（数量经济学专业论文）ARCH模型体系及对深圳股市波动性的分析.pdf

内容摘要 随着对金融市场研究的发展，研究人员发现大多数时间序列诸如股票价格、 通货膨胀率、利率、外汇汇率等的误差序列无自相关，但误差的平方序列存在自 相关，即误差的方差或波动随时间变化。这就对经典的最小二乘法回归所假定的 误差序列无自相关、误差的方差为一常数提出了质疑。最d , - 乘法不再适用于对 此类经济数据的建模和估计。美国圣迪亚哥大学经济学家恩格尔( e n g l er f ) 教授 于1 9 8 2 年提出的自回归条件异方差( a u t o r e g r e s s i v e c o n d i t i o n a lh e t e r o s k e d a s t i c i t y a r c h ) 模型恰恰捕捉型了经济类时间序列数据的这个特点。 a r c h 模型是一种动态非线性的时间序列模型，它反映了经济变量之间的特 殊的不确定形式：方差随时间变化而变化。在金融经验分析中，a r c h 模型被专 门用于波动性的建模和预测。作为一种全新的理论，a r c h 模型在近二十几年里 取得了极为迅速的发展，已被广泛地用于验证金融理论中的规律描述以及金融市 场的预测和决策。 a r c h 模型族在国内金融市场的研究中已经得到广泛地应用，但对a r c h 模 型族的理论介绍散落在诸多文献中，没有对其进行详尽地总结和介绍。本文的目 的在于对单变量a r c h 模型进行比较详细的总结，文章第一部分完成了此项工 作，笔者将但变量a r c h 模型的发展分为三个阶段，即早期的a r c h 模型族、 g a r c h 模型的提出及发展和长记忆与a r c h 模型的结合，使之成为一个体系， 对其中一些较重要的模型也作了较详尽的介绍，并有针对性地指出一些模型的缺 陷，及其改进途径。 第二部分是对a r c h 模型参数估计及其应用领域的一个介绍。 第三部分在前文的基础上，用a r c h 模型分析1 9 9 9 年7 月1 日到2 0 0 3 年1 2 月 31 日间深圳股市收益的波动性、风险溢价、杠杆效应和周末效应。研究结果表明 深圳股市具有明显的波动集聚性、风险溢价和波动的周末效应。 关键词：a r c hg a r c h 长记忆性波动性周末效应 a b s t r a c t a r c hm o d e li sak i n do fd y n a m i cn o n l i n e a rt i m es e r i e sm o d e l i tr e f l e c t sa s p e c i a l f e a t u r eo fe c o n o m i cv a r i a b l e s - 一t i m e v a r y i n gv a r i a n c e s a san e wt h e o r y ， a r c hm o d e lh a sc a u s e de x t e n s i v ei n t e r e s t so fe c o n o m i s t sa n dh a sb e e nd e v e l o p e d v e r yf a s ts i n c ei tc a m ei n t ob e i n g n o wi ti sb e i n gw i d e l yu s e di ne c o n o m i ca n d f i n a n c i a lf i e l d s w i t ht h ed e v e l o p m e n to fr e s e a r c h i n gf o rf i n a n c em a r k e t r e s e a r c h e r sf o u n dt h a t m o s to ft h et i m e s e r i e s ，s u c ha ss t o c kp r i c e ，i n f l a t i o ni n d e x ，r a t i o ，e x c h a n g er a t e sa n d s oo n ，t h ee r r o rs e r i e sw e r en o n a u t o c o r r e l a t i o n ，b u tt h es q u a r e de r r o rs e r i e sw c i e a u t o c o r r e l a t i o n ，w h i c hi n d i c a t et h ev a r i a n c eo rv o l a t i l i t yw e r et i m e v a r y i n g b u tt h e o l ss u p p o s e st h e 副 r o rs e r i e sa r en o n a u t o c o r r e l a t i o na n dv a r i a n c e sa r ec o n s i s t