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几类非线性微分系统边值问题解的存在性研究硕士学位论文 几类非线性微分系统边值问题解的存在性研究 摘要 本文利用拓扑方法和锥理论、推广了的压缩映像原理、l e g g e t t w i l l i a m s 不动点理论、 k r a s n o s e l s k i i 不动点定理等工具研究了几类非线性常微分方程组边值问题非负解、正解的存 在性情况。根据内容本文共分为以下四章： 在第一章中，介绍了基本的背景、国内外的研究现状、文章的结构安排及基本引理等。 第二章主要讨论了二阶常微分方程组边值问题正解、非负解的存在性情况。先利用拓 扑方法和锥理论研究了一类二阶常微分方程组边值问题正解的存在性。然后对非线性项加 以变换，在适当的条件下，研究了一类更一般的奇异边值问题非负解的存在唯一性，主要 方法是利用推广了的压缩映像原理，并构造相应的例子，说明所得结果的应用。 第三章主要讨论了三阶常微分方程组边值问题正解的存在性。通过把三维方程组转化 为二维积分一积分方程组，利用l e g g e t t w i l l i a m s 不动点理论，在适当的条件下，研究了一 类三阶三维常微分方程组边值问题，得到了至少存在三个正解的充分性条件。 在第四章中，我们通过构造一个特殊韵锥，利用k r a s n o s e l s k i i 不动点定理，在适当的条 件下讨论了一类奇异四阶常微分方程组边值问题正解的存在性。所使用的方法同样是通过 把该方程组转化为积分一积分方程的形式，并给出了一个及两个正解的存在性结论。 关键词：非线性常微分方程组，边值问题，非负解，锥，不动点 几类非线性微分系统边值问题解的存在性研究硕士学位论文 r e s e a r c ho nt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n so fb o u n d a r yv a l u e l- 一 - 一一 p r ob l e m s1 0 rs o m ei o n d so fn o n l i n e a r d i f f e r e n t i a ls y s t e m a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w es t u d yt h es i t u a t i o no fn o n n e g a t i v es o l u t i o n so r p o s i t i v es o l u t i o n so f b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rs e v e r a lk i n d so fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a ls y s t e mb yu s i n gt o p o l o g i c a l m e t h o da n dc o n et h e o r y , t h eg e n e r a l i z e dc o m p r e s s i o ni m a g ep r i n c i p l el e g g e t t w i l l i a m sf i x e d p o i n tt h e o r e ma n dk r a s n o s e l s k i if i x e dp o i n tt h e o r e m a c c r o d i n gt oc o n t e n t s ，t h et h e s i si sd i v i d e d i n t of o u rc h a p t e r s ： i nt h ef i r s tc h a p t e ro ft h i st h e s i s ，w em a i n l yi n t r o d u c et h eb a s i ca p p l i c a t i o nb a c k g r o u n d ，t h e g e n e r a ls i t u a t i o no fd o m e s t i ca n df o r e i g nr e s e a r c h ，t h ea r r a n g e m e n to ft h ep a p e rs t r u c t u r ea n d s o m ef u n d a m e n t a ll e m m a s t h es e c o n dc h a p t e rm a i n l yd i s c u s st h ee x s i t e n c eo fn o n n e g