（概率论与数理统计专业论文）集值随机级数的收敛性及集值二阶矩过程.pdf

摘要 本文主要研究了集值随机级数的收敛性及集值二阶矩过程两部分内容 第一部分内容是关于集值随机级数的收敛性首先给出了在d 2 距离意义下的 集值随机级数的均方收敛，几乎处处收敛，以概率收敛的定义，随后研究了这 几种收敛之间的关系，在此基础上我们给出了集值随机级数几乎处处收敛的 充分必要条件一一三级数定理随后我们又讨论了d h 距离意义下的收敛性， 也得到了相应的三级数定理在第二部分中，在他人研究的基础上，我们从另 一个角度讨论了集值二阶矩随机过程的分析性质，即讨论了集值随机过程在 均方意义下的连续性、可积性和可微性等一些分析性质并且讨论了这些性质 之间的关系随后我们讨论了一种重要的二阶矩集值随机过程一一高斯随机 过程，得到了相应的分析性质 关键词：集值随机变量；随机级数；d 2 距离；h a u s d o r f f 距离d h ；均方收敛； 几乎处处收敛；依概率收敛；均方连续性；均方可微性；均方可积性 北京工业大学理学硕士学位论文 a bs t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o ni n c l u d e st w op a r t s t h ef i r s tp a r ti sa b o u tt h ec o n v e r g e n c e s o fs e t - v a l u e ds t o c h a s t i cs e r i e s a tf i r s tw ed e f i n em e a ns q u a r ec o n v e r g e n c e ，a l - m o s te v e r yc o n v e r g e n c ea n dp r o b a b ili t yc o n v e r g e n c eo fs e t - v a l u e ds t o c h a s t i cs e r i e s i nt h es e n s eo ft h em e t r i cd 2a n dd i s c u s st h e i rr e l a t i o n s s e c o n d l yw ei n v e s t i g a t e t h er e l a t i o n sb e t w e e nc o n v e r g e n c e so fs e t v a l u e ds t o c h a s t i cs e r i e s ，t h e i re x p e c t a t i o n s e r i e sa n dv a r i a n c e ss e r i s e s a n dt h e nw eg i v et h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n so fa l m o s te v e r yc o n v e r g e n c ec o n v e r g e n c e so fs e t v a l u e ds t o c h a s t i cs e r i e si n t h es e n s eo ft h em e t r i cd 2 ，t h a ti st h r e e s e r i e st h e o r e m so fs e t v a l u e dr a n d o mv a i l a b l e s f i n a l l yw ed e f i n ec o n v e r g e n c e so fs e t v a l u e ds t o c h a s t i cs e r i e si nt h es e n s e o ft h em e t r i cd ns i m i l a rt ot h a ti nt h es e n s eo fd 2a n dp r o v et h er e l a t e dp r o p e r t i e s a n dt h r e e - s e r i e st h e o r e m s i nt h es e c o n dp a r