圆锥曲线综合训练题(分专题,含答案).doc

圆锥曲线综合训练题一、求轨迹方程：1、（1）已知双曲线与椭圆：有公共的焦点，并且双曲线的离心率与椭圆的离心率之比为，求双曲线的方程（2）以抛物线上的点M与定点为端点的线段MA的中点为P，求P点的轨迹方程（1）解：的焦点坐标为由得设双曲线的方程为则 解得 双曲线的方程为（2）解：设点，则，代入得：此即为点P的轨迹方程2、（1）的底边，和两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹（2）ABC中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=sinA,求点A的轨迹方程解： （1）以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系设点坐标为，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点因，有，故其方程为设，则 由题意有代入，得的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）（2）分析：由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R（R为外接圆半径），可转化为边长的关系解：sinC-sinB=sinA 2RsinC-2RsinB=2RsinA即 （*）点A的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）2a=6，2c=10a=3， c=5， b=4所求轨迹方程为 （x3）点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）3、如图，两束光线从点M（-4，1）分别射向直线y= -2上两点P（x1，y1）和Q（x2，y2）后，反射光线恰好通过椭圆C：（ab0）的两焦点，已知椭圆的离心率为，且x2-x1=，求椭圆C的方程.解：设a=2k，c=k，k0，则b=k，其椭圆的方程为. 由题设条件得：， ， x2-x1=， 由、解得：k=1，x1=，x2=-1，所求椭圆C的方程为.4、在面积为1的中，建立适当的坐标系，求出以、为焦点且过点的椭圆方程所求椭圆方程为解：以的中点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，设则即得5、已知点P是圆x2+y2=4上一个动点，定点Q的坐标为（4，0）（1）求线段PQ的中点的轨迹方程；（2）设POQ的平分线交PQ于点R（O为原点），求点R的轨迹方程解：（1）设线段PQ的中点坐标为M（x，y），由Q（4，0）可得点P（2x-4，2y），代入圆的方程x2+y2=4可得（2x-4）2+（2y）2=4，整理可得所求轨迹为（x-2）2+y2=1. （2）设点R（x，y），P（m，n），由已知|OP|=2，|OQ|=4，由角平分线性质可得=，又点R在线段PQ上，|PR|=|RQ|，点R分有向线段PQ的比为，由定比分点坐标公式可得，即，点P的坐标为，代入圆的方程x2+y2=4可得， 即+y2=（y0）. 点R的轨迹方程为+y2=（y0）.6、已知动圆过定点，且与直线相切.(1) 求动圆的圆心轨迹的方程；(2) 是否存在直线，使过点（0，1），并与轨迹交于两点，且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.解：（1）如图，设为动圆圆心， ，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：， 即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线， 动点的轨迹方程为 （2）由题可设直线的方程为，由得 ， 设，则， 由，即 ，于是，即， ，解得或（舍去），又， 直线存在，其方程为 7、设双曲线的两个焦点分别为，离心率为2.（I）求此双曲线的渐近线的方程；（II）若A、B分别为上的点，且，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III）过点能否作出直线，使与双曲线交于P、Q两点，且.若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.解：（I） ，渐近线方程为4分 （II）设，AB的中点 则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为的椭圆.（9分） （III）假设存在满足条件的直线 设 由（i）（ii）得 k不存在，即不存在满足条件的直线.8、设M是椭圆上的一点，P、Q、T分别为M关于y轴、原点、x轴的对称点，N为椭圆C上异于M的另一点，且MNMQ，QN与PT的交点为E，当M沿椭圆C运动时，求动点E的轨迹方程解：设点的坐标则1分 3分 由（1）（2）可得6分又MNMQ，所以直线QN的方程为，又直线PT的方程为从而得所以代入（1）可得此即为所求的轨迹方程.9、已知：直线L过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A（-1，0）和点B（0，8）关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法设出它们的方程，L：y=kx(k0),C:y2=2px(p0).设A、B关于L的对称点分别为A/、B/，则利用对称性可求得它们的坐标分别为：A/（），B/（）。因为A/、B/均在抛物线上，代入，消去p，得：k2-k-1=0.解得：k=,p=.