a t i v es o l u t i o n sa n dp o s i t i v e s o l u t i o n so fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rs e c o n d - o r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a l s y s t e m w ef i r s t l y s t u d yt h ep o s t i v es o l u t i o no fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rac l a s so fs e c o n d - o r d e ro r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb yu s i n gt o p o l o g i c a lm e t h o da n dc o n et h e o r y t h e nc h a n g et h en o n l i n e a r i t e m ，w es t u d yt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fn o n n e g a t i v es o l u t i o no fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m f o rac l a s so fm o r eg e n e r a ls i n g u l a rs e c o n d - o r d e rs y s t e m su n d e rs o m em i l dc o n d i t i o n sb yu s i n g t h eg e n e r a l i z e dc o m p r e s s i o ni m a g e p r i n c i p l e ，a n d c o n s t r u c tt h ec o r r e s p o n d i n g e x a m p l e st o i l l u s t r a t et h e a p p l i c a t i o no f t h er e s u l t s t h et h i r dc h a p t e rm a i n l yd i s c u s st h ee x s i t e n c eo f p o s i t i v es o l u t i o n so fb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m f o rt h i r d o r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s b yu s i n gt h em e t h o dt h a tt r a n s f o r mt h e s y s t e m so f t h r e e d i m e n s i o n a lt h i r d o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si n t ot w o d i m e n s i o n a l i n t e g r a l i n t e g r a le q u a t i o n s ，w es t u d yac l a s so fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rt h r e e d i m e n s i o n a l t h i r d o r d e rd i f f e r e n t i a ls y s t e m ，t h ee x i s t e n c eo fa tl e a s tt h r e ep o s i t i v es o l u t i o n si sp r o v e du n d e r a p p r o p r i a t ec o n d i t i o n sb yu s i n gl e g g e t t w i l l i a m sf i x e dp o i n tt h e o r e m i nt h ef o u r t hc h a p t e r , w ec o n s t r u c ta s p e c i a lc o n et os t u d yt h ee x s i t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n