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摘要 光子晶体光纤的传输特性研究 摘要 光予晶体光纤以其自身的一系列独特的性质引起了国内外广泛的关注和研究。从理论 上设计光子晶体光纤结构并研究其性质，对其实验室制备和应用研究具有重要的指导作 用。但光子晶体光纤结构的复杂性使得人们很难对其特性作简单的解析分析，只能通过数 值方法对其进行模拟分析。本文利用m a t l a b 语言编程实现了用于分析光子晶体光纤光子 带隙以及模场分布的三种数值模拟方法，并且利用编写的程序分析了两种不同类型光子晶 体光纤的色散、偏振等传输特性。论文的主要工作内容包括： 1 ) 应用平面波方法，结合无限边界周期问题的布洛赫边界条件、倒格空间和第一布 里渊区理论，进行了二维正方晶格和二维三角品格光子晶体光波自面内和面外入射时的光 予带隙分析。分析结果表明三角形晶格结构对光波具有更好的限制作用。 2 ) 采用频域有限差分方法，基于布洛赫周期性边界条件实现了二维正方晶格光子晶 体的光子带隙计算，比较了频域有限差分方法和平面波方法的光子带隙分析，结果表明平 面波方法分析光子带隙计算速度更快，精度更高。同时基于频域有限差分方法完成了不同 结构光子晶体光纤的模场分布及有效折射率分析，计算结果与有限元软件f e r a l a b 计算结 果的一致性表明频域有限差分方法对光纤模式的分析是准确的并且使用频域有限差分方 法计算光纤模式特性是可行的。 3 ) 采用时域有限差分法，结合吸收边界条件和总场散射场边界条件，针对点源 和线源两种不同的激励源设置，实现了不同光子晶体结构中的辐射场和散射场的模拟。同 时，对点源在零边界条件和吸收边界条件下的辐射场进行了比较，并对光在二维光子晶体 缺陷波导中的传输特性进行了分析，结果表明，一定结构的二维光子晶体可以将光波很好 地限制在其缺陷波导中传输。 4 ) 在编程实现三种数值模拟方法的基础上，利用平面波方法和频域有限差分方法对 两类典型光子晶体光纤一一光子带隙型和全内反射型光子晶体光纤的相关传输特性进行 了模拟分析。在用平面波方法分析薄壁六角形光子晶体光纤带隙结构的基础上，使用频域 有限差分方法分析了空气纤芯中的模式场分布及相应的有效折射率，并基于模拟结果和实 验结果综合讨论了光纤的传输损耗。同时用频域有限差分方法分析了传统全内反射光子晶 体光纤的模式场分布及色散特性，并研究了椭圆芯全内反射光子晶体光纤的双折射特性。 最后基于p c f 倏逝波气体传感理论，提出一种更适合于做气体传感的新p c f 结构。 关键词：光子晶体光纤，光子带隙，平面波，频域有限差分，时域有限差分 西北t 业大学研究生创业种子菇金资助项日( z 2 0 0 5 7 4 ) 摘要 s t u d yo nt h et r a n s m i s s i o np r o p e r t i e so fo p t i c a lw a v e s i np h o t o n i cc r y s t a lf i b e r s a b s t r a c t a san e wk i n do fd e v e l o p e df i b e r sw i t hm a n yp a r t i c u l a ra n du s e f u lc h a r a c t e r i s t i c s ，t h e p h o t o n i cc r y s t a lf i b e r s ( p c f s ) h a v er e c e n t l ya t t r a c t e dag r e a td e a lo fi n t e r e s tb o t hi nt h e o r ya n d e x p e r i m e n t s s i n c et h ee x p e r i m e n t a ld e m o n s t r a t i o no ft h ef i r s tp c f s ，m a n ym o d e l i n gt e c h n i q u e s h a v eb e e na p p l i e dt od e s c r i b et h e i rc h a r a c t e r i s t i c s t h r e ek i n d so fm o d e l i n gt e c h n i q u e sa r e i m p l e m e n t e db yu s i n gm a t l a bi nt h i sd i s s e r t a t i o n b a s e do nt h ep r o g r a m s o m et r a n s m i s s i o n p r o p e r t i e so f t h et w ok i n d so f p c f sa r ed i s c u s s e d t h em a i nc o n t e n t sa r e ： ( 1 ) b a s e du p o nt h eb l o c kt h e o r yi nt