谈一类重要的数学方法—分类讨论法-安康学院毕业论文

本科生毕业论文（设计）本科生毕业论文（设计） 题目： 谈一类重要的数学方法谈一类重要的数学方法分类讨论法分类讨论法 院（系）安康学院数学系安康学院数学系 专业班级1010 级数应专升本级数应专升本 学生姓名程程猛猛 指导教师（职称）孙珍（讲师）孙珍（讲师） 提交时间二一二年五月二一二年五月 学号2010211115 分类号G633.6 安康学院学位论文独创性声明安康学院学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的 研究成果.尽我所知,除文中已经注明引用的内容外,论文中不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果,也不包含为获得安康学院或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料.对本文的研究做出重要贡献的个人和集体,均已在文中作了 明确说明并表示谢意. 作者签名:日期: 安康学院学位论文使用授权声明安康学院学位论文使用授权声明 本人同意在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属安康学院.本人保证 毕业离校后,发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为安康学院.学校有权 保留学位论文并向国家主管部门或其他指定机构送交论文的电子版和纸质版； 有 权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆、 院系资料 室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位论文的 标题和摘要汇编出版. 作者签名:日期: 谈一类重要的数学方法谈一类重要的数学方法分类讨论法分类讨论法 程猛 （安康学院，陕西安康，725000） 摘 要：当我们所研究的各种对象之间过于复杂或涉及范围比较广泛时， 我们大多采取分类讨论法的方法进行解决，即对问题中的各种情况进行分类，或 对设计的问题进行分割，然后分别进行研究讨论，伴随着素质教育的推进，数学 教学大纲和教材的整改。数学教学进一步以构建科学合理的教学思维体系；强化 培养学生规范、合理、严谨的学习品质为目的改进，在考察学生对分类讨论思想 方法的理解和能力提高方面要求有了明显的提高， 本文主要阐释了数学中应用分 类讨论法解题的策略，我们所列举了分类讨论法在中学数学中的应用，并列举了 集中利用分类讨论法解题的方法,而解分类讨论题的关键是正确确定分类标准, 然后进行条理清楚、层次分明的讨论，最终使学生能够灵活的运用分类讨论法来 解题，为学生在以后的解题中提供一种有效的方法。 关键词：分类讨论法 不等式 函数 类型 应用 Talk about a kind of important mathematical method - the discussion of classification. Cheng Meng (ShaanxiAnkang ,Ankang University 725000) Abstract：When we study between various objects are too complex or involve range widely, most of us take the discussion of classification method to solve problem, namely to various situations in the classification, or to design to the problem of segmentation, and then the research is discussed, along with the promotion of quality education,mathematicsteachingoutlineandteachingmaterialrectification. Mathematics teaching further in order to construct the scientific and reasonable teaching thinking system; strengthen cultivating students standard, reasonable, precise learning