（应用数学专业论文）非线性方程奇异问题的数值解法.pdf

里尘堡矍三当兰耋耋堡圭耋堡丝塞 非线性方程奇异问题的数值解法 摘要 本文考虑非线性方程奇异问题的数值解法。主要结果为 1 由于c h o r d 法计算量小( 在计算过程中减少求逆次数) ，并且当应用 m a t l a b 运算时既简单又方便，所以一直以来深受人们关注。本文用一类 c h o r d 法求解奇异问题。分别在零空间为一维和有限维的情况下证明了一类 c h o r d 法的收敛性，得到了相应的误差估计，并给出了数值算例结果。 2 外推法在级数计算、圆周率计算、差分及有限元等方面有着广泛的 应用，将前面几步计算的结果作一个线性组合就会大大的增加其计算的精 度。它是一种费力小、收益大的计算方法。本文将外推技巧应用到奇异问题 得到新的迭代格式，此格式比原来的一类c h o r d 法的收敛速度快，并且实际 算例的结果与理论相吻合。 3 用h a l l e y 法、c h e b y s h e v 法和s u p p e r - h a l l e y 法求解非奇异问题一直 都是人们感兴趣的，并且在这些方面取得了许多成果，然而用它们来求解奇 异问题却无人问沣。本文将讨论零空间为一维情况下c h e b y s h e v 方法求解奇 异问题的收敛性，得到了相应的渐近收敛速率。 4 利用h i l b e r t 空间中的几何特征构造了求解奇异问题的新的迭代格 式，使新的迭代格式的收敛速度比牛顿迭代格式的收敛速度快。 关键词奇异问题；收敛性；误差估计 篁尘篓慧三奎耋矍兰鎏耋耋堡鎏兰 n u m e r i c a lm e t h o d sf o rs o l v i n gn o n l i n e a r e q u a t i o n sa ts i n g u l a rp o i n t s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，s o m ei t e r a t em e t h o d sf o rs o l v i n gs i n g u l a rp r o b l e ma r e s t u d i e d t h em a i nr e s u l t sa r ea sf o l t o w i n g 1 a st h ec a l c u l a t i o no fc h o r dm e t h o d si sc h e a pa n di ti se a s yt ou s ei t ， c h o r dm e t h o d sa r ea l w a y sa t t e n t i o n e d i nt h ep a d e r ，ac l a s so fc h o r dm e t h o d s a r ed i s c u s s e d u n d e rt h ec o n d i t i o n st h a tt h ed i m e n s i o n so ft h en u l ls p a c ea r eo n e o rf i n i t e ，t h ec o n v e r g e n c eo fc h o r dm e t h o d si sp r o v e d ，t h ee r r o re s t i m a t i o ni s o b t a i n e da n dt h en u m e d c a le x a m p l ei sa l s og i v e n 2 。