所以直线L的方程为：y=x,抛物线C的方程为y2=x.10、已知椭圆的左、右焦点分别是F1（c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足（）设为点P的横坐标，证明；（）求点T的轨迹C的方程；（）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使F1MF2的面积S=若存在，求F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由.（）证法一：设点P的坐标为由P在椭圆上，得由，所以 3分证法二：设点P的坐标为记则由证法三：设点P的坐标为椭圆的左准线方程为由椭圆第二定义得，即由，所以3分（）解法一：设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（，0）在轨迹上.当|时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点.在QF1F2中，所以有综上所述，点T的轨迹C的方程是7分解法二：设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（，0）在轨迹上.当|时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点. 设点Q的坐标为（），则因此 由得 将代入，可得综上所述，点T的轨迹C的方程是7分 （）解法一：C上存在点M（）使S=的充要条件是 由得，由得 所以，当时，存在点M，使S=；当时，不存在满足条件的点M.11分当时，由，得解法二：C上存在点M（）使S=的充要条件是 由得 上式代入得于是，当时，存在点M，使S=；当时，不存在满足条件的点M.11分当时，记，由知，所以14分11、设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.（1）求APB的重心G的轨迹方程；（2）证明PFA=PFB.解：（1）设切点A、B坐标分别为，切线AP的方程为： 切线BP的方程为：解得P点的坐标为：所以APB的重心G的坐标为 ，所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为： （2）方法1：因为由于P点在抛物线外，则同理有AFP=PFB.方法2：当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为：即所以P点到直线BF的距离为：所以d1=d2，即得AFP=PFB.当时，直线AF的方程：直线BF的方程：所以P点到直线AF的距离为：，同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d1=d2，可得到AFP=PFB.二、中点弦问题：12、已知椭圆，（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，求线段中点的轨迹方程分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法解：设弦两端点分别为，线段的中点，则得由题意知，则上式两端同除以，有，将代入得（1）将，代入，得，故所求直线方程为： 将代入椭圆方程得，符合题意，为所求（2）将代入得所求轨迹方程为： （椭圆内部分）（3）将代入得所求轨迹方程为： （椭圆内部分）（4）由得 ： ， ， 将平方并整理得， ， ， 将代入得： ， 再将代入式得： ， 即 此即为所求轨迹方程当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决13、椭圆C:的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上，且（）求椭圆C的方程；（）若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M，交椭圆C于两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程.解法一：()因为点P在椭圆C上，所以，a=3.在RtPF1F2中，故椭圆的半焦距c=,从而b2=a2c2=4,所以椭圆C的方程为1.()设A，B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）. 由圆的方程为（x+2）2+(y1)2=5,所以圆心M的坐标为（2，1）. 从而可设直线l的方程为 y=k(x+2)+1, 代入椭圆C的方程得 （4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k27=0. 因为A，B关于点M对称.所以 解得，所以直线l的方程为 即8x-9y+25=0. (经检验，符合题意)解法二：()同解法一.()已知圆的方程为（x+2）2+(y1)2=5,所以圆心M的坐标为（2，1）. 设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1x2且 -得因为A、B关于点M对称，所以x1+ x2=4, y1+ y2=2,代入得，即直线l的斜率为，所以直线l的方程为y1（x+2），即8x9y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.14、已知椭圆的一个焦点，对应的准线方程为.（1）求椭圆的方程；（2）直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被点 平分，求直线l 的方程.解：（1）由得即椭圆的方程为（2）易知直线l的斜率一定存在，设l：设M（x1, y1），N（x2, y2），由 得x1、x2为上述方程的两根，则 MN的中点为， ，解得k=3.