（应用数学专业论文）双曲空间上等距子群的离散性与四点对的模空间.pdf

博士学位论文 摘要 双曲几何和k l e i n 群在低维拓扑，动力系统，黎曼几何等学科中有着重要的应 用p o i n c a r 6 ，f r i c k e 和k l e i n 对k l e i n 群理论的发展始于十九世纪末 1 9 6 0 后， 随着拟共形理论的成熟，l v a h l f o r s 和l b e r s 使得k l e i n 群理论成为复分析中 t e i c h m f i l l e r 理论分支中一个活跃的领域然后，在1 9 8 0 前后，w p t h u r s t o n 革命 性地发展了双曲几何和k l e i n 群理论，使得双曲流形和k l e i n 群理论吸引了众多拓 扑学家的注意现在，k l e i n 群已经获得了巨大的发展例如，l v a h l f o r s 提出 了有限生成k l e i n 群的零测度猜想；g d m o s t o w 建立了高维有限体积双曲流形的 刚性定理；d p s u l l i v a n 研究了k l e i n 群作用在双曲空间边界上的动力行为；w p t h u r s t o n 讨论了三维流形的分类及曲面叶状结构的分类 在p o i n c a r 6 等人发展f u c h s 群和k l e i n 群理论的同时，p i c a r d 也对复双曲k l e i n 群进行了研究尽管在p i c a r d 之后，又有g g i r a u d 和e c a r t a n 等人作了一些很 重要的工作，但是复双曲几何的理论并没有像实双曲几何理论那样得到快速的发 展在s c h e n ，l g r e e n b e r g 关于对称空间和g d m o s t o w 关于复双曲空间的非算 术格的构造的工作之后，复双曲离散子群的兴趣才被重新激发起来许多著名数 学家开始进行复双曲几何的研究，其中w m g o l d m a n ，r s c h w a r t z ，j r p a r k e r ， e f a l b e l 等都在复k l e i n 群方面做了许多非常重要的工作 本文的主要目的是讨论复双曲空间和实双曲空间上等距离散子群的性质和复 双曲空间及其边界上四点对的模空间，其中三个点在复双曲空间的边界上而另一 点在复双曲空间空间中我们主要得到了如下结果： 1 我们讨论了一个生成元为正则椭圆的二元生成复双曲群是离散群的必要条 件，建立了相应的j c r g e n s e n 不等式，当正则椭圆元素固定l a g r a n g i a n 平面且具有 实迹时，我们用此正则椭圆元素的迹及不动点刻画了j o r g e n s e n 不等式 2 利用k l e i n - m a s k i s t 组合定理和椭圆元素所固定的复线或点之间的距离，我 们得到了两个椭圆元素生成离散自由群的充分条件类似的，我们也得到了两个 抛物元素生成离散自由群的充分条件 3 我们讨论了复双曲等距群佗维子群的离散准则，利用恒等元素位于p u ( 1 ，几) 中分别由斜驶元素和正则椭圆元素所构成的两个开集的边缘的事实及p u ( 1 ，1 , ) 中的佗一维子群在p u ( 1 ，佗) 中要么离散，要么稠密的性质我们得到了三个关于 p u ( 1 ，n ) 中礼一维子群的离散准则 4 上个世纪九十年代，j w a n d e r s o n 提出了两个具有相同轴集合的有限生 成的n 维k l e i n 群是否共约的公开问题我们构造了一个反例说明了此问题的回答 一般是否定的，并给出了具有相同轴集合的佗维k l e i n 群共约的充分条件 i i 双曲空间上等距子群的离散性与四点对的模空间 5 我们研究了一点位于复双曲空间内部，三点位于复双曲空间边界上四点对 的模空间，其中这四点是不同的点利用c a n t a n 角不变量和复交比我们构造了这 个实维数为6 的具体模空间形式 关键词：k l e i n 群；复双曲空间；共约；j q i r g e n s e n 不等式； 博士学位论文 a b s tr a c t h y p e r b o l i cg e o m e t r ya n dk l e i n i a ng r o u p sh a sm a n yi m p o r t a n ta p p l i c a t i o n si ng e o m - e t r ya n dt o p o l o g y , p h y s i c s ，d y n a m i c a ls y s t e m s ，r i e m a n n i a ng e o m e t r y t h ed e v e l o p m e n t o ft h et h e o r yo fk l e i n i a ng r o u p sw a ss t a r t e da tt h ee n do ft h