（计算数学专业论文）积分型受限最优控制问题有限元的后验误差估计.pdf

山东大学博士学位论文 积分型受限最优控制问题有限元的后验误差估计 葛亮 ( 山东大学数学与系统科学学院，济南，2 5 0 1 0 0 ) 指导老师：羊丹平教授，刘文斌教授 摘要 偏微分方程最优控制的研究是数学学科中非常鲜活且有生命力的领域，过去三十 年来得到了很好的发展作为数学尤其是应用数学的一个分支，它涵盖了很多领域比 如材料设计，晶体增长，化学反应等过程中用到的例如时间控制，回馈控制，流体方程 控制，最优形状设计等重要的多种类型的控制问题，相关文献见，【5 6 ，7 3 ，7 4 ，s 0 其中 涉及到的方程类型既有线性的和椭圆的，又有非线性的和时变的特别复杂和重要的 是，随着科学和工程的发展，我们碰到了具有更重要应用和实际需要的许多线性或者 非线性耦合方程组的最优控制问题，相关文献见， 4 ，3 6 ，3 7 同时由于实际应用中问 题的复杂性，以及能用更有效的数学理论来分析这些问题，可见形成更合理更适定的 数学模型无疑是非常大的挑战另一方面，随着计算机的发展和计算能力的提高，在 有了问题的数学模型的描述之后，摆在我们面前的第二个任务就是如何采取更有效的 数值方法去满足此类问题的计算要求，使得问题的物理过程得到更直观的模拟，从而 为实际生产带来更大的帮助或技术的提高从而，为了检验问题模型正确与否和为进 一步的研究提供基础，我们需要在数值方法和相关数学逼近理论分析方面有更快的发 展才能保持平衡众所周知，在当前的科学与工程计算过程中，有限元方法因其自身 的优越性使得在众多数值方法中占有了不可替代的位置 有限元方法在偏微分方程最优控制问题中的应用已有很广泛和深入的研究，无论 是在数值计算还是收敛性和误差分析方面的结果都不胜枚举，具体可见，【5 ，6 ，3 3 】等 例如，最优控制问题中状态方程为线性时，先验估计在1 2 9 】中就已给出 虽然当前科技论文文献中关于最优控制的有限元逼近中快速求解的文章不胜枚 举，但是即使对控制受限的线性椭圆控制问题的计算仍然需要深入的研究原因是最 优控制问题的求解仍存在很多计算上的瓶颈问题，其中种种困难错综复杂，相互制约， 从而增加了问题的难度。这其中至少有两个关键的问题，首先是最优控制问题如何离 散，其次是离散的最优控制问题( 有时是k k t 系统) 如何求解，其求解过程通常需要 反复求解状态和对偶状态方程 从已有的研究成果来看，在诸多类型有限元方法的计算中，自适应有限元因其高 山东大学博士学位论文 效性已成为当前科学与工程计算领域内的一个重要课题。为了得到精度更高的数值解， 自适应方法的本质正是在于通过后验误差估计得到的估计子作为加密的标准实现其网 格的局部加密。它的实现机理是在指示子大的地方进行网格加密，所以在函数正则性 较差的地方网格点分布较密，正是基于此，指示子对于自适应方法是否有效和可靠是 非常重要的标准和依据关于指示子有很多种，比如残量型，分层类型，基于局部平均 就是所谓目标定向的对偶加权方法的类型，函数型误差控制子等，具体可见【3 8 ，9 】 从众多相关文献中可以看到偏微分方程的边值问题和初边值问题的自适应计算已经有 了很成熟的应用和分析，但是方程的最优控制问题方面，自适应方法的计算还是属于 初级阶段，仅有部分类型的相关问题有相关结论。例如，对于控制不受限的问题，目标 定向对偶加权方法在文献【1 3 中给出了分析。控制受限下的控制问题的残量类型的后 验估计可见文献【3 l ，4 l ，4 4 ，6 l ，6 2 中的结论 关于自适应网格在计算过程中对有效降低误差方面的结论，相关文献可见【1 3 ，1 4 ， 5 3 ，6 2 1 等我们发现在控制有奇性的地方如果网格的分布不合适，将会引起很大的误 差而且这种误差在后面的计算中不能消除这里需要指出的是在最优控制里广泛应用 的仅从状态方程推导出的误差指示子用来求解整个控制问题不一定有效，例如在【1 3 】 和【5 3 】中给出所以迫切需要去寻找针对控制问题有效的指示子在控制受限时，控 制和状态有不同的正则性以及各自奇性位置的不同，故放在同一套网格来计算效率较 低。进而，对应多套网格的下的后验估计即找出不同变量对应的不同指示子用来调整 各自的网格变得非常有必要。同时这也使得多套网格下的自适应计算可以更有效的进 行此方法和思想可用于很多类型控制问题，相关文献见 4 6 ，5 2 ，4 7 ，5 4 】 本篇论文是对受限的最优控制问题的残量型自适应有限元方法进行了研究本篇 文章分为六个部分：第一章我们利用分片常数有限元和分片线性不连续有限元去近似 控制，给出了仅仅适用于同一套网格的关于最优控制的自适应方法和后验误差估计 第二章我们给出了适用于多套网格的关于最优控制的等价的h 1 的后验误差估计虽 然之前【4 6 】曾经给出了关于逐点型控制受限的多套网格的后验误差估计，但是由于问 题的限制和处理方法的要求，其中间的日1 范数需要增加一个量e 来保证其后验估计 的等价性本章的创新点是给出的关于积分型的h - 范数的后验误差估计确实是等价 的估计，其等价性并不需要其他的项来保证第三章我们给出了适用于多套网格的关 于最优控制的等价的三2 的后验误差估计本章的创新点是这是关于控制问题等价的 三2 范数后验估计虽然本文处理的是积分型控制受限，但是所用方法可以推广到逐点 型，乃至各种其他类型的控制问题第四章我们利用非协调元处理积分型状态受限最 优控制问题，并且给出了其先验和后验误差估计本章的创新点是我们利用了一系列 新的方法处理这个问题，并且得到了与之前都不同的估计子第五章我们把积分型状 态受限问题转化为一个积分型状态控制受限问题，给出了一系列的分析，得到了有限 山东大学博士学位论文 元的先验和后验误差估计虽然之前也有人曾经利用这个方法处理过其他的状态受限 最优控制问题，但是本章的创新点是我们是给出等价的后验误差估计的第六章我们 给出了抛物型最优控制问题的等价的后验误差估计子本章的创新点是我们是给出抛 物型最优控制问题的等价的后验误差估计子的文章，并且计算时我们可以得到对于控 制问题随时间变化的网格变化 