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半空间和单层地基的竖向冲击振动分析 摘要 本文详细的讨论了在竖向冲击荷载作用下，地基表面各点位移随时间变化的 情况。按照弹性动力学理论，导出了包含其运动规律的波动方程。在势函数理论 的基础上，运用l a p l a c e 变换、傅里叶贝塞尔积分等数学手段，进行了一系列严 密的数学推导，得出了地基表面各点位移的形式解，最终利用m a t l a b 语言以 数值积分的方法求出地基表面各点位移值。本文研究了线弹性半空间的情况，以 及分层地基的情况，其中上层为线弹性体下层为基岩。探讨了数值计算过程当中 出现的各种问题，以求尽可能的满足计算精度与计算量的实际要求。对于半无限 空间，详细分析了各种因素的影响对地表位移的影响。对于单层地基，分析了地 层厚度与反射波之间的对应关系。从理论探讨和工程应用的角度对本文中所提出 的半解析方法进行全面的应用。 关键词：竖向冲击荷载波动方程势函数l a p l a c e 变换傅里叶- 贝塞尔 积分数值积分 4 a n a l y s i so nt h ev e r t i c a lc o l l i s i o nv i b r a t i o no fs e m i - i n f i n i t e e l a s t i cm e d i u ma n ds i n g l e l a y e rf o u n d a t i o n a b s t r a c t t h ep a p e rh a sd i s c u s s e dt h ed e t a i l st h a tt h ed i s p l a c e m e n t so fs u r f a c ep o i n t s c h a n g ea st h et i m eg o e su n d e rt h ef u n c t i o no fv e r t i c a li r e p u l s i v el o a d 附( i n gt h e t h e o r yo fd y n a m i ce l a s t i c i t y , i td e d u c e dt h ew a v ee q u a t i o nt h a tc o n t a i n st h ev i b r a t i o n c r i t e r i o n b a s e do nt h et i l e o r yo fp o t e n t i a lf u n c t i o n i tm a d et h ec o m p r e h e n s i v e d e d u c t i o nw i t hk i n d so fm a t h e m a t i cm e t h o d ss u c ha s t h el a p l a c et r a n s f o r l n ，t h e f o u r i e r - b e s s e li n t e g r a la n ds oo n t h e nt h ef o r ms o l u t i o no ft h ed i s p l a c e m e n t so f s u r f a c ep o i n t sh a v i n gb e e na c q u i r e d ，f i n a l l y , t h en u m e r i c a li n t e g r a lm e t h o dt a k i n gt h e k 队t l a bl a n g u a g eh a sb e e ne m p l o y e df o rt h ep u r p o s eo fg e t t i n gt h er e a lv a l u e so f d i s p l a c e m e n t i nt h i sp a p e r ，i ti sm a i n l yf o c u s e do nt h es t u d yo ft w ot y p e so f f o u n d a t i o n s ，t h ef i r s tb e l o n g i n gt ot h es e m i i n f i n i t ee l a s t i cm e d i u m ，w i t ht h es e c o n d b e l o n g i n g t ot h es i n g l e - l a y e rf o u n d a t i o n ，w h i c hc o n t a i n st h eu p p e rl a y e ro ft h el i n e a r e l a s t o m e ra n dt h el o w e rl a y e ro fs o l i dr o