t h ee x t r a p o l a t i o nm e t h o d sh a v em a n ya p p l i c a t i o n si ns e r i e sc a l c u l a t i o n s ， c i r c u m f e r e n c er a t ec a l c u l a t i o n s ，d i f f e r e n e es c h e m ea n df i n i t em e t h o d s i nt h i s p a p e r ，t h ee x t r a p o l a t i o nt e c h n i q u e sa r eu s e dt oc o n s t r u c tn e w i t e r a t es c h e m e s ， t h a tc a l lf a s t e rt h ec o n v e r g e n c er a t eo ft h es c h e m e 3 。h a l l e ym e t h o d s ，c h e b y s h e vm e t h o d sa n ds u p p e r - h a l l e ym e t h o d sa r e w i d e l yu s e dt o f i n dt h es o l u t i o no ft h ee q u a t i o nf ( = 0 i nt h ep a p e r ，t h e m e t h o d sa b o v ea r es t u d i e df o re l e m e n ts o l v es i n g u l a rp r o b l e m st h ec o n v e r g e n c e o ft h em e t h o di sp r o v e da n dt h ee r r o re s t i m a t ei sa l s oo b t a i n e d 4 t h ei t e wi t e r a t es c h e m e sa r ec o n s t r u c t e df o rs o l v i n gs i n g u l a rp r o b l e m s b yu s i n gt h eg e o m e t r yp r o p e r t i e si nh i l b e r ts p a c e ，t h er a t eo fc o n v e r g e n c e o ft h e m e t h o d si sa l s oo b t a i n e d ， k e y w o r d ss i n g u l a rp r o b l e m s ；c o n v e r g e n c e ；e r r o re s t i m a t i o n - i 一 哈尔滨理t 大举理学硕j 垮位除宠 第薹颦绪论 本谍题涞澡予溪豢熬然蘩学基套域馨。， 逅忍十年来，随着数学磅究本身豹发震辩大邋计算税豹粥礴及完善，务释 菲线靛秘麓瓣盏 | 莛科举家亵王程入獒静兴趣帮熬锈，耨剩怒在近代物理鞠科 学工程计黛中的一些关键问题归根绌底都依赖于浆些特定的非线性方程的求 解，翳强无论在理论磺戆方嚣，还怒在实舔疲用中冀线髓方程瓣求戆郝占蠢棼 常重簧懿遗位。 菲线饿瀚题蔻近代数学研究酾主流之一，菲线性方程声( x ) = 0 盼数值解法 又是非线性问题硪究的一个重要的方向。由于其鼹有广泛的实际背景和重要的 理论徐谯，一麦整数臻分褥学考乃黧蘩毯鼗学大豢，懿k a n t o r o v i c h 帮s m a t e 等人掰感兴趣著参与磷究的热门课题乏一。 在菲谢异情况下，以牛顿法为代袭的迭代方浚是求解非线健方程韵重要警 段之一，所以一点是非线性问题求解的重要领域。浓鳃方程f ( 若) = 0 的牛顿逖 我及箕爻影蕊硬究，以o s t r o w s k i ，k a n t o r o v i c h ，s m a l e 零王兴擎等轰代表熬学 者在救敛憾、收敛速漤积加速遥代襁式方霞取褥了事硕懿残暴。