（应用数学专业论文）障碍期权定价问题的若干研究.pdf

摘 要 期权是风险管理的核心工具，1 9 7 3 年，b l a c k 和s c h o l e s 建立了 著名的期权 定价模型一b l a c k - s c h o l e s 模型， 此后， 期权定价理论得到迅猛发展。 近年来， 国际金融衍生市场除了 人们熟知的欧式期权和美式期权之外， 还涌现出了大量 由标准期权变化、组合、派生出的新品种。障碍期权便是新型期权的一种，障 碍期权要比普通欧式期权价格便宜， 因 此受到市场的青睐， 被广泛的用来进行 风险管理。本文着重研究障碍期权的定价问题，共分为五章: 第一章，主要介绍了期权定价理论的产生和发展、障碍期权的发展历史以 及本文的主要内容。 第二章，首先介绍了 标准的欧式期权和修正的欧式期权的定价问题。接着 着重研究了 在波动率。 ， 红利率9 和无风险利率: 均为时间亡 的已 知函数和有 交易成本的假设下的欧式期权的定价问题， 给出了有交易成本的欧式期权的定 价公式及看涨 一 看跌平价公式。 第 三章，第一节主要研究了 八种欧式障碍期权的定价问 题，分别给出了 它 们的定价公式及看涨 一 看跌平价公式，并分析了看涨障碍期权与看改障碍期 权的对称关系.第二节根据初始股票价格 s o 的位置将双障碍期权划分为两大 类， 研究了 双障碍期权的定价问题， 发现双障碍期权或由一份单障碍期权和一 份双边敲出期权组合而成或由两份单障碍期权组合而成， 从而将双障碍期权的 定价问题转化为单障碍期权和双边敲出期权的定价问题。 第三节采用偏微分方 程的方法对彩红障碍期权的定价进行了 研究， 得到了 八种彩虹障碍期权的定价 公式及四个看涨 一看跌平价公式. 第 四 章 ， 分 别 利 用 消 除 奇 性 的 差 分 方 法 和 前 向 打 靶 格 方 法 计 算了 三 种 修 正 的障碍期权:阶梯期权、巴 拉期权和巴 黎期权的价格。 第五章，总结全文并提出展望。 关键词 : 期权定价，欧式期权，障碍期权，定价公式，平价公式. abs t r a c t o p t i o n s a r e t h e c o r e t o o l o f r i s k m a n a g e m e n t . e a r ly i n 1 9 7 3 , f i s c h e r b l a c k a n d m y r o n s c h o l e s p r o p o s e d a f a m o u s o p t i o n p r i c i n g m o d e l 一 b l a c k - s c h o l e s m o d e l . a f t e r w a r d s f o l - l o w i n g y e a r s ,o p t i o n p r i c i n g t h e o r y h a s d e v e l o p e d q u i c k l y . r e c e n t l y ,i n a d d i t i o n t o k n o w n e u r o p e a n o p t io n s a n d a m e r i c a n o p t i o n s , t h e r e a p p e a r m a n y n e w v a r i e t y w h i c h a r e c h a n g e d ,c o m p o s e d , d e r i v e d饰 v a n i l l a o p t i o n s i n i n t e r n a t i o n a l fi n a n c i a l m a r k e t .b a r r i e r o p - t i o n s a r e o n e o f t h e s e n e w o p t i o n s . b a r r i e r o p t i o n s a r e c h e a p e r t h a n s t a n d a r d e u r o p e a n o p t i o n s ,s o t h e y a r e w e l c o me t o ma r k e t .t h e y a r e w i d e l y a p p l i e d i n r i s k m a n a g e m e n t .t h i s t h e s i s f o c u s e s o n t h e s t u d y o f b a r r i e r o p t i o n s p r i c i n g . a n d t h i s t h e s i s i s c o m p o s e d o f t h e: f o l l o w i n g fi v e c h a p t e r s : i n c h a p t e r 1 , t h e e m e r g e n c e a n d d e v e l o p m e n t o f o p t i o n p r i c