（计算数学专业论文）矩阵多项式的块数值域.pdf

矩阵多项式的块数值域 摘要 本文主要研究了矩阵多项式的块数值域关于矩阵数值域的研究已有很多， 取得了丰富的研究成果，并在迭代法的收敛分析、特征值定域及敏度分析方面 有了广泛的应用近年来，又相继研究了h i l b e r t 空间中2 2 块算子矩阵的二次 数值域和n n 块算子矩阵的块数值域在矩阵多项式数值域研究方面，g o h b e r g 等已经提出矩阵多项式数值域的概念，l i 等对矩阵多项式的数值域进行了系统 的研究但对于一般矩阵多项式的二次数值域的研究极少本文将矩阵块数值 域的概念推广至矩阵多项式情形，并给出其相关理论分析这些结果将有助于控 制论及特征值敏度分析的研究本文共分五章： 第一章综述了矩阵数值域与矩阵多项式数值域的背景及研究进展，并对全 文主要内容作一简介 第二章主要研究矩阵多项式的二次数值域定义了矩阵多项式的二次数值 域的概念，得到了矩阵多项式特征值、矩阵多项式数值域以及矩阵多项式二次 数值域之间的包含关系并给出了二次数值域有界的一个充分条件最后对矩阵 多项式二次数值域的几何性质进行了研究 第三章定义了矩阵多项式的n 扎块数值域概念，给出了特征值、数值域及 块数值域之间的包含关系并得到了，对矩阵多项式进行进一步分块可使块数值 域缩小的结论 第四章进一步研究矩阵多项式特征值的定域估计给出了求其上界的统一 方法并利用矩阵多项式的友阵的合理分块，得到特征值界估计最后给出了块 数值域与某一多项式友阵特征值之间的关系 第五章给出了数值算例，从计算结果可以看出矩阵多项式数值域与矩阵多 项式二次数值域间的包含关系并验证了二次数值域的几何性质合理分块可 矩阵多项式的块数值域 以得到包含特征值的更小的数值域 关键词：特征值，矩阵多项式，数值域，二次数值域，块数值域 t h ebl oc kn u m e r i c a lr a n g eo fm a t r i xp o l y n o m i a l s a b s t r a c t t 妇t h e s i sm a i n l yd e a l sw i t ht h en u m e r i c a lr a n g eo fm a t r i xp o l y n o m i a l s t h e r eh a sb e e nm a n ys t u d i e so nt h en u m e r i c a lr a n g eo fm a t r i xw i t hr e w a r d i n g r e s u l t s ，w h i c ha r ew i d e l ya p p l i e di na r e a so fc o n v e r g e n c ea n a l y s i so fi t e r a t i v e m e t h o da n dl o c a t i o na n ds e n s i t i v i t ya n a l y s i so fe i g e n v a l u e i nr e c e n ty e a r s ，s t u d - i e so nt h eq u a d r a t i cn u m e r i c a lr a n g eo f2 2b l o c ko p e r a t o rm a t r i xa n db l o c k r a n g eo f 礼nb l o c ko p e r a t o rm a t r i xi nh i l b e r ts p a c e sa r eo b t a i n e d i nt h ef i e l d o ft h en u m e r i c a lr a n g eo fm a t r i xp o l y n o m i a l s ，g o h b e r ga n dh i sc o o p e r a t o r sh a v e p r o p o s e dt h ec o n c e p to ft h en u m e r i c a lr a n g eo fm a t r i xp o l y n o m i a l s ；l ia n dh i s c o o p e r a t o r sh a v ec a r r i e do u tas y s t e m a t i cr e s e a r c ho nt h en u m e r i c a lr a n g eo fm a t - t r i xp o l y n o m i a l s h o w e v e r ，r e s u l t so nt h eq u a d r a t i cn u m e r i c a lr a n g eo