下面的几段分别介绍各章的主要内容 到目前为止，所有的关于控制受限的后验误差估计都是关于障碍型的：k = 珏： u 9 ) ，其中g 是一个障碍众所周知，对于受限最优控制问题，后验误差估计子 的形式和推导时所用的方法很大程度上依赖于控制集k 的选择在这里我们给出了 k = 钆：f ou o ) 的控制受限的后验误差估计很显然对于上述的最优控制问题给 出其后验误差估计是很有意义的在第一章中我们将针对一个线性椭圆控制问题，给 出其自适应有限元方法 在第二章中我们仍然处理线性的椭圆控制问题这部分我们将给出受限问题的多 套网格自适应有限元方法我们给出等价的后验误差估计子，并用算例验证了我们的 结论由自适应有限元的理论( 【2 8 ，7 1 ) ，自适应有限元的指数收敛性可以由自适应 子的等价性得到这是我们给出我们的自适应子代替经验型自适应子的原因 虽然日1 范数的后验误差估计的等价性( 被称为日1 范数的等价的后验误差估计) 对于很多椭圆最优控制问题，无论是障碍型的还是积分型的，都已经给出了，具体看 【3 8 ，3 9 ，4 6 ，但是对于l 2 范数的等价的后验误差估计即等价的l 2 范数的近似误差， 还没有给出证明，虽然在【4 6 ，6 2 中曾经给出了障碍型控制受限的l 2 范数的误差估计 的上界估计虽然说采用已有的对偶方法可以给出l 2 范数的上界估计，但是给出其 下界估计好像并不是一个简单的问题在很多工业应用中，有些时候人们关心的是控 制和状态的平均值性质在这种情形下，很自然要采用驴范数的误差估计作为停止 计算的准则因此l 2 的等价的误差估计子是相当有用的此时l 2 范数的误差估计子 可以给出相对较少的加密在第三章中我们将处理线性椭圆控制问题，我们将给出积 分型控制受限的最优控制问题等价的厶2 范数后验误差估计。我们得到的2 范数的后 验误差估计适用于控制和状态不同网格的情形最后我们给出了算例验证了我们的误 差估计子 对于状态受限最优控制问题，之前已经有很多文章曾经处理过了，例如【1 5 ，1 7 ，1 9 ， 2 7 ，5 9 ，6 7 ，7 2 ，7 6 】他们当中有很多人处理的是逐点状态受限问题，即k = ：y 妒) 或者k = 可：y 妒) 例如在【1 5 ，1 7 ，1 9 ，2 7 】中在一定的假设条件之下，c a s a s 在 【1 7 中证明了对于逐点状态受限问题存在一个测度意义下的乘子一般情况下，这个 乘子是一组6 函数，或者是位置不确定的自由边界因此其有限元分析是非常困难的 其收敛性和先验误差估计在【1 7 ，1 8 ，2 7 ，5 9 ，7 5 ，7 7 】中曾给出，而后验误差估计则是最 山东大学博士学位论文 近在 3 4 和【4 5 】中才有一些结果对于解法，b e r g o u n i o u x 和k u n i s c h 在【11 中利用 a u g m e n t e dl a g r a n g i a n 法求解状态控制受限的最优控制问题，而【1 2 】中给出了p r i m a l d u a ls t r a t e g y 方法求解这个问题而在实际的工程应用中，大家有时更关心如何控制 状态的平均或l 2 范数从而存在一些其他形式的状态受限如k = 秒：o t 厶y p ) ， l 2 范数受限k = 可：。凡y 2 卢) 等。b a r b u 7 】和l a s i e c k a 【5 1 仅仅考虑了厶g ( v ) 0 型问题的解的存在性最近，w b l i u ，d p y a n ga n dl y u a n ，在 6 7 ，9 3 】中，给出了 椭圆最优控制问题积分型状态受限的有限元的先验和后验估计。到目前为止，大部分 关于最优控制有限元的研究都是利用标准的有限元。在【5 9 】中，w b l i u ，w g o n g 和n n y a n 给出了关于逐点状态受限问题的一个新的处理方法：把状态受限最优控 制问题转化为一个四阶变分不等式问题，然后用m o r l e y 元近似求解这个问题，并且给 出了它的先验估计但是现在仍然很难给出关于四阶变分不等式问题的非协调元的等 价的后验误差估计在第四章中，我们用非协调元近似积分型状态受限的椭圆最优控 制问题我们给出了关于m o r l e y 元的近似四阶变分不等式的先验和等价的后验误差 估计在这里我们利用了一系列的之前从没有人用过的新的投影和b u b b l e 函数。 在第五章中，我们利用另一种方法处理积分状态受限最优控制问题。我们把状态 受限转化为状态控制受限。对于这个新问题我们把其看作是一个奇异的控制受限最优 控制问题我们可以证明新问题收敛到原来的问题，并且用有限元离散这个问题，得 到了先验和等价的后验误差估计 虽然说椭圆最优控制问题等价的后验误差估计已经被给出了，但是由【6 3 】可知， 抛物最优控制问题等价的后验误差估计仍然是o p e n 问题当然也有一些文章曾经处 理过这个问题如 5 4 】和【6 9 】曾经给出过后验误差估计子但是上述文章都无法给出 一个下界的证明在第六章中，我们给出了抛物最优控制问题等价的后验误差估计子， 并且我们用算例和证明验证了其等价性。 本文的创新点是： 1 本文用自适应有限元方法处理积分型控制受限最优控制问题，给出了适用于不 同套网格的日1 范数和l 2 范数后验误差估计，并分别给出了下界的证明。 