（概率论与数理统计专业论文）wiener泛函的分数次正则性、连续性及伊藤公式的推广.pdf

华中科技大学博士学位论文 摘要 本文主要包括两个方面的内容：一是w i e n e r 泛函的分数次正则性与连续性 的研究，二是某些条件下平方协变差的存在性及其拟必然性质的证明和讨论， 以及现有的i t 5 公式的推广 1 、分数次正则函数的三种连续性研究 这一部分主要针对分数次正则函数的拟连续、轨道连续和径向连续这三种 连续性来研究，并深入讨论了这三种连续性之间的内在关系 f1 1 拟连续和轨道连续 、 设( e ，8 ，p ) 是一可测空间。其中e 是第二可数拓扑空间，8 是e 上的 b o r e lo - 一代数，p 是口上正的，有限胎紧测度，且肛的支撑是e 护( e ；卢) ， p 1 是与通常范数相应的实驴空间，d g = ( i l ) 一 ( ( e ；肛) ) 是定义在d d 上的双线性型，记为占( ，g ) 给出以下三点假设： ( a 1 ) 是局部的且允许有一个场平方算子，r 是与之相联的场平方算 子，满足 1 e ( ，g ) = 言r ( ，g ) d i t ，g d ： j ( a 2 ) 对任意的p 1 ，二定存在一常数q 0 ，使得对所有的，d ， s 1 i f l l ，+ f f r i ( ，) f i ，j i l ，f f p ，- g ( 0 ，l i ，+ | i r ( ，) i l ，1 ( a 3 ) d i r i c h l e t 型( ，讲) 是拟正则的 在上面的三种假设下，一定存在一连续的m a r k o v 过程( x de o ，定义在 概率空间( q ，户，p ) 上，与d i r i c h l e t 型( ，d ) 相对应，本文证明了以下的结 果： 定理1 ：假设条件( a 1 ) ，( a 2 ) 和( a 3 ) 满足如果，擘，0 2 ，那么t 时，+ ( 五) 是几乎必然a - h s l d e r 连续，其中 ；一：；，是 ，的( p ，r ) 再定义 该定理可以推广到多参数过程如下； 定理2 ：如果，d # ，0 2 n ，那么t 卜，( 砬) 是几乎必然局部 华中科技大学博士学位论文 。一h s l d e r 连续，q ；一；，t r 华 12 拟连续和径向连续 设e 是r 上的局部凸拓扑向量空间。定义 t k ( z ) ：= z 一七，z e 固定k e 满足以下条件： ( c ) p 是k 一拟不变的，即；对所有的s r ，肛0t s _ 1 k 垒灿且有r a d o n n i k o d y m 导数 。：= 掣，s r ， 密度有如下性质： ( c 1 ) a ：k n g l 工4 ( e ；肛) ，8 r ，且对所有的q 1 ，o o ) ，函数8r _ i l 是r 上局部有界的 ( c 2 ) 对所有的紧集c cr 厶赤拈 1 ，0 0 ，h = ( h i ，h 。) h “那么存 在一常数c = g ( p ，口，r ，h ，t ) ，使得对每一个f 睇， 且 f 【o , r 1 e c i ( + s ，h + c ) l f l ；。 ，( i 小炉斋 二卅。二即陋( f ，( + 旬 1q - - + 翰) 一，( + t - ，+ + 。 。) f 4 ) 2 f _ = ；菁集丽 s o l l f l l ； i i 华中科技大学博士学位论文 定理4 ：假设，蛾，p a 礼那么对于任意的h = 1 ，一，h 。) h “， 一定存在，的再定义函数，使得函数【0 ，t p 弓8 卜( z + s h ) r ，对于 所有的z e 是连续的 上述有关分数次正则函数的连续性结论可以应用到局部时和遍历性问题 中，有关这方面的内容本文有详细的结果火 2 、扩散过程停时的光滑性 所谓停时的光滑性指的是它属于某个分数次s o b o l e v 空间壤( 或d ：) f 设 ( ，彬p ) 是经典的w i e n e r 空间，彬日分别是c 铲( ( o ，) ，r d ) 关于范数、 删咿一p 炒， 和 r l 日2 【上i i 。( t ) j 1 2 d t 5 ， 的完备化其中l l 表示r d 上的通常范数，肛是与( h ，彬p ) 上d _ 维b r o w n 运动相联的w i e n e r 测度考虑r d 上的二阶椭圆微分算子l 如下： 1 dd l = ；a + j ( x ) o i o j + 6 t ( z ) 岛 。i = l j = l i = l 假设口蚶，阢c p ，即上的无穷次可微有界函数 如果盯是d d 矩阵使得a = 盯盯t 且仃曙。