（应用数学专业论文）基于分形插值函数模型的非等距时序灰色预测方法.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 g m ( 1 ，1 ) 模型是灰色系统理论中应用最广泛的一种灰色动态预测 模型，该模型由一个单变量的一阶微分方程构成。它主要用于复杂系 统某一主导因素特征值的拟合和预测，以揭示主导因素变化规律和未 来发展变化态势。然而，在实践中发现，g m 的数据要求是等时距产 生的，否则不能用以建模。如何运用非等时距的数据进行预测，就成 了一个非常棘手而又必须解决的问题。本文提出了运用分形插值模 型，将非等距时序列生成等时距序列。 分形理论是上世纪七十年代开创并发展起来的一门非线性学科。 分形插值方法给出了拟合数据的一种新思想和新方法，它能够较好地 刻画自然界中存在的大量不光滑的曲线，并已经成为自然景物造型和 一些物理过程仿真的有力工具。本文介绍了分形插值的数学模型及其 插值方法，构造一种分形插值算法，该算法利用区间内的迭代函数系 和吸引子，由特定的初始点出发进行直接搜索，并通过迭代特定次数， 获得的点集与吸引子均方差不断减小的过程来逐步调整初始点的纵 坐标值，而均方差达到最小化时的纵坐标值，从而生成等距时序列， 该方法组合灰色预测理论可做为非等距时序列的预测。 本文最后研究路面形变模型中，由于道路路面路基内部介质本身 的不完整性、非均匀性、非弹性和多层性，以及外部荷载( 车辆) 的 轴载累积作用、路面路基内部介质的水温稳定性条件变化引起物理化 学变化、雨雪自然条件等多种因素的作用，使得路面上各点的平整度 变形不可能完全各向等量同性，但各单元监测点集中的点与点之间平 整度变形量具有相似性与非相似性之分。并且道路平整度的检测数据 大多为短数据序列。在处理短数据序列问题上，基于分形插值函数模 江苏大学硕士学位论文 型的非等距时序灰色预测方法显示了一定的优越性。本文最后给出了 路面国际平整度指数i 预测实例。 关键词：；灰色系统；gm 模型；分形插值；吸引子 江苏大学硕士学位论文 g m ( 1 ，1 ) m o 眦ei sa 伊e y 舳ep r e d i c t i i l gm o d e lw l l i c hi sm em o s t 丽d e l y a p p l i e dm e o r yi i l 掣e ys y s t e i nt h e o r i e s w h i c hi sm a d eu po ff i r s to r d e rd i f e r 训a l e q u a t i o na b o u to n ev a r i a b l e ，i ti sm a 瑚yu s e df o rf i t t i | 唱孤dp r e d i c t i o no fs o m e l e a d i i l gf a c t o r si i lc 0 m p l e xs y s t e mt or e v e a l 血e i rv a r i a t i o nm l e s 锄d 仃e n d s h o w e v e r ，i np r a c t 池t l l ed a t as h o u l db ep r o d u c c di i le q u a lt i m e d i s l a i i l c e ，o m e r w i s ei t c 锄n o tb eu s e dt oc 0 衄t n l c tm o d u l e t h e r c f o r eh o wt ou n o n e ( 1 u a l - 血n ed a t af o r p r e d i c t i o nb e c 0 m e sat o u 曲p r o b l 唧t h i sp a p e rp u t sf o r w a r dt om a k en o n - e q u a l t h l l e a r r a yp r o d u c ce q l l a l - 岫ed a t ab y 璐i n g f t a c t a l i i l t e r p o l a t i o n m o d e l f r a ( ：t a l t h e o r yi san o n - l i n e a rd i s c i p l i i l ec r e a t e da n dd e v e l o p e di n1 9 7 0 s i t p