quality for the purpose of improvement, in inspects the student to discuss ideas for understanding and ability requirements have been significantly improved, the paper mainly explains the mathematical application problem solving strategydiscussionof classification,we haveenumeratesthe discussion of classification in the middle school mathematics application, and lists the centralized utilizationclassificationdiscussionofsolvingmethod,andthesolutionof classification discussion questions is the key to correctly determine the classification criteria, then a clear, structured discussion, so that they can use flexible classification discussion method to solve a problem, for students in the after solving problems in providing an effective method. KeyKey wordswords：The discussion of classificationinequalitiesfunctionstypes application 目录 目录 前 言 .1 1.分类讨论法的概述.2 1.1 分类讨论法的步骤.2 1.2 分类讨论法的原则.4 2分类讨论法在中学数学中的渗透以及在解题中的应用.5 2.1 分类讨论法在绝对值方面的应用.5 2.2 分类讨论法在含参数的不等式与方程中的应用.7 2.3 分类讨论法在函数方面的应用.10 2.4 分类讨论在等比数列中的应用.14 2.5 分类讨论法在平面几何三角形中的应用.16 结 论 .18 参考文献：.19 致 谢 .20 前言 1 前前言言 分类讨论法是中学数学中的重要思想方法之一， 分类讨论法在解答某些数学 问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综 合得解， 这就是分类讨论法。 分类讨论是一种逻辑方法， 是一种重要的数学思想， 同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理 的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能 训练人的思维条理性和概括性。 引起分类讨论的原因主要是以下几个方面： 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。 如|a|的定义分 a0、 a0、 a2 时分 a0、a0 和 a6. 分析： 根据绝对值的定义, 在去绝对值符号时共有三种情况, 分三个区间进行讨 论. 解: 令01x,得1x,令03 x得3x,则 1、当1x时，原式化为631xx,得2x, 2、31x时，原式化为631xx，得x是空集. 3、当3x时，原式化为631xx,得x4. 综上所得，, 42,x. 注：分析此题的分类标准，是根据绝对值得定义来分类。 根据数学中公式，定理，性质确定分类标准 数学中的某些公式, 定理, 性质在不同条件下有不同的结论, 在运用它们时, 就要依据不同条件分类讨论。 例如等比数列，解决这类问题时，如果 q 是可以变化的量，就要以 q 为标准 安康学院毕业论文 3 进行讨论。 例 2. 设 首 项 为 1 ， 公 比 为0q q 的 等 比 数 列 前 n 项 和 n s， 又 设 1 ,1,2 n n n s Tn s ，求lim n n T . 解：当1q 时， n sn， 1 n n T n ，所以lim n n T 1， 当1q 时， n s 1 1 1 111 , 111 nnn nn n qqq sT qqq ， 于是当01q时，lim0,lim1 n n nn qT 所以， 当1q 时， 11 lim0,lim n n nn T qq 所以. 