（应用数学专业论文）几类非线性发展方程和方程组的定性研究.pdf

1】， j1 q u a l i 咖i v e st u d i e sof so m en o n l i n e a re v o l u t i o n e q u a t i o n s a n ds y s t e m s ad i s s e r t a t i o ns u b m i t t e dt o s o u t h e a s tu n i v e r s i t y f o rt h ea c a d e m i cd e g r e eo fd o c t o ro fs c i e n c e b y y u s h e n g q i s u p e r 、r i s e db y p r o f e s s o rw a n gm i n g ) ( i n d e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c s s o u t h e a s tu n i v e r s i t y j u n e2 0 1 0 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示了谢意 研究生签 嗍盈出。7 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学，中国科学技术信息研究所，国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复 印件和电子文档，可以采用影印，缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内容和 纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布 ( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办 理 研究生签名 砸新签趟 几类非线性发展方程和方程组的定性研究 研究生：郁胜旗导师：王明新教授 东南大学 摘要：本文研究几类非线性发展方程和方程组解的定性性质：初值或初边值问题解的 整体存在性、渐近行为和有限时刻爆破等主要内容安排如下： 第一章介绍与本文的研究工作相关的背景与发展概况，并概述本文的主要工作 第二章考虑带多项式型源项和有奇性核的立方卷积型非线性耗散项的粘弹性波方程 的柯西问题在对初值和松弛函数加以适当的条件假设以后，利用修正的能量泛函证明了 解的有限时刻爆破结果 第三章研究由两个粘弹性波方程组成的弱耦合系统的初边值问题不同于传统的证 明方法，在未对松弛函数作任何衰减速率假设的情况下，通过引入函数平坦集和平坦率的 方法，证明了系统解的一致稳定性我们所需假设的条件仅是两个核函数存在平坦集，并 且平坦率充分的小 第四章讨论一类带有非线性耗散项和非线性源项的波动方程的初边值问题首先，我 们通过s c h a u d e r 不动点定理证明了解的局部存在性和唯一性然后通过构造一个适当的 泛函证明了整体解的有界性最后通过引入n e h a r i 流形、稳定集和不稳定集方法以及位势 井方法的运用给出了解的整体存在性、有限时刻爆破和衰减的结果 第五章考察一类新近提出的改进后的二元c 锄鹪s a - h o l m 方程首先通过运用k a t o 定 理，建立了方程解的局部适定性理论其次运用能量方法给出了解整体存在的充分条件 然后我们通过推导出一个关于( t ，z ) 的o o 模估计，结合上述解的整体存在性结果给出 了解爆破的精确刻画最后我们通过一个能量守恒律的推导，得到了方程解爆破的几个充 分条件和一个爆破速率估计 第六章研究由c a i n a 黯a h o l m 方程和d e g a s p e r i s - p r o c e s i 方程组成的交互作用系统的柯 西问题首先利用适用于非线性双曲型方程的k a t o 定理得到了系统解的局部适定性，然后 通过细致的解的l o 。