（概率论与数理统计专业论文）spde的平稳解以及无穷区间上的倒向重随机微分方程.pdf

s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a lt h e s i s s p d e 的平稳解以及无穷区间上的倒向重随机微分方程 张奇 ( 山东大学数学与系统科学学院，济南2 5 0 1 0 0 ； 英国拉夫堡大学数学系，拉夫堡l e l l3 t u ) 摘要 本文研究了s p d e 的平稳鳃的存在性。我们首次将无穷区间上的倒向重随机微 分方程( b d s d e ) 的解与s p d e 的平稳解联系起来为此，我们证明了有限区间以及 无穷区间上满足l i p s c h i t z 条件的菲线性b d s d e 在e ( r d ；r 1 ) 固2 。，n d ；r d ) 空间中 的解的存在唯性，从而得到所对应s p d e 的初值问题的弱解和平稳弱解与初值无 关) 我们同样考虑了含有非l i p s c h i t z 项的一类有限区间以及无穷区间上的b d s d e 在 层( 删；r 1 ) o 瑶( r d ；r ) 空间中的解另外，我们验证了实值b d s d e 的解对时间变量 和空间变量的连续性，从而得到实值s p d e 的平稳随机粘性解我们相信s p d e 的平 稳弱解与b d s d e 之间的联系无论是在s p d e 领域还是在b s d e 领域都是一个令研 究者感兴趣的同题 本文有以下五章构成， 第一章目l 亩介绍了随机动力系统平稳解的问题。令t ：【0 ，o o ) u 0 一u 是可 测空间( e 移) 和度量动力系统( n ，莎，p ，假) t o ) 上的一个可测随机动力系统，则一个 平稳解是个箩可测的随机变量y ：q u 使得( a r n o l d 【1 】) “( ，y ) ，u ) = y ( 口u ) 对所有t 0a 8 成立 我们紧接着给出个简单但不平凡的随机动力系统的例子，o r n s t e i n - u h l e n b e c k 过程 需要指出的是一个轨道平稳解描绘了平稳解的轨道沿可测的且p 保持不变的变量以： n 一q 对时间的不变性以及随机动力系统的解的轨道极限由于外部的随机扰动的时 刻存在，相对于确定性的动力系统而盲，由例如随机微分方程( s d e ) 或随机偏微分方程 ( s p d e ) 产生的随机动力系统的平稳解的存在性是一个困难和棘手的问题我们在第一 章中指出关于随机动力系统的平稳性和不变流形的研究很广泛，研究者通常假设存在 一个不变集合( 或者单点；一个平稳解或者一个固定点，经常假设为0 ) ，然后在这个不变 集合的一个点上证嘎不变流形和平稳性的结果( a r n o l df l j 以及其上的参考文献，再比 如r u e n e 4 8 j ，d u a l l ，l u 和s c h a u m u l f u s ；1 8 1 ，f 1 9 1 ，l i 和l uf 3 1 1 ，m o h a m m e d ，z h a n g s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a lt h e s i s 和z h a o 3 s l 等等) 但是不变流形的理论既没有给出不变集合和平稳解的存在性结果， 又没有给出一种寻找它们的办法尤其是s p d e 平稳解的存在性结果，仅在很有限的 一些情况下能够得到( 1 13 】，【2 0 j ，【3 s l ，【5 0 ， 5 1 ) 在1 5 0 】，【5 1 中，s i n a i 使用h o p f - c o l e 变换得到了含有周期的或者随机的扰动( 空间变量是g 3 ) 的随机b u r g e r s 方程的平稳 强解在【3 8 中，验证了随机进化方程的平稳解是它所对应的无穷区间上的积分方程 的解，因而m o h a m m e d ，z h a n g 和z h a o 能够得出某些特定的s p d e 平稳解存在的结 论但是一般来说这样的随机积分方程的勰的存在性难以得到 本文将研究下面形式的s p d e d v ( t ，。) = l z 0 ，z ) + s ( x ，u ( c ，z ) ，口( x ) d v ( t ，z ) ) 】d + 萝p ，”( ，z ) ，口( z ) d ( t ，z ) ) d 玩， 这里口是可分的h i l b e r t 空间中的圆柱上的双向布朗运动这个s p d e 的形式很 广泛，特别是当我们考虑它的弱解的时候，非线性函数，和g 含有v u 并且二阶偏微 分算子? 