代入中，直线l：y=3x+3符合要求.15、设分别是椭圆C：的左右焦点，(1)设椭圆C上的点到两点距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；(2)设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点B的轨迹方程；(3)设点P是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线PM ，PN的斜率都存在，并记为 试探究的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论.解：（1）由于点在椭圆上，2=4, 椭圆C的方程为 焦点坐标分别为（-1，0） ，（1，0）（2）设的中点为B（x, y）则点 把K的坐标代入椭圆中得线段的中点B的轨迹方程为（3）过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称 设，得=故：的值与点P的位置无关，同时与直线L无关16、已知椭圆的一个焦点为 ，对应的准线为，离心率满足成等比数列（）求椭圆的方程；（）是否存在直线，使与椭圆交于不同的两点，且线段恰好被直线平分？若存在，求出直线的倾斜角的取值范围；若不存在，说明理由解 ： ()由题意知，所以设椭圆上任意一点的坐标为，则由椭圆的第二定义得，化简得，故所求椭圆方程为 （）设，中点，依题意有，可得若直线存在，则点必在椭圆内，故，解得将代入椭圆方程，有得，故， 所以，则有，解得，故存在直线满足条件，其倾斜角三、定义与最值：17、已知F是椭圆的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点（1）求的最小值，并求点P的坐标；（2）求的最大值和最小值解:(1)由椭圆的第二定义转化知的最小值是，此时P；(2)依题意，由椭圆的第二定义知18、设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若P是该椭圆上的一个动点，（）求的最大值和最小值;（）求的最大值和最小值解：易知，所以设P（x, y），则因为，故当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值-2.当，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值1.19、若双曲线过点，其渐近线方程为.（I）求双曲线的方程;（II）已知，,在双曲线上求一点,使的值最小解：（）（II）,最小值为20、以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点应在何处？并求出此时的椭圆方程分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决解：如图所示，椭圆的焦点为，点关于直线的对称点的坐标为（9，6），直线的方程为解方程组得交点的坐标为（5，4）此时最小所求椭圆的长轴：，又，因此，所求椭圆的方程为21、已知动点P与双曲线=1的两个焦点F1、F2的距离之和为6（）求动点P的轨迹C的方程；（）若=3，求PF1F2的面积；（）若已知D(0,3)，M、N在轨迹C上且=l，求实数l的取值范围解：+=1；2；,522、 、是椭圆的左、右焦点，是椭圆的右准线，点，过点的直线交椭圆于、两点.（1）当时，求的面积；（2）当时，求的大小；（3）求的最大值解：（1）（2）因，则（3）设 ，当时，23、已知定点、，动点满足：.（1）求动点的轨迹方程，并说明方程表示的图形；（2）当时，求的最大值和最小值解：(1)设动点的坐标为，则，.，即 .若，则方程为，表示过点且平行于轴的直线.若，则方程为，表示以为圆心，以为半径的圆.(2)当时，方程化为.又， 令，则当时，的最大值为，当时，最小值为.24、点A、B分别是以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆C长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆C上，且位于x轴上方， （1）求椭圆C的的方程；（2）求点P的坐标；（3）设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到M的距离d的最小值解（1）已知双曲线实半轴a1=4，虚半轴b1=2，半焦距c1=，椭圆的长半轴a2=c1=6，椭圆的半焦距c2=a1=4，椭圆的短半轴=，所求的椭圆方程为 （2）由已知,，设点P的坐标为，则由已知得 则，解之得， 由于y0，所以只能取，于是，所以点P的坐标为9分（3）直线，设点M是，则点M到直线AP的距离是，于是， 又点M在椭圆的长轴上，即 当时，椭圆上的点到的距离 又 当时，d取最小值 25、已知在平面直角坐标系中，向量，且 .（I）设的取值范围；（II）设以原点O为中心，对称轴在坐标轴上，以F为右焦点的椭圆经过点M，且取最小值时，求椭圆的方程.解：（1）由，得3分 夹角的取值范围是（）6分（2） 8分10分当且仅当或 12分椭圆长轴或故所求椭圆方程为.或 14分26、已知点，一动圆过点且与圆内切（）求动圆圆心的轨迹的方程；（）设点，点为曲线上任一点，求点到点距离的最大值；（）在的条件下，设的面积为（是坐标原点，是曲线上横坐标为的点），以为边长的正方形的面积为若正数满足，问是否存在最小值，若存在，请求出此最小值，若不存在，请说明理由解（）设动圆圆心为，半径为，已知圆圆心为，由题意知，于是，所以点的轨迹是以、为焦点，长轴长为的椭圆，其方程为（）设，则，令，所以，当，即时在上是减函数，；当，即时，在上是增函数，在上是减函数，则；当，即时，在上是增函数，所以， （）当时,于是,（12分）若正数满足条件，则，即，令，设，则，于是，所以，当，即时，即，所以，存在最小值27、已知点M（-2，0），N（2，0），动点P满足条件|PM|-|PN|=2. 