（计算数学专业论文）波导中模的渐近解及其在波传播计算中的应用.pdf

摘要 本文丰要论述了以声波导、光波导为背景的h e l m h o l t z 方程的数值计算问题， 包括渐近解的计算及波的传播计算，其中渐近解的计算包括开放波导泄漏模渐近 解的计算和使用了完美匹配层( p m l ) 后泄漏模及b e r e n g e 模渐近解的计算。 高精度的泄漏模在波的传播计算中非常重要，尤其是对于光_ 瓦联等比较精密 的仪器。当声速及折射率为分段常数时，泄漏模的渐近解可以通过一个解析的非线 性方程得到；但是对于声速随深度变化的声波导以及折射率随横向变化的光波导， 无法得到关于特征值的非线性方程。本文首先给出了开放的平板光波导及海洋声 波导巾泄漏模的渐近解。在这种波导中，运用w k b 方法，通过对原方程的特征问 题进行分析，得到了关于特征值的一个近似的的非线性方程，再对这个方程进行进 一步分析得到了泄漏模的渐近解。数值模拟表明，这些渐近解比较接近于泄漏模的 精确解，并且随着模的增大，误差越来越小，凶此可以作为r a y l e i g h 商迭代的初值 求解更精确的泄漏模。 开放的波导结构存数值计算时的空间区域是没有边界的，现在比较有效的方 法是采用完美匹配层把开放的波导区域截断为有界的区域。在加了完美匹配层之 后，除了传播模和泄漏模之外，还会产生一种模，称之为b e r e n g e r 模。为了分析完 美匹配层对波的各种模式的影响，本文还讨论了加了完美匹配层之后对传播计算 比较重要的泄漏模的渐近解，此外，粗略地推导了b e r e n g e r 模的渐近公式。结果 表明，在采用了完美匹配层之后，对于声波导和光波导的t e 模，略去高阶无穷小 量，泄漏模的渐近公式和开放的波导是一样的；对于t m 模，略去高阶无穷小量，泄 漏模的渐近公式和开放的波导会有所不同。对于光波导，上下包层的折射率若是 一样的话，b e r e n g e r 模的轨迹只有一条；若不一样的话，b e r e n g e r 模的轨迹有两条。 数值模拟表明，这些泄漏模及b e r e n g e r 模的渐近解在其精确解附近，因此可以作 为r a y l e i g h 商迭代的初值来求解更精确的模。 本文最后做了一些把以上所得的渐近解应用于波的传播计算的工作，主要做 了两种情况下的波传播的模拟：一种是声波的波数及光波的折射率仅随一个方向 变化的情况，另一种是波数及折射率随两个方向而变化的情况。数值模拟表明， 把渐近解应用于波的传播计算中得到的结果和以前的方法相比，结果得到明显改 善，并且计算速度快很多。对于光波导，本文还比较了未选取b e r e n g e r 模和选取 了b e r e n g e r 模时波的传播。数值模拟结果表明，b e r e n g e r 模对波的传播会产生轻微 的影响。 关键词：h e l m h o l t z 方程，m a r c h i n g 算法，渐近解，泄漏模，p m l ，b e r e n g e r 模，w k b 方 波导中模的渐近解及其在波传播计算中的虑用 法 a b s t r a c t l e a k ym o d e sp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nw a v ep r o p a g a t i o nc o m p u t a t i o no fo p t i c a l a n da c o u s t i cw a v e g u i d e ，e s p e c i a l l yi nt h eo n - c h i po p t i c a li n t e r c o n n e c t i o np r o p o s e dr e c e n t l y t h e yc a nb eu s e dt op a r t i a l l yr e p r e s e n tt h ew a v ef i e l dr e l a t e dt ot h ec o n t i n u o u s s p e c t r u mo ft h er a d i a t i o na n de v a n e s c e n tm o d e s f o rt w o - d i m e n s i o n a ls t e p i n d e xw a v e g u i d e s ，t h ep r o p a g a t i o nc o n s t a n t ss a t i s f ya na n a l y s i sn o n l i n e a re q u a t i o n ，f r o mw h i c ha s y m p t o t i cs o l u t i o n so