可以是退化的，然而在大多数文献里，9 不依赖于v v 或者g 仅线性的依赖 于v ( d ap r a t o 和z a b c z y k 【1 6 j ，g y 6 n g y 和r o v i r a 2 3 l ，k r y l o v 2 7 ，m i k u l e v i c i u s 和r o z o v s k i i 37 】，p a r d o u xf 4 l 】) 作为研究这个s p d e 平稳解过程中的一步，我们还 得到了另外一个结果，即在空间l i p s c h i t z 条件下通过求解对应的b d s d e 得到了这个 s p d e 的弱解的存在唯性 在第一章中，我们还解释了为什么本文中我们所研究的平稳解支持它所对应的不 变测度，因而相比不变测度它给出了更多的信息 b d s d e 是我们研究s p d e 平稳解的工具，我们将证明对应的无穷区间上的b d s d e 的解给出了我们所求的s p d e 的平稳解，因此在第一章中我们简单的回顾了自1 9 9 0 年 p a r d o u x 和p e n g 开创性的工作4 2 1 以来b s d e 和b d s d e 领域的发展 据我们所知，在本文中我们建立的s p d e 和无穷区间上的b d s d e 的轨道平稳解 之i 曰的联系是一个获得平稳解的新方法 第二章s p d e 和b d s d e 之间的平稳解的对应给我们展示了如何通过s p d e 所对应的b d s d e 得到s p d e 的平稳解为此，我们对广泛的b d s d e 的解运用。完 善化程序。 定理2 2 4 假设在h i l b e r t 空间日中。下面的b d s d e e - k t y t = | e - k r f ( r 。y r ，z ) d r + | k e - k r y d r j tj t ， 一e - k r g ( r , k ，磊) 一直一e - k r z , d w , ，20 1 1 s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a lt h e s i s 有唯一解( k z ) ，则在条件似2 ，砂和似，2 纠下，( k ，互) t 2 0 是一个。完善”的平稳解， 却 矗o k = k + r ，玉。磊；z + r 对所有r ，t 0d 丑成立 而推广的等价范数准则是k u n i t a ( 【2 8 】) ，b a r l e s 和l e 8 i g n e ( f 4 ) ，b a l l y 和m a t o u s s i ( 【3 j ) 文章中的等价范数准则在随机函数情况下的简单推广。它在本文的分析中起着重 要作用 引理2 3 3 ( 推广的等价范敷准则) 如果s 【，纠，i p ：n r 4 一r 1 是硝独立的， 且妒p 一1 l 1 ( q o r d ) ，则存在两个常敷c 0 和c 0 使得 c e 厶m z ) 1 ：- 1 ( z ) 嘲se 眨。m z 4 ) 扩1 。) 如】c e f 。f 妒 ) 1 ：- l ( z ) 酬 另外，如果毋：q xi t , 司r 。一r 1 ，霍( 5 ，) 是硝独立的，且雪p 一1el 1 i t , 卅固 r 。) ，则 c e 【z r 上。i 皿( s ，圳厂1 ( z ) 如酬e 【z ? z 。l 皿( s ，z l p - 1 ( 茁) 如酬 。e 【z r 上。f m ( s ，z ) j p 一1 ( z ) d z d s 】 然后我们以弱解为例，通过“完善化程序”和。推广的等价范数准则”将平稳性质由 b d s d e 传递到对应的s p d e 定理2 3 1 3 在条件( a 2 1 ) - ( a ，2 4 ) 7 下，对任意t 以及t f 0 ，刃，令v ( t ，) 垒y r - 其中( y o ，2 是下面b d s d e e 一舶巧4 = e - k r f ( x _ ：, = , 巧，一，z ，。) 打+ k e 一所f ，2 d r j j j ，o 。， 一e 一所9 ( 霹，一，巧”，墨，2 ) 矿怠一e - k r ( z ，一，d w r ) 在三；( r 。；r 1 ) 三；( r 。；r 。) 