（应用数学专业论文）三类生态模型解的渐近性研究.pdf

三类生态模型解的渐近性研究 余胜平 摘要本文通过构造l y a p u n o v 函数和泛函及递归序列，利用微分不等式等方 法，运用l y a p u n o v 定理、代数理论、比较原理、b a r b a l a t s 引理、连续性定理等理 论研究了三类生态模型解的渐近性，其中包括模型正平衡态的全局吸引性和全局 渐近稳定性以及模型的一致持久生存性、正周期解的存在性和正概周期懈的存在 惟一性及稳定性等解的性态 在具体的生态问题中，为了实际需要，须人为地改变种群规模的平衡态，一 种有效的办法是在模型中引入反馈控制变量本文第一部分研究了一类具有反馈 控制的三种群捕食一竞争模型，通过利用l y a p u n o v 函数方法得到了模型正平衡点 全局渐近稳定的充分条件；当考虑时滞因素时，通过构造递归序列和l y a p u n o v 泛 函的方法得到了模型正平衡点全局吸引和全局渐近稳定的充分条件，得到的定理 结论说明在一定的条件下时滞对模型的全局吸引性无影响 现实世界中，群体的出生、生长与死亡或种群间的竞争、捕食与合作等一系 列过程都非常复杂，通常并不能用简单的线性关系来反映，而是通过比较复杂的 功能反应函数来描述，而且被捕食种群或弱势群体总是会借助于避难所的保护而 生存本文第二部分研究了一类具有避难所的比率型非自治三种群捕食者食饵 模型，首先利用微分不等式和l y a p t m o v 函数方法及b a r b a l a t 引理得到了模型一致 持久生存和全局渐近稳定的充分条件然后利用b r o u w e r 不动点原理得到了该模 型周期系统正周期解存在惟一且全局渐近稳定的充分条件最后对更具普遍意义 的概周期现象，通过构造辅助系统和l y a p u n o v 函数得到了系统正概周期解存在惟 一且全局渐近稳定的充分条件在该模型中，由于避难所的存在，食饵的生存空 间被扩大了 在通常的竞争系统中，往往假设竞争者无论年龄大小，形体大小都具有相同 的竞争力，然而在自然界中几乎所有动物的生长都要经历幼年和成年两个阶段， 而且种群在不同的年龄阶段其生理机能( 出生率、死亡率、竞争率等) 的差别比 较显著如幼年种群没有生育能力、死亡率较高、竞争力较弱，而成年种群不仅 有生育能力，而且生存能力较强，常常有能力与别的种群竞争生存区域内的有限 资源再者生态系统常会受到季节变迁、食物来源及动物配偶习惯等诸多因素的 影响为了反映这种生理现象和变化规律，本文第三部分研究了一类具有阶段结 构和时滞的非自治生态模型，利用a s c o l i a r z e l a 定理和拓扑度理论及重合度理论中 的连续性定理得到了该模型存在正周期解的充分条件 关键词：全局吸引性全局渐近稳定性持久生存正周期解 a s y m p t o t i cp r o p e r t yr e s e a r c hf o r t h r e ek i n d so f e c o l o g i c a lm o d e l s s h e n g p u i gy u a b s t r a c ti nt h i sp a p e r ，t h ea s y m p t o t i cp r o p e r t yo ft h r e ee c o l o g i c a ls y s t e m si ss t u d i e db yc o n s t r u c t i n gl y a p u n o v f u n c t i o na n dl y a p u n o vf u n c t i o n a l ，e s t a b l i s h i n gr e e u r s i v e l ys e q u e n c e sa n de m p l o y i n gd i f f e r e n t i a li n e q u a l i t i e se t c ，a n du s i n gl y a p u n o vt h e o r e m ，c o m p a r i s o nt h e o r e m ，b a r b a l a t s l e m m a ，t h ec o n t i n u a t i o nt h e o r e mo fc o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r ye t c h e r e ，t h es y s t e m sa s y m p t o t i c p r o p e r t yi n c l u d e st h eg l o b a la t t r a c t i v i t yo ft h es o l u t i o n s ，t h eg l o b a ls t a b i l i t yo ft h es o l u t i o n s ，t h e u n i f o r mp e r s i s t e n c e ，t h ee