（应用数学专业论文）变时滞cohengrossberg神经网络的稳定性分析.pdf

武汉理= 大学硕士学位论文 摘要 本文通过应用l y a p u n o v 方法和矩阵不等式对c o h e n g r o s s b e r g 神经网络作 了定性分析，包括具有脉冲时滞c o h e n g r o s s b e r g 神经网络平衡点的存在性及 其全局指数稳定性和变时滞c o h e n g r o s s b e r g 神经网络的全局鲁棒指数稳定性。 本文的主要工作如下： 第一、在没有要求激活函数有界的前提条件下，分别运用了同胚映射理论 和不动点定理给出了脉冲时滞c o h e n g r o s s b e r g 神经网络模型平衡点的存在唯 一性的充分条件。 第二、在平衡点存在唯一性的基础上，通过构造合适的l y a p u n o v 函数结合 积分不等式，给出了脉冲时滞c o h e n g r o s s b e r g 神经网络平衡点全局指数稳定 性的充分条件。通过比较，说明了本文得到的结果改进和概括了文献中的结论。 给出了具体例子，描述了所得结果的有效性。 第三、分析了变时滞c o h e n g r o s s b e r g 神经网络的全局鲁棒指数稳定性。 通过应用同胚映射理论以及构造合适的l y a p u n o v 函数得到了一个变时滞 c o h e n g r o s s b e r g 神经网络平衡点的存在唯一性及其全局鲁棒指数稳定性的判 定准则。给出了所得结论的几个推论，结合实际例子说明了本文得到的结果概 括了文献中的结果。 关键词：稳定性；鲁棒；同胚映射理论；不动点定理；神经网络；时滞；脉冲 武汉理工大学硕士学位论文 a b s t r c a t i nt h i sp a p e r ，w ea n a l y z et h ed y n a m i c a lb e h a v i o r sb yu s i n gl y a p u n o vf u n c t i o n a l a n dm a t r i xi n e q u a l i t i e s ，i n c l u d i n gt h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s s ，a n dg l o b a le x p o n e n t i a l s t a b i l i t yo ft h ee q u i l i b r i u mp o i n tf o rc o h e n g r o s s b e r gn e u r a ln e t w o r kw i t hd e l a y s a n di m p u l s e s ，a n dt h eg l o b a lr o b u s te x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fc o h e n g r o s s b e r gn e u r a l n e t w o r kw i t ht i m e v a r y i n gd e l a y s t h em a i nw o r ki si l l u s t r a t e da sf o l l o w s ： f i r s t ，w i t h o u ta s s u m i n gt h a tt h ea c t i v a t i o nf u n c t i o n sa r eb o u n d e d ，e m p l o y i n gt h e h o m e o m o r p h i s mt h e o r e ma n dt h ef i x e dp o i n tt h e o r e m ，w ee s t a b l i s hs o m es u f f i c i e n t c o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s s o ft h e e q u i l i b r i u mp o i n t o f c o h e n g r o s s b e r gn e u r a ln e t w o r kw i t hd e l a y sa n di m p u l s e s s e c o n d ，o nt h eb a s eo ft h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h