（应用数学专业论文）不确定时滞系统的随机稳定性研究及控制器设计.pdf

j ， c l a s s i f i e di n d e x ：0 2 31 u d c ：6 2 1 3 剐j j j j j 删洲删脚删l j | | f y 17 14 6 01 d i s s e r t a t i o nf o rt h em a s t e r d e g r e ei ns c i e n c e s t u d yf o rs t o c h a s t i c s t a b i l i z a t i o no fs y s t e m sw i t h t i m ed e l a y sa n dc o n t r o l l e r d e s i g n c a n d i d a t e ： s u p e r v i s o r ： a c a d e m i cd e g r e ea p p l i e df o r ： s p e c i a l i t y ： d a t eo fs u b m i s s i o n ： d a t eo f0 r a ie x a m i n a t i o n ： u n i v e r s i t y ： h eh a i k u o p r o f q i uj i q i n g m a s t e ro fs c i e n c e a p p l i e dm a t h e m a t i c s n o v e m b e r ，2 0 0 9 d e c e m b e r ，2 0 0 9 h e b e iu n i v e r s i t yo fs c i e n c ea n d t e c h n o l o g y ，c ；可：l l s 科技大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工 作所取得的成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方 式标明。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发 表或撰写过的作品或成果。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：j 习资胡 指剥雠：耐隆 多p 哆年) 2 、月万日2 一歹年1 2 月歹日 ；可：i l s 科技大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本 人授权河北科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 口保密，在一年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 叨保密。 ( 请在以上方框内打“ ) 学位论文作者签名彳蜀渴；刁 矿罗年，乙月z 日 指剥雠：鲥隆 p 哆年7 z 月7 日 摘要 摘要 不确定随机时滞系统一直以来是国际上热门的研究领域之一，是因为在实际问 题中，大多数的控制系统总会不可避免地遇到各种不确定性的影响，包括系统自身 的不确定性和外部干扰带来的不确定性：同时时滞现象和随机现象广泛存在于通讯 系统、生物系统、化工系统和电力系统等各种实际应用的系统之中，时滞的存在常 常使系统不稳定或产生不良性能。因此，对于不确定随机时滞系统的研究具有较强 的理论和实用价值。本文主要从时域角度，利用稳定性理论、随机分析理论和线性 矩阵不等式理论，我们研究几种不确定随机时滞系统的鲁棒稳定性及其控制器设计 方法。 本文主要开展了以下研究工作： 研究了一类具有分布时滞的随机中立系统的鲁棒稳性问题。通过选择适当的 l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函，结合一些处理方法，基于线性矩阵不等式方法给出了一 个时滞相关的条件，保证所得到的时滞相关稳定性条件能保证闭环系统是渐进稳定 的并且满足巩性能指标，同时给出了相应的状态反馈控制器。最后用数值算例验证 了结论的可行性和有效性。 研究了一类带有模态相关时滞的随机跳变系统的控制器设计问题。构造出一种 l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函，结合牛顿莱布尼茨公式和自由权矩阵的方法，得到一个 新的时滞相关的稳定性条件。通过利用稳定性条件，运用整体代换的思想，得到了 相应的状态反馈控制器。所得结果保守性较小，以线性矩阵不等式给出，便于利用 m a t l a b 线性矩阵不等式工具箱进行系统仿真。最后用数值算例说明了所得方法的可 行性。 研究了带有噪声扰动的随机递归神经网络系统的稳定性问题。该神经网络系统 是带有马尔科夫跳变的，并且时滞是模态相关的。