那么与l 相联的起点为z 的扩散过程x ( t ，x ) 可由i t 6 随机微分方程给出 d d x i ( t ，。) = 吼，k ( x ( t ，z ) ) d ( t ) + 6 t ( x ( t ，x ) ) d t ， k = l i = 1 ，2 ，d ，x ( o ，x ) = x 令0 为剧上的有界连通开集且有g 0 0 边界0 0 ， x o 0 定义 r ，z o ) = i n f t 0 使得x ( t ，x 0 ) 管o ) 可得到下面的结论； 。 定理5 ：如果盯是单位矩阵，那么当p a 1 时r 蛾吵 3 、平方协变差的存在性与推广的i t 6 公式 i i i 华中科技大学博士学位论文 经典的i t 5 公式具有较好的形式，但是它要求f g 2 ( r ) ，这一条件较为 苛刻，这一部分定义了另一种类型的平方协变差，并把i t 5 公式推广到了一个 较弱的条件下 令五是连续半鞅，f 是r 上b o r e l 可测且局部可积函数，记研为五在 口点的局部时 陡义如下形式的平方协变差： 、 i f ( x ) ，x 】t ：= 2 f i ，凰x ，( s ) d s z ，( 磁) d 墨】，t r + 很显然当且仅当厝f ( x s ) d x 存在时，【，忧) ，x 】存在 定理6 ：对每个r + ，只要随机积分詹f ( x , ) d x s 存在则积分如f ( 4 d 。i 。a 存在，并且我们有 i f ( x ) ，x 】产一厶伽) d n e 和如下推广的i t 6 公武t f ( x t ) 一f ( x o ) = f o 。f ( x ，) d x ，+ ；f ，( x ) ，圈。 其中f 是f 的原函数 如果x 是一个特殊的连续半鞅，即d 维b r o w n 运动，则有如下形式的平 方协变差： i f ( x ) ，x 】产撬。莓。【，( 如+ 。) 一，( 如) 】( 磁+ ，一戤) ， ，d n ，0 如 0s u c ht h a t f o r “ff d r c i l 1 1 1 1 ，十i i r ( ) l l ，】sj j ，ij ，z 冬c ； 1 1 1 1 ，+ i i f ( f ) l l ，】 ( a 3 ) t h ed i r i c h l e tl o r ，n ( ，d 2 ) i sq u a s i r e g u l a r u n d e rt h ec o n d i t i o n s ( a 1 ) ，( a 2 ) a n d ( a 3 ) ，t h e r ee x i s t s ac o n t i n u o u s m a r k o vp r o c e s s ( x t ) t o d e f i n e d ，s a y ，o nap r o b a b i l i t ys p a c e ( n ，p ) 一 a s s o c i a t e dt o ( ，d 2 ) a n dt h ef o l l o w i n gr e s u l th o l d s t h e o r e m1 z f f 研，0 2 ，t h e nt 卜+ ，( 咒) i sa l m o s t s u r e l y 口一h 6 1 d e rc o n t i n u o u s o ro g 一；1 ，w h e r e ，+ i sn ( p ，r ) 一r e d e f i n i t i o no f ， w en o ws t a t eag e n e r a l i z a t i o no ft h er e s u l t so ft h ep r o c e e d i n gr e s u l tt ot h e m u l t i p a r a m e t e rp r o c e s s ： v 华中科技大学博士学位论文 t h e o r e m2 盯，d ，0 2 n ，t h e nt 卜，+ ( x t ) i sa l m o s t s u r e l yl o c a l l yq - h 6 1 d e rc o n t i n u o u s t o ra 1 ，0 0a n dh = ( h i ，h 。) 日“ t h e r ee x i s t sac o n s t a n tc = c ( v ，q ，r ，h ，t ) s u c ht h a t 二巾吲| ，( + s c 1 1 $ 1 1 ；。 + s n 。) 一”) 阱两d s a n d 二”不”+ s - 扣+ s ) 一，( + t ，h + + k h 。) 