第十五讲 重叠问题.doc

第15讲重叠问题一、 知识要点和基本方法在解答题目时要涉及重叠部分的数量的问题，我们把这类问题称为重叠问题解答重叠问题一般用公式法或图象法 公式法： 运用容斥原理一：CABAB，这一公式可计算出两个集合圈的有关问题 运用容斥原理二：DABCABACBCABC，这一公式可计算出三个集合圈的有关问题 图象法： 不是利用容斥原理的公式计算，而是根据题意画图，并借助图形帮助分析，逐个地计算出各个部分，从而解答问题二、例题精讲 例1 某班40位同学在一次数学测验中，答对第一题的有23人，答对第二题的有27人，两题都答对的有17人，问有几个同学两题都不对？ 解 如果把答对第一题的人数和答对第二题的人数相加，减去两题都答对的学生数，就能求出全班至少答对一题的人数再用全班学生数减去全班至少答对一题的人数，就能求出有多少位同学两题都不对 根据容斥原理一得： 40（232717）40337（人） 答：有7位学生两题都没有做对 例2 某班有学生48人，其中21人参加数学竞赛，13人参加作文竞赛，有7人既参加数学竞赛又参加作文竞赛那么 （1）只参加数学竞赛的有多少人？ （2）参加竞赛的一共有多少人？ （3）没有参加竞赛的一共有多少人？解 根据题意先作图（图151）：图15-1（1）从图上可清楚看出只参加数学竞赛的有21714（人）（2）根据容斥原理一得：参加竞赛的共有2113727（人）（3）没有参加竞赛的一共有482721（人）例3 在100个学生中，音乐爱好者有56人，体育爱好者有75人，那么既爱好音乐，又爱好体育的人最少有多少人？最多有多少人？解 如图152，当100人都是或者音乐爱好者，或者体育爱好者时，这两者都爱好的人数为最小值即 567510031（个）图 15-2当所有的音乐爱好者都是体育爱好者时，这两者都爱好的人为最大值即56人例4 某校对五年级100名同学进行学习兴趣调查，结果有58人喜欢语文，有38人喜欢数学，有52人喜欢外语而且喜欢语文和数学（但不喜欢外语）的有6人，喜欢数学和外语（但不喜欢语文）的有4人，三科都喜欢的有12人，而且每人至少喜欢一科问有多少同学只喜欢语文？解 如图153：设只喜欢语文、外语的有人图 15-3根据容斥原理二得： 100585238（61212124）12 解得14 586121426（人） 答：只喜欢语文的同学有26人 例5 分母是1001的最简真分数有多少个？它们的和是多少？ 解 我们知道最简真分数即是分子与分母互质且分子比分母小的分数 因为 10017 11 13在 1至1000中： 7的倍数有1000 7 142（个） 11的倍数有1000 1190（个） 13的倍数有1000 13 76（个） 7 11的倍数有1000 7712（个） 7 13的倍数有1000 91 10（个） 1113的倍数有1000 143 6（个） 7 11 13的倍数有1000 1001 0（个） 根据容斥原理得：能被7整除，能被11整除或被13整除的数共有1429076121060280（个） 那么，1至1000中，不能被7整除、不能被11整除，也不能被13整除的数共有；1000280720（个）也就是说分母是 1001的最简真分数有720个由于若（N1001）是最简真分数，那么也是最简真分数这样 720个最简真分数的和等于720 2360答：分母是1001的最简真分数有720个它们的和是360例6 某大学英语专业开设第二外语，学校规定学生在法语、日语、俄语中至少选一门，该班有学生34人，选学法语的有21人，选学日语的有19人，选学俄语的有10人，其中4人同时选学法语和俄语，5人同时选学日语和俄语，没有同学同时选学三门的，同时选学法语和日语的有多少人？解 设同时选学法、日语有人图 15-4根据题意得：21 （19 ）（1045）34解得：7所以，同时选学法语和日语的有7人例7 某班学生中78喜欢游泳，80喜欢玩游戏机，84喜欢下棋，88喜欢看小说该班学生中同时有四种爱好的学生所占的最小百分比应是多少？解 该班学生中：不喜欢游泳的有17822不喜欢玩游戏机的有18020不喜欢玩下棋的有 18416不喜欢看小说的有18812那么至少不喜欢其中一种活动的学生最多占全班学生人数的： 2220161270所以该班学生中同时有四种爱好的学生所占的最小百分比应是 17030练 习 题A 组1某班学生在一次期末语文和数学考试中，语文得优的有15人，数学得优的有24人，其中语文、数学都得优的有12人全班得优的共有多少人？250名学生答A、B两题，其中没答对A题的有 12名，而答对A题，没答对B题的有30名，那么A、B两题都答对的有多少人？3某班中有30人参加足球与排球活动，参加足球活动的有16人，参加排球活动的有21人求两项活动都参加的共有多少人？只参加足球活动一项的有多少人？只参加排球活动一项的有多少人？4一个班级常识、数学期中考试得100分的共21人，其中常识得100分的12人，数学得100分的17人，两门课程都得100分的有多少人？5某班共50人参加学书法兴趣小组的32人，学绘画兴趣小组的28人，其中两种都学的15人，这个班级还有多少人没有参加这两项兴趣小组？