主要结暴灞缀 以下几方谳： 一、如侮橡造计髯爨少恧牧敛遮凌 e 较快的逖代格式。许多人在逸方磷徽 了夫溪豹王捧，产生了系歹l 变影弊法；露，k i n g - w e m e r 方法、双楚迭妓鞠 切比鬟夫邈代接式等，并且由鼹短生了诗算效攀拯数露计冀凝象瞧涎磅究。 二、为避免求逆运鳟，由此产生了一系列迭代技术。如，拟牛顿类方法、 n e w t o n - m o s e r 法鞍c h o r d 法等。 三、一觳采凝，譬赣类迭霞灸鼹舔浚羲，溅班辩拐始继逡袋要褰鹜绷， 熟彝稳逡太菠基收藏豹迭 弋捂式戏为牛顿法疆究靛一个热门渫滕。懿，摹缝移 方法和避续同伦法等。 露、代替牛顿法的嚣壤性簸设蕊臻一点傣怠，癌魏产生戆蔗话计簸设凝体 在近年柬磷究十分蹙行。 五、遥年来，绘邂各耱这代格戏豹最佳误藏嵇计也蔻太 f j 十分感兴趣赫深 题。对许多方法已经得到了最佳误麓估计，并且衍生出了许多越野究的技巧茅口方 法。 六、必减少内存和并行计翼，人们尝试将大潞鼹分为凡个，l 、阉题计葬，魏 方扁研究翻予如分裂牛颧法。 七、反问题中出现的方程均为病态，如何用牛顿类方法求解病态问题、 收敛条l 牛弱接式拣选篷楚十分热门靛潆蘧。 但在实际问题中有许多非线性方程f ( x 1 = 0 ，颠解x 。点处的导算子为一奇 异算予，捌翔反应扩敖系统、拣食窝猿狻生物模型、在钱纯溺黧中静鞍点、分 歧点和极限点等所导出的方程解点处的导算予为一奇异算子，所以研究奇异问 题静数毽解法其鸯熏要翁实际意义。鬓一方嚣许多数僮方法都琵针对j 奇异褥 题，讨论其收敛性、收敛速度、收敛格式的形态等，对于奇异问题讨论其解点 辫近豹淫态，对# 线淫闻题静醛究在鬻论上魄是一种完善。夷攒：弓| 超了人髓静 广泛必趣，并且在近年取得了许多优秀成果。 1 9 6 6 年，l b ，r a l l 首次提出在一元实函数情况下，牛顿法在奇舜点处 的收敛性质，并发现n e w t o n 法很有效而且能改成平方收敛t 1 。对于一个一般 空淘e ，c a v a n a g h 于1 9 7 0 年锻设f 在解点x 处韵菜一个去一t l , 邻域菲奇异推7 4 了r a i l 的结果。然而，c a v a n a g h 的条件是赞刻的并且实际应用的价德很低， 要保证f ( x + ) 奇异情况下收敛的条 孛疑为严格崖到1 9 7 8 年g w r e d d i e l l 放宽了这个条件 3 1 ，提供了牛顿法的可罨亍性，然后g r i e w a n k 和o s b o r n e 绘出了 1 3 | 的凡何解释 4 1 ，1 9 8 0 年d e c k e r 和k e l l e y 将r e d d i e n 的结果报广到了零空间 为有限维的情况。t 9 8 3 年d e c k e r 和s u r e s h 在n e w t o n 法的基础上作了一些修 改，得到了相应豹收敛性旺1 9 8 5 年d e c k e r 又和k e l l e y 得到了b r o y d e n 法的 收敛性1 6 j 。为彳导到更好的收敛效果，d e c k e r 謦珏k e l l e y 改罄了n e w t o n 浃，加速 了零空间的收敛速度，使它达到和非奇异情况一样的平方收敛1 7 1 。但他们所做 的大多都楚在零空阗维数为l 蛉特殊愤况下褥到的。为了褥到更一般惶毂缝 果，d e c k e r ，k e l l e y 及k e l l e r 等人进一步研究了在零空间的维数为有限维这一 般1 跨猛下的n e w t o n 方法懿峻敛性及误差悠诗 8 t ，1 9 8 1 年g r i e w a n k 帮 o s b o r n e 在此基础上做了一些推广，使它的收敛速率得到提高 9 1 ，为获得更好 兹收敛速凄，d e c k e r ，k e l l e r 及潘姨元等人又提出修改n e w t o n 方法，使它们 能够无论在零空间还是值域都能达到平方收敛| 1 ”】【”j 。 