r t ，x ( t ) 关于x ( s 1 ) ，x ( s 2 ) ，x ( 民) ，x ( s ) 的条 件分布恰好等于x ( f ) 关于x ( s ) 的条件分布，即： p l x ( t ) s y l x ( 0 = x ，x ( 晶) = ，x ( s o = 而) = e l x ( t ) y i x ( j ) ；z ) 就称过程z ( f ) 具有马尔可夫性，称爿( f ) 为马尔可夫过程。马尔可夫过程是 一类特殊的随机过程。在这个过程中变量只与当前值和未来预测有关，而变量 的历史和变量从过去到现在的演变过程与未来的预测没有关系。人们通常假设 股票价格变动符合马尔可夫过程，这一假设与弱性市场有效性相一致。所谓的 弱性有效市场是指一种股票的当前价格已经包含了所有当前过去的所有信息， 将来任意特定时刻股票价格的概率分布只和当前的股票价格有关。 2 维纳过程( 布朗运动) ： ( 1 ) 普通的维纳过程。 维纳过程描述一个实现在描述价格变动、利率变动、汇率变动、债券价格 变动以及衍生资产变动行为的金融模型上的一个最基本的概念。维纳过程也称 为狭义的布朗运动，是马尔可夫过程的一种特殊形式，它可以用一个特定的随 机差分方程( 离散场合) 或随机微分方程( 连续场合) 来表示。维纳过程有一 些特殊的性质可以用变量w 在短时间，内的变化进行数学表示：假设变量w 0 服从维纳过程，a w 是在f 时间后的变量的增量，则a w 。e r ，其中e 服从 标准正态分布，在时间区域 t ，t 】，令a t = 当前时刻为t ，由布朗运动的马 尔可夫性可得一离散的维纳过程( 或叫随机走动过程) ： r a w = w ( t ) - w ( t ) = e 。f 。由于q 是相互独立且服从n ( o ，1 ) 的变量，显然a w f 可 服从均值为0 ，方差为t t 的正态分布。就是说孵的均值仍是形。记为 w ( t ) 一w ( t ) = e i r t ，若令时间间隔f 趋近于无穷小记为微分d t ，则维纳过程 的离散型就变成了连续型。记d w , = w ( t ) 一w ( t ) ，则有连续维纳过程的表达式为： d w , = 巴, z ，显然期望e ( a w , ) = o ，哳( d 形) = d t ，且e ( d 彤) 2 = d t ，v a r ( d w 。) 2 = 0 。 这说明维纳过程是一个随机过程，d w , 是不可预测的，但是它的平方却是完全 可测的，即( d 形) 2 = d t 。 ( 2 ) 具有漂移态的维纳过程： 若随机过程 w ( t ) ；f 0 ) 满足： ( a ) 每一个增量w ( t + s ) 一w ( s ) 都是均值为方差为仃2 t 的正态分布，其中芦， 仃为固定参数； ( b ) 对于每一个 ，2 。 ( 4 ) 一般情况下，人们是用布朗运动方程解释股票价格的相对变化规律，并称 这种描述相对变化的布朗运动为几何布朗运动方程。与其对应，描述绝对变化 的布朗运动叫算数布朗运动。如果布朗运动方程d e = l a d t + 盯必中的盯。是时 间r 和彬的函数，则叫过程x = ( ) 脚为一个伊藤过程( i t op r o c e s s ) 。 记作：d x t = a ( x , ，o a t + 盯( 薯，f ) d 彬。其中l a ( x , ，0 ，盯( 葺，f ) 分别叫做瞬时期 望漂移率和瞬时期望标准差。伊藤过程广泛用在金融文献中，尤其是用在股票 价格动态行为的建模领域。 2 3 随机微积分 设形( f ) 表示无漂移的标准布朗运动，即：口2 = 1 = 0 ，设矽表示在时 间增量为出时，r e ( t ) 的变化。根据布朗运动的性质可得： a r e ( t ) = r e ( t + a t ) 一r e ( t 1 = e , 4 a t 其中岛是标准正态随机走动过程。在微分极限出_ o 条件下，上述关系可 以用微分形式表达：d w ( t ) = q 出。这里e ( d w ) = 0 ，v a r ( d r e ) = d t 。而矿2 和a t a w 的均值和方差分别为： e ( ( a r e ) 2 ) = v a t ( a r e ) + 【昱( ，矿) 】2 = a t v a r ( ( a w ) 2 ) = e ( r e ( t + r ) 一o ) 】4 ) 一【e ( ( 肜) 2 ) 2 = 。( f ) e ( t a r e ) = e ( a t r e ( t + a t ) 一( f ) 】) = 0 v a r ( a t a r 矿) = e ( a t 2 p 矿( f + ，) 一r e ( t ) 1 2 ) 一 e ( a t ( r e ( t + f ) 一f 矿( f ) ) ) 1 2 = 。( ，) 上述关系的相应微分为： e ( ( d v ) 2 ) = d t ，v a t ( ( d ) 2 ) = 。( 加) 和e ( d t d v ) = 0 ，v a r ( d t d r e ) = 。( a t ) 。 我们把。( a t ) 看作基本为零，因为( d w ) 2 和d t d w 的方差基本为零，所以它们 就都是非随机的。这样( a v e ) 2 = d t 和d t d w = 0 不但是期望的还是精确的。 那么广义的维纳过程( 具有漂移态的布朗运动) 的随机微分方程是： d e = , u d t + 盯d ：夏。由p 矿) 2 = d t ，d t d w = 0 ，可得( d 矿( f ) ) 2 = 口2 d t 。尽管这里d w 是随机的，但是( d w ) 2 却是非随机的。 2 4 伊藤引理 伊藤( i t o ) 引理是由日本数学家伊藤在1 9 5 1 年提出的，它揭示了这样一个基 本规律，即伊藤过程的函数仍是伊藤过程。具体说，伊藤过程的内容是：假设z 是一个伊藤过程，且满足：d x , = ( 置，t ) + o r ( x , ，t ) d w t ，如果f ( x t ，f ) 是z 和时间 t 的函数，则过程f ( x ，t ) 是一个伊藤过程，并且满足如下微分方程： ，r ) = 眈( 置，t ) + z ( 置，r ) + 去厶，t ) 盯：l d t + 正( 五，t ) t r t d w t 其中d e 为维纳过程。所以对b s 模型中描述标的股票价格变动规律的几 何布朗运动方程：积。，s = a d t + o d 彬，应用伊藤引理得： s r = se x p (