e n t s o o l si sn o wn o tf i tf o rm a k i n gm o d e l sa n de s t i m a t i o nf o rs u c he c o n o m i cv a r i a b l e s ， a u t o r e g r e s s i v e c o n d i t i o n a lh e t e r o s k e d a s t i c i t y ( a r c h ) m o d e lc a t c h e st h ec h a r a c t e r s o f m i sk i n do f e c o n o m i cv a r i a b l e s n l ef a m i l yo fa r c hm o d e l sh a sb e e nw i d e l yu s e dt or e s e a r c hc h i n a sf i n a n c e m a r k e t b u tt h e r ei sn oa r t i c l e sw h i c hs u m m a r i z e dt h ef a m i l yo fa r c hm o d e l si n d e t a i l s n d sp a p e rt r i e st od ot h i si np a r to n e d i v i d i n gt h ea r c hm o d e lp r o c e s si nt o t h r e es t a g e s ，i n c l u d i n gt h ee a r l ya r c hm o d e l ，t h eb r i n g i n gf o r w a r da n dd e v e l o p m e n t o fg a r c hm o d e l a n dt h el o n g m e m o r ya r c hm o d e l p a r tt w oi n t r o d u c et h ep a r a m e t e r se s t i m a t i o nf o ra r c hm o d e la n da r c h m o d e l s a p p l i c a t i o nf i e l d s p a r tt h r e e m a d ea l la n a l y s i sf o rs h e n z h e n gs t o c km a r k e t , u s i n gt h ea r c h m o d e l s ，s a m p l e df r o mj u l 1 ”，1 9 9 9t od e c 3 l “，2 0 0 3 k e yw o r d sa r c hg a r c h l o n g m e m o r y v o l a t i l i t y w e e k e n de f f e c t 南开大学学位论文电子版授权使用协议 ( 请将此协议书装订于论文首页) 论文a 及c 1 梭型诛致r 对i 录刊旯卸液油糟的奇畸系本人在 南开大学工作和学习期间创作完成的作品，并已通过论文答辩。 本人系本作品的唯一作者( 第一作者) ，即著作权人。现本人同意将本作品收 录于“南开大学博硕士学位论文全文数据库”。本人承诺：已提交的学位论文电子 版与印刷版论文的内容一致，如因不同而引起学术声誉上的损失由本人自负。 本人完全了解直珏太堂圈生熊羞王堡叠：焦旦堂僮盗塞麴蟹翌壶选! 同意 南开大学图书馆在下述范围内免赞使用本人作品的电子版： 本作品呈交当年，在校园网上提供论文目录检索、文摘浏览以及论文全文部分 浏览服务( 论文前1 6 页) 。公开级学位论文全文电子版于提交1 年后，在校园网上允 许读者浏览并下载全文。 注：本协议书对于“非公开学位论文”在保密期限过后同样适用。 院系所名称：t 奎f ；卜脚良i 司镫、 作者签名：a 痰葡 学号：d ) ，j 霉 日期：埘年厶月岔日 胃u看 不确定性是多数现代金融理论的中心。在多数资本定价模型中，风险收益 是由资产的未来收益与一种或几种基准组合( 即市场最优组合或假定的增长率) 、之间的方差决定的。用收益的方差或标准差来表示的股票市场波动性是金融理论 研究和经验分析的一个重要的内容。而学术界和市场专业人士热衷于股票市场波 动性研究的动机是多种多样的：首先，波动性是影响期权定价和交易的一个重要 因素，著名的b l a c k s c h o l e 期权定价公式，就涉及到基础资产价格的波动性； 其次，波动性对于风险管理是至关重要的，在风险管理中，在险价值( v a l u ea tr i s k ， 简写为v a 贴被广泛地用于度量市场风险，而在险价值的计算中无一例外地需要 用到资产的波动性；第三，对金融资产的价格和收益进行预测时的置信区间可能 具有时变性( t i m e - v a r y i n g ) ，对波动性的科学建模可以有效的改善预测置信区间 的精确性：第四，对误差项异方差的正确处理，可以使回归模型的参数估计量更 具有效性。