t ，w es t u d yt h ea n a l y t i cp r o p e r t i e so f s e t - v a l u e ds e c o n d o r d e rs t o c h a s t i cp r o c e s s e ss u c ha sc o n t i n u i t y , i n t e g r a t i o na n dd i f - f e r e n t i a t i o ni nt h es e n s eo fm e a ns q u a r ea n dd i s c u s st h e i rr e l a t i o n sb a s e do nt h e p r e v i o u sw o r k s t h e nw ed i s c u s sak i n do fi m p o r t a n to fs e t v a l u e ds e c o n d o r d e r s t o c h a s t i cp r o c e s s e s _ - _ _ 。g a u s s i a ns e t v a l u e ds t o c h a s t i cp r o c e s s e sa n dg e ti t ss o m e a n a l y s t i cp r o p e r t i e s k e y w o r d s ：s e t v a l u e dr a n d o mv a r i a b l e ；s t o c h a s t i cs e r i e s ；h a u s d o r f fm e t r i cd h ；d 2m e t r i c ；m e a ns q u a r ec o n v e r g e n c e ；a l m o s te v e r yc o v e r g e n c e ；p r o b a b i l i t y c o n v e r g e n c e ；m e a ns q u a r ec o n t i n u o u s ；m e a ns q u a r ei n t e g r a l ；m e a ns q u a r ed i f f e r e n - t i a b l e 一i i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其它 教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 签名：丑垒聋日期：墨叠生皇鱼 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部 或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：盎垒聋导师签名：区：盘鱼日期：2 堡垒受璺 第1 章绪论 第1 章绪论 本文主要有二部分的研究内容，首先研究集值随机级数在d 2 距离和 d 何距离意义下的收敛问题，并得出了相应的集值随机级数收敛的充要条 件一一三级数定理之后研究集值二阶矩过程，讨论均方意义下的一些 分析性质 在阐述本论文的思想和方法之前，首先回顾一下集值随机变量的概 念、随机级数的发展、随机过程的相关结论等 1 1集值随机理论的发展 集值随机变量不是通常的取值为数值，而是取值为1 3 维欧氏空间或 b a n a c h 空间上的集合为值的随机变量，它既描述了客观事物所具有的随 机性，又描述了事物状态的多值性集值随机过程是以b a n a c h 空间的子 集为值的随机过程，它既描述了客观事物发展过程的随机性，又描述了 事物发展过程状态的不确定性因此，研究集值随机过程不仅有理论上 的重要价值，而且对于经济系统、随机控制系统等实现问题也有着重要 意义集值随机过程的研究有着明显的数学背景和实际背景在2 0 世纪 4 0 年代就开始研究的区间分析、概率度量空间以及6 0 年代开始研究的集 值分析都是以不确定的现象为研究对象的。