x i s t e n c eo ft h ep e r i o d i cs o l u t i o n sa n dt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f t h ep e r i o d i cs o l u t i o n se t c i ns o m es p e c i f i ce c o l o g i c a lq u e s t i o n s ，i ti s n e c e s s a r yt oc h a n g et h es p e c i e se q u i l i b r i u mb y m a n k i n df o rt h ep r a c t i c a lr e a s o n s a sw ea l lk n o w ，i ti sa ne f f e c t i v em e t h o dt oi n t r o d u c ef e e d b a c k c o n t r o l si n t ot h em o d e l i nt h ef i r s ts e c t i o no ft h i sp a p e r ，w es t u d yac l a s st h r e e - s p e c i e sp r e d a t o r p r e y - c o m p e t i t i o ns y s t e mw i t hf e e d b a c kc o n t r o l s t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ft h eg l o b a l l ya s y m p - t o t i c a ls t a b l ep o s i t i v ee q u i l i b r i u ma r ed e r i v e db yl y a p u o vf u n c t i o nm e t h o d a n dt h es u f f i c i e n t c o n d i t i o n so ft h eg l o b a l l ya s y m p t o t i c a la t t r a c t i n gp o s i t i v ee q u i l i b r i u ma n dt h eg l o b a l l ya s y m p t o t i c a ls t a b l ep o s i t i v ee q u i l i b r i u ma r er e s p e c t i v e l yd e r i v e df u rt h es y s t e mw i t hd e l a y sb y e s t a b l i s h i n g r e c u r s i v e l ys e q u e n c e sm e t h o da n dl y a p u n o v f u n c t i o nm e t h o d t h ec o n c l u s i o nw eo b t a i n e dr e v e a l s t h eg l o b a l l ya t t r a c t i v i t yo ft h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u mi sn o ta f f e c t e db yt h ed e l a y s i nr e a l w o r l d ，as e r i e s o f p r o c e s s e s ：s p e c i e sb i r t h ，g r o w t ho r d e a t h ，p r e d a t o r - p r e y , c o m p e t i t i o n o r c o o p e r a t i o na m o n gs p e c i e se t c a r ev e r yc o m p l i c a t e d t h er e l a t i o n sb e t w e e nt h e md i en o ta l w a y s l i n e a rb u ta r ea l lk i n d so ff u n c t i o n a lr e s p o n s i v ef u n c t i o n sm o r e o v e r ，t h ep r e yo ri n f e r i o rs p e c i e s e x i s t sb ym e a n so ft h es h e l t e ro ft h er e f u g e s i nt h es e c o n ds e c t i o n w es t u d yac l a s sn o n a u t o n o m o u