c k i ti sa l s od i s c u s s e dt h a tv a r i o u sp r o b l e m s 缅l i a t e dw i t hn u m e r i c a lm e t h o d si n f l u e n c et h ec a l c u l a t i o np r o c e s s a i m i n gi n a c h i e v i n gt h em o s to p t i o n a lr e q u i r e m e n t so fc a l c u l a t i o na c c u r a c ya n dm i n i m u m c a l c u l a t i o na m o u n t f o rs e m i i n f i n i t es p a c e ，t h ee x t e n s i v ea n a l y s i sw a sg i v e no nt h e i n f l u e n c eo fd i f f e r e n tf a c t o r so nd i s p l a c e m e n to fs u r f a c ep o i n t s f o rs i n g l e 1 a y e r f o u n d a t i o n ，t h ed i s c u s s i o nw a se m p h a s i z e do nt h eo r i e n t i n gr e l a t i o nb e t w e e n t h i c k n e s so ft h es o i l1 a y e ra n dt h er e f l e c t i o nw a v e f r o mt h ep o i n t so ft h e o r e t i c a l c r e a t i o na n de n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n , t h ec o n s i d e r a t i o no ft h es e m i m a t h e m a t i c s o l u t i o ng o tp e r f e c ta p p l i c a t i o n k e y w o r d s ：v e r t i c a li m p u l s i v el o a d w a v ee q u a t i o n p o t e n t i a lf u n c t i o n l a p l a c et r a n s f o r m f o u r i e r b e s s e li n t e g r a ln u m e r i c a l i n t e g r a l s e m i m a t h e m a t i cs o l u t i o n 图表清单 图5 1 半空间弹性介质模型8 图5 2 单层地基模型1 2 图6 1 复平面取点示意图g go 0 1 5 图6 2a f = 1 时激振力频谱即1 6 图6 3a f = 3 时激振力频谱即1 6 图6 - 4a f = 5 时激振力频谱即1 7 图6 5 积分单元d u ，的取值1 9 图6 - 6 积分单元d u ：的取值1 9 图6 7 积分单元d u ，的取值0 000 2 0 图6 8 积分单元d u ：随取值2 1 图6 - 9 测点距离d = 5 m 时径向位移2 2 图6 1 0 测点距离d = 5 m 时竖向位移2 3 图6 1 1 测点距离d = 1 0 m 时径向位移2 3 图6 1 2 测点距离d = 1 0 m 时竖向位移2 4 图6 1 3 测点距离d = 1 5 m 时径向位移2 4 图6 1 4 测点距离d = 1 5 m 时竖向位移2 5 图6 1 5 激振半径占= o 5 m 时的径向位移2 6 图6 1 6 激振半径占= 0 5 m 时的竖向位移2 6 图6 1 7 激振力持续时间t o = 5 x 1 0 。3s 时的径向位移2 7 图6 - 1 8 激振力持续时间气= 5 x 1 0 3s 时的竖向位移2 7 图6 1 9 瞬时脉冲作用下地震波的到达时间顺序图2 8 图6 2 0 波的传播路径2 9 图6 2 l 积分单元d u ，的取值3 0 8 图6 2 2 积分单元d 材：的取值3 0 图6 2 3 测点距离d = 5 m ，土层厚度向= 5 0 m 时的径向位移3 1 图6 2 4 测点距离d = 5 m ，土层厚度j j 2 = 5 0 m 时的竖向位移3 2 图6 2 5 测点距离d = 1 0 m ，土层厚度j l z = 5 0 m 时的径向位移3 2 图6 2 6 测点距离d = l o r e ，土层厚度厅= 5 0 m 时的竖向位移3 3 图6 2 7 