根据l y a p u n o v 稳定性理论、随机 分析理论和线性不等式技术，构造出- y l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函，得到的时滞相关的 稳定性条件保证了系统是鲁棒渐进稳定的，同时还可以满足厶增益的条件。最后数 值算例说明了该文方法的有效性。 关键词随机系统；时滞；l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函；鲁棒随机稳定性；线性矩阵 不等式；玑控制；厶增益 、 - 河北科技大学硕士学位论文 “a b s t r a c t u n c e r t a i ns t o c h a s t i cs y s t e m sw i t ht i m ed e l a y sh a v el o n gb e e na so n eo ft h eh o t r e s e a r c h e s i n t e r n a t i o n a l l y ，b e c a u s ei np r a c t i c a l 7p r o b l e m s ，m o s to ft h e c o n t r o ls y s t e m a l w a y si n e v i t a b l y e n c o u n t e ra l lk i n d so fu n c e r t a i n t i e s ，i n c l u d i n gt h e s y s t e m so w n u n c e r t a i n t ya n dt h eu n c e r t a i n t yc a u s e db ye x t e r n a ld i s t u r b a n c e s ；a tt h es a m et i m e ，t i m e d e l a y se x i s ti np r a c t i c a ls y s t e m s ，s u c ha sc o m m u n i c a t i o ns y s t e m s ，b i o l o g i c a ls y s t e m s ， c h e m i c a ls y s t e m sa n de l e c t r i c a ln e t w o r k sb i o l o g i c a ls y s t e m s i na d d i t i o n ，t h et i m ed e l s o f t e nm a k es y s t e mu n s t a b l e ，a n db r i n gn e g a t i v ep e r f o r m a n c e t h e r e f o r e ，t h es t u d yo f u n c e r t a i ns t o c h a s t i cs y s t e m s 、析n lt i m ed e l a y sh a si m p o r t a n tt h e o r e t i c a la n dp r a c t i c a l s i g n i f i c a n c e i nt h i sp a p e r , b a s e do ns t a b i l i t yt h e o r y ，s t o c h a s t i ca n a l y s i st h e o r ya n dl i n e a r m a t r i xi n e q u a l i t i e st e c h n i q u e s ，w em a i n l yi n v e s t i g a t er o b u s ts t a b i l i t y ，c o n t r o l l e rd e s i g n m e t h o d so fs e v e r a lo fu n c e r t a i ns t o c h a s t i cs y s t e m s 、j ，i t ht i m ed e l a y sf r o mt h ev i e wo f t i m e d o m a i n t h eo r g a n i z a t i o no ft h i sd i s s e r t a t i o ni sa sf o l l o w s ： i nc h a p t e rt w o ，r o b u s ts t a b i l i z a t i o no fs t o c h a s t i cn e t u r a ls y s t e m sw i t hd i s t r i b u t e d d e l a y si sd i s c u s s e d b a s e do nc h o o s i n ga na p p r o p r i a t el y a p u n o v - k