模的先验估计，我们针对系统中的两个变元分别给出了解爆破的充分 条件 第七章讨论带有弱耗散项的d u u i n g 0 t t w a l d - h o l m 方程首先给出解的局部适定性结 果，然后关于此方程就空间周期解给出几个新的爆破结果和整体存在性结果最后考虑解 衰减性质的持续性，并证明了若初值函数有紧支集，那么对应于该初值的所有非平凡的古 典解都不会有紧支集 关键词：粘弹性波方程，浅水波方程，局部解，整体解，有限时刻爆破，渐近性 q u a l i t a t i v es t u d i e so fs o m en o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sa n d s y s t e n ：l s s t u d e n t ：y us h e n g q i i 、l t o r ：p m f ；e 潞o rw a n gm i n g x i n s o u t h e 嬲tu n i v e r s i t y a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o nc o n c e r n sw i t ht h eq u a l i t a t i v ep r o p e r t i e sf b rs o 加- en o i l l i i l e a r e v o l u t i o ne q u a t i o 璐a n ds y s t e i 璐t h em a i nw o r ki n c l u d et h e9 1 0 b a le x i s t e n c e ，弱y m p t o t i cb 争 h a v i o ra n d 丘n i t et i m eb l o w - u po fs o l u t i o i l st ot h ei 咄i a lo ri n i t i a l b o u n d a 眄v a l l u ep r o b l e i 璐 i nt h e 丘r s tc h a p t e rw er e v i e ws o m ed e v e l o p m e i l to ft h er e l a t e dp r o b l e m sa n ds l l m m a n z e t h em 出nw o i ko ft h ep r e s e n td i s s e r t a t i o n i nc h a p t e r2 ，w ec o 璐i d e rac a u c h y 们s c o e l a l s t i cp r o b l e mw i t ha1 1 0 n l i n e a rs o u r c eo fp o l y n o m i a l lt y p ea l n dan o n l i n e a u rd i 鹋i p a t i o no fc u b i cc o n l l u t i o nt y p ei i i v o l v i n gas i n g u l 盯l 【e 】m e l u n d e rs i l i t a b l ec o n d i t i o 璐o nt h ei l l i t i a ld a 土a 蚰dt l l er e l 删i o nf h n c t i o n ，i ti 8p r o v e dt l l a tt h e s o l u t i o no ft h i sp 越i c u l a rp r o b l e mb l o w su pi nf i n i t et i m e c h a p t e r3i i 鼯t i g a t 箦柚i n t e r a c t i n gs y s t e mc 0 璐i s t i n go f 钿吣w e a k l yc o u p l e d 、，i s c o e l a s t i c e q u a t i o n s t l l i sw o r kp r o v 髑a 咖f o r ms t a b i h z a t i o nr e s u l tw i t h o u ta 鹃u m i n g 锄yd e c a yr a t eo f t h er e l a x a t i o nf h n c t i o 璐，p r a v i d e dt h a 土t h er e l a x a t i o nf h n c t i o 璐h a 、，es o m e 丑a 土z o n 豁，t h ea a t n e s s r a t e sa r es 皿c i e n t l ys m a u i nc h a p t e r4 ，w es t u d yaw a 、，ee q u a t i o ni nab o u n d e dd o m 撕nw i t hn o i l l i i l e a rd i s s i p a t i o na j l d n o n l i i l e a rs o u r c et e r m b ya p p l 妒n gs c h a u d e r s 缸e dp o i n tt h e o r y w eo b t a i nt h el o c a le x i s t e n c e 钔1 du n i ( 