1 4 ) 】；f ! ；菁 c l l f l l ；， v i 华中科技大学博士学位论文 0 re v e r y | b y t h e o r e m4 s u p p o s e ，e 暑，w i t hp o n t h e n f o ra n yh = ( h l ，h n ) 胛，t h e r ee x i s t s 口r e d e f i n i t i o nfs u c ht h a tt h e f u n c t i o n 0 ，卅”弓8h ( z + s h ) ri sc o n t i n u o u s i o ra l lz e t h ea b o v e m e n t i o n e dc o n c l u s i o nc a nb ea p p l i e dt ot h eq u a s i e v e r y w h e r e e x i s t e n c eo fl o c a lt i m e so fs m o o t hm a r t i n g a l e sa n dt h ee r g o d i c i t yp r o b l e m ，s e e t h et h e s i sf o rd e t a i l s 2 s m o o t h n e s so f s t o p p i n gt i m e so fd i f f u s i o np r o c e s s e s s m o o t h n e s so fas t o p p i n gt i m ew i l lb ed e f i n e da si t s m e m b e r s h i pt os o m e f r a c t i o n a ls p a c e sd ：o r 醒l e t ( h ，w p ) b et h ec l a s s i c a lw i e n e rs p a c e t h e s p a c e sw a n dha r er e s p e c t i v e l yt h ec o m p l e t i o n o f 四。( 【o ，o o ) ，r “) w i t hr e s p e c t t o t h en o r m s w 溯0 锹，1 十l a n d | | u 1 1 h = 【z 。i l 。( t ) | | 2 d ， w h e r e 0s t a n d sf o r t h eu s u a ln o r mi n r 8 ，a n d “i st h ew i e n e rm e a s u r e a s s o c i a t e dt ot h ed - d i m e n s i o n a lb r o w n i a n m o t i o n u ( t ) ，t o ) o n ( 日，彤p ) w e s t u d yi nt h i sp a r tt h ec a s eo fad i f f u s i o na s s o c i a t e dt oas e c o n do r d e re l l i p t i c d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r 工o n 兄dw r i t t e na s 1 dd l = ；a i ，j ( z ) a a j + 如( z ) b 。i = l j = li = 1 w ea s s u m et h a ta i 。j ，以曙，i e a r ei n f i n i t e l yd i f f e r e n t i a b l eb o u n d e df u n c t i o n s o n r d i f 口i sa , d dm a t r i xs u c ht h a ta = 盯盯ra n d 盯c 苫o ，t h ed i f f u s i o np r o c e s s x ( t ，z ) a s s o c i a t e dt ol a n d s t a r t i n ga tx 0i sg i v e nb y t h e s y s t e m o fi t 5s t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s d x | i ( t ，z ) = 以，k ( x ( t ，z ) ) d 呲( t ) + b i ( x ( t ，x ) ) d t ， v i i 华中科技大学博士学位论文 i = 1 ，2 ，d ，x ( o ，正) = z l e to b eab o u n d e dc o n n e c t e do p e ns e ti nr “w i t h ac o ob o u n d a r y0 0a n dl e t 。o o d e f i n e r ( w ，z o ) = i n f t2 0 s u c ht h a t x ( t ，x 0 ) 掣d w eh a v et h ef o l l o w i n gr e s u l t s ： t h e o r e m5 盯盯i su n i tm a t r i x ，t h e nf 嚣罢p r o v i d e dt h a tp a n ，则其中函数有连续修正但在无穷维 空间中n = o 。