s r a t i o - d e p e n d e n tt h r e e - s p e c i e sp r e d a t o r - p r e ys y s t e mw i t hr e f u g e s f i r s t l y , t h es u 斑c i e n tc o n d i t i o n sf o r u n i f o r mp e r s i s t e n c ea n dg l o b a l l ya s y m p t o t i e a ls t a b i l i t ya r eo b t a i n e db yu s i n gd i f f e r e n t i a li n e q u a l i t i e sa n dl y a p u n o vf u n c t i o nm e t h o da n db a r b a l a t sl e m m a t h e nt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f t h ep o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n sa n dp o s i t i v ea l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n sf u rc o r r e s p o n d i n gp e r i o d i c s y s t e ma n da l m o s tp e r i o d i cs y s t e ma r ea l s od i s c u s s e db yu s i n gb r o u w e rf i x e dp o i n tt h e o r e ma n d c o n s t r u c t i n ga u x i l i a r ys y s t e ma n dl y a p o u n o vf u n c t i o n i nt h ec l a s s i c a lc o m p e t i t i v es y s t e m ，i ti sa s s u m e dt h a te a c hi n d i v i d u a lc o m p e t i t o ra d m i t st h e s a m ea b i l i t yt oa t t a c ka n o t h e rc o m p e t i t o r h o w e v e ri nn a t u r a lw o r l d ，a l m o s ta l la n i m a l sh a v eal i f e h i s t o r yt h a tt a k e st h e mt h r o u g ht w os t a g e s ：i m m a t u r ea n dm a t u r e a n dd i f f e r e n ts t a g e sh a v e e v i d e n td i f f e r e n c ea b o u tt h e i rp h y s i o l o g i c a lc h a r a c t e r s ( b i r t h r a t e ，d e a t h r a t e ，c o m p e t i t i o na b i l i t ye t a i i ) f o ri n s t a n c e ，t h ei m m a t u r es p e c i e sc a n n o th a v er e p r o d u c t i v ea b i l i t ya n dc o m p e t i t i o na b i l i t yw h i l e t h em a t u r e s p e c i e sn o to n l yh a v er e p r o d u c t i v ea b i l i t yb u ta l s oh a v em o r ep o w e r f u ls u r v i v a lc a p a c i t y a n dc a nb ei nc o m p e t i t i o nw i t ha n o t h e rs p e c i e sf o rt h ef i n i t er e s o u r c ei nt h ee x i s t e n tr e g i o n a n d e c o l o g i c a ls y s t e m sa r eu s u a l l ya f f e c t e db ys e a s o nv a r i a t i o n f o o d sr e s o u r c ea r i dt h eh a b i to fa n i m a l s p r