（应用数学专业论文）一类三阶拟线性微分方程正值解的渐近性.pdf

摘要 微分方程在实际中有广泛的应用，而关于微分方程振动与非振动解的 相关问题在天体物理与原子物理和工程建筑等方面均有重要的应用。本文 主要是研究的是一类三阶拟线形微分方程 ( p ( t ) i u ”r 1 ”) 7 + q ( t ) i u r l 札= o ， 其中a o ， o p ( t ) ，q ( t ) 是定义在区间h 。) 上的连续函数并且 当n 时有p ( t ) o ，q ( t ) o 给出方程满足铲丽s 旷出= o 。或 口赤出 o ，t 8 0 ，p ( 亡) a i l dq ( 亡) a r ec o n t i n u o u st u n c t l o n s o na ni n f i n i t ei 1 1 t e r v a l 【o ，。) s a 七i s f y i n gp ( 亡) oa n dq 婶) 0 ，亡 口 t h eg r o w t hb o u n d sn e a tt = 。o tn o n o s c l u a t o r y s o l u t i o n sa r eo b t a i n e d ，a n dn e c e s s a r ya n ds u m c i e n ti n t e g r a l c o n d i 廿o n sa r ee s 0 0 b l i s h e df o tt h ee x i s t e n c eo f n o n o s c l 儿a 克o r y s 0 1 u t i o n sh a v i n gs p e c i f i ca s y m p t o t i cg r o w t h sa 8 亡一。o ，w h e n t h ee q u a t i o ns a n s n e 8 铲面瓦薪d 亡= o r 铲面疆鼢d t o ，a 血ds a t l s f y 地es i g i lc o i l d i t i o np ( ) a i l dq ( t ) ( f ) f b rt h ef u n c t i o np ( t ) w ea 8 8 u m e m o r e o v e rt h 砒 ( 。丽岳出一 ( 1 2 ) l 。，( ) ) 1 胁 ”一7 a n d f 。丽认。 ( 1 3 ) j a ( p ( t ) ) 1 “。、。 、7 b yas d j u t i o no f ( 1 1 ) w em e a bat 捌一州u e dh l n c t j o n 乱( # ) s u c h 拙a t g 2 1 6 ，o 。) a 1 1 dp l u ”i o1 g 陋，o 。) 8 n d “( t ) 8 舭i s 矗e s ( 11 ) a te v e r yp o i n to f p ，o 。) ，w h e r e6 8a n d 6 m a y d e p e n d o n ( ) s u c has o l u t i o n h ( t ) o f ( 1 1 ) i s c a u e dn o n o s o c i u a t o r yi f “( t ) i se v e n t u a l l yp o s i t i v ea n de v e n t u a l l yn e g a t i 、，e as o l u t i o nu ( t ) o f ( 11 ) i sc a u e do s d l l a t 。r yi “t h a s8 j 1i n 矗n i t es e q u e n c eo f z e r o sc l u s t e r i n ga tt = 。e q u a t i o n ( 1 1 ) i t s e l fi sc a l k do s c i l l 乱o r yi a u 8 0 h i t i o n sa j 弓o s c i l l a t o i t h em a i no b j e c t i v ei st oi n v e s t 培a t et h eo s c i a t o r ya n dn o n o s c i l l a t o r y b e h a 啊o ro fs 0 1 u t i o no f ( 1 1 ) 、v e 矗r s ts t u d yt h es t r u c t u r eo ft h es e to f n o n 。s c i l l a t o r ys o l u t l o no f ( 1 1 ) i “so b s e r v e dt h a tas 0 l u t i 蛆u ( t ) w h i c hi s a s y m p t o t i ct oz e r oa st o 。醅“i i l i n i m a l ”i n 也es e t0 f 胡le v e n t u a l l yp o s i t i v e8 u l u t l 0 1 1 “( 1 1 ) ，a n da s 。1 u t i o n “( t ) w h i c hi sa s y m p t o t i ct oap o s i t i v e c o n 8 t a i l ti n u l “p 】eo ff u n c t i o n c o “a i l ti m l l “p j eo ff u n c c i o n 小_ s ) ( 志) l 。如 1 a s _ o 。i s “m a x i m a l ”i nt h es e to fa l le v e n t u a l l yp o s i t i v es o l u t i o no f ( 1 1 ) w ee s t a b l i s ht h en e c e s s a r ya n ds u m c i e n tc o n d i t i o n sf b rt h ee x i s t 皿c eo f “m i n i m a l ”a n d “m a x i m a l ”8 0 l u t i o i l so f ( 11 ) as i m i l a rp r o b l e mh a sb e e ns t u d i e di nf a i rd e t a i lf o rt h es e c o n do r d e r q u a 8 i l i n e a rd i 舒宅r e n t i 出e q u 她i o n ( p 0 ) i u i 。