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坝士学位论文 摘要 2 1 世纪以来，随着生物科技的不断发展和完善其重要性愈加显著，但是目前 仍然存在很多生物功能不能得到合理的解释。这些生物功能与聚合物本身的结构 和弹性性质有密切的关系。d n a 是重要的生物大分子聚合物，近年来d n a 和其 它一些生物聚合物的结构和弹性性质已经成为研究的热门课题之一。 通常d n a 分子和其它生物大分子被简化为具体的数学或物理模型然后对其 进行研究。当其长度和刚性长度相近时，其弹性性质可以由弹性杆或弹性细丝来 近似描述。由于弹性杆的中心线或弹性细丝可以抽象成空间曲线，然后根据空间 曲线论和微分几何的知识进行处理。本文中所讨论的几种理论研究的出发点就是 如此。 首先引入四种d n a 分子构型的连续介质力学模型：h e l f r i c h 弹性手征细丝模 型，均匀的弹性k i r c h h o f f 杆理论模型，k a m i e n 理论模型和虫状链模型。然后对 h e l f r i c h 弹性手征细丝理论和均匀的k i r c h h o f f 弹性杆理论这两种主要模型进行研 究。最后得出两种模型平衡构型方程之间的关系：平衡的均匀k i r c h h o f f 弹性杆模 型中心线给出的闭合构型是h e l f r i c h 弹性细丝模型给出的闭合构型的子集。 以往文献报道的关于h e l f r i c h 弹性细丝的构型方程错了一个符号。我们检查 了文献中关于圆环d n a 分子失稳现象的讨论，发现结论不受影响。 由于原h e l f r i c h 理论不带拓扑约束。那么，加上拓扑约束后有什么改变昵? 结论表明：手征模量对此模型所描述构型的稳定性起着重要的作用，除此之外有 无拓扑约束两种情况并没有不同的结果。 最后对k a m i e n 理论模型进行研究发现它的能量比h e l f r i c h 手征弹性理论的 能量少一项，在这种理论中高阶微扰的d n a 圆环不总是稳定，这是不完备的。 本文对几种弹性理论以及它们之间的关系进行了更深入的探讨，为d n a 分 子和其它聚合物理论的研究提供了更多有价值的依据。 关键词：d n a ；构型；聚合物；弹性；手征性：细丝；稳定性 d n a 分了构型之连续介质力学模型间的关系倒 究 a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n ta n da d v a n c e m e n to fi t ，t h e b i o l o g i c a l s c i e n c ea n d t e c h n o l o g yb e c a m em o r ea n dm o r ei m p o r t a n tt h a nb e f o r ei n 21s tc e n t u r y h o w e v e r ， t h e r ea r em a n yb i o l o g i c a lf u n c t i o nt h a t c a n tb ee x p l a i n e dr e a s o n a b l yi np r e s e n t t h e s eb i o l o g i c a lf u n c t i o nh a v ec o n s a n g u i e o u s l yr e l a t i o nw i t ht h ec o n f i g u r a t i o na n d e l a s t i cp r o p e r t yo fb i o p o l y m e r s d n ai sa l li m p o r t a n tb i o p o l y m e r i nr e c e n ty e a r s ，t h e c o n f i g u r a t i o n sa n de l a s t i cp r o p e r t yo fd n a a n do t h e rb i o p o l y m e r sh a v eb e e no n eo f t h ep o pr e s e a r c h i n gt o p i c s d n am o l e c u l ea n do t h e rb i o p o l y m e r sa r es i m p l i f i e da n di n v e s t i g a t e dg e n e r a l l y a sm a t e r i a lm a t h e m a t i c a lo rp h y s i c a lm o d e l s t h ee l a s t i cp r o p e r t yo fd n ai s c h a r a c t e r i z e db yt h ee l a s t i cr o da n df i l a m e n ta p p r o x i m a t e l yw h e ni t sl e n g t hi sa