这种不确定性反映出主观上 的宽容性和客观上不可掌握的可变性，特别在经济领域内最为明显二 十世纪中叶，以g d e b r e u 等为代表的一大批经济学家研究了经济中的不 确定性这不仅是经济问题数量化研究的一次重大突破，也为现代概率 的研究提出了新的课题这里的不确定性包括两个方面，即市场经济中 客观上影响经济因素变化的随机性和具有一定资产的投资者投资方式的 多样性这一现象反映到数学上为一般集值随机变量问题由于d e b r e u 北京工、i 乜大学理学硕士学位论文 把这两种不确定性用量化形式描述出来，应用现代数学手段，建立了经 济模型的一般理论，使他在i9 8 3 年获得了诺贝尔经济学奖 继r o b b i n s ( 19 4 4 ，l9 4 5 ) ( 3 5 ，【3 6 ) 及c h o q u e t ( 19 5 5 ) ( 5 ) 的工作之后， k e n d a l l ( 1 9 7 4 ) ( 1 3 】) 和m a t h e r o n ( 1 9 7 5 ) ( 2 4 ) 系统地提出了集值随机变量的 概念( 有的文献上也称作随机闭集) 集值随机变量是一般实值随机变量 或者是随机向量的自然推广但是由于随机闭集空间的拓扑结构及集合 的特殊运算( 参见 3 ) ，集值随机变量又有许多特别的性质值得一提的是 d e b r e u 所提出的相关数学概念与使用的方法( 如【6 】) 和后来的r j a u m a n n 引进的a u m a n n 积分( 参见【2 】) 推动了集值随机变量理论的发展近4 0 多 年来许多数学工作者进行了深入的研究，得到了一批非常精彩的结果例 如，法国学者b v a nc u s t e m ( 3 8 ) 在1 9 6 9 年提出了紧凸集值鞅的概念：日 本的h i a i 与u m e g a k i 在1 9 7 7 ( 11 ) 年给出了一般的集值随机变量的条件期 望的概念；7 0 至9 0 年代法国的n e v e u ( 2 6 ) 、h e s s ( 1 0 ) ，越南的l u u ( 2 3 ) ， 美国的p a p a g e o r g i o u ( 2 9 ) ，l i 与o g u r a ( 16 】) 分别在不同的条件下讨论了集 值鞅、上鞅与下鞅的收敛性西安交通大学的张文修教授、华东师大的 汪荣明教授分别在一般集值随机过程的表示定理与集值平稳过程的研究 中得到精彩的结果美国的t a y l o r 与日本的l n o u e 等人研究了集值随机变 量序列的大数定律与中心极限定理( 【3 7 ) 1 2 集值随机变量的距离空间及集值随机级数的发展现状 在本文中我们始终假设( q ，么，p ) 是完备的概率空间，则是d 维欧氏 空间，其上通常范数记为j i i i ，k ( i r d ) 是r d 的所有非空闭子集的全体， k k 。( r d ) 是r d 的所有非空紧凸子集的全体当d = 1 时，我们用r 代替酞1 首先，我们给出集值随机变量的数学描述： 2 第1 章绪 论 定义1 2 1 集值映射x ：q _ k ( r d ) 称为可测的，如果对掣的每一个 开子集o ，x - 1 ( o ) = u q ：x ) no 0 ) a 可测的集值映射也称 为集值随机变量或者随机集记所有集值随机变量的全体为搿f q ，k i r d ) 】， 紧凸集值随机变量的全体记为“ q ，k k 。( r d ) 】 接下来，我们对集合定义以下两种运算： 设a ，b 是r d 的两个非空子集，分别定义加法和数乘为 a + b = a + b ：a a ，b b ) ， 入a = 入口：a a ) ，久毫 定义1 2 2 设a ，b k 知( 掣) ，定义a 和b 的h a u s d o r f r 距离为： “( a ，b ) = m a x s 刚u p i n f1 1 n 一i is b 创u pi n 三i i 。“t l ， 在【1 9 】中给出了h a u s d o r f f 距离的等价定义： d 月( a ，b ) = m a x i n f a ：bce r ( a ，入) ，i n f a ：acd ( b ，入) ) ， ( 1 2 1 ) 其中0 ( a ，a ) = z ：d ( x ，a ) a ) 更多的关于h a u s d o r f r 距离的性质，读者 可参见 1 9 】，【3 4 定理1 2 3 ( 参见 1 9 ) ( k k 。