fm a t r i x p o l y n o m i a l sa r er a r e l ys e e n t l l i st h e s i se x p a n d st h ec o n c e p to ft h eb l o c kn u m e r - i c a lr a n g eo fm a t r i xt os i t u a t i o n so fm a t r i xp o l y n o m i a l s ，a n dp r o v i d e sr e l e v a n t t h e o r e t i ca n a l y s i s i ti sh o p e dt h a tt h er e s u l t sw i l lb eh e l p f u lt ot h er e s e a r c hi n c o n t r o lt h e o r ya n de i g e n v a l u ea n a l y s i s t h i st h e s i sc o n s i s t so ff i v ec h a p t e r s c h a p t e r1s e r v e sa sag e n e r a lr e v i e wo ft h eb a c k g r o u n da n dd e v e l o p m e n t o ft h en u m e r i c a lr a n g eo fm a t r i xa n dm a t r i xp o l y n o m i a l s ，a sw e l la sab r i e f i n t r o d u c t i o nt ot h ec o n t e n t so ft h i st h e s i s c h a p t e r2m a m l yd e a l sw i t ht h eq u a d r a t i cn u m e r i c a lr a n g eo fm a t r i xp o l y - n o m i a l s t h ec o n c e p to ft h eq u a d r a t i cn u m e r i c a lr a n g eo fm a t r i xp o l y n o m i a l s i sd e f i n e di nt h i sp a r t t h ei n c l u s i v er e l a t i o n s h i po ft h ee i g e n v a l u eo fm a t r i x p o l y n o m i a l s ，t h en u m e r i c a lr a n g eo fm a t r i xp o l y n o m i a l sa n dt h eq u a d r a t i cn u o m e r i c a lr a n g eo fm a t r i xp o l y n o m i a l si sc o n c l u d e dw h i l et h es u 伍c i e n c yc o n d i t i o n o ft h eb o u n d n e s so ft h eq u a d r a t i cn u m e r i c a lr a n g eo fm a t r i xp o l y n o m i a l si sg i v e n l a s t l y , t h eg e o m e t r yc h a r a c t e r i s t i c so ft h eq u a d r a t i cn u m e r i c a lr a n g eo fm a t r i x p o l y n o m i a l sa r es t u d i e d c h a p t e r3d e f i n e st h en nb l o c kn u m e r i c a lr a n g eo fm a t r i xp o l y n o m i a l s a n dp r o v i d e st h ei n c l u s i v er e l a t i o n s h i po ft h ee i g e n v a l u e ，t h en u m e r i c a lr a n g ea n d 矩阵多项式的块数值域 t h eb l o c kn u m e r i c a lr a n g e ，r e a c h i n gt h ec o n c l u s i o nt h a tf u r t h e rb l o c kp a