国于在计算过程中锋步罄褥要计棼导舅子鲍逆矩眸，饯赞太大，鞭照缀多 人在研究n e w t o n 法的同时也研究c h o r d 法。1 9 8 3 年，d e c k e r 和k e l l e y 研究了 零空阕为一维时戆c h o r d 法，褥鑫相应煞羧敛往及枝敛速度必次线洼浚敛郧l 。 1 9 9 0 年杨忠华用外推的方法得到新迭代格式，它的讨算量与c h o r d 法相比基本 摇蠢，毽浚敛速度却魄c h o r d 浚茯褥多，毽它仍楚次线经收敛 “j ，两届潘状元 又在杨忠华论文的基础，卜做了改进，得到了相当好的收敛效果。为得到一般性 戆结采，潘虢元又在零空闰为有限维的谤搅下讨论了它的收敛髓著且褥至l 稠瘫 篁查鎏翟三尘耋塑兰堡当茎堡堡蠹 的误麓。 在本文中主要徽了琵方覆豹工终 1 由于c h o r d 法计簿量小( 在计算过程中减少求逆次数) ，并且当应月 l m a r l 痨运冀潜羲麓荸又方便，瓤鞋一赢蔽寒涤受人们关注。本文甭一类c h o r d 法求解奇异问题。分别在零空间为一维和有限维的情况下证明了类c h o r d 法 静收敛往，褥蓟了相应鹃误差倍诗，并给密了数值簿镶绪莱。 2 外推法在级数计算、圆周率计辫、差分及有限元等方面有着广泛的应 用，将前西凡步计箅豹绪采俸个线往缀合就会大大的灞加萁计算的耩度，怒 费力小、收藏大的一个非常好的计算方法。本文将外推技巧应用到奇具问题得 蓟新的迭代格式，此格式比原束的一粪c h o r d 法的收敛遮液快，并且实际算铡 的结果与理论相吻合。 3 用h a l l e y 法、c h e b y s h e v 法和s u p p e r - h a l l e y 法求解非奇髯问题，一直都 是人们感兴趣的，并且奁这些方厦取褥了许多成果。然而用它们来求鳃奇异闽 题却无入问津。本文将讨论零空间为一维情况下c h e b y s h e v 方法求解奇异问题 的收敛性，褥到了相应的渐近收敛速率。 4 本文利用h i l b e r t 空间中的几何特征构造了求解奇异问题的新的迭代格 式，使毅的迭代格式的收敛速度比牛顿迭代橇式的收敛速度快。 2 。1 毒l 塞 第2 章类c h o r d 法求解奇异闯戆 设f 慧b a n a c h 空阍莒菇自身的c 3 敬豸孝，并譬e 是方程f ( = 0 的一个 孵。如暴x + 使f ( x + 一不存在，那本菩。穆必鸯舅点。近年来，关于在鹰舅点辫 i 蕴萼二顿法及其套耪变型鑫孽收敛犍行为怒令壤热门鹃课题。 蕻中c h o r d 涪亩于诗髯量小( 在计算过程中减少求逆次数) ，并最当应用 m a l l a b 运算时既简单又方便，所以一巍深受人们关注。本文用类c h o r d 法 冀= x 。一a o 联x n ) 求勰辩异鞠瑟。 2 2 零空闷为一雏情况下一类c h o r d 法的收敛慌 2 2 。l 疆备翔谖 假设f ( 并+ ) 为一指数为零的f r e d h o t m 冀子，淹f ( 羔+ ) 的零空闻，并为 f 7 ( x + ) 的值域。用昂表示e 到n 的投影，& 表示簋到搿的投影，则有 p r = i p n ，e 2 o x 对予x e ，记章= 苫一x 。意义 d ( x ) = & f ”( 苫+ ) ( 毛磊+ ) d ( x ) = p s f ”( x + ) c p v tp - ) w ( o ，拶) = 扛印 = 屈，( x ) 此外，牛顿迭代 黾“= 焉一f 7 焉广f ( x o ，羚1 映 反辨猁囊身，序剿 收藏瓤f ，虽煮 器r 聪i i p , , 量玎, + d l = i 1 ”i f ，fhz 敝再。l l o ，辩；o , 1 ， 毒l 璞2 ，2 瞵1 设铤黪b 鸯逆存在，基 l b - l l t - e ，辩南( 胁，热= 藏而) ，势虽 1 i a f ( ) 峪c p ；，越代x 。