h ep e r i o d i cd i e l e c t r i c ，t h er e c i p r o c a li a t t i c ea n dt h ef i r s t b r i l l o u i nz o n e ，t h ep l a n e w a v em e t h o d ( p w m ) i si m p l e m e n t e dw i t hm a t l a b ，w h i c hi su s e dt o a n a l y z et h eb a n dg a pm a po ft h et w od i m e n s i o n a ls q u a r el a t t i c ea n dt w od i m e n s i o n a lt r i a n g u l a r l a t t i c e t h es p e e da n dt h ep r e c i s i o no ft h i sm e t h o da r ed i s c u s s e d ，a n dt h ee x p e r i e n t i a ln u m b e ro f t h eg r i d sa l o n ge a c hd i r e c t i o ni sg i v e n ( 2 ) t h e f u l l v e c t o r i a lf i n i t ed i f f e r e n c ef r e q u e n c yd o m a i n ( f d f d ) m e t h o di su s e dt oa n a l y z e t h ep h o t o n i cb a n d g a p sa n dt h em o d ef i e l d so fp h o t o n i cc r y s t a lf i b e r s ( p c f s ) w i t hd i f f e r e n t s t r u c t u r e s t h ec o m p a r i s o nb e t w e e nt h ep w ma n dt h ef d f dr e v e a l st h a tt h ep w mi sb e t t e ri n d e a l i n gw i t ht h ep h o t o n i cb a n dg a pp r o b l e m s t h ec o n f o r m a b i l i t yb e t w e e nt h em o d ef i e l d s c a l c u l a t e db yt h ef d f dm e t h o da n dt h ef i n i t ee l e m e n ts o f t w a r e - - f e m l a bs h o w st h a tt h ef d f d m e t h o di sf e a s i b l et os o l v et h em o d ef i e l d sp r o b l e m s ( 3 ) t h ef i n i t ed i f f e r e n c et i m ed o m a i n ( f d t d ) m e t h o d ，t o g e t h e rw i t hp e r f e c tm a t c h e dl a y e r ( p m l ) b o u n d a r yc o n d i t i o n s ，i su s e dt oa n a l y z et h ep h o t o n i cc r y s t a l su s i n gt w ok i n d so f e x c i t a t i o ns o u r c e s ( p o i n ts o u r c ea n df i l a m e n ts o u r c e ) t o t a l f i e l d s s c a t t e r e d f i e l d ss c h e m ea r e a l s om e n t i o n e d t h er a d i a t i o nf i e l d sa n ds c a t t e r i n gf i e l d si ns e v e r a ld i f i e r e n tp h o t o n i cc r y s t a l s a r eg a i n e d i na d d i t i o n ，t h er a d i a t i o nf i e l d so fp o i n ts o u r c eu n d e rz e r ob o u n d a r yc o n d i t i o na n d p e r i o db o u n d a r yc o n d i t i o na r ec o n t r a s t e dt ot e s tt h ep m l ( 4 ) b a s i n