空间中的解，其中对任意5 0 ，巍= b r 一一暑 则v ( t ，) 是下面s p d e d v ( t ，z ) = = 陋? v ( t ，z ) + ，( z ，v ( t ，z ) ，i t * ( z ) d v ( t ，z ) ) 】d t + 9 扛， ( ，) ，a ( x ) d v ( t ，z ) ) d b t 的“完善”的平稳弱解 i i i s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a lt h e s i s 第三章s p d e 的平稳弱解日标在于研究取值于瑶( 则；r 1 ) pe ( r 4 ；r 8 ) 空间 的b d s d e 和它对应的s p d e 的平稳弱解个必要的中间环节是研究有限区间上的 b d s d e 并建立它的解与s p d e 弱解之间的联系我们研究有限区间上的b d s d e 在 霹( f ；r 1 ) o 圮( 碾f ；r 4 ) 空间中的解的方法是受b a l l y 和m a t o u s s i 研究方法的启发，他 们研究了有限区间上的有限维布朗运动驱动的b d s d e 解的存在唯性( 【3 】) 但是我们 的结果更强而条件更弱我们将在l 2 ( r d ；r 1 ) 空闯上的l i p s c h i t z 条件下求解圆柱上的 布朗运动驱动的非线性b d s d e 我们得到唯一解( y ，z o ) s 2 , 0 ( p ，了1 ；e ( r o ；r 1 ) ) 圆 u 2 0 ( p ，邳；瑶( r d ；彤) ) 相比【3 】中的结果，我们更进步得到了y o s 2 0 ( 弘，卵；l ：( r d r 1 ) ) ，它在解决非线性b d s d e 和证明b d s d e 与s p d e ( 或b s d e 与p d s ) 弱解的 联系上起着重要作用我们相信它是研究有限区间上的b d s d e 和b s d e 的个新结 果我们所得到的有限区间上的无穷维噪声驱动的b d s d e 的主要结果是 定理3 1 2 在条件( h 3 1 ) 一( h 3 4 ) - v ，下面取值于l ；( r 。；r 1 ) ol ；( 刚；r 。) 空间的 b d s d e 巧，z ：a ( 磷z ) + ，r ，( r 1 霹，耳，季一) d r t 9 ( r 群一，耳一，z ，。) 扩岛一，7 ( 霉_ ，d l 诈) ， o 5sz 一 j 有唯一解 这类b d s d e 与它所对应的有限区间上的无穷维噪声驱动的s p d e 之间的联系在下面 定理中建立起来 定理3 2 3 在条件( h 3 1 ) - ( h 3 ，4 ) t ，如果我们定义u ( t ，z ) = w 4 ，其中( 玲一，z ，2 ) 是定理，i 2 中b d s d e 的解，其町( t ，z ) 是下面s p d e “( ，z ) = ( 工) + 罗( 5 ，z ) + ，( z ，钍( 罩，z ) ，( 盯v “) ( s ，z ) ) l d s j t p t 一9 ( z ，牡扣，。) ，( 一+ v 让) 扣，z ) ) d t 雪， 的唯一弱解另外， t ( s ，x ：。) = 巧一，( 矿v ) 艇，。) = z 4 对o e ts 【f ，列，z r d 口矗成立 利用有限区间上的b d s d e 的结果，我们证明了无穷区间上取值于l ：( r 4 ；r 1 ) o 三；( 一；r 4 ) 空间的b d s d e 解的存在唯性 定理3 3 1 在条件( h 3 4 ) - ( h 3 7 ) 下，下面取值于鬈( r d ；r 1 ) og ( 刚；r ) 空间的 i v s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a lt h e s i s b d s d e = e - k r f ( r ，霹，一，p 一，露4 ) d r + k e - - k r f d r j jj j ， 一7e - k g ( r ，霹一，f ，罩，z ) d t 亩，一 e - k r ( z ，d w r r ) 有唯一解 我们在定理2 ，3 1 3 中得到了对应的s p d e 的平稳弱解，然而在证明定理2 3 1 3 的过程 中，用到了下面两个未证明的用于得到s p d e 解的连续性的定理我们在这章中证明 了它们 定理2 3 1 0 在条件( a 2 1 ) - 0 厶de p k 4 l 巧4 i p 4 ( z ) d 司 o o 定理2 3 1 1 在条件( a 2 1 ) - 0s u c 执村 c e c p ( x ) l p 。( z ) 酬e f 妒( 砑2 ) 扩1 ( z ) 矧sc e i 妒( z ) 扩1 ( z ) 矧 j r d j fj x s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a lt h e s i s m o r e o v e r ，毋：nxi t , 卅r r 1 ，皿( s ，) 括i n d e p e n d e n t 谚。