l a y s孤妇p o r t a n tr o l e i l lr e s e 蛐ga n d觚a l y z i i l g m a i l yn a t l l r a l n o n l i n e a r m o v 锄e n tr u l e s ，s u c h 雒t u r b u l e m ，b r o 、nm o v e m e m ，e t c 觚c t a li n t e 印o l a t i o n a p p r o a c hp r o v i d e san e wi d c a 觚dm e t h o df o rf i 胁gd a t a ni sa b l et od e p i c tal o to f u n s m 0 0 mc u e se x i s t i i l gh ln a t l l r c ，a n db e c o m e sa ni i n p o n a n t 锄l l l a t i i 玛t 0 0 lh l n a t l l r a ls c c n a r yi n o d e l l i n g 锄ds o m ep h y s i c a lp r o c e 鼹1 1 l i sp 印e re m p h 筋娩e so n i i l t r o d u d n gf h c t a li 1 1 钯叩o l a t i o n sm a t l l sm o d l l l e 觚di i l t c ：叩o l a t i o na p p r o a c h ，孤l d c 0 n s t m c t i n ga 仃a c t a li n t e 巾o l a t i o na l g o r i n u n 1 1 i ea 1 9 0 r i m mu s sa i l da t t r a c t o rt o a r c hd i r e c yf r o ms p e c i a ls t a n i n gp 0 硫，i i lt h i sa l g o r i t l l mf r o mac e n a i ni i l i t i a lp o i n t t h ed i r e c ts e a r c hi sp e d b 衄e db yu s eo fi t e r a t c df u i l c t i o ns y s t c m 缸l da t t r a c t o ro fi i l n e r i i l t e r v a l ，a n dm r o u g ht h ep r o c e s st h a 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s eo fi m p e r f e c t i o n ，h e t e r o g e n e i t y ，i i l e l a s t i c i t ya n dm u l t i - l a y e r o fb e d si n s i d e m e d i a t o r s ，r 印e a t e da x l el o a d ( e s p n o mv e h i d e s ) ，p h y s i c a l 舭l d m 江苏大学硕士学位论文 c h e m i c a lc h a n g e sc a u s e db yc o n d i t i o nc h a n g eo fw a t e rt c m p e r a t i l r e s t a t ，n i t yo f b e d s i i l s i d em e d i a t o r sa n dn a t u r a lc o n d i t i o n ss u c ：h 硒r a i l l i r 喀锄ds i l o w i l 玛，e t c w h a t sm o r e ， m o s to ft h em e a s u r i n gd a t a so fr o a ds m o o t t l i l e s sa r ei ns h o r ts e q u e n c c s ，w h i c hh a s l i m ei r 曲珊a t i o na i l di 玎e g u l a rm l e s ，s 0i t ，sd i f i c u l tt og a i l ls a