r t i t i o n o fm a t r i xp o l y n o m i a l sc a nr e d u c et h eb l o c kn u m e r i c a lr a n g e c h a p t e r4i saf u r t h e rr e s e a r c ho ft h eb o u n do ft h ee i g e n v a l u e so fm a t r i x p o l y n o m i a l s au n i f o r mw a yo fc a l c u l a t i n gt h es u p e rb o u n do ft h ee i g e n v a l u e o fm a t r i xp o l y n o m i a l si sg i v e n e s t i m a t i o no ft h eb o u n do ft h ee i g e n v a l u ei s o b t a i n e dt h r o u g har e a s o n a b l ep a r t i t i o no ft h ec o m p a n i o nm a t r i xo ft h em a t r i x p o l y n o m i a l s f i n a l l y , r e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h eb l o c kn u m e r i c a lr a n g ea n dc e r t a i n e i g e n v a l u eo fc o m p a n i o nm a t r i xo ft h em a t r i xp o l y n o m i a l si sp r e s e n t e d c h a p t e r5i n c l u d e st h en u m e r i c a le x a m p l e s ，t h er e s u l t so fw h i c hs h o wt h e i n c l u s i v er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h en u m e r i c a lr a n g eo fm a t r i xp o l y n o m i a l sa n dt h e q u a d r a t i cn u m e r i c a lr a n g eo fm a t r i xp o l y n o m i a l s t h eg e o m e t r yc h a r a c t e r i s t i c s a r ea l s ot e s t f f i e db yt h ee x a m p l e s r e a s o n a b l ep a r t i t i o nc a nr e s u l ti ns m a l l e r n u m e r i c a lr a n g e st h a ti n c l u d et h ee i g e n v a l u e k e y w o r d s ：e i g e n v a l u e ，m a t r i xp o l y n o m i a l s ，n u m e r i c a lr a n g e ，q u a d r a t i cn u - m e r i c a lr a n g e ，b l o c kn u m e r i c a lr a n g e x 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含未获得 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所 做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名奔澎触字日期：伽8 年岁月“日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。 