尹落a n d 皿p 1 l 1 ( n o 降t 】o r 。) ，t h e n 国 厂厶列p - 1 ( 拙d s l e 【，r 小( s 砖2 ) i v - 1 d z d 5 】 5 删z 7 小“z ) i f i ( x ) d x d s ， t h e nw et a k ew e a ks o l u t i o na sa ne x a m p l ea n dt r a n s f e rt h es t a t i o n a r yp r o p e r t yf r o m b d s d et ot h ec o r r e s p o n d i n gs p d eb y “p e r f e c t i o np r o c e d u r e a n d “g e n e r a l i z e de q u i v - a l e n c eo fn o r mp r i n c i p l e ” t h e o r e m2 3 1 3 u n d e rc o n d i t i o n s ( a 2 1 ) - a 2 4 ) 7 ，o ra r b i t r a r yta n dt 0 ，t l ， z e ”( t ，) 垒y ；譬，砒e 化( y 。，z y , ) 曲t h e ；( r 。；r 1 ) o 鬈( r 4 ；r 8 ) v a l u e d5 。l u t i o no b d s d e e - k s 巧4 = e - k r ，( ，( 只巧一，z ，。) d r + k e - k r p 4 d r j s ， p o o， 一e - k r g ( x t = , e 4 ，群。) 一岛一e 一骼( z 一，d 瞰) w i t h 怠= b r 一。一b r o ra l ls 0 t h e nv ( t ，) i s 口印e 舷”s t a t i o n d r 。w e a ks o l u t i o n o ft h ef o l l o w i n gs p d e d v ( t ，z ) = 【? v ( t ，z ) + ，( ，”0 ，z ) ，口+ ( z ) d v ( t ，x ) ) l d t + g 扛，v ( t ，z ) ，口( x ) d v ( t ，z ) ) d b t c h a p t e r3s t a t i o n a r yw e a ks o l u t i o n so fs p d e s o 圮( 彬；r d ) v a l u e db d s d e sa n dt h es t a t i o n a r yw e a ks o l u t i o n so fi t sc o r r e s p o n d i n g s p d e s 0 n eo ft h en e c e s s a r yi n t e r m e d i a t es t e p si st os t u d yt h eb d s d e so nf i n i t e h o r i z o na n de s t a b l i s ht h ec o n n e c t i o nb e t w e e nt h e i rs o l u t i o n sa n dt h ew e a ks o l u t i o n so f s p d e s o u rm e t h o dt os t u d yt h el ：( r d ；r 1 ) o ：( r o ；r 。) v a l u e ds o l u t i o n so fb d s - d e 8o nf i n i t eh o t i z o nw a sh a s p k e db yb a l l ya n dm a t o u s s i 8a p p r o a c ho nt h ee x i s - t e n c ea n du n i q u e n e s so fs o l u t i o n so fb d s d e sw i t hf i n i t ed i m e n s i o n a lb r o w n i a n1 1 2 0 - t i o n s ( 【3 】) b u to u rr e s u l t s a x es t r o n g e ra n do u rc o n d i t i o n sa r ew e a k e r w ew i l l s o l v et h eb d s d e sd r i v e nb yt h ec y l i n d r i c a lb r o w n i a nm o t i o na n dn o n l i n e a rt e r m s s a t i s f y i n gl i p s c h i t zc o n d i t i o n si nt b es p a c ee ( r d ；r 1 ) w eo b t a i nau n i q u es o l u - t i o n ( y 。