l m o s t e q u a lt o t h eb e n d i n gp e r s i s t e n c el e n g t h t h ec e n t e r l i n eo fe l a s t i cr o do re l a s t i c f i l a m e n tc a nb ea b s t r a c t e da ss p a c ec u r v e st od e a lw i t ht h e mb yt h ek n o w l e d g eo ft h e t h e o r yo fs p a c ec u r v ea n dd i f f e r e n t i a lg e o m e t r y t h et h e o r i e sw h i c ha r ed i s c u s s e da r e b a s e do ni ti nt h i sp a p e r t ob e g i nw i t h ，w ei n t r o d u c ef o u rc o n t i n u o u sm e d i am e c h a n i c sm o d e l so nd n a m o l e c u l ec o n f u g u r a t i o n s ：h e l f r i c he l a s t i cc h i r a lf i l a m e n tm o d e l ，u n i f o r mk i r c h h o f f e l a s t i cr o dm o d e l ，k a m i e nt h e o r ym o d e la n dw o r m l i k ec h a i nm o d e l t h e nw e r e s e a r c ht h eh e l f r i c he l a s t i cc h i r a lf i l a m e n tm o d e la n du n i f o r mk i r c h h o f fe l a s t i cr o d m o d e lp r i m a r i l y w eg a i n e dt h er e l a t i o no ft w oc o n f i g u r a t i o ne q u a t i o ni ne q u i l i b r i u m ： t h ec l o s e dc o n f i g u r a t i o n sg i v e nb yt h ec e n t e r l i n eo fu n i f o r mk i r c h h o f fr o di n e q u i l i b r i u mi sas u b s e to ft h ec l o s e de q u i l i b r i u mc o n f i g u r a t i o n sg i v e nb yt h eh e l f r i c h e l a s t i cf i l a m e n tm o d e la tl a s t w ec o r r e c tas i g nt h a ti sw r o n gi np r e v i o u sd o c u m e n ta b o u tt h ec o n f i g u r a t i o n e q u a t i o no fh e l f r i c he l a s t i cf i l a m e n tt h e o r ya n dc h e c kt h ed i s c u s s i o no nt h eu n s t a b l e p h e n o m e n o no fc i r c l ed n a m o l e c u l ei nt h i sd o c u m e n t b u tw ef i n dw h i c hd o e s n t i n f l u e n e et h ec o n c l u s i o n t h eo r i g i n a lh e l f r i c ht h e o r yh a sn o tt h et o p o l o g i c a lc o n s t r a i n t h o ww i l li t c h a n g ew i t ht h et o p o l o g i c a lc o n s t r a i n t ? i ti s s h o w nt h a tt h ee h i r a lm o d u l eh a s i m p o r t a n tr o l eo nt h es t a b i l i t yo ft h i sc o n f i g u r a t i o nf r o mt h ec o n c l u s i o n t h et h e o r y w i t h t o p o l o g i c a lc o n s t r a i n t a n dw i t h