s i i 几类非线性微分系统边值问题解的存在性研究 硕士学位论文 o f b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rac l a s so fs i n g u l a rf o u r t h o r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s u n d e ra p p r o p r i a t ec o n d i t i o n sb yu s i n gk r a s n o s e l s k i if i x e dp o i n tt h e o r e m t h em m h o du s e da l s oi s t r a n s f o r me q u m i o n si n t oi n t e g r a l i n t e g r a le q u a t i o na n dw es h o wt h ee x s i t e n c eo fo n ea n dt w o p o t i v es o l u t i o n s k e yw o r d s ：n o n l i n e a rs y s t e mo fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ， n o n n e g a t i v es o l u t i o n ，c o n e ，f i x e dp o i n t i i i 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发 表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意。 作者签名：邀篁：基 日期： 2 血8 。6 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京信息工程大学有关保留、使用学位论文的规定，学校 有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸 质版：有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书 馆被查阅：有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索：有权将学位论 文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 作者签名：焘建! 芸 日 期： 2 妯金。6 ， 几类非线性微分系统边值问题解的存在性研究硕士学位论文 第一章前言 对微分方程边值问题的研究有着很长的历史，而且这方面的研究内容已经十分丰富， 见文献【1 3 ，5 1 7 ，2 1 4 7 ，4 9 - 5 0 ，这主要在于微分方程边值问题在理论与应用方面都有着非常 重要的意义，很多物理、化学、生物学的现象都可以用微分方程边值问题来刻画。 1 研究背景及意义 常微分方程边值问题在经典力学和电学中有着极为丰富的源泉，它是常微分方程学科 的重要组成部分之一。而现实中的微分方程的模型往往是非线性模型，这就使非线性常微 分方程的边值问题正解的存在性显得尤为重要。近年来，非线性常微分方程边值问题不断 出现在各种应用学科中，如：弹性稳定性结论、核物理、流体力学、非线性光学、气体动 力学、桥梁工程、生物学、天文学等研究领域，所以微分方程边值问题的研究有助于为以 上各问题的研究提供理论依据。同样地，非线性常微分方程组边值问题是对非线性常微分 方程边值问题的进一步推广和深化，也因为有较广泛的实际应用背景而得到了许多讨论。 常微分方程两点边值问题( 立l d i r i c h l e t 边值问题、n e u m a n n 边值问题、r o b i n 边值问题、s t u r m - - l i o u v i l l e 边值问题及周期边值问题等) 已被深入而广泛的研究，并取得广泛而深刻的结果。 事实上，自1 8 9 3 年，p i c a r d 运用迭代法讨论非线性二阶常微分方程两点边值问题的解的存在 性和唯一性之后，常微分方程两点边值问题的研究获得了蓬勃发展。相对于单个的方程， 方程组边值问题的研究内容会更加丰富，也会更加困难。 因高阶边值问题在气体动力学、流体力学、核物理、边界层理论等实际问题中有着广 泛的应用，近年来高阶边值问题的研究尤为活跃。爱尔兰著名数学家。曾对此问题作了系 统而详细的论述。一方面，实际问题中不断的涌现出大量的微分方程非线性边值问题需要 人们去深入研究。另一方面，近几十年来非线性分析有了长足的发展，其应用的理论和先 进的方法日渐成熟所以，运用这几十年来成果的基础上来研究微分方程高阶边值问题是一 个富有兴趣和创新性的研究课题。 