记动点P的轨迹为W.（1）求W的方程；（2）若A、B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值（1）由|PM|-|PN|=2知动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，实半轴长a=. 又半焦距c=2，故虚半轴长b= 所以W的方程为，x.（2）设A、B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）.当ABx轴时，x1=x2，y1=y2，从而=x1x2+y1y2=当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m，与W的方程联立，消去y得（1-k2）x2-2kmx-m2-2=0，故x1+x2=，x1x2=，所以=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=又因为x1x20，所以k2-10，从而2.综上，当ABx轴时，取得最小值2.28、一束光线从点出发，经直线上一点反射后，恰好穿过点（）求点关于直线的对称点的坐标；（）求以、为焦点且过点的椭圆的方程；（）设直线与椭圆的两条准线分别交于、两点，点为线段上的动点，求点 到的距离与到椭圆右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点的坐标解：（）设的坐标为，则且2分解得， 因此，点 的坐标为 4分（），根据椭圆定义，得，5分，所求椭圆方程为 7分（），椭圆的准线方程为 8分设点的坐标为,表示点到的距离，表示点到椭圆的右准线的距离则， 10分令，则在时取得最小值 13分因此，最小值，此时点的坐标为14分注：的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得29、设F是椭圆的左焦点，直线l为其左准线，直线l与x轴交于点P，线段MN为椭圆的长轴，已知：（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过点P的直线与椭圆相交于不同两点A、B求证：AFM=BFN；（3）求三角形ABF面积的最大值解（1）（文6分，理4分）（2）当AB的斜率为0时，显然满足题意当AB的斜率不为0时，设，AB方程为代入椭圆方程整理得则综上可知：恒有.（9分）（3）当且仅当（此时适合0的条件）取得等号.三角形ABF面积的最大值是（13分）四、弦长及面积：30、已知双曲线的方程为，设F1、F2分别是其左、右焦点(1)若斜率为1且过F1 的直线交双曲线于A、B两点，求线段AB的长；(2)若P是该双曲线左支上的一点，且，求的面积S解：（1）AB：，代入并整理得设则（2）设，则2在中，由余弦定理有31、已知椭圆及直线（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程解：（1）把直线方程代入椭圆方程得 ，即，解得（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，由（1）得，根据弦长公式得 ：解得方程为32、已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长分析：可以利用弦长公式求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解因为，所以因为焦点在轴上，所以椭圆方程为，左焦点，从而直线方程为由直线方程与椭圆方程联立得：设，为方程两根，所以， 从而(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解由题意可知椭圆方程为，设，则，在中，即；所以同理在中，用余弦定理得，所以(法3)利用焦半径求解先根据直线与椭圆联立的方程求出方程的两根，它们分别是，的横坐标再根据焦半径，从而求出33、设双曲线方程的半焦距为，直线过两点，已知原点到直线的距离为（1）求双曲线的离心率；（2）经过该双曲线的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的弦长为15，求双曲线的方程解：（1） 2分 直线的方程为，即，由原点到直线的距离为得 ，即，4分两边同时除以得，整理得，解得5分 又，故双曲线的离心率为 6分（2）由（1）知道即，所以设双曲线的方程为 又由题意得直线方程为，代入双曲线方程得 7分，整理得8分记直线与双曲线的交点为，则有 9分11分所求双曲线方程为12分34、已知的顶点在椭圆上，在直线上，且（）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；（）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程解：（）因为，且边通过点，所以所在直线的方程为设两点坐标分别为由得所以又因为边上的高等于原点到直线的距离所以，（）设所在直线的方程为，由得因为在椭圆上，所以设两点坐标分别为，则，所以又因为的长等于点到直线的距离，即所以当时，边最长，（这时）此时所在直线的方程为PDCBMNAxyO35、梯形ABCD的底边AB在y轴上，原点O为AB的中点，M为CD的中点.（）求点M的轨迹方程；（）过M作AB的垂线，垂足为N，若存在正常数，使，且P点到A、B 的距离和为定值，求点P的轨迹E的方程；（）过的直线与轨迹E交于P、Q两点，求面积的最大值解：（）设点M的坐标为M(x, y)(x0)，则 又由ACBD有，即，x2+y2=1（x0）. （4分）（）设P（x, y），则，代入M的轨迹方程有即，P的轨迹为椭圆（除去长轴的两个端点）.