f l e a k ym o d e sh a v eb e e ng i v e n b - u tw h e nt h er e f r a c t i v ei n d e x 礼i sv a r i e dw i t ht h et r a n s v e r s ev a r i a b l ezi no p t i c a lw a v e g - u i d eo ra c o u s t i cv e l o c i t yci sv a r i e dw i t hzi na c o u s t i cw a v e g u i d er e s p e c t i v e l y , a n a l y s i s n o n l i n e a re q u a t i o no ft h el e a k ym o d e sc a nn o tb eo b t a i n e d a s y m p t o t i cs o l u t i o n so fl e a k y m o d e si nu n b o u n d e dw a v e g u i d ea r eg i v e nf i r s t i no r d e rt og e ta s y m p t o t i cs o l u t i o n so ft h e l e a k ym o d e s w k b m e t h o di si m p l e m e n t e dt oc r e a t ea na p p r o x i m a t en o n l i n e a re q u a - t i o n n u m e r i c a ls i m u l a t i o n ss h o wt h a to u ra s y m p t o t i cs o l u t i o n sa r ev e r yc l o s et oe x a c t l e a k ym o d e sa n dt h ee r r o r sb e c o m es m a l l e ra st h en o r n lo ft h em o d e sb e c o m el a r g e r o u r a s y m p t o t i cs o l u t i o n sc a nb eu s e da si n i t i a lg u e s s e sf o rc o m p u t i n gt h em o r e a c c u r a t el e a k y m o d e sb yr a y l e i g hq u o t i e n ti t e r a t i o n p m la sa ne f f i c i e n ta r t i f i c i a la b s o r b i n gm a t e r i a li sw i d e l yu s e dt os o l v eu n b o u n d e d w a v ep r o p a g a t i o np r o b l e m ，i nw h i c hb e r e n g e rm o d e s ( t h ee i g e n m o d e si na w a v e g u i d et e r - m i n a t e d b yaf i n i t ep m l ) a p p e a r h i g ho r d e ra s y m p t o t i cs o l u t i o n sf o rt h el e a k ym o d e sa n d b e r e n g e rm o d e sa r ed e r i v e di nw a v e g u i d ew i t hp m l a s y m p t o t i cs o l u t i o n so f t h em o d e s a l eu s e f u l ，b e c a u s et l l e yc a l lb eu s e da si n i t i a lg u e s s e sf o rs o l v i n gt h ee x a c te i g e n v a l u e s n u m e r i c a l l y w a v ep r o p a g a t i o nc o m p u t a t i o ni si m p l e m e n t e dw h e nl e a k ym o d e sa r eo b t a i n e d b ya s y m p t o t i cs o l u t i o n sw h i c ha r eu s e da si