t i s f i e dp r e d i c t i o n 绷r a c y a i l dr e s u l tw i t ht l l e仃a d i t i o n a lw a y n 屺 g r e yp r e d i c t i o nw a yo f n o n e q u i d i s t a ms e q u e n c eb 龉e d0 nt h ef r a c t a li n t e r p o l a t i n gf h n c t i o nm o d e li ss u p e r i o r 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律的认识也随之逐步深刻。在系统研究中，由于内外扰动的存在和认识水平的局 限，人们所得到的信息往往带有某种不确定性。 当今时代是信息时代，对信息的处理己成为人们在日常生活、生产、科研中 进行定量分析的第一步。对完整信息即确定性信息，人们已经掌握了丰富的经验 和知识，即经典数学。然而在自然界中存在着大量部分信息已知、部分信息未知 的具有某种不确定性的系统，这类系统的行为特征难以用模糊数学或概率统计的 方法进行描述。事实上，模糊数学主要针对“认知不确定”现象，凭经验借助隶 属函数处理问题；概率统计则要求典型分布，从大样本出发寻找统计规律。而现 实生活中的许多系统都是“部分信息已知，部分信息未知 的“小样本”、“贫信 息”不确定性系统，不具备典型分布条件，灰色系统理论就是在这种需要下发展 起来的。它通过对“部分已知信息的生成、开发去了解、认识现实世界，实现 对系统运行行为和演化规律的正确把握和描述。灰色系统模型对试验观测数据及 其分布没有什么特殊的要求和限制，作为一种十分简便、易学好用的新理论，灰 色系统理论具有十分宽广的应用领域，并深受各领域研究人员和实际工作者的喜 爱。 作为一种独具特色的新理论，灰色系统理论已被国内外学术界公认为对科学 发展产生了巨大的作用。其应用遍及农业、工业、能源、交通、石油、地质、气 象、水文、生态、环境、医学、军事、经济、社会等众多科学领域，成功地解决 了生产、生活和科学研究中的大量实际问题【4 1 5 引。目前，国际上很多国家、地区 及组织有许多知名学者从事灰色系统研究和应用；国内应用灰色系统理论完成了 许多重大科研课题，灰色系统理论及其应用成果多次获得国家和省、部级奖励； 江苏大学硕士学位论文 国际、国内数百种学术期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰色系统列为讨 论专题。近年来，许多国际权威性检索杂志跟踪、检索我国学者的灰色系统论著， 灰色系统论著也被国内外学者频频引用。灰色系统理论经过短短二十几年的发 展，已基本建立起一门新兴学科的结构体系，它已经以其强大的生命力自立于科 学之林。 1 2 灰色系统理论的基本观点 灰色系统理论以系统论为指导，以灰色系统为主要研究对象。作为一门新兴 的学科，它融合了系统论、信息论、现代数学、现代计算技术等学科的思想、方 法和技术，它主要研究了灰色系统的构成要素、组织结构、信息流动、控制结构， 是对系统目标进行分析、研究、设计、调控的一般科学，具有综合性和应用性。 灰色系统理论认为，尽管客观系统表象极为复杂，表征数据看似杂乱无章， 但是系统内部存在必然的联系，潜藏着内在规律，因素具有整体功能。任何随机 过程都是在一定范围、一定时区内变化的灰色量，即灰色过程，将其过程变量进 行细分之后，归结为一种连续的、平稳的、动态的随机过程。利用关联分析、灰 色聚类、灰数生成、灰色建模等信息加工手段，寻求系统内在的规律，用于预见 系统未来的发展状态，调控系统的发展速度，实现系统物质和能量的优化组合。 具体来说，灰色系统理论体现了以下观点： ( 1 ) 系统观：即非孤立地研究系统的各个部分，而是从整体上、全局上把 握系统，以系统的总目标作为平衡量准则； ( 2 ) 递进观：分析表象数据，挖掘出特征，由表及里，由浅入深，由定性 到定量，由抽象到具体，呈现出一种递进层次； ( 3 ) 灰色观：视随机变量为灰色量，随机过程为灰色过程，借助灰元，把 系统的认识过程归结为由灰到白的“白化”过程； ( 4 ) 微分观：把整个进程分成足够细小的度量单位，从微观上研究随机过 程，并把这种细小的度量单位上的随机变化与“长期 的变化有机地结合起来， 使“宏观过程与“微观”过程得到了统一； ( 5 ) 映射观：把系统概念的特征映射到数量指标上，把过于分散的信息浓 缩、密化、映射成集中的信息，把系统的表象数据看成是系统内在规律的折射， 2 江苏大学硕士学位论文 建立起种种映射关系； ( 6 ) 动态观：把系统看成是连续不断的动态流，定量地研究系统的动态品 质、动态结构及其反馈过程； ( 7 ) 指数观：通过证明光滑离散函数累加生成灰指数律，建立起灰色系统 与其它科学系统之间的紧密联系； ( 8 ) 实用观：从实际出发，根据实际情况确立数据的准确度、样本容量及 其分布规律，充分挖掘现有数据包含的信息，提供实用的数据处理方法，强调了 实际的应用。 