要P到A、B的距离之和为定值，则以A、B为焦点，故. 从而所求P的轨迹方程为9x2+y2=1(x0). 9分（）易知l的斜率存在，设方程为 联立9x2+y2=1，有 设P(x1, y1), Q(x2, y2)，则令，则且，所以当，即也即时，面积取最大值，最大值为 14分五、范围问题:36、直线yax1与双曲线3x2y21相交于A、B两点(1) 当a为何值时，A、B两点在双曲线的同一支上？当a为何值时，A、B两点分别在双曲线的两支上？(2) 当a为何值时，以AB为直径的圆过原点？解： 消去y(1) 联立 (3a2)x22ax20 显然a23，否则方程只有一解，于是直线与双曲线至多一个交点若交点A、B在双曲线同支上，则方程满足：a(，)(，)若A、B分别在双曲线的两支上，则有：a(，)(2) 若以AB为直径的圆过点O，则OAOB，设A(x1，y1)，B(x2，y2)由于x1x2，x1x2y1y2(ax11)(ax21)a(x1x2)a2x1x21a2a11OAOB x1x2y1y20 1a1此时0，符合要求37、已知圆C：（x-1）2+y2=r2 （r1），设M为圆C与x轴负半轴的交点，过M作圆C的弦MN，并使它的中点P恰好落在y轴上（1）当r=2时，求满足条件的P点的坐标；（2）当r（1，+）时，求点N的轨迹G的方程；（3）过点P（0，2）的直线l与（2）中轨迹G相交于两个不同的点E、F，若0，求直线l的斜率的取值范围解：(1)由已知得，r=2时，可求得M点的坐标为M（-1，0）. 设P（0，b），则由kCPkMP=-1（或用勾股定理）得：b2=1. b=1即点P坐标为（0，1）.（2）设N坐标为（x，y），由已知得，在圆方程中令y=0，求得M点的坐标为（1-r，0）. 设P（0，b），则由kCPkMP=-1（或用勾股定理）得：r=b2+1. 点P为线段MN的中点，x=r-1=b2，y=2b，又r1.点N的轨迹方程为y2=4x（x0）. （3）由题意知直线l的斜率存在且不等于0. 设直线l的方程为y=kx+2，E（x1，y1），F（x2，y2）， x10， x20. 由， 得k2x2+（4k-4）x+4=0，由=-32k+160，得k0，x1x2=0，得k0，（x1-1）（x2-1）+y1y20. （k2+1） x1x2+（2k-1）（x1+x2）+50.得k2+12k0. k0或k-12. 0k或k0,将b=2p-1代入得:4p2-8p(2p-1)0,3p2-2p0.解得：0p0），则=（3，a），=（b，-a），又=0，a2=3b ，又=（x-b，y），=（b，-a），=2， ，由得y2=4x（x0）. 即M的轨迹的方程为y2=4x，x0.（2）设=（x1，y1），=（x2，y2），=（x1-1，y1），=（x2-1，y2），=|cosBDC，BDC为钝角，cosBDC=，0，x1x2-（x1+x2）+1+y1y20 .由 消去y，得k2x2+（2k2-4）x+k2=0（k0），则x1+x2=，x1x2=1 ，y1y2=k2（x1+1）（x2+1）= k2x1x2+（x1+x2）+1 ，代入，得k2k0. k0y2）.则y1y2=-4.因为，所以x1x2= 故x1x2+y1y2=-3. （2）因为所以（1-x1，-y1）=（x2-1，y2）.即，又 ， 由、消去y1，y2后，得x1=2x2，将其代入注意到0，解得x2=. 从而可得y2=，y1=.故三角形OAB的面积S =|OF|y1-y2|=，因为2恒成立. 所以只要解即可，解得.43、已知动圆过定点P（1，0），且与定直线相切，点C在l上. （1）求动圆圆心的轨迹M的方程；（2）设过点P，且斜率为的直线与曲线M相交于A，B两点.（i）问：ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；（ii）当ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.讲解 本例主要考查直线、圆与抛物线的基本概念及位置关系，是解析几何中的存在性问题.（1）由曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，知曲线M的方程为.（2）（i）由题意得，直线AB的方程为 消y得于是, A点和B点的坐标分别为A，B（3，），(3，)假设存在点C（1，y），使ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即有 由得因为不符合，所以由，组成的方程组无解.故知直线l上不存在点C，使得ABC是正三角形.（ii）设C（1，y）使ABC成钝角三角形，由即当点C的坐标是（1，）时，三点A，B，C共线，故. ， ， . (i) 当，即， 即为钝角. (ii) 当，即， 即为钝角.(iii)当，即， 即. 该不等式无解，所以ACB不可能为钝角.故当ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是.44、在RtABC中，CBA=90，AB=2，AC=。DOAB于O点，OA=OB，DO=2，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持| PA |+| PB |的值不变.（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；（2）过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间，设， 试确定实数的取值范围讲解: （1）建立平面直角坐标系, 如图所示 . | PA |+| PB |=| CA |+| CB | y C =A O B动点P的轨迹是椭圆 . 