ee q u i l i b r i u mp o i n t ， w e p r e s e n t s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h e g l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t y o f c o h e n g r o s s b e r gn e u r a ln e t w o r kw i t hd e l a y sa n di m p u l s e sb yc o n s t r u c t i n gs u i t a b l e l y a p u n o vf u n c t i o n a la n du s i n gt h et e c h n i q u eo fi n t e g r a li n e q u a l i t y t h em a i n r e s u l t sa r ec o m p a r e dw i t l lt h ep r e v i o u s l yp u b l i s h e dr e s u l t s ，a n di ti ss h o w nt h a tt h e o b t a i n e dr e s u l t si m p r o v ea n dg e n e r a l i z et h ep r e v i o u s l yp u b l i s h e dr e s u l t s a ne x a m p l e i sa l s og i v e nt oi l l u s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s so fo u rr e s u l t s t h i r d ，c o n s t r u c t i n gl y a p u n o vf u n c t i o n a la n du s i n ga ni n e q u a l i t y ，w es t u d yt h e r o b u s ts t a b i l i t yo fc o h e n g r o s s b e r gn e u r a ln e t w o r kw i t ht i m e v a r y i n gd e l a y s s o m e c r i t e r i ae n s u r i n gt h ee x i s t e n c ea n dt h eg l o b a lr o b u s te x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fau n i q u e e q u i l i b r i u mp o i n tf o rc o h e n g r o s s b e r gn e u r a ln e t w o r kw i t ht i m e - - v a r y i n gd e l a y sa r e o b t a i n e d s o m ec o r o l l a r i e sa n da ne x a m p l ea r eg i v e nt os h o wt h a to u rr e s u l t s g e n e r a l i z et h ep r e v i o u s l yr e p o r t e dr e s u l t s 。 k e yw o r d s ：s t a b i l i t y ；r o b u s t ；t h eh o m e o m o r p h i s mt h e o r e m ；t h ef i x e dp o i n tt h e o r e m ； n e u r a ln e t w o r k ；d e l a y s ；i m p u l s e i i 独创性声明 本人声明，所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得武汉理工大学或其它教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签 7 、 关于论文使用授权的说明 本人完全了解武汉理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即学校有权 保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部 或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 武汉理1 二人学硕士学位论文 1 1 神经网络介绍 第1 章绪论 神经网络系统是由大量的，同时也是很简单的处理单元( 或称神经元) 广泛 的互相连接而形成的复杂网络系统。