o u t t o p o l o g i c a l c o n s t r a i n td r a wt h es a m e c o n c l u s i o ne x c e p tf o ri t i nt h ee n dw ei n v e s t i g a t ek a m i e nt h e o r ym o d e la n df i n dt h a ti t se x p r e s s i o no f e n e r g yi sl e s sai t e mt h a ne x p r e s s i o no fe n e r g yi nh e l f r i c he l a s t i cc h i r a lf i l a m e n t m o d e l d n ac i r c l eu n d e rn u m e r o u sp e r t u r b a t i o ni s n ta l w a y ss t a b l e i nt h et h e o r y ，i t i s n ts e l f - c o n t a i n e d i nt h i sp a p e rw ed i s c u s sf u r t h e rs e v e r a le l a s t i ct h e o r i e sa n dt h e i rr e l a t i o nt h a t p r o v i d et h em o r ev a l u a b l ef o u n d a t i o nf o r t h ei n v e s t i g a t i o no nd n am o l e c u l ea n dt h e o t h e rp o l y m e r s t h e o r i e s k e yw o r d s ：d n a ；c o n f i g u r a t i o n ；p o l y m e r ；e l a s t i c ；c h i r a l ；f i l a m e n t ；s t a b i l i t y 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担。 作者签名：u 乏、寺 日期：- “年 月，毕日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇 编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密回。 ( 请在以上相应方框内打“4 ”) 作者签名：童l j 立 导师签名：主。【每 日期：m i 年，月他日 日期：嘶乡月f 日 硕士学位论文 第1 章引言 生物学在2 0 世纪取得了巨大的进展。数理科学广泛而又深刻的渗入到生物学 中，全面的改变了生物学的全貌，开辟了在分子水平研究生命现象的新学科一分 子生物学。分子生物学的兴起首先建立在对生物体的基本物质的认识上。构成生 物体的物质种类很多，但其中最重要的是蛋白质和核酸。 d n a 本身是一种核酸，它和蛋白质等生物大分子聚合物在生物体内具有非常 重要的作用。1 1 。它们的空间构型和弹性性质在一定程度上决定了生物的生理机 能，比如蛋白质的折叠方式不同，所完成的生理功能就不同：某一种蛋白质的错 误折叠可产生疯牛病”1 。因此在过去一些年里这些生物大分子聚合物的构型和弹 性性质成为研究的热点课题之一m 。 1 1 d n a 分子的空间构型和弹性性质 1 1 1d n a 分子的空间构型及其一陛质 蛋白质是生命活动的主要承担者，一切生命活动无不与蛋白质有关。核酸是 遗传信息的承担者，其分子式是由许多核苷酸相连接的长链。每个核苷酸包含碱 基、核糖和磷酸三部分。根据糖的结构不同，核酸分为两类，含核糖的和含脱氧 核耱的核酸，它们分别称为核糖核酸( r n a ) 和脱氧核糖核酸( d n a ) ( 1 3 。 w a t s o n 和c r i c k 在1 9 5 3 年提出了d n a 的双螺旋结构模型。他们指出d n a 是由两条环绕着同一中轴的多核营酸链组成。磷酸二酯键连接b d 一脱氧呋喃核糖 残基的3 、5 位置而构成每一条链。这两条链( 若非它们的碱基) 以与中轴垂 直的二联体方式相结合。它们都呈右手螺旋，但由于二联体的关系，两条链上的 原子序号呈反向排布。碱基在螺旋内侧而磷酸在外侧，糖基与其相连的碱基基本 垂直，相邻碱基的间隔在轴向距离上为0 3 4 n m ，每条链上相邻碱基之间的角度 为3 6 。，所以每条链上每隔1 0 个碱基，即每3 4 n m 就会有一次螺旋结构的重复。 磷原孑与纤维中轴的距离是l n m ，构成d n a 的两条多核苷酸链的磷酸一戊糖骨架 盘旋成直径为2 n m 的双螺旋。磷酸位于螺旋外侧，便于阳离子接近。这个结构的 一个特征是两条螺旋链通过嘌岭和嘧啶碱基结合在一起。碱基的平面垂直于纤维 中轴，一条链上的一个碱基通过氢键与另一条链上的一个碱基配对相连“73 ( 图 1 1 ) 。 作为遗传物质，d n a 的结构是稳定的。