1 u e n 晒so ft h es o l u t i o n t h e nb yi n t r o d u c i n gn e l l a 面m a i l i f o l d ，w i t ht h ea p p l i c a t i o no ft h e s t a b l ea n du n s t a b l es e ta n dp o t e n t i a j r e ut h e o r y ，c h a r a c t e r i z a t i o 璐w i t hr e s p e c tt oq u a l i t a t i v e p r o p e r t i e so ft h es o l u t i o n ：g l o b a l i t y ，b l o w i l p ，c o m ，e r g e n c eu pt oas u b s e q u e n c et o w a u r bt h e e ( i u i l i b r i aa n de x p o i l e n t i a ls t a b i l i t y 御陀百v e ni nt h i sc h a p t e r c h a p t e r5d e a l sw i t han e w l ym o d 进e dt w 争c o m p o n e n tc 锄a s s 和h o l me q u a t i o n f i r s t ，w e 铭t a b l i s ht h el o c “w e u - p o s e d b l e s sr e s l l l t ，t h e nw ep r 豁e n tap r e c b l o w u ps c e n a r i o a r e r w a r d s ， ，ed e r i v ean e wc o n s e r v a 土i o nl 勰， b yw l l i c ha n dt h ep r e c i s eb l o w - u ps c e n a r i ow ep r o v et h r b l o w - u pr 船l l l t 8a n dab l o w - u pr a t e 鹤t i m a t e i nc h 印t e r6 ，w ea r ec o n c e r n e d 丽t ht h e1 0 c a le ) 【i s t e n c ea n db l 删u pr e s l l l t sf o r 她i n t e r - a u c t i n gs y s t e mw h i c hc o n t a i l l st h ec a m a s s 跏h 0 1 m 扭dd e g a u s p e r 珏p r o c 销ie q u a t i o 璐w 色6 r s t 豁t a b l i s ht h el o c a lw e u - p o s e d n e s sr e s u l tb ya p p l y i n gk a t o 8s e m i f o u pa p p r o 础lt on o n l i n e a r l l h y p e r b o l i ce v d u t i o ne q u a t i o 璐t h e nw ep r o v eap r e c i s eb h v - u ps c e n a r i or 箦u l t a t1 a s t ，w e p r 箦e n tt w ob l o w - u pr e s l d t sf o rs t r o n gs o l u t i o 璐p r 硎d e dt h a tt h e i n i t i a ld a t as a t i s 匆印p r o p r i a t e c o n d i t i o n s i nt h el a s tc h a p t e r ，w es t u d y v e r 甜p r o b l e m 8o nt h ed 1 1 1 l i n - g 0 t t w a l d h o l m ( d g h ) e q u a 广 t i o nw i t haw e a kd 豳i p a t i o nt e n n f i r s t ，w e 髑t a b l i s ht h el o c a l lw e l l - p o s e d n e 韶r e s u l t ，t h e nw e p r e s e n ts e v e r a l lm l wb l d wu pr e s u l t sa n dd i s c u 