由于奇数阶方程的格林函数不对称，并且不存在相应的共轭方程，对于奇数阶方程的 研究相对少一些。对于三阶非线性常微分方程两点边值问题解的存在性问题，因其在天文 学、流体力学等学科的研究中有着广泛的应用，已有许多文献做了探讨，其中两点边值问 题，由于边值条件的特殊性，得到了较好的结果。 微分方程的四阶边值问题是人们所熟知的刻画弹性梁状态的数学模型。而弹性梁是现 几类非线性微分系统边值问题解的存在性研究硕士学位论文 代飞机、轮船、建筑等最基本的结构之一。对这类问题的研究一方面可以丰富数学理论， 同时也可对实际问题的解决有指导意义。 因此，致力于这方面的研究将会有助于以后进一步深入研究其他非线性系统边值问题 非负解的存在性，也会直接影响弹性稳定性结论、核物理、天文学、流体力学、非线性光 学、气体动力学等实际问题的解决。 2 二阶微分系统边值问题的研究现状 由于广泛的数学与物理研究背景，近年来人们对于二阶微分方程边值问题的研究非常 活跃，参见文献【1 _ 1 7 。在这些文献中用到的主要工具是非线性泛函分析中的拓扑度理论、 临界点理论，不动点理论以及上下解方法等。其中要提到，在1 9 9 3 年，a m f i n k 等在文【7 】 中研究了如下二阶常微分方程组边值问题： l 甜”0 ) + a 口o ) 厂( 甜o ) ，v o ) ) = 0 v ”( f ) + x b ( t ) g ( u ( t ) ，v ( f ) ) = 0 ( a ) 【“( o ) = u 0 ) = v ( o ) = v ( 1 ) = 0 非负解的存在性，即在厂( o ，0 ) 0 ，g ( o ，o ) 0 ( 或者厂( 0 ，0 ) = 0 ，g ( o ，0 ) = 0 ) 及 口( f ) ，b ( t ) 非奇异的情况下，对厂，g 施加适当的单调性条件和增长性条件时，利用打靶法 和锥拉伸压缩不动点定理证明了上述问题存在一组非负解。 在1 9 9 9 年，费祥历等在文【8 中，在此基础上以关于非线性全连续算子的锥不动点定理 为工具研究了问题( a ) 的非线性项为z f ( t ，“( f ) ，“f ) ) ，2 9 ( t ，“( f ) ，吠f ) ) 时，并且在不假定 厂，g 单调及厂，g 超线性或次线性，而只给出对f ，g 的增长性限制条件下存在正解的若 干充分条件。 在2 0 0 0 年，马如云在文 9 】中同样研究了f i i l l ( 和g a t i c a 研究的问题，但是他给出了更一般 的条件f ( 0 ，o ) 0 ，g ( 0 ，o ) 0 利用锥上的不动点定理的等价定理，他证明了方程组( a ) 至少有两个正解。 2 0 0 1 年，姚庆六在文【l o 】中利用正规锥上的不动点定理在厂( 0 ，0 ) 0 ，g ( o ，0 ) = 0 ， ( 或者厂( 0 ，0 ) = 0 ，g ( o ，0 ) 0 ) 及口( f ) ，b ( t ) 奇异的情况下证明了问题( a ) 存在一组正 2 几类非线性微分系统边值问题解的存在性研究硕士学位论文 解，并且给出了求解的迭代程序，而且还在一定条件下给出了问题( a ) 有正解的参数九的 取值范围。 2 0 0 3 年，白定勇在文 1 1 】中讨论了如下形式的二阶奇异微分系统两点边值问题： i 材”( f ) + 口( f ) 厂( “( f ) ，v ( f ) ) = 0 v ”o ) + 6 ( f ) g ( z f ) ，v o ) ) = 0 0 f l ( b ) 【甜( o ) = “( 1 ) = v ( o ) = v ( 1 ) = 0 正解及多个正解的存在性，其中口( f ) ，6 ( f ) 在f = o ，1 点具有奇性。主要方法也是在厂，g 超 线性或次线性的条件下利用锥上的拉伸压缩不动点定理证明了问题( b ) 正解的存在性。 2 0 0 4 年，白定勇等在文 1 2 】中又研究了问题( b ) 在允许口o ) ，6 ( f ) 都在f = 0 ，1 点具有适当 的奇性，不要求非线性项厂，g 在端点f = 0 或f = 1 超线性或次线性增长，应用锥拉伸压缩 原理，在更一般的增长条件下建立问题( b ) 正解的存在性。 2 0 0 4 年，杨志林，孙经先在文【1 3 】中利用拓扑方法研究了下列形式的非线性二阶常微 分方程边值问题： u ”( f ) + f ( t ，v ( f ) ) = 0 v ”( f ) + g ( t ，“( f ) ) = 0 ( c ) 【“( o ) = “( 1 ) = v ( o ) = v ( 1 ) = 0 在某些条件下，证明了上述边值问题正解的存在性和个数。 