2 本文用两种方法处理积分型状态受限最优控制问题其一是将原问题转化为四 阶变分不等式问题，给出了基于m o r l e ) ，元的先验估计和等价的后验估计其二是利用 罚方法将状态受限转化为状态控制混合受限问题，给出了后验误差估计 3 本文用自适应有限元方法处理抛物型最优控制问题，给出了等价的后验误差估 计 关键词：凸最优控制问题；自适应有限元方法；日1 范数等价的后验误差估计；己2 范数等价的后验误差估计；多套网格 山东大学博士学位论文 ap o s t e r i o r ie r r o re s t i m a t eo ff i n i t e e l e m e n tm e t h o do fo p t i m a lc o n t r o l p r o b l e mw i t hi n t e g r a lc o n s t r a i n t l i a n gg e s c h o o l0 1m a t h e m a t i c sa n ds y s t e ms c i e n c e is h a n d o n gu n i v e r s i t yi j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 1 0 0 , p r c h i n a s u p e r v i s o r ：p y a n gd a n p i n g lp 伯1 l i uw e n b i n a b s t r a c t o p t i m a lc o n t r o lp r o b l e mo fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n si sav e r yl i v e l ya n da c t i v em a t h e m a t i c a lf i e l da n da l s oh a sb e e nw i d e l ys t u d i e da n da p p l i e di nt h el a s t3 0 y e a r s t h i sb r a n c ho fm a t h e m a t i c sc o v e r sv a r i o u st o p i c ss u c ha st i m eo p t i m a lc o n t r o l ， f e e d b a c kc o n t r o l ，a n a l y s i sa n dc o n t r o lo ff l o we q u a t i o n s ，o p t i m a ls h a p ed e s i g nw h i c h a r et h em o d e l so fa p p l i c a t i o n si nm a t e r i a ld e s i g n ，i nc r y s t a lg r o w t h ，c h e m i c a lr e a c t i o n a n do t h e r s t h er e a d e ri sr e f e r r e dt os e ee x a m p l e so f 【5 6 ，7 3 ，7 4 ，8 0 i ti n c l u d e sn o t o n l ys t a t i o n a r ya n dl i n e re q u a t i o n sb u ta l s ot i m e d e p e n d e n ta n dn o n l i n e a ro n e s e s p e c i a l l y , c u r r e n tr e s e a r c hi nt h ec o n t r o lo fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n si sd r i v e nb ya m u l t i t u d eo fa p p h c a t i o n si ne n g i n e e r i n ga n ds c i e n c et h a ta l em o d e l e db yc o u p l e dl i n e a r o rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，f o re x a m p l e ，【4 ，3 6 ，a t b e c a u s eo ft h ec o m p l e x i t y o fp r o b l e m si nr e a la p p l i c a t i o n s ，a n dw h a ti sa l s od e s i r a b l ea n di nf a c tn e c e s s a r y ，t o e n s u r et h a to u rm a t h e m a t i c a lt h e o r yc a nb ew i d e l ya n ds u c c e s s f u l l ya p p l i e dt oe n g i n e e r i n ga n dp h y s i c a lp r o b l e m s ，i ti sag r e a tc h a l l e n g e , t of o r mo u ro p t i m a lc o n t r o l m o d e l sw h i c ha r em o r er e a s o n a b l ea n dw e l l p o s e d o nt h eo t h e rh a n d ，w i t ht h ed e v e l o p m e n to fc o m p u t e r ，w en e e dt oc o m p u t ea n dt oi m p l e m e n tt h e s ec o n t r o lp r o b l e m st o g u i d eo u rr e a lp e r f o r m a n c ei ne n n n e e r i n ga n dm a n u f a c t u r e n o wt h eb e c o m i n gs e c o n d t a s ki st h a ta s s o c i a t e do p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m sn e e de f f i c i e n tn u m e r i c a lm e t h o d st o