i n g t h e o r y， t h e h i s t o r y o f b a r r i e r o p t i o n s a n d t h e ma i n c o n t e n t s o f t h i s t h e s i s a r e i n t r o d u c e d . i n c h a p t e r 2 ,fi r s t l y , t h e p r i c i n g p r o b l e m s o f v a n i l l a e u r o p e a n o p t i o n s a n d m o d i fi e d e u r o p e a n o p t i o n s a r e i n t r o d u c e d . t h e n , o n t h e a s s u mp t i o n t h a t v o l a t i l i t y a , d i v i d e n d q a n d r i s k - f r e e r a t e r a r e t h e f u n c t i o n o f t i me t a n d t h e r e h a v e t r a n s a c t i o n c o s t s i n ma r - k e t , e u r o p e a n o p t i o n s p r e s e n t e d . a r e d i s c u s s e d .a n d t h e i r p r i c i n g f o r m u l a e a n d c a l l- p u t p a r i t y a r e i n c h a p t e r 3 ,t h e p r i c i n g p r o b l e m s o f e i g h t k i n d s o f e u r o p e a n b a r r i e r o p t i o n s a r e d i s c u s s e d , t h e i r p r i c i n g f o r m u l a e a n d c a l l - p u t p a r i t y a r e d e r i v e d a n d b a r r i e r o p t i o n s c a l l - p u t s y m m e t r y a r e a n a ly z e d i n s e c t io n o n e .i n s e c t i o n t w o , a c c o r d i n g t o t h e p o s i t i o n o f i n i t i a l s t o c k p r i c e s o ,d o u b l e b a r r i e r o p t i o n s a r e d i v i d e d i n t o t w o t y p e s . a n d t h e i r p r i c i n g p r o b l e m s a r e s t u d i e d .we fi n d d o u b l e b a r r i e r o p t i o n s a r e c o mp o s e d o f e i t h e r o n e s i n g l e b a r r i e r o p t i o n a n d o n e d o u b l e o u t o p t i o n o r t w o s i n g l e b a r r i e r o p t i o n s .t h u s t h e p r i c i n g p r o b l e m s o f d o u b l e b a r r i e r o p t i o n s a r e t r a n s f o r m e d t o t h e p r i c i n g p r o b l e m s o f s i n g l e b a r r i e r o p t i o n s a n d d o u b l e o u t o p t i o n s . i n s e c t i o n t h r e e ,t h e p r i c i n g p r o b l e m s o f r a i n b o w b a r r i e r o p t i o n s a r e d i s c u s s e d u s i n g p a r t i a l d i ff e r e n t i a l m e t h o d . t h e p r i c i n g f o r m u l a e o f e i g h t k i n d s o f r a i n b o w b a r r i e r o p t i o n s a n d f o u r c a l l - p u t p a r i t y a r