2 0 0 5 年，j o a om a r c o sd oo 等在文 1 4 】中研究了下列非奇异的二阶系统： i u ”( f ) = f ( t ，甜，v ，a ，6 ) 一v ”( ，) = g ( f ，z f ，1 ，a ，6 ) 0 f 1 ( d ) l 甜( o ) = “( 1 ) = v ( o ) = v ( 1 ) = 0 正解的存在性与多重性，主要方法也是利用锥拉压不动点定理、上下解的方法及拓扑度理 论。 。 关于常微分方程解的存在唯一性问题一直是人们关注的问题，并取得了丰富的结果， 其中最基本的结论是解的存在唯一性定理。1 9 9 8 年，马如云等在文 1 5 】中研究了边值问题： j “”( 7 ) + 厂( ，“( ) ，“( ) ) = o以f 6 i “( 口) = “( 6 ) = 0 ( e ) 当厂满足r c a r a t h e o d o 巧条件和“p s c h i t z 条件时，在r ( 口，6 ) 空间中利用压缩映像原理 3 几类非线性微分系统边值问题解的存在性研究硕士学位论文 证明了问题( e ) 解的存在唯一性，并举例说明所得结果是最优的。 受局部l i p s c h i t z 条件的启发，2 0 0 6 年，夏大峰讨论了两个初始条件相同的柯西问题在 一定条件下存在相同的唯一解，然后推广了常微分方程解的存在唯一性定理。 3 三、四阶微分系统边值问题的研究进展 随着二阶常微分方程两点边值问题研究的蓬勃发展，高阶常微分方程的研究工作也大 量出现。特别是三阶、四阶常微分方程、方程组边值问题由于与实际应用的密切联系受到 了普遍关注，见文献 2 4 4 6 1 。 1 9 9 2 年，王伟等在文 2 7 1 q b 将下列特殊的三阶常微分方程的两点边值问题： ix m = f ( t ，x ，x ，x ”) 【x ( 口) = a ，x ”( 口) = b ，x ( b ) = x o 通过变换化为二阶微分方程的初值问题，利用单调迭代法讨论解的存在性。 1 9 9 6 年，葛渭高在【2 8 】中利用l e a r y s c h a u d e r 不动点定理论讨论了下列三阶常微分方 程各类边值问题： x m = h ( t ，x ，x ，x ”) 在下列各类两点边值条件下解的存在性与唯一性： x ( o ) = a ，x ( o ) = b ，x ( 1 ) = c x ( o ) = a ，x ( 0 ) = b ，x ”( 1 ) = c x ( o ) = a ，x ( o ) = b ，x ( 1 ) = c x ( o ) = a ，x ( 1 ) = b ，x ”( 1 ) = c x ( o ) = a ，x ( 1 ) = b ，x ”( 1 ) = c 其中hi 茜足c a r a t h e o d o r y 条件。 1 9 9 6 年，蒋达清在文【2 9 】中，运用锥拉伸与压缩不动点定理证明了非线性三阶微分方 程： u + 口( f ) 厂( “) = 0 满足下列六种边界条件之一： u ( o ) = 0 ，u ( 0 ) = 0 ，u o ) = 0 “( o ) = 0 ，u 。( 0 ) = 0 ，u ( 1 ) = 0 4 几类非线性微分系统边值问题解的存在性研究硕士学位论文 “( o ) = 0 ，“( o ) = 0 ，u ”( 1 ) = 0 u ( o ) = 0 ，甜”( 0 ) = 0 ，u ( 1 ) = 0 u ( o ) = 0 ，“”( o ) = 0 ，u ( 1 ) = 0 u ( o ) = 0 ，“”( 0 ) = 0 ，“( 1 ) = 0 的两点边值问题正解的存在性，只要f ( u ) 于两个端点“= 0 和“= + 。处或者是超线性 的，或者是次线性的。 2 0 0 3 年，蒋达清在 3 0 】中讨论了三阶非线性常微分方程两点边值问题： 材m ( f ) + ( f ，甜( f ) ) = 0 在上列的六种边界条件之一下，研究了上述三阶常微分方程的某些非线性特征值问题通 过考察非线性项在有界集上的性质，建立了这些问题的正解的存在性与多解性得到了三阶 两点边值问题正解存在的结果。 2 0 0 6 年，孙忠民在文 2 3 中研究了下列非线性三阶边值问题： i “( f ) + f ( t ，“) = 0 i “( o ) = u ( 1 ) = u ”( o ) = 0 利用上下解的方法得到了上述边值问题解和正解的存在性。 我们知道飞机、轮船、桥梁、建筑等最基本的结构之一是弹性梁，而弹性梁的静态在 数学上是通过四阶边值问题来刻划的，由于梁两端支撑条件的不同会引出各种边值问题。 其研究成果可参见文献 31 3 5 ，4 5 4 6 。 在2 0 0 2 年，白占兵和王海燕在文【3 1 】研究了四阶梁方程的正解问题： l 甜4 ( f ) + z f ( t ，“( f ) ) = 0 0 t 1 i “( o ) = u o ) = u ”( o ) = 甜”( 1 ) = 0 在适当的条件下，他们应用不动点指数理论，找到了允的具体区间，使得允在此区间内， 方程至少有一个解，两个解以及无穷多个解。 