d e a lw i t ht h er e s u l t i n gp r o b l e m s i tn e e d saf a s td e v e l o p m e n to fn u m e r i c a lm e t h o d s a n dt h ea s s o c i a t e da n a l y s i sm u s tk e e pt r a c kt oj u s t i f yt h e ma n dt op r e p a r et h eb a s i s f o rf u r t h e rr e s e a r c h a m o n gt h e s en u m e r i c a lm e t h o d s ，a sw e l l k n o w nt h ef i n i t ee l e m e n t m e t h o di sa p o w e r f u lt 0 0 1 l x 山东大学博士学位论文 t h ef i n i t ee l e m e n ta p p r o x i m a t i o no fo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m sh a sb e e ne x t e n s i v e l y s t u d i e di nt h el i t e r a t u r e f u r t h e r m o r e ，t h e r eh a v eb e e ne x t e n s i v es t u d i e si nc o n v e r g e n c e o ft h es t a n d a r df i n i t ee l e m e n ta p p r o x i m a t i o no fo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m s ，s e e ，s o m e e x a m p l e si n 5 ，6 ，3 3 ，a l t h o u g hi ti si m p o s s i b l et og i v ee v e nav e r yb r i e fr e v i e wh e r e f o ro p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m sg o v e r n e db yl i n e a rs t a t ee q u a t i o n s ，ap r i o re r r o re s t i m a t e s o ft h ef i n i t ee l e m e n ta p p r o x i m a t i o nw e r ee s t a b l i s h e dl o n ga g o ；s e e ，f o re x a m p l e 2 9 1 t h e r eh a sb e e ns oe x t e n s i v er e s e a r c ho nd e v e l o p i n gf a s tn u m e r i c a la l g o r i t h m sf o r o p t i m a lc o n t r o li nt h es c i e n t i f i cl i t e r a t u r et h a ti t i ss i m p l yi m p o s s i b l et og i v ee v e na v e r yb r i e fr e v i e wh e r e h o w e v e rt h e r es e e m ss t i l ls o m ew a yt og ob e f o r ee f f i c i e n ts o l v e r s c a nb ed e v e l o p e de v e nf o rt h ec o n s t r a i n e dq u a d r a t i co p t i m a lc o n t r o lg o v e r n e db ya n e l l i p t i ce q u a t i o n t h er e a s o ns e e m st h a tt h e r ea r es on l a n yc o m p u t a t i o n a lb o t t l e n e c k s i ns o l v i n ga no p t i n m lc o n t r o lp r o b l e mn u m e r i c m l y ，a n df u r t h e r m o r et h e ya r ea l lc l o s e l y r e l a t e d t h e r ea r ea tl e a s et w ok e yp r o c e d u r e si ns o l v i n ga no p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m ： t h eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e mh a st ob ef i r s td i s c r e t i s e d ；t h e nt h ed i s c r e t i s e do p t i m i z a - t i o np r o b l e m ( s o m e t i m e st h ek k ts y s t e m ) h a st ob es o l v e d ，w h e r ei ti sn o r m a l l y n e e d e dt os o l v et h es t a t ea n dc o - s t a t ee q u a t i