e d e r i v e d . i n c h a p t e r 4 ,u s i n g r e m o v e s i n g u l a r it y d if f e r e n c e m e t h o d a n d f o r w a r d s h o o t i n g t a r g e t g r i d m e t h o d r e s p e c t i v e l y ,t h e p r i c e o f t h r e e k i n d s o f m o d i fi e d b a r r i e r o p t i o n s :s t e p o p t i o n s , p a r a s i a n o p t i o n s a n d p a r i s i a n o p t i o n s a r e c o m p u t e d . i n c h a p t e r 5 ,a l l w o r k d i s c u s s e d a b o v e i s c o n c l u d e d a n d f u r t h e r s t u d y d i r e c t i o n s a r e p u t f o r w a r d ke y wo r d s : o p t i o n p r i c i n g , e u r o p e a n o p t i o n s , b a r r i e r o p t i o n s , p r i c i n g f o r m u l a , c a l l - p u t p a r i t y i i 第一章前言 第一章前言 1 . 1 期权的发展历史 期权( o p t io n s ) 是一种特殊的 金融衍生产品， 从字面 上来看， “ 期” 是未来的 意思， “ 权” 是权利的意思， 期权是指一种能在未来某特定时问以特定价格买入 或卖出 一定数量的某种特定商品的权利。 期权不是免费的， 买方需向卖方支什一 定的期权金， 这便产生了 期权定价问题。 期权定价理论是现代金融理论最为重要 的成果之一，它在股票期权激励、 金融风险管理及公司财务管理中有着广泛的应 用 早在 公元前1 2 0 0 年， 古希腊和古 麟尼基国的贸易中 就已 经出 现了 期权交易的 雏形， 期权的思想萌芽 也可以 追溯到公元前1 8 0 。 年的 汉穆拉比法典。 公认的 期权定价理论的 始祖是法国 数学家 兼经济学家巴 歇里埃( l o u i s b a c h e li e r ) ， 在 他 的 博士论文 投机的理论 1 中 ，他首 次用布朗 运动来描述股票价格的变 化， 并提出了 一个股票期权定价公式， 但是他的公式是建立在一些不现实的假设之上 的， 如利率为零， 股票价格可以为负等。1 9 6 4 年， 著名经济学家萨缪尔逊 ( p a u l s a m u e l s o n) 对巴 歇里埃的模型进行了 修正， 以股票的回报代替原模型中的股票价 格， 这个修正克服了 原模型中股票价格可能出 现负值的不合理情况， 但他提出的 定价公式中 有两 个量依赖于投资 人的 个人偏好， 因 此虽然这个定价公式 很漂亮， 但在实 际交易中 它是不能应用的. 直到1 9 7 3 年， 随着b l a c k 和s c h o l e s 合著的一篇 载于 政治经济学杂志的论文 期权定价和公司负 债2 的发表，使得期权 定价问题有了 重大突破。他们利用套利推理和随机分析中的i t 。 公式证明了 股票 期权价格过程可表示成股票价格和时间t 的函 数v ( 5 , t ) ， 其中v满 足一偏微分方 程，并由此导出了一个期权定价公式，即著名的b l a c k - s c h o l e s 公式。这个公式的 创新之处在于不依赖于投资 人的 偏好， 它把所有投资 人引向一个风险中 性世界。 随后，m e r t o n 在 合理的 期权定价理论叫一文中 对b l a c k - s c h o l e s 模型和定价 公式进行了 推广和完善， 并将他们利用期权来 估价公司负 债的思忽发展成为所谓 的“ 未定权益分析” 。 由他们三人共同开创的期权定价理论给整个现代金融市场的 理论带来了 一场革命， 被誉为“ 华尔街的第 二次革命” 。 此后， 期权定价理论得到 了 飞速发展， 到目 前为止， 期权家族已 经发展成为拥有数千种不同形式的衍生证 券，产生了 许多新型期权。 期权交易起始于十八世纪后期的美国和欧洲市场，但由于制度不健全等因素 影 响， 期权交易的发展一直受到 抑制。直到1 9 7 3 年4 月2 6日 芝加哥期权交易 所 ( o b o e) 开张， 进行统一化和 标准 化的 期权合约买卖 ， 期权交易才 规范 化并 迅 速发展壮丈起来.现在，期权交易已 经遍布全世界。中国的金融市场起步 较晚 目 前我国的期权交易还处于试运行阶段，但自 1 9 9 5 年郑州商品交易所被接纳为 国内唯一的“ 国际期权市场协会” 会员 开始， 中国期权市场发展已经历 1 0 年，1 0 第一章前言 第一章前言 1 . 