测点距离d = 1 5 m ，土层厚度忍= 6 0 m 时的径向位移3 3 图6 2 8 测点距离d = 1 5 m ，土层厚度忍= 6 0 m 时的竖向位移3 4 9 f 占 p q 、乞 g h 九、“ l f 0 牵，z ，p j q ，jl v ，v v ，v 2 u r 、u z o 矿o z r 符号与单位清单 脉冲力，n 激振力作用半径，m 弹性体密度，k g m 3 弹性体纵波波速、剪切波速，m s 弹性体剪切模量，n m 2 单层地基厚度，i l l 拉梅系数，无量纲 激振力冲量，n s 激振力持时，s 势函数分量 零阶，一阶贝塞尔函数 l a p l a c e 算符 径向、竖向位移，m 正应力，剪应力，k p a l o 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 金目曼王些太堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示谢意。 学位论文作者签名：奚亚男签字日期：2 0 0 8 年1 2 月2 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解合肥工业大学有关保留、使用学位论 文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权金目曼王些太堂可以将学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：弼 导师签名： 签字日期：。孑年l 朔i _ 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 列寺t 甲 签字日期：独降i 狷己日 电话： 邮编： 致谢 首先要衷心感谢我的导师刘东甲老师! 在攻读硕士阶段，无论在学习还是生 活方面，刘老师都给予了我莫大的关心和帮助! 刘老师治学严谨，在学习和科研 上，他对我们严格要求，一丝不苟，教导我们追求真理，实事求是；在生活上， 又如同慈父一般给予我们无尽的关爱和照顾，帮助我们解决了很多生活中的困 难。本次论文历时较长，其间遇到了许多难题和挫折，论文的最终完成是和刘老 师的指导和鼓励分不开的，刘老师总是孜孜不倦，言传身教，每一次进步都渗透 着他辛劳的汗水! 刘老师高深的理论造诣，丰富的学术成果以及高尚的道德品质 都令我钦佩，同时也深深地影响着我，使我受益终身! 执此机会，我谨向恩师致 以最崇高地敬意和最衷心地祝福! 在研究生学习期间，还得到了资环学院岩土系各位老师的关心和帮助，在此 一并表示深深的谢意! 在整个设计过程当中，至始至终得到了刘东甲老师的详细指导，还有同组设 计人员荆韦庄，卢志堂，龙丽丽，王菲等的全力帮助，另外感谢高云对我的精神 鼓励和大力支持，没有他们的鼓励和帮助我不能这么顺利的完成论文。 最后向所有关心，支持我的人表示衷心的感谢和最美好的祝福。 6 奚亚男 2 0 0 8 年1 2 月 第1 章概述 1 1 国内外对l a m b 问题的研究现状 在建筑工程实践中，经常使用强夯法加固地基、锤击法成桩施工、工程爆破 等，他们的冲击作用对周围环境产生影响，本文可以用于探索人工地震及天然地 震中地震波的特性及传播规律。为了简化讨论的难度，本文采用了半无限空间弹 性体的假设模型，这也就是弹性动力学中的l a m b ( 兰姆) 问题。该问题是由l a m b 首先处理的，l a m b 于1 9 0 4 年发表了一篇关于瑞利波和地表振动的论文【l 】，成为了 振动器位于均质、各向同性的弹性半无限体表面这一假说发展起来的理论解的基 础。在这篇文章中l a m b 首先研究弹性半空间受到沿着一条直线作用的竖向振动 时的动态反应，得出了二维波传播的解。他进而研究了作用在半无限体表面上沿 着一条直线的水平振动力的情况以及竖向或水平向线震源作用在半无限体内部 某一点的情况。按相同推理，l a m b 研究了三维情况，其中考虑了单个振动力作 用在表面上一点和作用在半空间上一点的情况，而后又得到了稳态振动和瞬时脉 冲荷载的解，它成为了研究位于半空间表面上基础振动的根据。把竖向振动力的 解在表面上有限面积内进行积分，得出振动基础在半空间上产生的接触压力，也 能估算位移在半空间上基础的动态反应。而位移场的闭合形式却是由p e k e f i s 针对 泊松材料得出的。经i 扫g a d e r t h e i m e r ( 1 9 7 0 ) 给出半空间内部的位移曲线，c h a o ( 1 9 6 0 ) 算出在表面上受到一个脉冲式集中剪切力负荷作用的半空间问题【3 】，该问题已经 被讨论到相当深入的程度。本文考虑在半无限空间边界上受到圆域分布脉冲作用 的情况。 此外，在地球科学中，层状介质中地震波的传播是经常遇到的问题。在地震 勘探方面，地震波的产生，可以反映地壳内部构造，寻找油气藏【4 卅。