本人授权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在 解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：郜江波 导师签字：互卫j 虱 签字日期：瑚吕年了月1 “e t签字日期：卅年$ - - 月ze t 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 第一章综述 对于一个赫尔伯特空间澎中的有界线性算子t ，数值域w ( t ) 为彤单位球 面关于算子t 的一个映射，展p w ( t ) ：= i z 彤，l i x l i = l 矩阵 数值域的研究历史已很长，在很多文献中已有研究，已取得了大量的研究成 果【l 】【2 3 1 1 4 5 ，并在迭代法的收敛分析、特征值的定域及敏度分析方面有广泛 的应用( 见1 9 9 7 年k e g u s t a f s o n 与d k m r a o 出版的著作f 6 1 ) 2 0 0 1 年，h l a n g e r ，a m a k u s ，v m a t s a e v 和c t r e t t e r 在论文7 1 中给出赫尔伯特空间中块 算子矩阵的二次数值域的概念，h l i n d e n 8 与c t r e t t e r 9 等人给出了h i l b e r t 空间中nxn 块算子矩阵的块数值域概念及性质 矩阵多项式的数值域在文章( 【1 0 ，1 0 6 】) 中给出，而c h i - k w o n gl i 与l r o d m a nf i i 进行了更深入的研究矩阵多项式的块数值域分为一次、二次及多 次数值域关于一次数值域( 即一般所说的数值域) 的研究已经取得比较多的结 果 1 l 】，但是对于矩阵多项式的二次数值域及多次数值域的研究还很少 设为n n 复矩阵的集合假设 p ( 入) = 娠入m + 名乞一1 入m 一1 + + 蕊 为矩阵多项式，其中碰，入c 定义p ( 入) 的数值域为【1 0 】： i 矿( p ( 入) ) = a c l x + p ( 入) z = 0 ，0 z c n ) 若p ( 入) = a i 一，那么( p ( a ) ) 就简化为矩阵的数值域，其定义为f 6 】 ( ) = 矿a x l x 夕) ， 其中夕表示c n 中的单位球面，即 夕= z c n i x + z = 1 ) 矩阵多项式的块数值域 从而矩阵多项式的数值域即为经典数值域的推广矩阵多项式p ( 入) 的块数值域 定义为 慨粥编( 尸( 入) ) = a cljz 施篇，0 c n ，只( a ) 可= o ) 详细研究可见第三章 当n = 1 时，矩阵多项式的块数值域即为其数值域；当n = 2 时，其与矩阵多 项式的二次数值域一致；对礼n 矩阵多项式，缈n 垆) 即为矩阵多项式p ( a ) 的谱， 即说明矩阵多项式的块数值域为其一般数值域的推广 矩阵多项式的数值域在有限维超阻尼振动系统中发挥着非常重要的作用， 见 1 2 】，【1 3 ，第七章】与【1 0 ，第十章】在文中矩阵多项式的形式为a 2 a 2 + a 1 a + 4 0 ， 其中山，a 1 ，a 2 为n 他有限正定矩阵此多项式基于数值域性质的分解形 式a 2 ( a ，一m ) ( a j y 2 ) 在超阻尼振动系统理论中具有非常重要的作用 1 4 】 矩阵多项式数值域的研究在稳定性理论中亦有重要的应用我们知道一个 标量多项式p ( a ) 是稳定的充分条件为其所有的根都有负实部应用到p ( a ) 的数 值域，其稳定即意味着w ( 入) ) c 【l ，c i 冗e ( 1 ，) m + 1 ，存在单位向量g c 满足 因此 从而 矿0 ，= 00 = 0 ，1 ，m ) 妒= 0 ，麓例 m 夕+ 岛夕。 入( ( ，+ 如，) ) ca ( ) cw 2 ( p ) ， 7 矩阵多项式的块数值域 类似的可以证明另一等式 w ( p a ) cw 2 ( p ) 推论2 6 若n l ，n 2 1 且ozw 2 ( 彳n ) ，则og ( 厶。) uw ( d m ) 注3 推论2 6 的逆命题是不成立的，下述简单例子即可说明令 娠= q a m = 2 ，= 2 注意到( ) = 1 并且w ( d m ) = 1 ) ，但是如果，= g ，那么船为奇异的 推论2 7 若0gw 2 ( d i n ) ，则是非奇异的 证明假设蛎是奇异的 若嗣么( ：) = 。，其中( ：) 口 c n 非零，锄= “z u 2 f , y = l i 可i i 。夕并且( 二) 贝u 嗽f * a m ，f 麓鲫黝一o ， 9 + c k ，夕+ 三k 夕l i y i l 2 - q 已知矛盾 c 3 接下来考虑二次数值域的分解估计，为了简单，只考虑首一矩阵多项式首 先给出基于数值域的一条结果 命题2 8 设0g ( ) 且知gw ( 尸) 并令 n ( 磊) 2 r a ：i n ：1 i u + d m u i 则 d i s t ( 沁，( p ) ) ( 删) 击 ( 2 1 2 ) 证明x c e s u c n ，i l u l l 2 = 1 ，记多项式石杀t p ( 入) u 的友阵为c o 则 d e t ( p k 一瓯) = 等是窘= n 凳。