r a s o v s k i if u n c t i o n a l a n df o l l o w i n gs o m eu s e f u la p p r a o c h e s ，w ec a ng e tt h ed e l a y d e p e n d e n tc o n d i t i o nt o g u a r a n t e et h a tc l o s e d - l o o ps y s t e m 、析t ht i m ed e l a y si sr o b u s t l ya s y m p t o t i c a l l ys t a b l ea n d s a t i s f i e sap r e s c r i b e d h 。p e r f o r m a n c el e v e l ，w h i c h i si nt e r m so fl i n e a rm a t r i x i n e q u a l i t i e s ( l m i ) a tt h es a m et i m e ，w eo b t a i nc o r r e s p o n d i n gs t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e r a n u m e r i c a le x a m p l ei sg i v e nt oi l l u s t r a t et h ef e a s i b i l i t ya n de f f e c t i v e n e s so ft h ed e v e l o p e d t e c h n i q u e i nc h a p t e rt h r e e ，w ef o c u so nd e s i g n i n gc o n t r o l l e r s f o rs t o c h a s t i cs y s t e m sw i t h m a r k o v a i nj u m p i n g p a r a m e t e r s a n d m o d e d e p e n d e n td e l a y b yc o n s t r u c t i n g a l y a p u n o v - k r a s o v s k i if u n c t i o n a l ，m a k i n g u s eo ft h ef r e ew e i g h i n gm a t r i xl i n e sa n d l e i b i n n e w t o nf o r m u l a , an e wd e l a y d e p e n d e n ts t a b l ec o n d i t i o ni so b t a i n n e d b a s e do n s t a b l ec o n d i t i o n ，w eg e tc o r r e s p o n d i n gs t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e ra c c o r d i n gt ot h ei d e ao f o v e r a l ls u b s t i t u t i o n t h eo b t a i n n e dr e s u l t sa r el e s sc o n s e r v a t i v ea n da r ed e s c r i b e di nt e r m s o fl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e sw h i c hc a nb es o l v e dn u m e r i c a l l yu s i n gm a t l a bc o n t r o l t o o b o x n u m e r i c a le x a m p l e sa r ei l l u s t r a t e dt h ef e a s i b i l i t yo ft h eo b t a i n n e dr e s u l t s i nc h a p t e rf o u r , t h ep r o b l e mo ft h er o b u s ts t a b l ef o rs t o c h a s t i cr e c u r r e n t n e u r a l n e t w o r k ss y s t e m sw i t hm u l t i p l i c a t i v en o i s ei sr e s e a r c h e d a tt h es a m et i m e ，t h es y s t e m s h a v em a