因此，我们可以毫无疑问地认为波动性是整个金融的一个重要的概念。 在金融经验分析中，自回归条件异方差模型( a u t o r e g r e s s i v ec o n d i t i o n a l h c t e r o s k e d a s t i c i t y ，a r c h ) 被专门用于波动性的建模和预测。a r c h 模型最初是 由美国圣迪亚哥大学经济学家恩格尔1 ( e n g l er f ) 教授于1 9 8 2 年提出的，主要用于 具有集聚性及方差波动性特点的经济类时问序列数据的回归分析及预测。实践证 明，a r c h 模型在有关方面的应用中取得了良好的效果。 经典的最小二乘回归假定误差序列无自相关，误差的方差为一常数。随着经 济理论的发展及实证工作的深入，已发现这一假设不甚合理。对金融市场的研究 发现，大多数时闻序列诸如股票价格、通货膨胀率、利率、外汇汇率等的误差序 列无自相关，但误差的平方序列存在自相关，即误差的方差或波动随时问变化。 m a n d e l b r o t ( 1 9 6 3 ) 观察到许多经济随机变量的分布有着很宽的尾部，其方差也 在不断变化中；他还发现了很有价值的现象：在方差的变化过程中，幅度较大的 变化会相对地集中在某些时间段里，而幅度较小的变化会相对集中在另一些时间 段里。b e t a ( 1 9 9 2 ) 用美元与英镑的每月汇率，美国联邦政府的三个月期限的短期 2 0 0 3 年l o 月8 日瑞典皇家科学院授予e n g l e 2 0 0 3 年诺贝尔经济学奖以表彰他在a r c h 模型方 面的蠢i 猷 债券韵利率以及纽约股票交易所月综合指数的增长率来迸一步验证了 m a n d e l b r o t 的结论，即经济类时间序列数据的方差易变性及集聚性。这种变化可 能归咎于经济领域尤其是金融市场的多变性，对政治动乱和政府金融政策的敏感 性等。但这种情况给我们种启示：观测误差的方差呈现某种自相关。e n g l e 的 a r c h 模型恰恰捕捉到了经济类时闻序列数据的这个特点。a r c h 模型已广泛 地应用于经济现象的分析研究中，并取得了良好的效果。如e n g l e ( 1 9 8 2 ) ，e n g l e 和k r a f t ( 1 9 8 3 ) 用a r c h 模型分析预测美国的通货膨胀率的趋势取得了令人满意 的结果。d o m o w i t z 和h a k k i o ( 1 9 8 5 ) 也曾把a r c h 模型用于外汇汇率市场的研究 中。w e i s s ( 1 9 8 4 ) 对美国1 3 种不同的宏观经济时间序列用a r c h 建模，取得了成 功的结果。 a r c h 理论是目前国际上非常前沿的用于金融市场资产定价的理论。与传 统的c a p m 、a p t 理论相比，a r c h 是一种动态非线性的股票定价模型，它突 破了传统的方法沦和思维方式，摒弃了风险与收益呈线性关系的假定，反映了随 机过程的一个特殊性质方差随时间变化而变化。由于a r c h 模型反映和刻 画了经济变量之间方差时变性的特殊的不确定形式，因而它在经济和金融领域具 有广阔的应用前景。也正因为如此，a r c h 模型在诞生后短短二十凡年时间里 已取得了极为迅速的发展，目前正受到日益广泛的关注和瞩目。 本文的目的就是在总结目前见诸文献的几乎所有单变量a r c h 模型，使之 成为一个体系；在此基础上合理利用a r c h 类模型对1 9 9 9 年7 月2 日到2 0 0 3 年 1 2 月3 1 日深证成份指数收益率的波动性、风险溢价和周末效应进行分析。 文章的结构安排如下：第一章系统介绍单变量a r c h 类模型；第二章介绍 a r c h 模型的估计方法和应用领域；第三章前两章的基础之上，建立适当的 a r c h 模型对深证成指的波动性、风险溢价、杠杆效应和周末效应进行经验分 析。 第一章a r c h 模型体系 a r c h 模型通常包含均值方程( m e a ne q u a t i o n ) 和方差方程( v a r i a n c e e q u a t i o n ) 。最早的a r c h 模型由e n g l e ( 1 9 8 2 ) 提出，b 0 1 l e r s l e v ( 1 9 8 6 ) 把它扩展为 1 g a r c h 模型，即广义自回归条件异方差模型。e n g l e 、l i l i e n 和r o b i n s ( 1 9 8 7 ) 则 把条件方差引入均值方程中，提出了条件异方差均值模型( a r c h mo 为了克 服g a r c h 模型在处理金融时间序列数据时的一些不足之处，n e l s o n ( 1 9 9 1 ) 提出 了指数g a r c h ( e g a r c h ) 模型，该模型考虑了正负资产收益之间的不对称性。 