在岩土工 程领域，工程地震勘探方法用于查明土层，探测基岩，揭示覆盖层和得到土的动 力参数( 单孔法，跨孔法和表面波速法等) ；此外预测由公路和铁路运输，或者 施工活动引起的振动影响，如板桩和基础桩的打入等；这些环境岩土工程问题会 造成灵敏仪器失灵，引起人的不适，并对附近建筑物造成危害。 因此，研究层状介质代表的地基土中的地震波传播1 1 ，是一个很重要的课 题。这对于工程抗震( 振) 设计，包括对于工程地震勘探资料的解释都有指导意 义。要对地震资料和地球物理结果有较高的解释，则需要对弹性动力学的数学背 景有深入的了解 1 2 - 2 4 。计算机应用使得地震波传播形象化，还可用于功课学习， 因而作用很大。 从解析法，直接刚度公式法，边界元法，有限差分法，有限元法，谱元法， 许多数值方法用于研究地震波在地基土中的传播【2 5 舢】。 1 2 本文的工作 本文对半空间弹性体模型以及单层地基模型采用半解析方法进行计算，其中 运用到快速傅立叶变换等【4 5 鄹】，对半解析解法的应用，大大简化了计算量和复杂 性，并且适于向更复杂的工程实际进行推广，而这对于纯解析解法【”巧5 】是无法想 象的。 为了易于接受，考虑按照定解问题的思路来解决该问题，即按照泛定方程、 定解条件相结合的模式。所以本文从采用位移表述的纳维方程出发，运用势函数 对其进行化简，得出简化形式的泛定方程，并给出位移、应力的详细推导步骤， 采用l a p l a c e 变换、傅里叶贝塞尔积分等数学手段处理边界条件和初始条件，给 出位移的解析形式解，最后采用数值积分的方法求出边界上各点不同时刻的位移 值。 探讨了数值计算过程当中出现的各种问题，以求尽可能的满足计算精度与计 算量的实际要求。 对于半无限空间，详细分析了各种因素的影响对地表位移的影响。 对于单层地基，分析了地层厚度与反射波之间的对应关系。 从理论探讨和工程应用的角度对本文中所提出的半解析方法进行全面的应 用。一方面，已知工程地质条件时，可应用本文的方法进行地基震动相应分析； 另一方面，可以通过本方法根据检测得到的震动信号来分析相应的工程地质条 件。 本文的工作着眼于解决工程实践，以经典理论作出发点，特别强调方法的可 操作性，相信对本领域的其他研究工作者会有一定的启发作用。 2 2 1 位移方程的给出 第2 章弹性动力学的位移表述 考虑半无限空间弹性体，结合平衡条件、变形相容条件和固体本构关系三方 面，可以导出弹性动力学的位移表述， 即纳维方程：g v 2 厅+ ( 兄+ g ) v v 历+ 矿= 印2 历西2( 2 1 ) ( g ，五为拉梅常数) 对于本文所讨论的特殊性，考虑体力f = 石 g v 2 历+ ( 旯+ g ) v v 厅= 印2 厅西2 ( 2 2 ) 2 2 拉梅势 该运动方程通常是很难直接求得，但是可以通过对石进行适当的变换，以得 到一定程度的简化，为了找到这种合适的变换，下面将首先给斯托克斯亥姆 霍兹矢量分解定理。 斯托克斯亥姆霍兹矢量分解定理：每一个足够平滑的矢量场尹( 圣，f ) 都可 以分解成无旋的和管状的两部分，就是说可以把它表示为 f = v f + v f ( 2 3 ) 显见，v f 为无旋部分，而v 卢为管状部分，其中f ，户为待定的标量、矢量函 数 现在将该分解定理应用到位移场上，并写出 露=v矽+v(2-4) 式中矽( i ，r ) 和乒( i ，f ) 分别是位置和时间的待定标量、矢量函数。 将上式待入到简化后的纳维方程，即 g v 2 历+ ( 兄+ g ) v v 历= p 0 2 历御2 可得 v ( q 2 v 2 一a 2 矽a t 2 ) + v ( c 2 2 v 2 尹一a 2 痧西2 ) = 0 ( 2 5 ) 若将矽和多选成非齐次波动方程 c l ：v i = a ? 7 街2 ( 2 6 ) c 2 2 v 2 尹= a 2 乒西2 。 得解，则纳维方程将恒等地满足。因此，问题又归结为通过求解上述波动方程得 到，再得出厅。 现在再来看分解形式历= v 矽+ v 多，上文已经提及矽，不是唯一的，另外 可以看出，历包含三个标量甜，( f = 1 , 2 ，3 ) 与四个新标量矽，q , j ( j = 1 , 2 ，3 ) 相联系，那就 显然还有一个关于标量场和矢量场的任意性自由度没被确定，这就使得可以再加 上一个适当的规范条件以使分解式中的矽，谚成为确定，上述过程可以总结如下： 设厅( i ，f ) 是纳维方程在空间域和时间域上二次可微解，那么就存在这样的 矽( 冤，f ) 和多( 冤，r ) ，使历( i ，f ) 可以表示成 厅= v + v 而矽( 元，f ) 和矛( 1 j i ，) 满足波动方程 g 2 v 2 痧：a 2 矽a 2 岛2 v 2 历：a 2 历西2 用这种方式定义的函数，多叫做位移场的拉梅势。 2 3 亥姆霍兹势 在平面波的情况下，和矽相联系着的质点运动是沿着无旋波即纵波的传播方 向的，而和历相联系的质点运动则是和传播方向正交的，即横波。 