go nt h ep r o g r a mo f t h ep w m a n dt h ef d f d ，t w ok i n d so f p h o t o n i cc r y s t a lf i b e r s ： t h ep h o t o n i cb a n dg a pp c f ( p b g - p c f ) a n dt h et o t a li n t e m a ir e f l e c t i o np c f ( t i r p c f ) a r e a n a l y z e d f o rt h ep b g p c f , t h eb a n dg a pm a pa n dt h em o d ef i e l d sa r ec a l c u l a t e d ，a n dt h e p r o p a g a t i o nl o s s i sd i s c u s s e d t h e d i s p e r s i o na n dt h ep o l a r i z a t i o np r o p e r t i e so ft h et y p i c a l t i r p c fa n dt h ee l l i p s ec o r ep o l a r i z a t i o nm a i n t a i n i n gf i b e r sa r ed i s c u s s e d a tl a s t an e w s t r u c t u r e dt i r p c fi sp r e s e n t e df o rh i g h e rr e l a t i v es e n s i t i v i t yo ft h ee v a n e s c e n tg a ss e n s o r k e y w o r d s ：p h o t o n i cc r y s t a lf i b e r , p h o t o n i cb a n dg a p ，p l a n ew a v e ，f i n i t ed i f f e r e n c ef r e q u e n c y d o m a i n ( f d f d ) ，f i n i t ed i f f e r e n c et i m ed o m a i n ( f d f d ) s u p p o r t e db y t h e g r a d u a t es t a r t i n gs e e df u n do f n p u ( z 2 0 0 5 7 4 ) i i 西北工业人学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1p c f 概述 1 1 1p c f 概念 光子晶体光纤( p h o t o n i cc r y s t a lf i b e r ；p c f ) 的概念最早由s t j r u s s e l l 等人于1 9 9 2 年提出【i 】。与传统光纤相比，p c f 的包层由未掺杂的s i 0 2 和周期性排列于其中的沿轴向 均匀的空气孔构成，可以看作是二维光子晶体。p c f 的芯层可以由高折射率材料( 如 s i 0 2 ) 或低折射率材料( 如空气) 构成。根据不同的导光机制，p c f 可分为两种不同的 类型 2 1 ：1 ) 光子带隙型光子晶体光纤( p h o t o n i cb a n d g a pp h o t o n i cc r y s t a lf i b e r , p b g f c f ) ，在此种光纤中，周期性的包层结构所具有的光子禁带效应，将光束限制在 纤芯区域传播：2 ) 全内反射型光子晶体光纤( t o t a li n t e r n a lr e f l e c t i o np h o t o n i cc r y s t a l f i b e r , t i r p c f ) ，此种光纤由高折射率纤芯和二维光子晶体结构包层构成，包层一般与 纤芯是同种材料，但纤芯折射率比包层的有效折射率高，导光方式与传统光纤的全内反 射原理类似，并不依赖于光子带隙效应【2 j 。最初的p c f 主要基于第一种类型，这种光纤 要求空气孔较大，而且需要具有周期性较好的气孔排列，而第二种结构对于空气孔大小 与排列的周期性没有很严格的限制。值得注意的是，当包层选择合适的晶格结构，目包 层中的空气孔较大，纤芯选择高折射率介质时，可以认为p b g 导光和t i r 导光共存于 p c f 中。 1 1 2p c f 的特性及应用 自p c f 的概念被提出以来，其特殊的导光机制和模式性质使之得到了越来越多的关 注和研究。p c f 包层中空气j l 的特殊排列结构使其呈现出许多在传统光纤中难以实现的 特性。 1 ) 无截止波长单模传输特性f 3 】：对p c f 而言，可以通过对结构参数的调整，使得 单模的截至波长较传统光纤短很多，可以在近紫外到近红外全波段维持单模运转，目前 p c f 可以做到在5 0 0 1 6 0 0 n m 范围内保持单模运转，这就为波分复用增加信道数提供了 充足的资源，同时对于作为光纤传感器件的p c f ，较大的单模波长范围扩大了检测范围。 