机械振动PPT电子课件教案-第四章 单自由度系统强迫振动.ppt

单自由度系统的强迫振动,强迫振动：系统在持续的外界激励作用下产生的振动,强迫振动的形式,本章讨论单自由度线性系统在周期激扰（激励或扰动）作用下的强迫振动，通常称为振动系统对周期激扰的响应。周期激扰可以是作用于振动系统的周期扰力，也可以是振动系统支座的周期运动。,振动系统的周期扰力回转体质量偏心,振动系统的周期扰力系统支座的周期运动,周期起伏路面对行驶中车辆的激励、振动地面对精密机床的激励,正弦激励法的作用,对于实际的振动系统的参数测量，实际上通常加一系列的正弦信号，通过测量系统的响应，来获得振动系统的参数，即所谓正弦激励法，例如正弦扫频等。,系统,激励,响应,讨论简谐输入意义,这种情形比较简单，而所得的结论却有很重要的工程应用；任意的周期激扰，都可以通过Fourier级数，分解成若干个正弦型激扰的和利用线性系统的叠加性，可得到全响应。,系统,激励,响应,例子,如右图所示，物体沿垂直方向振动，取物体无扰力下的静平衡位置为坐标原点，铅直向下为x轴正向，建立如图所示的坐标系。受力情况如图，其扰动力为：,变量说明,扰力：称为扰力的力幅，为常值扰力的频率，简称扰频，为常值,系统运动微分方程,由牛顿第二定律：整理这就是无阻尼振动系统在简谐扰力作用下的运动微分方程。,定义辅助变量,令：表示在静力条件下，系统受到一个大小为的力作用时的位移。,方程和通解的标准形式,这是一个非齐次二阶常系数微分方程，根据微分方程理论，它的解由两部分组成：,齐次解,代表齐次微分方程的解，简称齐次解，由前面的单自由度无阻尼自由振动可得：,特解,代表方程的一个特解，由激扰力的形式可知方程的特解可以表示成为：,积分常数,积分常数的确定,将代入微分方程，可得：并令：，称为频率比，可得：,微分方程的通解,齐次解积分常数的确定,对通解求导可得,应用初始条件,由初始条件，时，初始位移和初始速度分别为：,通解表达形式,将得到的代入方程的通解表达式：方程解可以写成：,解的讨论,从上式可以清楚地看到，前两项是由初始条件引起的自由振动，频率为系统的无阻尼自由振动的固有频率，表示系统在简谐激励下的强迫振动，与激扰力的频率相同，振幅和初始条件无关，表示激扰力引起的自由振动,对扰力引起自由振动的讨论,令初始条件：，微分方程的解简化为：可见，激扰力不但引起强迫振动，同时还要引起自由振动，二者都是简谐振动，但频率不相等的两个简谐振动之和已经不再是简谐振动。,频率比对振幅的影响,对于周期扰动作用下的运动，我们关心的主要是强迫振动，为激扰力引起的强迫振动，在时，强迫振动的振幅随着的增大无限增大，直到时，即激扰力的频率和系统的固有频率相等的时候，理论上的振幅趋于无穷大，这种现象称为共振。,频率比对振幅的影响,在时，我们将写成，从而保证振幅为正值。从中可以看出，质量的位移与扰力正好反向，振幅随着的增大而无限减小。,放大率,在静力作用下，系统的静挠度为，可见：体现了扰力的动力作用，这个量的绝对值记为放大率：,放大率-频率比曲线,放大率和频率比之间的关系，即为曲线,的意义,曲线只表示振动系统稳态运动的情形，亦即激扰固定在某一频率时，系统振幅达到定值后的情形。,共振的讨论,在共振时，系统的振幅将达到无穷大，事实上，这是不可能的，首先，系统存在阻尼，在下节大家将会看到，微小的阻尼就会限制振幅的无限增大。另一方面，在振幅无限增大的过程中，线性弹簧的假设也不再成立。