，) s 2 , 0 ( i t ，卅；小2n d ；r 1 ) ) o 矿o ( 亡，司；l ；( r 8 ；r 4 ) ) t h er e s u l ty ， s 2 o ( k 刃；l ；( r 8 ；r 1 ) ) ，w h i c hp l a y sa ni m p o r t a n t r o l ei ns o l v i n gt h en o n l i n e a rb d s d e s x i s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a lt h e s i s a n dp r o v i n gt h ec o n n e c t i o nw i t ht h ew e a ks o l u t i o n so fs p d e s ( a l s ob s d e sa n dp d e s ) ， w n o to b t a i n e di n 3 】w eb e l i e v e0 1 2 7r e s u l t sf o rf i n i t eh o r i z o nb d s d e sa r en e we v e n f o rb s d e s t h em a i nr e s u l t f o rt h ef i n i t eh o r i z o nb d s d e sw i t hi n f i n i t ed i m e n s i o n a l n o i s e i s t h e o r e m3 1 2 u n d e r c o n d i t i o n s ( h 3 1 ) 一( h 3 4 ) ，t h e f o l l o w i n g 鬈( r a ；r 1 ) o 工；( 倒；r d ) v a t u e db d s d e 巧4 = 危( 殍。) + 7 ，( n 砰2 ，f ，掣一) d r f t g ( r ，霹一，巧，一，z l d + 茸一，? ( 霉一，d 坼) ，。s f h a suu n i q u es o l u t i o n t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h i sb d s d ea n di t sc o r r e s p o n d i n gf i n i t eh o r i z o ns p d ew i t h i n f i n i t ed i m e n s i o n a ln o i s ei se s t a b l i s h e di nt h ef o l l o w i n gt h e o r e m t h e o r e m3 2 3 u n d e rc o n d i t i o n s ( h 3 1 ) 一( h 3 4 ) ，矿w ed e f i n eu ( t ，。) = y ”，w h e r e ( w ”，忍4 ) 妇t h es o l u t i o no yb d s d e i nt h e o r e m 了j 马t h e nu ( t ，z ) i st h eu n i q u ew e a k s o l u t i o no st h ey o l l o w i n gs p d e m o r e o v e r ， u ( t ，z ) = 九( ) + 【z u ( s ，z ) + ，( z ，u ( s ，z ) ，( 矿4 v u ) ( s ，z ) ) 】d s ，t ，t 一9 0 ，u ( s ，z ) ，( ，v u ) ( s ，z ) ) 一反 u ( s ，曩，。) = 巧，一，( 矿v u ) ( s ，曩，。) = z f o ra e s h 刀，2 7 彬n s w i t ht h er e s u l t so ff i n i t eh o r i z o nb d s d e s ，w ep r o v et h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f 群( r d ；r 1 ) ol ；( r 4 ；r 。) v a l u e ds o l u t i o no fi n f i n i t eh o r i z o nb d s d e s t h e o r e m3 3 1 u n d e rc