它反映了人脑功能的许多基本特性，是对 其作某种简化，抽象和模拟。从人脑的生理结构出发来研究人的智能行为，模拟 人脑信息处理的功能，是人工神经网络研究的主要课题。 人工神经网络的研究最早始于上世纪4 0 年代，随着研究的广泛深入，引起 了越来越多人的关注，早在1 9 4 3 年，心理学家m c c u l l o c h 和数学家p i t t s 总结 了生物神经元的一些基本生理特性，提出了形式神经元的数学描述与结构方法， 即m p 模型，从而兴起了对神经网络的研究。1 9 4 9 年心理学家d 0 h e b b 提出神 经元之间突触联系强度可变的假设，根据这一假设，奠定了神经网络的学习算 法基础。在此期间还有k s l a z h l e y 对记忆定位的研究，以及1 9 6 0 年 e r c a i a n i e l l o 提出的神经记忆模型等等。上世纪5 0 年代末r o s e n b l a t t 提出 感知机，第一次把神经网络的研究付诸工程实践。上世纪6 0 年代，美国著名人 工智能学者m i n s k y 和p a p e r 对r o s e n b l a t t 的工作进行了深入研究，提出隐含 神经元，以及增加神经网络的层次的理论，从而可提高神经网络的处理能力。 上世纪7 0 年代后期，在人的智能行为机器再现上，从现实世界的实例与现象中 获取并总结出知识等问题上，传统计算机的表现差强人意，也就是说计算机不 具备学习能力，从而使人们认识到需要探索新的人类智能实现途径。因此，与 人脑的生理组织更为接近的神经网络模型就自然成为理想的应用模型。同时数 据流机和并行计算机体系结构的研究，v l s i 技术，光电技术，脑科学，神经科 学的研究成果的发展也为神经网络的实现提供了很大发展，使得神经网络在许 多实际应用领域取得了成功。所有这些原因引起了人们对人工神经网络的巨大 兴趣。 学术界公认，标志神经网络新一轮研究高潮是美国加洲理工学院生物物理 学家j h o p f i e l d 教授于1 9 8 2 年和1 9 8 4 年发表在美国科学院院刊上的两篇文章。 武汉理：r 大学硕士学位论文 1 9 8 2 年他提出了h o p f i e l d 神经网络模型，这种模型具有联想记忆能力，在这种 神经网络模型的研究中引入了能量函数( l y a p u n o v 函数) ，阐明了神经网络与动 力学的关系，并用非线性动力学的方法来研究这种神经网络的特性，建立了神 经网络稳定性判据，并指出信息存储在网络中神经元之间的连接上，这一成果 的取得使神经网络的研究取得了突破性进展。1 9 8 4 年h o p f i e l d 设计与研制了他 所提出的神经网络模型的电路，并指出网络中的每一神经元可以用运算放大器 来实现，所有神经元的连结可以用电子线路来模拟，同时他也进行了神经网络 应用研究，成功的解决了复杂度为n p 的旅行商( t s p ) 计算难题，引起人们的震 惊。这些成果的取得又激发了越来越多的人投入到神经网络研究中来，从而使 神经网络的研究步入兴盛期 ， 神经网络理论的应用研究已经渗透到各个领域，并在智能控制、模式识别、 自适应滤波和信号处理、非线性优化、传感技术和机器人、生物医学工程等方 面取得了令人鼓舞的进展。这些成就加强了人们对神经网络系统的进一步认识， 引起了世界许多国家的科学家、研究机构及企业界人士的关注，也促成了不同 学科的科学工作者联合起来，从事神经网络理论、技术开发及应用于现实的研 究。神经网络的理论研究是一门新兴的、综合性很强的交叉学科，它的产生和 发展一方面受其他学科的影响，反过来又势必影响其它学科的发展，神经元网 络从信息论角度看，它是另一种信息处理的工具，对它的研究涉及到许多学科 和专业，现在不少学科也都把这个课题作为它们的前沿在进行研究，如数学、 物理学、信息科学、心理学、神经生物学、计算机科学、微电子学甚至哲学等。 另一方面，应用现代科学的新理论和新方法如信息论、系统论、控制论、协同 论和耗散结构理论等对它进行研究，可同时为这些科学提出许多新问题，将会 推动这些理论和其他方面的发展。 