,共振时微分方程的特解,在的时候，方程的特解也不再为而应该表示为如下形式：，,特解的导数,积分常数的确定,代入微分方程：，从而：,，,共振特解的讨论,方程的特解可以写成：,可见，共振的时候，强迫振动的振幅随着时间的增大而按比例的增大。对于许多机器，在正常运转时，其扰频都远远超过系统的固有频率，所以在启动和停止的过程中，都要通过共振区，由于共振的振幅随时间线性增大，只要缩短通过共振区的时间，就可以顺利通过共振区。,阻尼强迫振动,实际的振动系统都是有阻尼的，下面来讨论有粘性阻尼的系统，在简谐扰力作用下的强迫振动。,运动简图和坐标建立,如右图所示，物体沿水平方向振动，取物体无扰力下的静平衡位置为坐标原点，水平向右为x轴正向，建立如图所示的坐标系。受力情况如图，其扰动力为：其中称为扰力的力幅，为常值；为扰力的频率，简称扰频，也为常值。,建立微分方程,根据牛顿第二定律：令：方程变形为：,，,，,，,解的组成,这是一个非齐次二阶常系数微分方程，根据微分方程理论，它的解由两部分组成：代表齐次微分方程的解，简称齐次解，为的一个特解，又称稳态解,齐次解的讨论,当时，由前面的单自由度阻尼自由振动可得：其中：，称为衰减振动的圆频率。并且：,，,特解的讨论,由于激励为简谐的，根据微分方程的理论，上述微分方程有如下形式的特解：将，代入可得：,系统的全响应,其中：,，,微分方程,响应：,（系统激励，A为激励的幅值）,解的讨论,第一项是齐次解，也称为瞬态解，代表衰减的自由振动，自由振动在运动开始后很短的时间内迅速消失，通常可以不加考虑。；第二项是特解，也称为稳态解，代表与扰力同频率的简谐运动。稳态振动不会因阻尼而衰减，它的振幅与相角与初始条件无关。稳态振动的振幅X与激励的幅值A有对应关系（根据公式分析）放大倍数与系统特征参数有关。（进一步理解“系统”这一概念）,复频率分析的原理,一个物体的振动可以看作一个旋转矢量的投影。而一个矢量可以用一个复数来表示，对一个复数取实部和虚部就相当于将一个矢量在实轴和虚轴上投影。用复数描述矢量，复数的模相当于矢量的长度，而辐角相当于矢量的方向。,分析与讨论：复频率响应幅频特性与相频特性,(2.54),在式(2.54b)两边乘,然后与式(2.54a)对应相加,（b),（a),令,(2.56),(2.55),根据欧拉公式,复频率微分方程和稳态解,复频率微分方程：稳态解是常数代入微分方程可得：,频响函数f(t)在上绝对可积：系统的初始条件是静止的，即初始条件为零,工程应用,可见，利用Fourier变换在频域中求解，免去了在时域中求解微分方程的困难，但要得到系统在时域的响应要用到Fourier逆变换，而用解析法求Fourier逆变换也比较麻烦。由于快速Fourier变换（FFT，数值解法）方法的广泛应用，因此，求Fourier变换一般用FFT而不用积分。,例1,求支座激励中响应对激励的频响函数,例1解,对两边进行Fourier变换得：,Laplace变换求解,Laplace变换是常用的求解微分方程的方法，可以方便的求系统在任意载荷下的响应，而且可以计入初始条件。,拉普拉斯变换方法,称为拉普拉斯变换,设系统的运动微分方程为,如果f(t)不满足傅立叶变换的可积条件,而f(t)乘以一个衰减因子e-t后能满足傅立叶变换条件,令,响应的拉普拉斯变换为,求解微分方程,单自由度系统的微分方程：由Laplace变换的常用性质：,方程的解,两边取Laplace变换，响应的Laplace变换为：,例