暑st h eg l 0 b a le ) 【i 8 t e i 脱o ft h es o h l t i o nf o rt h ep e _ r i o d i cc 鹪e f i n a l l y w ee x a i n i n et h ep e r s i s t e n c eo fd e c a yp r o p e r t i e sf o rt h ee n e r 斟o fs o l u t i o n o ft h i sw e 蒯yd i s s i p a t i v ed g he q u a t i o n ，a n dw ep r o v et h a ta n yn o n t r i 、r i 猷c l a u s s i c a l ls o l u t i o no f t h ee q u a t i o nw i un o th a v ec o m p 诎s u p p o r ti fi t si i l i t i a ld a t ah a st h i sp r o p e r t y k 叼7 w o r d s ：v i s c o e l a s t i cw a v ee q u a t i o n ， s h a l l o ww a t e re q u a t i o n ， l o c a l ls o l u t i o n ， g l o b a l s 0 1 l l t i o n ， 丘n i t et i m eb l o wu p ，弱y i n p t o t i cb e h a v i o r 1 l l 目录 第一章前言 l 1 1 研究背景及发展概况。1 1 2 本文的主要工作 9 第二章带立方卷积型非线性耗散项的粘弹性波方程柯西问题解的爆破1 3 2 1 引言1 3 2 2 预备知识 1 4 2 3 解的有限时刻爆破1 5 第三章非线性粘弹性波方程组解的多项式稳定性2 1 3 1 引言2 l 3 2 预备知识和主要结果。2 2 3 3 定理3 2 1 的证明2 5 第四章带非线性耗散项和非线性源项的强阻尼波动方程的研究 3 2 4 1 引言3 2 4 2 预备知识3 3 4 3 整体解的有界性3 9 4 4 解的整体存在性4 2 4 ，5 解的有限时刻爆破4 4 4 6 解的能量的指数衰减4 7 第五章改进后的二元c 锄躯s a - h o l m 方程解的适定性和爆破5 0 5 1 引言5 0 5 2 解的局部适定性5 2 5 3 解的爆破标准5 6 5 4 解爆破的充分条件及爆破速率6 2 第六章由c 眦舾s a - h o l m 方程和d e g 雒p e r i s - p r o c e s i 方程组成的交互作用系统的 研究 6 7 6 1 引言6 7 i v 6 2 解的局部适定性6 8 6 3 解的爆破标准7 5 6 4 解爆破的充分条件8 0 第七章 带弱耗散项的d u l l i n - g o t t w a l d h o l m 方程的研究 9 0 7 1 引言9 0 7 2 解的局部适定性9 2 7 3 空间周期情形解的爆破现象和整体存在性9 3 7 4 解衰减性质的持续性1 0 3 7 5 古典解的无限传播速度1 0 7 参考文献 附录一攻博期间完成论文列表 附录二致谢 1 1 0 1 2 l 1 2 2 第一章前言 近年来，人们开始深入的研究非线性科学并将其研究成果应用于自然科学的各个领 域，如：数学、生物学、化学、光学、场论、通讯、凝聚态物理、低温物理、流体力学、等离 子物理等，并在这些领域中提出了新的问题作为非线性科学的一个重要分支，处于不同 背景下的非线性发展方程越来越引起人们的重视它的主要研究对象源自流体力学、生 物学、化学、等离子体、光学、通信等领域的动力学模型非线性发展方程的研究不仅能 为特定的学科提供定量分析的理论依据，而且也能为数学科学自身的发展提供新的研究 思路，从而大大促进了分析学、偏微分方程等相关学科的新研究方法的产生 一般而言，非线性发展方程的显式解是很难得到的，但我们却可以间接的去寻找解的 性质这样，虽然我们不能获得显式解，但通过这些性质我们却可以大致的刻画出解的特 征对于非线性发展方程解的性质的寻找是研究非线性发展方程的核心问题，这些性质 包括解的存在性、唯一性以及大时间渐近性态具体来说就是：对于给定的初值，方程是 否有解? 若有解，解是局部解还是整体解? 若是局部解，能否延拓为整体解? 解是否唯一? 当时间趋于某一时刻或趋于无穷时，解会表现出何种渐近性态? 