2 0 0 5 年，刘嘉荃等人在文 3 2 】中研究了下列四阶奇异边值问题的正解： i 甜4 ( f ) = p ( f ) 厂( 甜( f ) ) 0 t 1 【“( o ) = “( 1 ) = “( 0 ) = u ( 1 ) = 0 当p ( f ) 和厂( “( f ) ) 满足适当的条件时，得到了方程有一个正解的存在性结果。 同年，刘衍胜等在文 3 3 1 q b 研究了下列二四阶常微分方程组： 5 几类非线性微分系统边值问题解的存在性研究硕士学位论文 f “4 ( f ) = ( f ，1 ，) o f l l v ”( f ) = g ( f ，“) 0 t 1 u ( o ) = 甜( 1 ) = u ”( o ) = u ”( 1 ) = 0 【v ( o ) = v ( 1 ) 其中厂和g 可能在f = 0 和t = 1 处有奇性。利用锥上的不动点定理，他们证明了方程组有 一个解及两个解的存在性结果。 2 0 0 7 年，郭志浩，宋常修等在文 3 4 】中研究了下列四阶奇异边值问题： f “4 ( f ) = 妒o ) 厂( “o ) ) 0 f 1 【u ( o ) = “( o ) = “”( 1 ) = u ”( 1 ) = 0 利用锥压缩拉伸不动点定理，得到了多重正解的存在性。 4 本文结构安排及研究方法、结果 近几年来，常微分方程边值问题正解的存在性与多重性在数学与工程科学方面引起了 人们极大的兴趣，国内外许多学者使用了多种方法对二阶、三阶乃至高阶的方程进行了研 究，得出了大量有价值的结果，参见文献 1 4 9 。受以上文献的启发，本文研究了二阶、三 阶、四阶常微分方程组边值问题非负解和正解的存在性。 在第二章中，主要讨论了二阶常微分方程组边值问题正解、非负解的存在性情况。先 利用拓扑方法和锥理论研究了下列边值问题： u ”( f ) + a ( t ，v ) 厂( “) = 0 v ”( f ) + g ( t ，“) = 0 i “( o ) = “( 1 ) = v ( o ) = v ( 1 ) = 0 正解的存在性。然后对非线性项加以变换，研究了下列更一般的奇异边值问题： iu ”( f ) + f ( t ，u ，v ) = 0 v ”( f ) + g ( f ，甜，v ) = 0 0 0 ，使得，x 2 d ，若 7 “ 州 似 刈书 ，l、， ， t y ，蝴砂邶w “以印 、，、， = ) 卜如 v “ 一 甜 仅 几类非线性微分系统边值问题解的存在性研究硕士学位论文 l i 五一x 2i i 6 ，有l | 彳五一a x 2i i o ；t u = 砌，“pn 硷1j a 1 t u = a “，“pno n 2j a 1 那么，f ( r ，p n ( n 2 q 1 ，p ) = 1 。 8 几类非线性微分系统边值问题解的存在性研究 硕士学位论文 引理4 嘲( l e g g e t t - w i l l i a m s 不动点定理) y 2 t ：k 专k c 为全连续算子，是k 上的 一个非负连续凹泛函，且对任意的甜琏，o ( u ) 马i ，假设存在o 口 b ： ( 2 ) 当u 疋时，恒有i i 砌i i d ，有中( 死) b 。 则r 在k c 中至少有三个不动点。 引理5 1 s 】( 锥拉伸与锥压缩不动点定理) 设e 是b a n a c h 空间，kce 是e 中的锥， q l 及q 2 是e 中的开子集，0 q l 且孬lcq 2 ，丁：k n ( 砭q ) 专k 是全连续算子。如 果以下两条件之一成立： ( 1 ) j | t u uv u k n a q 。且州“卜v u k f lc g n ：； ( 2 ) 0 t u 忙u ，v u kn 孢。且i | 砌陋u ，v u kn 硷：。 那么丁在k n ( i q 2 q 1 ) 中至少有一个不动点。 9 几类非线性微分系统边值问题解的存在性研究硕士学位论文 第二章两类二阶微分系统边值问题非负解的存在性 1 引言 常微分方程边值问题在理论与应用方面都有着非常重要的意义，很多物理现象都可以 用常微分方程边值问题来刻画。关于二阶非线性常微分方程边值问题的研究已取得了丰富 的结果，对于二阶非线性常微分方程组边值问题也有许多研究，见文【1 - 1 7 。本章的主要目 的是讨论二阶常微分方程组两点边值问题正解的存在性和非负解的存在唯一性问题。 2 非线性二阶系统边值问题的正解 2 0 0 4 年，杨志林，孙经先在文 1 3 q 簖u 用拓扑方法研究了下列形式的非线性二阶常微 分方程边值问题： iu ”( f ) + f ( t ，v ( f ) ) = 0 v ”( f ) + g ( t ，甜( r ) ) = 0 【u ( o ) = “( 1 ) = v ( o ) = v ( 1 ) = 0 在某些条件下，证明了上述边值问题正解的存在性和个数。 