多核苷酸链的疏水交互作用是形成双 螺旋结构的一个重要因素，它有利于螺旋的稳定。碱基是紧密堆积的，碱基间存 d n a 分子构型之连续介质力学模型问的关系研究 在着包括范德华力在内的堆积力，碱基在横向有氢键相结合。另外，多核苷酸链 骨架上的氧原子还能与水形成氢键，这些因素都使带负电荷的d n a 结构趋向稳 定化。双螺旋骨架上的氧原子带负电荷，其相斥作用会降低螺旋结构的稳定性。 在细胞中，d n a 与碱性的组蛋白、亚精胺以及m 9 2 + 等结合，抵消了负电荷问排 斥作用”1 。 发现双螺旋的半个世纪以来，人们已经详细地阐明了d n a 的基本特性。但 是直到最近十年，研究者们才能够操纵d n a 单分子，并直接测定其力学性质。 这些研究已阐明了d n a 与蛋白质之间的相互作用性质、细胞内组织结构运行的 限制因素、以及依赖于d n a 的马达产生的动力。 d n a 双螺旋的物理特性和其它的天然或合成的聚合物不同。分子中特异碱基 的排列及麻花状结构使其异常刚硬。双链d n a ( d s d n a ) 分子弯曲成环状需要的 能量是单链d n a ( s s d n a ) 分子的5 0 多倍。此外，d n a 骨架中的磷酸根使其成 为已知的高电荷聚合物之一。与d n a 复制、转录、包装有关的蛋白机制，巧妙 地利用了d n a 的这些特有的物理特性。例如，r n a 聚合酶( 运用d n a 模板合 成r n a ) 和解旋酶( 解开双螺旋为聚合酶提供单链模板) 等生物分子马达，可以 沿着具有扭转张力结构的d n a 分子移动。d n a 结合蛋白可以利用d n a 聚合物 的静电势粘附到d n a 分子上，并同时沿着d n a 分子运动寻找结合的目标序列。 拓扑异构酶通过打断并重新连接d n a 来缓解复制叉前方上积累的扭曲张力。 ( a )( b ) 图11d n a 结构示意图。( a ) 、( b ) 中两条带代表磷酸一糖基链；水平 棒代表将两条链结合在一起的碱基对；( a ) 图中中垂直线代表纤维轴。 d n a 的螺旋状结构具有高度的适应性，因此可以成为各种不同类型的结构。 虽然d s d n a 螺旋在水溶液中呈典型的右手性的伸展结构( b 型) ，它在脱水溶液 中可以变短，变宽( a 型) 。具有交替的嘌呤和嘧啶的特定碱基序列的分子易于呈 硕士学位论文 现左手z 型，比b 型长，呈反向扭曲。最近单分子操作实验揭示出由于外力和扭 矩的稳定作用，还存在其它的d n a 螺旋形式。 当一个具有缺口的d n a 分子的张力增大到6 5 皮牛顿( p n ) 时，它可可逆地、 协调地转变成一种伸展的形式，比正常b d n a 长约7 0 ，且扭曲转数大大减少。 但是这种过度伸展的d s d n a 的形式是什么呢? 有人提出d n a 具有“s 形”结构， 双螺旋直径减小，碱基对强烈地倾斜，但仍保持碱基配对和堆积在一起。有人认 为过度伸展的d s d n a 就是包含两条独立s s d n a 。两个模型的证据都存在，此问 题悬而未决。 在揭示d n a 结构9 年之前，人们就已经发现基因是由d n a 构成的。虽然遗 传信息与蛋白质无关的观点是革命性的，但终究还是显得过于简单。生物体细胞 核内的d n a 至少被等量的蛋白质所包裹，形成被称为染色质的复合物。染色质 复合物控制了基因活性和性状遗传。染色质中的蛋白主要是组蛋白，组蛋白对 d n a 的压缩起着重要作用。d n a 是生物大分子，例如九噬菌体的d n a 含4 8 5 0 2 碱基对( b p ) ，同时d n a 与病毒粒予的长度相差悬殊，为1 7 5 0 1 9 ( p m ) 。真核生 物细胞d n a 的总长度因不同的种而异，但与原核生物基因组相比，要大数千倍， 并由一定数目的分散的染色体组成( 人类4 6 条) 。每条染色体中的d n a 为单一 线性分子，长度可达几厘米，这些d n a 分子必须被包装进微米大小的细胞核内， 所以d n a 必须经高度压缩，即形成一定的高级结构后才能装入类核和核内“。 组蛋白不仅是包装因子，最近的研究表明它还具有调控基因表达的功能“”。染色 质蛋白和d n a 共同控制细胞内遗传物质的活动。染色体是多结构域的杂乱折叠 的核蛋白复合物，局部染色质结构主要与维持基因的活化和沉默状态、为d n a 复制和染色体配对与分开提供空问以及维持端粒的完整有关。组蛋白是在上述所 有活动中的最基本的特定物质，所以正确认识d n a 与组蛋白的相互作用是很重 要的。 染色质是由d n a 和蛋白质构成的复合物，真核生物细胞核中的遗传物质被 包装在染色质中。在真核生物染色质中，与d n a 结合的蛋自质为组蛋白，共分 为5 类或5 个家族，即核心组蛋白h 2 a 、h 2 b 、h 3 和h 4 ，以及h 1 。核心组蛋 白的分子质量较小，约1 0 到2 0 k d a ；h 1 稍大，约2 3 k d 。所有组蛋白带有大量 正电荷，序列中2 0 到3 0 由碱性氨基酸一精氨酸和赖氨酸组成。这意味着在形成 染色质时组蛋白将与带负电的d n a 紧密结合“。 