1 期权的发展历史 期权( o p t io n s ) 是一种特殊的 金融衍生产品， 从字面 上来看， “ 期” 是未来的 意思， “ 权” 是权利的意思， 期权是指一种能在未来某特定时问以特定价格买入 或卖出 一定数量的某种特定商品的权利。 期权不是免费的， 买方需向卖方支什一 定的期权金， 这便产生了 期权定价问题。 期权定价理论是现代金融理论最为重要 的成果之一，它在股票期权激励、 金融风险管理及公司财务管理中有着广泛的应 用 早在 公元前1 2 0 0 年， 古希腊和古 麟尼基国的贸易中 就已 经出 现了 期权交易的 雏形， 期权的思想萌芽 也可以 追溯到公元前1 8 0 。 年的 汉穆拉比法典。 公认的 期权定价理论的 始祖是法国 数学家 兼经济学家巴 歇里埃( l o u i s b a c h e li e r ) ， 在 他 的 博士论文 投机的理论 1 中 ，他首 次用布朗 运动来描述股票价格的变 化， 并提出了 一个股票期权定价公式， 但是他的公式是建立在一些不现实的假设之上 的， 如利率为零， 股票价格可以为负等。1 9 6 4 年， 著名经济学家萨缪尔逊 ( p a u l s a m u e l s o n) 对巴 歇里埃的模型进行了 修正， 以股票的回报代替原模型中的股票价 格， 这个修正克服了 原模型中股票价格可能出 现负值的不合理情况， 但他提出的 定价公式中 有两 个量依赖于投资 人的 个人偏好， 因 此虽然这个定价公式 很漂亮， 但在实 际交易中 它是不能应用的. 直到1 9 7 3 年， 随着b l a c k 和s c h o l e s 合著的一篇 载于 政治经济学杂志的论文 期权定价和公司负 债2 的发表，使得期权 定价问题有了 重大突破。他们利用套利推理和随机分析中的i t 。 公式证明了 股票 期权价格过程可表示成股票价格和时间t 的函 数v ( 5 , t ) ， 其中v满 足一偏微分方 程，并由此导出了一个期权定价公式，即著名的b l a c k - s c h o l e s 公式。这个公式的 创新之处在于不依赖于投资 人的 偏好， 它把所有投资 人引向一个风险中 性世界。 随后，m e r t o n 在 合理的 期权定价理论叫一文中 对b l a c k - s c h o l e s 模型和定价 公式进行了 推广和完善， 并将他们利用期权来 估价公司负 债的思忽发展成为所谓 的“ 未定权益分析” 。 由他们三人共同开创的期权定价理论给整个现代金融市场的 理论带来了 一场革命， 被誉为“ 华尔街的第 二次革命” 。 此后， 期权定价理论得到 了 飞速发展， 到目 前为止， 期权家族已 经发展成为拥有数千种不同形式的衍生证 券，产生了 许多新型期权。 期权交易起始于十八世纪后期的美国和欧洲市场，但由于制度不健全等因素 影 响， 期权交易的发展一直受到 抑制。直到1 9 7 3 年4 月2 6日 芝加哥期权交易 所 ( o b o e) 开张， 进行统一化和 标准 化的 期权合约买卖 ， 期权交易才 规范 化并 迅 速发展壮丈起来.现在，期权交易已 经遍布全世界。中国的金融市场起步 较晚 目 前我国的期权交易还处于试运行阶段，但自 1 9 9 5 年郑州商品交易所被接纳为 国内唯一的“ 国际期权市场协会” 会员 开始， 中国期权市场发展已经历 1 0 年，1 0 上海师范大学硕士论文 年来，中国 期权市场研究 从三方面 迈出了坚实步 伐，即期权制度体系 建设， 期权 市场需求开发和期权技术系统设计。中国期权市场研究发展的速度越来越快， 期 权研究将成为 2 1 世纪中国期货业改革和创新的主旋律。 期权定价的研究工作主要归纳为如下几个方面: 1) 将 b l a c k - s c h o l e 。 模型 推广到带跳的扩散过程和随机波幅情形， 以 便解释从实际期权市场中 观察到的用 b l a c k - s c h o le s 模型无法解释的 现家; ( 2) 研究 依赖价格变 化路径的奇异 期权的 定价和它的数值计算方法;( 3) 研究不完全市场 ( 主要是带跳的随机过程或一 般的半较过程模型) 中的期权定价、 套期保值或对冲以及最优消费一 投资组合问 题; ( 4) 研究带 “ 摩擦”的金融市场中的期权套期保值或对冲，这里所指的摩 擦包 括交易费、税收、买卖价差和各种约束条件; ( 5) 带违约风险的期权定价 问题; 6) 不对称信息下的市场交易。期权定价的方法主要有: b l a c k - s c h o l e s 期权定价方法， 二叉树方法， 有限差分方法，蒙 特卡罗 模拟方法， 确定性套利方 法，: 一 套 例定价方法和区间 定价方法( 见文献!9 ) 。目 前从事期权定价研究的主 要有如下三类 人: 概率论和随机分析学者， 随机控制论学者和偏微分方程学者。 近年来， 我国 研究期权的人越来越多， 全国 各大院校对期权定价理论的研究正方 兴未艾。 按照所赋予的 权利不同， 期权可分为看涨期权 ( c a l l o p t io n s ) 和看跌期权 ( p u t o p t io n s ) ; 按照执行时间的不同 ， 期权可分为欧式期权和美式期权。 