n i t i a lg u e s s e sf o rr a y l e i g hq u o t a t i o ni t e r a t i o n t w oc a s e sa r ec o n s i d e r e d ：f i r s t ，r e f r a c t i v ei n d e xi sv a r i e dw i t ht r a n s v e r s ev a r i a b l ea n d a c o u s t i cv e l o c i t yci sv a r i e dw i t hd e p t h ，s e c o n d ，t 1 1 e ya r ea l lv a r i e dw i t ht w od i r e c t i o n s n u m e r i c a ls i m u l a t i o n ss h o wt h a tr e s u l t sf r o mt h i sm e t h o da l eb e t t e rt h a nt h em e t h o d s f r o ml a p a c kw i t hh i g h l yc o m p u t a t i o ne f f i c i e n t l y f o ro p t i c a lw a v e g u i d e ，w a v ep r o p a g a t i o nc o m p u t a t i o na r ec o m p a r e dw i t ho rw i t h o u t b e r e n g e rm o d e s n u m e r i c a ls i m u l a t i o n ss h o wt h a tr e s u l t sf r o mt h e s et w ow a y sw i l lh a v e as l i g h td i f f e r e n c e k e y w o r d s ：h e i m h o l t ze q u a t i o n ，m a r c h i n gm e t h o d ，l e a k ym o d e ，p m l ，b e r e n g e rm o d e s ， 波导叶i 模的渐近解及其在波传播计算9 1 的虑用 彤k 。bm e t h o d 表格 2 1 例l 中t e 模的泄漏模的渐近解的相对误差 2 2例l 中t m 模的泄漏模的渐近解的相对误差 2 ，3 例2 中t e 模的泄漏模的渐近解的相对误差 2 4例2 中t m 模的泄漏模的渐近解的相对误差 2 5 例3 中t e 模的泄漏模的渐近解的相对误差 2 6例4 中t m 模的泄漏模的渐近解的相对误差 2 7例5 中t e 模的泄漏模的渐近解的相对误差 2 8例6 中t m 模的泄漏模的渐近解的相对误差 3 1 对于分段常数k 前六个泄漏模的相对误差 3 2 例2 中渐近解的相对误差 3 3 例3 中渐近解的相对误差 3 4 例4 中渐近解的相对误差 3 5 例5 中渐近解的相对误差 3 6 例3 中由( 3 2 2 ) 一( 3 2 4 ) 得到的渐近解的相对误差 3 7 例3 中由( 3 2 5 ) 一( 3 2 7 ) 得到的渐近解的相对误差 3 8 例3 中由( 3 2 8 ) 一( 3 a o ) 得到的渐近解的相对误差 3 9 例3 中由( 3 3 3 ) 得到的渐近解的相对误差 3 1 0 例4 巾由( 3 2 2 ) 一( 3 2 4 ) 得到的渐近解的相对误差 3 1 l 例4 中由( 3 2 5 ) 一( 3 2 7 ) 得到的渐近解的相对误差 3 1 2 例4 中由( 3 2 8 ) 一( 3 a o ) 得到的渐近解的相对误差 3 1 3 例4 中由( 3 3 3 ) 得到的渐近解的相对误差 4 1 例1 中前几个b e r e n g e r 模的渐近解的相对误差 4 2 例2 中前几个b e r e n g e r 模的渐近解的相对误差 4 3 t e 模中前几个b e r e n g e r 模的渐近解的相对误差 4 4 t e 模中前几个b e r e n g e r 模的渐近解的相对误差 4 5 t m 模巾前几个b e r e n g e r 模的相对误差 4 6 t m 模中前几个b e r e n g e r 模的相对误差 4 7t m 模中前几个泄漏模的相对误差 6 6 7 8 9 0 l 2 3 4 5 7 8 9 9 9 9 9 o o 0 2 3 4 4 5 5 6 l l 1 1 l 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 插图 2 1 例2 中t e 