（计算数学专业论文）非线性演化方程精确解研究.pdf

摘要 寻求非线性演化方程的精确解在非线性科学中是非常重要的任务，也是一顼很有意 义的工作首先，给出由修正g e l f a n d - d i k i i 系统发展而来的修正b o u s s i n e s q 方程其 次，我们利用双线性方法和w r o n s k i a n 技巧研究修正b o u s s i n e s q 方程最后，我们得到 上述方程的孤子解据我们所知，这些解是新解，并且对解释物理现象是非常有用的 众所周知，微分差分方程可以在许多领域中描述许多非常重要的物理现象和动态过 程，例如格子部分振动、电子网络电流、生物链叠加等等，在现代物理的研究中起着非 常重要的作用，它们均可以用非线性微分差分方程来描述，这使得研究微分差分方程很 有意义 不久前，b a l d w i n 等人提出了一种方法，得到了h y b r i d ，v o l t e r r a ，d i s c r e t em k d v ， a b l o w i t z - l a d i k ，t o d a 等差分方程的t a n h 和纽状孤子解其后，谢富鼎推广这种方法， 获得了t a n h 和c o t 形式的周期解尽管如此，谢的方法得不到离散形式的钟状孤波解 利用计算机工具m a p l e ，我们构造了一种新方法来求解非线性微分差分方程，并得到 了( 2 + 1 ) 维t o d a 方程的丰富的孤波解和周期解 关键词：双线性导数；w r o n s k i a n 技巧；h i r o t a 方法；修正b o u s s i n e s q 方程；( 2 + 1 ) 维t o d a 方程；精确解 a bs t r a c t s e a r c h i n gf o re x a c ts o l u t i o n st on o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n si sv e r yi m p o r t a n tt a s k a n dm t e r e s t m gw o r ki nn o n l i n e a rs c i e n c e f i r s t l y , t h em o d i f i e db o a s s m e s qe q u a t i o ni s d e r i v e df r o mt h em o d i f i e dg e l f a n d - d i k i i ( m g d ) s y s t e m s e c o n d l y , w es t u d yt h em o d i f i e d b o u s s i n e s qe q t m t i o nb yu s i n gb i l i n e a xm e t h o da n dw r o n s k i a nt e c h n i q u e f i n a l l y , w e o b t a i nt h en s o l i t o ns o l u t i o n st ot h ea b o v ee q u a t i o n i no u rk n o w l e d g e ，t h e s es o l u t i o n s a x en e wa n dt h e ya x ev e r yu s e f u lt oe x p l a i np h y s i c a lp h e n o m e n a i ti sw e l lk n o w nt h a tt h ei n v e s t i g a t i o no fd i f f e r e n t i a l - d i f f e r e n c ee q u a t i o n s ( d d e s ) ， w h i c hd e s c r i b em a n yi m p o r t a n tp h e n o m e n aa n dd y n a m i c a lp r o c e s s e si nm a n yd i f f e r e n t f i e l d s ，s u c ha sp a r t i a lv i b r a t i o n si nl a t t i c e s ，c u r f e w si i le l e c t r i c a ln e t w o r k s ，p l u s e si n b i o l o g i c a lc h a i n sa n ds oo n h a v ep l a y e da ni m p o r t a n tr o l ei nt h es t u d yo fm o u r np h y s i c s m a n yo ft h e mc a nb em o d e l l e db yn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a l - d i f f e r e n c ee q u a t i o n ( s ) ( d d e ( s ) ) i tm a k e ss e n s et or e s e a r c hf o rs o l v i n gd d e ( s ) v e r yr e c e n t l y , d b a l d w i ne ta l l p r e s e n t e da na l g o r i t h mt of i n de x a c tt r a v e l l i n g w a v es o l u t i o n so fn d d ei nt e r m so ft a n hf u n c t i o na n df b u n dk i n k - t y p es o l u t i o n si n m a n ys p a t i a l l yd i s c r e t en o n l i n e a rm o d e l ss u c ha sh y b r i dl a t t i c e ，v o k e r r al a t t i c e ，d i s c r e t e m k d vl a t t i c e ，a b l o w i t z - l a d i kl a t t i c e ，t o d al a t t i c e a n dl a t e r ，x i ee x t e n d e dt h em e t h o d h o w e v e r ，x i e sm e t h o di su n a b l et of i n ds o l u t i o n so fp o l y n o m i a l si ns e c ho rc s c hf o r m s b a s e do ns y m b o l i cc o m p u t a t i o ns y s t e mm a p l e ，an e wm e t h o dt os o l v es o l i t o ne q u 8 ，- t i o n si sa p p l i e dt ot h en o n l i n e e k rd i f f e r e n t i a l - d i f f e r e n c ee q u a t i o n s w eo b t a i na b u n d a n t s o l i t o n - l i k ea n dp e r i o ds o l u t i o n st ot h e ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a lt od 8 e q u a t i o n k e y w o r d s ：b i l i n e a rd e r i v a t i v e s ；w r o n s k i a nt e c h n i q u e ；h i r o t am e t h o d ；m o d i f i e db o u s s i - n e s qe q u a t i o n ；( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a lt 0 如e q u a t i o n ；e x a c ts o l u t i o n s 原创性声明 本人声明；所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了文中特别加以 标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表和撰写过的研究成果参与同一工作 的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即；学校有权保留论文及 送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅，学校可以公布论文的全部或部分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 嗍群绷如日 第一章绪论 1 1 孤立子的历史回顾 孤立子理论是数学物理领域的一个重要组成部分近几十年来已经引起了国际上数 学界和物理学界的充分关注，有关孤立子的研究工作十分活跃，其涉及范围日趋广泛孤 立子往往也称为具有碰撞特性的孤立波，它是指一些非线性偏微分方程的非奇异特解， 是一种具有永久形状的、局域化的行波解它具有以下特性【1 ： ( 1 ) 空间局域化( 能量集中在一个较狭小的局域) ； ( 2 ) 单个孤子是一个行波解； ( 3 ) 他们是稳定的； ( 4 ) 两个孤子相互作用时出现弹性散射现象( 即每个孤立子在相互作用之后其波形和 波速能恢复到原状) 性质( 4 ) 不是所有孤子系统都满足的般来说，只有可积系统才满足弹性散射性 质，不可积系统则般情况下不满足弹性散射性质孤立子具有切粒子所具有的特性， 如能量、动量、质量、电荷、自旋等等，也遵循般的自然规律，如能量、动量、质量守 恒定律；它又有波动性，存在于一切可以出现波动的介质里因此可以说，孤立子具备了 粒子和波的许多性能，正是由于孤立子的这些特殊性质使得它在许多科学领域都有着重 