1 2 具有时滞脉冲神经网络概述 近年来，研究人员将轴突信号传输时滞引入到传统的神经网络模型，如 h o p f i e l d 神经网络( h d 、细胞神经网络( c y y ) 、和双向联想记忆神经网络 ( b a m n n ) 等，得到了相应的时滞神经网络模型并对其各种动力学属性进行了深 入的研究。事实上，由于生物系统中神经元之间的有限的信息传输速度以及电 2 武汉理工大学硕士学位论文 路系统中放大器的有限开关速度，所以在生物神经网络和人工神经网络中时滞 是不可避免的。一般来说，当前文献中的时滞可以分为有限时滞和无穷时滞， 而有限时滞又可分为常量时滞和时变时滞。虽然在建模中采用有限时滞反馈可 以对一些小型的电路能得到较好的近似，但是由于存在大量的并行旁路以及存 在各种不同长度和大小的轴突神经网络中通常有空间上的展。这样，神经网络 就在无穷或有限时间内存在传输时滞的分布，在这种情况下，信号传输就不可 能是瞬间完成的，也就不能用有限时滞或无穷时滞来建模，即较精确的模型应 该同时含有有限时滞和无穷时滞。注意到，虽然对一些神经网络来说，小的时 滞对其平衡点的全局稳定性影响很小( 我们称这种时滞是无害时滞) ，但一般 来说，时滞的引入对神经网络的动力学行为有着很大的影响，它可以使得神经 网络变得更加复杂，甚至出现混沌现象。当然，时滞的存在也使神经网络平衡 点的稳定性分析变得更加复杂。 在诸如优化问题的应用中，根据问题的具体特点，我们常常要求所设计的 神经网络具有唯一的、全局渐近稳定的平衡点。神经网络用于实时计算时，为 了提高收敛速度，我们常常要求神经网络具有较高的指数收敛度。为此，近年 来，时滞神经网络的全局渐近稳定性和全局指数稳定性得到了大量的研究，读 者可参阅文献【1 1 1 。 另一方面，许多实际问题的发展过程往往有这样的特征：在发展的某些阶 段，会出现快速的变化。为方便起见，在这些过程的数学模拟中，常常会忽略 这个快速变化的持续期间而假设这个过程是通过瞬时突变来完成的。这种瞬时 突变现象通常称之为脉冲现象。脉冲现象在现代科技各领域的实际问题中是普 遍存在的，其数学模型往往可归结为脉冲微分系统。脉冲微分系统最突出的特 点是能够充分考虑到瞬时突变现象对状态的影响，能够更深刻，更精确地反映 事物的变化规律。近年最新科技成果表明，这类系统在航天技术，信息科学， 控制系统，通讯，生命科学，医学，经济领域均得到重要应用。譬如，可应用 于大型空间航天器的减振装置，卫星轨道的转换技术；可应用于机器人的研制； 还可以应用于神经网络，混沌控制，机密通讯的研究。 脉冲微分系统这一新的研究领域极具吸引力和挑战力。在理论上，它综合 了连续和离散系统的特征，但又超出了连续和离散系统的范围，还存在若干亟 待解决的问题( 见 1 2 】) 。 由于神经网络的巨大潜在作用，那么对脉冲神经网络的动力学性质的研究 武汉理t 大学硕士学位论文 也就至关重要了，也引起了许多研究人员的兴趣。到目前为止，已经有一些很 好的工作，许多关于时滞脉冲现象的稳定性结果被得到了 1 3 2 8 。 1 3c o h e n g r o s s b e r g 神经网络模型 1 9 8 3 年，m c o h e n 和s g r o s s b e r g 2 9 首次合作提出了一类新型神经网络 模型，它的神经元状态不再是二值的，而是根据一组常微分方程来连续地变化。 具体地，设u ，表示第，个神经元的状态，那么 掣= q ( “以) ) 6 f ( 吩( f ) ) 一窆嘭( “心) ) 】，f = 1 ，二2 一，以 ( 1 1 ) “ i = l 其中，c t i ( u 心) ) 是系数，包( 吩( f ) ) 是自激项，j ，( “f ( f ) ) 是神经元到神经元f 的 加权抑制输入。这个网络的主要用途是联想存储，信息存放在系统的局部最小 点上。后来人们都把模型( 1 1 ) 称为c o h e n g r o s s b e r g 模型。 1 9 8 7 年，g u e z ，e i l b e r t 和k a n 利用c o h e n g r o s s b e r g 模型构造了一个新 型神经网络自适用控制器，用传感器采集控制过程状态作为神经元估计器和过 程控制的输入信息( 见文 3 0 ) 。神经元估计器根据这些输入改变它的状态， 而这个状态变量又与控制器参数是完全一致的。因此，由估计器的局部最小值 得出控制器参数的最优控制律，控制器修改自身参数以与这个控制器所推荐的 参数配备起来，最终产生过程信号来控制未知的系统。 这个新的控制器的主要优点是将控制器极快地调到正确的参数上。神经估 计器能够将传感器所采集到的环境输入直接分类，从而可使这个控制器选择出 最合适的控制律，而它的一致收敛性又保证了最优控制策略具有快速的自适应 能力。