综上所述， lim n n T 1 01 1 1 q q q . 根据运算的需要分类标准确定 例 3.解关于x的不等式组 . 1, 0 . 11 log2log 22 , 2 aa axa x a x a 且其中 解：由于不等式中均含有参数a，其解的状况均取决于11aa还是，应以 1 为标准进行分情况讨论； （1），当10 a时，可求得解为 ; 21xa （2），当1a时，可求得 . 10 , 2 ax x 此时不等式组是否有解，关键取 决于的大小关系，与21a所以以21a即为标准进行第二次分类3a. 1当31 a时解为空集. 2当3a时解集为.1, 2a 综上， 当10 a时原不等式的解集为;2 , 1a 当31 a时，解集为空集. 当3a时，解集为1, 2a. 安康学院毕业论文 4 1.1.3 逐类逐段分类讨论，归纳总结. 1.21.2 分类讨论法的原则分类讨论法的原则 在分类讨论法的使用中常常存在这样那样的问题，其一在分析问题时分类讨 论的意识不强，如在解不等式时，忘记讨论分母的正负，而给不等式两边同时乘 以分母，又例如分界点的确定，学生往往不能准确的确立分界点，而导致盲目的 使用分类讨论法，以至于出现求解的失误，分类讨论时应遵循的原则是分类的对 象应该是确定的，标准是统一的，要做到不遗漏，不重复，科学的划分，其中最 重要的一条是不漏不重。 例4.若函数 cossinf xabxcx的图像经过0,1,1 2 和两点，且 0, 2 x 时， 2f x 恒成立，求a的取值范围. 解：由 0f1,1,1 2 abfacbca 求得， 1sincos 2 1sin. 4 f xaaxx aax 因为 3 444 x ，所以 2 sin1 24 x . 1 112 1af xaa时，因为 2f x ，所以只要 2 1aa2，解得2,21aa 所以. 2.当 12 11aaaf x时，所以只要2 12aa ，解得 43 2a ，所以143 2a. 综合1与2知实数a的取值范围为2,43 2 . 总结：此题是以参数a为对象进行分类讨论，由1bca 得，我们需要对参数a与 1的各种情况进行分析讨论，做到不重复，不遗漏，得到全面的解题答案。 例 5.解关于x的不等式，.0 2 Ra ax ax 分析：本题主要考查分式不等式的解法, 着重考察化归思想及分类讨论思想. 因为00 2 2 ax ax axax，所以不等式原式可转化为一元二次不等式 安康学院毕业论文 5 0 2 axax.因为 2 aa与的大小不能确定.故需分类讨论. 解：.0 2 Ra ax ax 等价于0 2 axax （1） 若a, 00 2 aa则不等式变为, 0 2 x无解. （2） 若1, 1 2 aaa则，不等式变为01 2 x，无解. （3） 若10 a则axaaa 22 ，所以. （4） 若.,1, 0 22 axaaaaa所以则或者 综上所述，当时或者10aa，原不等式的解集为空集. 当时10 a，原不等式的解集为; 2 axax 当或者0a时1a，原不等式的解集为. 2 axax 点评：此题是含参型不等式题，通过正确的分类, 可以使复杂的问 题得到清晰、完整、严密的解答应注意最后要将结果归纳总结. 2分类讨论法在中学数学中的渗透以及在解题中的应用分类讨论法在中学数学中的渗透以及在解题中的应用 数学思想方法的渗透性与实践性决定了分类讨论在数学中并不明显指出，只 能通过在学习中仔细积累，积极主动的参与到数学方法的发生发展中，通过主动 的学习与研究，来归纳应用。 在分类讨论数学思想方法的学习中，常常存在这样那样的问题，在分析问题 时分类意识不强，如在解分式不等式时往往不注意分母的正负，而给分式两边同 时乘以分母，在数学问题的解题中，遇到数量的大小或者符号不确定，图形的位 置形状不确定，都使用分类讨论法，这样有很大的盲目性，有时候反而会是整个 问题复杂化等等。 2.12.1 分类讨论法在绝对值方面的应用分类讨论法在绝对值方面的应用 代数中实数a可以是正数，负数，0，对于每一种情况要分类讨论。正数的绝对 值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值仍然是 0.即 0 0 aa aa a 例 6.已知cba .是实数，且0abc那么求 a a + b b + c c 的值。 安康学院毕业论文 6 解：根据绝对值的定义可知：当0a时， a a =1，当0a时， a a =-1， b b 与 c c 亦同，根据有理数的乘法法则，实数cba .