要的应用如流体力学、等离子体物理、超导物理、非线性光学、经典场论和量子场论等 等都存在着孤立子以及与孤立子理论密切相关的重要现象然而，许多物理系统都是不 可积的，甚至还是不稳定的，为了更好地研究这些系统，人们开始在更广泛的意义下理 解孤立子这一术语，比如在不是很严格的情况下，仅满足( 1 ) 的解有时也称为孤子解 孤立子的发展可以追溯到1 8 3 4 年，英国科学家s c o t tr u s s e l l 偶然观测到一种奇妙 的水波：一条在狭窄河道的船被两匹马拉着前进当船突然停止时，随船一起运动的船头 处的水堆并没有停止下来，它激烈地在船头翻动起来，随即突然离开船头，并以几乎不 变的速度和不变的波形向前推进了1 2 英里，最后在运河的拐弯处消失【2 】r u s s e l l 认为他观测到的是流体运动的个稳定解，并称之为”孤立波”经过数次实验，他还 认为这种孤立波的波形应该具有s e c h 2 ( ) 函数的形式但是，r u s s e l l 并未能成功证明并 使物理学家信服他的观点 半个世纪后，1 8 9 5 年，荷兰数学家k o r t e w e g 和他的学生d ev r i e s 研究了浅水波的 运动，并在长波近似和小振动的前提下，建立了单向运动方程，即k d v 方程【3 】 地+ 6 u u z + 霉互= 0 ， 1 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 2 这个方程的解为 t = 百“s e c h 百s e c h 2 ( 等) ， ( 1 1 2 ) t = 。乞j ， l l 上z j 二二 其中，= z d ，c 为常数，s e c h ( x ) 是钟形的正割双曲函数这与r u s s e l l 的描述是一 致的，从而从理论上证明了孤立波的存在然而，孤立波的稳定性以及两个孤立波碰撞 后是否会被破坏并未得到解决( 非线性方程不满足叠加原理，人们担心碰撞可能会破坏 孤子解) 由于担心孤立波。不稳定”从而没有太大物理意义，孤立波的研究并没有大规 模开展 早在2 0 世纪5 0 年代，著名物理学家f e r m i 、p a s t a 和u l a m 做了一个有趣的实 验，他们将将6 4 个全同的质点用弹性细线等距地连接成一条非线性振动的弦初始时使 这些振子的所有能量都集中在一个质点上，而其余质点的能量为零此后在非线性弹性 力的作用下，这组质点逐渐在自己的平衡位置附近振动按照经典的理论，经过一段时 间后，能量就应均分至每一个质点但实际观察的结果却发现：能量并未均分而是恢复 到原始分布的状态，这就是著名的f p u 问题直到1 9 6 7 年，物理学家t o d a 在研究晶 格点阵的原子位错运动时求得位移的多孤子解才使f p u 问题获得圆满的解决 设z 。( 亡) 表示晶格中第亿个原子相对于平衡位置的位移，若在近邻原子之间存在非 线性指数弹性力，则一维原子链的动力学方程组为 ，扛t ：；= e 。“一l 一2 一一e 。n 一2 n + 1 ( 1 1 3 ) 毗o 其中礼取所有的整数由( 1 1 3 ) 所刻画的动力系统称为t o d a 链 1 9 6 2 年，p e r r i n g 和s k y r m e 研究基本粒子模型的s i n e - g o r d o n 方程，得到该方程孤 立波解的解析解，并发现该解具有弹性碰撞的特点，即碰撞后两个孤立波解也保持原有 的形状和速度 1 9 6 5 年，美国数学家k r u s k a l 和z a b u s k y 4 】用数值模拟方法研究了等离子体中孤立 波碰撞的非线性相互作用过程，进一步证实了孤立波相互作用后不改变波形的论断由 于这种孤立波具有类似与粒子碰撞不变的性质，于是他们将这种孤立波( s o l i t a r yw a v e s ) 命名为。孤立子”( s o l i t o n s ) k r u s l 媳l 和z a b u s k y 这项工作是孤立子理论发展的一个 重要里程碑孤立子概念的引入标志着现代孤子理论的开始从此以后，在世界范围内 掀起了孤立子研究的热潮 以后的二十多年。孤立子理论的研究蓬勃发展，研究和应用领域包括；流体物理、 固体物理、基本粒子物理、等离子体物理、凝聚态物理、超导物理、激光物理、生物物理 等 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 3 。