en i n e t e e n t h - c e n t u r yb y p o i n c a r 6 ，f r i c k ea n dk l e i n a f t e r1 9 6 0 ，a st h e o r i e so fq u a s i - c o n f o r m a lm a p p i n gm a t u r e d ， l v a h l f o r sa n dl b e r sb r o u g h tk l e i n i a ng r o u p st h e o r yt oa c t i v ea r e ao fc o m p l e xa n a l - y s i sa sab r a n c ho ft e i c h m f i l l e rt h e o r y f i n a l l y , i na b o u t1 9 8 0 ，w p t h u r s t o nb r o u g h t ar e v o l u t i o nt oh y p e r b o l i cg e o m e t r ya n dk l e i n i a ng r o u p s ，8 0t h a th y p e r b o l i cm a n i f o l d s a n dk l e i n i a ng r o u p sa t t r a c t e dt h ea t t e n t i o no fm a n yt o p o l o g i s t s n o w ，ag r e a td e a lo f a d v a n c e sh a v eb e e no b t a i n e di nt h e o r yo fk l e i n i a ng r o u p s f o re x a m p l e l v a h l f o r s m a d ea h l f o r s m e a s u r ec o n j e c t u r ef o rf i n i t e l yg e n e r a t e dk l e i n i a ng r o u p s g d m o s t o w p r o v e dar i g i d i t yt h e o r e mf o rh y p e r b o l i cn - m a n i f o l d so ff i n i t ev o l u m e d p s u l l i v a ns t u d - i e dt h ed y n a m i c so fk l e i n i a ng r o u p sa c t i n go nt h eb o u n d a r yo fh y p e r b o l i cs p a c e w p t h u r s t o np r o v i d e dt h ec l a s s i f i c a t i o no fg e o m e t r i c3 - m a n i f o l d sa n dt h ef o l i a t i o n ss t r u c t u r e o ns u r f a c e c o m p l e xh y p e r b o l i ck l e i n i a ng r o u p sw e r ef i r s ts t u d i e db yp i c a r da ta b o u tt h es a m e t i m ea sp o i n c a r 6w a sd e v e l o p i n gt h et h e o r yo ff u c h s i a na n dk l e i n i a ng r o u p s i ns p i t eo f w o r kb ys e v e r a lo t h e rp e o p l e ，i n c l u d i n gg g i r a u da n de c a r t a n ，t h ec o m p l e xh y p e r b o l i c t h e o r yd i dn o td e v e l o pa sr a p i d l ya st h e r e a lh y p e r b o l i ct h e o r y l a t e r ，w o r ko fs c h e na n d l g r e e n b e r go ns y m m e t r i cs p a c e sa n dw o r ko fg d m o s t o wo nt h ec o n s t r u c t i o no fn o n - a r i t h m e t i cl a t t i c e sl e dt oar e s u r g e n c eo fi n t e r e s ti nc o m p l e