当0abc时有两种情况并且导致代 数式的值有两种结果：cba .中一负两正，则此时的代数式的值是 1， cba .全负，此时代数式的值是-3，所以 a a + b b + c c 的值为 1 或-3. 例 7.设a为实数，函数 , 1 2 Rxaxxxf求 xf的最小值. 分析：首先，此题有绝对值符号，我们要去掉绝对值符号，那么我们就需要讨论 x与a的大小关系，以此为突破口来进行解题。 解：（1）当ax 时，函数 . 4 3 2 1 1 2 2 axaxxxf 若 2 1 a,则函数 上是单调递减，在axf,f(x)在a,上是单调递减，从而 函 数 xf在a,上 的 最 小 值 为 1 2 aaf. 若 2 1 a, 则 函 数 afaxf 4 3 2 1 ,上的最小值为在f(x) 在a,且 . 2 1 aff (2) . 4 3 2 1 1 2 2 axaxxxfax时，函数当 若 上单调递增，在则函数, 2 1 axfa从而函数 , axf在上的最小值 为 1 2 aaf. 若 2 1 a时，函数 xf的最小值是a 4 3 ；且 aff 2 1 . 综上所述，当 2 1 a时，函数 xf的最小值是a 4 3 ； 当 2 1 2 1 a时，函数 xf的最小值为1 2 a； 当 2 1 a时，函数 xf的最小值是a 4 3 . 2.22.2 分类讨论法在含参数的不等式与方程中的应用分类讨论法在含参数的不等式与方程中的应用 2.2.1 分类讨论法在含参数的不等式的应用 有的数学问题中含有字母参数, 由于参数的取值同,会得到不同的解答: 有 安康学院毕业论文 7 的数学问题由于题设条件具有多种可能的情形, 导结论的不确定: 有的数学问 题结论尽管一致, 但导致这一结论的前提却不尽相同等等， 对这些数学问题的求 解, 必须对参数的不同取值或题设的各种不同情形一一列举, 进行分类讨论, 分别得出相应的结论。 例 8.解不等式 0 12 64 a axax ， 2 1 aa为常数，. 分析：对于含参数的不等式，参数a决定了12 a的符号和两根，aa64 和的大 小，故对参数a分四种情况进行讨论，即 2 1 , 0 2 1 , 0, 0aaaa. 解：由, 012a得 2 1 a；由064aaa得. 当0a时，原不等式等价于064axax,解得axax64或者. 当0a时，原不等式等价于0 2 x，解得0x. 当0 2 1 a时，原不等式等价于064axax，解得axax46或者. 当 2 1 a时，原不等式等价于064axax，解得axa46. 综上所述，当;6,40axaxa或者时，当; 00xa时，当 ;4,60 2 1 axaxa或者时，当 2 1 a时，axa46. 例9.解关于x的不等式， .11 2 1 a x xa 解析：原不等式等价于 0 2 21 x axa 02.2.1xaxa 02. 1 2 .1 x a a xa 二次项系数1a含有参数且2 1 2 与 a a 的大小不确定，所以可以按 01, 01aa进行第一次分类，再按2 1 2 与 a a 的大小进行第二次分类. （1） 当01a，即1a时，原式02. 1 2 x a a x，因为 .10 1 2 1 2 a a a a a 因为所以2 1 2 a a ，所以x 1 2 a a 或2x. （2） 当01a时，原不等式.02. 1 2 x a a x因为 a a a a 1 2 1 2 ， 安康学院毕业论文 8 1、当10 a时， 1 2 a a 2所以 x2 1 2 a a . 2、当0a时， 1 2 a a 2，所以x为空集. 3、当0a时， 1 2 a a 2，所以 1 2 a a 2 x. 综上可得：当0a时，原不等式的解集为;2 1 2 x a a x 当0a时，原不等式为解集空集. 当10 a时，原不等式的解集为; 1 2 2 a a xx 当1a时，原不等式的解集为.2 1 2 x a a xx或 2.2.2 分类讨论法在中学数学参数方程中的应用 在参数方程中常常要根据系数的参数, 分别对各种不同的情况予以分析，下 来主要以一元二次方程为例, 谈谈分类讨论思想在解题中的运用， 主要在于一元 二次方程根的关系以及求解. 例10.设02, 2 axxRa为方程的两个根，求的值. 分析： 可求出根代入计算，但根的虚实情况不能确定，故要分类讨论. 