浅谈08至13年江苏高考附加题最后一题.doc

08-13江苏高考数学附加题最后一题解析点评（08年23题）23【必做题】请先阅读：在等式（）的两边求导，得：，由求导法则，得，化简得等式：（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式 （，正整数），证明：（2）对于正整数，求证：（i）； （ii）； （iii）证明：（1）在等式两边对求导得 移项得 （*）（2）（i）在（*）式中，令，把-n移过去整理得 所以 =0（ii）看到项，首先想到的就是升次，所以必定是求两次导由（1）知继续两边对求导，得在上式中，令 即 ，亦即 又时， （1）又由（i）知 （2）由（1）+（2）得（iii）（官方解答）第三问中含有，而且是在分母上的，有种逆求导的感觉，所以想到跟积分有关，故将等式两边在上对积分 由微积分基本定理，得 所以 第（iii）问别解：搞过数学竞赛的同学很容易就想到一个组合恒等式，所以等价于证，即证 而这时显然的。点评：江苏的这道题是新课改后的第一张试卷，所以命题还不成熟，对于绝大部分普通学生，此题属于难题，但却很适合竞赛党，这不明摆着照顾竞赛党么。这道题是组合恒等式的范畴，用到的技巧又是算两次，标答中竟然还用到了微积分，只能呵呵了。（09年23题）23. （本题满分10分）对于正整数2，用表示关于的一元二次方程有实数根的有序数组的组数，其中（和可以相等）；对于随机选取的（和可以相等），记为关于的一元二次方程有实数根的概率。（1）求和；（2）求证：对任意正整数2，有.下面先给出官方解答：上面第二问的标准解答用的是对立事件，而且没有去求，而是在概率分析上放缩，这时它的高明之处。然而其实大可不必这样做，这道题可以说是很简单的题目，我来给出第二问的直接解法：（2）证明：我们沿用第一问的思路，引入高斯符号 ,例如x表示不大于x的最大整数。 当，总有，所以共有组有序数对； 当，因为，所以共有组有序数对。所以根据高斯函数的定义，易得点评：此题属于容易题，就是普普通通的放缩而已。（10年23题）已知ABC的三边长都是有理数。（1） 求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。同样先给出官方答案：这道题出自葛军之手，同样也有竞赛的背景，他给的答案中采用的加强命题的技巧。其实这是一类竞赛题型，在对偶原理中经常能见到这种题目，要证cos不容易入手，那我就再顺手牵羊证sin也满足如此性质。可是看到此题竞赛党又乐了，不就是第二数学归纳法吗？下面给出别解：（1） 证明：设三边长分别为，是有理数，是有理数，分母为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，必为有理数，cosA是有理数。（2）当时，显然cosA是有理数；当时，因为cosA是有理数， 也是有理数；假设当时，结论成立，即coskA、均是有理数。当时，解得：cosA，均是有理数，是有理数，是有理数。即当时，结论成立。综上所述，对于任意正整数n，cosnA也是有理数。点评：此题又是照顾竞赛党，表示呵呵。（11年23题）设整数，是平面直角坐标系中的点，其中 （1）记为满足的点的个数，求；（2）记为满足是整数的点的个数，求解析：（1）因为满足的每一组解构成一个点所以。（2）设，则 （竞赛中就写作，即同余），同样，它的每一组解对应一个点，所以对于每个。下面就是要解决，又因为，所以，那么我们在想这个问题：在区间中，到底有多少整数呢？如果由前面我讲过的高斯函数性质的话，那么很简单，共有个整数，k的取值最大为，所以。（保留这个和式就行了，不必展开算。）如果你不用高斯函数，那么就按标准答案一样规规矩矩来，分类讨论后再整合。关于标答请自行百度。点评：此题属于中高档题，以数论中同余的背景来切入高中数学分类讨论的思想，是一道好题。（12年23题）设集合，记为同时满足下列条件的集合的个数：；若，则；若，则。（1）求；（2）求的解析式（用表示）照惯例，先给出官方解答：解：（1）当时，符合条件的集合为：， =4。 ( 2 ）任取偶数，将除以2 ，若商仍为偶数再除以2 ， 经过次以后商必为奇数此时记商为。于是，其中为奇数。由条件知若则为偶数；若，则为奇数。于是是否属于，由是否属于及k的奇偶性确定。设是中所有奇数的集合因此等于的子集个数。当为偶数 或奇数）时，中奇数的个数是（）。标准答案给得很好，通俗易懂，虽然涉及到了一个数论中小小的基本知识：任意一个正整数可以表示为，其中。这道题因为比较巧，比较难，请恕我在短时间内也想不到更好的解法了。这道题应该是近几年江苏附加题最难的一道了。（13年23题）设数列：，即当时，.记.对于，定义集合是的整数倍，且.（1） 求集合中元素的个数；（2） 求集合中元素的个数.解：（1）通过计算易知个数为5. （2）思路：尝试探寻的通项，与的通项比较发现规律.若为奇数，且时，则数列前个数为：，（） 为奇数，为奇数，为偶数，是整数，故均能整除.若为偶数，且时，则数列前个数为：，（）为奇数，为偶数