( r d ) ，d h ) 是一完备可分的度量空间 在y a n g 和l i 的论文 3 9 】中定义了k k 。( r d ) 上的d p 距离： 岛( a ，b ) = l s ( z ，4 ) 一s ( z ，b ) l p d z 1 p ，1 p 0 由文献【2 0 】可知，可以对集值随机变量定义( ，) ：( c ；。【q ，k k 。( r d ) 】，d 2 ) ( c ：【q ，k 七。( 酞d ) 】，l = f 2 ) 一r ， ( x ，y ) = s ( z ，x ) s ( z ，y ) d x - ，s 其中c ；。【q ，k 七。( r d ) 】= x “【q ，k k 。( 瓞d ) 】：e 1 l xl l , ：】 0 ，3 0 6 1 1 ，当d 2 ( x ，x o ) 函，d 2 ( y , y o ) 以时， 由c a u c h y - s c h w a r t z 不等式得 ( x ，y ) 一( ，k ) l 未1 s ( z ，x ) s ( z ，y ) 一s ( z ，x o ) s ( z ，y o ) d x i l _ s ( z ，x ) s ( z ，y ) 一s ( z ，v o ) d x l + l7s ( z ，x ) 【s ( z ，y o ) 一s ( z ，x o ) d x l i ss 2 ( 硝) 训堆( z i s ( 刈) 叫z ，v o ) 1 2 m + 吆5 2 ( z ，y o ) d x l v 2 ( s 如，x ) 叫( z ，x o ) 1 2 圳2 = l i xl l d ：d 2 ( y ，虼) + l l y 0 l i d ：d 2 ( x ，x o ) 又因为l i x l l d 。d 2 ( x ，x o ) + i i x o l l d ：6 1 + l i x o l l d ：1 + l i x o l ld 2 ， 故取6 = m i n , h ，e ( 1 + j j 弱j j 如+ i i v o l l , , 。) ) ，则当d 2 ( x ，x o ) 正d 2 ( y y o ) 6 时，有l ( x ，y ) 一( ，v o ) i 证毕 定义1 2 6 设f 是一集值随机变量，定义f 的期望为 即】= 上脚：，踯) j 5 一 北京工业大学理学硕士学位论文 其中上2 f d # 是c 1 【q ，酞d 】中通常意义下的b o c h n e r 积分，c 1 q ，r 打】表示所有 可积的豫d - 值随机变量的全体，且s f = 厂c 1 【q ，r j 】：f ( w ) f ( u ) ，o e ) ， 这种积分也称为是a u m a n n 积分( 参见【2 】) 关于集值随机变量的期望的性 质的讨论参见【1 1 】和 1 9 定义1 2 7 设x 是一集值随机变量，x 在d 2 距离意义下的方差定义 为 v a r ( x ) = e a ；( x ，e x ) 由d 2 距离的定义可知： ， v a r ( x ) = e l s ( z ，x ) 一s ( z ，e x ) 1 2 d x = e ( x ，x ) 一( e x ，e x ) ，s 而x 在r z 距离意义下的方差定义为( 参见【2 7 ) ， v a r a x = z ( d ( x ，e x ) ) 2 集值随机理论应用非常广泛，如媒体、映象、数据处理、人工智能、 决策和控制等从应用的角度看，集值随机变量是特殊类型分析的随机 模型，例如肿瘤增长现象( 【4 】，【2 5 ) 从数学的角度看，随机集理论研究的 一个重要方面就是集值随机变量序列的极限理论，如强大数定律、中心 极限定理、鞅收敛定理等( 1 】，【9 】，【1 1 - 【1 8 】，【2 7 ， 4 3 】) 但是随机级数的相 关文章比较少 为什么要研究集值随机级数呢? 我们都知道离散的随机控制系统都 可以描述微一个随机级数 y ( 竹) = x ( n 一尼，u ( mn = 0 ，1 州2 一， 七；一。