o n d i t i o n s ( h ，34 ) 一( h 3 7 ) ，t h e f o l l o w i n g ；( r 4 ；r 1 ) l ；( r 8 ；醒。) v a l u e db d s d e e - k r f ( r ，掣一，f 4 ，z 一) d r + k e - k r f d r j j ，r 口0 一fe - k g ( r ，群t 一，f r ，零一) 鼠一7 e - k r ( z 一，a v e , ) h a sou n i q u es o l u t i o n w eh a v eg i v e nt h es t a t i o n a r yw e a ks o l u t i o n so f t h ec o r r e s p o n d i n gs p d e si nt h e o r e m x i i s h a n d o n gu n i v e r s i t yd o c t o r a lt h e s i s 2 3 1 3 ，b u ti nt h ep r o o fo ft h e o r e m2 3 1 3w eu s e dt h ef o l l o w i n gt w ot h e o r e m sw i t h o u t p r o o f si no r d e rt oo b t a i nt h ec o n t i n u i t yo fs o l u t i o no fs p d e w ep r o v et h e mi nt h i s c h a p t e r t h e o r e m2 3 1 0 u n d e rc o n d i t i o n s ( a 2 1 ) - ( a ，2 4 ) 7 ，t h eb d s d e 讯t h e o r e m 霉3 1 3 h a s 口u n i q u es o l u t i o n ( 巧一，z ，。) ，m o r e o v e r e s u p 。o 丘de - - t 舶i 巧，2 l 砀“( z ) 如】 0 ) 上的一个可测随机动力系统，则一个平稳解是一个莎可测的随机变量y ：q c ，使 得( a r n o l d 【l j ) “( t ，y p ) ，u ) = y ( o c u ) 对所有t 0a 8 成立( 1 1 ) 这种“个驱动，一个解”的设置是确定性系统的均衡点或者不动点在随机情况下的自 然扩展一个简单但不平凡的例子是通过随机微分方程定义的o r n s t e i n - u h l e n b e c k 过 程 它定义了一个随机动力系统 d u ( t ) = - u ( t ) d t + d b t u 岫= 蚶q + z e 川1 ) d b 。 且它的平稳解是y ) = 。e 5 d 玩另外，对任意u o ，当t 0 0 时札( t ，“o ，0 一u ) 一 y ( u ) ，其中o t 是布朗路径的转移算子t 慨召) ( s ) = b ( t + s ) 一b ( 5 ) 对任意s ( 一o o ，+ o o ) 成立 一个轨道平稳解描绘了平稳解的轨道沿可测的且p 保持不变的变量巩：q q 对时 间的不变性以及随机动力系统的解的轨道极限一旦给出y ( - ) ，就能得到y ( o 。) 不难 看出，它是一个基本且重要的问题( 【1 】， 1 2 1 ，【1 3 ，1 2 0 l ，【3 8 】【5 0 ，【5 1 】) 对于由随机 偏微分方程( s p d e ) 生成的随机动力系统而言，由于随机的外部扰动时刻存在，这样 的随机不动点由结构空间上的无穷个随机运动的不变表面构成相比许多确定性的模 型，随机模型是更现实的模型因为它们包含了一类诸如扰动这样的复杂现象因而它 们的存在性和平稳性是一个令数学家和物理学家都感兴趣的问题然而，由于外部的 随机扰动的时刻存在，相对于确定性的动力系统而言，由例如随机微分方程( s d e ) 或 s p d e 产生的随机动力系统的平稳解的存在性是一个困难和棘手的问题我们指出关 于随机动力系统的平稳性和不变流形的研究很广泛，研究者通常假设存在一个不变集 合( 或者单点，一个平稳解或者一个固定点，经常假设为0 ) ，然后在这个不变集合的一 个点上证明不变流形和平稳性的结果( a r n o l d 【1 以及其上的参考文献，再比如r u e l l e 4 s 1 ，d u a n ，l u 和s c h a u m u l f u s sf 1 8 ，1 9 ，l i 和l u 3 1 】，m o h a m m e d ，z h a n g 和z h a o a s l 等等) 