然而随着金融 市场的不断发展与完善，涌现出 许多新型期权，如两值期权、障碍期权、亚式期 权、回望期权、彩红期权、一篮子期权等， 这些新型期权的出 现既繁荣了 衍生证 券市场，又促进了 期权定价理论的发展与完善。 期权定价理论对金融市场具有巨大的现实意义，期权除了 在各种金融交易及 风险管理中起作用外， 期权定价的思想已 经进一步延仲到现实经济生活中， 例如 定期存款隐含着提前支取的期权; 公司制企业在破产清算时股东只承担有限债务 责任隐含着股东有放弃企业、 将部分亏损转移给债权人的期权; 各种具有可转换 特性的 金融工具都隐含着期权; 保险费的 定价; 无形资产评枯等。 在所有这些方 面， 期权定价理论都提供了 重要的理论基拙. 期权定价理论的推广研究和广阔的 应用前景，正显示着现代金融理论及其实践相互交融、相互促进、共同发展的美 好未来. 1 . 2 障碍期权的发展历史 障 碍期权是一种路径有关 期权 ( p a t h - d e p e n d e n t o p t i o n s ) ，它的最终收益依祯 于标的资产变动的路径，当原生资产价格触及规定的障碍时， 期权合约生效或失 效。自 二十世纪6 0 年代末，市场上出 现障碍期权 ( b a r r i e r o p 七 i o n s ) 交易 后，障 碍 期权的发展便一发不可收。据统计， 1 9 9 2 年以来，障碍期权的规模以每年两倍 的速度增加， 正如 c a r : 所说:“ 标准障碍期权现在是无处不在， 很难想家它们是 上海师范大学硕士论文 年来，中国 期权市场研究 从三方面 迈出了坚实步 伐，即期权制度体系 建设， 期权 市场需求开发和期权技术系统设计。中国期权市场研究发展的速度越来越快， 期 权研究将成为 2 1 世纪中国期货业改革和创新的主旋律。 期权定价的研究工作主要归纳为如下几个方面: 1) 将 b l a c k - s c h o l e 。 模型 推广到带跳的扩散过程和随机波幅情形， 以 便解释从实际期权市场中 观察到的用 b l a c k - s c h o le s 模型无法解释的 现家; ( 2) 研究 依赖价格变 化路径的奇异 期权的 定价和它的数值计算方法;( 3) 研究不完全市场 ( 主要是带跳的随机过程或一 般的半较过程模型) 中的期权定价、 套期保值或对冲以及最优消费一 投资组合问 题; ( 4) 研究带 “ 摩擦”的金融市场中的期权套期保值或对冲，这里所指的摩 擦包 括交易费、税收、买卖价差和各种约束条件; ( 5) 带违约风险的期权定价 问题; 6) 不对称信息下的市场交易。期权定价的方法主要有: b l a c k - s c h o l e s 期权定价方法， 二叉树方法， 有限差分方法，蒙 特卡罗 模拟方法， 确定性套利方 法，: 一 套 例定价方法和区间 定价方法( 见文献!9 ) 。目 前从事期权定价研究的主 要有如下三类 人: 概率论和随机分析学者， 随机控制论学者和偏微分方程学者。 近年来， 我国 研究期权的人越来越多， 全国 各大院校对期权定价理论的研究正方 兴未艾。 按照所赋予的 权利不同， 期权可分为看涨期权 ( c a l l o p t io n s ) 和看跌期权 ( p u t o p t io n s ) ; 按照执行时间的不同 ， 期权可分为欧式期权和美式期权。 然而随着金融 市场的不断发展与完善，涌现出 许多新型期权，如两值期权、障碍期权、亚式期 权、回望期权、彩红期权、一篮子期权等， 这些新型期权的出 现既繁荣了 衍生证 券市场，又促进了 期权定价理论的发展与完善。 期权定价理论对金融市场具有巨大的现实意义，期权除了 在各种金融交易及 风险管理中起作用外， 期权定价的思想已 经进一步延仲到现实经济生活中， 例如 定期存款隐含着提前支取的期权; 公司制企业在破产清算时股东只承担有限债务 责任隐含着股东有放弃企业、 将部分亏损转移给债权人的期权; 各种具有可转换 特性的 金融工具都隐含着期权; 保险费的 定价; 无形资产评枯等。 在所有这些方 面， 期权定价理论都提供了 重要的理论基拙. 期权定价理论的推广研究和广阔的 应用前景，正显示着现代金融理论及其实践相互交融、相互促进、共同发展的美 好未来. 1 . 2 障碍期权的发展历史 障 碍期权是一种路径有关 期权 ( p a t h - d e p e n d e n t o p t i o n s ) ，它的最终收益依祯 于标的资产变动的路径，当原生资产价格触及规定的障碍时， 期权合约生效或失 效。自 二十世纪6 0 年代末，市场上出 现障碍期权 ( b a r r i e r o p 七 i o n s ) 交易 后，障 碍 期权的发展便一发不可收。据统计， 1 9 9 2 年以来，障碍期权的规模以每年两倍 的速度增加， 正如 c a r : 所说:“ 标准障碍期权现在是无处不在， 很难想家它们是 第一章前言 变异的， 。 