o 其中，u ( 乐) 被称为一个策略或者取值于c ，的某个子集u ( k ) 的控制通常u 是一个给定的策略集如果我们令f ( n k ) = x ( n 一后，乱( 尼) ) ：u ( 尼) u ( 七) ) ， 6 第1 章绪论 则 y ( ，。) = f ( n 一尼) ，佗= 0 1 2 ， 凫= 一o o 是一个集值随机级数考虑集值模型的另一个原因是在实际中精确的数 据信息是不知道的，有时候我们只能获得不精确数据，例如包含真实值 的区间数据再者从数学的角度我们应该考虑经典随机级数的拓展的相 关理论，例如超空间( 集值的情况) ，上半连续函数空间( 模糊集值的情况) 等 在 2 2 】中l y a s h e n k o 介绍了集值随机级数的相关概念在【2 7 】中 m o l c h a n o v 给出了在幽距离意义下的三级数定理的证明框架，这一课 题有必要进行更深入的研究 1 3 集值二阶矩过程的分析性质 随机过程已广泛应用于许多领域中，如物理、生物、社会科学( 管理、 经济) 以及工程科学技术中，并且在这些领域中显示出十分重要的作用 研究随机过程有两种重要的途径一条途径侧重于研究概率结构，如对 马尔可夫过程的研究另一条途径则侧重于分析性质的研究，如研究随 机过程的可分性、连续性、可微性、可积性等本文就是从后一种途径 进行研究的 定义1 3 1 设t 是一个指标集，随机过程_ x ( t ) ，t t ) ，若对每个 t t ，x ( t ) 的均值和方差都存在，则称 x ( t ) ，t 丁) 为二阶矩过程 连续性、导数和积分的基础是极限的概念，在随机分析中也是一样 为了研究二阶矩过程的连续性、导数和积分，也必须定义随机变量序列 的极限随机变量序列的极限有许多种定义方法，本文讨论均方极限， 因此后面的讨论实际上是研究二阶矩过程在均方意义下的分析性质 7 一 北京工业大学理学硕士学位论文 定义1 3 2 设随机变量序列( k n = 1 ，2 ，- ) 的二阶矩存在，即 e i i x n i l 2 ，几= 1 ，2 ，；又设随机变量x ，它的二阶矩存在，即z l l x l l 2 o o 如果 l i me 1 l x n x l l 2 】= 0 ， n + o o 则称序列 x n ) 均方收敛于x ，或序列 x 。) 的均方极限为x ，记作l i m = x 定义1 3 3 设有二阶矩过程 x ( 亡) ，t 丁) ，在每一个t 点，一 t + o 。， 有 | l l i m 。e i i x ( t + h ) 一x ( t ) 1 1 2 = 0 ， 即x ( 艺) 2 溉x ( t + 九) ，则称x ( ) 在任意一个点t 是均方意义下连续的， 或称x ( t ) 是均方意义下连续的随机过程，或称该二阶矩过程具有均方连 续性 定义1 3 4 设 x ( 亡) ，t t ) 是二阶矩过程，考虑t = 【a ，b 】的一组分 点： n = t o t 1 t 。= b ， 7 1 n i 2 1 m ：a x 札( t k t k 一1 ) 作和式， 鼠= x ( t ：) ( 亡七一芒惫- ) ， k = 1 其中t ： t k 一，七】若当1 7 r 。l 叫0 时，& 均方收敛，则称x ( t ) 在 a ，b 】上 ( r i e m a n n ) 均方可积，其极限记为 z 6 刖出 称为x ( t ) 在 a ，6 】上的( r i e m a n n ) 积分 8 一 第l 章绪论 定义1 3 5 二阶矩随机过程 x ( 亡) ，f 丁) 称为在t o t 均方可微，如 果 l i m 韭旦掣二鲨旦2 一0 h 存在此极限记作x 7 ( t ) 或a x _ _ k 出e 尘，称为x ( t ) 在t o 处的均方导数或均方微 商 定义1 3 6 设芏为b a n a c h 空间一个取值于芏的过程 x ，丁) 是 以t 为指标的取值于戈的一族b o r e l 随机变量 x ，t t ) x c ，t 7 ) 称 为( 零均值) g a u s s 的，若每个有限样本( x t l ，x 。) ，t i t 为b 中的( 零 均值) g a u s s 元 随机变量的均值和方差对研究统计性质有着重要的作用，因此对于 集值二阶矩随机过程的研究是有必要的在【3 9 中，y a n g 和l i 详细讨论 了由相关函数所表征的二阶矩随机过程的均方连续性，均方可微性和均 方可积性那我们能不能给出这些性质之间的关系呢? 