染色质的基本亚单位是核小体，其结构为约1 6 5 碱基对( b p ) 的d n a 围绕组蛋 白八聚体( 由2 组组蛋白h 2 a 、h 2 b 、h 3 和h 4 构成) 2 周，这样导致d n a 被 压缩了5 到i o 倍。在电子显微镜下，可以观察一定条件下的d n a 核小体核心颗 粒呈一种称为“串珠”的结构。每个核小体通过段短的d n a 连接序列( 长约 1 0 到8 0 碱基对) 彼此相连，这样形成的多聚核小体链折叠成为赢径约为3 0 n m d n a 分了构型之连续介质力学模型间的关系研究 的紧密纤维，大约折叠了5 0 倍。3 0 n m 纤维是通过第五个组蛋白h 1 与其它核小 体及邻近d n a 连接序列的结合来保持结构的稳定。关于核小体在染色质纤维上 包装的更准确的位点仍有很大的争议，而有关这些纤维在细胞核内进一步包装， 进而形成最高级结构的方式知之甚少“。 通过x 射线晶体学的研究，对核小体核心颗粒的结构在细节上有了更为深入 的了解。组蛋白八聚体形成楔形盘，1 4 6 碱基对长的d n a 以左手方式环绕其周围 1 8 圈“”( 图1 2 ) 。图1 2 显示了d n a 双螺旋缠绕在中间的组蛋白八聚体上。 d n a 和组蛋白之间的氢键和静电作用对d n a 结构有稳定作用，图中分辨率为 2 8 a 。 从d n a 到染色体，通常分为4 级结构：2 n md n a 双螺旋j 由核小体组成 的1 0 n m 纤维j3 0 n m 粗纤维；超粗纤维j 染色体( 图1 。3 ) 。 图1 3 为染色质结构中d n a 的组织。最低水平的组织是核小体，超螺旋d n a ( 共1 6 5 碱基对) 在组蛋白八聚体核心的外侧缠绕两圈。核小体之间通过短d n a 连接序列连在一起。然后核小体串折叠成直径约3 0 n m 的纤维，这些纤维进而折 叠成更高一级的结构。在除核小体以外的结构水平上的有关折叠的细节仍然未知 【1 9 o 组蛋白是一种重要的蛋白质，对d n a 分子的压缩起着重要的作用，这种结 构不仅具有所占空间较小的特点，而且与基因表达的自我调控密切相关，因而具 有重要的生物学意义。真核生物中，形成染色质时组蛋白与d n a 紧密结合。在 一定范围内，它可以使d n a 分子折叠成更加有序的高级结构。通常很长的d n a 分子( 例如，人的d n a 分子展开后的长度近两米) 是通过哪些机制被折叠的? 目前从物理学的视点上对这一问题的理解仍具有挑战性，是一个值得从理论和实 验两方面深入探讨的悬而未决的科学问题。 另外，由于d n a 与组蛋白两者均为生物大分子，它们之问的相互作用非常 复杂，影响的因素也很多，其中金属离子对d n a 的结构”、d n a 的凝聚”等都 有重要的影响，已经有很多种方法研究金属离子对d n a 结构的影响，例如紫外一 可见分光光度测定法、圆二色谱、核磁共振谱、沉降平衡测量法等心“。已有研究 表明几种金属离子( n a + 、k + 、m 9 2 + 、c a 2 + 、m n 2 + ) 对d n a 与组蛋白结合有很大 的影响。 原予力显微镜观察到金属离子( m 9 2 + 、m n 外、c u 2 + ) 可以诱导d n a 分子发 生凝聚现象”“。二价金属离子、组蛋白与d n a 共同保温后，复合体分子梳密度 显著增加，同时单个复合体分子的凝聚现象加剧，表明相对于二价金属离子、组 蛋白分别单独与d n a 作用时，有更多的组蛋白、金属离子结合到d n a 分子上。 也就是说，二价金属离子、组虽白同时存在时，它们与d n a 结合时起着互相促 进、协同的作用。二价金属离子与d n a 结合过程中，可能使d n a 的构型发生了 4 硕士学位论文 一些变化，这种构型上的变化更有利于d n a 与组蛋白的结合“。 图1 2x 光衍射卞的核小体核心的结构 图1 3d n a 的高阶结构 以前有人用i r - 光谱研究了m n 2 + 、c a 2 + 、c u 2 + 等离子对d n a 结构的影响，这 些离子与碱基和磷酸基团都有作用，d n a 与金属离子复合体的二级结构形成时有 更多的水分子与d n a 结合“”，水合作用力可以驱动d n a 分子凝聚成核状“，以 上这些作用机制可能是二价金属离子促进d n a 与组蛋白结合的原因。但是金属 离子与d n a 作用机制还与金属离子的种类、结合的位点有关，此三种金属离子 d n a 分子构型之连续介质力学模型间的关系研究 与d n a 结合位点不同，例如m g ”、c a ”主要与磷酸骨架结合，能够中和一部分 戊糖磷酸骨架上的负电荷；m n 2 + 主要与碱基对作用，导致三种离子作用效果强弱 不同。 另外，有人通过对d n a 分子的电场致双折射研究推断出：在m n 2 + 、c u ”存 在的情况下，d n a 组织成一种特殊的形式：压缩的、刚性的结构。m g ”存在时， d n a 形成非特异性的卷曲结构。对于染色质，m g ”、m n ”存在时，构型也发生 显著的变化，可能是核小体长链排列成超螺旋高度压缩的形式”。 有研究表明与碱基对有较高亲和力的金属离子容易引起d n a 聚集“。m n ” 能使超螺旋d n a 凝缩成圆环状，m n ”导致d n a 凝缩不仅仅是因为静电力的作用 “”。