e g n a n c ye t c i no r d e rt od e s c r i b et h e s ep h y s i o l o g i c a lp h e n o m e n o na n dc h a n g er u l e sr e a l l y , i nt h e t h i r ds e c t i o n ，w es t u d yac l a s sn o n a u t o n o m o u s e c o l o g i c a lm o d e lw i t hs t a g e - s t r u c t u r ea n dd e l a y s b yu s i n ga s c o h - a r z e l at h e o r e m ，t o p o l o g i c a lt h e o r ya n dt h ec o n t i n u a t i o nt h e o r e mo fc o i n c i d e n c e d e g r e et h e o r y ，w eg e ts o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ft h ee x i s t e n c eo ft h ep o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n k e y w o r d s ：g l o b a la t t r a c t i v i t yg l o b a l a z y m p t o t i c a ls t a b i l i t y p e r m a n e n c ep o s i t i v e p e r i o d i cs o l u t i o n s i i i 学位论文独创性声明 y7 2 8 5 8 9 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经发表或撰 写过的研究成果。也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构的学位或证书而使用 过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表 示谢意。 作者签名：佥盟生日期：蛰篮：生 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位职闯论文工作前知识产权单位属陕西师范太学。本 人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西师范大学。学 校有权保留学位论文并匈厦家主管部门或其它指定机构送交论文的电子版_ 和纸质版： 有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆、院系资料室 被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索：有权将学位论文的标题和 摘要汇编出版。 作者签名；金星堕墨日期：2 1 丛垒 第一章引言 生物数学的发展有利于人类更早的发现和掌握生态规律，而且能指导人类更 好地利用自然、改造自然，优化资源和环境管理，因此被广泛应用于森林开发、 害虫综合防治、预测污染物和有毒物分布、自然景观和公园管理、生物群落的格 局、作物育种、渔业管理、人口统计和疾病分析等领域 到目前为止，对单种群的l o g i s t i c 增长的线性反馈控制模型的研究比较完善 ( 啡【4 ) ，对两种群的具有反馈控制模型的研究已有较多成果( 5 7 1 ) ，但对具有反馈 控制的兰种群模型的研究结果较少受文献【7 】的启发，本文第二章在文献【8 的 模型中引入反馈控制变量和时滞，讨论了具有反馈控制的捕食竞争系统 掣钠( t ) f b t 咄t 邢) _ n l = 硎咖a 酬咱u 1 ( f 一圳 鱼磐= 酬1 ( t ) a 2 2 t 2 ( t ) - - a 2 3 2 3 ( 垆e ：u 。( t - 训， 皇! d 塑t - = 蜘( f ) f 6 3 z i ( t ) 。3 2 2 2 ( t ) 一口3 3 黝( t ) 一e 3 船( t 一勺) 】， 掣一目t u 心) 仙州t 一砒 警= 一姚+ a 2 x 2 ( t 一砒 生字= _ 啦蜊+ a a z 3 ( t 一面 当n = o ( i = 1 ，6 ) 时，通过利用l y a p u n o v 函数方法得到了模型正平衡点全局渐近 稳定的充分条件；当n o ( i = 1 ，6 ) 时，分别用构造递归序列和l y a p u n o v 泛函方 法得到了模型正平衡点全局吸引和全局渐近稳定的充分条件 近几年对捕食系统和竞争系统的研究结果比较丰富( 【1 3 - 1 7 ) ，但对于其中被捕 食种群具有避难所的比率型系统的研究并不多见文献【1 5 】研究了自治的比率型 捕食系统的持久性与稳定性，文献【1 6 研究了非自治的比率毅捕食者一两竞争食 饵模獭的动力学行为，文献【17 i 研究了具有避难所的非自治三种群捕食者食饵 模型考虑到现实世界中被捕食种群总是尽力寻找避难所以逃避被捕食，本文第 三章讨论了具有避难所的非自治比率型捕食者两捕食食饵系统，模型如下 f z ( 对= z t # ) 陋z ( 。