r k o v a i nj u m p i n gp a r a m e t e r sa n dt i m ed e l a y sa r em o d e d e p e n d e n t v i at h e i l ，a p p l k 痂n 哆枷删蜘也泽 妣q 唧i t yt e 咖婚秘“c o n s t n m 莳- f f辫v 捌删f i t n e t i t y a a t a d e l a y d e p e n d e 砒姗d 弘n ，、痔m 幽扣嬲啪t i m y s t e m s a r cr o b u s t l y 猫两枷b 翻l y s t a b l ea n ds a t i s f i e sap r e s c r i b e d 厶g a i nl e v e l an u m e r i c a le x a m p l ei sp r e s e n t e dt o i l l u s t r a t et h ee f f e ；t i v e n e z so ft h ep r o p o s e dm e t h o d k e yw o r d ss t o c h a s t i cs y s t e m s ；t i m ed e l a y ；l y a p u n o v k r a s o v s k i i 触i o n a l ；r o b u s t s t o c h a s t i cs t a b i l i t y ；l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s ；也c o n t r o l ；厶g a i n i i i 目录 目录 摘要- ”g oo0 i a b s t r a c t ? ? i i 第1 章绪论1 1 1 研究的目的和意义1 1 2 时滞系统研究现状：2 1 3 随机系统研究现状，4 1 4 线性矩阵不等式( l m i s ) 概述：6 1 5 本文用到的主要引理7 1 6 本文用到的符号和缩写0 000 0 0 8 1 7 本文主要研究内容8 第2 章随机中立系统的鲁棒稳定性分析和风控制9 2 1问题的描述_ 9 2 2 主要结论11 2 3 数值仿真1 9 2 4 本章小结1 9 第3 章模态相关时滞的随机跳变系统的控制器设计2 0 3 1问题的描述2 0 3 2 主要结论2 2 3 3 数值仿真2 7 3 4 本章小结2 9 第4 章有噪声扰动的随机神经网络的稳定性分析3 0 4 1问题的描述3 0 4 2 主要结论3 2 4 3 数值仿真3 9 4 4 本章小结4 0 结论4 1 参考文献“4 2 攻读硕士学位期间所发表的论文4 7 蜀c 射4 8 i v 1 1研 确定 便于分析 管理等领 论研究和 技术的飞 到实际存 随机误差 度要求就必须充分考虑随机因素对系统的影响。显然简单化的确定性系统模型满足 不了这种要求，那么我们就必须用随机模型来描述系统，然后用随机的观点和随机 分析理论来分析、解决实际问题。 。 稳定性是系统的一个基本的结构特性。稳定性问题是控制理论研究的一个重要 课题，所以在对随机时滞系统进行分析与综合的时候，稳定性也是首先要考虑的。 随机系统的稳定性主要包括三种，即概率意义下的稳定性、均方稳定性和几乎确定 稳定性。均方意义下的稳定性是考虑最多的，它符合工程的实际应用意义，作为工 程设计中主要的性能目标之一。如果随机系统中存在时滞，那么时滞可能会导致系 统的性能降低，也可能造成系统变得不稳定，也可能使得设计的控制器失效，所以 我们对于随机时滞系统的稳定性及其控制器的设计的研究具有一定的理论价值和实 际应用意义。在讨论随机时滞系统的分析和综合的时候，不但要运用随机微分方程 的基本理论，而且还要涉及到泛函微分方程的基本理论、微分积分不等式理论、随 机控制理论、随机分析理论和最优控制理论等许多的知识。 从近些年来控制理论的发展和应用的过程来看，大多数研究成果集中在确定性 系统方面，而且主要是时滞确定性系统，较少涉及随机时滞系统。在时滞确定性系 统的研究上取得了一些很好的方法，例如向量不等式的方法、自e h 权矩阵的方法、 牛顿莱布尼兹公式方法等。这些方法广泛地应用在稳定性分析、鲁棒控制、保成本 控制、滤波器设计、日出控制、容错控制、网络化控制、混沌系统以及奇异系统控制 中，用于得到时滞相关的且保守性较小的结果。研究时滞确定性系统使用的主要工 具就是线性矩阵不等式方法( l m i ) ，用该方法在解l m i 时，不需要预先调整任何参数 和正定对称矩阵，这很好地弥补r i c c a t i 方程方法的不足。目前关于不确定随机对滞 系统的文献【1 s l 大多集中于用l m i 的方法来考虑状态是单时滞的情况，往往却忽略 河北科技大学硕士学位论文 了状态和控制输入多时滞情况的研究；同时对于单性能以及多性能约束下控制问题 的研究也还没有广泛的开展。