1 3 本课题的提出 灰色模型( g r e ym o d e l ) 简称g m 模型，是灰色系统理论的基本模型，也是 灰色控制理论的基础。灰色系统理论在建模过程中一方面提倡尊重原始数据而又 不拘泥于原始数据，并允许以科学的定性分析为基础对研究对象的实验、观测、 统计数据进行必要的调整和修正。另一方面，需要数据较少，灰色系统理论的核 心模型g m ( 1 ，1 ) 仅有4 个数据就可以估计出模型参数，且可以达到一定的模 拟精度。作预测用的g m 模型一般为g m ( n ，1 ) 模型，其中，最重要、同时也 是在实际生活中应用最多的，是用灰色微分拟合法建立的g m ( 1 ，1 ) 模型。它 可用于定量预测和分析。我国道路平整度的检测数据大多为短数据序列。由于其 信息量少，规律性不强，使用传统的统计预测方法难以取得满意的预测精度和理 想的结果。在处理短数据序列问题上，灰色系统理论显示了一定的优越性。并已 成为较成熟的基本理论和方法【4 1 1 。因此，如何合理地使用该模型，提高它的拟合 和预测精度一直是科技工作者感兴趣，也是比较困难的问题。 g m 的数据要求是等时距产生的，否则不能用以建模。但是，从客观上来说， 许多时候要获得等时距的数据是很难做到的，如在道路管养检测中，路面国际平 整度指数瓜i 获得一般是不等时距的数据序列。在这种情况下，如何运用非等时 距的数据进行灰色模型预测，就成了一个非常棘手而又必须解决的问题。在对非 等时距序列的处理中，目前大致的做法是：( 1 ) 根据最靠近的前后原始数据性内 插个别缺少数据，进而构成等时距序列。这种方法简洁明了，但没有充分利用个 别缺少点周边其它点的信息，因而对非线性变化规律的序列内插精度较底。( 2 ) 3 江苏大学硕士学位论文 预先假设g m ( 1 ，1 ) 模型成立，同时假设原始数据符合g m ( 1 ，1 ) 模型曲线， 在此基础上内插个别缺少数据，构成等时距序列。该方法易于操作，有一定的使 用领域。但是g m ( 1 ，1 ) 模型的核心思想是将累计序列拟合成指数曲线，这势 必人为地要求原始数据遵从这一规律。事实上，有许多事件产生的序列因受各种 外界因素的影响，其显现的规律性并非一贯而终，而是带有明显的阶段性特征。 根据以上常规方法的不足，本文提出了运用分形插值模型，将非等距时序列生成 等时距序列。该方法解决了原始序列阶段性问题，原始数据全部与所建模型吻合， 具有精度高、收敛稳定性好的优点。该方法组合g m ( 1 ，1 ) 模型运用，可作非 等距时序列的预测。 1 4 本课题研究的主要内容 通过深入剖析灰色系统g m ( 1 ，1 ) 模型的建模机理，发现三个问题：( 1 ) 灰色 预测模型的精度与初始序列x ( o 的光滑度有关；( 2 ) 传统g m ( 1 ，1 ) 模型采用工1 ( 七) 与z ( 1 似+ 1 ) 两点的平均值作为背景值，来建立近似差分方程。当初始数据序列 的变化速度不是很快，即发展系数h 较小时，应用g m ( 1 ，1 ) 模型能得到较好的结 果，但是随着的增大，模型的精度随之迅速较小；( 3 ) 进行g m ( 1 ，1 ) 模型 预测的数据要求是等距的，否则不能进行预测，而实际生活中获得少量等距的数 据很难做到。针对这三个问题，本文对g m ( 1 ，1 ) 模型作了改进，提高了g m ( 1 ，1 ) 模型的精度，扩大了它的适用范围，将非等距的数据利用分形插值生成等距数据， 结合灰色预测解决实际问题。论文的内容安排如下： 第一章为绪论，阐述了本论文的选题背景。介绍了灰色系统理论的产生和国 内外发展现状，及本课题的研究意义。 第二章介绍了灰色系统模型的建模思想，剖析了传统g m ( 1 ，1 ) 模型的建模机 理，简要介绍了g m ( 1 ，1 ) 模型的精度检验方法、误差来源及其适用范围。 第三章介绍了分形插值算法。首先研究分形几何中分形拼贴、仿射变换、迭 代函数系统及分形插值等重要定理和概念。