1 2 精确求解孤子方程的方法 孤子理论从各个角度研究了孤立子方程以及方程所涉及的数学内容，其中重要的一 个方面就是如何求毹孤立子方程以及讨论解的性质因此，寻求非线性偏微分方程的精 确解一直是孤子理论研究中的重要内容之一目前已经有许多成功的方法，如反散射变 换法 2 5 ，5 】、h i r o t a 双线性导数法【1 0 ，11 】、w r o n s k i a n 技巧 2 4 】、d a x b o u x 变换 2 1 】、b 五c k l u n d 变换 1 2 】等 反散射变换法 1 9 6 7 年，g a r d n e r ，g r e e n e ，k r u s k m 和m i u r a 2 5 1 首次提出用反散射变换求解k d v 方程这工作同1 8 3 4 年r u s e l l 发现孤立波现象，1 8 9 5 年k o r t e w e g - d ev r i e s 建立单向 运动的浅水波方程( k d v 方程) 以及1 9 6 5 年k r u s k s l 和z a b u s k y 命名“孤立子”一样， 是孤子理论发展史中的里程碑该方法有其严格的物理背景和数学严谨性【2 5 ，2 6 】，而且 可以求出与同一谱问题相联系的整个等谱发展方程族的多孤子解，是精确求解非线性发 展方程的经典方法【5 ，2 7 1 ，也被称为非线性方程的f o u r i e r 变换方法 h i r o t a 双线性导数法 双线性导数法是由h i r o t a 1 0 ，1 1 】于1 9 7 1 年创造性地提出并成功应用于求解孤子方 程精确解的有效方法，是一种应用广、效率高的直接方法其一般步骤为：引入位势牡的 适当变换，将原孤子方程化为双线性导数方程然后将扰动展开式代入到双线性导数方 程中，在一定条件下该展开式可以截断至有限项，得到线性指数函数形式的单孤子解， 双孤子解和三孤子解等具体表达式，并由此构造出孤子解的一般表达式( 并可以给出 数学证明) h i r o t a 双线性导数法以双线性导数为工具，且只与所要求解的方程有关， 而不依赖于方程的谱问题或l a x 对该方法操作简便，其适用范围几乎涵盖了多有反散 射变换可解的方程最近，陈登远、邓淑芳和张大军【1 4 ，1 5 】还利用h i r o t a 方法构造出 孤子方程的新解，并给出孤子解一般表达式的猜测 b i c k l u n d 变换 b i z k l u n d 变换也是寻求解的方法【1 ，1 2 ，8 】，它将求解高阶的微分方程转化为求解包 含解之间关系的较低阶的微分方程组利用b i c k l u n d 变换，可以从已知解出发。求出新 的孤子解，并可进一步以新解作为已知解，求出更新解，周而复始但该方法涉及到解 微分方程组，往往在求多孤子解时会遇到麻烦直到1 9 7 4 年，h i r o t a 1 6 】给出了一种 b i c k l u n d 变换的双线性导数形式，使得求多孤子解变得简单起来 b 配k l u n d 变换的双 线性导数形式可以从双线性方程得到【1 6 】，也可以从普通形式的b i c k l u n d 变换得到【2 8 】， 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 4 并且这些形式都是等价的【1 7 】 w r o n s k i a n 技巧 孤子解可以表示成w r o n s k i 行列式形式【1 8 ，1 9 ，w r o n s k i 行列式技巧也是寻找非线 性发展方程孤子解的一种直接方法，它以双线性方程为桥梁，可以直接带入方程进行解 的验证 2 0 】这种表示首先由s a t s u m a l 9 l 在1 9 7 9 年引入然而s a t s u n 1 a 本人解的这 种表示与孤子方程的双线性形式联系起来直到1 9 8 3 年，作为一种求解孤子方程的系统 方法- w r o n s k i 行列式技巧一才由f r e e m a n 和n i m m o 【2 9 】提出并建立起来该方法以 h i r o t a 方法为基础，即首先要得到孤子方程的双线性形式或双线性b 置c k l u n d 变换；然后 适当选择九构成w r o n s k i 行列式w ( 1 ，锄，) ；再将w r o n s k i 行列式直接代入双 线性方程或双线性b 茜威l u n d 变换中进行验证由于b 洳k l u n d 变换中所含导数的最高阶 数比相应的方程要低，所以利用双线性b i c k l u n d 变换( 尽管是方程组) 来进行验证往往 比较简单能够进行解的直接验证，这恰恰是w r o n s k i 行列式技巧的优势所在 除孤子解之外，许多其它形式的解也可以表示成w r o n s k i a n 形式，例如；有理解、 p o s r o n 解、n e g a t o n 解、c o m p l e x i t o n 解以及混合解等1 9 8 3 年，n i m m o 和f r e e m a n 首先给出了k d v 方程w r o n s k i a n 形式的有理解【3 0 】 1 9 8 8 年，s i r i a n u n p i b o o n 等人 3 l 】将w r o n s k i m a 元素所满足的条件( w r o n s k i a n 条件方程组) 进行了推广，他们将条 件方程组中z 部分的系数矩阵由对角阵推广到下三角阵，获得了k d v 方程( 后命名) 的 p o s r o n 解，n e g a t o n 解，有理解以及混合解事实上，对p o s i t o n 解的命名以及详细研究 是1 9 9 2 年首先由m a t v e e vf 3 2 ，3 3 】给出的k d v 方程的p o s i t o n 解对应于静态的线性 s c h r s d i n g e r 方程取正特征值的情况；类似的，n