到目 前为止，障碍期权的种类已 超过数十种， 主要包括: 欧式障碍期权 ( e u r o p e a n b a r r ie r o p t io n s ) 、 美式障 碍期 权( a m e r i c a n b a r r i e r o p t io n s ) 、 双障 碍期权 ( d o u b le b a r r ie r o p t i o n s ) 、 彩 s 障碍期 权( r a i n b o w b a r r ie r o p t i o n s ) 、部分障 碍期权 ( p a r t i a l b a r r ie r o p t i o n s ) 、阶梯期权 ( s t e p o p t i o n s ) 、巴 拉期权 ( p a r a s i a n o p t i o n s ) 、 巴 黎期权( p a r i s i a n o p t i o n s ) 等。 最 早 发表有关障 碍 期权文章的 是m e r t o n ( 1 9 7 3 ) t4 ， 他给出了 下降敲出 看 涨期 权 的 解析公式， 随后， r e i n e r 和r u b i n s t e in ( 1 9 9 1 ) 5 1 4 1、 充了 其他类型欧式障 碍期权的 定价公式。 h e y n e n 和k a t ( 1 9 9 4 , 1 9 9 6 ) 6 ,7 ,8 , c a r r ( 1 9 9 5 ) 2 3 研究了 部分障 碍期权 和彩虹障碍期权。 b o y l e 和l a u 2 9 , k a 、 和v e r d o n k 3 用二叉 树方法研究了 障碍期 权，跳一 扩散中的障 碍期权的研究工作还在继续，比较著名的是l e i s e n ( 1 9 9 8 ) 3 0 离散了资产空间而不是时间空间并结合跳风险研究了障碍期权。 障碍期权定价的方法主要有: 二叉树方法、 三叉树方法、蒙特卡罗方法、 概率 方法和偏微分方程方法。 障碍期权比普通欧式期权价格便宜，因此受到市场的青睐，被广泛的用来进 行风险管理，所以，对障碍期权的研究工作具有一定的市场价值. 1 .3 本文的主要内 容 本文的研究内容主要包括三部分: 曰 1 9 7 3 年， b l a c k 和s c h o le s 提出了 著名的期权定价模型一b la c k - s c h o le 。 模 型， 该模型 假设无交易成本且波动率0 ， 红利率4 和无风险利率: 都是固 定不变 的，然而，在现实世界中，投资者将面临不可忽 视的交易成本，而且q ,。 和: 受多 种因 素的影 响， 很难保持不变。 最近， 郑小迎等!1 0 研究了 有交易成本的 期 权定价问 题，w i l m o t t l l 在波动率。 ，红利率4 和无风险利率: 是时间t 的已 知函 数的条 件下， 修正了 欧式 期权的b l a c k - s c h o le s 定价方程.关莉等 1 2 进一步 研究了 这一问题，得到了b l a c k - s c h o l e s 方程的解和看涨、看跌期权的定价公式. 本文既考虑波动率。 ， 红利4 ， 无风险利率r 均为时间， 的已 知函数，又考虑带 有交易 成本的情况， 推出了 在此条件下的欧式 期权的b la c k - s c h o l e 。 定价方程， 再 利用偏微分方程的知识得出了 欧式看 涨期权和看跌期权的定价公式， 并进一步 得 到了它们的平价公式。 曰本文采用 偏微分方程方法对欧式障 碍期权、 双障碍期权和彩虹障碍期权进 行了 研究 . 推导出 欧式障碍期权的 八个定价公式和四 个看涨一 看跌平价公式， 并 分 析了 看 涨障 碍期 权与 看跌障 碍期权之间 存在的 对 称关系 。本文参考了 文献 1 4 和文献1 5 的思忽方法， 根据初始股票价格s o 的 位置将双障 碍期权划分为两大类 来 讨论它的 定价问 题， 得出 上升敲入双障 碍期权、 上升敲出 双障碍期权、 下降敲入 双障碍期权和下降敲出 双障碍期权是由两个单障碍期权组合而成， 从而这些期权 第一章前言 变异的， 。 到目 前为止，障碍期权的种类已 超过数十种， 主要包括: 欧式障碍期权 ( e u r o p e a n b a r r ie r o p t io n s ) 、 美式障 碍期 权( a m e r i c a n b a r r i e r o p t io n s ) 、 双障 碍期权 ( d o u b le b a r r ie r o p t i o n s ) 、 彩 s 障碍期 权( r a i n b o w b a r r ie r o p t i o n s ) 、部分障 碍期权 ( p a r t i a l b a r r ie r o p t i o n s ) 、阶梯期权 ( s t e p o p t i o n s ) 、巴 拉期权 ( p a r a s i a n o p t i o n s ) 、 巴 黎期权( p a r i s i a n o p t i o n s ) 等。 最 早 发表有关障 碍 期权文章的 是m e r t o n ( 1 9 7 3 ) t4 ， 他给出了 下降敲出 看 涨期 权 的 解析公式， 随后， r e i n e r 和r u b i n s t e in ( 1 9 9 1 ) 5 1 4 1、 充了 其他类型欧式障 碍期权的 定价公式。 