这就是本文要解 决的第二个问题我们从另一个方面讨论均方意义下的连续性，可微性 和可积性，并且得到了它们之间的联系 1 4本文研究的内容及论文结构 本篇文章主要由三章组成，其中第一章是绪论部分，属于准备工作， 。介绍了有关集值随机变量的基本概念，集值随机级数的发展情况，集值 二阶矩过程的分析性质的有关概念及结论第二章和第三章是本文的主 要结果部分下面分节综述每章的研究内容 第二章研究的是集值随机级数的收敛，首先讨论集值随机级数在d 2 距离意义下的收敛情况，并得到值随机级数在d 2 距离意义下收敛的充要 条件一三级数定理接着讨论了集值随机级数在d h 距离意义下的收敛 一9 北京 业大学理学硕士学位论文 性，得到了集值随机级数在d 2 距离意义下收敛的充要条件我们的结论 包含了m o l c h a n o v s 【2 7 a n dl y a s h e n k o s 2 2 的结论，但我们用了不同的方 法在这里我们必须注意集值随机级数的研究方法是不同于实值的情况 的，因为集值空间是一个非线性空间，我们研究问题不能用线性空i n 】的 方法 第三章主要是研究了二阶矩集值随机过程的黎曼型积分、微分的一 些简单性质主要得出了可积的两个充分条件以及变上限积分的可微性， 相应的n e w t o n l e i b n i z 公式，还讨论了高斯集值随机过程的有关性质 1 0 一 第2 章集值随机级数的收敛性 第2 章集值随机级数的收敛性 随机级数作为极限理论的一部分内容有着重要的作用而实际中精 确的数据信息往往是不知道的，有时候我们只能获得不精确的数据，如包 含真实值的区间数据这样我们有必要对集值随机级数进行研究，而与 实值不同的是集值空间是非线性的，因此要另辟其径来研究这个问题 这就是我们这一章要讨论的 2 1 集值随机级数在d ：距离意义下的收敛性 设( x ：i 1 ) 为c ；m ，k k 。( 则) 】中的集值随机变量序列，简记为( x ) 若盯( x ) ，i 1 是相互独立的，则称( x i ) 是独立的集值随机变量序列，其 中盯( 五) 是由x 产生的盯一域，集值随机变量x 关于仃( k ) 是可测的 称k = x 1 + x 2 + 为集值随机级数该级数的前m 项和记为， i = 1 即s m = 咒 i = 1 定义2 1 1 如果e 递( ，s ) 一o ( m _ ) ，则称x 关于d 2 均方收敛 i = 1 到s ，记为km s ( d 2 ) 收敛到s 扛：1 若如( ，s ) 。尘o ( m o ) ，则称墨冠关于d 2 几乎处处( 依概率) 收 敛到s ，简记为a 8 ( d 2 ) ( p r ( d 2 ) ) 收敛到s 现在我们讨论随机级数关于如均方收敛的充要条件 定理2 1 2 设( x ) 是一列独立的集值随机变量序列，则咒m 8 ( d 2 ) i = 1 o o 收敛到s c ；：p ，k k 。( 掣) 的充分必要条件是e x 关于d 2 收敛到e s ， z = 1 o o v a r x i 收敛到v a t s 北京工业大学理学硕士学位论文 有 o o 证明n i i e g , 要性，由条件x im 8 ( d 2 ) 收敛到s c ； q ，k k 。( 肽d ) 】且 i = 1 d 2 2 i 乜- ) ，。e s ) e d ；( s r , ，s ) _ 0 ， _ ( 2 1 1 ) 。 由此可得e x 。关于r f 2 收敛到e s 从而易得l i e , 5 ，。l i d ：有界又因 i = 1 i v a t ( 晶) 一v m ( s ) i = l e ( s m ，晶。) 一( e 晶。，e 晶。) 一e ( s s ) + ( e s ，e s ) f e ( ，品) 一2 e ( ，s ) + e s ，s ) + i ( e s m ，e ) 一2 ( e s m ，e s ) + ( e s ，e s ) + 2 1 e ，s ) 一e 3 a + b ) p ( m j t xi i 砖l l d ： b ) + ( p ( m a xl i s j l l d 。 