然后深入研究分形插值函数及s 参 数估计方法，其中包括重要参量垂直尺度因子的求法，并在此基础上对原有的计 算迭代函数第吸引子的方法做了改进。最后针对传统分形插值难以进行外推的问 题，通过分析迭代函数系吸引子的收敛特性及起始点的不同对迭代中间结果的影 4 江苏大学硕士学位论文 响，利用分形的自相似性与标度不变性对内区间的分形特性进行延拓，并由此构 造了具有外推功能的分形插值算法；给出了分形外推插值算法的具体实现步骤， 用算例说明了这种外推方法的可行性。 第四章分析了分形插值应用模型结合g m ( 1 ，1 ) 改进模型的适用范围。通过路 面国际平整度指数珊的预测值与实际值作精度比较。在处理短数据序列问题上， 基于分形插值函数模型的非等距时序灰色预测方法显示了一定的可行性。 第五章对本论文进行了总结。 5 江苏大学硕士学位论文 第二章灰色系统g m ( 1 ，1 ) 模型 2 1灰色系统的建模思想及基本概念 研究一个系统，一般应首先建立系统的数学模型，进而对系统的整体功能、 协调功能以及系统各因素间的关联关系、因果关系、动态关系进行具体的量化研 究。这种研究必须以定性分析为先导，定量与定性紧密结合。灰色建模的思路是 通过定性、定量分析，建立抽象模型，再逐步由抽象到具体，最后形成优化模型。 灰色系统方法是针对信息不完全的系统开发出的一套方法，因而研究灰色系 统的关键是：( 1 ) 如何处理灰数；( 2 ) 如何使系统从结构上、模型上、关系上由 灰变白，或使系统的白度增加，即用一个确定的数代替不确定的灰数，用一个确 定的关系代替不确定的灰关系。通过白化，使我们对系统的认识由知之不多到知 之较多，再由知之较多到认识其变化规律，最后从变化规律中提取出所需要的信 息，使灰色系统问题得以解决【4 l 】。 灰色系统建模的任务是要用较少的数据建模，目标是微分方程模型，要求是 动态信息的开发、利用和加工。一般来说，微分方程只适合连续可导函数，而本 征性灰系统的行为特征是用时间或其它参量序列表征的，是一种离散函数。为建 立微分方程模型，灰色系统理论通过关联分析，提取建模所需变量，并在对离散 函数的性质进行研究的基础上，实现了对离散数据建立微分方程的动态模型，即 灰色模型。在建立模型过程中，灰色系统理论充分开发并利用了较少数据中的显 信息和隐信息。灰色系统理论认为，初始数据序列包含着极为丰富的信息，它蕴 藏着参与系统动态过程的全部其它变量的痕迹。 灰色系统建模公式是灰色系统理论的基础，其主要特点有： ( 1 ) 系统性：它不仅考虑了已知和未确知的信息，而且揭示这些信息相互 制约，相互影响的整体系统特征； ( 2 ) 联系性：通过对许多复杂因素的关联分析，揭示系统内涵的联系性本 质； ( 3 ) 动态性：把系统看作为一个随参量变化而变化的函数，描述了系统变 化的运行机制及规律； 6 江苏大学硕士学位论文 ( 4 ) 建模时，不需要大量的数据序列。 灰色系统建模的基本概念： 1 初始数据序列：获得的实验数据、经验数据、生产数据或观测数据 z o 佧) ， = 1 2 ，n ) 按照某一规则依次排列而构成的一列有秩序的序列 x ( 。 ) = 长。 ) k = 1 ，2 ，”j 。 2 数据生成：将原始数据通过某种运算变换为新数据，称为数据生成。数 据生成有两个目的：( 1 ) 为建模提供中间信息；( 2 ) 弱化原随机序列的随机性。 数据生成主要有累加生成和累减生成。 3 累加生成( a c c i l m l l l a t c dg e n e r a l ：i n go p e 枷o n ) ：简记为a g o ，是将同一 序列中数据逐次相加生成新的数据。 设初始数据序列为： x ) = k o ( 1 ) ，x o ( 2 ) ，z o ( 胛) ) ( 2 1 1 ) 其中，七表示数据序列的序号，初始数据是0 次累加数据。m 次累加( m - a g o ) 定义为： 正 z ” ) = z ”1 ( f ) = 1 ，2 ，刀) ( 2 1 2 ) j - 1 一般地，对非负数列，累加次数越多，数列的随机性就弱化得越多。但当累 加次数足够大时，时间序列便由非随机转化为随机了。在g m 模型中，一般只对 数列作1 一a g o 。 4 累减生成( h l _ v e r s ea c c i l m u l a t c dg e n c r a t i i l go p e r a t i o n ) ：简记为认g o ， 它是累加生成的还原( 逆运算) ，即对数据序列中前后两个数据进行差值运算。