不同于线性发展方程的 是，非线性发展方程的古典解通常只能存在于有限的时间段内，即使对于充分光滑充分小 的初值也是如此因此，解在有限的时间内会失去其正规性而产生奇性( 解本身或某些导 数趋于无穷) ，这一现象称为解的爆破本文将致力于几类非线性发展方程和方程组解的 存在性、有限时刻爆破以及整体解的大时间渐近性态等问题的研究 1 1 研究背景及发展概况 粘弹性( v 硫o e l 嬲t i c i t y ) 是指流体的粘滞性及固体的弹性的综合性质许多材料因同时 具有类似固体的特性( 如：弹性、强度、稳定性) 和类似液体的特性( 如：随时间、温度、负 荷大小和速率的变化流动的特性) 而称为粘弹性材料( 如：塑料、橡胶等) 由于弹性起着 支撑缓冲的作用，而粘性起着阻尼和吸收能量的作用，因此粘弹性材料在减震、缓冲系统 中被广泛应用随着粘弹性材料力学研究的不断深入，从中抽象出来粘弹性波方程的动力 学模型也获得了越来越多学者的关注 c a 叫c a n t i 等人于2 0 0 2 年在文献【2 0 】中考虑了下列方程的初边值问题 fu 拢_ u + z 2 邪一s ) 舭( s ) 山州札+ ，( 叫_ 0 ( 州) qx ( 0 川， u ：o ， ( z ，) a q ( o ，。) ，( 1 1 1 【t 正( z ，o ) = u o ( z ) ，t t t ( z ，o ) = t l ( z ) ，z q ， 2 东南大学博士学位论文 其中q 是r n 中的一个有界区域，a q 是其边界方程( 1 1 1 ) 可以被看做一个描述遵循v o i g l l t 模 型( 见文献【9 6 ，1 6 0 】) 的粘弹性记忆材料的纵向运动的模型关于此类粘弹性波方程的详 细背景，可参见文献【6 1 ，1 3 6 】方程( 1 1 1 ) 中9 ( ) 称为松弛函数或核函数，积分项表示粘 弹性材料的张力不仅依赖于材料当前的状态，而且与过去材料的拉紧情况也有密切的关 系在这篇文章中，作者通过假设松弛函数夕( ) 满足指数衰减条件：存在专1 o 和2 o 使 得一1 9 ( ) 夕他) 一夕( ) ，vt 0 ，并假定函数n ( z ) 在q 的一个满足某些几何条件限制的 子区域u 上满足条件：n ( z ) n o o ，运用扰动的能量方法得到了解的能量的指数衰减结 果 文献【2 0 】中的工作后来又被b e r r i m i 和m e s s a o u d i 在文献【1 0 】中推广至非线性阻尼的情 形： ， l 毗一u + 9 一8 ) u ( s ) d s + 口( z ) u i t t l m + i t 正 7 t 正= o ， ，) q ( o ，o 。) ， ：o ， ( z ，) a q ( o ，) ，( 1 工2 ) l “( z ，o ) = u o ( z ) ，牡t ( z ，o ) = t 正l ( z ) ， z q 而且他们通过引入新的能量泛函减弱了函数n ( ) 的条件，允许口在q 的任何子区域( 包括q 本身) 上消失这样，文献【2 0 】中加在u 上的几何限制条件就可以去掉并且他们在这弱化 了的条件假设下，得到了一个解的能量的指数衰减结果 后来，同样的两个作者在文献f 1 1 1 中研究了源项与粘弹性耗散项相竞争的模型： t社 iu 托一牡+ 9 ( t s ) t ( s ) d s = i t 正1 1 t 正， ( z ，t ) q ( o ，o 。) ， u ：o ， ( z ，t ) a q ( o ，o 。) ， ( 1 工3 ) 【u ( z ，o ) = “o ( z ) ，u t ( z ，o ) = t 正1 ( z ) ，z q ， 其中，y o ，9 是一个非负递减的函数他们证明了解的一个局部存在性定理，并且证明了 在对松弛函数9 和指数7 加以适当的条件假设下，该初边值问题的解是整体存在的，并且 解的能量究竟是多项式衰减还是指数衰减取决于松弛函数的衰减速率就同样的问题，在 文献【1 1 8 】中，通过进一步细化估计，m e 瓣u d i 证明了对于某些特定的松弛函数和特定的 初值，解的能量的衰减速率和松弛函数的衰减速率是类似的更精确地讲，作者证明了解 的能量依照类似松弛函数衰减速率的的速率而衰减，衰减的速率不仅仅是我们之前处理 相关问题时所得到的多项式型衰减速率或指数型衰减速率因此，这个结果的证明使得我 们能够针对更多的松弛函数( 并不一定要求是多项式型衰减或指数型衰减的) 去做解的能 量的衰减速率估计这个结果也从本质上改进了先前仅考虑多项式型衰减和指数型衰减 的结果 第一章前言 3 当方程( 1 1 3 ) 中不含有非线性源项时，t a t a r 在文献【1 4 5 】中引入了平坦集和平坦率的 概念，并且通过此概念的引入证明了即使在不对松弛函数9 加多项式型衰减条件的情况 下，所得的解的能量仍然能够是多项式衰减，所需假设的条件仅是松弛函数9 有平坦集，且 平坦集充分的小 有关粘弹性波方程组解的能量的衰减速率估计，我们可以参考文献【1 