，因此没有理由指望d 中泛函也有连续修正为了讨论其正 则性质，m a l l i a v i n 【7 】引入了( k ，p ) 一容度及( k ，p ) 一拟连续的概念，由此开创 了所谓拟必然分析的研究领域在经典概率论中允许忽略零概率事件，即零测 度集合，因此可以称作几乎必然分析但在无穷维随机分析中，某些零测度集 合往往是不能忽略的因此我们需要更精细的分析，只允许忽略关于一族( 可 能相互奇异) 测度的“普遍零集”，即所谓疏集，这就是拟必然分析该理论被 f u k u s h i m a ，h i r s h ，t e n ，s u g i t a 等人进一步深化目前，许多经典的几乎 必然性质被加强到拟必然意义下 1 2 本文安排 本文主要是两个方面的内容一方面研究了有关s o b o l e v 空间中w i e n e r 泛函 的分数次正则性及连续性，另一方面推广了现有的i t 6 公式共分为六章如下： 第一章绪论部分着重讲述了随机过程发展的由来，以及简单介绍了在其基 础上发展起来的随机分析学此外，对本文的结构作了介绍 第二章是w i e n e r 泛函的s o b o l e v 空间和m a l l i a v i n 计算，本章是后续章节 的基础抽象w i e n e r 空间最初是由g r o s s 在【8 】中提出，其上的微分结构完全 取决于其c a m e r o n m a r t i n 子空间k i t 5 【9 1 0 l 的研究工作表明，可以仅从一 个可分h i l b e r t 空问出发，建立不依赖于其它任何附加结构的随机变分学这 一基本框架的突出优点是；人们可以根据实际问题的需要，选择不同的模型 第三章我们对b a n a c h 空间中的插值理论作了一个简单的描述详细介绍 了实插值中的k 一方法和t ，方法以及彼此的等价性，并对由迹方法给出的分数 次s o b o l e v 空间作了应用，需要指出的是所有用实插值方法定义的空间在范数 的意义下都是等价的继而，又介绍了一种完全不同于实方法的复方法虽然 2 华中科技大学博士学位论文 两种方法不同，但它们之间有密切的联系，同时，也有许多好的性质最后， 说明了抽象w i e n e r 空间上的s o b o l e v 空间d ：实际上可由复插值方法得到 本章内容主要参考了 1 1 】 第四章主要针对分数次正则函数的三种连续性进行了研究我们知道在 s o b o l e v 嵌入定理中只有当可微性指标与可积性指标的乘积大于空间的维数 时，其中的每一个元素才会有连续的修正，而我们所感兴趣的空间通常是无 穷维的，并且许多重要的泛函也属于这个无穷维的空间为了解决这个问题， 人们进行了大量的研究产生了如下的三种连续性：拟连续，轨道连续和径向连 续尤其是拟连续和容度概念的提出，使得m a l l i a v i n 开辟了拟必然分析这一 新领域，并得到了好的发展和应用本章的目的就是要找寻这三种连续性内在 之闯的联系首先我们得到了类似于经典s o b o l e v 嵌入定理的一个结论，使得 可微性指标和可积性指标有了很好的补充其次我们证明了函数的拟连续修正 版本，沿着其所有的c a m e r o n m a r t i n 方向都是连续的最后，我们把这两大 结果分别应用到了局部时和遍历性问题中 第五章的目的是研究扩散过程停时的光滑性在f 1 2 1 中，a i r a u l t ，m a l l i a v i n 和r e n 已经证明了一般扩散过程截断停时的光滑性以及b r o w n 运动非截断停 时的光滑性，那么，能不能将此两种结果加以综合，把它推广到一个比较一般的 扩散过程，并研究其非截断停时的光滑性呢? 这里，我们采用了k 一函数和正 交分解的方法给出了一肯定的回答，即；带有漂移系数的扩散过程，当p o 1 时，其非截断停时属于某个s o b o l e v 空间 第六章是关于i t 6 公式的推广i t 5 公式是类似于确定性微分方程中的一 套复合函数的微分法则在经典的i t 5 公式中，是限制在g 2 函数中的，这 个条件比较苛刻，以后许多人都着手研究i t 6 公式的推广，希望把这个苛刻的 条件减弱平方协变差是一种不同于平方变差的新形式，它的存在性在推广的 i t 5 公式中起着至关重要的作用本文在以前的研究基础上，定义了一种新形 式的平方协变差，并把i t 5 公式推广到了更宽的条件下，而且阐明了这种新形 式的平方协变差与以前的是相容的，推广的i t 6 公式在苛刻的条件下与以前经 典的i t 5 公式有相同的形式最后还讨论了有关平方协变差的一些性质 第七章对本文的工作进行了总结，重述了一些重要结论，并对下一步工作 进行了展望 3 华中科技大学博士学位论文 2w i e n e r 泛函的s o b o l e v 空间和m a l l i a v i n 的计算 