e g a t o n 解相应于取负特征的情况2 0 0 2 年，马文秀【3 4 】首次给出了k d v 方程c o m p l e x i t o n 解的w r o n s k i a n 表示，它相应于静 态线性s c h r s d i n g e r 方程取复共轭特征对的情形，这种解实际上是一种呼吸子 3 5 1 近年来关于w r o n s k i a n 技巧有很多深入推广的工作例如， 2 0 0 5 年，马文秀等首 先考虑了k d v 方程的w r o n s k i a n 条件方程组的通解，他们利用常数变易法，解决了当 w r o n s k i a n 条件方程组中系数矩阵为j o r d a n 块时如何获得通解的问题，并给出获得通解 的递推公式【3 6 ，3 7 】近来，张大军【3 8 】提出构造w r o n s k i a n 条件方程组解空间基的简 单方法，通解可以利用下三角t o e p l i t z 矩阵给出解的显式表示，并讨论了不同解之间的 关系另外，陈登远等提出利用矩阵代数直接求解w r o n s k i a n 条件方程组的方法 3 9 1 不同的方法得到的孤子解的表达形式是不同的例如h i r o t a 方法与w r o n s k i 行歹式 技巧得到的孤子解的形式是各异的，对于双线性b i c k l u n d 变换h k o t a 形式的解和 w r o n s k i 行列式表示之间也存在同样的差异但解的这两种表示往往具有一致性对于 同个方程用h i r o t a 方法得到的解和从b i c k l u n d 变换的h i r o t a 形式出发得到的解也是 一致的事实上，w r o n s k i 行列式技巧就像座桥梁，将孤子方程的多种求解方法紧密 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 5 地联系了起来 1 3 数学机械化与计算机代数 可积系统是孤立子理论中具有挑战性的研究课题，已经受到国内外诸多学者的关注 近几年的研究情况显示，可积系统理论现今仍然是国内外孤立子理论发展的主流和最活 跃的研究领域之一 一 数学机械化是近2 0 年发展起来新兴的科学、计算机及人工智能的交叉学科，是数学 学科的前沿和焦点，由于精确描述物理现象的非线性理论是科学发展的必然趋势，其中 将不可避免地经常涉及到人力难于胜任的十分复杂且精确的代数与微分等非数值运算， 所以借助计算机的大容量、高速度的特点，用精确的符号计算，机械化地来实现数学功 能十分必要，其中关键是建立适合于所考虑问题的构造性的代数算法，从而在计算机上 实现，导致问题的机械化解决 数学机械化，就是在证明定理和求解的过程中，每前进一步，都有章可循的确定下 一步该做什么和如何做著名的数学家吴文俊院士明确提出，中国古代数学是一种机械 化数学，数学机械化思想是中国古代数学的精髓数学发展的历程中，存在公理化思想 和数学机械化思想，理应兼收并蓄公理化思想的成果以定理表述，而机械化思想的成 果则常总结为算法( 术) 的形式近代数学的伟大发现，无不闪烁着数学机械化思想的光 辉当今，计算机的功能不断增强，它作为工具将大范围地介入数学研究，这将对数学的 发展产生重大影响数学机械化思想，理应得到发扬光大，从而推动数学蓬勃发展这 是时代的要求，也是数学科学发展的必然 自吴文俊院士2 0 世纪7 0 年代末提出吴方法以后，开辟了用计算机证明定理的先 河，取得了举世瞩目的成就如进行几何定理的自动证明，是学术界长期研究的课题 所谓定理的机械化证明，就是对一类定理( 这类定理可能成千上万) 提供一种统一的方 法，使得该类定理中每个定理，都可依此方法给出证明在证明过程中，每前进一步，都 有章可循地确定下一步该做什么和如何做从“一理一证”到。一类一证”，是数学的认 识和实践的飞跃吴文俊院士创立了初等几何( 泛指不具有微分运算的几何，如欧氏几 何、非欧几何、仿射几何、投影几何、代数几何等等) 定理证明的机械化方法，国际上称 “吴方法”，首次实现了高效的几何定理的机器证明数学机械化已经有了突破性发展， 已经在众多的领域取得了应用但是目前数学机械化原理主要集中在纯代数领域，如何 把这些理论和技术推广到微分的情形，解决更多的，更为广泛的微分问题是数学机械化 发展的主要方向，也是国家基础研究发展规。数学机械化于推理平台”的主攻方向之一 随着科学技术的发展，现代科学技术的核心一步步从线性走向非线性，物理，生物， 化学等领域的许多现象都可以借助与非线性方程的这个模型来描述，求解微分方程是古 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 6 老而在理论和实际上又很重要的研究课题，显示解，特别是行波解可以很好的描述各种 物理现象，如振动、传播波等但由于非线性方程的复杂性，至今仍有大量的重要方程 无法求出精确解，即使已经求出精确解，也各有各的技巧，至今尚无一般的求解方法 所幸的是孤立子理论中蕴藏着一系列构造精确解的有效方法，如反散射方法，b i i c k l u n d 方法，d a x b o u x 变换方法，h i r o t a 玉双线性法，延拓法及l i e 群法等随着各种求解方法 的不断出现，不但过去一些难以求解的方程得到解决，而且不断发现许多非线性方程有 重要意义的新解 近年来，随着计算机的发展和符号运算如m a p l e 或m a t h e m a t i c 的出现，直接构造 非线性方程的解越来越受到重视，使复杂、冗长的代数运算可在计算机上完成，并可发 现新的解吴消元法为我们提供了求解非线性方程组的系统而有效的工具，构造非线性 方程精确解最有效的直接方法之一为t a n h 函数法，其算法的基本原理基于绝大部分有 物理意义的非线性方程的孤波解都可表示成。