m 一( g ) ) ， 、l _ 、 厶厶 矩阵多项式的块数值域 其中( 瓯) 为q 的特征值令 则 从而 n ( p ( 知) ) 2 删m 。i ：n 1i 矿p ( 帅i 酬c 刚( 甓群) 去 d i s t ( a 。，( p ) ) 2 i i 泄1 池t ( 知，入( 瓯) ) ii i l j n 1 。, 1 1 2 = x ( 嚼掣) 去 一i 、 no ( 删) 击( 吲掣) 去 推论2 9 在命题2 8 的条件下，有 i i p ( a o ) 1 1 2 面磊丽赢专而 下述定理用二次数值域给出分解估计，是 8 ，t h3 1 】的推广 定理2 1 0 设入ogw 2 ( p ) ，嗣= 厶，则 d i s t ( & o ，w 2 ( p ) ) ( 肋d r m i n ( p ( 入o ) ) ) 赤， 其中 m - 1 p 户= l 知i m + 乏二l 知i j 而， j - - o 并目 如= m a x l l 今1 1 2 - ! - 1 1 岛1 1 2 ，l i c j l l 2 + i i d y l l s ，歹= 0 ，1 ，m 一1 证明对任意( 三) ，考虑 ( 入) = a m j l 2j r 三l a m 一1 + + 翻护 口 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 矩阵多项式的块数值域 其友阵为 易知 同时 而 l 0 2 i o j 1 2 一 1 o 内2i l 一舻 d i j s t ( 入o ，入( ) ) d e t ( p f g ( a o ) ) 去 id e t ( p f g ( 知) ) i = i i p s 9 ( 入o ) 1 1 2 盯矗n ( 弓9 ( a o ) ) ， m - 1 i i ( a o ) j | 2 i 知r + l 知p 易， j = o ( ( 入o ) ) = 从而 忙m i n 引嘲糊酬2 = 忙r a i n 小： 。a m 舱i n ：。0 p c a 。，( 三：当) 8 2 g o ) p ( a o ) i | 2 醐h 咖琏蹿r a i nd i s t ( a o , a ( ) ) r a i n i i 。1 1 2 = 1 川| | 2 )； l| | 眈夕1 1 2 j 2 肋。l l 稚呈li i p , , 9 ( x o ) z l l 22 肛n ( p ( 知) ) 即得要证的结论 注4 ( 2 1 4 ) 可以写为 l f p ( ) 1 1 2 d i s t ( a o , 丝w 2 一( p ) ) 2 m 下面简略介绍2 ( p ) i 拘i l 何性质，首先给, m , j l 个例子 1 0 口 ( 2 1 5 ) g 一 如磁 一 o 矩阵多项式的块数值域 例2 1 记p c 砷= 胪( 吾o a ) - h , a = ( 呈三) 由于 啪h m 9 一， 因此，w 2 ( p ) 由2 m 条射线组成，不连通且无界注意此例，0 w 2 ( 彳d 一入m 二，) 一0 尊肌( ，a c 2 ) - - 1 2 c 入，= 胪( 广等”，呈) 一( 三二) 因此， a ( ) = a cia m + 1 = 0 或a m ，a ( 1 ，一l = 0 ， 它由单位圆上的m 次单位根及长度为丢一豪的m 条线段构成注意。乒w 2 ( 磊) ， w 2 ( p ) 为有界闭集，但有2 m 个连通分支 例2 3 记尸c a ，篇a m ( 台芝) 一( 言三) ，b = g 三) 易知2 c p ，连通， 胁硼胪胪( j 2 0 尊易删耻呻嗍咄 定班1 1 设娠对任意的，的每个特征值都可 通过缈2 ( 尸) 中的某条连通曲线连接弓渤( a ) 的某个特征值 1 若f l l l a ，夕1 l i 卯时，则有 = p 1 ，2 ，g l = i z 2 9 2 ，l p l i = i p 2 i = 1 易舢，= 三卜 相同特征值，结论成立 1 1 o 1 因此p ，1 9 。( 入) 与p ，2 驻( 入) 有 p 2 矩阵多项式的块数值域 2 当 0 ，2 ，g l 肝9 2 时，考虑如= p ，p = e 钼令 ) = ( 袅) 则o 1 时， ( 三譬；) ， a c 只。c t ，钇c ，c 2 c p ， a ( 只。( o ) 勰( o ) ) = 入( j 麓9 。) ，a ( 只。