对于本文所讨论的问题，即生成的为体波，可以考虑将位移再进行分解，即 将矢量波所联系的历进行分解，其中一个分量沿着选定的方向，而另一个分量则 垂直于该方向，即 尹= 砸3 + l v x ( 硒3 )( 2 - 7 ) 式中，( 王，f ) ，z ( i ，f ) 是两个标量函数，m ( x 3 ) 只是x 3 的函数，毛是洳3 方向的单位 矢量，起着使两个分量的量纲相同的作用。 因此，可以用脚霄代表由这两个分量所引起的位移，用三代表面( 孑，f ) 的无 旋位移分量，有：历= 三+ m + n ( 2 8 ) 式中 三= v 矽，m = v ( 刁厩) ，n = ，v x v x ( 硒3 ) 既然多满足波动方程( 2 6 ) ，则有： 乞娶嘱卜警 ( 2 - 9 ) c ：2 v 2 ( 碱) 】- v ( 碱) ” 上文已经提及可以给出适当的规范条件以确定历。 选择适当的万可以使脚横足： c 2 2 v 2 = 矽 c 2 2 v 2 z = 名 于是有下列的分解式： 磊：己+ 而+ 冠 l = v 矽，m = v ( 仞厩) ，n = v xv x ( 觋秀) 式中，矽，卿z 满足波动方程， g v 2 痧= 矽 c ：2 矽( 2 - l o ) c 2 2 v 2 z = 名 将这些函数，脚z 叫做亥姆霍兹势。 4 第3 章泛定方程的导出 在柱坐标系中考虑问题，设z 0 为弹性半空间，据弹性动力学( a c 艾龙 根，e s 舒胡毕著，戈革译) 有万= 1 ，= 1 ，邑为z 方向的单位矢量，而对于轴对 称问题，位移的一个分量( 即u 毋) 为0 ，所以其位移的横波分量可以由一个单独 的标量波动方程来确定，不妨取三0 ，于是可得： 厨兰o n = v v ( 属) l = v 西 另外，有矢量场的l a p l a c e 算符的恒等式： v 2 户：v v 户一v v x 户 令f = z 毛3 有 v 2 ( z 己) = v v ( z 毛) 一v v ( z 己) j n = v v ( z 己) 一v 2 ( z 己) = v ( 劫a z ) 一己v 2 z 此处，梯度算符和l a p l a c e 算符分别为 v 2 = a 2 勿2 + 1 i r o 务+ a 2 瑟2 v f = ( o f 加) 砖+ ( 卵出) 乏 v 2 厅：a 2 户& 2 + ( 1 ，) a 亏勿+ a 2 户a z 2 将上式代入到中，可得： 霎2 ( a 2 z 务a z ) 己一( a 2 z & 2 + 1 ，a x l a r ) 孑： ( 3 1 1 ) 三= ( a 矽务) 己+ ( a 矽a z ) 瓦 厅：+ 三 u = ( a 2 z 却瑟+ 刮务) 己+ la # & - ( a 2 z o r 2 + l r a z l o r ) i 虿： 又有： 厅= 甜，己+ 1 4 ：乏 得到： ”，= 0 2 z 务瑟+ a 矽l a r( 3 1 2 ) u ：= 却如- 0 2 z 0 r 2 - l l r o z o r( 3 1 3 ) 于是，本文所考虑问题的泛定方程可以导出如下： c 1 2 v 2 矽= a 2 矽街2 岛2 v 2 z = 0 2 x o t 2 ( 3 1 4 ) u r = 0 2 z l o p o g + a 咖| 却 “：= o o z - 0 2 z o r 2 - i r a z a r 其中，q 和c ：为速度常数 第4 章边值条件和初始条件的处理 4 1 边值条件的处理 在无限半空间的边界面z = 0 上，作用着以原点为圆心、以s 为半径的均匀 脉冲力，脉冲力可用下式表示f 4 6 】： 删： f o i ( 1 _ c o s n t 。r ，。( 4 1 5 ) 【o ，f 根据昭2 厂( r ) = f ( f ) 可以得出应力边界条件： 即有： 儿，：去c 卜c o s 净眍o ，o gq l o ，其他 所以，处理后的边界条件可以表述为： m 归- 去c 卜c o s 净怄压。眍隧占 1 0 其他 仃。i ：o = 一厂o ) 仃：，i ：。：o ( 4 - 1 8 ) 但是由泛定方程可以看出，其给出的矽，z 只能求出u r , u ：而没有现成的 仃露，仃可以代入，故应导出用位移表述的应力形式，下面将给出从弹性动力学 基本方程导出用u ru ：表示仃。，仃，。 y 曙= d u r 昆+ o u z i 铆 又因为： 7 曙= o 佗g = g ( o u ，昆+ 锄：o r ) 由仨 有= 0 根据固体本构关系： 吒一u ( q + ) 啡一u ( 吒+ ) 一v ( c 5 + 吒) e = 踟z i8 z e = p u rf 却 e = 1 r o u p 0 0 + u r r e v e g = ，名= 一 2 ( 1 + u ) 7( 1 + v ) o 一2 v ) 6 j 吒：兰a ( ，“，) 务+ ( a + 2 g ) 0 u ：如 处理后的边值条件如下： 盯。