解 ：方程02 2 axx的判别式.14a （1）当根，为原方程的一对共轭虚，时，即10a 所以,，所以22a22 (2)当10a即时，,为实数根，且a, 2, 2 2 22 2 2 .24aa 1、当2410时，a 2、当.12440aaa时， 安康学院毕业论文 9 综上所述， 012 10, 2 1,2 aa a aa 说明， 本题欲求， 必须区别的是实数的绝对值还是复数模， 在复数中， ，或未必相等，原因在于与002 22 2 从而引发讨论. 例11.已知方程 22 2110m xmx 有实数根，求m的取值范围. 分析分析： 字母系数的取值范围问题，首先引起警觉, 想到分类讨论. 因为这里并没 有指明是二次方程, 故要考虑是一次方程的可能. 解： （1） 当,0 2 omm 即方程为一元一次方程，01x， 有实数根1x； （2）当,0 2 omm 即方程为二次方程，由有实数根的条件得： 0 4 1 0412 2 2 mm mm 且 综上（1），（2）得m 4 1 . 评注：字母系数的取值范围问题是否要讨论，要看清题目的条件，一般设问方式 有两种，（1）前置式，即二次方程，（2）后置式，即两实数根，这都表明是二 次方程，不需讨论，但切不可忽视二次系数不为零的要求，本例题就是围绕二次 系数是否为零进行讨论. 例12.当m是什么整数的时候，关于x的一元二次方程 05444044 222 mmmxxxmx与的根都是整数. 解析：由于给出的关于x的方程是一元二次方程，所以二次项系数不为零， 即0m，又由于方程均有实根，所以0444 2 1 m解得1m； 又 4 5 0544144 2 2 2 mmmm解得；所以1 4 5 m， 又因为m是整数，且om ，所以11mm或 当1m时，方程044 2 xmx为044 2 xx，解得方程的根为 222x，它的根不是整数，故舍去. 当1m时，方程044 2 xmx的根为2 21 xx， 方程05444 22 mmmxx的根为. 1, 1, 5 21 mxx均为整数，所以 评注：本题是根据方程的根是否为整数进行分类讨论. 安康学院毕业论文 10 例13.已知关于x的方程0 4 2 2 2 m xmx， （1） 求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异的实根. （2） 若这个方程两个实数根，, 2, 1221 xxxx满足求m的值以及相应的 . 21 的值和xx 解： （1）212 4 42 2 2 2 m m m，所以无论m取任何值， 总有212m0，所以212 2 m0， 即, 0所以方程有两个相异的实根. （2）因为0 4 . 2 21 m xx，所以0, 0 21 xx，或0, 0 21 xx. 1、若0, 0 21 xx，则2 12 xx, 所以，, 2 21 xx所以4m，此时042 2 xx 所以51,51 21 xx. 2、若0, 0 21 xx，则, 2 12 xx 所以, 2 21 xx 所以0m，此时, 02 2 xx 所以2, 0 21 xx. 评注：本题是根据方程的正负进行分类讨论，意在去掉绝对值符号. 2.32.3 分类讨论法在函数方面的应用分类讨论法在函数方面的应用 主要用于函数的单调性，解析式的求解，最值，函数中参数的取值范围等等。 2.3.1 函数的单调性 复合函数的单调性问题是学习的难点, 是大多数学生难于着手和容易出错 的， 下面谈谈如何讨论复合函数单调性问题求复合函数的单调区间首先解决函数 的定义域及内函数在定义域上的单调性, 然后, 弄清外函数在内函数的值域上 的单调性。 例14.已知函数 eaexxf ax , 0, 2 其中为自然对数的底数, (1) 求函数 xf的单调性. 安康学院毕业论文 11 (2) 求 .1 , 0 的最大值在区间xf 解：（1） .22 2axax eaxxxexf 1、当 , 0, 00xfxa则时，若若 0, 0xfx则，所以当0a 时，函数 xf在区间内为减函数0 ,，在区间，0内为增函数. 2、当, 2 , 020 2 a xoaxxa解得，时，由由02 2 axx解得， ; 2 0 a xx 或所以当0a时，函数 xf在区间内为减函数0 ,，在区间 a 2 -0，内为增函数，在区间., 2 内为减函数 a （2）1、当时0a，函数 xf在区间1 , 0上的最大值是 11 f； 2、当oa 2时，函数 xf在区间1 , 0上的最大值是 a ef1； 3、 当2a时， 函数 xf在区间1 , 0上的最大值是 22 42 eaa f . 本题考察了导数在求函数单调性及最值中应用的同时也考察了分类讨论 法在解题中的运用。 2.3.2 利用分类讨论法求函数解析式 求解函数解析式是高考重点考查内容之一, 同时也是研究函数性质的前提 和出发点，分类讨论法常用于分段函数的解析式，求解关键是依据函数性质，确 定分类的标准。 