估计器收敛到最优控制参数的过程与要调整的参数个数无关。从而实现 了各种不同参数数目的自适应控制，这一点，较之传统的m r a c 方法优越得多。 利用c o h e n g r o s s b e r g 模型构造的自适用控制器只要估计在平衡点附近一个足 够大的吸引域中，收敛性就得到了保证，而且由于收敛速度快，对未知系统的 动力学敏感性小。已有的研究表明，神经网络控制器的收敛速度与维数是无关 的。但是，关于这种控制器的性能研究还有很多问题需要进一步探索。 4 武汉理工大学硕士学位论文 最近，l w a n g 和x z o u 在文 3 1 中把( 1 1 ) 推广到含有时滞的情形， j o ) = 一呸( o ) ) 【包( 五o ) ) 一z t j 【( f ) s j ( x ，( t - - t 移) ) + 以】， ( 1 2 ) 并研究了此模型平衡点的存在性与全局指数稳定性。这很快引起了数学工作者 的注意，对c o h e n g r o s s b e r g 模型的动力学研究得到好大的进犀。我们可以参 看文献e 2 ，3 ，8 ，1 3 ，1 4 ，3 2 3 4 3 的相关结论。 在本文第二章中，我们将研究如下脉冲时滞c o h e n g r o s s b e r g 神经网络模 型： 降二襟势卜+ 扣删+ 私咿弓新 ，f 磊n 3 ， 【趣) = 厶 ) ，t = t k 其中x ( f ) = ( 五( f ) ，x 2 ( t ) ，毛( f ) ) re r “是状态向量；删= 出酏( 枞g 似辘；g ) 汾是 放大函数；d ( 工( f ) ) = ( 吐o ( f ) ) ，畋 ( f ) ) ，以 ( f ) ) ) r 是行为函数；a = ( ) 和 b = ( ) 是表示神经元的度量系数的内联矩阵，而侧= 研“) 五如) ，z 瓴矿表 示神经元的激活函数；固定脉冲时刻气满足0 = t o o ，比尺。 x y 关于激活函数厂( 曲，通常作如下三种假设： ( i ) 激活函数厂( x ) = ( z ( 五) ，五( 屯) ， ( ) ) r 是全局l i p s c h i t z 函数。在本 文中，我们用如下集合来表示这类激活函数： 3 = ( x ) l i z ( 为) 一z ( 儿) i 厶，眠，咒，i = 1 ，2 ，力 ； ( i i ) 激活函数f ( x ) = ( ：( ) ，五( 恐) ，z ( ) ) r 是l i p s c h i t z 函数且是单调 不减的。我们用如下集合来表示这类激活函数： n ： 厂 1 0 么皇蔓上二互q 尘厶，v x , ，咒，薯m ，f ：1 ，2 ，门 ； l 一y t ( iii ) 激活函数厂( x ) = ( z ( ) ，厶( 而) ，丘( 吒) ) r 是有界的。我们用如下集合 来表示这类激活函数： g a = 厂( x ) 忱( 薯) i m ，i - - 1 ，2 ，以) 。 关于( 1 3 ) 的初始条件的形式为 x a s ) = 仍( j ) ，s 卜f ，0 】，i = 1 ，2 ，n 其中矽= ( 仍0 ) ，伤o ) ，o ) ) r c ( 卜f ，o 】，r ”) 。 为了方便，在本文中我们使用下述一些记号， a = ( ) 和b = ( 6 ：f ) 舢表示刀维矩阵。a r 以及a - 1 分别表示矩阵彳的转置和 矩阵么的逆；矩阵h = ( 1 嘞1 ) ；矩阵彳 o 意味着矩阵彳是一个正定矩阵，以及 a b 意味着矩阵么一曰是一个正定矩阵；归i i l ，肛i | ：以及l l i l l 。分别表示矩阵彳的 列范数，2 一范数以及行范数，即：l i a l l 。= m a x 吲如i l ，l i a i i ：= 氏。、( 彳，彳) ， l 。= m a x 勤i q | ，其中k 。( 彳r 彳) 表示矩阵a r a 的最大特征值，同时我们还 6 武汉理工大学硕士学位论文 约定r = d i a g ( r l ，吒，) ，l = d i a g ( 1 _ 1 ，l 2 ，厶) 。 在本文中，我们将用到如下的定义和引理： 定义1 1 设x + = ( i ，z ，z ) r 为方程( 1 3 ) 的一个平衡点，又设 x ( f ) = 瓴( f ) ，恐( f ) ，毛( f ) ) r 为方程( 1 3 ) 在初始条件矽c ( - r ，0 】，r ”) 下的任一 个解。若存在常数g 和k 使得 l ( ，) 一# 降k 舻一妒p “， v t 0 ，i = 1 ，2 ，珂。 