xh y p e r b o l i cd i s c r e t eg r o u p s m a n yf a m o u sm a t h e m a t i c i a n sb e g a nt oi n v e s t i c a t et h ec o m p l e xh y p e r b o l i cg e o m e t r ya n d o b t a i n e dm a n yi m p o r t a n tr e s u l t s t h em a i np u r p o s eo ft h ep r e s e n tt h e s i si st od i s s c n s ss o m ep r o p e r t i e so fs u b g r o u p so f i s o m e t r i e so fc o m p l e xh y p e r b o l i cs p a c eo rr e a lh y p e r b o l i cs p a c ea n dd e s c r i b et h em o d u l i s p a c eo fq u a d r u p l e so fp o i n t si nc o m p l e xh y p e r b o l i cs p a c et o g e t h e rw i t hi t sb o u n d a r y w eo b t a i nt h ef o l l o w i n gm a i nr e s u l t s f i r s t l y , t h ea u t h o r so b t a i n e dan e c e s s a r yc o n d i t i o nf o rt w o - g e n e r a t o rd i s c r e t eg r o u p s o fp u ( 1 ，扎) ，a n dp r o v i daj o r g e n s e n si n e q u a l i t yf o rn o n - e l e m e n t a r ys u b g r o u p so fi s o m e - t r i e so fc o m p l e xh y p e r b o l i cs p a c eg e n e r a t e db yt w oe l e m e n t s ，o n eo fw h i c hi sr e g u l a re l l i p t i c e l e m e n t w eg i v eaj c r g e n s e n si n e q u a l i t yf o rs u b g r o u p sc o n t a i n i n gr e g u l a re l l i p t i cw i t h r e a lt r a c ea n dp r e s e r v i n gal a g r a n g i a np l a n e s e c o n d l y , b yu s i n gs o m ev e r s i o no fk l e i n - m a s k i tc o m b i n a t i o nt h e o r e ma n dt h ed i s - i v 双曲空间上等距子群的离散性与四点对的模空间 t a n c eb e t w e e nt h ec o m p l e xl i n e so rp o i n t sf i x e db yt w oe l l i p t i ce l e m e n t s ，w ee x p l o r et h e c o n d i t i o n sf o rt w oe l l i p t i ce l e m e n t sa n dt w op a r a b o l i ce l e m e n t si np u ( 1 ，2 ) t og e n e r a t e d i s c r e t ef r e eg r o u p t h i r d l y , w ed i s c u s st h r e ed i s c r e t e n e s sc r i t e r i o n so fn - d i m e n s i o n a ls u b g r o u pgo f p u ( 1 ，n ) t h i sr e s u l tg e n e r a l i z es o m ed i s c r e t e n e s sc r i t e r i o n se s t a b l i s h e db yj g i l m a n ， s y a n ga n da f a n g t h eb a s i ci d e ai np r o v i n go u rr e s u l t si st