2 ) 极低的损耗、色散和非线性5 l ：p b g p c f 可以做成空心结构，即纤芯可以是 空气，而不是二氧化硅，这样传统光纤中限制传输损耗极限的介质材料本身对光波的吸 收、散射、色散和非线性等效应将不存在，理论上极低的损耗、色散和非线性效应使得 这种光纤将会在光纤通信损耗极限的突破中发挥重要的作用。 3 ) 在p c f 中，不仅零色散点灵活可调，而且通过适当设计空气孔的参数，还可以 在极宽的波段内具有中心波长可移的平坦色散，从而p c f 将能在超短脉冲光学、超大容 量光通信和全光网的实现及优化方面产生巨大突破。 i 西北工业大学顾e 学位论文 4 ) 在全内反射型p c f 中，光场可以被高度限制在硅介质纤芯中的一小块区域内， 从而可以极大地提高光学非线性效应。研究表明，增大包层的空气填充率可以增加光纤 芯层的折射率和包层的有效折射率之差，从而能够控制光场局部集中的程度。不仅是自 相位调制( s p m ) ，诸如互相位调制( x p m ) 、受激拉曼教射( s r s ) 、受激布里渊散射 ( s b s ) 以及四波混频( f w m ) 等等都可能发生。因而当低功率飞秒激光脉冲在芯中传 播时，在很短的距离内就能实现脉冲展宽，产生超连续谱。目前实验中已经可以实现超 过一个倍频程甚至两个倍频程的非常平坦的超连续光谱。r a n k a 等人用能量小于l n j 、 脉宽1 0 0 f s 、中心波长在7 9 0m 的超短脉冲在7 5 c m 长的微结构光纤( 其中零色散波长 为7 6 7n m ) 中产生两个倍频程的超连续光谱( 6 j o 这为产生脉宽只有几个光学周期的超短 脉冲和光学高次谐波提供了新的方法。 5 ) 弯曲损耗：与传统光纤不同的是，p c f 不仅在长波方向上存在弯曲损耗边，同 时在短波长上也存在弯曲损耗边。在p c f 中，当波长超过长波弯曲损耗边时，光纤会因 为模场大量扩散到低折射率区而产生强烈的损耗。在传统光纤中，短波长方向的限制由 截止波长给出，波长低于这一限制时，光纤会变成多模的，而在具有无截i e 单模特件的 p c f 中，单模在短波长方向的限制被二阶弯曲损耗边所取代，当波长低于短波弯曲损耗 边时，光场会因为芯，包折射率差的消失而经受强烈的损耗1 7 i 。 6 ) 双折射效应：保偏光纤在长距离通信、传感以及特定激光器的系统设计等方面 有着重要f f 勺应用，但传统的双折射光纤受应力影响很大。而对于微结构光纤，只需破坏 p c f 截面的圆对称性使其成为二维对称结构即可形成很强的双折射( 比如，减少一些空 气孔或改变空气孔的尺寸) ，并且双折射比起现在常用的熊猫型保偏光 i 能够高出几个 数量级【8 l 。同时波长越长，双折射效应越强。即使弯曲和形变，也能很好地保证传输光 束的偏振态。 7 1 有源特性：p c f 具有的大模场面积特性、无截止单模传输特性以及零色散波长 可调特性等，为在1 3 p m 以下波段实现高功率、高光束质量输出的单模光纤激光器的研 究提供了有效载体。其工作波段和可以达到的高功率水平，特别是其极高的光一光转化 效率是普通有源单模光纤所无法比拟的。目前研究者主要利用了在芯层中掺杂y b 元素 和e r 元素的双包层p c f 作为谐振腔，实现了基于p c f 的赢功率的激光器的研制1 9 i 。 p c f 的这些特性突破了传统光纤光学的局限，拓展了光纤的应用范围，在超怏激光 光学、光通信、微光电子学及强场物理学等领域开辟了新的研究方向。 1 1 3p c f 的研究进展 自? c f 被提出以来，基于其特性的应用实验研究已经取得了很大进展0 1 。 1 9 9 6 年，英国南安普顿大学光电研究中心和丹麦技术大学电磁系首先报道了成功制 备 p r p c f 【l “。莫斯科大学a m z h e l t i k o v 等人也进行了包层具有周期分布空气孔的多孔 光纤的研制。研究发现，改变多孔光纤包层的几何结构，可有效地增强光纤中非线性效 2 两北工业大学硕上学位论文 应。这种方法可应用于脉冲压缩、光孤子的形成和受激拉曼散射的增强。 2 0 0 1 年，英国b a t h 大学w a d s w o r t h 等人实现了双包层光子晶体光纤结构f i ”。双包层 光子晶体光纤掺杂离子为y b 3 + 离子，纤芯直径1 5 2 9 m ，数值孔径0 1 1 ，内包层直径 1 5 0 肛m ，数值孔径0 8 ，利用2 0 w 光纤耦合二极管阵列泵浦该光纤，光纤长度为1 7 m ，获 得了3 9 w 功率输出，斜效率2 1 。实验中发现双包层光子晶体光纤存在随机散射中心， 说明纤芯中存在着缺陷，有待进一步完善光子晶体光纤的结构。 2 0 0 2 年，日本n o r i h i k o 等人以锁模掺e r 3 + 光纤激光器为泵浦源，结合周期极化 l i n b 0 3 ，泵浦长6 0 c m 的高非线性p c f ，得到波长调谐范围为0 7 8 0 9 0 p m 的孤子脉冲， 脉宽为5 5 f s ，所用p c f 芯径为1 7 9 m ，零色散波长大约在06 9 9 m 处1 1 3 l 。 