= g ( o u ，o z + o u ：o r ) ：o = 0 盯口：兰a ( ，甜，) o r + ( 兄+ 2 g ) 0 u ：o z ：；。：盯l ( ，) ( 4 1 9 ) ， 4 2 初始条件的处理 考虑到撞击还未开始时，整个半无限空间都处于自然状态，相应的有下列初 始条件： 1 r = 。2o ，i ：= 。2o (42。) z | f = 0 = o ，矧，。= o 、7 7 第5 章求定解问题的形式解 5 1 半空间弹性介质模型 火f ) 图5 - 1半空间弹性介质模型 图中刷为激振力，通过以上各章的讨论已经可以对于本文所考虑的问题列 出其相应的定解问题的数学提法，如下是半空间弹性介质模型的控制方程： 泛定方程 初始条件 边值条件 q2 v 2 矽= a 2 c 口a t 2 c 2 2 v 2 z = 0 2 z a t 2 u z = a 矽a z - 0 。? c | 两1 - l l r a z l & u r = 0 2 z f 铆a z + 8 审| 铆 f l f l l l t = o = z i = 0 m = 矧，。= 0 卜i 脚= 手附甜，) o r + ( 从2 g ) 0 u ：a z i ：o = o - , ( ) 【盯厅i 瑚= g ( a u ，o z + o u ：o r ) = 0 首先考虑波动方程c 1 2 弋7 2 矽= 痧，考虑到初始条件为齐次的，可以尝试采用 对时间t 的l a p l a c e 变换来求解，具体步骤如下： 寸矽 又礼：。= i f | o = 0 一p 2 矽- p 9 t ( 0 ) 一痧( o ) 矽一p 2 于是原波动方程变换为 8 q 2 v 2 歹= p 2 歹 令旦：毛，( f ：1 ，2 ) q j v 2 歹一毛2 歹= 0 采用分离变量法试解，以歹= p ( p ) m ( r ，z ) 代入可得： p ( p ) ( v 2 m ) = 毛2 p ( p ) m j v 2 m = 毛2 m 上式仍为波动方程，再以m ( r ，z ) = r ( r ) z ( z ) 进行继续求解 在柱坐标系中有： 了0 2 m + 一1 丝+ 了0 2 m ：毛2 m 静1r 铆a z z l j 墨+ 三墨+ z ：k 1 2 = ，一+ 一一+ = rrrz j 龛+ 吾要一毛2 = 一z z = 一刁2 ，( r l o )rrr i z 。一 j 2 一r 1 2 z = 0 【k + k r + ( r 1 2 一k 1 2 ) r = 0 对于之一r 1 2 z = 0 j z = b l e 一班+ b 2 e 私 而对于爱+ 三应+ 0 7 2 一k q 2 ) r = 0 令x = 7 7 2 一向2 ， j 堡+ 三塑+ r ：0= ，_ + 一+ = d x xd x 上式为0 阶的贝塞尔方程。 解之得r = a i j o ( x ) + 4 n o ( x ) d o ( x ) y q o 阶的贝塞尔函数，n o ( x ) 为0 阶的诺埃曼函数 由于在所研究的区域上包含x 0 0 j r 专0 的点，因为当z 一0 ，n o ( x ) 一， 为满足实际要求，故只取 r = a l ，o ( x ) ，即r = 彳，o ( 刁2 一k 1 2 ，) = ，m = r z = 山( ，7 2 一向2 厂) ( b l e 一私+ 9 2 e r l z ) ，( 刁 o ，z o ) 当z _ o o 时，必须趋进于o ，即m 一0 j m = 彳以( 7 7 2 一k 1 2 ，) e x p ( 一，7 z ) ， = 墨( p ) a j o ( 4 v 2 一向2 ，) e x p ( - r z ) 同理有：孑= 罡( p ) b s o ( , 刁2 - k 2 2 ，) e x p ( - r z ) ， 其中，a ，b 为任意实常数，月( p ) ，罡( p ) 为任意关于瑚两个复函数，p 为l a p l a c e 变量。 9 为了后面的计算变得更简单，下面将对歹和孑进行适当的处理，可以到通解： 令孝= 刁2 一局2 ，7 7 = 砖2 + 善2 = 砭( 其中r e ( 如) o ) 并以彳h 么( 孝，p ) ，bf - b ( 善，p ) ，( 4 ( 孝，p ) ，b ( f ，p ) 为任意关于孝，m 复函数) 万= f 彳( f ，p ) 山( f r ) e x p ( - k 2 口lz ) d 孝 ； 咆 孑= lb ( 告，p ) j o ( 孝r ) e x p ( 一也c 匕z ) d 孝 将万，球入到_ ，玩的表达式中 玩：丝+ 堕 = p ( 一孝) e x p ( 一七2 a , z ) j 。