（固体力学专业论文）非局部应变法在结构疲劳损伤数值模拟中的应用研究.pdf

非局部应变法在结构疲劳损伤数值模拟中的应用研究 摘要 本文总结了金属构件的疲劳失效破坏机理以及传统的计算疲劳失效的方 法，较系统地阐述了金属材料的疲劳损伤本构关系。在分析研究传统的局部应 变损伤模型的基础上，推导出非局部增强梯度损伤模型，该模型考虑了材料的 微观尺度因素和材料的损伤判据，对材料的实效分析更加合理和符合实际工况。 本文讨论了将含有金属损伤参数的基本控制方程的离散化过程，得到了含 损伤结构的有限元数值模拟方程。并以含缺口的拉杆为例进行了数值模拟计 算，得到了金属构件在等幅载荷作用下的疲劳寿命规律。论文分别用经典的 p a r i s 公式和非局部增强梯度损伤模型来计算该拉杆在等幅应力谱下的疲劳寿 命并对其结果进行比较分析。得出用非局部增强梯度损伤模型进行金属构件疲 劳损伤数值模拟的可行性。 关键词：疲劳失效；疲劳损伤；隐式增强梯度模型；有限元；疲劳寿命；非局 部增强梯度损伤模型 4 1 h er e s e a r c ho ln o n - l o c a ls t r a i nm e t h o di n t l l e r h o 一 _-o 1 s t r u c t u r ef a t i g u ed a m a g en u m e r i c a ls i m u l a t i o n a b s t r a c t t h ef a t i g u ed a m a g em e c h a n i s mo ft h em e t a l l i c m a t e r i a la n dt h e t r a d i t i o n a lc o m p u t a t i o nf a t i g u ef a i l u r em e t h o da r es u m m a r i z e di nt h i sp a p e r , t h e c o n s t r u c t i o nr e l a t i o n so ft h em e t a l l i c m a t e r i a lf a t i g u ed a m a g ei se l a b o r a t e d s y s t e m a t i c a l l y b a s e do nt h ea n a l y t i c a ls t u d yo fc l a s s i c a ll o c a ls t r a i nd a m a g e m o d e l ，t h en o n l o c a le n h a n c e m e n tg r a d i e n td a m a g em o d e li si n f e r r e d w h e nt h e m a t e r i a lm i c r o s c o p i cc r i t e r i o nf a c t o ra n dt h em a t e r i a ld a m a g ec r i t e r i o nh a v eb e e n c o n s i d e r e d t h i sm o d e li sm o r er e a s o n a b l et ot h em a t e r i a la c t u a le f f e c ta n a l y s i s a n dc o n f o r m st ot h ea c t u a lo p e r a t i n gm o d e w h e nt h ed i s c r e t i o no ft h ee q u i l i b r i u me q u a t i o n sw i t hm e t a l l i cd a m a g e p a r a m e t e ri sd i s c u s s e di nt h i sp a p e r , t h ef i n i t e e l e m e n tn u m e r i c a ls i m u l a t i o n i m p l e m e n t a t i o ni si n t r o d u c e d t h ec o n t a i n e dt h eg a pt e n s i o ns p e c i m e ni st a k e na s t h ee x a m p l et oc a r r yo nt h en u m e r i c a ls i m u l a t i o nc o m p u t a t i o n ，o b t a i n e dm e t a l l i c m a t e r i a lf a t i g u el i f er u l eu n d e rc o n s t a n t - a m p l i t u d el o a df u n c t i o n t h ec l a s