模的泄漏模的渐近解与精确解的比较 1 7 2 2 例2 中t m 模的泄漏模的渐近解与精确解的比较 1 8 2 3 例3 中t e 模的泄漏模的渐近解与精确解的比较 1 9 2 4 例4 中t m 模的泄漏模的渐近解与精确解的比较 2 0 2 5 例5 中t e 模的泄漏模的渐近解与精确解的比较，2 l 2 6 例6 中t m 模的泄漏模的渐近解与精确解的比较2 2 3 1 例2 中由( 3 2 2 ) ，( 3 2 3 ) ，( 3 2 4 ) 得到的渐近的与精确的泄漏模的比较 3 5 3 2 例3 中由( 3 2 2 ) ，( 3 2 3 ) ，( 3 2 4 ) 得到的渐近的与精确的泄漏模的比较 3 6 3 3 例4 中由( 3 2 2 ) ，( 3 2 3 ) ，( 3 2 4 ) 得到的渐近的与精确的泄漏模的比较 3 7 3 4 例5 中由( 3 2 2 ) ，( 3 2 3 ) ，( 3 2 4 ) 得到的渐近的与精确的泄漏模的比较3 8 4 1 例i 中渐近的和精确的b e r e n g e r 模的比较5 2 4 2 例2 中渐近的和精确的b e r e n g e r 模的比较5 3 4 3 t e 模巾前几个b e r e n g e r 模的比较 5 4 4 4 t m 模中前几个b e r e n g e r 模的比较5 6 5 1 t e 模中例l 特征值的比较6 3 5 2t e 模中例2 特征值的比较6 4 5 3 t e 模中例3 特征值的比较6 4 5 4t e 模中例4 特征值的比较 6 5 5 5t m 模中例l 特征值的比较6 6 5 6t m 模中n 2 特征值的比较6 6 5 7t m 模中例3 特征值的比较6 7 5 8 t m 模中例4 特征值的比较6 8 5 9 声波导例l 中特征值的比较6 9 5 1 0 声波导例2 中特征值的比较 6 9 5 1 l 声波导例3 中特征值的比较 7 0 5 1 2t e 模例l 中 z 的实部的比较7 l 5 1 3t e 模例l 中u 的虚部的比较7 1 插图 5 1 4t e 模f f i 2 中牡的实部的比较7 2 5 1 5t e 模例2 中札的虚部的比较 7 2 5 1 6t e 模例3 中札的实部的比较7 3 5 1 7t e 模f r 0 3 中u 的虚部的比较一7 3 5 1 8t e 模例4 中u 的实部的比较7 4 5 1 9t e 模例4 巾u 的虚部的比较7 4 5 2 0t e 模例5 中力1 ：1 - y b e r e n g e r 模与未加b e r e n g e r 模时计算的钍的实部的比较7 5 5 2 1t e 模例5 中加了b e r e n g e r 模与未：j f l b e r e n g e r 模时计算的“的虚部的比较7 6 5 2 2t e 模例5 中力1 1 3 - j b e r e n g e r 模与未，j h b e r e n g e r 模时计算的仳的实部的比较7 6 5 2 3t e 模例5 中力1 ：1 7 b e r e n g e r 模与未加b e r e n g e r 模时计算的让的虚部的比较7 7 5 2 4t m 模例1 中u 的实部的比较7 8 5 2 5t m 模例l 中u 的虚部的比较7 8 5 2 6t i v i 模例2 中“的实部的比较7 9 5 2 7t m 模例2 中乱的虚部的比较7 9 5 2 8t m 模例3 中“的实部的比较8 0 5 。2 9t m 模例3 中牡的虚部的比较8 0 5 3 0t m 模例4 中u 的实部的比较8 1 5 3 1t m 模例4 中让的虚部的比较8 l 5 3 2t m 模例5 中加了b e r e n g e r 模与未加b e r e n g e r 模时计算的让的实部的比较8 2 5 3 3t m 模例5 中：j l ：l t b e r e n g e r 模与未加b e r e n g e r 模时计算的u 的虚部的比较8 3 5 3 4t m 模例5 中加- j b e r e n g e r 模与未加b e r e n g e r 模时计算的u 的实部的比较8 3 5 3 5t m 模例5 中加t b e r e n g e r 模与未力1 b e r e n g e r 模时计算的t 的虚部的比较8 4 5 3 6 声波导中例l 的札的实部的比较 8 5 5 3 7 声波导中例l 的u 的虚部的比较 8 5 5 3 8 声波导中例2 的乱的实部的比较 8 6 5 3 9 声波导中例2 的u 的虚部的比较 8 6 5 4 0 声波导巾例3 的缸的实部的比较 8 7 5 4 l 声波导中例3 的u 的虚部的比较8 7 5 4 2 声波导中例4 的u 的实部的比较 8 8 5 4 3 声波导中例4 