6育苗小学四年级学生到野外采集标本，采集昆虫标本的有32人，采集植物标本的有27人，两种标本都采集的有7人全班学生共有多少人？7京华小学五年级学生采集标本，采集昆虫标本的有25人，采集植物标本的有19人，两种标本都采集的有8人，全班共40人，没有采集标本的有多少人？8工厂有一批工人，每人至少会一门技术，其中会开车床的有235人，会开铣床的有218人，会开刨床的有207人，既会开车床又会开铣床的有112人，既会开车床又会开刨床的有71人，既会开铣床又会开刨床的有63人，三种床都会开的有19人，求全厂共有多少工人？B 组9在 1至 10 000中不能被 5或 7整除的自然数共有多少个？10外语学校共有英语、法语、日语教师共27人，其中只能教英语的有8人，只能教日语的有6人，能教英日语的有5人，能教法日语的有3人，能教英法语的有4人，三种都能教的有2人，只能教法语的有多少人？11某班有学生50人，有人学会骑车，有人学会游泳，已学会骑车的有35人，两样都会的有15人，没有一样也不会的学生，那么会游泳的有多少人？12图155中A、B、C分别代表面积为10、11、13的三张不同形状的纸片，它们重叠放在一起盖住的面积是22，且A与B、B与C、C与A公共部分的面积分别是6、4、5，求A、B、C三个图形公共部分（即阴影部分）的面积图 15-513学校教导处对100名同学进行调查，结果他们喜欢看球赛和电影、戏剧其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，还知道：既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有6人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有4人，三种都喜欢看的有12人，只喜欢看电影的有多少人？14求从1到 1995中能被 5整除，也能被6或 7整除的自然数的个数15某学校有学生 1050人，其中 600人订阅语文报，450人订阅数学报，有210人订阅科技报，全校学生中有350人订阅两种报刊，有88人订阅三种报刊，那么这个学校有多少人没有订阅任何报刊？16在自然数中，不超过 105，且与105互质的数共有多少个？测 试 题1有50名同学在操场上活动，其中有18名是女生，活动的项目是短跑和打球，如果有31名同学打球，有14名男生短跑，那么女生打球的有多少人？2某小学六年级共有120名学生，其中爱好体育、文学和数学竞赛的共有135人，有15人既对体育又对数学竞赛感兴趣，有10人既爱好体育又对文学感兴趣，还有8人既爱好文学又对数学竞赛感兴趣，三项都感兴趣的有4人，问三项都不感兴趣的有多少人？3某班共有30名男生，其中20人参加足球队，12人参加篮球队，10人参加排球队，已知没有一个人同时参加 3个队，且每人至少参加一个队，有6个人既参加足球队又参加篮球队，有2人既参加篮球队又参加排球队，那么既参加足球队又参加排球队的有多少人？4甲、乙、丙都在读同一本故事书，书中有100个故事每一个人都从某一个故事开始，按顺序往后读已知甲读了75个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事那么甲、乙、丙三人共同读过的故事至少有多少个？5有一根长100厘米的绳子，从一端开始每隔4厘米做一个记号，每隔5厘米也做一个记号，然后把标有记号的地方剪断，绳子共剪成了多少段？6甲、乙、丙给100盆花浇水，甲浇了 76盆，乙浇了69盆，丙浇了85盆，至少有多少盆花被浇了三次水？7前锋小学有48名学生参加剪纸、绘画、独唱比赛有24人参加剪纸比赛；18人参加绘画比赛；其中10人既参加剪纸比赛，又参加绘画比赛问只参加独唱比赛的有多少人？8某大学有外语教师130人，其中教英语的有60人，教日语的有55人，教法语的有50人，既教英语又教日语有20人，既教英语又教法语有15人，既教日语又教法语有13人，有7人英语，日语和法语三门课都会教则不教这三门课的外语教师有多少人？9某班共有学生52人，其中30人会游泳，35人会骑自行车，42人会打乒乓球，那么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？10求小于 1001且与 1001互质的所有自然数的和11夏日的一大，有十个同学去吃冷饮向服务员交出需要冷饮的统计，数字如下：有6个人要可可，有5个人要咖啡，有5个人要果汁，有3个人既要可可又要果汁，有3个人既要咖啡又要果汁，有2个人既要可可又要咖啡，有一个人既要可可、咖啡又要了果汁其中一定有多少个人什么冷饮也没有要？12某校参加数学竞赛的有120名男生，80名女生参加语文竞赛的有120名女生，80名男生，已知该校共有260名学生参加了竞赛，其中有75名男生两科竞赛都参加了那么只参加数学竞赛而没有参加语文竞赛的女生人数是多少人？13求从 1到 1994中不能被 5整除，也不能被 6或 7整除的自然数的个数14全班有25个学生，其中17人会骑自行车，13人会游泳，8人会滑冰，这三项运动项目没有人全会至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀如果全班有6个人数学不及