s i c s s e p a r a t e l yt h ep a r i sf o r m u l aa n dt h en o n l o c a le n h a n c e m e n tg r a d i e n td a m a g e m o d e lh a v eb e e nu s e dt oc a l c u l a t ef a t i g u el i f eu n d e rc o n s t a n t - a m p l i t u d es t r e s s s p e c t r u mw i t ht h i ss p e c i m e na n da n a l y s i si t sr e s u l t i nt h ef i n a l ，w eh a so b t a i n e d t h ef e a s i b i l i t yo fc a r r y i n go nt h em e t a l l i cm a t e r i a ld a m a g en u m e r i c a ls i m u l a t i o n w i t ht h en o n p a r t i a le n h a n c e m e n tg r a d i e n td a m a g em o d e l k e yw o r d ：f a t i g u ef a i l u r e ；f a t i g u ed a m a g e ；i m p l i c i te n h a n c e m e n tg r a d i e n t m o d e l ；t h e f i n i t e e l e m e n t ；f a t i g u el i f e ；n o n l o c a le n h a n c e m e n t g r a d i e n td a m a g em o d e l 插图清单 图1 1疲劳过程图解2 图2 1l c 9 高强度铝合金过时效板材光滑试件s n 曲线8 图2 2循环加载下y 的典型交变情况1 2 图3 1对不规则的微结构的加权平均法1 5 图3 2连续体损伤分布16 图4 1由线性一线性插值产生的应力振荡2 0 图4 2求损伤变量d 的梯形法则2 2 图4 3循环中等价应变的处理方法2 3 图4 4损伤增长曲线2 4 图4 5 调整步长控制参数r 对损伤增长的影响2 6 图5 1试件示意图3 0 图5 2含损伤问题的有限元计算框图3 3 图5 35 5 网格划分3 4 图5 4 l0 l0 网格划分3 4 图5 52 5 2 5 网格划分3 4 图5 6s n 曲线35 图5 7非局部损伤模型s n 曲线3 8 图5 8局部损伤模型s n 曲线3 8 9 表格清单 表5 1p a r i s 公式应力幅、寿命的变化规律3 1 表5 2 非局部增强梯度损伤模型应力幅、寿命的变化规律3 5 表5 3 局部损伤模型应力幅、寿命的变化规律3 6 表5 4 非局部增强梯度损伤模型应力幅、寿命的变化规律3 7 1 0 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所 知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得金胆王些太堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签字：聊欠签字日期：知弼：年厶月沙 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金起王些太堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅或借阅。本人授权盒昱墨王些太 堂可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文者签名：孙纠欠 签字日期：加毋月侈e l 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名弃匍饷；百一 签字日期：o 万年6 月i ) 日 电话：懒f f 午f g 邮编： 致谢 本文是在导师杨伯源教授悉心指导下完成的。导师严谨的治学作风，高深 的学术造就，灵活宽广的科研思路，丰富的经验和学术上的严格要求，使我终 生受益。我永远忘不了几年来导师对我多方面的教会和指导。导师正直为人的 处世作风，忘我的工作态度和平易近人，热情诚恳的优秀品质，是我永远学习 的楷模。值此论文完成之际，我衷心向导师表示诚挚的谢意和深深的祝福。 王忠明老师三年来在学业，生活上对我的关心和帮助，百忙之中自始至终 帮助本文的选题和研究，在此衷心表示感谢。同时，巫绪涛副教授，董刚老师 在我学习和生活上遇到困难的时候，不惜牺牲自己宝贵的时间，给了我学多的 指导和帮助，从他们那里我也学习到了学多使用的专业知识和实践经验。在此 向他们表示衷心的感谢。