2 2 】，在这篇文献 中，作者m e 鼹a o u d i 和t a t a u r 考虑了如下粘弹性耦合系统的初边值问题： 毗一t + 9 ( 一s ) 让( s ) d s + ，( u ，口) = o ， 0 ，) q ( o ，) ， ，0 ，t u 托一u + ( 一8 ) u ( s ) d s + 七( t 正，t ，) = o ， 0 ，) q ( o ，o o ) ， ，o ( 1 1 4 ) t = = o ，( z ，t ) a q ( o ，o o ) ， t ( z ，0 ) = t 幻( z ) ，t t ( z ，0 ) = 缸1 ( z ) ， z q ， u ( z ，o ) = t 幻( z ) ，仇( z ，o ) = 秒1 ( z ) ， z q ， 其中q 是r “中带有光滑边界锄的有界区域，如，如，u 1 ，秒1 是给定的初值，9 和 是连续的 松弛函数在对耦合非线性项，( 仳，口) 和后( u ，u ) 加以适当的条件假设后，作者将单个方程解 的能量衰减做到方程组的情形，并得到了一个一般形式的能量衰减的结果 c a v a l c a n t i 等人在文献【1 8 】中考虑了下列带有非线性边界阻尼的粘弹性问题： u t t _ u + z 北_ s ) 酬s ) d s = 。，( 州) q x ( 0 川， ：2o ，。 ( z 。) f 。( o ，。) ( 1 1 5 ) 雾一小h ) 知忡t ) - o ( 州) r 1 ( 啉 一 其中q 是时中带有光滑边界a q 的有界区域，a q = r o u r l ，r o 和r 1 是闭的且不相交，r o 的 测度大于零，是a q 的单位外法向，9 和 是待定的函数注意到在( 1 1 5 ) 的边界r l 上，有 记忆项和非线性阻尼项的同时作用在该文献中，通过对松弛函数夕和非线性阻尼函数九 的严格条件假设，作者证明了能量的一个一致衰减结果事实上，根据文献【1 8 1 中的条件 假设，松弛函数g 只能是类似于e 一仇t 的形式，且阻尼函数九在零点附近必须有一个类似于 多项式的形式在文献【1 9 1 中，c a v a l c a n t i 等人放宽了对松弛函数9 的条件限制：假定9 ( 0 ) 和吲i l ，( o ，) 充分小，并得到了一个一致稳定性结果对于某些特殊的情形，他们也得到了 显式的能量衰减速率估计在后来的文献【1 1 9 】中，m e 鹤a o u d i 和m u s t a f a 通过运用乘子方法 和m 砒i n e z 在文献【1 1 2 】中给出的一个引理，弱化了加在松弛函数和阻尼函数上的条件，得 到了一个一般形式的显式的能量衰减速率结果 4 东南大学博士学位论文 关于有强阻尼项出现的情形，c a v a l c 姐t i 等人在文献【17 】中研究了下列强阻尼粘弹性 波方程的初边值问题： s ) u ( s ) d s 一一y 缸t = o ，( z ，t ) q ( o ，o 。) ， ( z ，t ) a q ( 0 ，。) ，( 1 l 6 ) ) ，z q ， 其中q 是r n 中带有光滑边界a q 的有界区域p 是一个实数且满足条件：当n 3 时，o o 时，能量以指数速率衰减这个结果后来被m e s s a o u d i 和，1 1 a t a r 在文 献【1 2 0 】中推广至等式右端出现源项的情形此时，方程就演变为源项和强机制阻尼项以 及粘性项相互作用的模型另外，m e 鹪a o u d i 和t a t 盯还在文献【1 2 3 】和文献【1 2 l 】中就，y = o 的情形分别考虑了问题( 1 1 6 ) 带有源项和不带源项的情形，建立了能量的多项式和指数 速率衰减结果h a n 和w a n g 在文献【7 3 ，7 4 】中考虑了阻尼项为i 乱t i m 一2 u t ( m 2 ) 的情形，并 得到了一般形式的能量衰减估计在文献【1 0 6 】中，l i u 考虑了问题( 1 1 6 ) 中带依赖于时间 的耗散项n ( t ) ( u t ) 和非线性源项6 l u r 2 u 的情形，基于位势井理论、乘子方法和文献【1 1 2 】 中的一个引理，作者给出了一般形式显式的能量衰减速率估计公式更多的关于非线性粘 弹性波方程解的能量衰减速率估计的结果可参考文献【1 ，8 ，1 0 ，1 1 ，6 2 ，1 3 4 】 关于非线性粘弹性波方程的爆破结果，m e s s a o u d i 在文献【1 1 4 】中考虑了下列方程的初 边值问题： ，t iu 优一u + 9 ( t s ) t 正( s ) d s + n t 正t i u t i m = 6 t 上i u l 7 ， ( z ，) q ( o ，o o ) ， 