在体外实验中多价离子使d n a 浓缩，人们普遍认为多价离子能大部分中和 d n a 上的负电荷，大大减弱双螺旋间的静电斥力，从而引起d n a 浓缩，还有些 计算表明d n a 发生凝聚时大约需要8 9 9 0 的电荷被中和。但是导致浓缩的配体 还可能通过连接相邻的双螺旋，破坏水合结构及d n a 双螺旋结构等而起作用”“。 用荧光显微镜可以直接观察到m n 2 + 确实容易引起很多个d n a 一组蛋白复合体分子 聚集在一起，并且d n a 与d n a 分子间结合力很强，d n a 一组蛋白复合体与疏水 表面的作用力也很强o “。目前m n 2 + 导致d n a 凝缩的机制仍然没有完全明确，还 需进一步研究。 与d n a 一样，其它生物大分子聚合物形成螺旋构型也是一种很普遍的现象， 有机物高分子能够形成螺旋o ”，无机物也能够形成螺旋o ，人们现在还能够人工 合成具有螺旋结构的高分子“。进一步研究表明，双螺旋的d n a 能够缠绕在蛋 白质上形成超螺旋”“1 。实验还发现，一些纤维分子也在溶液中呈现螺旋状“ ”“。这些螺旋要么是左螺旋，要么都是右螺旋( 图1 - 4 ) ，但从自然界现有的高 分子来看，绝大多数的是右螺旋“。 图14 高分子的左螺旋和右螺旋结构示意图 左边的是左螺旋，右边的是右螺旋。 6 硕士学位论文 这些有机高分子的一个共同特点就是它们都是由具有手征性的小分子构成。 随着科学的进步和实验手段的提高进一步发现，一些高分子在离子溶液中能够出 现双稳态螺旋( 图1 5 ) ，即左螺旋与右螺旋在相同的条件下能够同时存在。“”1 。 例如，细菌鞭毛丝的左螺旋和右螺旋能够互相转换。“3 ，而且在一定的离子溶液 中，这种左螺旋和右螺旋能够同时存在。“，细菌纤维也能够出现两种手征性相反 的螺旋共存的状态。“”1 。近来也发现d n a 的左螺旋和右螺旋在一定的环境中也 能够共存”8 。4 。 图1 5 双稳态螺旋示意田( a ) 沙门氏萄的鞭毛，左手螺旋 和右手螺旋共存，标尺为5 微米。( b ) 螺线管状的b 型微 小细菌纤维，也显示了共存的双稳态标尺为2 微米。 1 1 2 d n a 分子的弹性性质 d n a 高分子通常以双螺旋的形式存在( 图1 1 ) “”，在过去的二十年里很多 d n a 弹性实验表明，它的弹性行为在决定它的高阶( 三阶) 结构和生物功能方面 d n a 分了构型之连续介质力学模型问的关系研究 起着重要的作用。在细菌和病毒的原核生物细胞中有许多环状分子与蛋白质自由 结合，经常发现它们高度卷曲形成互相缠绕的形状。在高度卷曲的过程中d n a 的特殊结构和弹性能发挥着重大的作用。在较高级生物基因组中，d n a 高度堆积 在组蛋白上形成染色体，染色体的结构和弹性与d n a 的弹性有着直接的关系。 d n a 的弯曲弹性不仅仅表现在短距离内与蛋白相互作用。虫状链( w l c ) 模型 体现了局部弯曲力学与整体构象统计之间的联系。可弯曲的多聚体在溶液中随机 缠绕，导致终端对终端的平均距离比伸直长度短得多。分子成为伸展的链状从熵 的角度考虑是不利的，当从一端牵拉随机盘绕圈时就会使熵力增大；通过直接测 定单分子d n a 的力一延伸行为提供了目前熵弹性理论的最严格的测定方法。当利 用磁铁、液体流及后来的光阱用来拉伸粘附到微米大小的珠子上的d n a 分子时， 发现d s d n a 力延伸行为与w l c 模型几乎一致“3 。s s d n a 固有的可弯曲性使其 保持非常紧密的构象，因此在拉伸力小于6 p n 时比d s d n a 短得多。在较大的力 的作用下，单条链不遵循螺旋路径的限制，当它被拉直时是d s d n a 长度的两倍。 1 2d n a 的弯折现象 最近又发现d n a 的非虫状链( n o n w o r m l i k ec h a i n ) 弹性行为：d n a 是一个有 非常强手征性的分子乜”，通常双螺旋并不以直线的形式存在，而是弯曲和扭曲成 各种高级的形状结构( 图1 3 ) ，弯折就是其中一种“。既然d n a 是一个双链绞 合的分子，它的扭曲弹性能以及闭合d n a 环的拓扑性质也应考虑进去，并且已 经有许多作者对扭曲一弯曲耦合和扭曲拉伸耦合进行了研究”“。但在这里我们 仅对前一种耦合感兴趣，因为后一种力仅在大于l o p n 时其作用才是明显的，在 此可以忽略。从纯的弹性能观点来看，仅当受拓扑限制的链的多余连接数和缺少 的连接数相等时扭曲弹性能才起作用。 在d n a 和蛋白质的相互作用过程中弯折现象是十分重要的，但不能直接证 明它们存在于自由的d n a 中。这种纳米尺度的弯折早在七十年代就被c r i c k 和 k l u g 所预言，但是直到最近才被h a n 等清楚的观察到( 图1 6 ) “。在它们的实验 中，使用原子力显微镜观察到在一定的离子环境中由于轴向的应变而使d n a 微 环发生弯折不稳定性，d n a 微环转变成多角形状。他的实验是在特定的二价阳离 子存在的条件下实现的。d n a 在m 9 2 + 中是光滑弯曲的，但在z n 2 + 中有几乎由于 弯折而产生的拉直的部分。 在实验中考察1 2 6 和1 6 8 个碱基对的d n a 圆环，其中1 2 6 和1 6 8 都是1 0 5 ( 它是一个螺旋的基对数) 的整数倍。