感谢工程力学系诸位老师对我生活上和学习是上帮助 和鼓励。 感谢我的父母对我多年的培养，教育和对我学习的大力支持和鼓励，感谢 所有的亲朋好友对我学习的支持和鼓励。 6 作者：林欣 2 0 0 8 年5 月3 0 日 第一章绪论 1 1金属疲劳失效问题研究的重要性 现代工业设备的工作环境正在向着高速、高温、高压的方向发展，因此 机械设备的疲劳破坏问题日益突出。据有关统计，在现代工业各个领域中，大 约有8 0 以上的结构强度破坏都是由于疲劳破坏造成的。疲劳失效不仅威胁着 机械产品业，也给航空、造船、桥梁、交通运输工程等造成严重的威胁。疲劳 失效在现代工业中是十分普遍的，尽管人们对疲劳失效问题己引起重视，但是， 近年来因疲劳失效而导致地事故仍然不断地发生。 因而对疲劳失效问题的研究一直是设计人员和工程技术人员十分关注的 课题。在复杂疲劳载荷作用下的疲劳失效问题的计算是一个十分困难的问题， 这是因为要计算疲劳失效，必须具备以下条件：精确的载荷谱、材料的疲劳特 性( 构件的应力寿命曲线或应变寿命曲线) 、合理的疲劳计算理论( 如累积 损伤理论，裂纹扩展理论和材料的损伤理论) 等，同时还要针对某一构件的工 作环境考虑一些影响疲劳失效的因素。因此，目前国内外对疲劳失效问题的计 算，虽然提出了很多计算方法，但还没有一个精确的普遍适用的方法，只能做 到针对某一问题的估算或者说预算【l 】。 计算金属构件疲劳失效问题首先要了解金属构件疲劳失效问题的破坏机 制。一般金属材料为晶体结构，虽然内部具有存在不同形式的缺陷( 如夹杂、 空穴、位错和微裂纹等) ，但都可以简化为匀质各向同性材料。在单调荷载和 循环荷载作用下，都会发生晶界滑移一形成微裂纹一微裂纹扩展一形成宏观裂 纹一脆性断裂过程，如图l 所示。 图1 所示是以图解的形式归纳了疲劳失效的机理。在外部荷载作用下，首 先在构件的薄弱环节出现滑移，然后出现在高倍率显微镜才能观察到的细裂 纹，称为解理裂纹；这些裂纹在循环荷载作用下继续扩展，然后成为肉眼可见 的裂纹称为宏观裂纹；宏观裂纹的继续发展合并丽形成大裂纹，当这些大裂纹 达到临界长度时，构件就会发生突然断裂。 1 2 损伤力学在疲劳寿命闯题研究中应用概况【2 】 金属构件疲劳寿命问题的研究在国内外已经取得了丰硕的成果。传统的计 算疲劳寿命问题的方法有几十种之多，其中比较成熟的计算方法有名义应力法 【3 1 ，局部应力应变法【4 1 ，应力场强法【5 1 ，断裂力学法【6 1 和能量法【7 1 以及利用损 伤力学理论知识来计算金属构件疲劳寿命问题的方法等。 名义应力法：该法通常是以结构危险点的名义应力作为出发点，应用载荷 计数统计方法并结合结构材料的s - n 曲线和累积损伤理论，来估算结构的疲劳 失效。 局部应力应变法：该法是估算疲劳裂纹形成寿命的方法，结合材料的循环 应力应变曲线，通过弹塑性有限元分析或其它近似计算方法( n e u b e r 法、修正 的n e u b e r 法等) 得到危险部位的局部应力应变谱而估算疲劳失效【8 1 。问题的关 键是如何确定危险部位的局部应力应变谱。 嚣 l 嚣c ：蔓e 乏缓缓二： c = = = = = 二_ 翻 谚、 在旃弦卑下研掰肉酝可她的搬袋绂 的缨欲纹 攒移l 一- 一1 一一，1 鼹缝，l 褥咎 篇 ， 蜀麓扩震j 夔夺会扩艇 蠹擘设缅昀袋脱袋乏芷 撑峨力错环次数呻 图i - 1 疲劳过程图解 应力场强法：该法是通过危险部位的应力场强度历程，结合s n 曲线或s n 曲线和累积损伤理论来估算疲劳寿命问题。 断裂力学法：该方法主要是用断裂理论来求含裂结构的裂纹扩展寿命 能量法：该方法是以能量耗散的观点进行疲劳损伤分析【9 】。 损伤力学法：该方法是利用损伤力学的理论知识，通过计算材料的损伤度 来计算金属构件疲劳寿命问题的方法。目前关于这方面的理论主要有：m a r c o 和t a r k e y ( 马科和斯塔奇) 的损伤曲线法( d c 法，1 9 5 4 ) 1 0 l ；l u n d b e r y ( 伦德贝 里) 的线性损伤理论( 1 9 5 5 ) ；c o r t e n 和d o l a n ( 科尔顿和多兰) 的指数损伤理论 ( 1 9 5 6 ) 1 1 1 j ；g r o v e r 和l a n g e r ( 格罗弗和兰格) 的双线性理论( 1 9 5 9 ) 【1 2 】；f u l l e r ( 富勒) 理论( 1 9 6 1 ) ；k o z i n 和s w e e t ( 科津和斯威特) 理论( 1 9 6 4 ，1 9 6 8 ) d 3 ；m a n s o n ( 曼森) 的双线性理论( 1 9 8 1 ) 等等。 2 到目前为止己经提出了几十种累积损伤理论，其中较为成熟的有以下几种 理论【1 4 】： 1 2 1 线性累计损伤理论 线性累积损伤理论是指在循环载荷作用下，疲劳损伤是可以线性累加的， 各个应力之间互相独立和各不相干，当累加的损伤达到某一数值时，试件或构 件就发生疲劳破坏。其中比较典型的理论为m i n e r 准则和修正m i n e r 准则。 ( 1 ) m i n e r 准则【1 5 , 1 6 它是工程中广泛采用的一种损伤准则，其表达式为 疗t 路= 1 ( 1 1 ) | 黾ni 式中n 一一应力水平级数 力，一一第f 级应力水平的应力循环数 i 一一第f 级应力水平的疲劳寿命 m i n e r 准则的成功之处在于大量试验结果显示出( 1 1 ) 式的均值确实接近于 1 ，它在工程上简便易用，而其他确定性方法需要进行大量的试验来拟合众多 参数，精度也并不比m i n e r 准则更好。而且断裂力学、损伤力学提供的损伤演 变规律显示，在一定力学条件下，即使损伤是非线性的，m i n e r 的线性累计循 环比准则在均值或中值意义上也仍然是成立的。 ( 2 ) 修i e m i n e r 准则 文献【1 7 1 用二级载荷和二级程序载荷进行了疲劳试验，得出在高一低二级载 荷和二级程序载荷下( 1 1 ) 式的平均值为0 6 8 。化整为0 7 。由于二级程序试验 与实际的加载情况比较接近，因此对m i n e r 准则进行修正后，得出下式 y 旦= 口( 卜2 ) 葛n i 1 2 2 非线性损伤理论【i s , 1 9 鉴于线性累积损伤理论的不足之处，有许多学者提出了不少非线性损伤理 论，其中最典型的是c o r t e n d o l a n 理论。 c o r t e n d o l a n 通过从理论上和实验上研究交变应力对疲劳寿命的影响，推 出二级载荷下疲劳寿命的表达式。 c o r t e n d o l a n 理论作了下列假设： 成核期很短； 裂纹核的数目随应力增加而增加； 恒值交变应力下，损伤度随应力增加而增加； 每周的损伤度随应力增大而增大： 到破坏的总损伤不依赖于应力历史； 低于疲劳极限应力或低于成核的应力可使裂纹扩展。 c o r t e n d o l a n 提出的多级加载下疲劳寿命的n l 的计算公式为： ， g = b ( 1 - 3 ) y 口i l 兰i 智。l 仃， 式中，一一多级应力下的总疲劳寿命 ，一一1 7 ，应力水平下的疲劳寿命 盯，一一最高应力水平的应力值，m p a 矾第f 级应力水平的应力值，m p a 口；一一第f 级应力的循环数占总循环数的比例 卜一由二级载荷试验确定的材料常数。 按照此公式，只要知道最高应力盯，下的寿命，和材料常数d ，就能准确地 估算多极程序载荷下的疲劳寿命。，可以从通常的s n 曲线得到，d 从二级载 荷试验中得到，可以看出，此公式的成立需要确保试验的可靠性。 1 2 3 双线性疲劳累积损伤理论【2 0 ，2 1 2 2 1 因为m i n e r 线性累积损伤理论没有把疲劳过程中的裂纹形成和裂纹扩展两 个阶段区分开来。在m i n e r 准则的基础上，h j g r o v e r 和s s m a n s o n 等人进而提 出了双线性疲劳累积损伤理论，即用两条直线分别表示裂纹形成和裂纹扩展两 个过程，用方程表示如下： n ，- - - n e x p ( z n ) ( 卜4 ) 痧= 瓦1 丽h 嚣端 式中 z = 业笋5 )?( 卜5 ) nl = n n i ，一一第1 阶段的疲劳寿命 盯一一第阶段的疲劳寿命 肛一总疲劳寿命 i 一一第1 级应力( 最高应力) 下的疲劳寿命 ，一一损伤最大的应力级下的疲劳寿命 4 用等幅s n 曲线确定出各级应力水平下的疲劳寿命m ，并用以上公式计 算出各级应力水平下的，和以后，即可对两个阶段分别计算出各级应力水 平下的循环比瓦1 i 印u 厶瓦1 1 ；当最和忐均等于1 时，所得出的载 荷块数之和即为以块数计的疲劳寿命。再乘以每个载荷块的循环数，即为以循 环数计的疲劳寿命。为每个载荷块中第f 级应力的循环数。 1 3本文研究的目的与内容 通过前面的介绍我们了解到，前人所用来计算疲劳寿命问题的计算模型存 在如下不足：有的模型较简单，计算结果与实际情况有差距；有的模型公式繁 琐，以至难以应用；各种寿命估算模型大都从试验得到的经验或半经验公式， 应用局限在特定的材料和特定的加载方式上，一些寿命估算模型含有多个材料 常数，形式极其复杂，不易应用于实际工程中。以上模型产生缺陷的原因，除 了实验条件与实际情况不符，未考虑环境和结构因素等方面的原因外，很大程 度上是由于人们未能真正、全面地认识和掌握各类工程材料的疲劳损伤破坏的 实质，以至在建立描述其疲劳损伤演变规律模型时，过多简化或过于繁琐【2 3 以4 1 。 因此，建立在各种使用条件下的，既能正确反映疲劳寿命机制、又能考虑 应变梯度对整个应力场和位移场的影响，又便于实际工程应用的理论及计算模 型，仍是当前迫切需要解决的课题。 针对这些问题，本文提出了一种新的计算疲劳寿命问题的计算方法一基 于非局部增强梯度损伤模型的疲劳损伤算法。 该模型摒弃了前述各模型中使用局部应变的方法，代之用非局部应变进行 疲劳计算。这样做一方面克服了由于使用局部应变而产生的网格敏感性和疲劳 裂纹扩展中的零能量损耗，另一方面由于考虑了材料结构的尺度使疲劳损伤计 算更加方便和符合材料失效的实际情况。