t m a h 。函数的多项斌了髟式 随着计算机能力的提高，符号运算在对称理论研究的应用受到了广泛重视，国外已 有了一些软件，由此大大简化了计算的工作量，解决了人力难以完成的运算，但在可积 系统方面的应用尚未引起人们的足够重视，从而有必要开展数学机械化原理与方法在这 些方面的研究事实上，可积系统和计算机代数这二个内容有很好的结合点，这是由于 可积系统中蕴藏着一系列的十分有效和技巧，而其中有许多的方法都是构造性和代数化 的，这些运算和推理十分复杂，有的人力难以完成，如经典的l i e 群法，利用代数方法求 解非线性方程等，这些都适合应用计算机代数进行研究，计算机代数的开发和利用，将 对这些问题的深入起很大的推动作用 1 9 9 2 年，石赫利用机器证明中的“吴消元”法，求解了著名的y a n g - m i l l s 方程众 所周知，y a n g - m i l l s 方程是具有1 2 个未知量的二阶大量线性偏微分方程组，是十分复 杂但却常用的规范场方程近年来，受到了数学家和物理学家的关注 同时，张鸿庆提出了微分方程求解代数化思想，后被命名为。a c = b d ”模式，目 的用代数方法给出微分方程求解较为统一的算法，求解了力学和物理学中的m a x w e l l 方 程，l a m e 方程，高阶k d v 等一大批方程1 9 9 7 年，石赫利用张鸿庆处理m a x w e l l 方 程的思想，巧妙地引入一种线性微分变换，并利用“吴消元”，将y a n g - m i l l s 方程约化为 三个简单的二阶偏微分方程 近年来，李志斌在利用吴方法和计算机代数，寻求和构造非线性演化方程行波解方面 傲了很重要的工作李志斌基于大多数孤波解都可以表示成双切正切函数的有限级数，引 入了一种直接而有效的t a n h 方法，从而将微分方程的求解问题转化为代数方程求解， 沟通了吴方法与微分方程的联系，成功的求解了一大批非线性演化方程的孤波解和其他 新解但是目前，如何利用计算机代数，探索求孤波解的新方法，这还是个十分艰巨 而重要的工作 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 7 计算机代数是致力于数学求解问题中准确计算自动化的科学，它是数学机械化的重 要组成部分它研制、开发和维护符合软件并研究其数学理论计算机代数系统为那些 基本运算，如化简，微分，积分，因式分解等提供算法模型，这些算法是构造其他软件包 的基本构件 1 9 5 3 年，在美国发表的二篇关于形式微分的论文导致了一些计算机代数程序于此 同时英国的h a z e l g r o r e 利用e d s a c - 1 进行了群论中t o s s - c o x t e x 计算六十年代早期， 用于表处理的计算机语言l i s p 在美国开发成功 j a m e sm a e , l e 写了第一个符合积分程 序此外，其他一j 竖专业化的程序也相继产生如关于初等数学的函数运算，天文学和相对 论的计算，高能物理的数学计算等到1 9 7 1 年，经n i l l i a mm a r t i n 等人的努力，第一个 基于l i s p 的通用计算机代数软件m a c s y m a 问世后来许多通用软件相继出台特别值 得一提的是r e d u c e ，m a p l e ，m a t h e m a t i c a , c a y l e y 等后三个软件包均是用c 语言编 写的m a p l e 是个应用最为惯犯的符号运算软件，它有加拿大w a t e r l o o 大学的k e i t h g e d d e s 和g a s t o ng o n n e t 在八十年代初发起的一个科研项目演变而成的该项目的目的 就是为用户提供应用计算机代数工具与其他计算机代数相比，m a p l e 效率更高在计 算机代数系统中，键盘和显示器代替了传统的纸和笔交互计算机程序，谶纬计算机代 数系统，使用户不仅可以进行数值计算，而且可以进行符号，公式，方程的运算许多数 学运算，微分，积分，级数展开，符号矩阵的求逆等都可以很快的获得准确结果 计算机代数在微分方程的研究领域的一个重要的应用就是处理超定的方程组的问 题如各种对称的方程组的化简和求解，大量程序化运算必须而且应该由计算机完成 1 9 8 2 年，f s c h w a r z e 首先用r e d u c e 语言写出求古典l i e 对称程序包，后又不断改进和 扩充；1 9 8 7 年，d w r a n d 等人用p a s d a l 语言给出了识别l i e 代数的程序；1 9 8 9 年， p h m k e