则称平衡点j c + 是全局指数稳定的，并称为指数收敛速率。 引理1 2 6 如果连续映射日( x ) ：r “一r ”满足： a h ( x ) 是单射； b 当i 哼o o 时，8 h ( 划l 一佃， 则h ( x ) ：r ”专尺”是一个同胚映射。 引理1 3 3 5 假定，：和c 为适当维数的矩阵，氏为正常数，并且 c = c r 0 ，则下列不等式成立： ，r 2 + 2 r l 岛l rc l + 土2 rc 一，2 。 岛 引理1 4 ( 压缩映射原理) 设z 是一个完备的距离空间，丁是x 上的压缩 映射，即存在0 口 1 ，使得对任意的x ，y x ，有： i r x - r y l l - - i i x - y l l ， 则丁在x 内有唯一的不动点。 1 5 本文的研究内容 本文研究了脉冲时滞c o h e n g r o s s b e r g 神经网络的全局指数稳定性以及变 时滞c o h e n g r o s s b e r g 神经网络的全局鲁棒指数稳定性。 主要内容包括以下几个方面： ( 1 ) 分别利用了同胚映射理论和不动点定理得到了脉冲时滞 7 武汉理工大学硕士学位论文 c o h e n g r o s s b e r g 神经网络模型平衡点的存在唯一性的充分条件。由于所得结果 没有要求激活函数是有界的，因此改进了文献中的结果。 ( 2 ) 在平衡点存在且唯一的基础上，通过构造合适的l y a p u n o v 函数结合积 分不等式，给出了脉冲时滞c o h e n g r o s s b e r g 神经网络平衡点全局指数稳定性 的充分条件。通过分析和比较，说明得到的结果改进了文献中的结论。 ( 3 ) 在神经网络的鲁棒稳定性方面，现有文献都要求激活函数是有界的， 而且仅仅分析了神经网络平衡点的全局渐近鲁棒稳定性。本文在没有要求激活 函数是有界的条件下，分析了变时滞c o h e n g r o s s b e r g 神经网络的全局鲁棒指 数稳定性。得到了一个变时滞c o h e n g r o s s b e r g 神经网络全局鲁棒指数稳定性 的判定准则。通过比较，结合实际例子说明了本文结论是对现有文献的结果的 推广。 武汉理工大学硕士学位论文 第2 章神经网络的指数稳定性 本章将分析脉冲时滞c o h e n g r o s s b e r g 神经网络模型( 1 3 ) 的平衡点的存 在唯一性及全局指数稳定性。利用l i a p u n o v 函数方法和同胚映射理论，以及压 缩映射原理，结合积分不等式，将得到脉冲时滞c o h e n g r o s s b e r g 神经网络平 衡点的全局指数稳定性的两个判据。 2 1 存在唯一性定理 本节我们将分别利用同胚映射理论以及压缩映射原理来研究脉冲时滞 c o h e n g r o s s b e r g 神经网络( 1 3 ) 的平衡点的存在唯一性。 定理2 1 假定( h i ) 和( h 2 ) 都成立，f k ，0 t q ) 0 ， 所以， 9 武汉理工人学硕士学位论文 q l = 2 尸冗一a f p p a p b q 一1 b f p q 0 。 如果x y ，f ( x ) f ( y ) ，根据引理1 3 有： = 2 ( 厂( x ) 一厂( y ) ) 7 p ( 日( z ) 一日( y ) ) = 一2 ( z ( x ，) 一正( j ，) ) p ，( d ，( x ，) - d ，( y ，) ) + 乏西 ) 一z ) 心a ( x k - f t y ，) ) + 芝西 ) 一z ) 坞b 够( x k - d o , k ) 一2 2 ( f ( x t ) 一z ( 咒) ) 争b ( 乃( 工，) 一乃( 乃) ) + 2 ( ( x ) 一厂( y ) ) 7 ( p a + 朋) ( 厂( x ) 一( y ) ) i=i7f 一( ( 石) 一厂( y ) ) r q 。( 厂( x ) 一厂( y ) ) 0 是正定矩阵q 。韵最小特征值，v hl - _ 述不等式( 2 1 ) 中，令y = 0 ，则 进而 2 ( 厂( 工) 一厂( o ) ) r ( h ( x ) 一日( 0 ) ) 一兄( 厂( x ) 一厂( o ) ) r ( ( z ) 一厂( o ) ) ， a l l f ( x ) 一f ( o ) l l ：- - - = l l f ( x ) 一f ( o ) l l 。壹l e ( x ) 一只( x ) i 。 i = i 又因为 所以 l i f ( x ) 一f ( o ) l l 。