( 争) 必+ p ( - k 2 口：) - e x p ( - k 2 f z 2 z ) ( ) 抓争) 鸳 00 砬= 警一害 誓 化简过程中采用了公式山( x ) = 一以( x ) j 瓦= 爪一孝) 彳( 孝，p ) e x p ( - k 2 c t z z ) + b ( 孝，p ) k 2 豇：e x p ( 一k 2 口2 z ) k ( 争) 蟛 玩= 以( 善，p ) ( 一k 2 口1 ) e x p ( 一七2 口l z ) + b ( 乡，p ) 善2 e x p ( 一k 2 a 2 z ) p 。( 步) 鸳 然后将瓦，砬代入应力，位移关系式中可以求得应力的表达式。 i 盯。= 力- o ( r u ，) o r + ( 2 + 2 g ) o u ：s z 1 r 【仃。= g ( s u ，i g z + o u ：i o r ) 令z _ o ，可以得到边界面z = o 上的边值，代入边界条件 i g 孤2 善2 + k 2 2 ) 4 2 k ：蝣2 b l ，盼) 蝣= 球r ，p ) = 一夕( 唧) 计算可得： o lg 2 k 2 c f i a - ( 2 孝2 + b 。( o r ) d e = o 其中夕( ，p ) 材( ，f ) 的l a p l a c e 变换。 所以，需要求出f ( r ，f ) 的l a p l a c e 的变换式 f ( r , p ) = p 矿呦= 皓t o z 占”c o s t o 叫衍占 占 。 通过两次分步积分可以算出： f ( r , p ) 2 去 1 - e x p ( - o ) 】赤 为了解出系数a , b 的表达式，可以采用对夕( ，p ) 采用傅里叶- 贝塞尔积分，如下： 1 0 f ( r ，p ) = j 厂( f ，p ) 厶( 争) f 蟛 j ( 孝，p ) = j 厂( ，p v o ( f ，) 胁= j 厂( ，p ) 山( 争) 胁 j 夕( 孝，p ) = 7 ( ，p ) “( 争) r d r 有关贝塞尔函数的公式：k ( x ) x d x = 川( x ) + c 邛b = 争，有：f 2f 厶( f 厂) n 办= 善 ，l ( 善，) + c j k r d r ：盟盟j ：堕盟 j j 厶( f ，) = 半l ；= 鼍笋 j 夕( f ，p ) ：7 ( w ) 三掣 5 将夕( ，p ) 代入到边界条件中，根据两边系数相等有： f 2 k ：6 a 一( 2 孝2 + 乞2 ) 召= 0 1 g ( 2 f 2 + 如2 ) 么一2 k 2 a ：孝2 b = 一夕( 孝，p ) 孝= 一7 ( r ，p ) g ( 乒) 根据克莱姆法则，有： 卜铲加m c 乒， 卜一丽2 k 2 c t l g g ( 4 ) 乃川州乒) l ”。7 其中r ( 孝) = ( 2 f 2 + 后2 2 ) 2 4 k 22 c t l 口2 孝2 将a ，召代入到瓦，呒即可得出- ，玩，对其进行l a p l a c e 反演，就可得到“，u ： 整理可得： - ，= 吐鹫 ；：= 捌硝艄 瓦= 吐荔竺竺矿 j o ( 争) 错 瓦= 廿( 2 2 b x 砰2 + k 2 2 ) e x p ( x p ( 吒_ k 2 a 刊l z ) 1 哿州洲删 玩= 橙- 2 k 2 ( 2 a 苦+ k 卧2 2 ) e 啦x p ( 劫- k 2 叩 占锗懈孵 卜去埘髦+ k 盹2 2 ) 唧e x p ( - k 鹬2 a i z z ) j ) 勰摊m c 揪勿 卜引1 。廿d k 2 2 0 w h ( 2 孝2 ：+ 唧k 2 2 ) e x ：p 葛( - k 力 占勰州绷删和 5 2 单层地基模型 灭f ) ， 炒 z 图5 - 2 单层地基模型 图中厂0 夕为激振力，单层地基所用的模型是上层为均匀弹性体介质，下层 为基岩，当受到垂向冲击荷载时刚性基岩界面处蚱，甜：分别为零。 泛定方程 初始条件 c 1 2 v 2 矽= a 2 # o t 2 c 2 2 v 2 z = a 2 z o t 2 i 材：= a a z a 2 z o r 2 - l l r o z o r 【甜，= 0 2 z i g r o z + o o r f1 t - o = z l = o 。= 矧间= 0 1 2 0p 盯 = 扣 瑟 膨 o g = 撕 卜 + 驴 肌 胁 + k 渤 r ， 、， 羌 勃 ， ， 锹 挑 力7 q = = 卸 却 仃 仃 件 条 值 边匕 下边值条件 j 坼卜2 o 【u z i 柚20 在解方程过程中，开始的过程同半无限空间的求解： r = 彳山( 刁2 一q 2 ，) z = b , e 一私+ 岛p 驴 m = a j o ( r 2 一向2r ) e x p ( r z ) - e x p ( 2 r h - r z ) ， j 矽= 只( p ) a j o ( 扫2 一向2 ，) e x p ( r z ) 一e x p ( 2 r h 一刁z ) 】 同理有： z = 只( p ) 厶厶( 叩2 - k 2 2 ，) e x p ( r z ) - e x p ( 2 r h - r z ) ， 其中，么，b 为任意实常数，暑( p ) ，p 