下非线性二阶系统边值问题正解的存在性： f “”( f ) + 口( f ，v ) 厂( 甜) = 0 v ”( f ) + g ( f ，“) = 0 i “( o ) = “( 1 ) = v ( o ) = v ( 1 ) = 0 受以上文献启发，本节研究如 其中a ( t ，v ) c ( o ，1 】r + ，r + ) ，厂c ( r + ，r + ) ，g c ( o ，1 】r + ，r + ) 。 2 1 预备知识及引理 记x = c 【o ，1 】，其上范数定义为：v “x ，i l u 忙m ，。【o l a x j l 甜( ) i ，此时x 为劢甩口c j i z 空间。令尸= “xl “o ) 0 ，v t o ，1 ，则尸为x 中正锥。 设g ( t ，s ) 为方程u ”o ) = 0 ( o 则易验证尸( 丢) 为x 中的锥。 巧。 拥2 1r 2 ( 耻尸( 砉) 。 证明由( 2 1 1 ) ( 2 1 4 ) 式有 s i n i r a = 万2 g ( s ，f ) s i n 万f 如万2 g ( 印弦( 1 一f ) s i n 丽如 = 万2 g 化s ) 1 呷叫s i n 研咖= 昙g 以s ) 从而对v “p ，有 s i n 兀f ( r 2 “) ( f ) a t = s i n 巧f g ( t , s ) 扰( s ) d s d t = 心) 凼s i n 枷仅f 渺= 了1 s i n 幽 砉g 也州蛐= r 2 堋吲o ，1 】 故t 2 ( p ) cp ( 三) 。 万。 2 2 正解的存在定理及其证明 定理2 2 1 假设条件( h 1 ) ( h 2 ) 满足，如果下列两个条件之一满足： ( l 1 ) f o = g o = 0 ，且厂。2 0 。 ( l 2 ) 厂。= g 。= 0 ，且f o = 0 0 ( 2 1 4 ) 几类非线性微分系统边值问题解的存在性研究硕士学位论文 其中厶：1 1 罂型，厂a o ：l i m 型，g 。：l i m 型，g m ：l i m 业， “斗u + u h - - 1 t o o “ u - - - o + “ u - - o o u 则问题( 1 ) 至少存在一个正解。 证明 ( 1 ) 假设条件( l 1 ) 成立。由f o = g o = 0 可知，对v p 0 ，存在_ 0 ， 当甜【0 ，1 】时，f ( u ) p u ，g ( t ，“) p u p i ，v t o ，1 。由a ( t ，v ) 在闭区间 0 ，l 】 0 ，p r l 上连续，故有界，即存在m 0 ，使得对v ( t ，v ) 【0 ，1 】 o ，p r l 】有 a ( t ，v ) m 。注意到： o g o ，s ) g ( s ，s ) 百1 ，o f ，s l 记q2 “x ：1 1 甜i i 0 f 面证明n 为有界集。设“n ，则对某个 6 0 ，有 u ( t ) 一( 五甜) ( f ) = s i n z r t ( 2 2 2 ) 定义f ：p - - - p 为：f ( “( f ) ) = 口( f ，l ：g ( f ，s ) g ( s ( s ) ) 幽) 厂( “0 ) ) 。 一j 由( 2 1 4 ) 式及引理2 1 1 可知： “( f ) = ( 五“) ( f ) 一心n z r t = ( 五“) ( f ) + 砌2 g ( 柚) s i n 兀s 幽 1 3 几类非线性微分系统边值问题解的存在性研究硕士学位论文 = 疋( f ( “( f ) ) ) + 5 z z t 2 ( s i n z t ) = r 2 ( 脚) + 6 2 2s i n z t ) e p ( 砉) 由“尸( 丢) 及尸( - 冬) 的定义知 石。7 1 。 i lul l 等如) s i n 万砒v “ ( 2 2 3 ) 由于口l ( f ) 单调连续知，若口l ( f ) 单调递增，则有o a 1 ( 0 ) a i ( f ) a l ( 1 ) ，v te o ，1 】。 由厂哇咖，存礼 焉，如o ，使得m ) c 铲九所以 ( 正“) ( f ) = g ( f ，j ) 口( s ，g 。，二) g ( x ( x ) ) 出) 厂( “( s ) ) 幽 g ，s ) d l ( o ) ( c 甜一d ) d s - - a 1 ( o ) c ，咖( s ) 幽一州1 ) d ( 2 2 4 ) 由( 2 2 2 ) ( 2 2 4 ) 式，并注意到g ( t ，s ) = g ( s ，f ) 0 f ，s 1 知，对v u n ，有 绯) s i n 万砒= ( ( 五姒卅心n 叫s i n k 砒 ( 五坝啪i n 尼砌s i n 研水o ) c g 咖( s ) 凼一a l ( 1 ) d d t a 1 ( o ) c g ( f ，j ) s i nz t u ( s ) d s d t 一口1 ( 1 ) d = 丁a l ( 0 ) c 如) s i n 万s 出咱( 1 ) d ( 2 2 5 ) 由( 2 2 3 ) ( 2 2 5 ) 式可知 刍r e 3 u ( t ) s i n z 砌石z 而s a l ( 1 鬲) d v uen 从而n 为有界集。