= “。f ( ) 所产生的序列如。 仍在w ( p ，一) 中，最收散熨x + ，且鼹”l ，有 t 0 蔓磊l 一丢磊) 乞。基炙( 1 一毒幺) 。兰竺垄堡三! 三奎兰鎏誊堡圭耋蓝丝塞 ( 1 + 主咿11 g ( x o - x ) 忙l l g ( x - x ) 焉( 矿x ) 胁去盯1 煅瓯一x + ) 悔女k ，一篇+ n k o 为谖翳上述主要结果，先给凄瑷下弓| 毽 孳l 臻2 。3 取羔。r v ( p , o ) ，= x 。一a 。f ( 羔。) ，- g 羲+ ；= 最蕞一i 2 f ( 黾) 一f 囊+ ) 瓦，焉) + 或 害# 中e ：= y j ( 茁。) f ( 工。) + ，! 。( x 。) 岛( x 。) + ，j ( x 。) 2 ( x 。) 。 ( 2 - i ) 证鞠闲为秘一f ( 南埔 0 ，有 1 ) 存在，使褥b 写0 k o i 限 0 l 风 2 ) 敝引sk o 粉钏2 3 ) 砖p o 4 ) | | 曼刘2 是l 舀刻2 5 ) c o ) l l e f o l l o 最小三1 十c o ) i p 搭o l l ( 2 - 3 ) ( 2 4 ) ( 2 - 5 ) ( 2 - 6 ) ( 2 7 ) 笪竺鎏堡：；銮耋型兰堡当童堡丝蒸 故 i e 明1 ) f ( x 。) ( t x + ) = 尸( 茁。) ( 并。一( ，- p 1 ( x 。) ) f ( x 。) 。f ( x 。) 一x ) 于是 裂有 2 f ( x 。) ( 并一x 。) 一f ( 岛) + 屈( 粕) f ( 善o ) 一1 f ( x o ) 豫f ( x o ) 聪) 十掣f 训2 堋x ) f ( x 。) ：f 0 拿拿( 甍，z o ) + 岛( x )。) 2 ( h ) 0 二 害；贬( 甍，) + 岛( _ x ) x 一x + x o x + 一( f 一媛( 确势f ( 南) 。f ( x o ：粕- - x * 一( x - 届黾) ) 焉一尹，) 一，：! 二篓造焉，焉) ) + 热o ) 掣( 氐) 一t 罢掣曦，焉) + p 2 ( x o ) ：f ，( ) 一t ：! 二肇壶甍，磊焉) 十f ，( ) 一t ：! 二拿壶羲，磊羲) + p 2 ( ) 叫( 广兰掣( 氟，5 - g ) + 尹，( 禹) 一；些q 芸盟隔，舀毛) + 戎) ；：1 ，p , ，z o 拶( x o ) 。掣o 蒜) + y ：妻舀羲+ f t ( ) 一，丛譬望盟( 0 ，舀) + 以( ) 。妻舀羲( ) 一；掣( 瓦，p s o ) + 小) 硝( ) + 戎( ) 葛= 三& f ( 并。) 一f ”( 苫) ( 甍，& 羲) + 岛( ) + ：( x 。) 彤( 岛) 峰足f 强。尸f ”( x 顶羲，只焉) 峙等烘| | | | 最羲l = 譬岛l 焉l l 陂魄) 掰( 南。t 1 莹o t t 2 | | 甏l = c + 风2 | | 峻甍l 坠玺堡墨三尘萋矍兰要耋兰竺鎏耋 于是存在k o ，使得 略钏g 磊砜l b 瓦i f l e 。z , i i 1 ，同时对式( 2 - 1 ) 向x 投影，得到 ，8 。 堕尘鋈罂三查兰壁兰彗土耋堡竺耋 如瓦+ 。= 一昙b f ( ) 一，f 一( x ) 瓯。爵) + 豆：( 2 - l o ) 对t = 牲，由于4 巴或| | 2 i 限甏n 得到 i 陬忙4 & 夏忡i 眩砖4 蔓8 焉孵+ 2 茚l 峨置峪8 & 砭岭+ 2 七l 焉盼 ( 2 - 1 1 ) 存在“ 0 ，使得 脓球) 硝( 0 ，篌餐 l b 硝( 南) 反( 而) | | 兰岛反l 纛1 1 2 岛l 最焉1 1 2 ( i + 2 k h p n 量 o 12 ) ( 2 - 1 3 ) 存在文 0 ，使褥 故 l 怿l 最甍欧2 艇，p o + c 3 l 睇甏1 2 + 。