的“的实部的比较 8 8 5 4 4 光波导t e 模中例3 的u 的实部8 9 5 4 5 光波导t e 模中例3 的让的虚部 9 0 波导中模的渐近解及其在波传播计算巾的应用 5 4 6 光波导t m 模中例3 的札的实部9 0 5 4 7 光波导t m 模中例3 的u 的虚部9 l 5 4 8 光波导t m 模中t 歹t 4 的“的实部9 1 5 4 9 光波导t m 模中例4 的u 的虚部，9 2 5 5 0 光波导t m 模中例5 的u 的实部9 2 5 5 l 光波导t m 模中n 5 的u 的虚部9 3 5 5 2 光波导t m 模中例5 的u 的实部 9 3 5 5 3 光波导t m 模中例5 的u 的虚部9 4 5 5 4 声波导中例3 的 z 的实部9 4 5 5 5 声波导巾例3 的u 的虚部9 5 5 5 6 声波导中例4 的u 的实部9 5 5 5 7 声波导中例4 的u 的虚部9 6 浙江大学研究生学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文巾不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得逝姿盘堂或其他教育机构的学位或 证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文 中作了明确的说明并表示谢意。 学雠文储张际蟪签字嗍哆年月7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解逝婆盘鲎有权保留并向国家有关部门或机 构送交本论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权滥鎏盘堂 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索和传播，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：印采生扎 签字日期：独。g 年 g 月( 1 日 一名：求逢够 婵醐：节6 月( 【日 致谢 在论文完成之际，向所有关心帮助陪伴过我的人表示衷心的感谢! 首先衷心感谢我的导师朱建新教授。在浙大的这五年里，我从一个对于科研 一无所知的人成长为一个对本专业比较了解、掌握了一定的科研方法和具备一定 研究能力的人，和朱老师的悉心指导及辛苦劳动是分不开的我的每一篇论文的 完成都凝聚着朱老师的心血和汗水，研究课题的每一点进展都离不开朱老师的关 怀和帮助。无数次的论文修改、无数次的鼓励鞭策、无数次的谆谆教导，使我受 益匪浅。朱老师严谨的治学及学术态度，科学的学术方法、扎扎实实的科研精神 永远是我学习的榜样。朱老师平易近人、朴实无华、无微不至的人格魅力使我倍 受感动，也使我明白了很多为人处事待人接物的道理。跟着朱老师学习的时光是 我一段宝贵的人生经历，朱老师的恩情、教诲将永记心中。另外，向潘祖梁教授、 师母沈瑞敏老师、汤树元老师表示感谢，感谢他们在学习和生活上给予的关心和 帮助。 其次感谢师兄、师弟、师姐以及师妹们，尤其是师兄李鹏、师弟宋仁成、师 妹周曼等，有了你们的加入，才使得我的研究生活充满了活力和欢声笑语。在和 你们的讨论以及交流中我学到了很多东西，你们的学习态度、研究热情及青春活 力使我倍受感染，再次感谢你们。 还要感谢我的室友汪加梅、黄凤秀、王常青等，还有我的同学及朋友们：徐 惠霞、韦学辉、赵宏艳、唐春梅、麻志浩等。苦闷彷徨时的开导、孤单时的陪伴、 无助时的帮助，使我倍感友谊的珍贵! 最后的感谢给我的家人，我的爷爷、奶奶、爸爸和另一个世界的妈妈! 感谢 你们含辛茹苦的养我长大，忍受着生活的艰苦支持我读书，感谢你们关心我胜于 关心你们自己! 还要感谢我的弟弟给我的关心与鼓励! 谨以此文怀念我在浙大的日子1 2 0 0 8 4 于求是园 第一章引言 在光通信、光传感和光信息处理中，光波导是光集成器件中最基本的器件，因 此对光波导的研究是非常重要的。光波导是由光透明介质( 如石英玻璃) 构成的传输 光频电磁波的导行结构，可以把光束缚在一定的区域中，平板及条型光波导是集成 电路中普遍存在的，如微芯片、微波传输带基片：光在光波导中的传播叫做模式。 目前对平板光波导的解法主要包括几何光学方法及波动光学方法两种。当光波波 长远小于光波导的横向尺寸时，可以近似认为趋向于零，从而忽略表征光的波动性 的衍射现象，获得发散角为零的光锥一一光线，因此又称为光线光学方法。光线可 以表示光的传播方向和强度，但不能考虑波场的相位和振动方i 旬( 偏振态) 。光线分 析法是建立在全内反射的原理之上，物理概念清晰，并能得出一些光在波导中传输 的基本特性，很直观。但缺点也很明显，并不能得出波导中场的分布。另外一种解 法是波动光学方法。