此外，金融市场中的波动性模型还有t s a y ( 1 9 8 7 ) 的条件异方差自回归移动平均模 型( c o n d i t i o n a lh e t e r o s c e d a s t i ca u t o r e g r e s s i v em o v i n g a v e r a g em o d e l c h a r m a ) ， n i c h o l l sq u i n n ( 1 9 8 2 ) 的随机系数自回归模型( r a n d o mc o e f f i c i e n ta u t o r e g r e s s i v e m o d e l ，r c a ) ，以及m e l i n o 和t u m b u l l ( 1 9 9 0 ) 、h a r v e y e t a l ( 1 9 9 4 ) 、j a c q u i e r e t a l ( 1 9 9 4 ) 的随机波动性模型( s t o c h a s t i cv o l a t i l i t ym o d e l s v ) 。 e n g l e ( 1 9 8 2 ) 的a r c h 模型提供了波动性建模的系统框架。a r c h 模型的基 本思想是：( 1 ) 尽管资产收益的随机误差项不存在序列自相关性，但并不独立； ( 2 ) 随机误差项之间的依赖性可以由其滞后变量的简单二次函数来描述。 根据e n g l e ( 1 9 8 2 ) ，我们称所有具有这种形式的离散时间随机过程幢) ： 占f = z t d f( 1 ) z ，i d d ，e ( z ，) = o ，v a r ( z 。) = 1( 2 ) 为a r c h 模型，其中正是关于t 一1 时刻信息集合所形成的盯域上的可测的 正的和随时间变化的函数。此处我们假定是一个单变量过程，但是可以直接扩 展到多元形式。根据定义占，序列无关，均值为零，其条件方差为砰且随时阊发 生变化。通常作为新息出现在随机过程 y 。) 的均值方程中 y ，= g ( 一，；6 ) + t( 3 ) y ，是外生变量，是关于先决变量( p r e d e t e 衄i n e q v a n a b l e ) x , 一l 和误差项的函 数，g ( 一一l ；6 ) 定义一个关于x 。和参数向量b 的方程，并且假设5 ，是可观测的。 第一章a r c h 模型体系 第一节早期的a r c h 模型族 一线性a r c h ( q ) 模型( t h el i n e a ra r c h ( q 1m o d e l ) 将盯j 表达为滞后误差项平方的线性函数 砰：脚+ 妻口占二，：脚+ 口( ) f ? o ，a ，o ， l - l 式( 1 ) 、式( 2 ) 、式( 3 ) 和式( 4 ) 构成了e n g l e1 9 8 2 年提出的“矗c 冒( 窖) 模型，这时 的a r c h 模型只是最简单的线性单变量方程，它认为条件异方差是外生变量、 滞后的内生变量、时间、参数和前期残差的函数。之后a r c h 模型的变化多数 基于对( 4 ) 式的变化。 口( 三) 是嚣后算子多项式；为了保证条件方差西依概率t ( w i t hp r o b a b i l i t y1 ) 为正，又加了如下的“非负约束”： 0 ，口。0 ( f = 1 ，2 ，g ) ；同时为了保证 仉 的“二阶平稳性”( c o v a r i a n c es t a t i o n a r y ) ，即确保 t ) 为平稳过程，要求 式( 4 ) 的特征方程l a ( 三) ：o 盼所有的根都在单位圆外；若“非负约束”条件成立， 则上述关于特征方程根的约束等价于 口l + a 2 + + a 4 i。(s) 这样，若，a r c h ( q ) ，那么s ，的无条件方差 叮2 = e ( ) = _ _ _ 竺一 ( 6 ) 1 一口1 一岱2 一一口口 对于a r c h ( 1 ) 过程的高阶矩情况，e n g l e 给出了其存在性定理： 定理l ：a r c h ( i ) 过程，e ( 彭) 存在的充要条件是口j n ( 2 一1 ) 1 。j e n g l e 同样给出了更高阶的a r c h 模型a r c h ( q ) 的二阶平稳性定理 定理2 ：a r c h ( q ) 二阶平稳的充要条件是相关特征方程( a s s o c i a t e d 第一章a r c h 模型体系 c h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o n ) 的根都大于1 。 此时平稳方差为e ( 方) ：，( 1 一妻口) 。 j = l a r c h ( q ) 模型有以下特点： ( 1 ) 式( 4 ) 表明过去的波动扰动s 二对市场未来波动有着正向而减缓 ( 0 口， 0 ) 的条件方差的预测。 以最，t 表示在时刻r ，对q 在时刻f + s 的条件方差q 2 + ，的估计值。