2 0 0 3 年1 月，w a d s w o g h 等人报导了利用大模面积空气包层p c f 研制的高功率p c f 激 光器，其结构为双程后向线性腔结构，最大输出功率3 9 w ，斜率效率3 0 ，实现单横 模运转。所采用的p c f 纤芯直径为1 5 9 m ，内包层数值7 l 径大于0 8 。为了使包层中的泵 浦光最大限度的耦合到纤芯中，提高纤芯对泵浦光的吸收，p c f 的掺杂纤芯采用了偏芯 设计1 4 1 。 2 0 0 4 年初，b l a z e 发布了一款新型p c f ，该光纤是针对n d 3 + 微芯片激光器特别优化 设计的，可产生超连续光谱，这种光谱可在单模光纤中产生个宽带输出，光谱亮度超 过太阳1 0 0 0 0 倍。b l a z e 表示利用微芯片激光器和p c f 可获得高性能光源，将会取代l a m p 和超高亮度l e d 等传统的宽带光源。 2 0 0 5 年，英国b a t h 大学a o r t i g o s a 和b l a n c h 等人用2 0 0 f i 的泵浦脉冲在p c f 中产生了超 连续谱，f 1 本电报电话公司t y a m a m o t o 等人用波长1 5 6 2 n m 、脉宽2 2 p s 、重复频率4 0 g h z 的光脉冲注入到2 0 0 m 长的色散平坦保偏p c f 中，在1 5 5 0 n m 区域产生了超过4 0 n m 的均匀 超连续谱，而美国r o c h e s t e r 大学z m z h u 等人利用丹麦c r y s t a lf i b e r a 公司低双折射、高 非线性p c f 获得6 0 0 l0 0 0 n m 的超连续谱p s i 。 1 2 p c f 的数值模拟方法现状 在理论上设计光子晶体结构并研究其性质，对光子晶体的实验室制备和其应用研究 具有重要的指导作用。光子晶体结构的复杂性也使得人们很难对其作简单的解析分析， 只能应用数值模拟。目前计算光子晶体的理论方法主要有平面波展开法，边界元方法、 有限元方法、有限差分方法、传输矩阵法等。 1 2 1 平面波法 平面波法( p l a n ew a v em e t h o d ，p w m ) 提出最早、应用最广。其主要思路是将周期性 相对介电常数s 和电磁场在倒格矢空问做傅里叶( f o u r i e r ) 展开，平面波法显著的优点 是可以分辨简并模，但是平面波方法存在收敛慢的缺点1 1 6 1 。 3 西北t 业大学硕十学位论义 1 2 2 有限元方法 有限元方法( f i n i t e e l e m e n t m e t h o d ) 通过对波动方程使用有限元的分析，从而形成 特征值方程i j 。这种方法非常精确，同时也广泛适用。但是因为p c f 中的横向分布不 可避免的要被离散为很多小块，所以大量的未知量是不可避免的。有限元方法适用于不 同形状、不同尺寸、不同排布p c f 的分析。全矢量有限元方法，是解决p c f 最为权威 的种方法，可以解决p c f 中的绝大多数的问题。 1 2 3 有限差分法 有限差分法( f i n i t ed i f f e r e n c e ，f d ) 是最早用来进行电磁场数值计算的方法。其基 本思想是用有限个离散点构成的网格代替连续区域，这些离散点称作网格的节点。用在 网格上定义的离散变量函数近似表示连续变量的函数，同时用差商近似表示原方程和定 解条件中的微商，则原微分方程和定解条件就可用代数方程组，即有限差分方程组，近 似表示。解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。有限差分法包括时域有限 差分和频域有限差分。 频域有限差分法( f i n i t ed i f i e r e n c ef r e q u e n c yd o m a i n ，f d f d ) 利用有限差分原理， 将麦克斯韦方程组化成矩阵形式的特征方程，通过对特征方程的求解可以分析不同结构 下电磁波的传输特性1 8 1 胛9 1 。f d f d 方法对不规则、非均匀的散射问题有着广泛的适用性。 用f d f d 法可快速得到整个剖分域中的场值，而不必人为细分总场值，简单易行。且因 为其生成的矩阵多为稀疏矩阵( 即只有为数不多非零元素的矩阵) ，所以在求解时计算 量较少，极大地节省了计算机的内存资源。 时域有限差分( f i n i t ed i f f e r e n c et i m ed o m a i n ，f d t d ) 法作为一种主要的电磁场计 算方法，是通过将麦克斯韦旋度方程转化为有限差分式而直接在时域进行迭代求解的。 通过建立时间离散的差分方程，在相互交织的网格空间中交替计算电场和磁场【2 0 】。经过 三十多年的发展，这羊中方法已经广泛地应用到各种电磁问题的分析中。利用它可研究 p c f 中的各种问题，包括色散，模式和非线性等。 f d t d 方法精度较高，能得到电磁波的时域解，通过傅里叶变换可得到频域解。但 是f d t d 方法的计算需要大量的存储空间，且计算时间较长。