( 1 ) 勿( 1 ) ) = a ( j 9 2 ) ， 因此结论成立 3 当 j f 厶，g l i l 9 2 时，可以类似地证明 4 当 , i t 五，g l f 仂时，考虑 ) = ( 燃) 1 2 口 第三章矩阵多项式的块数值域 第二章中提到在h i l b e r t 空间澎中基于分解彩= 镅粥兹的 关于竹礼块算子矩阵的更一般的概念在 9 】中已经被引入而且，在【9 】中首一矩 阵多项式伴随矩阵的块数值域亦被引入除此之外，【9 】中还证明一个n 扎伴随 矩阵a 在其数值域( a ) 的边界o w ( a ) 上至多有n 个线段，并且给出了在边界上 拥有礼个线段的等价条件在这一部分，我们将矩阵的块数值域推广到矩阵多项 式首先，将竹几块算子矩阵的划分记为 识= ，k = 0 ，l ，仇 ( 入) = a m a 等+ 一1 a 艘1 + + a a p + a 铲， t ，歹= 1 ，2 ，n ( 3 1 ) 3 1基本概念 p c 入，= ( ：二：二：) ， c 3 2 ， 1 3 、l-、 哪 哪 0知；似七 a a 矩阵多项式的块数值域 ( 只1 ( 入) x 1 ) ( r n ( a ) z n ，x 1 ) 只( 入) = i ：； l ， ( 3 3 ) ( r 1 ( 入) z 1 ，) ( 户( 入) z n ，z n ) 简记为，( 只( 入) ) 巧= ( 疡吻，戤) ；i ，j = 1 ，n 并记 粥跏粥= z = ( 砚，z 2 ，z n ) t 澎il i z l l l 2 = i i x 2 1 1 2 = = i i z 住0 2 = 1 ) 定义3 1 矩阵多项式p ( 入) 的块数值域定义为 弼x 兹( p ( a ) ) = a cl3z s 幺确x - o 碥，0 y ，只( a ) y = o ( 3 4 ) 当形的分解固定时，记n ( 户) = w 幺确x - - x 碥( 尸q ) ) ，晶= 鼢粥- - x 璐 当n = 1 时，矩阵多项式的块数值域即为其数值域；当死= 2 时，其与矩阵多 项式的二次数值域一致；对n 讫矩阵多项式，w n ( 尸) 即为矩阵多项式尸( a ) 的谱 记入( 忍) = 入cij0 y c 满足只( a ) = o ) ，则集合n ( p ) 可表示 为 旷( p ) = u a ( 足) o s n 类似于引理2 1 ，有如下引理 引理3 1 久( p ) cw 砖( p ) cw c p ) 记 c 叫罴： 歹= 0 ，1 ，m 其中忙1 1 1 2 = = 0 z n 0 2 = 1 定理3 2 只( 入) 由( 3 3 ) 定义若0gw ( ( 娠) 霉) ，则n ( p ) 是有界的 若0 ( ( 磊) 霉) ，那么块数值域w n ( 尸) 亦可能为有界的 1 4 中 n 已 义定 觞 嬲 p 一为 现问阮 i l 矩舭孙 忍 的 、lilij， 、j、) 1 n z o n 作 z ； 互 n n 今 鸳 矩阵多项式的块数值域 下面的例子说明即使o w ( ( 娠) 霉) ，那么块数值域n ( p ) 亦可能为有界 的 例令 p c 入，= ( 1o ) a n - ( 1 1 ) ，= ( 1 。) 简单计算后得出2 ( p ) = ai 久m 一1 = o ) 显然，w 2 ( p ) 为有界的但 毗娠) _ e t ( go ) _ - 0 ) = o ，1 即，0 w 2 ( 娠) 3 2矩阵多项式块数值域 下面将说明适当地选择镅x x 兹的分解，可以使块数值域的范围缩小 定义3 2f 9 l 令n ，元n 且澎：镅x x 磁= 。籀x x 砩分别对应于希尔 伯特空间嬲，兹与砺，编则确x x 镌称为镅x 镅x x 旄 的一个加细分解如果死元且存在0 = i o t 霸= 元满足磁= 兹一l + 1x x 兹对任意七= 1 ，n 定理3 3 若澎= 翻x 鹚x 镌为= 嬲嬲x 兹的一个加 细分解，则 厕h 螺俨( a ) ) c 嬲x - - x 粥( p ( 入) ) ， 简记为， w 矗( p ( 入) ) cw n ( 尸( 入) ) ，元n 证明利用【9 】中的方法证明此定理如果证明了元= n + l 的情况，那么一般的情 况可以简单的类推得出下面我们仅证明磊= n + l 的情况若磊= n + l ，存在七 1 ，礼) 使此加细分解满足形= 镅璐一l 聊帮兹+ l 兹， 1 5 其中兹= 聊群基于这个新的分解，p ( 入) 可表示为 p ( 入) = r 1 地碓只n 碥 磅 础 磁 p 毪 磁 r 1 礁磁 其中( i ，j = l ，礼) 为基于澎= 镅粥磁的矩阵多项式则有 令 a w a r , 孙旅一。研群缎+ 。