事实上，确定性时滞系统是随机时滞系统的一个特例， 它是没有随机项的随机时滞系统。可见，对于确定性时滞系统的各种方法和理论都 可以运用随机分析理论推广到随机时滞系统中。然而，现有文献大多数是就最基本 的随机时滞系统模型进行的分析和综合，对于带有分布时滞的随机中立系统、模态 相关的随机跳变系统和带有噪声扰动的随机跳变神经网络系统的研究还比较很少。 本文中，我们将利用确定性时滞系统一些好的方法，结合随机分析理论和线性矩阵 不等式理论来研究上述的问题。 1 2 时滞系统研究现状 、 在一些物理和生物现象中，现在的状态变化率依赖于过去的状态，系统的这 种特性称之为时滞，而具有时滞的系统称之为时滞系统。变量的测量、物质及信 号的传递等因素的存在，使得时滞现象广泛存在于机械传动系统、流体传输系统、 冶金工业系统以及网络控制系统等各种实际系统之中。时滞微分方程的一般形式可 以表示为： 文o ) = f ( t ，工p ) ，x ( t 一) ，x ( t 一) ) 这里x ( t ) r ”表示系统状态，毛，o 表示系统状态的时滞，系统在初始时刻t 。的初 始状态为： x ( r ) = 妒( ，)f 1 0 f ，t o 其中f = m a x 2 i ，1 ，m ) ，妒( f ) 为卜f ，o 上的连续函数。 时滞的存在往往可以使系统的性能指标下降，甚至可以导致系统的不稳定。因 此，时滞系统的控制一直作为控制理论应用的一个重要分支，对于时滞系统的研究 具有较强的理论和实践意义。近年来，一些学者利用l y a p u n o v 稳定性理论和线性矩 阵不等式等方法，在时滞系统稳定性方面取得了较大的进步，发表了大量的论文 6 - 1 h ， 出版了多本著作1 1 2 1 3 。采用不同的l y a p u n o v 能, 量函数就可以得到不同的稳定性结论， 而且在运算过程中，通过采取不同的不等式放缩和处理技巧来保证系统的保守性较 小。但是对于时滞系统的研究方兴未艾，仍然是国际上热门的研究领域。直至目前， 该领域的理论研究中仍有许多问题尚未完全解决，还有待于进一步的研究。 稳定性是一个系统首要考虑的因素之一，那么根据时滞系统稳定性条件是否依 赖系统中时滞的大小，可以将稳定性条件分为时滞无关和时滞相关两类： 1 ) 时滞无关的稳定性条件：在该条件下，没有必要知道系统时滞的信息，对所 有的时滞h 0 ，系统是渐近稳定的。因此，适合于处理具有不确定时滞和未知时滞 的时滞系统稳定性分析问题。 2 )时滞相关的稳定性条件：在该条件下，对时滞h 的某些值，系统是稳定的； 2 第1 章绪论 而当时滞h 取另外_ 些值的时候，系统则是不稳定的。因此。系统的稳定性依赖于时 滞。 一般认为，时滞无关条件不含时滞信息，对于较小时滞系统，这类条件具有较 强的保守性。相比之下，时滞相关稳定性结果比时滞无关的结果具有更低的保守性。 回顾时滞系统的研究和发展历程，主要有两条研究途径，也就是时域方法和频 域方法两大类。频域法是通过特征根的分布或l a p u n o v 矩阵函数方程的解来判别稳 定性，它的缺点是不能处理时变和参数摄动的不确定性。时域分析方法克服了频域 分析方法的不足之处，可以用于处理系统矩阵的参数不确定性、外界干扰不确定以 及时滞本身的不确定性。除此之外，耐域分析法还有很多优点，如方法简单、易于 计算、易于应用现代代数和几何等数学工具等。因此，在实际工程应用中，更多的 用时域分析方法去研究不确定时滞系统的稳定性分析和控制器设计问题。那么，本 论文也将用时域的方法来研究不确定随机时滞系统的鲁棒稳定性分析和鲁棒控制器 的设计问题。 时域分析方法主要有l y a p u n o v 方法和时滞不等式方法。l y a p u n o v 方法的优点是 很明显的，第一是方法统一，所有问题几乎最后都转化为一个类r i c a a t i 方程或线性 矩阵不等式组的求解问题；第二是处理范围广泛，参数摄动和时变时滞系统都可以 处理。l y a p u n o v 方法包括l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函法【】4 。1 7 】和l y a p u n o v r a z u m j k h i n 1 1 8 - 2 4 函数法，它们分别是由k r a s o v s k i i 和r a z u m i k h i n 创立，尤其自上世纪九十年代 由于产生了利用r i c c a t i 方程和线性矩阵不等式工具构造l y a p u n o v 泛函和l y a p u n o v 函数的方法以来，使得这两种方法在时滞系统稳定性分析和控制器设计中得到了广 泛的应用。h a l a n a y 创立的时滞不等式方法，主要用于处理无限时滞系统和非线性脉 冲变时滞系统等更复杂时滞系统的稳定性问题。 l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函方法是考虑稳定性常用的一种方法，但是一般利用该 方法得到的时滞系统稳定性条件都只是充分而非必要的，该方法不可避免的会引入 一定的保守性。