曲线E的方程是 . （2）设直线L的方程为 , 代入曲线E的方程，得 设M1（, 则 i) L与y轴重合时， ii) L与y轴不重合时， 由得 又, 或 01 , . 而 , ,的取值范围是 .45、已知平面上一定点和一定直线为该平面上一动点，作垂足为，.(1) 问点在什么曲线上？并求出该曲线方程；（2）点是坐标原点，两点在点的轨迹上，若求的取值范围解:(1)由,得: ,（2分）设,则,化简得: ,（4分）点P在椭圆上,其方程为.（6分）(2)设、，由得：，所以，、B 、C三点共线.且,得:,即: （8分）因为,所以 （9分）又因为,所以 （10分）由-得: ,化简得: ,（12分）因为,所以.解得: 所以的取值范围为. （1分）六、定值、定点、定直线46、过y2=x上一点A（4，2）作倾斜角互补的两条直线AB、AC交抛物线于B、C两点.求证：直线BC的斜率是定值.分析：（1）点A为定点，点B、C为动点，因直线AB、AC的倾斜角互补，所以kAB与kAC相反，故可用“k参数”法，设AB的斜率为k，写出直线AB的方程，将AB的方程与抛物线方程联立，因A为已知交点，则方程有一根已知故用韦达定理容易解出点B坐标，同理可得点C坐标，再求BC斜率。（2）因点B、C在抛物线上移动，也可用“点参数”法，设B（x1,y1）,C(x2,y2),因x1=y12,x2=y22,即可设B（y12,y1）,C(y22,y2)。再考虑kAB=-kAC得参数y1,y2的关系。解法1：设AB的斜率为k，则AC的斜率为-k AB：y-2=k(x-4),与y2=x联立得： y-2=k(y2-4),即ky2-y-4k+2=0 y=2是此方程的一解，2yB= xB=yB2=B kAC=-k,以-k代替k代入B点坐标得C kBC=为定值解法2：设B（y12,y1）,C(y22,y2)，则kBC= kAB= 由题意，kAB=-kAC 则kBC=为定值。点评：解法1运算量较大，但其方法是一种基本方法，因k的变化而造成了一系列的变化，最终求出BC的斜率为定值；解法2利用点B，C在抛物线上设点，形成含两个参数y1,y2的问题，用整体思想解题，运算量较小。47、已知A，B分别是直线yx和yx上的两个动点，线段AB的长为2，D是AB的中点（1）求动点D的轨迹C的方程；（2）若过点(1,0)的直线l与曲线C交于不同两点P、Q， 当|PQ|3时，求直线l的方程； 设点E (m，0)是x轴上一点，求当恒为定值时E点的坐标及定值解：(1)设D(x，y)，A(a，a)，B(b，b), D是AB的中点， x，y， |AB|2，(ab)2(ab)212，(2y)2(2x)212点D的轨迹C的方程为x2y23.(2) 当直线l与x轴垂直时，P(1，)，Q(1，)，此时|PQ|2，不符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk(x1)，由于|PQ|3，所以圆心C到直线l的距离为，由，解得k.故直线l的方程为y(x1).当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为yk(x1)，由消去y得(k21)x22k2xk230， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)则由韦达定理得x1x2，x1x2，则(mx1，y1)，(mx2，y2)，(mx1)(mx2)y1y2m2m(x1x2)x1x2y1y2m2m(x1x2)x1x2k2(x11)(x21)m2k2 (1)要使上式为定值须1，解得m1，为定值2，当直线l的斜率不存在时P(1，)，Q(1，)，由E(1，0)可得(0，)，(0，)，2，综上所述当E(1，0)时，为定值2.48、垂直于x轴的直线交双曲线于M、N不同两点，A1、A2分别为双曲线的左顶点和右顶点，设直线A1M与A2N交于点P（x0，y0）（）证明：（）过P作斜率为的直线l，原点到直线l的距离为d，求d的最小值.解（）证明：直线A2N的方程为 4分，得（）10分当12分49、如图，在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线相交于A、B两点.（1）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求面积的最小值；（2）是否存在垂直y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由解法一：（1）依题意，点N的坐标为N（0，-p），可设A（x1, y1），B（x2, y2），直线AB的方程为，与x2=2py联立得 消去y得 由韦达定理得于是当k=0时，NOACByxl（2）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a, AC的中点为，l与以AC为直径的圆相交于点P、Q，PQ的中点为H，则点的坐标为 令，得，此时|PQ|=p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线.解法二：（1）前同解法一，再由弦长公式得又由点到直线的距离公式得，从而，（2）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a，则以AC为直径的圆的方程为，将直线方程y=a代入得则设直线l与以AC为直径的圆的交点为P（x3, y3），Q（x4, y4），则有令，此时|PQ|=p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线.50、已知双曲线的离心率为，右准线方程为（）求双曲线的方程；（）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值.【解法1】本题主