d ) ) 2 ，j ，、 证明令r = i n f j m ，l l 岛i l d ： n ) 由定义可得 7 - = j ) 盯( x ”，) ， 且 丁= 1 1 ， 丁= m ) 是互不相交的，( 观衅i l 岛恢 o ) = u 7 = 歹) 7 m ；一1 在 7 = i ) 上，若j 3 a + b ) 1 m 尸( 7 i = i ，m j 6 ) 十尸( 丁= i ) 尸( i m 3 a4 - b ) ，、r r l = g ( m a xi i s ，l i d ： n ，搿蚓l f 2 3 0 , + b ) p ( m a xi i s , i i d 。 q ，搿恻i d 。 “) 或( i 舯i i a xi i s ，i l d 2 mm 脚a x 。l l x ，l l d 。 f ) ) ) j r ( m a y 。蚓l d ： o ) 1 2 + p ( u r = 吨搿慨l l d 2 6 )j ，j ) ， p ( m ： q ) 】2 尸( 架豁l l 砀【l d 2 6 ) _ a d x m i l s jl i d 4 - ：l l f t 证毕 引理2 1 4 设( k ) 是一列独立集值随机变量序列，随机集s j = x i ，7 = 1 ，2 ，则存在正常数c 1 ( p ，m ) 和( q ( p ) ) ，( 0 4 t ) sp ( m 2 xl i x | | f l 。 t ) 4 - ( p ( f t ) ) 2 ： ， 于是 ，0 0 e ( p ) = 一t v d ( 1 一f ( ) ) o 2 上眯 t ) d 矿2z 尸( p 4 d d ( 4 p ( 4 c ) p + 4 v z p ( m ) d t v + 4 v , c ( 尸 州呼p ，f y l 4 0 0 ( 4 c ) p + 4 p e ( n 罂i i 玛i 噶：) + 4 v 尸( f c ) e ( p ) ， ， 一 其中取c 使得4 p p ( c ) 1 2 ，故从上式中可推得 e ( p ) 2 ( 4 c ) p - + - 2 4 v e ( 眇xi l 玛i i p ) m l4 第2 章集值随机级数的收敛性 令c 1 ：a2 ( 4 c ) p q 全2 4 v 即得( 2 1 2 ) 证毕 注若s u pl i s 川d 。 引理2 1 5 设( x i ) 是一列独立的集值随机变量序列，随机集岛= = 1 ，2 ，若s u pi i s ji i d 2 。a 8 ，则 j 2 1 当e ( s u pl i 码慨) o o ，其中0 p o 。 1 ，1 证明必要性只须证i l x ，旧。 2 vs u p j 2 1 e ( 翟? l i s i i 乏) 当且仅 ：因当1sp 时有 i lj _ i i ：( i l 岛l i d ：+ l | 岛一i i d ：) p 2 p _ ( 1 l s j l l ：= + l l s j 一，i l ：) 扩s j u p ，l l 岛一i 巴 当0 p l p ll i 码嵫) 2 p e ( s j u p ，i i s jl l ：。) o o 充分性因s u pl i 岛忆 1 o o e x 关于d 2 收敛且v a r x i 收敛 i = 1i = 1 = x i 且s = i = 1 因d 2 ( s m ，s ) 兰0 ，m 一， d 2 o 。a 8 又因s u pl l x t 恢c ， i 1 五嵫) 汐 0 0 由引理2 1 5 可得e ( s u pl i 嵫) 1 0 0 0 即e 咒关于d 2 收敛 i = 1 x ， x 汹 霉 故 _m 如 s 骂 如品 则 北京工业大学理学硕士学位论文 因( s 竹，) = l i s m 喙s u l ) i i 品慨又e ( s u pl i s m 嗑) o o ，且由引 ，n ，l仇，l 理1 2 5 可知( ，) 是连续的，故由控制收敛定理可得 l i ms ( s 。，s 。) = e c ) 其中a ，b ，c 是正常数 证明对于每一个n = 1 ，2 ，m ，定义 a n = u ：，：曼等二，i i & l l d ：sb + c ，i i & l i d z 6 + c ) ； g = u ：d 2 ( s m ，& ) 6 ) r n 这样a 仃( x ：i 忍) ，且g = “：l i 咒i l d 2 ) 仃( x ：n + l i 7 n ) ，显 然人1 一，人m 是互不相交的，人。