on o t et h a tt h es e t so f l o x o d r o m i ce l e m e n t so rr e g u l a re l l i p t i ce l e m e n t sa r eb o t ho p e nf a c i n gt h ei d e n t i t ye l e m e n t ad e n s et h e o r e mo fs c h e na n dl g r e e n b e r gw h i c hs a i dt h a tn - - d i m e n s i o ns u b g r o u p o fs u ( 1 ，钆) i sd e n s eo rd i s c r e t ei ns u ( 1 ，佗) a l s op l a ya ni m p o r t a n tr o l ei no u rp r o o f f u r t h e r m o r e ，i nt h el a t e9 0 so fl a s tc e n t u r y , j w a n d e r s o na s k e dw h e t h e rt w o f i n i t e l yg e n e r a t e dk l e i n i a ng r o u p sg 1 ，g 2ci s o m ( h 住) w i t ht h es a m es e to fa x e sa x e c o m m e n s u r a b l e w eg i v eav e r ys i m p l ee x a m p l et os h o wt h ea n s w e ro fa n d e r s o n sq u e s t i o n i sn e g a t i v ei ng e n e r a l w ed i s s c u s st h ec o n d i t o n sw h i c hi m p l yt w ok l e i n i a ng r o u p sa r e c o m m e n s u r a b l e f i n a l l y , w es t u d yt h em o d u l is p a c eo fq u a d r u p l e so fp o i n t sw i t ht h r e ei d e a lp o i n t s i nb o u n d a r ya n do n ep o i n ti nc o m p l e xh y p e r b o l i cs p a c e w ec o n s t u c tam o d u l is p a c eo f r e a ld i m e n s i o n6b yu s i n gc a r t a na n g u l a ri n v a r i a n ta n dg e n e r a l i z e dc o m p l e xc r o s sr a t i o k e yw o r d s ：k l e i n i a ng r o u p s ；c o m p l e xh y p e r b o l i cs p a c e ；c o m m e n s u r a b l e ； j o r g e n s e n si n e q u a l i t y ； v 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究 所取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包 含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到 本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：诈专 日期： o 歹年6 月垆日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密曰。 ( 请在以上相应方框内打) 作者签名：彳夺岔等 导师签名：f 矿 w 夕拜 1 日期： 。