h e y n e n 和k a t ( 1 9 9 4 , 1 9 9 6 ) 6 ,7 ,8 , c a r r ( 1 9 9 5 ) 2 3 研究了 部分障 碍期权 和彩虹障碍期权。 b o y l e 和l a u 2 9 , k a 、 和v e r d o n k 3 用二叉 树方法研究了 障碍期 权，跳一 扩散中的障 碍期权的研究工作还在继续，比较著名的是l e i s e n ( 1 9 9 8 ) 3 0 离散了资产空间而不是时间空间并结合跳风险研究了障碍期权。 障碍期权定价的方法主要有: 二叉树方法、 三叉树方法、蒙特卡罗方法、 概率 方法和偏微分方程方法。 障碍期权比普通欧式期权价格便宜，因此受到市场的青睐，被广泛的用来进 行风险管理，所以，对障碍期权的研究工作具有一定的市场价值. 1 .3 本文的主要内 容 本文的研究内容主要包括三部分: 曰 1 9 7 3 年， b l a c k 和s c h o le s 提出了 著名的期权定价模型一b la c k - s c h o le 。 模 型， 该模型 假设无交易成本且波动率0 ， 红利率4 和无风险利率: 都是固 定不变 的，然而，在现实世界中，投资者将面临不可忽 视的交易成本，而且q ,。 和: 受多 种因 素的影 响， 很难保持不变。 最近， 郑小迎等!1 0 研究了 有交易成本的 期 权定价问 题，w i l m o t t l l 在波动率。 ，红利率4 和无风险利率: 是时间t 的已 知函 数的条 件下， 修正了 欧式 期权的b l a c k - s c h o le s 定价方程.关莉等 1 2 进一步 研究了 这一问题，得到了b l a c k - s c h o l e s 方程的解和看涨、看跌期权的定价公式. 本文既考虑波动率。 ， 红利4 ， 无风险利率r 均为时间， 的已 知函数，又考虑带 有交易 成本的情况， 推出了 在此条件下的欧式 期权的b la c k - s c h o l e 。 定价方程， 再 利用偏微分方程的知识得出了 欧式看 涨期权和看跌期权的定价公式， 并进一步 得 到了它们的平价公式。 曰本文采用 偏微分方程方法对欧式障 碍期权、 双障碍期权和彩虹障碍期权进 行了 研究 . 推导出 欧式障碍期权的 八个定价公式和四 个看涨一 看跌平价公式， 并 分 析了 看 涨障 碍期 权与 看跌障 碍期权之间 存在的 对 称关系 。本文参考了 文献 1 4 和文献1 5 的思忽方法， 根据初始股票价格s o 的 位置将双障 碍期权划分为两大类 来 讨论它的 定价问 题， 得出 上升敲入双障 碍期权、 上升敲出 双障碍期权、 下降敲入 双障碍期权和下降敲出 双障碍期权是由两个单障碍期权组合而成， 从而这些期权 上海师范大学硕士论文 的定价问题便转化为两个单障碍期权的定价问题; 并得出下降敲入但上升敲出 双 障碍期权、 上升敲入但下降敲出 双障碍期权、 下降敲出 但上升敲入双障碍期权和 上升敲出 但下降敲入双障碍期权是由一份单障碍期权和一份双边敲出 双障碍期权 组合而成， 从而这些期权的定价问题便转 化为对单障碍期权和双边敲出 双障碍期 权的定价。查阅大量文献， 发现对彩弥障碍期权的定价均是禾用概率的方法去研 究的， 本文则采用偏微分方程方法去研究它的定价问题，推导出它满足的偏微分 方程，通过求解这个偏微分方程得出了 彩红障碍期权的定价公式。 曰随着金融市场的不断发展与完 善， 人们引 进新的思路去修改障碍期权，于 是出 现了 阶梯期权、巴 拉期权和巴黎期权。 这三类期权中，虽然阶梯期权可求出 显示的定价公式， 但形式比较复杂， 所以 我们采用数值方法去研究它们的定价问 题。 本文借鉴文献!1 6 和【 1 7 的方法， 采用两种方法一消除奇性的差分方法与前 向打靶格方法来研究三类修正的障碍期权一阶梯期权、 巴拉期权和巴 黎期权的定 价问题的数值解法。 第二章有交易成本的欧式期权 第二章 有交易成本的欧式期权 1 9 7 3 年，美国金融学家b l a c k 和s c h o l e s 在有效市场和股价满足几何布朗运动 等假设条件下推出了 著名的b l a c k - s c h o l e ， 期权定价模型. 但在现实市场中， 这些假 设往拄不满足. 本章即研究将其中的一些假设条件改变来推导欧式期权的定价. 分别讨论了 标准的欧式期权、修正的欧式期权和有交易成本的欧式期权. 2 . 1 标准的欧式期权 b l a c k - s c h o l e s 期权定价模型的基本假设为: ( i ) 无税收; ( ii ) 无交易费 用 ; ( ii i ) 无 风险利 率r ， 股票期望 收益率f l 和 波动率。 均为常 数， 且不支 什股息 ; ( iv ) 投资 者可按无风险利率任意的 借入或货出 ，无买空限制; ( v ) 无套利 机会; ( v i ) 股价s 遵循几何布m运动: d s=m s d t +u s d z . 