海南大学高数A下试卷及答案.pdf

- 1 - 海南大学 2008-2009 学年度第 2 学期试卷 科目： 高等数学 A （下）试题(A 卷)科目： 高等数学 A （下）试题(A 卷) 姓名： 怪哥 学 号： 学院： 专业班级： 08 国酒 成绩登记表（由阅卷教师用红色笔填写） 大题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 得分 阅卷教师： 200 9 年 月 日 考试说明：本课程为闭卷闭卷考试，可携带 计算器 。 一、填空题： （一、填空题： （每题 3 分，共 15 分）在以下各小题中画有_ 处填上答案。 1、设向量121112， ， ， ，则向量积531（ ， ， ）； 2、曲线 23 ,(1,1,1)xt ytzt在点处的切线方程为_ 111 123 xyz ； 3, 22222 , L YRXY 设L为圆周X则积分ds= 2 2 R； 4、设logyzx ，则 2 2 z x 2 1 lnxy ； 5、将函数 1 ( )f x x 展开成1x的幂级数为 0 1 ,( 2,0) n n xx ； 二、选择题二、选择题（每题 3 分，共 15 分 选择正确答案的编号，填在各题 前的括号内） （ B ）1、已知22 xdx aydy xy 是某函数的全微分，则a= (A) 1 ; (B) 1 ; (C) 2 ; (D) 2。 （ A ）2、设曲面是下半球面 222 zrxy 的下侧，则曲面积分 222 xyz dxdy (A) 4 r ; (B) 4 4 r ; (C) 4 r ; (D) 4 2 r. 得分 阅卷教师 得分 阅卷教师 力爷 说A卷应该是理 科的 大家自己看着办咯 - 2 - （ B ）3、设 f x为续函数, 1 ,2 tt y F tdyf x dxF 则 (A) 2 2f ; (B) 2f ; (C) 0 ; (D) - 2f . （ B ）4、 幂级数 nn n x) 2 1 ( 0 的收敛半径是（ ） (A) 3; (B) 2 ;(C) 2 1 ;(D) 3 1 （ C ）5、交换积分次序 2 01 11 ( , ) x x dxf x y dy 2 10 11 ( )( , ) x x Adyf x y dx ; 2 01 11 ( )( , ) x x Bdyf x y dx 2 11 01 ( )( , ) y y Cdyf x y dx 2 11 01 ()( , ) y y Ddyf x y dx 三三 、计算题计算题（每小题 6 分，共 48 分） 1、设 22 yx e ，求d。 解解 ： dydyxdxeyxde yxyx 22 2222 22 (6分) 2、一平面过点(1,0,-1)且平行于向量(2,1,1)(1, 1,0),ab和求这平面方程. 解：解：设平面的法向量为n,则 2111,1, 3 110 ijk na b (2 分) 所求平面方程为 1010 xyz(4 分) 即 340 xyz(6 分) 3、设 22 ( , ) xy t y f x ye dt ，求 1,2 ,1,21,2 xyxy fff及和( , )df x y 。 解：解： 222222 ,2,2,4 xyxyyxy xyxy fx yxefx yyeefx yxye （2 分） 因此， 5525 1,22,1,24,1,28 xyxy fefeefe（4 分） 2222 ,22 xyxyy df x yxedxyeedy （6 分） 得分 阅卷教师 - 3 - 4、计算 D xyd ，其中D是由抛物线 2 yx及直线2yx所围成的闭区域. 解：解：求出交点（1，-1） ， （4，2）以及画图（2 分） 2 22 1 y y D xyddyxydx （4 分） 2 2 22 225 11 1 ()| (2) 22 y y x ydyy yy dy = 5 5 . 8 （6 分） 5、化二次积分 22 22 0 aaay y dyfxy dx 为极坐标下的二次积分 解：解：因为在极坐标下积分域表示为0,02 cos 4 ra （3 分） 所以，原积分化为极坐标下的二次积分为 4 2 cos 2 00 a df rrdr （6 分） 6、计算三重积分zdv ，其中为曲面 22 zxy与平面4z 围成的空间闭区域 解：解： 利用拄面坐标，得 2 224 00r zdvdrdrzdz （3 分） = 2 4 0 164 216 23 rrdr （6 分） 7、利用格林公式计算曲线积分 sin22cos2100 xx l eyy dxeydy ，其中l 2 为y= 1-x，A （1，0）到点 B（-1，0）的一段弧。 解： 解： 作辅助线 1: 0,lyx从-11，则由格林公式，得 原积分 11 ll ll = 1 sin22cos2100 xx Dl QP dxdyeyy dxeydy xy （3 分） =0 D dxdy ，其中 22 :1,0D xyy = 2 （6 分） - 4 - 8 、求幂级数 2 0 21 ! n n n x n 的收敛域与和函数( )s x. 解：解： 求得幂级数的收敛域是：(,) （2 分） 2 21 0 0 00 (21) ( ) ! x n n x nn nx dx x s x dx nn （4 分） 2 2 0 0 () ( ) ! n x x n x s x dxxxe n ， 22 2 ( )2 xx s xex e（6 分） 四、证明题四、证明题（每小题 6 分，共 12 分） 下： 1、设( ),zxyxF u而,( ) y uF u x 为可导函数，验证. zz xyzxy xy 证明：证明： 2 1 , zyz yF uxFuxxFu xxyx （3分） 因此，( ). zzFF xyxyxF uyxyyzxy xyuu （6分） 2、 证明： 曲面xyza (a0)上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a。 证明：证明：记, ,0F x y zxyza， 则在任一点M（ 000 ,xyz）处的法向量为 000 111 , 222 n xyz M点的切平面方程为 000 000 111 0 xxyyzz xyz （3分） 化为截距式，得 000 1 xyz axayaz 于是，截距和为 000 axyzaaa（6分） 得分 阅卷教师 - 5 - 五、应用题： （五、应用题： （10 分10 分） ） 求底圆半经相等的两个直交圆拄面 222222 xyrxzr及所围几何体的体积及其表面积。 解：解：由对称性知，所求体积V为第一卦限体积 1 V的8倍，即 22 2222 1 00 888 rrx D VVrx