7 年y j 垆日 日期： 口夕年6 月声日 博士学位论文 第1 章绪论 1 1 课题的研究意义与发展概况 双曲几何与k l e i n 群的研究已有一百多年的历史早在十九世纪末，著名数学 家p o i n c a r 6 就建立了二维m s b i u s 变换的p o i n c a r 6 扩张公式二十世纪五十年代中 期，l v a h l f o r s 对k l e i n 群理论作了深刻的研究，并将其应用于t e i c h m f i l l e r 空间 理论的研究，提出了k l e i n 群的零测度猜想，吸引了一大批优秀的数学家从事双曲 几何和k l e i n 群的研究，并得到了许多很重要的研究成果例如，g d m o s t o w 建 立了高维有限体积双曲流形的刚性定理；d p s u l l i v a n 研究了k l e i n 群作用在双曲 空间边界上的动力行为；w p t h u r s t o n 讨论了三维流形的分类及曲面叶状结构 的分类这些标志性的主要成果使得双曲几何与k l e i n 群理论对微分几何，动力系 统，及低维拓扑等领域的研究产生了深远的影响 复双曲流形是双曲型r i e m a n n 曲面的高维推广形式之一，由作用于复双曲空 间h 5 上的等距变换群p u ( 1 ，n ) 的某些非初等无挠离散子群g 的轨道空间所形 成的尽管复双曲几何几乎与实双曲几何同时产生，二十世纪二三十年代， g g i r a u d 1 和e c a r t a n 2 】对复双曲二维空间做了大量的研究工作，但是复双曲几 何的发展相对于实双曲几何来说要缓慢的多1 9 7 4 年，s c h e n 和l g r e e n b e r g 3 研究了秩1 对称空间；1 9 8 0 年，g d m o s t o w 【4 】构造了作用在复双曲空间上的非 算术格；1 9 8 9 年，d t o l e d o 5 】研究了黎曼曲面的基本群到复双曲等距群中的表 示，得到了t o l e d o 刚性定理特别是上个世纪八十年代，美国著名数学家w m g o l d m a n 和r e s c h w a r t z 在马里兰大学建立了几何实验室，带领他们的研究小组 重点开始复双曲几何与复双曲等距群的研究，建立了复双曲几何的基本理论 w m g o l d m a n 在1 9 9 9 年出版了关于复双曲几何的著名专著 6 目前，复双曲几何学正受到众多学者的越来越多的重视 g d m o s t o w 【4 ，7 】， w m g o l d m a n 8 ，9 】，r s c h w a r t z 1 0 - 1 3 1 ，j r p a r k e r 1 4 1 7 ，e f a l b e l 【1 8 2 0 ，m d e r a u x 2 1 2 3 等都在复双曲几何学中做了许多非常重要的工作例如， w m g o l d m a n 和j m i l l s o n 9 证明了复双曲空间上等距群的局部刚性( l o c a lr i g i d i t y ) 定 理 e f a l b e l 2 4 ，2 5 】得到了一类三角群的局部刚性和局部弹性( f l e x i b i l i t y ) 的结 果m d e r a u x 构造了某些m o s t o w 格的基本域w m g o l d m a n 和j r p a r k e r 8 】 首先研究了含参数的理想三角群的离散性并提出了g o l d m a n p a r k e r 猜想 r s c h w a r t z 1 0 ，1 3 】证明了这个猜想，他证明了理想三角群离散当且仅当三个反射生 成元的乘积不是椭圆元素，并指出了参数绝对值等于8 1 1 9 3 8 时，三个反射生成元 的乘积是抛物的，参数绝对值大于8 1 1 9 3 8 时，三个反射生成元的乘积是无限阶椭 圆的r s c h w a r t z 和w m g o l d m a n 的学生j w y s s g a l l i f e n t 在他的博士论文 2 6 】 一1 一 双曲空间 ：等距子群的离散性与四点对的模空间 中详细地研究了三角群( 4 ，4 ，o 。) 他证明了参数为某些特殊值时，三角群( 4 ，4 ，) 是离散的，并猜测在某些区间里有无数多个值使得相应的三角群是离散的同时， 他也研究了三角群( n ，佗，o o ) 在n 很大的情况下的离散性j r p a r k e r 1 4 ，1 5 研究 了三角群( n ，礼，n ) 和一些复双曲格( c o m p l e xh y p e r b o l i cl a t t i c e s ) 的构造无论是三 角群的形变研究还是构造双曲格，离散性的判定都是一个最根本的问题由此可 见，研究复双瞌等距群的子群的离散性是非常有意义和有价值的 在c 2 中的单位球上有一个负全纯截曲率( 可以正则化为一1 ) 的自然度量，叫 b e r g m a n 度量正如实双曲空间上的球模型一样，c 2 中的单位球和b e r g m a n 度量 一起构成了复双曲2 维空间h 毛的球模型但是，h 丕的实截曲率不再是一个常 数而是夹在一1 和一1 4 之间复双曲2 维空间的另外一个模型是抛物模型，又叫做 s i e g e l 域模型这个模型类似于h 蠢的上半空间模型因为复双曲1 维空间h i 实 际上就是c 中赋予p o i n c a r 6 度量的单位圆盘，所以复双曲2 维空间h 刍是平面双 曲几何的自然推广但是又和平面双曲几何到高维实双曲空间上的推广完全不同 n 维复双曲空间的k ( 1 k 咒) 维全测地子流形只有两种：全纯全测地子流形，解 