o 次累减为原始数据，即口( 颤七) ) = x ( 忌) 。m 次累减( m - l 蟾o ) 定义为： 口伽( z ( 七) ) = 口”- 1 ( 颤七”一口”1 ( 烈七一1 ) ) ( 2 1 3 ) m a g o 和m l 惦o 的关系是： m 一彳g d 、 x o ) 7 z “ ) ( 2 1 4 ) 7 江苏大学硕士学位论文 2 2g m ( 1 ，1 ) 模型的建立及其性质 g m ( 1 ，1 ) 模型是目前最常用的一种灰色动态预测模型，它主要用于对复杂 系统某一主导因素特征值的拟合和预测，以揭示主导因素变化规律和未来发展变 化态势。 设x ( 。( 七) 为非负序列，x ( 。 ) = 任( 。( 1 ) ，z ( 。( 2 ) ，x ( o ) ) 命题2 1 方程z o ) + 船1 ( 七) = h 为灰色微分方程， 其中。 ) = ) + 砸一1 ) 。 定义2 1称 x ( 七) + 口z 1 ( 后) = 跖 ( 2 2 1 ) 为g m ( 1 ，1 ) 模型。 1 。符号g m ( 1 ，1 ) 的含义为：g 代表g r e y ，即灰色；m 代表m o d e l ，即模 型；( 1 ，1 ) 表示含一个变量的一阶方程。 2 。称口为发展系数。d 的大小及符号，反映了x o ) 及x 1 ( 七) 的发展态 势。如果以为负，那么态势是增长的，口的绝对值越大，增长越快；如果口为正， 那么态势是衰减的，口的绝对值越大，衰减越快。 3 。称甜为灰作用量。作为系统，它的作用量应是外生的，即外部加入的或 者是事先给定的。因为g m ( 1 ，1 ) 是单序列模型，只有系统的行为，而没有外作 用序列，然而通过参数辨识，得到了一个”，它的大小代表了数据的变化关系， 它的变化代表了行为模式的变化，它在系统中的作用相当于作用量，它的内涵和 确切内容是灰的，因此称之为灰作用量。灰作用量的存在是灰色建模与一般建模 的本质区别，是系统内涵外延化的表现，是灰色系统重要内涵开发的表现。 定理2 1 g m ( 1 ，1 ) 的白化模型为 学一1 ) ( 忙“ ( 2 2 2 ) g m ( 1 ，1 ) 的白化模型是微分方程。记参数列为五= 【口”r ，a 由最小二乘法确定： ：五= 【b r 曰】- 1 曰r l ( 2 2 3 ) 这罩 8 江苏大学硕士学位论文 曰= 一z 1 ( 2 ) 一z 1 ( 3 ) 一z 1 q ) ，l = ( x o ( 2 ) ，x o ( 3 ) ，x o ( 刀) ) r ( 2 2 4 ) 其中，仲) = 圭 ) + 三( 七一1 ) 。 在初始条件为殳o ( 1 ) = x o ( 1 ) 时，g m ( 1 ，1 ) 的白化响应式为 曼( 1 ) = o 。( 1 ) 一与p 叫) + 竺伍= 2 ，3 ，) ( 2 2 5 ) 口口 对殳1 ) 做一次累减，得到初始数据序列的还原值： 殳o ( 七) = 戈1 ( 七) 一戈1 ( 七一1 ) 即 量( o c 七，= ( 1 一p 4 ( x ( o 一詈) p 一“t - 1 ) 将七= 2 ，3 ，刀代入式( 2 1 1 ) ，便可得到初始数据的拟合值， 到灰色模型对未来的预测值。 2 3 g m ( 1 ，1 ) 模型的精度检验 ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 当七 ，时，便可得 模型的精度是模型预测的准确性和实用性的反映。因此，对模型精度进行客 观、有效地评估是非常重要的。g m ( 1 ，1 ) 模型精度的检验方法，通常有以下三 种方法。 2 3 1 残差检验法 设原始数列为： z o = x o ( 1 ) ，石( 2 ) ， ， x o ( n ) ) 预测值为： j 。= 宝o ( 1 ) ，戈( 2 ) ，舅( 。( n ) ) 残差检验是一种直观的逐点进行比较的算术检验方法，它是把预测数据与实 际数据相比较，观测其相对误差是否满足要求。设残差序列为e = ( e ( 1 ) ，e ( 2 ) ， e ( n ) ) ，这里 9 江苏大学硕士学位论文 e o ) = x o o ) 一凳o o ) ( 2 3 1 ) 则相对误差为 删2 器姗 3 一般要求占不大于1 0 。称 嘶) 2 器1 0 0 ( 2 3 3 ) 为原点误差，一般原点误差越小越好。称 云= 亡懒i ( 2 3 4 ) 门智l 。、叫 为g m ( 1 ，1 ) 模型的平均相对误差；而称 p 。