一1 钍) + q ( t ) l u i 卢一1 “= o ( 1 4 ) w h e r ea o ，卢 ，a n dp ( t ) a j l dg ( ) a r ec o n t i n u o u sf u n c t i o n so n 【。，o 。) s a t i s f y i n gp ( t ) o ，a n dq ( t ) 0 0 o ) w e 西v ea b r i e fs u m m a r yo fs o m e i m p o r t a mr e s u l tf o rt h es e c o n do r d e re q u a t i o n ( 1 3 ) u n d e rt h ec o n d i t i o n ( ”丽斋出一 上丽驴小2 。 t h er e s u l t 8b e l a w 甜ef o u n di nt h ep 8 p e r so fe 1 b e r e t 1 】e l b e r ta n dk u s a n o 【2 】，i z y m o v aa n dm i r z o v 【3 】，a n dm i r z o v 【5 ，6 - h e r e a f t e rt h en o t a t i o n ，( t ) 9 ( ) a st _ o om e a n st h a t 熙器= - t _ 。o9 【t ) ( i ) i f t 正( t ) a n e v e n t u a l l y p o s i t i v es o l u t i o n o f ( 1 4 ) ，t h e n i ts a t i s f i e s 他) o f o ra l l l a r g e t ( i i ) f o ra ne v e n 乞u a u yp o s m v e s o l u t h lu ( t ) o f ( 1 4 ) ，t h e r ea r ec o n s t a n t s 。1 oa n d 。2 0s u c ht h a t c ，“如z 2 赤斋d s f o ra u l a r g e t ( i i i ) e q u a t i o n ( 1 4 ) h a san a n o s d u a t o r ys o l u t i o nu ( t ) s a t i g 蜘n g i fa n do n l y i f “( t ) 一c ( c o ) 。st 一。 上。赤( j ( 。如) v 。出 of o rt tb y ( 1 1 ) w eh a v e ( t ) 矿( t ) r 1 7 m ) ) 7 = 一q ( t ) l u ( t ) p 1 “( t ) 0 ，卯o f f o r 9 et ( 2 3 ) p r o o f t h e r ei st 8 u c ht h a 土u 0 ) 0f o rt 2 _b y ( 2 - 2 ) p ( 驯u ”( t ) i 。一1 札”( t ) i sd e c r e a s i n go n 阢o o ) a s s u m e t h a t u ”( t ) b o ，( ) o ， ，o ro f fl o r 9 et ( 2 t 4 ) ( 托)“ ) o ， ，d ro “f 。r g e t ( 2r 5 ) s u p p o s et h a t ( 1 2 ) h o l d s ，a n d1 e t 珏( t ) b ea ne v e n t u a l l yp o s i t i v es o l u t i o n o f ( 1 1 ) i fu 7 ( t ) o ，u ”( t ) o ，f o ra l ll a r g e ，t h e nt h e r ei 8 e x i s t o ， ) 乜r ( 卜s 两斋如加0 f 凹州 o nt h eo t h e rh a n d ) of o ra l l l a r g et ，t h e nt h e r ee x i s t 七2 o ， s u c ht h a tu 讹) 如f o ra 1 i l a r g et ，仳似) ot h e n “( t ) 2 七2 f o ra l ll a r g e t t h u sw eo b t a i nt h a ts u p p o s e ( 1 2 ) h o l d sa n dl e tu ( t ) b ea ne v e n t u d l y p o s i t i v es 0 1 u t i o no f ( 1 1 ) ，i fu ( t ) s a t i s n e d ( 2 4 ) 锄d 规南咄一， ( 2 _ 6 ) t h e nu ( t ) c a nb er e g a r d e da sa “m a x i m 扩s 0 1 u t l o nw h i c hs a t i s n e d ( 2 4 ) ， l i m 塑：岛，o 七 o ， s u c ht h a t “0 ) 七f o ra ul a t g et t h u sas o l u t i o n 仳( t ) o f ( 1 1 ) s a t i s 丘e s 熙“( t ) = 七， o 七 0 0 5 ( 2 8 ) c a nb er e g a r d e da sa m a x i m a l ”s o l u t i o nw h i c hs a t i s 6 e s ( 2 5 ) i f “( t ) s a t i s f i e 8 熙u ( t ) - 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