o n sr e p e a t e d l y a m o n gm a n yk i n d so ff i n i t ee l e m e n tm e t h o d s ，a d a p t i v ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d s b a s e do nap o s t e r i o r ie r r o re s t i m a t e sh a v eb e c o m eac e n t r a lt h e m ei ns c i e n t i f i ca n d e n g i n e e rc o m p u t a t i o n sf o rt h e i rh i g he f f i c i e n c y i no r d e rt oo b t a i na n u m e r i c a ls o l u t i o no fa c c e p t a b l ea c c u r a c yt h ea d a p t i v ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d sa r ee s s e n t i a li nu s i n g ap o s t e r i o r ie r r o ri n d i c a t o rt og u i d et h em e s hr e f i n e m e n tp r o c e d u r e o n l yt h ea r e a w h e r et h ee r r o ri n d i c a t o ri sl a r g e rw i l lb er e f i n e ds ot h a tah i g h e rd e n s i t yo fn o d e si s d i s t r i b u t e do v e rt h ea r e aw h e r et h es o l u t i o ni sd i f f i c u l tt oa p p r o x i m a t e i nt h i ss e n s e e f f i c i e n c ya n dr e l ia b i l i t yo fa d a p t i v ef i n i t ee l e m e n ta p p r o x i m a t i o nr e l yv e r ym u c h o nt h e e r r o ri n d i c a t o ru s e d t h e r ee x i s ts e v e r a lc o n c e p t si n c l u d i n gr e s i d u a la n dh i e r a r c h i c a l t y p ee s t i m a t o r s ，e r r o re s t i m a t o r st h a ta r eb a s e do nl o c a la v e r a g i n g ，t h es o - c a l l e dg o a l o r i e n t e dd u a lw e i g h t e da p p r o a c h ，a n df u n c t i o n a lt y p ee r r o rm a j o r a n t s ( c f 【3 ，8 ，9 】) t h e t h e o r ya n da p p l i c a t i o no fa d a p t i v ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d sf o rt h ee f f i c i e n tn u m e r i c a l s o l u t i o no fb o u n d a r ya n di n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a - t i o n sh a v er e a c h e ds o n a es t a t eo fm a t u r i t ya 8d o c u m e n t e db yas e r i e so fm o n o g r a p h s o nt h eo t h e rh a n d ，a sf a ra st h ed e v e l o p m e n to fa d a p t i v ef i n i t ee l e m e n ts c h e m e sf o r o p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m sf o rp d e si sc o n c e r n e d ，m u c hl e s sw o r kh a sb e e nd o n e t h e g o a lo r i e n t e dd u a lw e i g h t e da p p r o a c hh a sb e e na p p l i e dt ou n c o n s t r a in e dp r o b l e m si n 【13 r e s i d u a l t 3 r p eap o s t e r i o r ie r r o re s t i m a t o r sf o rc o n t r o lc o n s t r a i n e dp r o b l e m sh a v e x 山东大学博士学位论文 b e e nd e r i v e da n da n a l y z e di n 【3 1 ，4 1 ，4 4 ，6 1 ，6 2 a l s os u i t a b l ea d a p t i v em e s h e sc a nq u i t ee