显然， 但3 = l 时，有 占三= 口矗i = 扫，+ 口l 占? + - + 占三口+ l ( 7 ) 根据式( 6 ) ，可将未知参数国表示为： 国= ( 1 一o r t 一一口。) 盯2 ( 8 ) 以此代入式( 7 ) ，可得 矗l ，= ( i - - c t l 一- r 一口口) 仃2 + 口j 砰+ + 口g p “ 稍加整理，又得 最l ，一盯2 = a 】( g 一0 - 2 ) + 口2 ( 蠢i - - 0 - 2 ) + - - + 口g ( 占：9 一l 一0 - 2 ) 同理可得在时刻f + 1 ，对占，在时刻t + 2 的条件方差的估计为： 露2 ，川一0 - 2 = o t ( 矗l 一0 - 2 ) + 口2 ( 占? 一d 2 ) + + 甜g ( s 二q 一2 ) 叠。，也是对随机变：建f 。2 的最佳线性预测。以。代替上式中的占孟，就目 i 第一章a r c h 模型体系 以得到在时刻f ，对占，在f + 2 时的条件方差为 薯2 ，+ l 一盯2 = 口1 ( 敲1 一盯2 ) + a 2 ( 茸一0 2 ) + - + a 口( s 三口一2 ) 一般地，可以定义在时刻f ，对占在h j 时的条件方差的估计为 麓。= e ( 占三，1 占? ，) 它也是在时刻t ，对占三，d = 1 ，2 ，) 的s 步预测。 类似式( 9 ) ，经连续往后迭代，可得计算茸。得递推公式 鼍，：一盯2 = a i ( 占f f - - 2 + i - l ，一盯2 ) + 口2 ( 蕞，一2 ，一口2 ) + - - + 口口( 5 - f 2 + ；一g ，一口2 ) ( 1 0 ) 其中的露。，( f = 1 , 2 ，孽) 是在时刻f ，对占二。的最佳线性预测。当s q 时， 显然有： i 0 ，fs i ， 可见我们可以对) ，进行5 步预期。当方差较大时，预测值的置信区间就较大r 从而可靠性较差：当方差较小时，预测值的置信区间就较小，从而可靠性较好。 当存在a r c h 效应时，若仍使用方差为常数的普通最小二乘法来估计参数，就 会产生偏差。 ( 3 ) a r c h 模型的主要贡献在于发现了经济时间序列中比较明显的变化是 可以预测的，并且说明了这种变化是来自某一特定类型的非线性依赖性，而不是 方差的外生结构变化。 毫无疑问，a r c h 模型一经提出，就由于它突破了传统同方差模型的局限 并更好地与实践相结合，显示了强大的生命力，并成为计量经济学研究异方差的 重要手段。而作为一种方法，线性a r c h 存在着一些缺陷： ( 1 ) 由于e ( 占? ) = 十e ( 畦1 ) ，a r c h ( 1 ) 可写作占? = 国+ 口1 s 五+ v ，其中 v ，= f ，+ e ( tv h ) = 占，一盯，显然e ( v ，) = 0 ，e ( v ? ) = 1 ，这意味着“a r ( 1 ) ， 即a r c h o ) 过程具有“一步记忆”的“波动集聚性”，但同时也意味着占? 的自相 删a p ( j ) = a ? ，由于0 口 0 ，a ，o ， ( 1 2 ) i = 1 其中：扣 oir ；? n a r c h 模型方差的形式为 第一章a r c h 模型体系 盯? = + 口( 三) ( ) 。 ( 1 3 ) t a r c h 模型考虑到了方差与8 t 的符号有关，而n a r c h 模型是一种重要的 非线性a r c h 模型，因此都比线性a r c h 模型更先进。但由于也没有考虑到方 差的自相关和长记忆问题，而被归于第一阶段。 第二节g a r c h 模型提出和发展 一线性g a r c h 模型( l g a r c h ) 由t i mb o u e r s l e v ( 1 9 8 6 ) 提出的线性g a r c h ( p ，q ) 模型，其一般形式由式( 1 ) 、 式( 2 ) 、式( 3 ) 以及下式构成： 刃：国+ 妻s 乙+ 兰岛盯三，：+ a ( ) 占卜( 三) 群 ( 1 4 ) f i j - l 当人们发现a r c h 模型无法表达“某些情形中自相关系数消退很慢”这一 信息，而且在实际应用中对完全自由的滞后分布的估计常导致对非负约束的破坏 时，g a r c h 模型应运而生。g a r c h 是广义a r c h ( g e n e r a l i z e da r c h ) 模型的 缩写。当p = 0 ，这就是一r c 日( g ) 过程，当p = q = 0 时，弛) 为白噪声过程。如 果l 一声( ) 的根在单位圆外，g a r c h ( p ，g ) 模型就成了无穷阶a r c h 模型 ( i n f i n i t e d i m e n s i o n a la r c h ) ，即a r c h ( o o ) 模型。所以a r c h ( q ) 只是 g a r c h ( p ，g ) 的特例。g a r c h ( p ，q ) 同样具有a r c h ( q ) 模型的特点，能模拟价 格波动的集群性现象。