2 1 抽象w i e n e r 空间及w i e n e r 泛函 设x 为一实可分b a n a c h 空间，x 为其对偶空间我们用1 l l l 和| l 恢分 别表示x 和x 上的范数，并用( ，) 表示x + x 上的典则双线性型 定义2 1 1 设x 为一实可分b a n a c h 空间，p 为x 上的b o r e l 概率测度，如 果对一切z x + ，( f ，) 为x 上的零均值正态随机变量，则称肛为x 上的对称 g a u s s 测度这时称( x ，t 3 ( x ) ，肛) 为g a u s s 测度空间 设( x ，层( x ) ，卢) 为g a u s s 测度空间其中日为一可分h i l b e r t 空问且连 续、稠密地嵌入x 若j ：h _ x 为嵌入映射，则其对偶映射，+ 将x 连 续、稠密地嵌入日型日，于是有 x qh 笔hqx ? 设“满足 厶e x p i ( f ，。) ) 肛( 出) = e 印 一扣，f 幅) ，v l x + ， ( 日，x ，肛) 称为抽象w i e n e r 空间 定理2 1 2 若( 日，x ，p ) 为抽象w i e n e r 空间，则存在另一b a n a e h 空间y ，使 y l x 为紧，且( 日，k 肛) 仍为抽象w i e n e r 空间 下面介绍w i e n e r 空间的特殊情形一经典w i e n e r 空间，但所有结果均可 推广到抽象w i e n e r 空间 例：( 经典w i e n e r 空问) 设w = c 0 1 0 ，1 】为定义在区间1 0 ，1 】上、满足 w ( o ) = 0 的实值连续函数的全体构成的b a n a c h 空间，其范数为 l i 叫l l w = s u pl w ( t ) l ， o t l 芦为其上w i e n e r 测度设h = l 2 【o ，1 ，对v h h ，令 r t o ) 2 1 0 h ( s ) d s ，( o t 1 ) 4 华中科技大学博士学位论文 则h w ，且 i i h l l w = s u plj ； h ( s ) d s i s u p ( tj ； i h ( s ) 1 2 d s ) s ( 矗l h ( s ) 1 2 d s ) = i i h l l 于是映射j ：hh h 为日_ + w 中的连续线性单射，且h 三j ( h ) 在彤中稠 密，日称为彬的c a m e r o n m a r t i n 子空间设+ 为的对偶空间，将日+ 与日视为等同，则 w + qh + 竺日qw 可以证明：对任一实可分b a n a e h 空间x ，至少可以构造x 的一稠密子 集日，它按某个h i l b e r t 范数为h i l b e r t 空间，使得x 的范数限于日比日的 h i l b e r t 范数弱，且关于日上的标准g a u s s 柱测度可测于是存在x 上的唯一 g a u s s 测度p ( 它是日上柱测度到x 上的提升的扩张) ，使得( 日，x ，肛) 为一 抽象w i e n e r 空间下一定理表明；经典w i e n e r 空间连同c m e r o n m a r t i n 子 空间构成一抽象w i e n e r 空间 定理2 1 3 令x = c o ( o ，1 】；r a ) 为 0 ，1 】上在0 处为0 的r 8 值连续函数 全体，0 | | 为x 上的上确界范数，即对h = ( h i ，一，h a ) x ，l i h l i 三 2 1s u p o t o i ( d ) l f = 盖正fl 妊o = e 器l ( 一n ) 厶f 这是由于半群的生成算子l 与前面的定义相一致 f d ( l ) ：= f l 2 ：n 2 i | 厶硎； o o ) n = l 实际上正有更强的超压缩性： 定理2 3 7 ( n e l s o n ) 设l p 那 么对f 妒( 彬b ，p ) ，有 l i t t f l l q ( t ) si i f l l p 华中科技大学博士学位论文 2 4 w i e n e r 泛函的s o b o l e v 空间 首先引入一赫i s o b o l e v 范数：根据w i e n e r i t 6 分解妒= 。厶妒，l ( p = 。( n ) j e 可以定义p 上的算子( j l ) ；，其中，表示恒等映射，r 是任意的实数， ( j l ) i 【p = z ( 1 + n ) 厶妒 h 对s r 及p ( 1 ，o 。) ，在p ( 刀) 上定义范数。 m 良= 眦一l ) 载p i i l ，( e ) 当e = r 时，简记为。这一族范数具有以下的性质 命题2 4 1 设i p ，妒，妒l ，i p 2 ，p ( e ) ；8 ，8 r ；p ，q ，p ( 1 ，o o ) ，则有 ( j ) 单调性：ps 矿，ss s ，令l i 训品i m i 多, 。