光波从本质上讲是一种电磁波，可以用电磁场的方法求解。电 磁波符合麦克斯韦方程组，通过对它进行傅立叶变换可以导出描述光在波导中传 播的亥姆霍兹( h e l m h o l t z ) 方程，在加上横向边界条件，可以解出场的横向分布( 本 征函数) 和纵向传播常数( 本征值) ，每组解对应一个模式。根据光在光波导中传播的 不同状态，光波导中的模式分为传播模、辐射模及泄漏模，如果加了p m l 之后，还 会产生b e r e n g e r 模。当入射波为均匀平面波时，因入射角的不同而使平板波导中产 生两种类型的波：导模和辐射模。当入射波为非均匀平而波时还会产生泄漏模和消 失模。其物理意义是： 1 传播模：此模式在上下两覆盖层中呈指数衰减，能量能很好的被限制在介质 板中。本征值j 0 能在一定范围内取有限个分立值，即光波导中含有数日有限个传播 模。 2 辐射模：此模式经界面折射面进入覆盖层，介质板的能量向覆盖层泄漏。辐 射模谱是无限的。其中，传播模和辐射模组成了模式的正交完备组。 3 泄漏模：此模式在上下两层覆盖层内存在着向外传播的电磁场分量，介质板 内的能量在z 方向传播过程中，逐渐被转移到覆盖层中去，连同覆盖层内的吸收损 耗，使传播损耗增大。 4 消失模：此模式不能沿名轴传输，而只能储能。 泄漏模和消失模属于非正规模。在光的传播计算中，传播模及泄漏模对光波的 计算影响是非常大的，因此这两种模式的计算就非常重要。 光波既然是电磁波，那么它首先是一种电磁振荡。电磁振荡包括电场与磁场两 方面振荡，因此光场按工程惯例以电场强度e 和磁场强度日来表征，可写成 ( e ，h ) = ( e ，日) ( z ，y ，z ，t ) ， 2 波导中模的渐近解及其在波传播计算巾的应用 光场既是位置r ( z ，y ，z ) 的函数，又是时间t 的函数。 一个单一频率的简谐电磁振荡，通常可表示为 ( e ，h ) = ( e ，日) ( z ，y ，z ) e 一谢， 其中e ，日是复矢量，包括了方向、幅度和相位关系。影响光波导传输特性的，主要 是折射率的空间分布。根据光波导折射率的空间分布的均匀性，我们可以进行如下 分类( 以z 方向作为纵向，z 方向作为横向) ：1 纵向均匀的( 正规光波导) ：a 横向分层 均匀的( 均匀光波导) ：b 横向非均匀的( 非均匀光波导) 。2 纵向非均匀的( 非正规光 波导) ：a 缓变光波导；b 迅变光波导；c 突变光波导。 对于第一种光波导即正规光波导，其共同特点就是光波导折射率分布沿纵向 是均匀的r p n ( x ，y ，z ) = n ( x ，可) ，与名是无关的。这种光波导最大的特点是存在着模 式的概念，即存在着一系列的各横截面分布都相同的沿纵向稳定的场分布，可用公 式表示为： e ( z ，y ，z ) = e k a k e k f k ( z ) ， 其中a 凫是相对的幅度( 分解系数) ，它们不是坐标( z ，y ，z ) 的函数，而是常数，对于导 行模有 z ) = e 伽。 在实际应用中，n 常与z 有关，表明这种光波导存在纵向不均匀性，这种光波导 为非j 下规( 非规则) 光波导。非j 下规光波导的最大特征是，由于折射率分布存在着纵 向非均匀性，因此不存在严格意义下的模式，也就是说找不到e ( x ，可) e 私形式的解， 使它既满足非正规光波导的麦克斯韦方程，又满足边界条件。尽管如此，我们仍可 以找到一个正规光波导，使得非正规光波导的场可以展开成这个正规光波导的一 系列模式场之和，即 e ( x ，y ，z ) = 戳n 詹( z ) ( z ，y ) e 。舭， 式中e ( x ，y ，z ) 是非正规光波导内的光场；e k ( z ，可) 和反分别是正规光波导序号为后的 模式场和传播常数，a k ( z ) 是分解系数，随z 而变化。虽然光在光波导中传输的总功 率不变，但各个模的功率0 2 ( z ) 都在变化，相当于一些模式的功率转换给另一些模 式，这种现象称为模式耦合。模式耦合是正规波导的重要特征。 光波是一种电磁波，满足波传播的麦克斯韦方程组。在无源无损耗介质中，麦 克斯韦方程可写成如下形式 v e ：一娑， ( 1 1 ) u 5 v 日；辈， ( 1 2 ) o t v d = 0 ( 1 3 ) v b = 0 ，( 1 4 ) 第+ 章引言 3 其中e 表示电场强度，日表示磁场强度，d 表示电位移矢量，b 表示磁感应强 度。d 和e 、b 和日之间应满足的物质关联方程，对各向同性介质有 d ( t ) = ( r ) e ( 7 ) ， ( 1 5 ) b ( r ) = p ( r ) 日( 7 ) ， ( 1 6 ) 式中r 代表介质中各点的坐标，e ( 7 ) 代表了各向同性非均匀介质的介电常数。对大 多数光波导材料来说，导磁率p 等于真空导磁率p o ，且与坐标无关。