本文的研究工作的目的虽然是尝试将 损伤力学的非局部模型应用于材料疲劳失效的计算，属于探索性研究性质，但 是确具有重要的理论价值和工程使用价值。 本文研究的主要内容有： 1 金属材料的疲劳损伤本构关系 简单介绍了以含内变量不可逆热力学与正交流动法则为基础而建立损伤 本构关系的一般思路。损伤演化因子则由能量方程与由伤演门槛值及熵增不等 式所得到的伤演许可域所控制。根据该思路，具体推导了一个实用的本构模型。 2 非局部增强梯度损伤模型 介绍了非局部应变的计算方法，在此基础上导出了隐式非局部增强梯度损 伤模型的公式，并阐述了利用隐式非局部增强梯度损伤模型计算疲劳寿命的可 行性。 3 考虑损伤行为的有限元分析方法 以平面八节点等参单元为例，介绍了含损伤问题的有限元分析过程，着重 介绍了隐式非局部增强梯度损伤模型的有限元实现方法。 4 实例验证 以拉杆试件为例，使用隐式非局部增强梯度损伤模型来计算金属材料在各 种应力幅下的疲劳寿命，并与断裂力学中的p a r i s 公式法所计算的结果进行分析 比较，以验证用隐式非局部增强梯度损伤模型计算结构疲劳损伤寿命的可行 性。 6 2 1概述 第二章金属材料的疲劳损伤本构关系 疲劳失效的宏观特征一般表现为，在交变载荷的持续作用下，材料的承载 能力不断下降，材料刚度逐渐降低以至最终完全丧失。对于某一类特定的力学 现象，仅仅使用连续介质力学的公理体系往往并不能得到其本构方程的确切形 式，还需要依据该力学现象的特点而附加上经验性的成分1 2 五2 6 l 。所以，任何一 种具体的本构关系，总是有关公理体系与一定的主观假设相结合的产物，而其 实际运用的正确性、广泛性及方便程度应成为人们评价该模型的重要依据。 2 2本构关系的n 型描述 疲劳损伤本构关系n 型描述的着眼点不在于描述各场变量随时间t 的变化 情况，而在于以循环周数n 为广义时间，并取每周内各场的某一特征( 如位移、 应变和应力场的峰值) ，对损伤场，则可取其在本循环结束时的终值为控制对 象来建立本构方程。 对于各向同性线弹性损伤材料，其应力一应变关系为 2 ( 1 一d ) ( 2 - i ) 其中，、分别表示特征应力与特征应变；标量d ( 0 d 1 ) 为损伤度，它 反映材料的刚度下降比例。、毛和d 均应视为n 与坐标t 的函数； s 彬为弹性矩阵，其表达式为 2 弛屯+ g ( 屯以+ 吮颤) ( 2 - 2 ) 其中入、g 为l a m e 常数；以为k r o n e c k e r 符号。 当损伤度d = 0 时，材料是完好无损的；当d = l 时，材料已完全破坏而失 去了承载能力。 本文所用的损伤演化方程，是l e m a i t r e 2 7 】与c h a b o c h e t 2 8 1 等人针对单向拉 伸所提出的理论的基础上经过改进而得到的，该式可用于弹塑性情形。 里：j 旦乏一d ) - p 耕 lb ( 劫( 1 - d ) j ( 牢) 其中，盯j | l ，为循环最大应力；万为平均应力：p ，p 为与温度有关的材料常数； 召( 万) 为反映歹影响的材料特性函数。 在比例加载的条件下只= 矿矿，而矿与矿，则分别表示由 守= p 扩一盯) 与盯严= p + 仃扩) 所得到的当量应力的形式。 改进后伤演方程的形式可表示为以下一组方程 里= c p ，一子2 ( d ) 】p ( 1 一d ) 一- 碰4 ) l = k a c 4 h ， 6n【0础 z = ( 1 - r ) 朋仃： ( 2 3 a ) ( 2 3 b ) c r y 一, ( d ) = o , h ( 1 - - d ) 。 ( 2 3 e ) 式中砖口) 一一为反映多轴受力及循环特征的广义当量应力。 与( 幸) 式相比，式( 2 3 ) 除了能适用于三维情况以外，还多考虑了疲劳门槛现 象的三个特点。这里以单向拉伸为例予以说明： ( 1 )对于同一种无损材料及某一应力比r ，当循环特征应力仃h 或盯口) 低 于某一常值盯晴n d ( r ) 时，材料中将不发生疲劳损伤或疲劳寿命不小于某一指定大 数( 如1 0 7 ) ； ( 2 ) 仃( r ) 一般随r 的增大而提高，图2 1 所示显示了一个典型的试验请况 【2 9 】： 叠 吾 毒 1 0 0 图2 ll c 9 高强度铝合金过时效板材光滑试件s - n 曲线 材料规格：6 = 6 m m ；材料强度：= 5 0 。8 k g m m 2 ；试件强度：o - b 6 = 5 0 8 4k g m m 2 ； 试验形状；纵向板试件k = l ；热处理：4 6 0 。c 淬火，1 1 0 保温7 a ，1 5 0 c 保温2 7 h ； 试验条件：轴向加载r = 1 ，0 1 , 0 5 ，f = 1 6 0 h z 。 8 ( 3 ) 对已含有疲劳损伤的材料，能导致损伤进一步发展的应力下限式 仃：( r ) ，一般会小于无损时的口三d ( r ) ) 。 在n 型描述中，虽然d 随时间的变化是以为尺度的，但是，对于线弹 性损伤介质来说，如果外载与边界位移是按比例变化的，则在每个加载循环内 任一瞬时除d 以外各场量的分布也是不难算出的。 