与f d t d 方法相比，无论 是方程的差分还是边界条件的差分近似，f d f d 法都较简单、方便，同时在频域中不必 对时间作量化处理，可以减少迭代过程，计算效率较高。但是，随着离散节点数的增加， f d f d 法的计算时间会变得相当长，这一点极大地限制了该方法在分析实际问题中的应 用。 1 2 4 其它方法 除了上面提到的方法，还有一些其他的方法可以实现p c f 中的特性的数值模拟，例 如多极方法，边界元法跚，有效折射率法2 2 】等，在此就不多提及。 4 两北工业大学硕士学位论文 1 3 p c f 传感器的研究现状 基于上述性质，p c f 在传感和信号传输中的作用已得到证明，其中两个特殊的性质 为p c f 用作传感器奠定了基础，一是p c f 的空气孔中的非常少量的气体或液体可以与 光纤中传播的光波在很长的距离上进行相互作用，二是可以通过改变包括空气孔数量在 内的某些结构来提高设计的灵活性。 目前p c f 在传感领域的研究主要集中在以下几个方面【2 3 1 ： 1 ) 倏逝波探测器：利用待测物质与光纤中的光波场相互作用，使其中一部分频率 的光被吸收，最后通过检测输出光波中的频率来分析物质的特性。p c f 中较强的倏逝波 场以及待测物质与光波场较长的相互作用距离给这种探测器带来了很大的优越性。 2 ) 荧光生物传感：比起传统单模光纤，双包层p c f 有更好的双光子荧光效应，可 以实现更好的荧光生物传感。出于有两个包层，所以光波既可以在此p c f 的内芯中传输 也可以在其两个包层之间的部分传输。用来刺激载色体的光波在p c f 内芯中传输，生物 体发射的荧光信号被p c f 接收，在两个包层之间的部分传输，外包层空气7 l 的存在保证 了p c f 有一个很大的数值孔径，可以很好地接收生物的荧光信号。 3 ) 弯曲探测：多芯p c f 中，不同纤芯中传输的光的相位不同，利用相位的差值可 以精确地判断出弯曲特征，并且可以计算出弯曲的角度。 4 ) 非线性性质：特殊设计的p c f 可以具有很大的非线性效应，基于非线性效应， p c f 可以将一个窄脉冲输入转变为连续宽频谱输出，这种谱源可用于光学相干x 射线技 术，光谱学及计量学中。 5 ) 单模及大模面积：p c f 的这一性质使其适合于大功率激光传输，无非线性效应 的大功率激光传输的实现，将会大大提高光纤传感的灵敏度，实现一些原来无法实现的 传感测量。 6 ) 掺杂p c f ：在空气孔中充入聚合物作为掺杂成分( 或其它掺杂成分：如高折射 率液体) ，依靠掺杂成分受不同环境因素影响的变化，对环境中的各种参量进行测量。 如在光纤的空气孔中充入对温度敏感的聚合物，则光纤包层的有效折射率随温度变化而 变化，通过分析出射光波，可以较为精确地计算出温度的变化。 7 ) 原予导：在临近的空气孔中放入导电的电线，产生的磁场使得原子在空气孔中 传输。利用这种方法可以检测与原子运动有关的物理量，如重力和磁场强度。 1 4 本文的主要工作 本文主要用m a t l a b 实现平面波方法、频域有限差分方法以及时域有限差分方法， 并且使用这三种方法对光子晶体光纤的传输特性进行分析。主要内容如下： 第1 章：简要介绍光子晶体光纤和它的一些奇异特性以及目前被用来对光子晶体光 纤进行数值分析的数值模拟方法。 5 西北工业大学硕士学位论文 第2 章：对三种数值模拟方法平面波方法、频域有限差分方法、时域有限差分 方法进行理论推导，得到三种方法的本征方程，并且对算法实现过程中的一些问题进行 了较为详细的讨论。 第3 章：使用m a t l a b 实现三种数值模拟方法，并且使用平面波方法模拟不同结 构光予晶体带隙结构；使用频域有限差分方法分析正方晶格结构的光子带隙和典型结构 光子晶体光纤的模场分布；使用时域有限差分方法实时再现有限介质中光波传输，在此 基础上分析光子晶体光纤中空气孔柱对光的限制作用，并对各种方法的计算时间、计算 精度等进行讨论，给出各种方法用于模拟分析的优缺点。 第4 章：利用平面波方法和频域有限差分方法分析两种不同类型光子晶体光纤 全内反射光子晶体光纤和光子带隙型光子晶体光纤的传输特性。其中根据实物结构具体 分析空气导光带隙型光子晶体光纤的传输损耗，传统结构的全内反射型光子晶体光纤色 散特性以及椭圆芯光子晶体光纤的偏振双折射特性等。同时，基于传统的全内反射型光 子晶体光纤结构提出一种适合于作气体传感的光子晶体光纤新结构。 第5 章：对全文进行总结，并对下一步工作提出建议。 6 西北工业人学硕士学位论文 第2 章带隙与模场计算的理论模型 p c f 传输特性的理论分析是对其进行其它研究和应用的基础，本章给出了三种数值 模拟方法平面波方法、时域有限差分方法以及频域有限差分方法的理论模型。 2 1 平面波方法 1 9 9 0 年用于光子带隙( p h o t o n i cb a n d g a p ，p b g ) 结构分析的平面波展开方法的最 初实现给p b g 的研究带来了一次重大的变革。平面波展开法是研究光子晶体能带结构 的有效方法之一，下面首先给出了平面波展开法的本征方程，然后对其分析光子带隙的 一些具体问题进行了讨论。 