r s t e n 用m a t h e m a t i c a 语言写成了计算外微分方程对称及化简微分方程组的程 序包此外还有用m a c s y m a , m u m a t h 等其他语言编写的程序包可见，微分方程的对 称以及超定方程组的约化问题已经成为计算机代数的重要组成部分 1 9 9 4 年，王明亮，李志斌基于非齐次项与同阶导数项平衡的原则，将非线性演化方 程齐次化，代数化，提出了齐次平衡法，成功地解决了许多非线性方程 1 9 9 7 年，范恩贵，张鸿庆又推广了齐次平衡法，提出了齐次平衡法与r i c c a t i 方程 相结合得出许多p d e s 的孤波解，并且将非线性偏微分方程求解问题代数化，机械化， 是求解非线性演化方程的一般解法，也为吴方法和符号计算应用于微分方程求解提供了 一条途径 1 9 9 8 年，乔志军等从l a x ，r - 矩阵及“非线性理论。出发，利用变量分离的方法由代 数的集合工具，提出了构造代数几何解或有限带势解的途径 2 0 0 0 年，闰正亚，张鸿庆又找到了求解n p d e s 的新方法 我们在前人的基础上，利用计算机工具m a p l e ，构造了一种新方法来求解非线性微分 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 8 差分方程，得到了( 2 + 1 ) 维t o d a 方程的孤波解和周期解，并对解进行了初步分析 1 4 本文主要工作 本论文主要运用h i r o t a 双线性导数法和w r o n s k i a n 技巧，对修正b o u s s i n e s q 方程 进行求解利用计算机工具m a p l e ，构造了一种新方法来求解非线性微分差分方程，得到 了( 2 + 1 ) 维t 0 d a 方程的孤波解和周期解 第二章介绍了双线性导数的定义与性质，孤子解的w r o n s k i a n 表示，这些都是h i r o t a 方法和w r o n s k i a n 技巧的基础 第三章利用h i r o t a 双线性导数法和w r o n s k i a n 技巧构造修正b o u s s i n e s q 方程的 孤子解首先通过变换，得到修正b o u s s i n e s q 方程的双线性导数形式，根据h i r o t a 双 线性导数法的一般步骤，得到修正b o u s s i n e s q 方程的h i r o t a 形式的孤子解在利用 w r o n s k i a n 技巧求解修正b o u s s i n e s q 方程孤子解的过程中，首先构造了变换中 9 的形式，然后根据w r o n s k i a n 行列式的性质，得到双线性导数方程中需要的各阶导数， 代入双线性导数方程，根据w r o n s k i e m 行列式的两个重要的引理，验证满足双线性导数 方程，即得到了修正b o t l s s i n e s q 方程的w r o n s k i a n 形式的孤子解 第四章秘用计算机工具m a p l e ，构造了一种新方法来求解非线性微分差分方程，得到 了( 2 + 1 ) 维t o d a 方程的孤波解和周期解，并对缌进行了初步分析 第二章预备知识 本章首先介绍h i r o t a 双线性导数的定义及其性质，然后介绍w r o n s k i a n 行列式及其 性质，最后以k d v 方程为例来简单说明这两种方法的应用 2 1 双线性导数的定义与性质 给定非线性偏微分方程，由于解的叠加原理不再成立，因此应用以f o u r i e r 分析为基 础的分离变量法求解是十分困难的为此，日本数学物理学家h i r o t a 提出了双线性导数 【1 0 ，1 1 】，并成功地应用于求各种孤子方程的多孤子解 下面简要叙述一下双线性导数的定义与性质 设f ( t ，z ) 与夕( t ，z ) 是变量t 与z 的可微函数，引进微分算子d t 与d 。，使得对任意 的非负整数m 和佗有 d d ，g = ( 侥一印) ”( 良一吃，) 他( t ，z ) 9 ( t ，z ，) i t ，：。，：。， ( 2 1 1 ) 式( 2 1 1 ) 称为函数，与g 对t 施行m 次现，对z 施行t t 次d 。的双线性导数这种导 数具有以下性质。 性质2 1 1函数( t ，z ) 与自身的奇数次双线性导数为零就是m + 礼为奇数时， d ? d = i | = 0 ( 2 1 2 ) 性质2 1 2交换函数l ( t ，z ) 与9 ( t ，z ) 的双线性导数的顺序，当导数是偶次时其 值不变，而导数是奇次时要改变符号 事实上。从定义可得 d td = f 夕= ( - 1 ) m + n d td = g ， d 7 。d ；，g = ( a 一句) m ( 瓦一吃，) n l ( t ，z ) 夕( ，z ) 1 s s ：l ；, x t 硝 = ( 一1 ) m + 馆( 印一a ) m ( 吃，一以) n 夕( ，z ) ，( t ，z ) i 。