f f i c i e n t l yr e d u c et h ec o n t r o la p p r o x i m a - t i o ne r r o r i th a sb e e nr e c e n t l yf o u n dt h a ts u i t a b l ea d a p t i v em e s h e sc a l lg r e a t l yr e d u c e d i s c r e t i s a t i o ne r r o r s ，s e e 1 3 ，1 4 ，5 3 ，6 2 i ft h ec o m p u t a t i o n a lm e s h e sa r en o tp r o p e r l y g e n e r a t e d ，t h e nt h e r em a yb el a r g ee r r o ra r o u n dt h es i n g u l a r i t i e so ft h ec o n t r o l ，w h i c h c a n n o tb er e m o v e dl a t e ro n i ti sp o i n t e do u to n l yr e c e n t l yt h a tt h ee r r o ri n d i c a t o r s d e r i v e df o rt h ea p p r o x i m a t i o no ft h es t a t ee q u a t i o n ，w h i c hh a v eb e e nw i d e l yu s e di n a d a p t i v ef i n i t ee l e m e n ts c h e m e sf o ro p t i m a lc o n t r o l ，a r en o tn e c e s s a r i l ye f f i c i e n tf o r c o m p u t i n gt h eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m s ，a n dp u r p o s e db u i l te r r o re s t i m a t o r sf o rt h e c o n t r o lp r o b l e ma r ee s s e n t i a li ns u c hs c h e m e s ，s e e 【1 3 】a n d 【5 3 】f o re x a m p l e f u r t h e r - m o r ei nac o n s t r a i n e dc o n t r o lp r o b l e m ，t h eo p t i m a lc o n t r o la n dt h es t a t eu s u a l l yh a v e d i f f e r e n tr e g u l a r i t y , a n dw h a ti sm o r e ，t h el o c a t i o n so ft h es i n g u l a r i t i e sa r ev e r yd i f - f e r e n t u s u a l l yt h eo p t i m a lc o n t r o lh a so n l yl i m i t e dr e g u l a r i t y t h i si n d i c a t e st h a t t h ec u r r e n ta l l i n o n em e s hs t r a t e g ym a yb ei n e f f i c i e n t a d a p t i v em u l t i m e s h ；t h a ti s ， s e p a r a t ea d a p t i v em e s h e sw h i c ha g ea a j u s t e da c c o r d i n gt od i f f e r e n te r r o ri n d i c a t o r s ， a r eo f t e nn e c e s s a r y p a r t i c u l a r l yi ts e e m st ob ei m p o r t a n tt ou s em u l t i s e ta d a p t i v e m e s h e si na p p l y i n ga d a p t i v ef i n i t ee l e m e n tm e t h o dt oc o m p u t i n go p t i m a lc o n t r o l ，s e e 【4 6 ，5 2 h o w e v e ri t i sm u c hm o r ec o m p l i c a t e dt oi m p l e m e n ta d a p t i v ec o m p u t a t i o n a l s c h e m e sf o re v o l u t i o n a lc o n t r o lp r o b l e m s ，s e e 【4 7 ，5 4 t h i sd i s s e r t a t i o ni ss o m er e s e a r c hw o r ko nt h er e s i d u a lt y p eap o s t e r i o r ie r r o r e s t i m a t ef o ra d a p t i v ef i n i t ee l e m e n tm e t h o df o rt h ec o n s t r a i n to p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m t h ed i