析同胚于忽维复双曲空间h 垒；全实全测地子流形，同胚于k 维实双曲空间h 备；这 里h 备为k 维实双曲空间的b e l t r a m i k l e i n 射影模型在离散群几何理论中，多面 体是一个重要概念实双曲几何中，联系离散群和基本多面体之间关系的p o i n c a r e 多面体定理是沟通群的代数方面和空间的几何方面的重要桥梁由于复双曲空间 不存在全测地实超曲面，基本多面体的构造就成了一个困难的问题这也是复双 曲k l e i n 群的研究比k l e i n 群的研究要更加复杂的原因之一 本文主要讨论以下几个问题 1 m 5 b i u s 群的非初等子群离散的必要条件一直受到人们的关注 1 9 7 6 年， t j c r g e n s e n 2 7 给出了s l ( 2 ，c ) 中两个元素生成离散子群的必要条件 定理设有。厂，g s l ( 2 ，c ) 如果 亡r 2 ( 厂) 一4 i + l t r ( f g f 一1 9 一1 ) 一2 i 1 ， 那么( 厂，夕) 或者非初等，或者不离散 近几十年来，在t j 0 r g e n s e n 的工作影响下，许多人研究了j o r g e n s e n 不等式 相关或更一般的离散群不等式，得到了有关离散群的重要不等式 f w g e h r i n g 和g j m a r t i n 在文中 2 8 3 1 】研究了二维或高维m s b i u s 变换的迹，弦范数，矩阵 范数的不等式，并且应用这些不等式，对三维或高维完备双曲流形的嵌入球半径 和嵌入管状区域半径得到很好的估计，从而在双曲流形体积的最小下界估计方面 得到了非常好的结果s h e r o n s k y 3 2 对高维m 6 b i u s 群m ( r n ) 的双曲元得到了 j c r g e n s e n 不等式s h e r o n s k y 3 3 还在m ( r n ) 中推广了s h i m i z u 引理( 一元素为 抛物元素的j o r g e n s e n 不等式) ，利用这个推广，s h e r o n s k y 得到了非紧双曲流形 一2 一 博士学位论文 体积的下界估计p l w a t e r m a n 3 4 】得到了一些非常重要的关于c l i f f o r d 矩阵 形式的j 0 r g e n s e n 不等式所有这些工作也进一步说明了对离散群不等式的研究是 很有意义的随着复双曲几何的发展，一些作者开始相应的研究复双曲空间上等 距子群的离散性s k a m i y a 3 5 ，3 6 和j r p a r k e r 3 5 ，3 7 给出了p u ( 1 ，n ) 的二 元生成子群且其中一生成元为h e i s e n b e r g 传递时的j 0 r g e n s e n 不等式的推广 j r p a r k e r 【3 8 ，3 9 】，s h e r o n s k y 和f p a u l i n 4 0 】等在复双曲空间中推广了s h i m i z u 引 理，获得了非紧复双曲流形体积的下界估计a b a s m a j i a n 和r m i n e r 4 1 用稳定 盘的几何概念给出了p u ( 1 ，2 ) 的二元生成子群j 0 r g e n s e n 不等式的推广蒋月评教 授，s k a m i y a 和j r p a r k e r 4 2 继续推广了p u ( 1 ，2 ) 的二元生成子群的j 0 r g e n s e n 不等式利用这个不等式，j r p a r k e r 和s m a r k h a m 4 3 对复双曲流形嵌入管状 区域半径得到很好的估计，从而获得复双曲流形的体积的一个下界估计蒋月评 教授和j r p a r k e r 【4 4 】还处理了当其中一生成元是h e i s e n b e r g 螺旋运动的情况 我们类似的也得到了其中一生成元为正则椭圆元素的j 0 r g e n s e n 不等式 2 如何建立m 6 b i u s 变换群的离散准则是一个非常重要的问题t j 0 r g e n s e n 4 5 】 运用他的不等式得到了一个关于二维m s b i u s 群的经典离散性判别准则： j o r g e n s e n 判别准则s l ( 2 ，c ) 的非初等子群g 离散的充分必要条件是g 的 任两个元素生成的子群是离散的 j g i l m a n 4 6 】，g r o s e n b e r g e r 4 7 和n a i s a c h e n k o 4 8 】等分别在s l ( 2 ，r ) 和 s l ( 2 ，c ) 中加强了j 0 r g e n s e n 离散准则他们分别证明了s l ( 2 ，r ) 和s l ( 2 ，c ) 中的 非初等子群g 是离散的充分必要条件是g 的任意两个双曲或斜驶元素生成的子群 是离散的对于高维情形，w a b i k o f 和a h a