然而，就本质而论，损伤演化的过程是与时间相关的，尤其在讨论弹塑性 损伤时，我们往往需用到增量型的描述，而要涉及包括损伤在内的有关场的时 率形式。因此，建立与时间相关的损伤本构关系( 通常称为t 型描述) 就显得很 有意义了1 3 0 1 。 2 3含内变量不可逆热力学的基本理论 由于疲劳失效过程必然伴随着热量产生与热量流动而并非仅仅涉及机械 能的转换，因而疲劳失效属于不可逆的热力学过程；同时又因为在该过程中所 发生的介质劣化与塑性应变均具有不可逆性，所以，就有必要从热力学的第一 定律与第二定律出发来讨论对损伤本构关系。 定义单位质量介质所含的h e l m h o l t z 自由能为 = e g e 一乃 ( 2 - 4 ) = 一l s u 。| j 利用g 可以得到热力学第一定律和第二定律所导出的不等式的等价形式为 屯+ 夕( 夕一宫一t s 一乃) 一口叫= 0 ( 2 - 5 ) 和 岛一p ( 宫+ 乃) 一t 川仇乙0 ( 2 6 ) 由于g 是单位质量介质的状态函数，对于无伤演特性的匀质材料来说，将g 视为白与t 的函数就可以了。但是，对于处在相同勺与t 下的同一种损伤材料 而言，若其损伤度与塑性有所不同的话，则g 值是有差别的。 2 4内变量的正交流动法则 在加载速率不大时，材料导热性能良好以及损伤区接近构件表面时，结构 各点的温差不致太大。可以忽略温度梯度项的影响，从而得到 笛+ r 廖o ( 2 7 ) = 为获得满足( 2 7 ) 要求的各内变量的增率表达式，通常要选取某种流动势并 依照正交流动法则来建立模型。一种方式( 如l e m a i t r e t 2 7 】) 是将塑性与损伤统一 9 纳入同一流动势的做法来选取流动势 f = f ( o - o ，誓，乃，q ) 按正交流动法则，可得 彰幺若肛磋 式中五一一流动因子。 为确定五，还须引入一个广义加载函数 于= f ( o - g , ，y i ，h j ，s ；，s ；，d ( 2 - 8 ) ( 2 9 ) ( 2 - 1 0 ) 当厂 0 或厂 民一( 仃二) ) 毛 町= ( - 盯：) + ( 西) 以一 称为 而在任意坐标系下的有效应力西可由西经坐标变换获得。 2 6 本构关系的i t 型描述 ( 2 1 2 ) 依据上面的理论知识，可推导出用应变表示的损伤驱动力如下 1 y = 去善吼s ； ( 2 1 3 ) 利用应变等价原理，对( 2 1 3 ) 式进行整理可得以应力表示的损伤驱动力为 1 】，= 去f 7 7 c 彬( 1 一孝椰。2 0 a g u ( 2 1 4 ) 这里用到了与c 知的互逆关系以及各自的对称性。 下面讨论伤演方程的表达形式。 为简便起见，假定在2 3 节中所涉及的损伤流动势兄就是损伤耗散函数 e d ，并由( 2 1 4 ) 式知 匕= y d( 2 - 15 ) 其中，e d 表示了相当于广义力的y 在相当于广义位移的d 上做功的功率：e d 代表了总的损伤功耗，并且当伤演进行时，e d 就会增加，反之，保持不变。 为了提出能反映疲劳载荷的交变性，尤其是能反映2 1 节中所指出的损伤 演化门槛特性的表达式，还要定义关于损伤驱动力的循环特征参数r ，。 从( 2 15 ) 式可以看出，尽管循环应力可以为负而y 的变化范围总是非负 的。在一个加载循环内，y 的变化情况有如图2 2 所示的( a ) 、( b ) 两种类型：( a ) 对应于在一个循环周内y 有个峰值的情况；( b ) 对应在一周内y 有两个峰值 的情况。 k 1 ， 一个锸环胃i 期 ( 露) 、，- ，一， 一个循环周期 ( 6 ) 图2 - 2 循环加载下y 的典型交变情况 ( a )一个周期内有一个峰值的情况；( b ) 一个周期内有两个峰值的情况。 r y 定义为 耻 蠊筹， 仁坳 其中，匕与的含义已在图中标出( 须特别指出，由于各应力分量可能不同时 降至零，故一般图2 - 2 ( b ) 中z o ) 。不难验证，在单向拉伸时，墨即等于有效 应力比。 由图2 - 2 还可以看出，y 的变化历程是由一系列单调变化相续而成的。由 于以上各种考虑，我们给出气( 也即冗) 的表达如下： 设f 。与厶+ 。分别表示y 的菜单调变化阶段的起止时间，则对于 t 【f 。，f 柑】，有 吩卜沙c 譬焉鬻掣 【乏( 乙) 一 “ ( 第二项分子为正) ( 其他情况) ( 2 一i 7 ) 其中，c , p , q 及圪均为非负材料常数，与式( 2 3 b ) 中的毫。相似；岛为综合反映 了多轴受力及循环特性的当量损伤驱动力，其定义为 匕= ( 1 一r y ) 4 y ( 2 _ 1 8 ) 毋可以由f 。附近y 的交变状况来确定。损伤演化许可域为 y 鲁。( p 】，埔) ( 2 - 1 9 ) 进一步整理前面知识可以得到一个加载循环内的损伤增量为 扣 弧 南 m a x ( 瞄，瑶“) 一m 呶增：，w 1 ) ) 去蛔f y 彬p + l 驴) 篙品。) - 2 m 噼酬 p 2 。