例15. 在xoy平面上，给定曲线xy2 2 ，设点A,0 ,Raa曲线上的点到点 A的距离最小值为 af，求 af的函数表达式. 分析：求两点间距离的最小值问题，先用公式建立目标函数，转化为二次函数在 约束条件0 x 下的最小值问题，从而引起对参数a的讨论. 解：设Mxyyx2, 2 为曲线上任意一点，则 0 2 2xy x y 安康学院毕业论文 12 . 121122 2 22 2 2 2 2 aaxaxaxxaxyaxMA由 xy2 2 得，0x， 若01a，当1 ax时， 2 MA取得最小值12 a； 若01a，当0x时， 2 MA取得最小值 2 a. 综上所述， . 1 112 aa aa af 解决本题的基本思路是建立目标函数，本题含参数a，还有隐含条件0x的限 制，所以要从中找出正确的分类标准，从而得到 af的函数表达式. 例16.已知一次函数4231,yxbkxy时，当， 求一次函数的解析 式. 分析： 已知条件中出现了自变量的取值范围及相应的值域，而一次函数的增减性 质与k的符号有关，所以本题应分为okok 或两种情况来进行讨论. 解： （1）当ok 时，增大而增大随xy，因此 2 1 y x 4 3 y x 将其带入解析 得， 43 2 bk bk 解得 2 5 2 1 b k 所以解析式为 2 5 2 1 xy. (2)当ok 时的增大而减小随xy，因此把 2 7 2 1 2b3k 4bk- 2 3 4 1 b k y x y x 解得带入解析式得 所以函数解析式为 2 7 2 1 xy. 2.3.3 求函数的最值问题 主要是利用函数单调性来求函数的最值，而求函数的单调性，就主要要看系 数的参数，对系数的参数进行标准科学的分类，从而来求出函数的最值。 例17.设a为实数，函数 2 1,f xxxaxR，求 f x的最小值。 解：(1)当 xax 时，函数f 2 2 13 1 24 xxaxa ， 安康学院毕业论文 13 1 ,- 2 af xa若则函数在，单调递减， 2 ,1.f xaf aa从而函数在上的最小值 若 1 2 a ,则函数 f x在,a上的最小值为 13 24 fa ，且 1 2 ff a . (2)当xa时，函数 2 2 13 1. 24 f xxxaxa 若 1 2 a ，则函数 ,f xa 在上单调递增，从而函数 2 ,1.f xaaa在上的最小值为f 若 1 2 a ，则函数 f x在 13 , 24 afa 上的最小值为，且 1 2 ff a . 综上所述，当 3 4 a 1 2 a 时，函数 f x的最小值是 3 4 a，当 11 22 a时，函 数 f x的最小值是 2 1a ，当 1 2 a 时，函数 f x的最小值是 3 4 a. 此不等式中既含有绝对值又含有参数a，故分两级讨论，先利用绝对值的性质去 掉绝对值，再讨论每种情况下二次函数的最小值，最后归纳总结 2.3.4 对函数中参数的取值范围的求解 恒成立问题数学中常见的问题， 也是历年高考的的热点， 对于二次函数而言， 含参数的一元二次方程在有界区间上的最大值， 最小值等问题须先对开口方向讨 论，再对抛物线对称轴的位置与讨论区间的关系进行讨论，最后归纳总结，得出 结论. 例18.设 2 22f xaxx，若对任意 1,4 ,0 xf x都有，求参数a的 取值范围. 解：当 2 11 02 2 af xa x a 时，,则 安康学院毕业论文 14 1 14,1 1, 11 122020 a a faf aa 或或 1 4, 1 2 416820, aa fa 解得 当0a 时，由题意得， 1220 416820 fa fa ，本方程组的解集是 3 , 8 ，与 前提0a 矛盾，故不满足题意. 当0a 时， 22,10,46f xxff ，不符合题意， 综上所述，参数a的取值范围是 1 , 2 . 本题分两次讨论， 先分0,0,0aaa三种情况， 结合二次函数图像， 在0a 时 再将对称轴与讨论区间的关系分三种， 及对称轴在讨论区间的左边， 右边， 中间. 2.42.4 分类讨论在等比数列中的应用分类讨论在等比数列中的应用 在解决等比数列问题时，我们会常常忽略了隐含的条件而犯错，这就需要我 们在解题中注意分类讨论的运用，一般情况下，注意求和公式中对 q=1 的讨论。 例 19.设 n a是由正数组成的等比数列， n s是其前 n 项和， （1）证明： 2 1 lglg lg 2 nn n ss s . （2）是否存在常数0c ，使得 2 1 lglg lg 2 nn n scsc sc 成立？