i i f ( x ) - f ( o ) l i ：， 0 厂( x ) 0 。- 1 1 ：( o ) 1 。- l l f ( x ) - ( o ) l l 。， x l l s o o l l 。一x l l ( o ) l l 。- - - x l l ( x ) - s ( o ) t l ：- 2 1 1 r e x ) 一h ( o ) 1 - 2 1 h ( x ) l l 。+ 2 1 1 - ( o ) 1 1 ， l o 武汉理工人学硕士学位论文 从而 去( 旯岍x ) i i 。- ：l l f ( o ) l l 。一21 1 m o ) l l 。) - 0 ，i = 1 ，2 ，咒，有 p 矿喜马蚓+ 帅云c 1p 扩_ f 喜p ，t ( k i + 眺 - l 2 ，m 假定x + = ( i ，z ) r 是方程( 1 3 ) 的平衡点，则x 满足 一呸( # ) + ( 口驴+ 6 1 f ) 乃( ) + = o ，i = l ，2 ，刀。 ( 2 2 ) = l 设= 王，则( 2 2 ) 式转变成 p i 根据假设( 日：) ，有 - d i ( p i y ；) + ( 口扩+ 6 _ f 协( 乃巧) + = o ， j = 1 舅2 去町。( 喜( + 屯谚( 乃) 。1 ) 。 定义映射丁( y ) = ( 石( y ) ，t 2 ( y ) ，瓦( y ) ) r ：r ”一r ”，其中 t j ( y ) = 町( ( + m ( 乃乃) + ) ，江1 ，2 ，以， p t= l 武汉理下大学硕士学位论文 p i j 对v z , ，z z r 8 ，有 | l 兀互) 一丁( 列k = m a x s 。b 布1 ( 嘉( 吩+ m ( 乃蜀，) + ) 二上p i 布1 ( 嘉( 吻+ m ( 乃乞，) + ) | 一扣喜c 呜圳c ( p j z , j ) - 讹删f 一t 9 如 当1 ii 窆j = l 所( | i + l 训毛，一乞巾 吣蛐杀喜乃( ”m m 魄如卜乞爿 - 三m l l z , 一z 2 其中， m = 瑚x 盘如【去芸t 乃( i i + h f ) 】 ，。 因此，丁( ) ：r ”专r ”是一个压缩映射，根据引理1 4 ，存在唯一的不动点y + r “， 满足t ( y + ) = y 。所以，存在唯一的点工+ = ( p l y l 。，p ：以，p y d r 满足等式( 2 2 ) 。 即，方程( 1 3 ) 存在唯一的平衡点。 注1 在定理2 1 的证明过程中，我们已经假定激活函数厂( x ) 是无界的。因 为有界的激活函数总能保证平衡点的存在性，因此对有界的激活函数而言，定 理2 1 仍然是成立的。 2 2 指数稳定性分析 下面，我们将分析脉冲神经网络模型( 1 3 ) 的指数稳定性，其脉冲状态 l ：r _ 尺在固定时刻，k n 定义为 j c f ( 气) 一( f i ) = 厶( t ( f i ) ) = 一九( t ( f i ) # ) ，i = 1 ，2 ，力，k n 1 2 武汉理工大学硕士学位论文 为了简化证明，我们将方程( 1 3 ) 的平衡点x 转移到原点。通过变换 y ( t ) = x ( t ) 一石，方程( 1 3 ) 可变换成如下形式 掣吲俐卜，+ 扣c 删+ 喜b u g j ( y j ( t - r j ( t ) ) ) 卜3 ， 【m ( 气) = y l k y i ( t ；) ，k n 其中q ( 乃( f ) ) = q ( 咒( f ) + # ) ，层o ”= 珥以p ) + i ) ，& ( t ，。，。) 一z g ) 。 定理2 3 假定定理2 i 的所有条件成立，且 一1 儿 1 ，i = 1 ，2 ，刀，k n ， 则方程( 2 3 ) 的平衡点y + = 0 是全局指数稳定的。 证明：令y ( y o ) ，f ) = e l v l ( y ( t ) ，z ) + 圪( y ( f ) ，f ) ， 其中， k 懒垆秽静， v 2 ( y ( f ) 力= 喜br 器凼+ 喜k 托( 卵) ) w a r l ， 常数q 及矩阵= d i a g ( w ，w 2 ，) 将在后面的分析中确定， 显然 y ( y o ) ，t ) = 蜀k ( y o ) ，f ) + 屹( y o ) ，t ) ， 其中 k ( y o ) ，f ) = - y 7 ( f ) o ) + y7 o ) 彳g ( y o ) ) + ) ，7 ( t ) b g ( y ( t f o ) ) ) ， v 2 ( y ( t ) ，f ) 一g r ( y ( f ) ) p ( f ) + g r ( j ，( f ) ) 朋g ( y o ) ) + g r ( y ( t ) ) p b g ( y ( t f o ) ) ) + g ，( y ( t ) ) w g ( y ( t ) ) - ( i - t r ) g r ( y ( f f o ) ) ) 陟窖( y o f o ) ) ) 。 