， j ，_ m 、叼，搿“) + m a x ( 磁：，瑶“ 呶磁；1 ，瑶“) ( 对于情况( 6 ) ) 其中 埘= ( 1 一r ，) 9 匕，= ( 1 一r r ) 9 巧 ( 2 - 2 1 ) 而z 表示图2 - 2 ( b ) 中y 的最小值。 上述本构模型使得弹性、弹塑性及纯脆性的损伤描述被归纳到同一个理论 框架之下丽不需要分别引入各自的伤演法则。 2 7 本章小结 本章主要进行了有关损伤本构关系的讨论，其主要内容如下： ( 1 ) 提出了一个n 型伤演模型，并将其从一维推广到三维，考虑并引入了 疲劳门槛值与应力比的关系。 ( 2 )简单介绍了以含内变量不可逆热力学与正交流动法则为基础建立损 伤本构关系的一般思路。 ( 3 )损伤演化因子则由能量方程与由伤演门槛值及熵增不等式所得到的 损伤演化许可域所控制。根据该思路，具体导出了一个实用的本构模型p 引。 ( 4 ) 依照上述原则，在运用等效应力与应变等价性原理的基础上，详细 推导了含一个损伤内变量的弹塑性损伤本构关系的增量形式与全量形式，其中 还引用了l e m a i t r e 对于微裂纹闭合效应处理方案的一种简化形式【3 4 3 引。 3 1引言 第三章非局部增强梯度损伤模型的建立 工程材料的损伤具有极大的不均匀性和局部性，材料的原始缺陷使得材料 在受载时产生应力集中，当该应力达到材料的极限应力时，微裂纹在应力集中 处起始，它们以后的扩展通常是在比整个构件小得多的体积内进行。由于损伤 的发展由微结构的改变和内部作用控制，因此材料微结构的尺度在建立损伤区 尺寸中起重要作用【3 6 1 ，如金属疲劳时晶粒的滑移受晶界的强烈影响；混凝土和 纤维增强聚合物由于骨料和纤维的影响对材料尺度和微结构的分布具有敏感 性等。应用经典的连续损伤模型的有限元计算时，当网格离散精细化时，数值 解不能收敛到问题的物理意义解，这种情况虽然不是必然发生，但是在材料塑 性软化和材料刚度退化时时有发生【3 7 38 1 。事实上这种数值模拟对网格的敏感性 并不是所使用的数值方法不当所造成的，而是所使用的数学模型的缺点造成 的。经典的损伤模型中并不包含微结构的尺寸，故该模型不适当的定义了受损 伤影响的单元体积。正是这个定义，使得损伤的增长仅限于一个面上，这样就 引起了不符合物理意义的结果。为了限制损伤在微结构尺寸上的局限性，需要 在损伤模型中加入一些项次来描述微结构对损伤过程的影响，现通过在经典的 损伤模型中引入非局部项来消除这种经典损伤模型的网格敏感性，即非局部损 伤模型。 要确保损伤场必要的分片光滑，首先应通过在微结构的尺度e 定义显式的损 伤变量来达到，然后与一个单元相关的损伤变量的增长依赖于该单元变形的平 均值。基于损伤模型的弹性力学，这意味着，在点x 处的损伤增长不再由局部 的等价应变孑( z ) 控制，而是由在x 点处微结构单元所占据的体积q ，( x ) 上的孑的 平均应变来控制，即 1 石( 妁2 了表肚) y ( x ) d t 2 ( 3 1 ) 一_ e 。， 其中，吾( x ) 为非局部等价应变；y 表示无穷小体积d q 的位置，载荷函数和损伤演 化率由下式给出 厂( 苔，k ) = 云一k( 3 2 ) d = g ( d ，e ) e ( 3 - 3 ) 式中，k 是门槛变量。当产0 时，在应变空间定义一个加载面( 在应力空间中就 是弹塑性屈服面) ；当f 0 时，加载面内无损伤发生，材料处于弹性状态：当厂 o 时，即非局部应变孑达到门槛值五时，损伤变量才能增加。 式( 3 3 ) 是损伤演化方程的一般形式，具体表达式要根据不同损伤类型而 定。 1 4 x 点处的云值对其领域g 的应变状态的依赖性意味着不满足局部作用原 理。即在x 点的应力不仅依赖于x 点处的变形，而且依赖于x 点附近的点的 变形。在物理意义上，该非局部性代表了在微结构尺度上长范围的内部作用和 不均匀性。当本构变量的波动按近微结构的尺度时，其影响不能被忽略。 式( 3 1 ) 中的局部等价应变和晶胞平均值相关，当微结构被详细了解时，它 是有意义的。例如由微结构单元定义的晶胞有规律的分层堆积时就是如此。然 而当微结构不是周期性的，象在混凝土和聚合物中那样，详细考虑材料结构是 不现实的，这时晶胞的平均法可用在一个体积上移动的平均来代替，这个体积 与微结构单元的平均尺寸有关，如晶粒尺寸的平均值。进一步而言，由于平均 体积不再明显地与材料结构相关，且考虑了晶粒尺寸的变化，似乎更有利于使 用光滑权函数，而不是使用分片均匀权函数。这个权函数已被假定如图3 1 所 图3 - 1 对不规则的微结构的加权平均法 示。 非局部等价应变可由下式定义 1 虿( x ) 。高s w ( y ；朋? ( 】，) 施( 3 - 4 ) 其中，( 托是权函数，l ，( 为因子，它由下式定义 y ( x ) = v 4 1 ；x ) d a ( 3 5 ) 数量孑在均匀应变状态下等于f 。注意到式( 3 4 ) 和式( 3 5 ) 中的积分被限制在 磊= d i d 。域中( 那里d 1 ) ，因为孑在q c 中的值不是唯一的。见图3 2 所示。 