：蕊( 1 + 2 是| | 蜀焉 | ) 2 ) 蔓粉谢1 2 k c i p o + c 3 l l p n 舅1 l + c 2 p 0 0 + 2 k p o ( 1 一) 2 ( 2 - 1 4 ) l l & 菇忙0 峨霸1 1 2 ( 2 k c t p o + e 3 ( 1 一o o ) 一风十c 2 p o ( 1 + 2 k p o ( 1 一o o ) 州) 2 ) 由k + 的定义知 峨钏2 p o 2 k c ，+ c 3 ( 1 一p ) + c 2 ( 1 + 2 k p 。( 1 一o o ) 一1 ) 2 】( 2 - 1 5 ) l 乓f ( x 。) 一1 f ”o + ) ( 瓦，l ) l i 0 - k 黼钏2 ( 1 + 2 k p o ( 1 一o o ) 。) 2 ( 2 - 1 6 ) l 段舔，临女l 峻霸1 1 2 s l 理2 ，6 驭黾渺( 岛8 ) ，对予1 七站，若l l 曼蕞l 蔓2 i | | & 瓦1 2 和 q ， 哈尔演理工大学理学硕斗坞位论文 l 式羲l 墨i 攻蒜l 成立， 爨4 对予1 - k - 豫毫矽( 岛国，有 o - g - t 0 一罢彘一) 磊竖蠡。t ( 1 一号彘。) o - g ( 1 一号轰) - 厶( 1 一言磊) 证明 蟊霹q = 致羲一氏f + 隔) 。f 8 ( x + ) ( 羲，羲) + 蜀嚣： 阂为x 。w ( p ，0 ) ， 由假设得到 y - n n f 8 + ) ( 毛，瓦) = f ”0 + ) ( 垛甄，玮蒜) ( 2 - 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j f ( x 。) ( i i a f ( x 。) l i c p ；) 所产生熬黟列扛。 餐在岛国中，虽收敛骜x 蕴对”1 ，霄 o 0 ( 2 2 6 ) 为证明定理2 2 先给出以下引理 日i 理2 1 0 设x 。r v ( p ，秽) ，x 。+ ，= x 。一a - m f ( x 。) ，( i i a - r ( ) 8 c 露) ， 有 最。= & 毛一妻f 焉) 。f ”( x + ) 毛，毛) + 霹 其中e ：= y ：( x 。) ，( x 。) + r - ；( x 。) 声，( x 。) 十，：( 并) 2 ( x 。) 并由删与i h i 。等价得出如下结论 推论 巴夏：一p 。f ( x o ) qf 一( x + ) ( 瓦， o ) + 属( 并。) + p l ( x 。) 声l x ( x 。) ( 2 - 2 7 ) 由诧 峨刮蔓七蚓i 引理2 ”设g w ( p ，静) ，n 0 ，对1 _ j 曼n ，有l 限瓦忙2 到r 砭晴和 l | 昂砭 是( 焉) 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 可以褥戮 由诧 | | z | l 。mj f r 罩l l 。+ 0 譬0 + 2 k l t p 拶l l 。) i 晶掣4 。g0 + 2 k l l p 搏ol l 。) i i p 譬l i 。 l 蠡( ) 霸，( ) l 2 磁# k | | 蜀氟睡 峪( ) 照( k ) 忙c 。p o ( 1 + 2 i 峨) 28 乓蕞眩 0 r 矿i t - ( 2 k c 。p o + c 2 p o ( 1 + 2 k ( 1 0 0 ) 一1 p o ) 2 十c 3 1 1 瓦忆) i b 砭晦 ( 2 鼢 p o + c 2 p o ( 1 + 2 k ( 1 一) 8 1 p o ) 2 十岛( 1 一繇) 一1 角罐式焉& 2 丽 l t p x f ( x o ) 。f ”( 善2 ) ( 罨，焉l 素l 是瞄毒l 磊蠢蠡( 1 + 2 舞疆一毽) 。