；，口；零， =( 一1 ) 7 “+ 佴d p d ；夕， 特别当m + 佗为奇数且g ( t ，z ) = f ( t ，z ) 时，公式( 2 1 2 ) 化为( 2 1 3 ) 9 ( 2 1 3 ) 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 1 0 性质2 1 3函数，( t ，z ) 与数1 的双线性导数是通常的导数，即 卵d ；，1 = 掣露f ( 2 1 4 ) 若指数函数的指数是t 与z 的线性函数，则称它为线性指数函数于是有 性质2 1 4 两个线性指数函数的双线性导数等于指数相加的线性指数函数的适当 倍数，即设 白= 屿t + b z + 锣u = 1 ，2 ) ， ( 2 1 5 ) 则有 d d ：e 专1 e 白= ( u 1 一u 2 ) “( 七l k 2 ) n e 1 + 匏( 2 1 6 ) 由此推得相同线性指数函数的双线性导数为零 w 罐e t 毋= 0 ( 2 1 7 ) 2 2w r o n s k i 行列式 2 2 1w r o n s k i 行列式的定义 - 一组可微函数( 1 ，屯，) t 的阶w r o n s k l 行蓟式定义为 i ，。1 w ( 矽1 ，也，) = l ： i；i i ， ，( 2 2 8 ) l 如妒拶q l 其中硝= 伊奶跣2 它常可写为一种紧凑格式 w ：i 咖，妒( 1 l ，多( 一1 j ：1 0 ，l ，n 一1 i ：l 丙t j i ( 2 2 9 ) 更般地，用压，z 2 ，i 表示i ，( ，妒( 。，( j 2 ) ，b l ，用i h 1 ，h 。l 表示 l 西( ，西( h ，西( | i 甜，曲( b ) 1 w r o n s k i 行列式具有这样的特点t 后一列是前一列的导数这使行列式在按列求导 ( 包括求高阶导数) 时，无论是过程还是结果都很方便简洁依照行列式按列求导法则以 及行列式的基本性质可知，一个w r o n s k i 行列式的导数所包含的项数与行列式的阶数 无关，而只依赖于导数的阶数 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 1 1 2 2 2w r o n s k i 行列式的性质 由行列式的性质及一些恒等式，我们可以得到w r o n s k i 行列式技巧中常用的一些恒 等关系 成立 性质2 2 1 俐若记m 为n ( n 一2 ) 矩阵，口，b ，c 和d 都是维列向量，则 i m 口，b l l mc ，d i i m a ，c | | mb ，d i + l m ，a ，r i l l mb ，c l = 0 ( 2 2 1 0 ) 事实上，构造2 n 阶行列式 ：l mo l 0m 从后行的每一行减去前行的相应行得 obcdi i 口bcdi l = l 二品言。b 蝌0 i 一讶m0 o ol ( 2 2 1 1 ) ( 2 2 1 2 ) 再将第n 一1 列，列，2 n 一4 列依次加至第一列，第二列，第一2 列，有 = l 詈。b 0 m 蚓2 。 1 00 00l ( 2 2 1 3 ) 可见行列式的值为零将( 2 2 1 1 ) 按前行展开，应用著名的l a p l a c e 定理，即得所 要的等式( 2 1 1 0 ) 性质2 2 2 俐设矩阵a = ( ) n = a l ，a 2 ，a 】，哟为a 的列向量， 量b = ( b l ，b 2 ，6 ) t ，则成立 其中吻表示( b a a l j ，b 2 a 2 j ，b n a m ) tc ! 桦 n ，鲫i = 川玩， ( 2 2 1 4 ) i = l 事实上，设元素的代数余子式为a ，于是( 2 2 1 4 ) 的右端可展开成 此即为，( 2 2 1 4 ) 的左端 ( 2 2 1 5 ) 叼膨 。 吩 吼 础 茹 a 叼 k ：i 芦 l l 一口 a 似 k ：l l i k 汹 a 2 0 0 8 上海大学硕士学位论文 给出k d v 方程 2 3k d v 方程的双线性解 饥+ 6 u u z + t z 砧= 0 及其l a x 对 一q o = = ( a + u ) 妒， q 巩= 一4 。一3 u 。妒一6 妒。， 其中妒是波函数，入= 一k 2 是谱参数利用变换 u ：2 ( 1 n ( ，) ) 2 2 ：塾每盟， h i r o t a 将( 2 3 1 ) 写成双线性形式 ( d t d 。+ d ：) ，= 0 ， 或 f | 证一f t | 。孓| | 。站一4 k | z 矗；j r3 | ：。= 0 设( t ，。) 可按参数展开成级数 。 ( t ，z ) = 1 + ，( 1 ) s + ，( 2 ) 2 + + f u ) d + ， h i r o t a 将这个展开式代入，并比较的同次幂系数给出 艘+ 矗2 善= 0 ， 2 ( 摆+ 砖翌盘) = 一( d t d 茹+ d ：) ，( 1 ) ，( ， 璧+ 程凳善= 一( d 。d z + d ：) ，( 1 ) ，( ， 2 ( 砖+ 以2 。) = 一( d t d 善+ 0 = 4 ) ( 2 ，( 1 ) ，( 3 + ，( 2 ) ，( 2 ) ， 依次解上述这些方程，就可以得出k d v 方程的孤子解，它可表示为 ( 2 3 1 ) ( 2 3 2