我们可以得 到e 和日的波动方程式为 v 2 e + v ( e 7 融- ) = p 。e 丽8 2 e ， ( 1 7 ) v z 日+ 三( vx 日) = 眦酉0 2 h ， ( 1 8 ) 在平板波导巾介质折射率是均匀的，即v = 0 ，所以波动方程有最简单的形式，即 v 2 e 铀等， ( 1 9 ) v 2 日= 伽e 警， ( 1 - o ) 该光波具有简谐振荡的形式，即酉o h = 弛，万0 2 万h = 一u 2 ( 对e 也成立) ，于是可以得(咒c怙- 到矢量亥姆霍兹方程为 v 2 e + k 2 e = 0 ， v 2 日+ k 2 日= 0 ，( 1 1 2 ) 式中心为波数，它与介质折射率n 及真空波数k o 的关系为： 圪o = k ：n 2 = c u 2 肛o ， 仡3 = u 2 l 卫o e o ， n 2 = 矗= e e o ， 式中岛为相对介电常数；印为真空介电常数。 平板波导问题采用直角坐标系讨论是很方便的，麦克斯韦方程组可写成直角 坐标分量的形式，波导中光波沿z 方向传输，即波导中电磁场含有z 方向的传输因 子e 一触，因而有o h o z = 一印，a h a u = o ( 对e 相同) ，将a 日况= 讪( 对e 相同) 代 入，可获得如下硬组独立方程 p = 一u 肋也， ( 1 1 3 ) 4 波导巾模的渐近解及其住波传播计算巾的应用 警：一i u 伽见， ( 1 1 4 ) 弛+ 豢= 一i r a 嗥 ( 1 1 5 ) 这组方程是关于马、。皿和耽的方程，仅有一个电磁分量岛，称为横电波( t e 波) 或 者h 波；通过变换可以化成： 。 鲁小2 n 2 俨河= o ( 1 - 1 6 ) 还有一组方程 卢吼= u e 忍， ( 1 1 7 ) 挚：妣。( 1 1 8 ) - i d z )_ 一扎u o i f l e x + 豢= i o , t t o h y ， ( 1 1 9 ) 这组方程是关于现、b 和最的方程，仅有一个电磁分量玩，称为横磁波( 刚波) 或 者e 波；可以通过变换化成 p 未( 丢警面2 们吼_ 0 ， ( 1 - 2 0 ) 其中p = u e 。 t e 、t m 波中都存在传播模、辐射模和泄漏模。 在很多种光波导结构中，不仅存在t e 、t m 波而且在混合波，这种波我们这里 不讨论。 关于传播常数，有以下结论： 在折射率为常数的情况下，h e n d r i kr o g i e r 和d a n i e ld ez u t t e r 在2 0 0 1 年已经给 出了一种算法。这种算法是在拟静态极限的情况下给出的关于泄漏模幂l l b e r e n g e r 模 的渐近解析解【3 0 】。2 0 0 2 、2 0 0 3 年他们又给出了在光纤中t e 、t m 和h e 波的泄漏模 和b e r e n g e r ) d 真的渐近解析解【3 l ，3 2 ，3 3 。2 0 0 5 年y ay a nl u 和j i a n x i nz h u 在p h o t o n i c s t e c h n o l o g yl e t t e r si - 发表了在加了m 肘传播模的扰动理论 8 3 1 。最近j i a n x i nz h u 和y ay a hl u 发展了d ez u t t e r 的工作，推导出了三层平板波导中在传播常数非常大 的情况下t e 、t m 波泄漏模的解。这很好的解决了在传播常数非常大的情况下调 用软件包和迭代计算特征值效果不好的缺点，同时这样计算出来的渐近解也可以 做为迭代计算特征值时的初值【4 1 1 。同时针对带有p m l 的且折射率任意的三层平 板波导，j i a n x i nz h u 和q i a o x i a nz h o u 改进 r a y l e i g h 商迭代法，发展了广义非对 称r a y l e i g h 商迭代法 3 9 1 ，改变了调用l a p a c k 计算特征值速度慢、占用内存多的缺 点。但是非对称多重r a y l e i g h 迭代在初值的选取上也比较困难。 然而对于一些光纤及光互联等结构，大部分情况下折射率是随着纵向和横向 不断变化的的。我们希望给出这种情况下渐近的解析解，可以做为r a y l e i g h 迭代的 第一章引言 5 初值。本文就给出这时候的渐近解析解；此外，本文还给出了在加了p m l 层时泄漏 模的渐近解。 下面是声波导的一些背景。 声学在科学技术领域、国防和日常生活等有多方面的应用。在探索开发海洋的 过程中，海洋声学起着特别重要的作用，因为只有声波才能进行较长距离的传播， 从而进行水下测距、定位、通讯和遥感等操作。海洋声波导限制在海平面以下海床 以上。声速在海洋声学中和光波导中的折射率扮演着同样的角色。海洋声学中的声 速与密度与可压缩性有关。