由假定( h ：) 以及g ( x ) 的单调性可得， - y 7 ( t ) f l ( t ) 一y r ( f ) 砂( f ) ， - g r ( y ( f ) ) ，侈( f ) o 使得q 一占：e 0 。如果定义矩阵 n 圭q + 玑 则有 吃( y ( f ) f ) 一i c 2 苫_ t ( m ) g ( m ) ( 1 - z o ) 6 2g r ( ) ，( 卜r ( 伽g ( y ( f f ( r ) ) ) 。 如果选取蜀满足： 铲卜 啬，驾 - 刍，材 。， l l m = 0 ， 贝l jv ( y ( 窃惦一手巾) 桃) 。 选取s 0 满足下列不等式 等+ 挈一亿f 陬队o ， cc ” 其中c = m i n l g i ；nk ；，= m i r l l i 5 n 。 1 4 武汉理工大学硕士学位论文 丢( 押( 加) ，) ) = m 力丢( m ( r ) ，f ) ) 卯甜( 毛喜r 。乏挚+ 喜只f 。鲁暑出+ 喜【柏，岔( 刁) m d 们一，鲁y 飞) 砂( r ) s 睦，o 抛) + 塾r 器蠡嘻k 岔 ( 挑蝴一鲁删。 因为 静r ( 器出嘻br 等出警问航 所以 一鲁坎斑) 劫吾，每+ 占警一与矿9 抛) + 圭l 。，岔( 桃砌，( 2 4 ) ( 搿 zcc=r。1，v 对( 2 4 ) 的两边从0 到任意s 【t kt k + 1 ) ，k n 积分可得 矿懒西誓龇蚴乏芦c 捌c 嚷) 矽删+ 乳g 幽删，( 2 5 ) z 。- 百。1 u 又因为 一1 托 l ，i = 1 ，2 ，刀，k n ， 所以 f 只( 吒) l l l m , + m ol l 舻争： ( 2 9 ) 这意味着方程( 2 3 ) 的平衡点y + = 0 是全局指数稳定的。 定理2 4 假定定理2 2 的所有条件成立，且存在常数7 名使得 以e r a t ，i = 1 ，2 ，以， 其中五= 删i n 。姚。 五：( 五一r , c ，) n + 兰p ，云( 1 口 ，l + g 丑。i 屯1 ) ，则方程( 2 3 ) 的平衡点y = o 是全局指数 稳定的。 证明：定义： ( 丑) = ( 磊一，；，) 仍+ 马t 孑t ( | 屯l + p 。i 屯 ) 。 显然由已知可得 只( o ) = 一幺髟+ 所勺云( 1 l + h i ) ， 进而 - - i 0 瓦d 讹) = 只+ 喜马t 。吣。，l i m 枷眦画。 因此f ( 以) 是一个严格单调递增函数。并且存在常数“，使得 e ( u f ) = 0 ，e ( j ) s u p 一；。k ( s ) 一引。 则 ( 兄一，；) 研+ 羔劬t i ，l j l + ，巧h 1 ) = 【( 名一，：g ) 尼+ n 乃乞i l i | l + ，。l 吃i ) y 0 ，i = 1 ，2 ，咒，我们有 掣：s i g n ( 咒( f ) ) ( 以( f ) ) 【_ p ( 咒( f ) ) + 主口矿g j ( 乃( f ) ) + 窆g ，( 乃( f o ( f ) ) ) 】 a t百。i 1 。 q ( ( ，) ) 卜( f ) i + 窆1 i t l ”( ，) i + 壶i l t l 乃。一r j ( f ) ) i 】 j = lj = l 一幺w j ( f ) + 窆l l ；，i ”( ，) i + 窆1 i - j w o 一。o ) ) 。 ( 2 1 1 ) = lj = l 定义k ( f ) = e a t ( f ) ，f = l ，2 ，月，则当t 0 ，t t k 时， 盟竺e a t 堕攀+ 缸加w ( f ) d td t 。 e u - r , c ，w i ( f ) + 窆i l 云，_ ( f ) + 壹j 气l 云w j q 一。) ) 】+ 2 e m w ( ) j = l = 1 ( 五一幺) ( f ) + 窆i l t 云，巧( f ) + nl 屯l 云p 幻巧。一。 ) ) j = ij = l ( 五一，：g ) 杉