全文我们将用s表示股票现价，k表示期权的执行价格，t表示期权的到 期时间，t 表示当 前时刻，v表示期权的 价格，且设v二 v ( s , t ) . 满 足假设条 件( i ) 一 ( v i ) 的欧式期权即为标准的欧式 期权 见文献 1 3 )通过构 造 投资 组 合n = v 一 s . 可得到b l a c k - s c h o l e s 方 程 a v 1。 _ , a 2 v _ a v 二，+ 二 a “ 万 二 : 二 二 +r 5 -一r v = u 口t ,2口万口万 这就是标准欧式期权的定价方程. 通过求解下面的偏微分方程 十 1 , 2 s 2 护v_ a v a s 2 + r s 旅一 r v 一 。 ， ( s 一 川十 ，看1 张 期权 ( k一 s ) 十 .看跌期权 ( o so o , 0 t t ) 了.j亡1 一一 2刀 洲一atv(s， 我们可得到欧式看涨期权 5 c h o l e s 公式) 分9 1) 为: c ( s , t ) c ( s , t ) 和欧式看跌期权p ( s , t ) 的定价公式 (b ls c k - =s n ( d , ) 一 k e - 1t - ) a t ( d , ) 第二章有交易成本的欧式期权 第二章 有交易成本的欧式期权 1 9 7 3 年，美国金融学家b l a c k 和s c h o l e s 在有效市场和股价满足几何布朗运动 等假设条件下推出了 著名的b l a c k - s c h o l e ， 期权定价模型. 但在现实市场中， 这些假 设往拄不满足. 本章即研究将其中的一些假设条件改变来推导欧式期权的定价. 分别讨论了 标准的欧式期权、修正的欧式期权和有交易成本的欧式期权. 2 . 1 标准的欧式期权 b l a c k - s c h o l e s 期权定价模型的基本假设为: ( i ) 无税收; ( ii ) 无交易费 用 ; ( ii i ) 无 风险利 率r ， 股票期望 收益率f l 和 波动率。 均为常 数， 且不支 什股息 ; ( iv ) 投资 者可按无风险利率任意的 借入或货出 ，无买空限制; ( v ) 无套利 机会; ( v i ) 股价s 遵循几何布m运动: d s=m s d t +u s d z . 全文我们将用s表示股票现价，k表示期权的执行价格，t表示期权的到 期时间，t 表示当 前时刻，v表示期权的 价格，且设v二 v ( s , t ) . 满 足假设条 件( i ) 一 ( v i ) 的欧式期权即为标准的欧式 期权 见文献 1 3 )通过构 造 投资 组 合n = v 一 s . 可得到b l a c k - s c h o l e s 方 程 a v 1。 _ , a 2 v _ a v 二，+ 二 a “ 万 二 : 二 二 +r 5 -一r v = u 口t ,2口万口万 这就是标准欧式期权的定价方程. 通过求解下面的偏微分方程 十 1 , 2 s 2 护v_ a v a s 2 + r s 旅一 r v 一 。 ， ( s 一 川十 ，看1 张 期权 ( k一 s ) 十 .看跌期权 ( o so o , 0 t t ) 了.j亡1 一一 2刀 洲一atv(s， 我们可得到欧式看涨期权 5 c h o l e s 公式) 分9 1) 为: c ( s , t ) c ( s , t ) 和欧式看跌期权p ( s , t ) 的定价公式 (b ls c k - =s n ( d , ) 一 k e - 1t - ) a t ( d , ) 上海师范大学硕士论文 as t ) =k 。 一 r (t - t) n ( 一 d 2 ) 一 s n ( 一 d , ) 其中， _ in k + ( + 誓 ，(t 一 t) a 斌t一t n( x ) = d 2 =d ， 一 ,7 , / t一 t , e - 专d w 同 时 也可得到欧式看涨一 看跌平价公式( p u t - c a ll p a r i 叨 为: c ( s , t ) + k c - r (t - t) = p ( s , t ) + s . 2 . 2 修正的欧式期权 将基本假设中的( i ii ) 改为红利率q ( t ) ， 无风险利率r ( t ) ，波动率a ( t ) 和 预 期收益率il ( t ) 均为时问t 的函数， 其它假设不变，即为 修正的欧式 期权 ( 见文献 i i i ) . 修正的欧式期权的定价方程为: a va t + 一 (t) s 2纂+ n o - q (t)s 8 s 一 (t)v 一 。 下面以看i张 期权为例，来研究修正的欧式期权的定价问题.它满足以下偏微 分方程: + 1 2(t)s 2 恶+ ( (卜 q (t)s a s 一 (，) o , t t ) 冼-at ( o s0 0 , 0 e ( s , t ) =( s 一 k ) + 令 。 = g c o (t ) , x =， 。 “ () ， 有 i s t u k t )关lr l y ， 一 “ l y ) ja y , p h ) 一 关r ( v ) d v ,t + 2 a 2 (t)x 2 z8 x 一 。， ，