磊) 2 国魏，当p ，0 充分，j 、馨孪，得密络论。 目i 理2 1 2 假设“为一个实对称矩阵，d 为微分算子，则裙 & 0 2 f ( x ) ( e a x ，霆y ) = 舀d 2 f ( x ) ( e x ，e a y ) 其中x 、y r ” 证稍v h b ，潮f r e c h e t 导数定义翔 最f ( x + 矗) 一致f ( x ) = 易d f ( x ) h + 疗( 忍) ( 2 - 2 9 ) 鼓寄 d p n f ( x ) h 一磊d f ( x ) h 同理 d 2 & f ( x ) h k = & d 2 f ( x ) h k 蛊捺譬嬲 d 2 乓f ( x ) ( e a x ，e y ) = d 2 & p ( x ) ( 搿，f a y ) 于是有 最d 2 f ( x ) 娶蛾，e y ) = & d 2 f ( x ) ( e x ，f a y ) 萼l 瀵2 。1 3 设r v ( p ，毋) ，怼子t 蔓_ ； 嚣，蓉l 砭l - 2 k i i p ，夏l ：黧 墼兰篓璺三查篓堡兰璧耋兰堡篓堇 f h 玩茎l 峨 0 忆成立，对于1 k n ，e w ( p ，秽) ，并有 则 而 o a h ( 1 一言a k - 1 ) a ；a h ( 1 - 1 a “1 ) 。a 。( 1 一言a 。) a 。g 人。( 1 一i 1 人。) 证明由引理2 1 0 ，得到 r 瓦+ 。= 昂瓦一i 1p 。f7 ( h ) 一f ”( x ) ( 瓦，焉) + 昂e 。 因为x 。w ( p ，口) ，则有 舀= 腭( ) 由于 f 8 ( x + ) ( 茸，焉) = f 8 ( x ) ( 晶我，蜀曩) + 硝( x o ) f l ? ( ) 民f ( ) = & d 。1 ( ) 乓+ f l o ( 岛) 慨圳。慷圳。 得到 珞焉。= 舀甏一三舀移一( ) 磊f ”( x + ) ( 舀甍，舀再) + f l o ( p o ) f l ； ( x ) + 罡；( 热) 群( x o ) f l ；。( 毛) ；r 焉一三最d ( 粕) p n f 一 ) ( 姒。x 。，e a 。工。) + 彤( k ) = b 艺一a e , ，o 一1 ( x 。) p a , f ”( x ) ( e 鬈。，占a 之x 。) + ( x 。) 又由于 d 。( 粕) = 爹。( 工。) + 谚( 编) 段甏+ ；= b 焉一i e a z x 。一昙足岛成，( 风) 最西( ) 置盖。) + & ( ) 而 1 s - 竺：鎏矍三奎誊矍兰堡点耋堡篁塞 峻! 鱼! 箜毒! 蝗：鱼坠! | ! 笠箕! 蛙毋 胁硝瓴) 轧i i s a 。x 。铲 馥鸯 p n p ：t x ，、= 8 。( p j e _ x 。 由魏可知，存在蹩阵a = d i a g ( a ，拜：，) ，露= d i a g ( b i ，趣，) ，筏褥 & 焉+ = e a 。x o 一去e a 批牟岛黝a ：甄十层蛾) e 8 a ：墨= e a 。蜀 于是得到 1 人。“= a 。( ，一a 。十o o a a 。+ p o b a 。) 则当p 。，o o 充分小时，有 o a 。( 1 言a 。) a 。+ l a 。( 1 4 1 _ a 。) l 理2 1 4 v 嘞r v ( p ，移，v k 1 ，毒 i ) 凤= l 限k 风 i i ) 曝2 k ( 1 一o o ) p o l i a 。l i ，崖= l - 0 + 0 1 6 o o t0015 0 0 1 20 l 褥裂 fo 。 、 l 0 0 100 0 1j 裘2 - 2 一娄c h o r d 澶仿冀数据表( 零空瓣为露黢缭) t a b l e 2 * 2 s i m u l a t i o n d a t a t a b l e o f a c l a s s o f c h o r d m e t h o d 秣u l ! s p a c e i s 魏 磷 五 与黾 群= l o o 6 ，7 9 5 5 d 。