但是不变流形的理论既没有给出不变集合和平稳解的存在性结果，又没有 1 山东大学博士学位论文 给出一种寻找它们的办法尤其是s p d e 平稳解的存在性结果，仅在很有限的一些情 况下能够得到( 1 3 1 ，【2 0 】，【3 8 】，【5 0 ，f 5 1 】) 在【5 0 】【5 1 】中，s i n a i 使用h o p f - c o l e 变 换得到了含有周期的或者随机的扰动( 空间变量是伊) 的随机b u r g e r s 方程的平稳强 解在【3 8 】中，验证了随机进化方程的平稳解是它所对应的无穷区间上的积分方程的 解，因而m o h a m m e d ，z h a n g 和z h a o 能够得出某些特定的s p d e 平稳解存在的结论 但是一般来说这样的随机积分方程的解的存在性难以得到 本文的主要目标是寻找下面形式的s p d e 的平稳解 d v ( t ，z ) = 【汐v ( t ，。) + ，( z ，v ( t ，z ) ，仃+ ( x ) d v ( t ，z ) ) 出 + 9 ( z ，u ( ，z ) ，口( x ) d v ( t ，z ) ) d 鼠 ( 1 2 ) 这里b 是可分的h i l b e r t 空间中的圆柱上的双向布朗运动彤是扩散过程列一( 方 程( 2 1 4 ) 的解) 的无穷小生成元，其形式为 p = ；喜嘶) 旦o x i c g x i + 壹i = l ) 杀， ( 1 。) 其中( 口o ( z ) ) = a 矿( 卫) 方程( 1 2 ) 的形式很广泛，特别是当我们考虑方程( 1 2 ) 的弱 解的时候，非线性函数，和g 含有v v 并且二阶偏微分算子p 可以是退化的，然而 在大多数文献里，g 不依赖于v v 或者g 仅线性的依赖于v v ( d ap r a t o 和z a b c z y k f 16 】，o y s n g y 和r o v i r a 2 3 ，k r y l o v 【2 7 ，m i k u l e v i c i u s 和r o z o v s k i i 【3 7 1 ，p a r d o u x 4 1 1 ) 作为研究这个s p d e 平稳解过程中的一步，我们还得到了另外一个结果，即在 空间l i p s c h i t z 条件下通过求解对应的b d s d e 得到了这个s p d e 的弱解的存在唯一 性在d ap r a t o 和z a b c z y k 1 6 ，k r y l o v 【2 7 中研究了g 独立于v v 或者9 线性的依 赖于v v 的情况下方程解的存在唯性但我们并没有说对于【1 6 】和 2 7 】中所研究的 s p d e ，我们的存在唯性结果已经超越了他们所得的结果 由一个轨道平稳解，我们能够构造出由度量动力系统和随机动力系统所组成的斜 积的不变测度近些年来，对很多重要的s p d e ( 诸如 7 】，【8 】，【1 7 】，【2 2 ， 2 4 】) ，在s p d e 的不变测度以及当时间趋向无穷时解的分布的弱收敛方面有大量的研究成果不变测 度描绘了某个解在时间改变的情况下的分布不变性，因而它是m a r k o v 转移概率的一 个不变测度众所周知，当不变测度是随机d i r a c 测度时，它给出了一个平稳解尽管 r 1 上的随机动力系统的一个不变测度给出一个平稳解，但对一般情况来说，这是做不 到的除非考虑扩展的概率空间然而考虑扩展的概率空间本质上是将随机动力系统也 看作噪声，因而是不同的动力系统参见f 3 6 1 ，可找到一些r 1 上s d e 的例子以及一个 s 1 上具有不变测度但没有平稳解的完善的余圈事实上，本文中我们所研究的平稳解 支持它所对应的不变测度，因而相比不变测度它给出了更多的信息 2 山东大学博士学位论文 本文中，b d s d e 是我们研究s p d e 平稳解的工具，我们将证明对应的无穷区间 上的b d s d e 的解给出了我们所求的s p d e ( 1 2 ) 的平稳解自p a r d o u x 和p e n g 开创 性的工作【4 2 l 直到现在的1 7 年里。