我们可以知道实际的连接数和平衡的连接 数没有什么明显的不同，因此弯折不稳定性可以看作是由于轴向应变力而产生的。 因此，现在对于弯折现象考虑弯曲能的同时也要考虑轴向的应变。 实验发现最大的圆环形状出现在1 2 6 个碱基对的情况下，长度大于这种形状 硕士学位论文 的超螺旋由于热波动的影响而使它们各端凝聚在一起，结果在这种作用下较大的 封闭d n a 圆环受到轴向的应力。提取一些1 2 6 个碱基对的0 5 m g m ld n a 圆环 放在l m m 的m g ”和z n ”中，再用扫描探测显微镜进行反复观察，发现这些d n a 分子自然的吸附在云母基片上，并且发现这些d n a 圆环始终保持稳定的状态。 在这个实验中观察到的d n a 图像的平均宽度在3 5 n m 的一半左右，1 6 8 个 碱基对的d n a 圆环放在l m m 的m g c l 2 中平均每个分子有少于一个的突然弯折现 象( 图1 6 上面一个图所示) 。 但将相同的分予放在l m m 的z n e l 2 中时，它们的形状发生明显的改变( 如图 1 6 下面的图所示) 。由于突然弯折的出现几乎形成一些拉直的部分，但在1 2 6 个 碱基对的d n a 中观察不到这种现象。因此可以推断形状发生改变需要轴向的应 变力存在。在m g c l 2 中有相对较少的弯折现象，并且在其它的离子条件下也有较 少的弯折现象发生。 图16d n a 圆环的失稳现象图，上图为 m g c l 2 中的d n a ，下图为z n c l 2 中的d n a 9 d n a 分子构型之连续介质力学模型间的关系研究 d n a 的弯折现象发生在轴向应变和特定的离子相结合的条件下，可以设想通 过调节这种结合的状况来控制d n a 的弯折现象，这很可能应用于合成或定位核 蛋白的过程之中。 在虫状链理论模型中仅包括一些协和的弯曲能量，因此这种模型不能解释微 环的弯折不稳定性。实验表明在低于虫状链的模型能量时，在微扰作用下的平面 圆总是稳定的。很多文章中都分析过d n a 模型的稳定性，但是他们都没考虑由 于扭曲和弯曲耦合而产生的伪标量弹性。当结构弹性能大于由热波动而产生的弹 性能时就有必要寻找一种比虫状链模型更为合适的理论模型来解释这些非虫状链 和手征性行为。 1 3 d n a 分子的两种连续介质力学模型 物理科学和生命科学的相互作用由来已久。从两门科学发展的历史来看，电 学与电生理学几乎是同时诞生的。生物学为物理学启示了能量守恒定律，物理学 则向生物学提供了从显微镜、x 光、示踪原子、中子衍射、核磁共振、同步辐射， 一直到扫描隧道显微镜等各种研究手段。然而，只有到了把生命过程和生命物质 作为真正的物理对象加以研究之时，理论物理的思维方法和数学工具才会在生物 学研究中发挥更大作用。现在，生命科学积累的大量事实和数据，以及物理科学 在研究复杂系统方面取得的长足进展，已经把物理学和生命科学密切结合的任务 提上了日程。 由于在1 1 和1 2 中介绍的螺旋双稳态以及d n a 的弯折等生物现象都没有 得到合理的解释，因此发展一些力学模型来解释这些现象成为我们目前研究的重 点。d n a 等高分子聚合物在较长的尺度下通常可描绘成自避无规行走模型，它们 拖着长长的“尾巴”，然而在尺度较小的情况下，它们通常表示为弹性弦模型。这 些弹性弦模型是将高分予聚合物抽象后得到的一种数学模型。然后利用空间曲线 理论及微分几何的知识进行处理，建立其能量项然后求解并研究它们的各种性质。 具有手征性分子构成的高分子具有很高的弹性，其空间结构在很大的程度上 取决于链的弹性。一种很自然的做法就是发展一种弹性理论来解释这种现象。事 实上已经有了这样的理论。经典的高分子弹性理论是k i r c h h o f f 的细杆理论“”， 经很多人的发展，成为研究高分子的一种较好的理论。九十年代初，德国物理学 家h e l f r i c h 从第一性原理出发，提出了一种纯弹性理论o ”，他将高分子链看作一 种弹性曲线，将链的能量密度以曲线的曲率和挠率展开( 根据微分几何理论，如 果曲线的曲率和挠率唯一确定，那么空间曲线就唯一确定) 。h e l f r i c h 和k i r c h h o f f 理论在研究d n a 等生物高分子在空间构型方面取得了很大的成功“”3 。它们是两 种重要的连续介质力学模型。 h e l f r i c h 首先分析出由于链的手征性而产生的耦合，同时链的耦合是这条链 硕士学位论文 从直线向螺旋发生转变的开始。为了理解d n a 的手征弹性和弯折不稳定性过程 ( 一个明显的形状相转变) ，自然将一种新的模型运用到手征聚合物链上，看它是 否能在其中发现有由于同样的耦合而产生的弯折现象，这个模型可以看作是一根 d n a 链关于曲率和挠率的四阶扩展。h e l f r i c h 理论中提出弯衄一扭曲耦合是由于 手征性而引起的，而这种耦合使微环产生轴向应变导致它发生弯折现象。我们用 这个模型来研究d n a 微环的弹性性能和它的变形情况。 1 4 主要研究内容 首先由曲线论和微分几何的知识出发引入几种主要的连续介质力学模型： h e l f r i c h 弹性手征细丝模型，均匀的弹性k i r c h h o f f 孝于理论模型和k a m i e n 理论模 型。 