两者的区别在于，g a r c h 模型的条件方差不仅是滞后残 差平方的线性函数，而且是滞后条件方差的线性函数。因此，利用g a r c h 模型， 能在计算量不大时，更合适、更方便地描述高阶的a r c h 过程，也符合计量经 济学中建模所遵循的从一般到具体的原则，因而具有更大的适用性。 g a r c h ( p ，q ) 还可写成另一种表示形式，即关于占? 的a r m a 模型： ? = g o + ( 口( ) + ( ) ) 0 一( ) ( 分一叮力十v ， ( 1 5 ) 0 第一章a r c h 模型体系 其中v t = 占? 一叮? = ( e ；一1 ) 盯? ，q n d d ( o ，1 ) ，这时可以把g a r c h ( p ，q ) 看作 是占? 的a r m a ( m ，p ) ，其中m = m a x ( p ，g ) 。这种定义把g _ 尺c 盯的理论基础：残 差序列平方的a r m a 模型剥离了出来，常用来确定p 和g 的阶数。 g a r c h 模型的2 条定理如下： 定理3 平稳性定理 按g a r c h 模型的定义，g a r c h ( p ，g ) 宽平稳的充要条件是口( 1 ) + ( 1 ) 1 ， 此时有e ( g ) = 0 ，v a r ( e 。) = 0 2 ( 1 一口( 1 ) 一( 1 ) ) 一l ，c o y ( c , t ) = 0 a 定理4 按第2 种形式给出的g a r c h ( i ，1 ) 过程的2 m 阶矩存在的充分必要条 件为 ( 口，届，m ) = c ：口，a 刀叫 ( a m ) 1 “，g a r c h ( 1 ，1 ) f f 口2 m 阶矩仍很可能 存在，显出g a r c h 有较长的记忆性。 实践中大多数金融数据序列的分布较正态分布而言，尾巴拖得更长，中间峰 顶更尖，即具有厚尾特征。而g a r c h 模型有助于模拟这种现象。例如1 9 8 6 年， b o l l e r s l e v 把e n g l e l 9 8 2 年做的关于a r c h ( i ) - 萸型的第四阶差推广到g a r c h ( i ，1 ) 情形，发现g a r c h ( 1 ，】) 的峰度比按理论算出的正态分布的峰度系数大，从而表 第一章a r c h 模型体系 明g a r c h 过程比正态分布有更厚的尾巴。正是由于g a r c h 模型既能模拟价格 波动的集群性特征，又有助于解释厚尾巴现象，从而使得g a r c h 模型得到了广 泛的应用。并且实践中还发现，当样本较大时，g a r c h ( i ，1 ) 就足以描述方差的 动态特征，而且越是高频率的数据序列，g a r c h 效应越显著。但在实际中， g a r c h ( p ，q ) 模型是否能完全解释实际峰度，还取决于用g a r c h 模型模拟数据 后，得到的标准残差是否服从正态分布。 g a r c h 具有更强的概括能力，开辟了a r c h 模型族的新篇章。从这时起， 大多数新涌现的a r c h 模型多为g a r c h 型，即考虑了异方差本身的自回归。而 其它的a r c h 模型在形式上很容易过渡为g a r c h ，只是由于具体形式不同，模 型的估计、检验难度不同。对没有记忆性的序列而言，用a r c h 更简洁，精确 程度也未必比( ；a r c h 模型差。 可以看出，g a r c h 模型从一定程度上解决了a r c h 的前两个缺陷，但并未 解决早期a r c h 模型的第3 点缺陷，即盯j 值取决于占。的大小而与其符号无关。 c a r c h ( p ，q ) 模型存在以下三方面的不足： ( 1 ) g a r c h 模型不能解释股票收益和收益变化波动之间出现的负相关现 象。由于g a r c h ( p ，g ) 模型假定条件方差是过去残差平方的函数，因此，残差的 符号不影响波动，即条件方差对正的价格变化和负的价格变化的反应是对称的。 然而实践中，研究人员发现，当坏消息出现时，即预期股票收益会下降时，波动 趋向于增大：当好消息出现时，即预期股票收益会上升时，波动趋向于减小。 g a r c h ( p ，q ) 模型不能解释这种现象。 ( 2 ) g a r c h ( p ，g ) 模型为了确保盯? 几乎处处非负，对参数口。屈所要求的非 负限制也是一种局限。这使得任一期砰的增加都会增加此后所有的盯? 1 ) ， 而排除了盯? 随机振荡的可能( 而事实上，盯? 振荡是很可能的) 。而且这种非负限 制增加了估计g a r c h 的难度。 ( 3 ) 因为没有一致的测量波动持久性的准则，所以难以利用g a r c h ( p ，g ) 模 型对条件方差的冲击是否会持久这一问题进行评价。 第一章a r c h 模型体系 g a r c h ( p ，q ) 模型有助于解释厚尾现象。但实践中却发现g a r c h ( p ，g ) 模型 不能完全解释这一现象，即用g a r c h ( p ，q ) 模型模拟数据后得到的标准残差不一 定近似为正态分布。