= ( 1 一研0 0 ( 2 3 5 ) 为g m ( 1 ，1 ) 模型的模型精度。一般要求p 。 8 0 ，最好是p 。 9 0 。 2 3 2 后验差检验法 后验差检验属于统计概念，它是按照残差的概率分布进行检验的。设初始数 据序列x o 及残差序列e 的方差分别为s ? 和s ；，则 耻寺喜( 川) 掣) 2 ，班吉喜( 酮卅 ( 2 3 6 ) 其中 i ( 0 ) = 丢喜x ( o u ，万= 去喜e c d 计算后验差比值 c = ( 2 3 7 ) 和小误差概率 p = p e o ) 一虿i 0 6 ，关联度越大，表明 模型的预测效果越好。 2 4g m ( 1 ，1 ) 模型的误差来源 同其它预测方法一样，灰色模型的误差来源可分为三类：( 1 ) 观测误差。 它产生于观测、实验的各个环节，包括观测手段、实验设备、原始数据记录或统 计过程中出现的误差。( 2 ) 计算误差。它是建模计算过程中由于运算数据的舍 入引起的误差。( 3 ) 模型表达误差。所有的外推方法都期望用较少的已知信息， 建立一个较为简单的数学模型去反映复杂系统的变化规律，所得到的模型只能是 一个近似模型。在对研究对象的认识不十分明了的情况下，要精确地建立符合复 杂事物发展规律的模型是很困难的，因此建立背景值为灰的近似模型也就不可避 免地会出现误差。尽管各种误差的产生和存在都有一定的客观性和必然性，但总 是可以通过不断地改进模型，使误差降低到不影响人们利用模型去研究事物发展 的内在规律，并以此指导生产实践。 1 1 江苏大学硕士学位论文 2 5g m ( 1 ，1 ) 模型的适用范围 小样本、贫信息、不确定性系统的大量存在，决定了g m ( 1 ，1 ) 模型具有十 分宽广的应用领域。但是，这并不意味着g m ( 1 ，1 ) 模型的应用具有随意性。像 任何其它数学模型一样，g m ( 1 ，1 ) 模型也有一定的适用范围，超出了其适用范 围，应用g m ( 1 ，1 ) 模型就难以得到理想的结果。 由于g m ( 1 ，1 ) 模型是一阶微分方程，所以它更多的应用于初始数据序列的 长期趋势呈单调变化的情况。经过多次测试、运算，发现这样一条规律：不论原 始数据序列所呈现的总的趋势是递增或递减，以及这一序列数据的连线呈凹状或 凸状，由g m ( 1 ，1 ) 的响应函数式与系统还原公式得到的还原值所连成的曲线总 是凹的川。在这样的情况下，使用g m ( 1 ，1 ) 将受到一定的限制。原始数据序列 的递变规律密切影响着g m ( 1 ，1 ) 模型的预测精度，由于该模型在本质上是一指 数函数，对于已经成指数变化趋势的原始数据，其g m ( 1 ，1 ) 模型精度受限的真 正原因是由于数据序列z ( ( 七) 不满足光滑离散函数的条件。 处处可导是光滑连续函数的特性，而序列是由离散的单个点构成的，在通常 的意义下根本无导数可言，因此不能用导数的概念来研究序列的光滑性。若某序 列具有与光滑连续函数大致相近的特征，便认为此序列是光滑的。 定义2 。2 设序列x = ( x ( 1 ) ，x ( 2 ) ，叹疗) ，z ( 刀+ 1 ) ) ，z 是x 的均值生成序 歹0 ：z = ( z ( 1 ) ，z ( 2 ) ，z ( 甩) ) ，喜中z ( 七) = 0 5 z ( 七) + 0 5 z ( 尼+ 1 ) ，七= 1 ，2 ，刀；x + 是 某一可导函数的代表序列，将x 删去x ( n + 1 ) 后得到的序列记为x ，若x t 满足： 七一1 r 当后充分大时，x ( 后) 燃f ) 一z ( 后) i ； 则称x 为光滑序列。r ，2 。称为序列的光滑条件。 应用灰色系统理论进行建模时，并不要求初始数据序列严格满足光滑条件， 在一定程度上满足准光滑条件的数据，应用灰色系统g m ( 1 ，1 ) 模型时也能满足 工程实际所要求的精度。 定义2 3 若序列x = ( 鹕，2 ) ，砌) ) 满足： 江苏大学硕士学位论文 1 0 趔警 1 ，后：，”_ 1 雕) 2 。p 他) 【o ，s 】，七= 3 ，4 ，尼： 3 。占 0 5 ： 其中以后) ：名盟，七：2 3 ，以，则称x 为准光滑序列。 x ( f ) f = i 定理2 2 设z ( o 为非负准光滑序列，则x ( o ) 的一次累加生成序列x ( 1 具有 准指数规律。 另外，文献 4 2 以模拟、实验分析为基础，研究了g m ( 1 ，1 _ ) 模型的适用范 围。按照发展系数阀值，分析了g m ( 1 ，1 ) 模型的有效区、慎用区、不宜区和禁 用区。