2 1 1 特征方程的建立 假定所研究的p b g 结构中无源，且介质为非磁性材料，将麦克斯韦方程组经过适 当变换可得到波矢量为 、频率为的单色光波的磁场h ( r ) e x p i ( o j t k - ，) 】所满足的方 程： v l 击弧肌，卜譬肿， c z - 卜， 这是一个标准的特征值问题，从上式中可以看出，与碱线性关系，即当s ，) = e ( r a ) ， 则特征频率6 0 ，_ c o a 。这正是p b g 的原理同时适用于不同的频域范围光学和微波的 原因。 一旦磁场日被计算出来，可以通过式( 2 1 2 ) 得到电场e 的分布： e ( r ) = _ 七v ( r ) ( 2 - 1 2 ) 1 0 e t r l 在无限周期性结构问题中，根据布洛赫理论，式( 2 1 4 ) 中的磁场日和1 占可分别 表示成式( 2 1 3 ) 和式( 2 - i 一4 ) 的形式： 日( ，) = 吃e “7 h ( g ) e ”= h ( g ，州“讣吃+ g ( 2 一l 一3 ) 高2 善e - i ( g ) g 。7 ( 2 - 1 - 4 ) 其中g 是倒格矢，尼是任意格子矢量，是垂直于k + g 的单位矢量。将分解为两 个正交分量o l , 。，岛。则日可进一步写成： 曰( ，) = h ( g ，五”+ g ( 2 - l 5 ) 将式( 2 卜4 ) 和( 2 一卜5 ) 代入方程( 2 1 1 ) 中，得到关于的本征方程为： 7 西北工业人学硕l 学位论文 。lk + g l i k + g 伊协叫嚣搿删= 制 陋叼 这就是矢量平面波展开方法的基本方程形式，对各个维度的光子晶体都适用，其中 e z = e “g ，e a = e a “g t ( 兄= 1 ，2 ) 。文献 2 6 】中己给出上述本征方程的详细推导过程，这里 不再赘述。 2 1 2 光子带隙的计算 下面就对平面波展开法计算光子带隙时的一些具体问题做详细地讨论。 ( 1 ) 带隙结构的形成 在式( 2 ，1 6 ) 中带入不同的波矢量七，可以获得不同的频率国，即光子晶体的色散 关系。与电子的色散关系类似，光子晶体的色散关系也结成带状，即带与带之间是有间 隔的，这个能带问的问隔就构成光子带隙。 依据布洛赫理论，这种七一的关系具有周期性。根据固体物理学中的相关知识， 在倒格空间中，以某一倒格点为坐标原点，作所有倒格矢的垂直平分面，倒格子空间被 这些平面分成许多包围原点的多面体区域，这些区域称为布里渊区。其中最靠近原点平 面所围的区域称为第一布里渊区。由于对称结构的倒格空间也具有一定的对称性，所以 各布里渊区经过适当地平移，都可移到第一布里渊区的位置，且与之重合。 在计算光子带隙特性时，倒格空间所有方向波矢的带隙性质都可以通过第一布里渊 区边界上的波矢体现，因此通过对第一布里渊区边界上的波矢k 的计算即可得到整个周 期空间的带隙结构。 ( 2 ) 光波在二维平面内入射 光波在二维平面内入射时，k 和g 都在x y 面内，所以k + g 也在x - y 平面内。在两 个方向上分解入射光的振幅，其中一个方向的单位矢设为e 2 斛g = 巳，则另外一个单位矢 p l ， + g 在x - y 平面内，即e l = e l m g = ，e 2 = e 2 n g = ，于是有： 雠嚣i = l oc o s ( o 。坩) 浯，忉 l p l p 2 巳p l 。j一口) j 7 这样，式( 2 - 1 6 ) 可以分解为两个等式。由于t e 波沿z 轴方向磁场分量不为0 ，t m 波 沿z 轴方向磁场分量为0 ，所以由式( 2 - 1 6 ) 分解得到的两个等式分别对应于t e 和t m 波。 t m ：l 七+ gok + g j 占_ 1 ( g g ) 啊( g ) = 兰 红( g ) ( 2 - l 一8 ) t e ：i 七+ g 怕+ g 一( g g ) ( p l e l t ) ( g ) = 等吃( g ) ( 2 一l 一9 ) 这样方程式( 2 1 - 8 ) 和式( 2 一l 一9 ) 在计算时不再需要设置对应于偏振方向的单位矢， 通过代入第一布里渊区边界上的不同波矢量即可计算得到相应的带隙结构。 西北- 业大学颁十学位论文 ( 3 ) 光波在二维平面外入射 当光波由二维光子晶体平面( 静y 平面) 外入射时，t e 模和t m 模之间存在耦合， 不能分开，因此本征方程的形式不能简化，需要直接求解式( 2 i 一6 ) 得到带隙关系。不 同于光波平面内入射，这罩代入计算的波矢不在x y 平面内。求解时，将波矢k 分解为 沿z 轴的纵向分量k ：和垂直于z 轴的横向分量露。，保持纵向分量露：不变( 非0 值) ，取 横向分量f t 为x y 平面内的第一布里渊区边界上的不同波矢，求解特征方程即可得到对 应于不同纵向分量也的光波面外入射的带隙关系。 由于波矢纵向分量与横向分量的比值可以表示光波入射时与轴向夹角的大小，当横 向分量取最大时表示入射角度最大，根据经验值，一般波矢纵向分量k ：的值大于空气孑l 间距的7 倍以t 时面外入射可以有光子带隙存在。 2 2 频域有限差分方法 有限差分法( f d ) 是光波导分析中广泛采用的一种方法。