一m t 辟) x l ( t ) 】一。z ：。) ( z t 印- h l ( t ) ) z ：( t ) 一竺坚 羔；i 苌j ：；i 迎， k ( f ) = 烈州哪) 柏m ) ( 州旷州纠一吲咖。( f ) 卜 a 2 a ( 丽t ) ( z 2 而( t ) 矸- h 2 面( t ) ) 万x a 一( t ) ， 卜一删一。水，+ 销揣+ 镤黼， 利用微分不等式和l y a p u n o v 函数方法得到了模型一致持久生存和全局渐近稳定的 充分条件然后利用b r o u w e r 不动点原理得到了该模型周期系统正周期解存在惟 一且全局渐近稳定的充分条件最后对更具普遍意义的概周期现象，通过构造辅 助系统和l y a p u n o v 函数得到了系统正概周期解存在惟一且全局渐近稳定的充分条 件 在以往讨论竞争系统的文献中很多作者都假设每个竞争个体具有相同的竞争 力( 2 2 2 4 】) 而在自然界中，许多种群的生长过程都要经历幼年和成年两个阶段， 比如海鲸和海豹近年来，也有不少作者研究了具阶段结构的数学模型( 2 5 】_ 2 7 ) ， 但研究较符合实际背景的非自治阶段结构模型的文献不多本文第四章考虑如下 非自治两种群竞争系统的生态模型 | 圣1 ( ) = n 1 ( t ) z 2 ( t ) 一m ( ) l ( ) 一1 ( ) e j t u 饥忙出z 2 ( 亡一7 1 ) ， l 圣2 ( # ) = o t l ( t ) e - j t q 扣埘。七2 0 n ) 一卢l ( t ) z i ( t ) 一e l ( t ) x 2 ( t ) 一o l ( t ) 口2 ( t ) 珈o ) ， i 雪1 ( t ) = 口2 ( t ) 啦o ) 一他( ) 掣1 ( t ) 一n 2 ( t ) e j t 一1 协扣埘4 2 2 0 n ) ， 【如( t ) = 0 1 2 ( t ) e - - j ：f 2 似州。讹 一龟) 一如( t ) 谴( t ) 一e 2 ( t ) y 2 ( t ) 一n 2 ( t ) y 2 ( t ) z 2 ( t ) 利用重合度理论中的连续性定理得到了该模型存在正周期解的充分条件 第= 章具有反馈控制的捕食一竞争系统的全局性态 f 挈= 硎吼咄t 删- - a 1 2 ：c 2 ( t ) - - a 1 3 x 3 ( 圳， 堕= 酬吣m ) - - n 2 2 x 2 ( f ) 咄a 删】， 1 堕= 酬m ) 咄。删_ a 3 脚】 给出了系统( t ) 正平衡点全局吸引的充分条件，其中趣，。莳( f ，j = 1 ，2 ，3 ) 均为正常 数受文献【7 】的启发，本章第二节对系统( + ) 的钆z 。和蜘分别引入反馈控制变量 u l ，u 2 和讨论了比文献【7 】更为全面的具有反馈控制的捕食竞争系统 掣堕= 删胁一m ，删咱z 酬g 1 3 x 3 ( f ) _ 刚删， 生d 盟t = 。2 ( t ) 6 2 。1 ( t ) 一啦z z ：( t ) - - a 2 3 2 3 ( t ) 一e 2 u 2 ( t ) ， 鬻铀阳州咖叫旷0 3 3 吲垆郇s ( f ) ， ( 1 1 ) 掣一她+ 口l 酬， ”4 掣；一讹怕洲， 掣= 一懒+ a 3 2 3 ( 虮 用构造l y a p u n o v 函数的方法讨论了( 1 1 ) 正平衡点的全局渐近稳定性，得到了比 ( + ) 正平衡点全局渐近稳定更为一般的条件，其中b 种o ，吼( i ，= 1 ，2 ，3 ) 均为正 常数本章第三节讨论了具有反馈控制与时滞的捕食竞争系统 ! ! 墨d 盟t = 9 1 ( 茚眵l 一。i 。z - ( 坊一b 1 2 。2 ( 。) 一b 。s z 3 ( ) - - e l “l ( 一n ) ， 1 d x 2 r ( t ) = 勋( t ) z l ( t ) - - g 2 2 ：c 2 ( f ) - - n 2 3 2 ：3 ( t ) 一e 2 ( t 亿) ， 蓑铀m ) _ a 3 2 吲沪3 3 州螂m 咱) 】i ( 1 2 ) 挈叫t 州+ a l x l ( ) ， ” d u i 2 f ( t 一) = 一，7 2 u 2 ( 。) + 。