a s 4 9 】在双曲空间的维数大于3 时证 明了i s o m ( h n ) 的一个扎一维群离散当且仅当它的所有二元生成群离散他们还构 造反例说明在研究高维离散判别准则时，对g 的元素附加某些条件是必要的g j m a r t i n 5 0 】和p l w a t e r m a n 3 4 分别在g 是m ( b n ) 和m ( r n ) 的有限生成非初 等子群时，将j 0 r g e n s e n 离散准则推广到了高维m 6 b i u s 群情形 g j m a r t i n 5 1 】 在一致有界挠的条件下进一步将j c r g e n s e n 离散准则推广到了p i n c h e dh a d a m a r d 流 形上方爱农教授和乃兵 5 2 推广j c r g e n s e n 离散准则到高维m s b i u s 群情形时引人 了条件a ，这个条件比一致有界挠弱蒋月评 5 3 】，王仙桃和杨维奇 5 4 】等进一步弱 化了附加在g 上的条件在复双曲几何中，s k a m i y a 5 5 ，5 6 】讨论了复双曲空间 上等距群的离散性方爱农教授和杨世海 5 7 等给出了复双曲空间上等距群的n 一 维子群离散的充分必要条件是它的任意两个椭圆生成的群离散我们在本文中将 进一步扩展他们的结果 3 两个k l e i n 群是否共约( c o m m e n s u r a b l e ) 是个有趣的问题从拓扑上看，k l e i n 群是否共约就是是否存在一个空间能同时覆盖这两个k l e i n 群的商轨形( o r b i f o l d ) 有限次从代数上看，所谓个k l e i n 群是否共约就是这两个k l e i n 群的交在这两个 3 一 双曲空间f ：等距子群的离散性与网点对的模窄间 k l e i n 群中的指数是否都是有限数k l e i n 群中元素的轴投影到商轨形( 或流形上) 为测地线商轨形上测地线上测地线长度的集合为长度谱两个k l e i n 群具有相同 的轴集，那么它们是否共约的问题类似于黎曼流形的长度谱刚性问题g m e s s 5 8 首先证明了两个有限生成非初等f u c h s 群共约的充分条件就足这两个群中元素的轴 的集合是相等的然后，d d l o n g 和a w r e i d 5 9 运用算术群的一些方法在非 常特殊的一类群( 算术f u c h s 群) 情况下给予了肯定回答这些结果促使j a n d e r s o n 形成对高维双曲空间类似的问题作者给出了j w a n d e r s o n 6 0 的这个问题肯定 答案不存在的例子，给于并严密论证了肯定答案成立的条件这是第一次在高维 的情形，运用不同的方法得到的唯一的结果 4 p s l ( 2 ，c ) 和p s l ( 2 ，r ) 中两个元素是否能生成离散自由的群已经被很多人 所研究了m s b i u s 变换群中两个元素生成离散自由的群的条件需要比j c r g e n s e n 不等式更强的条件1 9 6 8 年左右，a w k n a p p 6 1 】便对p s l ( 2 ，r ) 中两个椭圆元 素生成群等情形得到了重要的结果对于a ，b 两个具有不同固定点的椭圆元素，通 过对4 ，b ，a b 的迹的限制，a 和b 生成的群是离散的，而且对a 和b 中元素加上 限制条件，a 和j e 7 生成的群为s c h w a r t z 三角群n p u r z i t s k y 6 2 6 5 对p s l ( 2 ，r ) 中二元生成群也进行了大量的研究他给出了p s l ( 2 ，r ) 中任意两个元素4 和b 生成的群是循环群( a ) 和( b ) 的离散自由乘积的充分必要条件另外，他还对两个 双曲元素a 和b ( 其中a b 是有限阶椭圆元素) 生成的离散群进行了分类实际上 这时( a ，b ) 为离散的三角群所以三角群的研究和二元生成群的研究有着紧密的 联系r r e e 6 6 ，b c h a n g ，s a j e n n i n g s 6 7 1 ，r l y n d o n 和j u l l m a n 6 8 ，6 9 】得到 了p s l ( 2 ，r ) 中两个共轭成标准形式的抛物变换生成离散自由群的条件作为平面 m 6 b i u s 变换情况的推广，f w g e h r i n g ，g j m a r t i n 7 0 等证明了如果p s l ( 2 ，c ) 中两个椭圆元素的轴之间的距离必须大于或等于某个常数，那么这两个椭圆元素 生成离散自由群我们在p u ( 1 ，2 ) 中类似的证明了两个生成元分别是关于点或者 复线的反射的情形运用组合定理等类似的几何方法，我们还讨论了p u ( 1 ，2 ) 中 两个抛物元素生成离散自由的群的条件这些结果是实双曲的结果在复双曲中的 推广 5 复双曲几何中一个重要的问题便是对复双曲空间h 5 ，或者它的边界0 h 5 中处于一般位置的m 