2 ( p ) 为任意关于夕的两个复函数，p 为l a p l a c e 变量，为了后面的计算变得更简单，下面将对歹和孑进行适当的处理，可以得到 通解： 令善= 7 7 2 一向2 ，7 7 = 砖2 + 孝2 = 如q ( 其中i 沁( 也) o ) 并以么h 彳( 孝，p ) ，bhb ( 孝，p ) ，( 彳( f ，p ) ，b ( f ，p ) 为任意关于善，p 的复函数) 一 巴 矽5j4 ( f ，p ) j o ( 孝r ) e x p ( k 2 a i z ) 一e x p ( 2 h z ) ( k 2 a 1 ) 】) d f 0 巴 孑= i b ( 乡，p ) j o ( 乡r ) e x p ( k 2 a 2 z ) 一e x p ( 2 h z ) ( k 2 0 t 2 ) d 乡 将歹，孑代入到瓦，瓦的表达式中，化简过程中采用了公式厶7 ( x ) = 一以( x ) 一一a a 2 牙 u = - l + 三 一一8 妒a 1 乏1 瓴 u = 一o 一一。 嘶刊卜筹裂淼嘶荔一exp(2h-zjz),k2a,+)o1b(4p e x p ( k 2 ae x p ( 2 h k 2 a 2 p ，鸳 = 掰，= i j( 二，_ ) d 0 。 ，) - 岛氟：z ) 一 一z j ) i 卜7 j瓦=斟三：耋；：箩?卜扣xp岛!+exp(2h-岛z)口k：，au e x p ( k z 2 z ) e x p ( 2 h - z ) ，一+ i 厶c 孝r ，d f = ，2i |1 n i 毒r ) d f 引丑( f ，p ) 善2 一 岛口2 】，i ”。7 。 将玩，u x ，代入上边界条件 i g f ( 2 孝2 + 如2 ) 彳 1 一e x p ( 2 厅砭) 】+ 2 如孝2 b 1 + e x p ( 2 h k 2 a 2 ) 】) 厶( 孝，) d 善= 一7 ( r ，p ) 。o j g r 一2 k 2 a 。a 1 + e x p ( 2 h k 2 q ) 一( 2 善2 + 如2 ) b 1 一e x p ( 2 厅岛) 】) “( ) 彬= o f g ( 2 孝2 + 如2 ) 1 - e x p ( 2 h k 2 a 1 ) 】彳+ 2 如f 2 1 + e x p ( 2 h k 2 a 2 ) b = 一7 ( r ，p ) 占以( 乒) 1 2 k 2 a l 1 + e x p ( 2 h k 2 c t l ) a 一( 2 孝2 + k 2 2 ) f l e x p ( 2 h k 2 c h ) b ：0 根据克莱姆法则，可以算出a ，b ，且令e = e x p ( 2 h k z a l ) ，f = e x p ( 2 h k 2 a t 2 ) ， 则有： 彳：噤( 1 一f ) 如，p ) 乱( 乒) 锹( 孝) 、 ” b ：一黑( 1 + e ) 夕( ，p ) 幽( 乒) 锹( 善) 、 ” 其中，r ( f ) = ( 2 f 2 + 乞2 ) 2 ( 1 一e ) ( 1 一f ) + 4 k 2 2 a , a 2 f 2 ( 1 + e ) ( 1 + f ) 将彳，b 代入到瓦，砬即可得出瓦，玩，对其进行l a p l a c e 逆变换，就可以得到u r , u ： 一1 | 一紫( 1 - f ) e x p ( 蜊一p 【( 2 h 酬】) “，2 ik 。a ：。g 2 次k 2 ( c 善t i ( + e ) e x p ( 乞吒z ) + e x p 【( 2 办一z ) 屯) 】 瓦= 枉嚣= = 爹 以孝( 善，) 厂( ，p ) 占以( 乒) d 孝 s o ( 争) 厂( ，p ) 占以( 乒) 蝣 叫1 - 二篙二= = 十w m w 嘴辑勿 驴去惦豢：= 斗咖懈w 谁咖 1 4 第6 章采用数值解法求取边界面上的位移 上面的内容已经介绍了求解位移形式解的过程，为了避免繁杂的数学积分运 算，考虑到工程实践的可行性，下面将讨论采用m a t l a b 软件，运用数值解法 来求取边界点处的位移值。可以选取几个特定的具有代表性的点，给出其在各时 刻的位移值，这在工程实践和理论研究中都具有重要的价值。 6 1 计算激振力的l a p l a c e 变换 儿，_ j 嘉”c o s g 晒妇 l o ，其他 胁) = 专 1 e x p ( 训】志 根据要求，需要计算激振力的l a p l a c e 变换，在f o u r i e r 离散变换的基础上， 可以按照如下的步骤来进行。 ?i m ui i ”i hi - ”i l 一 0 ：-。fi ii ii i i i 图6 1 复平面取点示意图 首要任务就是需要选取合适的频率域采样间隔d f 和采样点数三。 下图是激振力的数值计算出的l a p l a c e 变换图像f p ，它由频率域采样间隔 和采样点数三共同决定。为了节省计算量和确保l a p l a c