2 2 2 ( 一n ) ， 掣= 一桃+ a 3 x 3 ( t 一斟 其中b ；，n u ，啦，包，哺( i ，j = 1 ，2 ，3 ) 均为正常数，n ( 江l ，6 ) 为非负时滞参数，其生态 意义是指以前的t 时刻反馈控制变量与种群密度对于相应t 时刻种群密度的变化 3 率与反馈控制变量的变化率的影响为了讨论方便起见，本文取r i = r ( i = 1 ，6 ) 采用文献 7 】中构造递归序列的方法讨论了( 1 2 ) 正平衡点的全局吸引性，得到了 系统f 1 2 ) 正平衡点全局吸引的充分条件，并通过构造l y a p u n o v 泛函的方法给出了 正平衡点全局渐近稳定的充分条件 5 2 2 具有反馈控制的稳定性 假设( 1 t ) 的系数满足 塑堕一 0 ，x a ( o ) o ，“1 ( 0 ) 0 ，乱2 ( o ) 0 ，u 3 ( o ) 0( 2 3 ) 定理2 2 1 ( 1 1 ) 满足( 2 3 ) 的所有解 z 1 ( f ) ，z 2 0 ) ，z 3 ( t ) ，u l ( t ) ，u 2 ( t ) ，u 3 ( t ) )( 2 4 ) 对任意的t 0 均为正且有界 证明先证对于d o ，( 1 1 ) 满足( 2 3 ) 的解( 2 4 ) 保持为正的最大存在区间是 t ，= 【o ，6 ) 否则，可假设 。ej 是第一个满足下列条件的点 x l ( t 1 ) = 0 ，z 】( t ) 0 ，z 2 ( t ) 0 ，x a ( t ) 0 ，u 1 ( t ) 兰0 ，u 2 ( t ) 0 ，u a ( t ) 0 ，( f 0 ，t 1 ) ) 由( 1 1 ) 可知，当tej 时 州忙州0 ) e x p z 。 b i - - q l l x l ( 沪吲s ) - - a 1 3 2 3 ( s ) 咱州s ) j 如 故z t ( t 1 ) 0 ，这与 1 的定义矛盾因此，当j 时。l ( f ) 0 类似地可证当e ，时 z 2 ( t ) 0 ，1 3 ( t ) 0 l ( t ) 0 ，u 2 ( t ) 0 ，u a ( t ) 0 4 时 以下证明，：【o ，+ 。) 只须证( 2 4 ) 对任意有限t 0 有界假设在有限点t 2 0 则存在b 使得0 t 3 m a x 。s 野u p 1 ( ) ，石b l + 1 ) 由( 11 ) 可得! ! 击址z t t 3 i b ，一蚍2 l ( t 3 ) o ( i = 1 ，6 ) 使得 d + w 7 ( t ) 一7 1 z ；l e 虮( ) 一1 i 一协。；l e 挑【) 一1 1 一加z ；l e 舶( 。】一1 i 一柏j 1 ( t ) j 一7 5j v 2 ( t ) j 一柏j 诒( ) j 由于系统( 1 1 ) 的解为正且有界，故存在o i o ( i = l ，2 ，3 ) 使得x i ( t ) = 。：e ( t 微分中值定理可得z ；炒( 。) 一1j = 2 ：e 岬z j 乳( 0 i 啦胁( 砷 ，其中。；e 口( t ) 介于如( ) 之间令1 = r a i n 7 1 t 3 t 1 ，7 2 a 2 ，柏口3 ，讯，7 6 ，则由( 2 1 3 ) 可得 d + w ( t ) s 一7 ( f i ( ) i + f 驰( ) f + f 始( ) + h ( t ) f + f 也( ) f 十地( t ) ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 毗，由 和z ； f 2 1 4 ) 注意到( t ) e ( i ”l ( 0 1 + m ( ) i + i ”a ( t ) l + j 口l ( ) l + i 2 ( t ) l + i 3 ( t ) i ) ，其中c = m i n a ，i ： i ，6 结合( 2 1 4 ) ，由l y a p u n o v 定理可得( 2 6 ) 的零解是全局渐近稳定的，所以( 1 1 ) 的正平衡点( 味z ；，。；，u ：，u ；，”) 是全局渐近稳定的定理证毕 注t 函数 在证明模型( 1 1 ) 正平衡态的全局渐近稳定性时，若构造如下的l y a p u n o v 33 p ( 虬n 3 ) = q k z ；一。；胁( 熹) + q + 。一“垆 0 2 1 j 2 1 其中c 1 ，c 2 ，c s ，c 4 ，g 5 ，岛是待定的正常数利用拉塞尔不变原则 9 , p 1 3 8 可以得到模 型( 11 ) 正平衡态全局渐近稳定的不同于定理2 2 2 的充分条件 丽a 2 3 r 3 筹 警， ( n ) 鲤l o ，也，母g ( 【一r ，0 3 ，驻+ ) ，蛇+ = 【0 ，+ 。) ，i = 1 ，2 ，3 利用文献 1o 中的方法和步骤，可证( 1 2 ) 满足( 3 1 ) 的解在区间 o ，+ 。0 ) 上为正且有 界，而且存在惟一的正平衡点 定理2 3 1 假设( 1 2 ) 中的系数满足下列条件 ( i ) 6 - n t 。篆魂”+ 。3 堕a 3 3 罚”+ e ，魂”， ( i i ) 幻【6 ，一毗皂联“一吣急魂“一e - 耐d 】去 。2 3 旦0 , 3 3 研d + e 。旌“， ( 3 2 ) ( i i i ) 6 a 6 - 一蛳堕6 2 2 亓n 1 口1 3 急耐“一e - 辫”】去 。