那么，如何降低保守性就成了研究时滞系统的稳定性的一个最主要 的问题。因此，为了得到较小保守性并且时滞相关的稳定性条件，首先应该选择与 原系统等价的系统变换。目前，关于时滞相关的基于模型变换的l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函方法，主要有如下几种方法： 1 ) 确定模型变化方法【2 5 2 9 】 该方法主要包括：一阶模型变换、中立模型变换、基于p a r k 和m o o n 等的不等 式的模型变换和广义系统模型变换。这种方法主要是将一个具有离散时滞的系统通 过牛顿一莱布尼茨公式转化为一个具有分布时滞的新系统，然后再对这个等价的新系 统进行分析讨论。 2 ) 参数化模型变换方法 3 0 - 3 2 】 3 河北科技大学硕士学位论文 这种方法的特点是将系统的时滞项分成两部分，一部分看成是时滞无关部分， 另一部分用确定的模型变换来进行处理，也就上面提到的第一种方法。 3 )自由权矩阵的方法 3 3 - 3 5 l 这种方法的依据就是牛顿莱布尼茨公式，通过它来添加零项的时候，各项的权 矩阵不是给出的固定权矩阵，而是采用未知的自由权矩阵。自由权矩阵的最优值是 通过l m i 的解来获得的，这样就克服了采用固定权矩阵的保守性，由于此种方法有 很小的保守性并且原理简单，证明简洁，目前该方法获得了广泛的应用。 4 ) 还原法 3 6 1 这种方法主要用于输入有时滞的系统，可以将系统变换为输入无时滞的系统， 然后就可以用静态状态反馈理论来设计控制器了。 1 3 随机系统研究现状 随机系统指含有随机变量的系统，这些随机变量包括内部随机参数、外部随机 干扰和观测噪声等。随机系统是不确定性系统的一种，其不确定性是由随机性引起 的。严格地说，任何实际的系统都含有随机因素，包括有系统内部结构参数上的扰 动，有状态测量的随机误差、系统控制输入以及外部环境等方面的随机干扰。随着 科学技术的快速发展，对实际系统的精度要求也越来越高，那么就需要我们更多的 去研究这些随机因素，以便建立的数学模型与实际的系统更加匹配。随机系统的实 际应用很广泛，涉及航天、航空、航海、军事上的火力控制系统、工业过程控制、 经济模型的控制、生物医学等许多领域。可见，对于随机系统的研究具有一定的理 论和应用价值。 下面我们从最简单的例子来看一下随机系统的模型 3 7 1 ，从如下具有初值 x ( 0 ) = x o 的常微分方程 _ d x ：6 ( f ) x ( f ) 西 来看，在方程的右端系数6 ( f ) 上加上随机项，即“噪声”项，于是，6 ( f ) 就变成“噪 声 项 6 ( ，) = r ( t ) + 8 ( 0 将其带入上述式( 1 1 ) 的方程，有 d _ x ：，( t ) x ( f ) + 万9 ) x o ) ( 1 2 ) = ，( ) x l rj + d i ，j x i ，j卜zj “噪声 项形式上可以理解成布朗运动的导数，即西( r ) = 鱼笋，这里的国( r ) 实际上 就是b r o w n 运动，于是，构成了具有初值x ( o ) = x o 的如下随机微分方程 4 即 即 通过上面的简单的 为了说明实际动态系统中存在着随机微分方程，我们给出下面的应用实例。 例1 1 在金融系统中，股票的价格s ( f ) 可以用下述b l a c k s c h o l e s 模型描述 3 8 - 3 9 1 d s ( t ) = # s ( t ) d t + 8 s ( t ) d c o ( t )( 1 5 ) 其中o j ( t ) 是b r o w n 运动，常数i t 称为平均收益率，常数万称为波动率，i t d t + 6 d a ，( t ) 称为随机的收益变化率。如果用a ( t ) 表示在t 时刻投资者的各股收益，那么在时间 【0 ，】内的收益可以表示为 凌9 t 一一一 【a ( s ) d s ( t ) = 【a ( s ) s ( s ) d s + 万【a ( s ) s ( s ) d c o ( s ) 显然，上述的收益模型就是一般的随机微分方程在金融系统中的具体应用。 。 当模型( 1 4 ) 中的g ( x ( ，) ，t ) d c o ( t ) = 0 时，上述随机微分方程变为下述的确定微分方 程 。d x ( t ) = ，( x ( f ) ，t ) d t( 1 6 ) “” 显然，随机微分方程( 1 4 ) 可以看做是确定微分方程( 1 6 ) 的推广，相当于在系统( 1 6 ) 中加入了随机扰动项g ( x ( f ) ，t ) d c o ( t ) 。 那么，可以将随机时滞微分方程看作是确定的时滞系统中存在随机扰动。因此， 很自然的一个想法就是将确定时滞系统的研究方法推广到随机时滞系统中。