与g 是独立的，佗= 1 ，2 ，m 因i i s md 。 i l & f f d 2 一如( ，最) ，即有1 1 5 k 6 + r b = c 所以有u ( a nng ) ( i i & i l d 2 c ) ，故 m 1 m 尸( 坳m a s x mi l s l l d 2 6 + c ) - p ( u ，a ”) 2 主尸( 人nn g ) 1 m 1 =三p(u(hnnoo)p(ii&,iid。c)aa l6 第2 章集值随机级数的收敛性 证毕 接下来我们给出d 2 距离意义下几乎处处收敛与依概率收敛之间的关 系 o o 弓i 理2 1 8 设( x ) 是一列独立的集值随机变量，则x ，r ，s ( d 2 ) 收敛 i = 1 o o 的充分必要条件是k ( d 2 ) 收敛 1 = 1 o o 证明必要性显然下证充分性假设x 以概率收敛，则对比 i = 1 0 ，6 0 ，| 札，使得当几他时，对v m ，1 都有p ( d 2 ( 鼠+ 仇，& ) ) ) = (2。),lim l i ml i m 2 e k 013 e 一n _ 呻o 。m o o l l 气 l 在引理2 1 7 中取b = c = e ，o = 1 6 ，这样就有 p ( 水m 。a 2 ) 击尸( d 2 ( r + m ，& ) ) ) 南， 于是有 p ( 。u 一，d 2 ( s n + m ，晶) 2 e ) 2l 骢p ( 恶焉d 2 ( & & ) 2 ) 2 s k ) n ) ； i = 1 o o， ( 2 ) e 趔叫； i = 1 ( 3 ) 0 0v a r x ：q ) ； i = 1 其中碰d ( u ) = ，川x ，i i 。) 义：( u ) 18 第2 章集值随机级数的收敛性 证明充分性对某个a ( 0 ) ，三个级数收敛，则由定理2 1 2 可 得曼碰) 仇s ( d 2 ) 收敛，从而由定理2 1 9 的( 1 ) 可知曼趔。) n s ( d 2 ) 收 i = 1，= 1 敛因为e p ( x , 。1 ) ：量p ( 1 l x , i i d 2 。) a ，i o ) = 0 ，因此由( b o r e l0 - 1 律) 可得p ( 1 l x , l l a ： a ) i = 1 ( z ) 时，有i s ( z ，s 。) 一s ( z ，& ) i j ，& ) 一s ( ，马) 由s ( z ，k ) a 8 收敛且i i 岛o - s 有界，可得如( & ，) _ 0 ，由定理 t = 1 o 。 1 2 3 可得xa 8 收敛证毕 引理2 2 3 设( x t ) 是c ；h 【q ，k c 。( r d ) 】中的独立的集值随机变量序列， 若e x i 和v a t x 。收敛且i l 。i l ka 8 有界，则x ia 8 收敛 2 0 第2 章集值随机级数的收敛性 证明因 0 0 y 。r a ( x ) = i = 1t = 1 e ( 2 备( x i e x i ) 善e ( 渺( x , x i h 驯) 2 由v a r a x 口8 收敛可得v a r a x o 。故v a r s ( x ，x ) 1 x 嵫) 矿 。= l i l s m = l e d 白( s e 。) m 一， m o o ，n _ o 。 i = 1 = e d s ( s ，e s ) = v a r a s 证毕 下面我们给出随机级数关于d 几乎处处收敛的充要条件的三级数 定理 定理2 2 5 设( x ) 是独立的集值随机变量序列，对于给定的常数心定 义x ：。 ) = x 。( w ) i u l x i ) 1 1 k 曼。) ，则集值随机级数x i ( l s ( d h ) 收敛当且 仅当对于一个给定的常数a ( 0 ，) ，下面的三级数同时收敛： ( 1 ) p ( i i x , i i k a ) ； t = 1 ( 2 ) e x f ； ( 3 ) 量v a r a 碰刚，且( | f 苎碰。恢n s ) 有界 证明充分性因量e 碰o - ，曼y a r a 碰。收敛，且( 1 i 苎碰。忆n s ) 有界 由引理2 2 3 可得碰。)