根据差分域的不同，可以 将其分为时域有限差分( f d t d ) 和频域有限差分( f d f d ) 。f d f d 是在空间域中离散 化相关变量的一种差分方法。对p c f 这样的复杂结构，f d f d 方法既可以实现光纤模场 的计算，也可以实现二维光子晶体带隙的计算。 2 2 1 p c f 的模场计算理论【2 9 1 假设在光纤中传输着频率为的单色光波，则其场分量可以表示为 西= v e x p i ( f l z - c o t ) 】，其中= 岛胛。h ，庐代表电磁场强度矢量e 或日的某一个分量。于是， 可将麦克斯韦方程组中的两个旋度方程 v e ：一塑v h ：塑艘1 1 按f d f d 方法离散化为： f 吼( ，z ) = 丘( ，+ 1 ) 一e ：( ，)一i 8 y e y u l ) ，片川j ) ：i f l e ，( j ，铲塑型磐兰幽 ，k o h ：( j ，f ) = 型掣一业掣xv f ( ，t ) e a j ，f ) - 塑盟娑型一f f l h ( j ，) 一i k o , y ( j ，1 ) e y ( j ，f ) = i f l h ( j ，f ) 一亟业掣 一i k 庐。o ，i 、ez ( f ，f ) = x 9 堡! ：尘二堡! ! ! 二1 2 a y 圆 圆 却 甸 甸 忉 之 之 之 之 之 o 口 口 p 西北工业大学硕上学位论文 式中的相对介电常数根据半均手斤射翠万怯8 j 以分别表不如r ： ( - ，f ) _ 丛盟警( 丛生 ( ，胪丛盟等止业 ( 2 2 8 ) ( ，) = 地盟盟型型半世丝生丛塑 这里，n _ ) 表示每个元胞的相对介电常数，计算时用平均相对介电常数来表示，即 s ，( f 0 = 厶岛十五如+ 肪。，中五十五+ 尼= 1 。 式中 将式( 2 2 2 ) ( 2 2 7 ) 中的表示扩展到整个研究平面 p 孝 = 乏乏 参 = 卢2 乏 u = 石1 q = 面1 q 瓮 = 宝妻 等 = 卢2 麓 并使用零边界条件，可得 气= 一如- 2 u ，s 。- 1 0 圪q + ( k 0 2 ，+ u x c r z - 1 t ) ( + k o 。巧u ，) 易2 一。v f , u ，+ 氐2 。+ 5 气- 1 巧) ( + ，- 2 一眼) ( 2 2 11 ) = u s 。- 1 c ( e 。+ k o “圪以) 一k o 。( k 。，+ u 占。1 ) u p 。= uy 。- 1 v x 0 。+ k o 一。w y u y ) 一k o - 2 ( k 0 1 i + uv s 。- 1y ，v pp 由于k = 叮，驴一珥1 ，因而可以得到 1 0 矿：一1 血 矿：一1 - 缈l 一 ( 2 - 2 12 ) 一 ( 西北工业大学硕士学位论文 q 。= 厶。，= 匕。，= 一厶。，o ，= 一勺。 ( 2 - 2 - 1 3 ) 式中p 和q 是与波氏及相对介电常数分布有关的系数矩阵，【e ，易 t ，【见，玛7 是由网 格点场量构成的向量。 通过求解式( 2 - 2 9 ) 和式( 2 - 2 1 0 ) 构成的特征方程，并对特征值进行筛选，可以 得到光纤中实际可能存在的模式的横向传播常数口。模式的横向传播常数即方程的特征 值，相对应的特征向量经过由向量到矩阵的转换，得到不同模式对应的模场分布。即通 过f d f d 方法可以得到已知形状结构波导中特征模式的横向传播常数和模场分布。由于 上述方法直接从麦克斯韦方程组出发，因此可以较为精确地表示出光纤中的模式特性。 计算出有效折射率( n e f f = f l k o ) 和传播模式的场分布( e 日) ，就可以方便地导出p c f 的许多有意义的特性3 0 】。例如：通过对依赖于波长的有效折射率的关系进行简单地差分， 可以得到色散和群速度；场向量可以被用束计算光功率分布，因而也可以简单地计算出 模场面积和非线性系数。由模式之间的一系列差分可以给出多核光纤的耦合长度和双折 射光纤的拍长。此外，可以通过间接推导得到光纤的弯曲损耗或在锥形光纤中场的演变 等。 2 2 2p c f 的带隙计算理论 f d f d 方法不但可以用来计算光纤中的模场分布，也可以用来计算周期结构的光子 带隙。使用f d f d 方法计算光子带隙时与平面波方法不同，平面波方法是从空间域出发， 而f d f d 方法是从频域出发，由于光子带隙本身是频域问题，使用f d f d 方法避免了计 算过程中的频域转化的问题，因此在计算光予带隙时有着较大的优势。下面给出计算带 隙的特征方程的推导过程。 f 1 ) 特征方程推导 用单位矢量岫 ，y ，z ) ( q = l ，2 ，3 ) 分别表示广义坐标【3 l 】， 3 2 q l ，y ，z ) ，q 2 0 ，y ，= ) ，q 3 ( x ， y ，z ) ，且定义： g = 嘉毒+ 翌o q , 旦o q j + 瓦o z 瓦a z ( 2 - 2 - 1 4 ) q 2 = q ，( 2 2 - 1 5 ) 则矢量的长度出为： d s , = q d q ， ( 2 - 2 1 6 ) d s 2 = d x 2 +