，； ( 2 ) 相容性：i i m n 一+ * l l f 瞄= 0 ，l i m m ，。一+ 。l l 妒。一妒。眵，= 0 令l i m 。- + 。 峨，= o i ( 3 ) 对偶性；1 + ；1 = 1 辛 s u p e 妒) f j ：知 其中上确界是对一切满足l | 妒峪。1 的妒p ( e ) 而选取的 定义2 4 2 对p ( 1 ，o o ) ，s r ，定义d ；( e ) 为p 俾) 关于范数崾，完备 化得到的b a n a c h 空间 令 d ”( e ) = nnd ；( e ) ， ， s 0 l p ol p 由命题2 4 1 可知，当p p ，8 8 7 时有 d p l ( e ) d ( e ) 华中科技大学博士学位论文 因为d g ( e ) = i f ( e ) ，若将l 2 ( e ) + 和l 2 ( f ) 视为同一，则当；+ i 1 = 1 时有 d r ( e ) + = d ! 。( e ) 且若1sp q 0 0 ，0 r 8 o o ，则 d rcd v rc 磁三i f c d p - ，cd p - 。 uuuuu d ；cd ；cd g 三l 4 c d q - rcd q - 。 当8 0 时，d ；( e ) 中的元素均为e 值w i e n e r 泛函；当8 0 时，d ；( e ) 中的元素未必都是e 值w i e n e r 泛函，称为广义w i e n e r 泛函 当8 为整数k 时，常见如下几中s o b o l e v 范数： k i l 妒i k ，女：= ( 0 妒l l ；+ l i d 妒l l g ) ；， j = l j i i p 0 ；， ：= 0 妒j | p + l i d 2 妒l i p 为了了解它们之间的关系，可以参见如下的m e y e r 不等式： 定理2 4 3 ( m e y e r ) 对于1 0 使得v l p p 有 岛，k i d 妒i i p i l 妒i i ，k c ；，kc l l 妒l l p + 0 d 。l p 0 ，) ( 2 6 ) 定理2 4 4 对p ( 1 ，o 。) ，k n ，下面的范数等价： 0 妒l i ， 1 1 p i i p + l i d 妒i i ， i i ( i l ) l l ， m i ，k 0d i 妒恬 i = 0 由上面的定理可知，当8 = k 为整数时根据不同范数定义的s o b o l e v 空间， 实际上是相同的空间 1 3 华中科技大学博士学位论文 定理2 4 5 对p ( 1 ，o o ) ，8 r ，线性算子d 和l 可唯一地延拓成如下的有 界算子 d ：上碍( e ) - 上) 翌1 ( 日o e ) ， l ：d ；( e ) + i ) 0 2 ( e ) 因此d 的对偶算子6 作为线性算子有界： 6 ：d ：( 日o e ) + d ：一1 ( e ) 且满足条件一舡) = l 由此定理可知复合泛函微分公式等均可推广到相应的s o b o l e v 空间上去 特别当s f 和s 村( e ) 分别代之以d o o 和d o o ( f ) 时这些公式均成立 命题2 4 6 假定，为形上的光滑泛函，妒1 j ，妒。d ”，那么f = ，( 妒1 ， ，妒。) d o 。，且 d f = e 岛，( 妒1 ，) d c p j ， j = l n lf= e 巩。瓯，( 妒1 ，妒。) ( d 。，d ，) 一巩，( i p l k = l 特别，若e g d 0 。，则 妒。) l i p l ( f g ) = f l g + g l f + 2 ( df d g ) h ， 设f ，g d ”：v d ”( 日) ，则 e ( df ，v ) x = e ( f s v ) ， d ( f y ) = f d 矿一( d e 矿) h ， 5 ( f d g ) = - f l g 一( d eg ) 日， e ( f l g ) = 一e ( d ed g ) h = e ( g l f ) 1 4 华中科技大学博士学位论文 在本章最后，需要介绍一个有关s o b o l e v 空间的重要定理，即s o b o l e v 嵌 入定理，其核，5 - 的结果应归功于s o b o l e v 【1 4 】正是由于s o b o l e v 空间的嵌入 性质才使得s o b o l e v 空间在分析中，特别是在微分算子和积分算子的研究中如 此的有用 定理2 4 7 ( s o b o l e v 嵌人定理) qcr - 是一个开集一定存在一常数 c = g ( 扎，七，p ) 使得如果k p n ，那么 u i | p * ；1 2 c i l u l l k n d ( q ) l g ( q ) 注：严格地说，d ( n ) 中的元素不是在