通过取不同区间的发展系数口，对模型的拟合和预测的精度进行分析讨论， 得到下述结论： 1 ) 当一口0 3 时，g m ( 1 ，1 ) 模型可用于中长期预测： 2 ) 当o 3 一口0 5 时，g m ( 1 ，1 ) 模型可用于短期预测，中长期预测慎用； 3 ) 当0 5 一口0 8 时，用g m ( 1 ，1 ) 模型作短期预测应十分谨慎； 4 ) 当0 8 1 时，不宜采用g m ( 1 ，1 ) 模型。 江苏大学硕士学位论文 第三章分形插值函数的基本理论 在计算方法中，有多种插值方法，如拉格朗日插值法，牛顿插值法，厄米特 插值法，样条插值法等【m 5 1 。这些传统插值方法在数据拟合，数值分析方面有着 重要的应用。然而这些插值曲线都是光滑的。因此，对那些连续非光滑的图形或 事物，例如海岸线，山脊线，云的轮廓，脑电波图等实际生活中图形的描述并不 是较好的近似。实际上，用传统的插值方法是求不出这样的插值曲线的，而分形 插值曲线借助计算机可对许多自然现象，如树叶，云彩，山脊线等进行非常逼真 的模拟和再现，本章简单介绍分形插值函数。 3 1 分形插值理论 常规的分形内插函数是由一类特殊的仿射变换型s 产生的，它为描述不规 则的随机曲线与拟合实验数据提供了强有力的工具，也是本文建立分形外推算法 的理论基础。下文先简单后文工作需要的理论基础知识。 1 分形空间 设( x ，d ) 是完备距离空间，用吼( x ) 表示由x 的非空紧子集的全体组成的空间。 令点x 孵( x ) ，定义 d ( x ，b ) = i n f d ( x ，y ) ：y b ) = m i n d ( x ，y ) ：j ，召) ( 3 1 1 ) 为x 到集b 的距离，i n f 表示取下确界。由于集b 孵( ) 是非空紧集，可以证明 实数集 d ( x ，y ) ：y 曰) 包含一个最小值，也就是说，一定存在一个) ，曰使 d ( x ，y ) = d ( x ，曰) ，令么，b 吼( x ) ，定义 d ( x ，b ) = s u p d ( x ，b ) ，x 彳) = m a ) 【 d ( x ，b ) ，x 彳) ( 3 1 2 ) 为集合a 到集合口的距离，s u p 表示上确界。定义 乃( 彳，曰) = d ( 彳，b ) v d ( 曰，彳) ( 3 1 3 ) 为眠( x ) 中两个点a 和曰之间的h a u s d o 距离。符号v 表示两个实数中取较大。 由此，我们称( 吼( x ) ，矗( d ) ) 为分形空间。可以证明分形空间具有完备性。 2 压缩映射 1 4 江苏大学硕士学位论文 不动点：设厂：x 专x 是距离空间上的一个变换，如果厂( o ) = o ，则称 x ，x 为厂的不动点( 缸e d p o i m ) 压缩映射：设厂是距离空间上的一个自身映射，即，：z _ x ，如果存在一常 数s ，0 s 1 ，使得对一切x ，y x 有 d ( 厂( x ) ，厂( y ) ) s d ( x ，y ) ( 3 1 4 ) 则称厂为压缩映射，s 为，的压缩因子。 3 仿射变换 ( 1 ) 在硝上的仿射变换( a 嘶e 仃加s 如m a t i o n ) 形如厂( x ) = 饿+ 6 的变换， 其中口和6 是常数，口是压缩因子，d 是平移因子。 ( 2 ) 在r 2 上的变换缈：r 2j r 2 形式为：国( 而，) = ( 嘶+ + p ，+ 毗+ 厂) 称为二维仿射变换。其中口，6 ，c ，d ，e 和厂是实数，通常也写为如下形式： 国c x ，= 缈( 主 = ( 兰三 ( 三 + ( ； = 么z + ， c 3 1 5 ， 其中a 是2 2 矩阵，f 是列向量。确定相对于原点的线性变换有：比例变换，旋 转变换，反射变换以及位错变换。 4 自仿射集 如果记s 为s 的七次迭代，它由s 。( e ) = e ，s ( e ) = s ( s 扣1 ( e ) ) ( 尼1 ) 定义， 如果e 是缈上的任意集，且满足对任意f ，s ( e ) ce ，则f = n ( e ) 是唯一的 七= l 紧不变集f 称为自仿射集。 定理3 1 1 ：设在某一完备距离空间( x ，d ) 上定义的一组具有压缩因子 o 母 1 的映射集合为 锡：x 一彳，f 1 ，2 ，) ，它构成( 双曲) 迭代函数系s 。 对此s ，由式( 1 ) 定义的形：r ( x ) 专r ( x ) 是完备距离空间( r ( x ) ，办( d ) ) 上 以s = m a ) 【 墨：江1 ，