个几何对象的p u ( 1 ，n ) 一轨道进行分类一般地，这m 个点可 以认为是多个几何对象混合而成的构型( c o n f i g u r a t i o n ) ，例如，超平面，测地线，点 等m 个有序点有许多几何方面的解释譬如，a h 冬中4 个有序点可以看作是理 想四面体的四个顶点一个理想四面体可以由夕p u ( 1 ，7 7 , ) 映射到另一个理想四面 体时就说这两个理想四面体是等价的一个自然的问题就是不等价的理想四面体 到底有多少这个问题也等价于这样的理想四面体的顶点的p u ( 1 ，n ) 一轨道到底有 多少 一4 一 博士学位论文 这类问题的解决一般需要下面两个步骤 第一，确定出与这m 个有序点的p u ( 1 ，n ) 一轨道的最少个数的几何不变量并找 出这些不变量之间的关系 第二，证明m 个有序点的p u ( 1 ，几) 一轨道到这些几何不变量的集合之间的对应 是一一的 这些想法对其他数域的双曲几何，欧氏几何，椭圆几何也是适用的一个简 单的例子可以说明上面的方法例如，我们来决定欧氏平面e 2 上不共线的3 点的 i s o m ( e 2 ) 一轨道个数i s o m ( e 2 ) 为欧氏平面中平移和旋转变换容易知道欧氏平 面中两个三角形全等当且仅当这两个三角形的三边长是相等的两个全等的三角 形可以用平移和旋转让它们重合，即它们是等价的因此，这3 点构成的三角形的 三边长就是3 点的i s o m ( e 2 ) 一轨道的最少几何不变量这三边长所满足的三角形 三边长之间的关系就是这3 个几何不变量所满足的关系显然满足这个关系的三 边长唯一地确定一个i s o m ( e 2 ) 一轨道 u b r e h m 7 1 和b e t t a o u i 7 2 ，7 3 在复双曲空间中也类似地解决了这样的问 题 e c a r t a n 2 则说明了2 维复双曲空间h 亳的边界0 h 2 ，即h e i s e n b e r g 群上的 三点的p u ( 1 ，2 ) 轨道仅由【一吾，吾】中的实数就可以决定了按照h s a n d l e r 和j h a k i m 7 4 】的n + 1 点模空间的实维数的计算公式，决定轨道的几何不变量个数随 着点的个数呈平方形式增加所以在点的个数较多时，问题就变的非常复杂在 点的个数超过4 的情况还没有什么结果在4 个点的情况下，f a l b e l - p l a t i s ( 7 5 ，7 6 】 和p a r k e r p l a t i s 17 分别得到了不同但等价的结果但是，最近h c u n h a 和n g u s e v s k i i 7 7 】指出e f a l b e l ，j r p a r k e r ，i o a n n i sd p l a t i s 等的结果有错误并得到了 新的结果受他们的工作的启发，我们讨论了4 个点中有3 个理想点在a h 毛中， 1 点在h 丕的情况 1 2 本文的安排及主要工作 本论文的目的是讨论复双曲空间等距群的子群离散的必要条件及二元生成子 群离散自由的条件，复双曲空间等距群的n 维子群离散的充分必要条件，高维k l e i n 群的共约问题，复双曲空间及其边界上四点( 三个理想点在边界上和另一点在空间 中) 的模空间全文安排如下： 在第二章中，我们给出复双曲几何的两个基本模型和其它基本背景知识的介 绍 在第三章中，我们首先研究了复双曲空间上二元等距子群生成离散子群的必 要条件由于我们的结果是共轭不变的，我们首先将正则椭圆元素a 共轭如下： 一5 一 双曲空间上等距子群的离散性与田点对的模空间 命题3 1 1如果a 为正则椭圆元素，那么a 可以共轭为 a = = 钍00 00 00 叫 其中i i = i v i = l w i = 1 ，u v w = 1 利用正则椭圆元素4 的共轭形式和类似于j 0 r g e n s e n 的结果的方法，我们提供 一个关于p u ( i ，2 ) 的二元生成子群且其中一生成元为正则椭圆元素时的j 0 r g e n s e n 不等式 定理3 1 1 设a 和b 是s u ( 1 ，2 ) 中的两个元素，并且a 是固定口a 的正则 椭圆元素如果 c o s h 2 掣l u - - w 1 2 i i v - - w 1 2 ) 2 之外也有点使得群( a ，b ) 是自由离散的例如，t 0 且 使得g 离散的t 满足g 是离散自由的条件 在第四章中，我们研究复双曲等距群的n 一维群g 离散的充分必要条件这里 说g 是n 一维群主要是指g 不能固定复双曲空间的边界0 h 5 上某一点或者不能 保持复双曲空间h 5 的全测地子流形不变 本章得到了一些新的复双曲等距群离散的充分必要条件，而且我们的部分结 果推广了已有的结果首先，我们有下面的命题 命题：p u ( 1 ，n ) 中的斜驶元素构成p u ( 1 ，儿) 中的开集 利用s c h e n 和l g r e e n b e r g 的稠密性结果和上面的结论，我