对于随 机时滞系统的研究，也是基于l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函方法结合线性矩阵不等式理 论，最终以矩阵不等式的形式给出稳定性条件，以便于用l m i 工具箱来求解。文献 4 0 4 3 研究了随机时滞系统的指数稳定性问题，利用了矩阵范数、模型变换以及自 由加权矩阵等方法。文献 4 4 】、文献 4 5 】分别讨论不确定随机时滞系统时滞无关的鲁 棒巩和鲁棒厶一k 滤波问题。文献 4 6 】研究了非线性随机奇异系统的可靠保成本控 制问题，得到了系统鲁棒稳定的充分条件，在此基础上，给出了相应的可靠的保成 本控制器的设计方法。随机中立系统的鲁棒稳定性和矾控制问题也得到了关注，但 是得到的鲁棒稳定性条件是时滞无关的 4 7 1 。文献 4 8 4 9 讨论了随机时滞系统的指数 控制问题，设计了控制器使得相应闭环是指数均方稳定的。徐胜源等人在文献 5 0 】 中，利用线性矩阵不等式方法，对不确定随机时滞马尔可夫切换系统进行研究，给 5 题或者确定问题的约束是不可行的。即m i n 2 ，s ：t 旯j 一么( x ) 0 ，b ( x ) 0 ，当么、 曰是变量x 的对称矩阵时，约束是凸的；很明显，特征值问题等价于一个带有不等 式约束的凸优化问题： m i n c7 x m i n 五 j j力，一爿( x ) 0 ，b ( x ) 0 3 ) 广义特征值问题( g e v p ) 该问题是指在l m i 约束下，求两个仿射矩阵函数的最大广义特征值的最小化问 题。其一般形式为： m i n 允 s j 旯b ( x ) 一爿( x ) 0 ，曰( x ) 0 ，c ( x ) 0 这里a ( x ) ，b ( x ) ，c ( x ) 是对称矩阵，且是变量x 的仿射函数。 在l m i 方法提出以前，绝大多数的控制问题都是通过r i c c a t i 方程或其不等式的 方法来解决的。但是解r i c c a t i 方程或其不等式时，有大量的参数和正定对称矩阵需 要预先调整。有时，即使问题本身是有解的，也找不出问题的解。这给解决实际应 6 第l 章绪论 用问题带来了很大的困难，而线性矩阵不等式方法的提出可以很好地弥补r i e c a t i 方 程方法的上述不足。线性矩阵不等式广泛应用于解决随机控制理论中的问题，系统 日出控制和矾滤波问题以及控制系统设计问题都可以转化为线性矩阵不等式的求 解。随着m a t l a b 软件中l m i 工具箱的推出，l m i 工具箱提供了确定、处理和数 值求解线性矩阵不等式的一些工具，线性矩阵不等式方法越来越受到学者们的关注， 已成为系统与控制领域研究中的_ 大热点。 线性矩阵不等式是近几年受到广泛关注的一种用于求解控制理论问题的重要方 法，线性矩阵不等式方法具有如下优点 s l l ： 1 ) 具有有效的有限维凸优化算法，如内点法，其良好的数值特性与黎卡提方程 方法相当。 。 2 ) 可以用于处理若干不同的控制问题，如镇定、厶控制、矾控制，协方差上 界控制、l q g 控制等问题，线性矩阵不等式方法可以将这些问题纳入统一的框架。 3 1 对一些控制问题，可以设计出所有满足稳定性和其他性能要求的控制器，为 多目标混合控制问题的研究提供了可能。 4 ) 便于设计出固定阶次和固定结构的控制器，有利于控制器的降阶和结构的简 化。 5 ) 具有高效的求解算法且可以获得全局最优解。 1 5 本文用到的主要引理 引理1 【1 0 1 ( s c h u r 补引理)对任意给定适当维数的矩阵s ，= ，是2 = 醍，则 i 曼墨：l o 【- 醴足：j 等价于 是2 o 使得下面的式子成立： l ，+ c t g g r + 口一1 e t e 0 ，那么对于任意适当 维数的向量x 和y ，则下面的不等式成立： 2 x lk k y x | l l l kx + 矿琏c l k y 1 6 本文主要研究内容 1 ) 研究带有分布时滞的随机中立系统，考虑该系黜鲁棒稳定性和玑控制蠡 设计问题。我们将通过构造李亚普诺夫函数，得到一个具有较小的保待性的时滞相 关的稳定性判据，并设计出一个相应的状态反馈控制器，而且所得控制器满足以性 能指标。该判据是线性矩阵不等式形式的，有助于用数值算例来验证所得结论的有 效性和实用性。 2 ) 研究带有模态相关时滞的随机跳变系统，讨论它的状态反馈控制器设计问 题。通过l y a p u n o v 方法、牛顿莱布尼茨公式和自由权矩阵方法，得到一个时滞相 关的稳定性条件。然后，根据稳定性条件，利用整体代换思想得到相应的状态反馈 控制器。所得结果以线性矩阵不等式给出，便于利用m a t l a b 线性矩阵不等式工具箱 进行系统仿真，以便验证所得方法的可行性。 3 ) 研究带有噪声扰动和模态相关时滞的随机跳变递归神经网络系统，讨论该系 统的鲁棒稳定性和厶增益问题。我们将通过构造合适的l y a p u n o v - k r a s o v s k i i 泛函， 最终以线性不等式的形式，得到噪声扰动系统是随机稳定并且满足厶增益的条件， 通过数值算例去说明该种方法的有效性和可行性。 