在图3 2 中，q c 是完全损伤区( d = 1 ) ，在q c 中局部完全强度丢失，可理解 为对任意应变场应力一致为零。因此，在q r 中平衡方程是没有意义的。既然如 此，必须通过引入一个内部边界将q f 从平衡方程中排除。在这个内部边界上应 该是零应力条件，由此条件可得到一个自由的边界。当然，这个内部边界的位 置( 裂纹前缘与裂纹面) 由于损伤的增长而变化。 皿c d - 1 ) 图3 - 2 连续体损伤分布 3 2非同邵瑁强秭度预伤模型 3 2 1 梯度公式 对于连续的局部应变场，通过将局部应变享在j 处展成泰勒级数有 ( y ) 吲x ) + 毒( y ；x i ) + 去蔷( y ；x i ) 2 + 壶蔷( y ；x i ) 3 “( 3 - 6 ) 将式( 3 - 6 ) 代入式( 3 4 ) 并化简可得 歌) 2 志工吣；x ) ( y ) m = 志驴( y ；x ) ( x ) + 蔷( y ；x i ) + 壶簧( y ；x j ) 2 + 虿1 酉3 f ( y 。x ；) 3 - t - - - m 式中 第一项2 而1 拟y ；x ) 聃d q = 潮 第二项。而1l 吣；x ) 著( y ，1 ) 艘= 。 第三项= 志l 吣x ) 五1 砑a 2 e ( y ，飞) 2 d q = 三筹志l 吣；帕，_ ) 2 故有 酗声( x ) + c ；毒+ c i i 蠢+ 给7 ) 其中 、 q 2 志q 纵仂i _ 广 i( 3 _ 8 ) q 2 志n 咖) ( y t - x , ) 2 ( y ，- x 户d q j 1 6 ( 3 7 ) 中的奇数项的导数为零( 若不为零则与各向同性相矛盾) 。所以指标f 可以 下降。应指出提供的权函数落在主区内才有上面的结果，如果x 离五区域的边 界i ：和五是够远，则上式不能成立。对于高斯函数，仅当五等于r 3 时，这个条 件才能满足。 方程( 3 4 ) 与方程( 3 7 ) 是近似的等同，不是严格地等价。但这种近似等价可 提供给我们通过微分关系去逼近积分关系式( 3 7 ) 的可能性，即有 手= 芗+ c v 2 孑 ( 3 - 9 ) 刍2 其中，拉氏算式v 2 = 罗妥，这里已忽略了四阶项。通过这样的简化，降低了 。一o x ； 式( 3 9 ) 对坐标x 的依赖性。由于算式中非局部应变孑由局部应变享表达，又称 非局部应变的显式表达式。 3 2 2增强梯度损伤模型 将式( 3 9 ) 定义的非局部应变亭应用到加载函数式( 3 2 ) 和损伤增长率式( 3 3 ) 就得到增强梯度损伤模型，即 誓k ) _ k ( 纠o ) d = g ( d ，云) 云j 该模型的内部尺度值被保存在梯度公式的关系数c 中，其量纲为长度的平 方，如在r 3 上的高斯权函数式( 3 5 ) 就给出c = 2 ( l 为材料的内部尺度) 。将 式( 3 - 9 ) 代入平衡方程，会产生一个四阶偏微分主程，去取代通常使用的二阶方 程，正因为如此，为使平衡方程成立，必须提供辅助边界条件。 将式( 3 9 ) 应用拉式算子并同乘以c ，并将其从( 3 7 ) 中减去，可得到下面的 关系 享一c v 2 云= f + ( c ；一c 2 ) 蔫+ o x , o x j 忽略掉高阶项后，则得到式( 3 1 ) 的二阶近似 吾一四2 云= 苔 ( 3 一1 1 ) 与方程( 3 9 ) 相比，非局部应变云不再用局部应变孑和其导数表示，而是以由 h e l m h o l t s 方程和合适的边界条件构成的边值问题的解给出，这样给出的梯度 损伤公式归于隐式，而基于( 3 9 ) 的模型则被称为显式梯度公式。 第四章非局部模型的离散 求控制损伤与断裂问题方程的解析解是十分困难的，特别是在非均匀加载 和具有复杂构形的情况则要求使用数值解法。实际上，描述损伤过程的非局部 梯度模型的成功与否依赖于使用的数值方法，若使用的数值程序与连续模型不 一致，非局部和梯度分式中的强化非局部性质可能完全丢失，预测的特性甚至 会失去物理意义，这点已被发现是真实存在的，特别在裂纹增长问题中更是如 此。在那里，对完全损伤区的数值处理对于预测裂纹增长有重要影响，下面着 重介绍隐式梯度损伤公式的数值程序及方法。 4 1 空间离散 由平衡方程仃州= o 和非局部等价应交的偏微分方程式共同组成隐式梯度损 伤公式的平衡问题，辅助以动力学边界条件和自然边界条件，两个偏微分方程 首先以加权残余弱形式求解，即以后描述的g a l e r k i n 形式。 方程的弱解形式以一种新的形式求解，即通过乘一个试验函数f ，然后在主区 q 中积分，并使用散度定理( d i v e r g e n c et h e o r e m ) 。 l 鬻c r y d r 2 = 沁n 。a 萝d f = 托f f d f ( 4 - 1 ) ( 因j o g ，, , i j d o = j r 鲲绣d r j n 红，d r y ) 其中，产l ，2 3 ；表示在i 边界上的拉力。方程件1 渐有的容许试验函数f ，必须满足， 用试验函数孑去藕3 1 1 ) ，积分并应用散度定理产生弱解形式。