x 碥( p ( a ) ) ， 则存在一个向量 满足 p ( a ) = y c - + 1 ，i l y l l 2 = 1 z = ( z 1 ，x k - 1 , z ：，z 七+ l ，z n ) 7 s 幺力譬钟孑a ( p 1 l z l ，z 1 ) ( f z ，z 1 )( f 蟊z 2 ，z 1 ) ( 只n z n ( p 2 l x l ，z ：) ( p 2 1 t , 1 ，z ) ( 磁z ：，z ：) ( 硪z ，z 1 ) ( 磁z 2 ，z ：) ( 磺z ：，z ) ( p i t , l ( 礁z 拜 ( r l z l ，z n ) ( f z ：，z n ) ( 群2 七z 2 ，z n ) ( f z t t 由上式中间两行可得 = 0 ( 磁1 名l ，z ：) 譬l + + ( 。r 妇l l 。奄1 ，z 毛1 ，可k 1 + ( 以- - 1 奄2 2 2 奄，z ：) 馥+ + ( p 是z 再，z ：) 弧= q 3 5 ) ( 璐z l ，z 1 ) 秒1 + + l ( “- 2 七1 1 ，2 ，弧1 + l ( “1 1 七2 正2 k ，z 2 知，y 知2 + + ( 硪z 竹，z ；) 蜘= q 3 6 ) 1 6 ；碟磙； 、liilliliilij， 虮；以醒；、illiillliii d d 蓟 j z z z z 令 且 易知 可得 f 孤- l 矩阵多项式的块数值域 y k = i 矾1 2 + i 旌1 2 ( 曝z ：，) 矾+ ( 碳z 2 ，巧) 醒 以= 醒= 0 ， 、d 1 1 。x l 。n ，1 ，z j ( ( 碳壤) ( ( 碳壤) ) + ( 碳x 。2 川2 ) 矧 ( 3 7 ) z 七，x j ) v k ， j = 1 ，2 ，k 一1 ，k + 1 ，n 若y k 0 ，由( 3 5 ) 醍+ ( 3 6 ) 诡与 线1 、t 0 。, 1 - - i ，z 女) 玑+ 诡( 户窘z ，z 2 ) 玩= ( 2 ：1 ， 由( 3 7 ) 与( 3 8 ) ，得 ( 磊) z t ，( 篓二1 ) ，瓠， i = 1 ，k 一1 ，k + 1 ，扎， 1 7 ) 以 ( 3 8 ) ，一七2b、lj， z z硅二傀一v匆匆 。花g 1 七2 七 z z 1 七2 知 可可 磙 观 础硪m k 九0k厂k厂“ 一 以醒以醒 洒易b 扎泸磁磺砖 以醒 令 弦( 亡) = 亡m 一1 一一1 ) + ( 一l e ) t 仇一2 + + 靠e 则鼬( t ) = o 的最大非负根为p ( ) 注意 n 1 1 1 1 = o 口f e f o l e r i ，j = 0 ，1 ，m 一2 ， 则有 p ( ) p ( 1 1 翻 0 1 1 2 命题4 3 在c 的自然划分下，令i ii i = 1 2 那么有 证明显然 c d 口 w m ( c d ) c 弘ci l p | p ( s 匕) ) ( 4 1 4 ) 0 w m ( ) = ua ( ) ， 一z ：秭z 2籼0 、：娠- - 1 x 2 ) ，一z ：娠 ， 、liiiilliij， l 靠 0 1 1 0 o 其中 由( 4 8 ) ，得 因此 = t z = ( 二) c ，懈l 巧c n ，l j 巧舱= 1 ， p ( ) p ( i c d i ) p ( 乩) ， w m ( e ) c p cil u l 冬p ( s ：) ) 口 其中 且 第五章数值实验 本章给出几个数值算例，对二次数值域2 ( p ) 与数值域( p ) 进行比较 为此，必须求解多项式特征值问题 ( 入) z = 0 ， ( 入) = 捌霉+ 入m 一1 蟛f g 一1 + + , 彳0 i g ， 妒：f ， ：f 隅夕、，j - - o , 1 , m , 。 旷岛，g d j g ) 7 将( 5 1 ) 线性化后得 r 。 _ 哦g 如 一稚。r ( 三) 、1 如 i 菇窖、 ( 5 1 ) 可以用q z 算法求得( 入) = 0 的特征值 本章所有计算名e m a t l a b6 5 平台下进行此算法基于产生足够多的厂，夕并直 接 出d e t ( p f g ( 入) ) = 0 第一个例子说明矩阵多项式的二次数值域的大小与系 数矩阵的划分有关 2 5 如 如0 矩阵多项式的块数值域 例5 1 记尸( a ) = 入2 奶+ a 顽+ d o ，其中 一一 基于空间c 4 = c 2oc 2 的分解，用p 1 ( a ) 表示，并且，基于空间c 4 = c 3oc 1 的分 解用b ( 久) 表示，即 r ( a ) = 入2 4 + a 0 - i0 01 t00 0 0000 t 00 0 0 踟m ”a ( 0一i00 l00 0 0000 000 0 + ( + 1 1l00 11 10 0 0o1 0o 000 2 1 fi i 100 l1 100 o01 00 t 0 00 2 1 相关计算结果如图5 1 与图5 2 所示图5 3 所示为定理2 5 中定义段( a ) 的数 值域，图5 4 为p ( 入) 的数值域，由图可以看出w