s s e r t a t i o ni sd i v i d e di n t os i xc h a p t e r s f i r s t l y ，w eu s et h ep i e c e w i s ec o n s t a n ta n d p i e c e w i s el i n e a rd i s c o n t i n u o u sf i n i t ee l e m e n tt oa p p r o x i m a t et h ec o n t r o la n dg i v es h a r p a p o s t e r i o r ie r r o re s t i m a t ef o rt h eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e mw h i c hi so n l ys u i t a b l ef o r t h es a m em e s h f o rt h i sp r o b l e m ，t h e r eh a sb e e nn oo t h e rp a p e r sw h i c hh a v eu s e dt h e a d a p t i v ef i n i t ee l e m e n tt oc o n s t r u c tw i t hi t s e c o n d l y ，w eg i v es h a r pah 1p o s t e r i o r i e r r o re s t i m a t i o nf o rt h ea b o v eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e mw h i c hi ss u i t a b l ef o rt h em u l t i m e s h e s a l t h o u g h 【4 6 】h a sg i v e nap o s t e r i o r ie r r o rf o rt h eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m w i t ho b s t a c l ec o n s t r a i n tf o rc o n t r o lw h i c hi ss u i t a b l ef o rt h em u l t i - m e s h e s ，s i n c et h e r e s t r i c t i o n so ft h em e t h o da n dt h ed i f f i c u l t yo ft h ep r o b l e m ，i t sap o s t e r i o re r r o rn o r m n e e d so n et e r mew h i c hh a sb e e nu s e dt oc o n f o r mt h ee q u i v a l e n c eo ft h ee s t i m a t i o n t h e i n n o v a t i o no ft h i sc h a p t e ri st h a tah 1n o r mp o s t e r i o r ie r r o ri se q u i v a l e n t ，a n dw ed o n t u s eo t h e rt e r m s t h i r d l y ，w eg i v es h a r pal 2p o s t e r i o r ie r r o re s t i m a t i o nf o rt h ea b o v e p r o b l e mw h i c hj sa l s os u it a b l ef o rt h em u l t i m e s h e s t h ei n n o v a t i o no ft h i sc h a p t e r x l 山东大学博士学位论文 i st h a tt h i si st h es h a r pl 2n o r map o s t e r i o r ie r r o re s t i m a t o rf o rt h eo p t i m a lc o n t r o l p r o b l e m a l t h o u g hw eo n l yu s et h em e t h o dt oc o n s t r u c tw i t ht h ei n t e g r a lc o n s t r a i n t o p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m ，t h em e t h o dc a na l s ob eu s e dt oc o n s t r u c tt h ep o i n t w i s e p r o b l e m ，a n do t h e ro p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m s f o u r t h l y ，w eu s e dn o n c o n f o r m i n gf i n i t e e l e m e n tt oc o n s t r u c tt h ei n t e g r a ls t a t ec o n s t r a i n to p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m ，a n dd e r i v e ap r i o r ie r r o ra n da p o s t e r i o r ie r r o re s t i m a t i o nf o rt h ei n t e g r a ls t a t ec o n s