因此，为了说明大量金融时间数据序列所呈现的厚尾部特征， 必须寻找一个比正态分布尾部更厚的分布。而f 分布则具有此特征。例如可用自 由度为n 的t 分布代替g a r c h ( 1 ，1 ) 模型中的正态分布，即假定 i y 。t ( o ，仃? ，h ) ，”一，是前t 一1 所有信息的集合， 为参数且n 2 ，这里t 分 布的自由度n 可以看作是测量厚尾程度的参数。当t 3 0 时，t 分布近似为正态 分布，因而正态分布可以看作是t 分布的极限形式。而当n 显著小于3 0 时，t 分 布比对应的正态分布有更厚布。实践证明，使用f 分布后，效果确实改善。 在对金融时间序列进行研究时，研究者常常对条件方差的冲击会存留多久这 一问题比较关注。如果波动变化只是暂时的，则市场对风险溢价不会有明显的调 整。因此由将来预期现金流的净现值决定的股票价格和折现因子都不会发生明显 变化；如果波动冲击无限期地存留，则可能改变整个风险溢价的期限结构，从而 对长期资本货物的投资产生显著影响。但g a r c h 模型难以对这点进行评价。 而e g a r c h ( p ，q ) 模型能弥补以上的不足。 二e g a r c h 模型 对b o l l e r s l e v 的g a r c h 模型更准确的说法是l g a r c h ，即线性g a r c h 模 型。它虽然较简单，但提供给人们一种新思路，即条件方差不仅与扰动的滞后值 有关，还可能与条件异方差( c o n d i t i o n a lh e t e r o s k e d a c i t y ，c h ) 自身的滞后有关。此 后各种各样的g a r c h 模型层出不穷，都是用各种数学工具变换c h 的表达方式。 几乎针对某一种问题，甚至某一族数据，都能找到尽可能精确的关于盯? 的函数 形式。于是又有人仿照g a r c h 对a r c h 的概括，提出了概括多种g a r c h 形式 的模型，如a p g a r c h ( a s y m m e t r i cp o w e rg a r c h ) ( g r a l l g e r a n de n g l e1 9 9 3 ) ， 及增广g a r c h ( a u g m e n t e dg a r c ho 针对上述问题，n e l s o n ( 1 9 9 1 ) 提出了指数 g a r c h 模型( e x p o n e n t i a lg a r c hm o d e l ) 。 第一章a r c h 模型体系 e g a r c h ( p ，q ) 模型由( 1 ) 式、( 2 ) 式、( 3 ) 式和下式构成 l o g g ? ：国+ 妻口，( 庐z 。+ y 1 = 。i e iz 。i 】) + 兰f l , 1 。g 盯三， ( 1 9 ) f = li = l 其中，矿，岛( = l ，p ) ，口，( f _ 1 ，g ) 均为参数。 口， 和 p j 是非随 机的实数标量序列。( z 。+ y 1z 。卜e lz 。l 】) 被称为新息影响函数( n e w si m p a c t f u n c t i o n ) a 对于e g a r c h ( p ，q ) 模型 ( 1 ) 在式( 1 9 ) 中，如果口， 0 ，口f 0 ，色0 ，一1 一 0 ，口，0 ( i = 1 ，- - ，q ) ，届0 ( i = 1 ，一，p ) ( 2 ) v g a r c h ( e n g l e19 9 3 ) 仃? = + 口( 上) 砰+ f l ( l ) ( z ，一c ) 2 ( 2 7 ) ( 3 ) 门阈g a r c h ( t g a r c h ) ( z a k a r i a n ，1 9 9 4 ) 盯，= 珊+ 口( ) 盯? 十( 三) l 占，i + 7 ( l ) m a x ( o ，一占，) ( 2 8 ) 增广g a r c h 模型的定义为： 第一章a r c h 模型体系 ，f 肋，一五+ l r h 盯f = 【e x p ( o ，一1 ) 其中 当五0 当旯= 0 中，：+ 杰a 。+ 主陋l ：。一c i a + 口i o m a x ( o ，。一：。) ，m 。+ i _ 1 仁l 妻瞄f ( iz 。一c + 口( m a x ( o ，。_ 一，) ；盯】 f ( z ；8 ) = ( 三5 1 ) j z 0 ( 2 9 ) ( 3 0 ) ( 3 1 ) 可以看出，除了a r c h m 模型和g a r c h m 模型外，增广g a r c h 模型 将现有的其它所有短记忆a r c h 模型都包括了进去。由于增广g a r c h 模型有如 此强的概括能力，从而在模型设定检验中有得天独厚的优越性。考虑到将其扩展 到长记忆领域，并把一肘项引入，从而得到一个概括所有现有模型以及相关的将 来可能会提出的一些模型，如张世英提出的分整增广g a r c h m 模型2 。 