由h e l f r i c h 四阶弹性理论我们得到仅有直线和螺旋构型才可能使能量取得极 小值，即只有直线和螺旋才是可能的构型。另外计算和分析表明h e l f r i c h 四阶弹 性理论仅能够给出一种螺旋构型，完全不可能解释双稳态现象，但是如果将 h e l f r i c h 弹性理论进行高阶推广( 这里推广到五阶) ，我们发现它能够对双稳态现 象作出合理的解释。 随后对h e l f r i c h 弹性手征细丝和均匀的弹性k i r c h h o f f 杆理论这两种主要模型 进行研究，最后得出两种模型平衡构型方程之间的关系；h e l f r i c h 弹性细丝模型 给出的闭合构型包含由平衡的均匀k i r c h h o f f 弹性杆模型中心线给出的闭合构型。 在研究h e l f r i c h 弹性手征细丝模型和均匀的弹性k i r c h h o f f 杆理论模型的关系 同时，我们对微扰存在情况下的聚合物构型的稳定性进行了探讨，并根据所得结 果对圆环d n a 的失稳现象进行了解释。 在研究微扰作用下的空间曲线时，拓扑约束通常起着重要的作用。对h e l f r i c h 弹性手征细丝模型的自由能加拓扑约束和没有加拓扑约束的结论进行比较发现： 手征模量对此模型所描述构型的稳定性起着重要的作用，除此之外有无拓扑约束 两种情况并没有给出不同的结论。 在最后一章中我们对k a m i e n 理论模型进行了研究，k a m i e n 理论模型的能量 项比h e l f r i c h 手征弹性理论的能量少一项，通过计算最终得出结论：在这种理论 中高阶微扰的d n a 圆环不总是稳定，这是不完备的。 d n a 分了构型之连续介质力学模型间的关系研究 第2 章曲线论与d n a 分子弹性的宏观理论 人们对d n a 等高分子的研究通常采取将其简化为中心线曲线的方法，微分 几何是一门主要以空间曲线为研究对象的学科“3 。 2 1曲线论与微分几何 2 1 1 曲线的参数方程及其向量表示 由微分几何曲线论的知识我们可以知道一般的曲线参数方程可以表示为 卜= x n y = y o l k - - z ( t ) ， f x = o c o s ， 【y = b s i n t ， b = a c o s t ， y = b s i n t ， 【= ：眈 口 t b 0 t 2 石 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 一o o t 4 o o ，( 2 3 ) 其中a 为圆柱底面半径，b 为圆柱底面半径a 和它与底面夹角正切值的乘积。 上面圆和圆柱螺线也可表示为向量的形式： r = a c o s t ，a s i n t 0 t 2 万， 和 r = a c o s t ，a s i n t ，b t ) ， 一o o t 0 ， ：c ，( s ) ，则除了空间的位置差别外，唯一地存在一条空间曲线，使得参数s 是曲线 的自然参数，并且妒0 ) 和y g ) 分别为曲线的曲率和挠率，即曲线的自然方程为 茁= 妒( s ) ，r = e ( s ) 。可以看出，已知曲线的曲率和挠率便可以确定空间曲线，这就 是上面能量公式以曲率和挠率为白变量的原因。 我们还要注意到的是曲率r 恒等于零的曲线是直线，挠率r 恒等于零的曲线 是平面曲线，对于直线来说，r = 0 ，f = 0 。螺旋是曲率r 和挠率f 均为不等于零 的常数。 2 2d n a 分子的弹性理论 对于d n a 等高分子聚合物存在很多连续介质力学模型，其中主要包括 k i r e h h o f f 弹性理论，h e l f r i e h 弹性理论，k a m i e n 弹性理论和虫状链( w l c ) 弹性理 论等。本文仅对这几种主要的弹性理论进行讨论。 2 2 1k i r c h h o f f 弹性理论 k i r e h h o f f 理论主要描述三维空问弹性细丝的力学行为，包括静力学方面和动 力学方面的行为o ”5 。 k i r c h h o f f 理论最初是基于m a t e r i a l 标架的理论，r ( s ) 是三维空间的曲线，也 可以看作细杆的中心轴线。 t ，m 。，m ， 沿着r ( j ) 构成一个正交的右手系( 图2 2 ) 。 1 4 盟业 仁 硕士学位论文 很显然r = r ，t ，m 。，m ：) 包含了扭曲的信息。 在m a t e r i a l 标架中，我们有： 图22m a t e r i a i 标架示意图 t = n x t m l = q m i ， m 2 = t x m 2 ， ( 2 1 7 ) 这里的撇号代表对弧长参数s 的微分，n 是m a t e r i a l 标架的旋转矢量： 1 7 = 械一m l + 铂m 2 ， ( 2 1 8 ) 在m a t e r i a l 标架中，我们也可以写出类似于f r e n e t 标架的公式： t = m l + m 2 m 2 ， m l = 一竹t + 埘m 2 ， (