倒向随机微分方程( b s d b ) 始终是个热门的研究 领域p a r d o u x 和p e n g 在【4 3 】中以及p e n g 在 4 5 】中首次将b s d e 和拟线性抛物型的 偏微分方程( p d e ) 联系起来研究p d e 弱解和b s d e 的联系的工作开始于b a r l e s 和 l e s i g n e 文章【4 】4 p a r d o u x 和p e n g 在【“1 中研究了b d s d e 以及它们与s p d e 强解的 联系，而b a l l y 和m a t o u s s i 在f 3 1 3 中考虑了与s p d e 弱解的联系，b u c k d a h n 和m a 在 9 1 - 1 1 】则考虑了与s p d e 随机粘性解的联系另方面，p e n g 在【4 5 中首次研究了无 穷区间上的b s d e 并且证明其对应的p d e 是一个p o i s s o n 方程( 椭圆方程) p a r d o u x 在【4 0 】中对这方面的内容也作了系统的研究注意到p o i s s o n 方程的解可以看作抛物型 p d e 的平稳僻深化这个思想，我们推测无穷区间上的b d s d e 的解( 如果存在) 是对 应的s p d e 的平稳解是合理的我们当然不能象确定性的情况那样将它们写成p o i s s o n 方程或随机p o i s s o n 方程的解然而，通过无穷区间上的b d s d e 的解描绘s p d e 的平 稳解是很自然的在这种意义下，b d s d e ( 或b s d e ) 可以看作是更广泛的s p d e ( 或 p d e ) 据我们所知，在本文中我们建立的s p d e 和无穷区间上的b d s d e 的轨道平稳解 之间的联系是一个获得平稳解的新方法受【1 】和【2 】启发，我们首先在第2 2 节对 b d s d e 的解运用“完善化程序4 ，然后在第2 3 节将平稳性质从b d s d e 转移到对应 的s p d e 我们相信这种新方法可以应用到那些含有平方增长或多项式增长项的非线 性s p d e 中但是我们不打算在本文中包括这些内容，而仅在第三章和第五章中研究 l i p s c h i t z 连续的非线性项以展示我们研究这个s p d e 动力系统基本问题的本质方法， 并在第四章中研究线性增长的非l i p s c h i t z 的非线性项我们需要强调的是我们所用的 b d s d e 的方法既不依赖于随机动力系统的连续性( 连续性是指u ( t ，u ) ：u 一厂是 a 8 连续的) 也不依赖于随机吸收元的方法本文中的含有非线性噪声的s p d e ( 1 2 ) 的连续性问题仍然是公开的问题，正如一些研究者指出的那样( 例如【1 8 ，【3 8 1 ) ，这主 要是由k o l m o g o r o v 连续定理不能在无穷维环境下使用造成的 在第三章中，一个必要的中间环节是研究有限区间上的b d s d e 并建立它的解 与s p d e 弱解之间的联系( 第3 1 和3 2 节) 。我们研究有限区间上的b d s d e 在 e ( r d ；r 1 ) o e ( 倒；r d ) 空间中的解的方法是受b a n y 和m a t o u s s i 研究方法的启发，他 们研究了有限区间上的有限维布朗运动驱动的b d s d e 解的存在唯性( 3 】) 但是我们 的结果更强而条件更弱我们将在层( p ；r 1 ) 空间上的l i p s c h i t z 条件下求解圆柱上的 布朗运动驱动的非线性b d s d e 我们得到唯解( y “，) s z , o ( i t ，卅江：( 腿4 ；r 1 ) ) 圆 m 2 , 0 ( 【，刀；圮( r 4 ；r ) ) 相比【3 】中的结果，我们更进一步得到了y s 2 0 ( 【t ，了1 ；l ；( 刑 r 1 ) ) 。它在解决非线性b d s d e 和证明b d s d e 与s p d e ( 或b s d e 与p d s ) 弱解的联 系上起着重要作用而推广的等价范数准则( 证明在第2 3 节) 是k u n i t a ( 【2 8 】) ，b a r l e s 3 山东大学博士学位论文 和l e s i g n e ( 【4 1 ) 。b a u y 和m a t o u s s i ( 3 1 ) 等文章中的等价范数准则在随机函数情况下的 简单推广。它在我们所得结果的证明过程中起着重要作用我们相信我们的结果是研 究有限区间上的b d s d e 和b s d e 的个新结果在第3 3 节里我们将求解无穷区间 上的b d s d e ，在第3 4 节里我们研究解的连续性用以得到s p d e 的完善的平稳弱解 我们进一步讨论了取值于工：( r 4 ；r 1 ) o 圮( 一；r d ) 空间的含有线性增长的非l i p - s c h i t z 项的非线性b d s d e ( 第4 2 和4 3 节) 在第四章中单调性条件在放宽l i p s c h i t z 连续条件的过程中起着重要作用 在第五章中，我们回顾了d o s s - s u s s m a n n 变换以及b u c k d a h n 和m a 定义所谓 s p d e 随机粘性解的方法( 第5 1 节) 然后在第5 2 节，利用类似于第3 3 节中的方法， 我们求解了对应的无穷区