牡( z ，t ) ：o ， ( z ，t ) a q ( o ，) ， ( 1 1 7 ) 1 牡( z ，t ) = o ， ( z ，t ) a q ( o ，) ， 、1 1 “7 【t 正( z ，o ) = 让o ( z ) ，t 正t ( z ，o ) = u 1 ( z ) ， z q ， 在对松弛函数夕加以适当的条件假设下，他证明了带有负初始能的解当7 m 时在有限时 刻爆破；当7 m 时解整体存在这个结果后来被同一作者推广至正初始能的情形( 见文 献【1 1 6 】) 在文献【1 5 3 】中，w h 采用不同的方法得到了一个类似的结果更多的关于非线性 粘弹性波方程解的爆破结果，可参考文献【1 0 3 ，1 1 4 ，1 1 5 】 当我们不考虑记忆项时，研究阻尼项与源项的相互作用对解的性质的影响也是一个 很有意义且很具挑战性的课题关于下列方程的初边值问题： rt 正托一t + 口u l t 正t i m 一1 = 阮i u i p 一1 ， ( z ，t ) q ( o ，o o ) ， t ( z ，) = o ， ( z ，) a q ( o ，o o ) ， ( 1 1 8 ) lt ( z ，o ) = u o ( z ) ，t 正t ( z ，o ) = t 正1 ( z ) ，z q ， 一 p 虮 9 ： t 5 j j 厂厶 + 霸 毗 毗 珧 一 甸 u “ 血 q 如 一 = = 忱 d h 矗以 阻 “以 ，_-iif、i_l 第一章前言5 目前已经有很多的结果当6 = m = 1 时，i k e t a 和s u z u l c i 在文献 8 8 】中运用1 9 6 8 年由s a t t i n g e r 在文献【1 3 9 】中提出的稳定集和不稳定集的概念以及位势井方法给出了解的整体存在性结 果以及解衰减至零的充要条件，并证明了当系数n 充分小时解爆破的充分条件在文献【6 0 】 中，e 8 ( 1 u i v e l - a v i l a 将上述爆破结果推广至口为任意正数的情形当m 1 ，p 1 时，g e o 画e v 和t 0 d o r o v a 在文献【6 8 】中分析了非线性阻尼项u t i 牡l m 一1 和非线性源项札i u l p 一1 的相互作用 对解的性质的影响，作者利用不动点定理证明了若p 满足条饰sm 以及条件：当n 3 时， 1 1 ，则对于满足适当条件的初值，问题( 1 1 8 ) 存在唯一的整体 弱解当条饰m 被替换为1 0 ， 由于该方程是由c 锄a s 姚和h o l m 推导出的，故称之为c a m a s s a - h o l m 方程这个方程可用 来模拟在引力作用下的浅水自由表面水波的单向传播现象其中，u ( z ，) 表示在空间方位z 时刻t 的流速，七是一个和临界波速有关的非负参数( 见文献【1 5 ，5 l ，9 0 】) 方程也可以被看 做是一个超弹性杆模型，它描述了径向对称波在双曲弹性杆中的传播( 见文献【4 3 ，4 5 】) 它 具有双哈密尔顿结构( 见文献【6 4 ，1 0 1 1 ) 并且是完全可积的( 见文献【1 5 ，2 8 】) 如果忌 o ，它 的孤立波是光滑的；如果尼= o ，它的孤立波是尖峰孤立子( 见文献【1 6 】) ，并且这些尖峰孤 立子是轨道稳定的( 见文献 4 4 ) 此外，c a m a s 8 跏h o l m 方程还有明显的几何解释：它不仅 可以表示为微分群上的测地流( 见文献 4 0 】) ，而且可以表示为b o t t v i r a s o r o 群上的测地流 ( 见文献 1 2 6 】) 关于c 啪a 鼹a 广h o l i n 方程的讨论已经有很多的研究结果：如果初值u o 日s ( r ) ，s 3 2 ， 方程被证明是局部适定的( 见文献【3 1 ，1 0 5 ，1 3 5 ，1 4 0 】) 另外该方程还有整体强解( 见文 献【3 2 ，4 1 】) ，而且也存在有限时刻爆破的强解( 见文献1 3 2 ，4 1 ，3 5 】) 对于带有更低正则性初 值的解的讨论，可以参考m o n n e t 的文献【1 2 5 】以及最近b r e s s a n 和c o 璐t a n t i n 在文献 13 】中 的结果不同于k d v 方程的是，c 锄a s s a 广h o l m 方程可以描述波的破裂现象( 见文献【3 l ，3 2 ， 3 4 ，3 5 ，1 0 5 ，1 1 3 ，1 5 1 ，1 7 4 ，1 7 7 1 ) 此后，各种c a m a s s a - h o l m 方程的变体被广泛的讨论( 见文 献【1 5 4 ，1 5 5 】及其中的参考文献) ，比较具有代表性的是一类带有弱耗散项的c a i n a 豁舡h 0 1 m 方程的研究w h 和y i n 在文献【1 5 4 】和【1 5 5 】中分别讨论了空间周期情形和整个实数轴上 带有弱耗散项a ( h 一。) 