并证明 结论. 分析：要证的不等式和讨论的等式都可以进行等价变形，再应用比较法求解，其 中在应用等比数列前 n 项和的公式时，由于公式的要求，应分为11qq和两种 情况. 解：设 n a的公比为q，则 1 0,0aq， （1）当1q 时， 1n sna，则 2 222 211111 210 nnn s ssna nanaa ， 当1q 时， 1 1 1 n n aq s q ， 则 2 2221 11 22 21122 111 0 11 nnn n nnn aqqaq s ssa q qq 安康学院毕业论文 15 综上所述， 2 21nnn s ss 即 2 2 211 lglg lglglg 2 nn nnnn ss s sss . 2要 使 2 1 lglg lg 2 nn n scsc sc 成 立 ， 则 必 有 ， 2 21 . nnn scscsc . 当1q 时， n s 1 na，则 2 2 2 211111 210 nnn scscscnacnacnaca 当1q 时， 1 1 1 n n aq s q ， 2 11 2111 21 111 111 nnn nnn aqaqaq scscscccc qqq 11 1 n a qacq . 由 1 0 n a q 得 1 10acq ， 即 1 0 1 a c q ， 而 11 0, 11 n nn aa q scs qq 则对数式lg n sc无意义.故不存在常数0c 使得 2 1 lglg lg 2 nn n scsc sc 成立. 本题是根据所用公式的使用范围而展开讨论的. 例 20. 已知定 义在 R 上的 函 数， xf和数列 n a满足下 列条件， .4 . 3 . 21, 1 nafaaa nn ， .4 . 3 . 2, 1112 naakafafaa nnnn ，其中a为常数，k为非0常数， （1） 令, ! Nnaab nnn 证明数列 n b是等比数列. （2） 求数列 n a的通项公式. （1） 证明： n b是以0 121 aab为首项，k为公比的等比数列，证 明过程略. （2） 解：由（1）知， 1211 1 aakbkb n n n Nn 安康学院毕业论文 16 当1k时，2 1 1 . 1 12121 n k k aabbb n n 当1k时， 121 . n bbb= 12 1aan2n 而2n时， 121 . n bbb= . 112312 aaaaaaaa nnn 所以当1k时， 1 aan2 1 1 1 12 n k k aa n ，上式对1n也成立，所以，数 列 n a的通项公式为 k k aafaa n n 1 1 1 Nn. 当1k时， 1 aan= 12 1aan2n，上式对1n也成立，所以数列 n a的 通项公式为 aafnaan1 Nn. 当等比数列中，公比是字母给出时，一般要分类讨论. 2.52.5 分类讨论法在平面几何三角形中的应用分类讨论法在平面几何三角形中的应用 例如求三角形个数，对于三角形的形状不确定须进行分类，对于内角的是锐 角还是钝角不确定进行分类等等。 例 21.若三角形周长为 17 , 且三边长都是正整数, 那么满足条件的三角形 有多少个？ 分析：由于三角形的形状不确定，所以必须分类讨论，可以分等腰三角形和不等 边三角形两种情况来分析. 解：当三角形为等腰三角形时，有5 . 5 . 76 . 6 . 57 . 7 . 38 . 8 . 1， 当三角形为不等边三角形时，有8 . 5 . 47 . 6 . 48 . 6 . 38 . 7 . 2 综上共有 8 个三角形. 例 22.ABC中，已知CBAcos, 13 5 cos, 2 1 sin求. 分析：因cBA180,所以BABABACsinsincoscoscoscos， 因此只要根据已知条件求出Acos，Bsin的值，即可得到Ccos的值。但是由 Asin求Acos时，是一解还是两解？这一点需要讨论了之后才能确定，故解本题 须要分类讨论，对于角 A 进行分类. 解：因为 2 2 13 5 cos0B，且 B 为ABC的一个内角，所以9045B， 且 13 12 sinB 安康学院毕业论文 17 若 A 为锐角，由 2 1 sinA得，A=30，此时 2 3 cosA， 若 A 为钝角，由 2 1 sinA得，A=150,此时180BA, 这与三角形内角和矛盾，所以150A， 所以BACcoscosBABAsinsincoscos 安康学院毕业论文 18 结结论论 分类讨论法是一种重要的数学思想方法，在数学解题中