，堕a 2 2 瞬u 十e 。魂“ 则对( 1 2 ) 满足( 3 1 ) 的任一正解( z ( f ) ，z 2 ( t ) ，z 3 ( ) ，u x ( t ) ，u 2 ( t ) ，“3 ( t ) ) ，有 t 魄( z ，( ，z 蚺( ) ，u ，( t ) m ( t ) ，3 ( t ) ) = ( 味喀2 纠，“碱) ， ( 3 - 3 ) 其中弼1 1 = 播，旎1 = 嚣恕且o 1 i ，魂1 = “。s 且a s s 且( 1 1 1 证明若( 3 ，2 ) 成立，则条件( 21 ) 满足，故( 1 2 ) 的正平衡点( 味。；，z ；，“玉“；) 存在惟一由系统( 1 2 ) 的性质和解的正性( 参见文献 7 ，1 1 】) 可知，对v s - 0 ，j t - 0 ，使得t t l 时，有 z t i t ) x f ”= 鲁帕 。( t ) 捌1 = 堕a 2 2 x f l l 黝 趟”= 羔_ i ” 7 u 1 ( ) 等，则当t 矗时，有掣 0 矛盾，所以1 1 = 等即对v e l 0 ，( 3 6 ) 成立 若z - ( t ) 关于皋振动，令 ) 是满足z ，( ) = 。b _ 。l 。的点列，由( 1 2 ) 可得 掣蜘( 驯( 驯乩m = 1 , 2 此式与z ，关于点基振动矛盾所以当t t o 时 删曼杀 ( 37 ) 其中砧 0 是第一个满足。) = 鲁的点 由( 3 6 ) 和( 3 7 ) ，可得( 3 4 ) 中的第一个不等式类似地可证( 3 4 ) 中其它不等式 成立由条件( 3 2 ) 知，可取s l 0 ，t i 0 ，使得t t ，时 b 1 一毗”一a 1 3 砖”一e l 叫1 0 ， 6 2 ( 6 一劬硝”一吣霸“一e ，叫1 ) 去一蚴硝“一e 。叫1 1 o ， ( 3 8 ) b 3 ( b l 一衄趟”一吣x ”一e l 皤1 ) _ 1 一毗列”一e 3 叫1 o u 1 1 取e 2 o 且e 2 0 ， u 1 1 去o 。m 一毗面”一n t a 捌”一e - 叫q ) 击一咖砖”一e 。川”) 一钆2 坷” o ， ( 3 ，9 ) - 。! 。- 1 。 b a ( b 一毗趔”一劬x l ”一e - 叫”) 去一咖趣“一e 。叫 ) 一e = 。培” o t 当t t 1 + r 时有 掣 州吼咱z x 肚蛐础“咱u f l 】) - - a l l x l 掣 州( 6 。y ”咱。列“咱吨。嘲， 掣 州瑶”咱。x 卜e s - - 0 3 3 2 ：3 j 8 因此现 1 十r 使得t 三屿时，有 。，( ) 科”，z 。( t ) 瑶”，z s ( t ) 蜡1 由( 3 i o ) 和( 1 2 ) 可得t 吐+ f 时 唑旦 哪u 、( t ) + n - 埘u 掣 嘞u 2 ( t ) + n 2 y ” 掣 哪删怕y ；” 由如上微分不等式可知 如 0 ，当t 圯时，有 训( ：l ，2 ，3 ) j t j v f f 在，即i 如 唣+ r 使得对充分小的 “。( 。) w 1 1 = 詈y l ( ”一詈 o ， u 羽) 皤1 = 薏蟛“一号 0 1 蜊 w 1 = a 哟8 y , 。( ”一爷o 。 将( 3 1 0 ) 中的下界代入( 1 2 ) 式，可得当t 屯+ r 时 ( 3 1 1 ) 生磐 。，t ( b ，一。，。“一m s 磅”一e t w ”) 一虮t 。- ， 虫萼i 堕 现 ( b x p l 一。2 。蚶1 一e 2 w 1 ) 一。$ 。) ， d t 虫巡d t 2 。使得岛 圯+ r 使得t 如时，有 研( ) 磷对；( 6 。一。2 瑶”一n 3 y ：1 一q w l ) ) 者+ 8 3 ， 。2 ( t ) x p l ：( b x i ”一d ：3 磅“一e 2 疃”) 亳+ 8 3 ， 黝 啪x 卜8 3 2 蟛“_ e 3 蚋去+ 3 ， 3 - 1 2 州 一：票掣+ 弘( 。 = 2 + 詈， u 3 ( t ) 蚴硝2 + e 。啦 ( 31 3 ) ”n 1 2 x 黔蛐x 弘m ，去 。乳球 取幽 0 且5 4 o ， 去( b l - - a 1 2 x 2 ) - a l a x 5 ”一e - 叫2 ) 壶一。s 硝”一e 。叫2 一。t = 蟛2 。， ( 3 1 4 ) 去陋。( b l - a 1 2 x 2 ) - a l s 硝”一e ，叫2 ) 去一咖墨”一e a 蟛 - - e 4 = 培却 o 叉当t t 3 + r 时，有 掣 州m 。x 5 = ) _ a l a x ( a 咱哟咱，州 d a 矿a ( t ) z 。讹俨咄s 拶- e 2 咿) 咱。) ， d x a i ( 一t ) z s ( 6 。可“一n a 。趣”一e 3 唾2 ) 一嘶。) 贝0 当t 吐2 t 3 + r 时，有 z 1 ( ) h ”，z 2 ( t ) 蟛”，z 3 ( t ) 2 利用( 3 1 5 )