0 0 61 0 7 d * 0 0 20 8 7 d 0 0 2 鳕= 2 0 0 ；7 9 6 0 d 。枣0 6 o 。s 5 d 国0 2g t 4 5 d 粥2 胛= 3 0 08 ，1 4 8 5 d 0 0 70 1 3 7 d 0 0 2 o 3 0 d 0 0 2 ”= 4 0 04 6 3 4 0 d 。0 0 70 2 8 d 0 0 2o 2 3 d 一0 0 2 聍= 5 0 02 9 8 6 l d 。0 0 7o 2 2 d 0 0 2o 1 8 d 0 0 2 摊= 6 0 02 0 8 3 4 d 0 游0 i 晒前既 e 1 5 d 0 0 2 推= 7 0 0j 5 3 6 0 d 7o 。1 6 d 2o 。i s d 。2 ”= 8 0 01 1 7 9 1 d 。0 0 70 1 4 d 0 0 2o 1l d 0 0 2 摊= 9 0 09 3 3 5 6 d 。0 0 8o 。1 3 d ，0 0 2o 1 0 d 0 0 2 胛= 】0 0 0 7 5 7 4 7 d 0 0 8 o 】l d 一0 0 29 18 6 2 d 0 0 4 h = 2 0 0 0 9 0 8 9 d - 0 0 85 6 9 4 1 婚43 。0 7 9 3 d 。0 0 4 2 4 本肇小结 本鬻不仅谣翻了在零空阊为维情况下的类c h o r d 法求解奇异问题的收 敛程，褥到谈差髅幸 。并且将结论推广戮了零警蠲为有辗绻静一般情况。 哈尔滨理工大学理学硕十学位论文 3 1 弓i 言 第3 章加速迭代格式的构造 由第- 2 章第一节可知，在零空间为一维情况下一类c h o r d 法在一定的条件 下是收敛的，但并没有像非奇异问题那样的收敛速度，而是次线性收敛，因 此，研究擒造燕邃迭代捂式是j 常有_ 蹲l 的。 3 2 主要结论 为了糯侠一类c h o r d 迭代序猁的收敛速度，强穗如下的改避格式 嘉兰嘉z 摹鲁，( 3 - 1 t x ， 【+ 12 一 十l 以， j 这里，毛+ 。是一个依赖于n 的待定常数，在奇异点附近，一类c h o r d 迭代序列 在f ( x + ) 的零空目j n 方向收敛比较慢，主要的目标是适当校正一类c h o r d 迭代 序列在方向的分量。从而，加快迭代的收敛速度，使它达到l 瓦一x l 1 砉， 其中露是不依赖予卯的常数。 由式0 1 ，摄到 瓦+ 1 = 一 + l a 州f ( “) = + 】( _ 一a 州f ( _ ) ) + ( 1 一丸+ 1 ) 矗= 五卅1 x 舯1 + ( 1 一丑卅1 ) x ” 嚣边囿时自零空潮投影，褥到 民焉+ 1 = 。l 粕x l + ( 1 一 + 1 ) 珊 由于蜀南= 霸，予是 磊+ 1 = 厶“厶+ 1 + ( 1 一凡+ 1 ) 品 濒透缝育 靠= 嫩+ 等+ 哈尔满理工人学理学硕士学位论_ 盘= 于是 纛t 2 嚼+ 石f 备+ 。】+ l 一确) 噜+ + 】 ”+ lf + 1 1 胛舯 为翻速浚敛，令 盘煎。i ! = 盔芷超：0 雌+ ln 褥到l 。产辫+ l ，印羁“= 一( 拜+ 1 ) _ - i f ( x 。) 。予楚彳导到定毽。 定理3 1 x n + l 是由 j “。直。f ( 而) ( 3 - 2 ) 夏+ l = ( 捧+ 1 ) 黾“一 l k 得粪懿邀找痔列，那么 - n + - - x * 怦紊铲紊 证明l b ( 霸+ ，一x + ) l = l 纛t p ( x o x 4 ) l 蔓等( 1 一岛) 一凤蔓参 盎文激【3 6 】熟，致 摊。 涯翳赂。 注：式( 3 4 ) 中掰一n + l ，即为式( 3