同理可知当a ，( ，f 1 单调递减时，n 亦为有界集。故对充分大的兄 0 ， 几类非线性微分系统边值问题解的存在性研究 硕士学位论文 有“一五“3s i n j r t ，6 0 ，v u 嚣np ，从而据引理2 有 f ( 互，n 尸，p ) = 0 ( 2 26 ) 由( 2 2 1 ) ( 2 2 6 ) 两式可得： f ( 五，( q ) n 尸，p ) = f ( 石，n 尸，p ) 一f ( 互，qn 尸，尸) = 0 - 1 = 一1 因此算子正在( q ) n 尸中至少有一个不动点，从而边值问题( 1 1 ) 至少存在一个正 解( 甜，v ) pxp ，且满足“( f ) o ，v 0 ) 0 v t ( o ，1 ) 。 ( 2 ) 假设条件( 厶) 成立。由f 臼。( s ) 凼 o ，存在8 ( o ，三1 ) ，使得口。( s ) 出 o 。 在b a n a c h 空间c o ，1 中，构造非负函数所构成的锥： k = u sx i “( ) 0 一r a i n 】u ( t ) - oi i “i i 易证t ：k 专k 为全连续算子。 由f o = 知，存在吃 0 ，当u 0 ，吃 时，f ( u ) f l u ，其中叩满足 一一日 叩a 2 上g ( j ，s ) a 1 ( s ) d s 1 ( 2 2 7 ) n v u 斑knk ，且( 五甜) ( f ) = 允扰0 ) 对某些允 0 成立，我们有， 训f ) = 哪，咖( j ，g ( 踮) g ( x ，如) ) 出) 厂( 心) ) 幽 选取乇矽，1 一日 ，使得 “( 气) = ，i n f p 】i “( r ) | 0 。所以， 九“( 乇) = ，【i 8 n ，l f 日】i 九“( f ) l = ，【i 日n ，1 f 一。】i ( t u ) ( t ) l 2 f 【i n f 卅ij ：g ( f ，s ) 口( s ，g ( s ，x ) g ( x ( x ) ) 出) 厂( “( s ) ) 凼i 上o g ( s ，s ) a ( s ，f oa ( s , x ) g ( x ( x ) ) 出) 厂( “( s ) ) 出 ，j ft , l 一0 上o g ( s ，s ) q ( s ) 厂( “( s ) ) 幽 - 7 1 上一o g ( s ，s ) a 1 ( s ) u ( s ) d s 一h一一0 叼上o g ( s ，j ) 口l ( s ) plj “i id s = 7 7 0 2 r 2j ：g ( s ，s ) a l ( s ) d s r 2 1 5 几类非线性微分系统边值问题解的存在性研究硕士学位论文 从向，九1o 下证。足i n n f 豫l it , “i i o 。设“、nk ，由兀= 及k 定义，对v 0 , 1 - 0 ， 我们有f ( u ) _ f l u - 0 0i i “l i _ 日叼吃。所以， l 五“ii = ii g ( f ，j ) 口( s ，g ( j ，x ) g ( x ( x ) ) 出) 厂 。) ) d sl 1 o g ( 蹦) 啪) o o r z d s _ 0 2 t ? r 2 g ( 踟) 水s ) 出 可见，不等式右端为与甜无关得正常数，且p “足i n n f 豫l l 五“i i 0 。 又由厂。= g 。= o 可知，对v 仃 o ，存在夏 2 吃，当甜夏时，厂( “) 仃“， g ( t ，u ) 0 ，使得 口( f ，v ) 鸩。取d = 去，恐 m a x 面，1 m 2 h 3 ，记吨= “x 川“| i 0 成立，则存在t oe o ，1 】，使得 u ( t o ) = | | u ( t ) i i 。所以， a u ( t o ) = i | a u ( t ) l i = 1 it ，u ( t ) | | = ii g ( f ，s ) 口( s ，cg ( 蹦) g ( 训( x ) ) 出) ( 甜( s ) ) d si r g ( 酃) 鸩( 叮“( s ) + 日，) 凼j 1m ：( 仃i i “i i + h i ) = j 1r + 4 m 2 h l m a x 2 吃，一r 2 ，使得对所有的 ( f ，“) o ，1 o ，一r 2 ，有g ( f ，“) g ( - t ，r