五单整g a r c h 模型( i g a r c h ) 在实际研究中，人们常常发现g a r c h 模型的口参数和口参数的和非常接近 于1 。例如t a l o r ( 1 9 8 6 ) 用g a r c h ( 1 ，1 ) 估计了4 0 个不同的金融时间序列，结果显 示其中3 4 个序列的口+ 口0 9 7 ；d i n gz h u a n x i n ，g r a n g e r 和e n g l e ( 19 9 3 ) 费j s & p 目收益序列估计的留+ 声= 0 9 9 7 。这种规律性下，异方差函数具有单位根和单整 性，于是人们把符合这种特征的g a r c h 模型称作单整g a r c h 模型。i g a r c h 模型是介于短记忆g a r c h 模型与长记忆g a r c h 模型之间的模型，并由此引出 阶矩中长记忆性概念在二阶矩中的映射：持续。睦( p e r s i s t e n c e ) 概念。 单整广义自回归条件异方差模型i g a r c h 定义： 当a r c h 模型的实际估计参数处于“二阶平稳约束”的临界值上时，即 何明，张1 l j = 填：禁忌一递阶遗传算法研究 j 】控制与决策2 0 0 1 ，1 6 ( 4 ) ：4 8 0 - 4 8 3 6 第一章a r c h 模型体系 杰+ 杰岛：1 时，就形成了单整删r c 日模型。模型形式可以写作 忙il 中( 上) ( 1 一) s ? = + ( 1 - p ( l ) v , ( 3 2 ) 其中m ( ) ( 1 一d = i 一口( ) 一声( d 为明一1 阶，这是由于式( 1 4 ) 的自回归多项 式1 - c e ( l ) 一声( ) ) 有个单位根。v ，定义如式( 1 5 ) 。 这时任何对条件方差盯? 的影响都将无限持续下去，即刃具有“持续记忆” ( p e r s i s t e n c em e m o r y ) ；而无条件方差盯2 无穷大3 。 从预测的角度看，二阶平稳g a r c h 和i g a r c h 之间的区别就是条件均值中 ，( o ) 过程与，( 1 ) 过程的区别4 。对于序列，( 0 ) 即a r m a 序列，扰动对于条件均值 的影响以指数率迅速衰减：对- 于1 ( 1 ) 序列即a r m a 序列，扰动对于条件均值地 影响是持续的：而对于，( 孑) 序列，0 d 3 ，表明其为 6 1 9 9 9 年7 月1 日中华人民共和国证券法正式实施因此数据选取从1 9 9 9 年6 月2 5 日开始 数据来源：国研州融版h t t p ：w w wd r c n e t t o mc n l i l y j i n r o n g 第三章深证成指收益率的a r c h 分析 尖峰分布( l e p t o k u r t i cd i s t r i b u t i o n ) 或厚尾分布( f a t - t a i l e d d i s t r i b u t i o n ) 。 j a r q u e b e r a 值检验也拒绝了深证成份指数收益服从正态分布的零假设。 表l 上证指数收益率分布的描述性统计量 m e a n 0 0 0 0 1 0 1 j a r q u e - b e r a 2 2 5 9 81 0 m e d i a no 0 0 0 2 1 0 p r o b a b i l i t y 0 0 0 0 0 0 0 m a x i m u m0 0 9 9 9 8 4 m i n i m u m0 0 6 7 4 8 6s u m 0 1 0 8 8 7 0 s t d d e v 0 0 1 5 4 5 7s u ms q d e v 0 2 5 7 7 8 3 s k e w n e s s0 8 7 5 7 5 2 k u r t o s i s9 8 6 6 6 0 3 o l o s e r v a t i o n s 1 0 8 0 图3 是深证成份指数收益率经验分布密度估计图，在估计时选取了 e p a n e c h n i k o v 核，窗宽为o 0 0 5 ，共选取了1 0 0 0 个点。从图3 中，同样可以看 出深证成份指数收益分布的尖峰态( l e p t o k u r t o s i s ) 。 图4 则为深证成份指数收益率相对与正态分布的q q 图( q u a n t i l e q u a n t i l e p l o t ) 。如果收益率是服从正态分布的，那么该q q 图应该是一条直线。而实 际上的q - q 图是一条s 形曲线，表明了相对于正态分布而言，深证成份指数收 益率的分布具有尖峰和宽尾特征。宽尾分布意味着有许多样本值较大幅度地偏离 样本平均值，也就是说，收益率的绝对值要比想象的大。而偏度大于0 则意味 着大的收益率往往是正的。 k e r n e l d e 哺i 叶i e p a n e c h n i k o v h ；0 0 0 5 0 ) 图3 深证成份指数日收益率的经验分布密度图4 深证收益率分布对正态