1 7 本文所用到的符号和缩写 ，表示适当维数的单位矩阵；m 7 表示矩阵肘的转置；m 。1 表示矩阵m 的逆；宰 表示对称矩阵中对称的部分；彤表示以维实数向量：足脓”表示玎m 实数矩阵集合； d i a g 表示对角矩阵；e - 表示数学期望；厶 0 ，) 表示定义在 0 ，o o ) 的平方可积向 量函数空间；1 1 表示欧几里德向量范数；i i 1 i 一般表示厶 o ，o o ) 范数。 8 第2 章随机中立系统 第2 章随机中立系统的鲁棒稳定性和致控制 随机系统在许多科学和工业中发挥着重要的作用。随机系统的自动控制和滤波器 设计是一个非常受关注的领域，大量这方面的研究成果已经出蚬在一些文献中，例如 文献4 4 - 4 5 ，5 0 ，5 2 。在过去的几十年里，随机系统广泛应用在信号处理、数学经济、 人口模型等其他领域，因此对随机系统展开更广泛的研究是有必要的。许多学者一直 致力于随机时滞系统的研究，其中对随机时滞系统的巩输出反馈控制问题的研究也 比较多。文献 5 2 分析了如何设计随机中立系统的鲁棒巩滤波器，但是它得到的结果 是时滞无关的。带有非线性扰动的随机区间时滞系统也已经被研究，得到的结果是时 滞相关且保守性较小【5 3 1 。中立时滞系统的实用很广泛，包括含较少损耗的分布式网络， 种群生态学系统，热交换系统，以及其他工程系统。正是因为中立系统广泛应用于各 种实际系统之中，一些专家一直努力开展这方面的研究，在参考文献 1 1 ，2 8 ，3 0 - 3 1 ， 3 4 ，4 7 ，4 9 ，5 4 1 中可以看出。不确定随机中立系统的鲁棒随机稳定问题和巩控制问 题已经被研究在文献 4 7 】中，但是，它得到的结果是时滞无关的并且有较大的保守性。 文献 5 4 研究了带有非线性扰动的随机中立系统的全局渐进稳定性问题。目前一些学 者对于时滞系统的控制器设计问题已经做了很多的工作，但是对于不确定随机中立系 统的鲁棒随机稳定问题和玑控制问题的研究还不是很多，还有待于进一步的研究。 在本章中，基于李亚普诺夫泛函方法，结合线性矩阵不等式理论，我们选取一种 李亚普诺夫函数，将得到一个新的时滞相关的稳定性判据，并设计出一个相应的状态 反馈控制器，同时所得控制器满足闭环系统的鲁棒渐进稳定性和巩性能指标。 2 1 问题的描述 在本节中，我们将研究一个带有分布时滞的不确定随机中立系统，可以用下面的 等式来描述： d 【x ( ，) 一d x ( ，一气) = 4 0 ) x u ) + 么。( f ) x ( 卜一_ ) + 4 2 0 ) f 2 x ( s ) 凼+ 骂o ) 比( ，) + e v ( f ) 】防 + 互x ( ，) + 最戈( ，一气) + f 3l ：x ( s ) d s d t o ( 门 j ，( f ) = c x ( t ) + b 2 u ( t ) x ( t ) = 缈( ，) t 【- m a x r l ，乇 ，0 】 ( 2 - 1 ) 其中x r ”是状态向量；砧( ，) r ”是控制输入；夕( ，) r 9 为控制输出；l ，( ，) r p 为输 入扰动，且 ，( f ) 属于厶【o ，o o ) 。c o ( t ) r 7 是一个定义在全概率空间( t a f p ) 上的零均 值w i e n e r 过程，缈( f ) 是向量值初始函数。_ 和f ：是正实数为系统的时滞，d ，e ，互， 9 令x ( f ；妒) 为系统( 2 - 1 ) 的状态轨迹，那么系统( 2 1 ) 有一个平凡解x ( t ；r p ) 三0 相应于初 始条件缈= 0 。现在我们给出系统随机鲁棒渐进稳定的概念。 定义2 1 对于髓( f ) = o 和驴焉( 一j i 2 ，o 】；足”) ，不确定随机中立系统( 2 1 ) 的平凡解 是均方随机鲁棒渐进稳定的，如果对于所有允许的满足式( 2 2 ) 和式( 2 3 ) 的参数不确 定，使得如下条件成立： l i m ex ( t ；f o ) 2 = 0 ，v t 0 t - - 这里，本章主要就以下两个问题进行讨论： ( 1 ) 随机鲁棒稳定问题对于系统( 2 1 ) 而言，当v ( t ) 兰0 时，我们设计一个状态反 馈控制器u ( t ) = l o c ( t ) ，使得所导出的闭环控制系统 d x ( f ) 一d x ( 卜q ) = ( 彳( ，) + 墨( r ) 置) x ( f ) + 4 ( f ) x ( ，一q ) + 4 ( f ) l ，x ( s ) d s d t + 互x ( ，) + e x ( 卜q ) + cl x ( s ) d s d o ) ( t ) j ，o ) = c + 垦眉】x ( f ) x ( t ) = 妒o ) t 【一m a x 2 1 ，r 2 ，0 】 ( 2 5 ) 对所允许的参数不确定是鲁棒渐进稳定的。在这种情况下，我们就称系统( 2 1 ) 是随机 鲁棒稳定的。