在海水巾，密度和静压力、盐度和温度有很大的关系。 声速是温度、盐度和压力的增函数，压力是深度的函数。它们之间的关系是： c = 1 4 4 9 2 + 4 6 t 0 0 5 5 t 2 + 0 0 0 0 2 9 t 3 + ( 1 3 4 0 0 1 t ) ( s 一3 5 ) + 0 0 1 6 z ， c 表示声速，t 表示温度，s 表示盐度，z 表示深度。对于大部分情况，一卜面的方程已 足够精确。我们把海水一般分成三层：混合层( m i x e dl a y e r ) 、主要温度突变层( m a i n t h e r m o c l i n e ) 、深海等温层( d e e pi s o t h e r m a ll a y e r ) 。在靠近平面的混合层温度基本上 是不变，声速随着深度的增加而增加。在混合层的下面是温度突变层，温度随着深 度的增加而降低，声速也随着深度的增加而降低。在最下面一层是深海等温层，温 度基本不变，声速随着深度的增加而增大，在突变层的负声速梯度和深海等温层的 正声速梯度之间有一个声速最小值，这个值对应的深度成为声道轴。 非常理想的一种情况是p e k e r i sw a v e g u i d e 。这种波导是把波导分成两层，每层 的声速都取常量，第一层密度是p l ，声速是c 1 ；第二层密度是优，声速是c 2 。但实际 中，并不是这么理想的情况。通常都是分成两层或者三层，每层声速均与横向与纵 向有关系。若波源是单一时间调和的，在声波导中表述声场的h e l m h o l t z 方程是： u x x + u ：。+ 仡2 ( z ，z ) u = 0 ，0 z 三时，可由分离变量法得到方 程的近似解，所以主要考虑0 z l 的情况。 对于声波的模式如泄漏模的计算，j i a n x i nz h u 和y ay a nl u 给出了在模比较大 的情况下的解析渐近解以及加了p m l 后模的解析渐近解 4 0 】。然而上述结果是声速 在深度方向上为分段常数的情况下给出的，对于最一般的情况，即声速随横变量和 纵变量变化的情况，本文将给出解析的渐近解，同时也将给出了加了p m l 的模的解 析渐近解。 对于声波导深度方向无限深度的问题及无界光波导的处理方法，最初比较粗 糙的方法是简单的设立假设边界条件将无界区域有界化，如第一类、第二类或者第 6 波导巾模的渐近解及其在波传播计算巾的应用 三类边界条件。这种做法只是将原方程特征问题粗糙的近似化。所以无论是对近似 问题精确求解还是离散后求数值解，解的偏差都会很火，导致解的计算效果变差。 这样的偏差的原因是这样的边界条件实际上并彳符合无界区域中声波传播的特性， 现在比较好的技术是完美匹配层。 光波和声波的p m l 技术： 平板光波导的结构是定义在一个开放型空间下，也就是做数值计算时所需要 的空问区域是没有边界的，对于传播模，我们认为上下两包层中的场离开芯层分界 面后迅速衰减，在数值计算求解波导中的传播问题时，可以在离开芯层分界面一定 距离以后将波导场截断，即近似认为光场仅存在于一个宽度为有限大小的矩形区 域内。在此矩形的外边界场量已衰减至零，从而将求解区域限制在有限区域内。这 种方法简明扼要，但是如果外边界宽度太小，则导致所求得的解有明显的误差；如 果外边界宽度取得很大，虽然可以保证计算的精度，但这无疑会需要求解区域中离 散密度增大，从而增加了计算的复杂性。 声波在无限深度也是无法进行数值计算的，所以必须引入适当的吸收边界条 件把计算空间截断，并且应保证在截断边界处只有向外传播的波而没有反射波。吸 收边界的效果直接影响到波传播的正确性和准确性。 从吸收边界条件的研究历史看，大致分为两个阶段。 第一阶段是2 0 1 t - t ：纪7 0 8 0 年代，共提出了四大类吸收边界条件：基于s o m m e r f i e l d 辐射条件的b a y l i s s t u r k e l 吸收边界条件；基于单向波动方程的e n g q u i s t - m a j d a 吸 收边界条件；利用插值技术的廖氏吸收边界条件；以及梅一方超吸收边界条件。这 些吸收边界条件通常在光波导的仿真区域的边界具有百分之零点五到百分之五的 反射系数。 第二阶段是2 0 世纪9 0 年代，由b e r e n g e r 提出了完全匹配层( p e r f e c t l ym a t c h e d l a y e r ，简写为p m l ) 的理论模型1 3 6 ，它在求解区域边界上的反射系数只有上述各 种吸收边界条件的1 1 3 0 0 0 ，它可以吸收各个频率，各个方向的波，而不发生任何反 射，它被认为目前最好的吸收边界条件。 当引入完美匹配层时，首先将原先无限的区域截断为有限，并加上完美匹配层 作为吸收介质。这样，当波由区域内通过边界传到完美匹