的c 锄a 鹃a - h o l m 方程，并得到了解的局部适定性、整体存在性、 爆破速率估计以及能量衰减的结果在后来的文献【1 5 7 】中，同样的两个作者该进了上述 结果并得到了一个新的整体存在性结果和一个新的爆破结果在文献【7 1 】中，g u o 采用不 同的方法考虑了同样的方程，得到了解的爆破标准以及解的整体存在性结果在最近的 文献【8 2 】中，h i m o n 硒等人证明了如下意义下c 眦a s s a 广h o l m 方程的传播波速是无限的：带 有紧支集初值的c a 瑚嘲a 广h o l m 方程柯西问题的非零解不可能再后来的某个时间再是紧支 的这个结果改进了文献【2 7 ，7 7 ，8 0 】中的相关结论最近此类有关无限传播波速问题的讨 论又被推广到更大范围具有物理背景的方程( 见文献【7 8 】) n 和z h 缸g 在文献【1 5 9 】中率 先证明了方程弱解的整体存在性，但是唯一性的证明是在一个条件假设成立的情况下得 到的，而这个条件要求初值u o 日1 满足u o u o 船是定号的山n 测度在相同的条件假 设下，c o n s t a n t i n 和m o l i n e t 在文献 4 2 】中证明了更强概念意义下的弱解的整体存在性和 第一章前言 唯一性事实上，当初值u o 日l 时可以用来证明弱解整体存在性和唯一性的方法有很多， 这些方法的主要区别在于所得到的唯一整体解是保守解( 见文献 1 3 】) 还是耗散解( 见文 献【14 】) 在文献【2 8 】中，c o n s t a n t i n 讨论了方程的散射问题，并给出了谱图的详细刻画最 近，k w e k 等人在文献【9 9 】中研究了区间【o ，1 1 上带有如下初值条件的方程的初边值问题： u o b = t i o 日4 ( 1 0 ，1 】) = u 嚣( o ) = u 牡( 1 ) = u ( o ) = u ( 1 ) = o ) ， 并得到了解的局部存在性和有限时刻爆破结果对于初值钍o 日3 ( r + ) n 础( r + ) ，l n g 和g u o 在文献f 1 6 2 】中研究了方程在正半实数轴上的初边值问题随后，m a 和d i n g 在文 献【1 1 0 】中将文献【1 6 2 】中的结论加以推广，他们讨论了当初值u o 2 ( r + ) n 础( r + ) 时， 正半实数轴上c 锄a 8 s 舢h 0 1 m 方程的初边值问题最近，e s c h e r 和y i n 在文献f 5 8 】又对此工 作做了进一步推广，考虑了当初值u o 日8 ( r + ) n 础( 酞+ ) ，s 3 2 时以及缸o 日s ( 【0 ，1 】) n 础( 【o ，1 】) ，8 3 2 时，c 锄嬲s 舡h o h 方程的初边值问题在这篇文章中，作者通过一个新 的方法的运用，将方程在实数正半轴和紧区间上的初边值问题分别转化为方程在整个实 数轴以及在单位圆周上的柯西问题进行讨论，利用关于c a m 躺a - h o l m 方程柯西问题的已 知结果，作者首先得到了解的局部适定性，然后给出了强解的爆破和整体存在性结果，最 后建立了实数正半轴上整体弱解和紧区间上局部弱解的存在性结论 e s c h e r 等人在文献【5 4 】中研究了二元c a m a s s a 广h o l m 方程的柯西问题： t 正t t 正缸z + 惫u z + 3 t 上仳霉= 2 札茁u 砧+ t t 正船+ p j d t ，z r ，t o ， m + ( 伊t ) z = 0 ，z r ，t 0 ， u ( z ，0 ) = t o ( z ) ， z 酞， p ( z ，o ) = j 9 0 ( z ) ， z r ， 其中七是一个固定的常数这个方程是由c h e n 等人和f 砒q u i 分别在文献【2 3 】和【6 3 】中首 先引入的，具体的物理意义可以参考文献【2 3 ，6 3 】在对零曲率公式作了一些注记以后，作 者运用k a t o 定理建立了该方程组的局部适定性理论，接着推导出了强解爆破的充要条件， 基于此爆破标准又得到了解爆破的两个充分条件更多的关于由c 锄a s s a h o l m 方程衍生 出的方程组的讨论，可参见文献【3 7 ，6 5 ，9 8 1 d e g 嬲p e r i 8 和p r o c 郎i 在文献【4 9 1 中推导出了d e g 嬲p e r i s - p r o c 豁i 方程： t 工t u 删+ 4 t 上u 2 = 3 u z u + t t z 嚣， z r ， t 0 ， 通过